persamaan logaritma. Dari yang sederhana hingga yang kompleks.

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Apa itu persamaan logaritma?

Ini adalah persamaan dengan logaritma. Saya terkejut, kan?) Kemudian saya akan mengklarifikasi. Ini adalah persamaan di mana yang tidak diketahui (x) dan ekspresi dengan mereka adalah logaritma dalam. Dan hanya di sana! Itu penting.

Berikut beberapa contohnya persamaan logaritma:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Nah, Anda mendapatkan ide ... )

Catatan! Ekspresi paling beragam dengan x terletak hanya di dalam logaritma. Jika, tiba-tiba, sebuah x ditemukan dalam persamaan di suatu tempat di luar, Misalnya:

log 2 x = 3+x,

ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk diselesaikan. Kami tidak akan mempertimbangkan mereka untuk saat ini. Omong-omong, ada persamaan di mana di dalam logaritma hanya angka. Sebagai contoh:

Apa yang bisa kukatakan? Anda beruntung jika menemukan ini! Logaritma dengan bilangan adalah beberapa nomor. Dan itu saja. Cukup mengetahui sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikan persamaan seperti itu. Pengetahuan tentang aturan khusus, teknik yang diadaptasi secara khusus untuk penyelesaian persamaan logaritma, tidak diperlukan di sini.

Jadi, apa itu persamaan logaritma- menemukannya.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma?

Larutan persamaan logaritma- sesuatu, secara umum, tidak terlalu sederhana. Jadi bagian yang kita miliki adalah untuk empat ... Diperlukan pasokan pengetahuan yang layak tentang semua jenis topik terkait. Selain itu, ada fitur khusus dalam persamaan ini. Dan fitur ini sangat penting sehingga dapat dengan aman disebut sebagai masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritmik. Kami akan menangani masalah ini secara rinci dalam pelajaran berikutnya.

Sekarang, jangan khawatir. Kami akan pergi ke jalan yang benar dari yang sederhana sampai yang kompleks. Pada contoh spesifik. Hal utama adalah mempelajari hal-hal sederhana dan jangan malas mengikuti tautan, saya meletakkannya karena suatu alasan ... Dan Anda akan berhasil. Perlu.

Mari kita mulai dengan persamaan paling dasar dan paling sederhana. Untuk menyelesaikannya, diinginkan untuk memiliki gagasan tentang logaritma, tetapi tidak lebih. Hanya tidak tahu logaritma mengambil keputusan logaritma persamaan - entah bagaimana bahkan memalukan ... Sangat berani, saya akan mengatakan).

Persamaan logaritma paling sederhana.

Ini adalah persamaan bentuk:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proses solusi persamaan logaritma apa saja terdiri dari transisi dari persamaan dengan logaritma ke persamaan tanpa mereka. Dalam persamaan paling sederhana, transisi ini dilakukan dalam satu langkah. Itu sebabnya sederhana.)

Dan persamaan logaritma seperti itu diselesaikan dengan sangat sederhana. Lihat diri mu sendiri.

Mari kita selesaikan contoh pertama:

log 3 x = log 3 9

Untuk mengatasi contoh ini, Anda tidak perlu tahu apa-apa, ya ... Intuisi murni!) Apa yang kita? khususnya tidak suka contoh ini? Sesuatu... Aku tidak suka logaritma! Benar. Di sini kita menyingkirkan mereka. Kami melihat dengan cermat contoh itu, dan keinginan alami muncul dalam diri kami ... Benar-benar tak tertahankan! Mengambil dan membuang logaritma secara umum. Dan yang menyenangkan adalah bisa melakukan! Matematika memungkinkan. Logaritma menghilang jawabannya adalah:

Ini bagus, kan? Ini bisa (dan harus) selalu dilakukan. Menghilangkan logaritma dengan cara ini adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Dalam matematika, operasi ini disebut potensiasi. Tentu saja ada aturan mereka sendiri untuk likuidasi semacam itu, tetapi jumlahnya sedikit. Ingat:

Anda dapat menghilangkan logaritma tanpa rasa takut jika memiliki:

a) basis numerik yang sama

c) logaritma kiri-kanan bersih (tanpa koefisien apa pun) dan sangat terisolasi.

Biarkan saya menjelaskan poin terakhir. Dalam persamaan, katakanlah

log 3 x = 2 log 3 (3x-1)

logaritma tidak dapat dihilangkan. Deuce di sebelah kanan tidak memungkinkan. Koefisien, Anda tahu ... Dalam contoh

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

persamaan juga tidak dapat dipotensiasi. Tidak ada logaritma tunggal di ruas kiri. Ada dua dari mereka.

Singkatnya, Anda dapat menghapus logaritma jika persamaannya terlihat seperti ini dan hanya ini:

log a (.....) = log a (.....)

Dalam tanda kurung, di mana elipsis dapat menjadi ekspresi apapun. Sederhana, super kompleks, apa pun. Apa pun. Yang penting adalah setelah menghilangkan logaritma, kita akan mendapatkan persamaan yang lebih sederhana. Diasumsikan, tentu saja, bahwa Anda sudah tahu cara menyelesaikan persamaan linier, kuadrat, pecahan, eksponensial, dan lainnya tanpa logaritma.)

Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan contoh kedua:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Sebenarnya, itu ada di pikiran. Kami mempotensiasi, kami mendapatkan:

Nah, apakah itu sangat sulit?) Seperti yang Anda lihat, logaritma bagian dari solusi persamaan tersebut adalah hanya dalam eliminasi logaritma... Dan kemudian muncul solusi dari persamaan yang tersisa tanpa mereka. Bisnis sampah.

Kami memecahkan contoh ketiga:

log 7 (50x-1) = 2

Kami melihat bahwa logaritma ada di sebelah kiri:

Kita ingat bahwa logaritma ini adalah sejumlah bilangan yang basisnya (yaitu tujuh) harus dinaikkan untuk mendapatkan ekspresi sublogaritmik, yaitu. (50x-1).

Tapi angka itu adalah dua! Menurut persamaan. Itu adalah:

Itu, pada dasarnya, adalah semua. Logaritma lenyap persamaan tidak berbahaya tetap:

Kami telah memecahkan persamaan logaritma ini hanya berdasarkan arti dari logaritma. Apakah lebih mudah untuk menghilangkan logaritma?) Saya setuju. Omong-omong, jika Anda membuat logaritma dari dua, Anda dapat menyelesaikan contoh ini melalui likuidasi. Anda dapat mengambil logaritma dari nomor berapa pun. Dan seperti yang kita butuhkan. Teknik yang sangat berguna dalam memecahkan persamaan logaritmik dan (terutama!) ketidaksetaraan.

Apakah Anda tahu cara membuat logaritma dari angka!? Tidak apa-apa. Bagian 555 menjelaskan teknik ini secara rinci. Anda dapat menguasai dan menerapkannya secara maksimal! Ini sangat mengurangi jumlah kesalahan.

Persamaan keempat diselesaikan dengan cara yang persis sama (menurut definisi):

Itu saja.

Mari kita simpulkan pelajaran ini. Kami mempertimbangkan solusi persamaan logaritmik paling sederhana menggunakan contoh. Ini sangat penting. Dan bukan hanya karena persamaan seperti itu ada di ujian kontrol. Faktanya adalah bahwa bahkan persamaan yang paling jahat dan membingungkan pun harus direduksi menjadi yang paling sederhana!

Sebenarnya, persamaan paling sederhana adalah bagian akhir dari solusi setiap persamaan. Dan bagian finishing ini harus dipahami secara ironis! Dan selanjutnya. Pastikan untuk membaca halaman ini sampai akhir. Ada kejutan...

Mari kita putuskan sendiri. Kami mengisi tangan, sehingga untuk berbicara ...)

Temukan akar (atau jumlah akar, jika ada beberapa) persamaan:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Jawaban (tentu saja kacau): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Apa yang tidak berhasil? Itu terjadi. Jangan bersedih! Pada bagian 555, solusi untuk semua contoh ini dijelaskan dengan jelas dan rinci. Anda pasti akan menemukannya di sana. Selain itu, Anda akan mempelajari teknik praktis yang berguna.

Semuanya berhasil!? Semua contoh "satu kiri"?) Selamat!

Sudah waktunya untuk mengungkapkan kebenaran pahit kepada Anda. Solusi yang berhasil dari contoh-contoh ini sama sekali tidak menjamin keberhasilan dalam menyelesaikan semua persamaan logaritmik lainnya. Bahkan yang sederhana seperti ini. Sayang.

Intinya adalah bahwa solusi dari setiap persamaan logaritmik (bahkan yang paling dasar!) terdiri dari dua bagian yang sama. Solusi persamaan, dan bekerja dengan ODZ. Satu bagian - solusi dari persamaan itu sendiri - telah kami kuasai. Tidak sesulit itu Baik?

Untuk pelajaran ini, saya secara khusus memilih contoh di mana ODZ tidak memengaruhi jawaban dengan cara apa pun. Tapi tidak semua orang sebaik saya, kan?...)

Oleh karena itu, perlu untuk menguasai bagian lainnya juga. ODZ. Ini adalah masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritmik. Dan bukan karena sulit - bagian ini bahkan lebih mudah daripada yang pertama. Tapi karena mereka melupakan ODZ begitu saja. Atau mereka tidak tahu. Atau keduanya). Dan mereka jatuh datar...

Dalam pelajaran berikutnya, kita akan menangani masalah ini. Maka akan mungkin untuk memutuskan dengan percaya diri setiap persamaan logaritmik sederhana dan mendekati tugas-tugas yang cukup padat.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Banyak siswa terjebak pada persamaan semacam ini. Pada saat yang sama, tugas itu sendiri sama sekali tidak rumit - cukup hanya dengan melakukan substitusi variabel yang kompeten, di mana Anda harus belajar cara mengisolasi ekspresi stabil.

Selain pelajaran ini, Anda akan menemukan pekerjaan mandiri yang cukup banyak, yang terdiri dari dua opsi untuk masing-masing 6 tugas.

Metode pengelompokan

Hari ini kita akan menganalisis dua persamaan logaritmik, salah satunya tidak dapat diselesaikan "seluruhnya" dan memerlukan transformasi khusus, dan yang kedua ... namun, saya tidak akan menceritakan semuanya sekaligus. Tonton videonya, unduh pekerjaan mandiri - dan pelajari cara memecahkan masalah yang rumit.

Jadi, pengelompokkan dan keluarkan faktor persekutuan dari kurung. Selain itu, saya akan memberi tahu Anda apa jebakan yang dibawa oleh domain definisi logaritma, dan bagaimana komentar kecil pada domain definisi dapat mengubah akar dan keseluruhan solusi secara signifikan.

Mari kita mulai dengan pengelompokan. Kita perlu menyelesaikan persamaan logaritma berikut:

log 2 x log 2 (x 3) + 1 = log 2 (x 2 3x )

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa x 2 3x dapat difaktorkan:

log 2 x (x 3)

Kemudian kita ingat formula yang luar biasa:

log a fg = log a f + log a g

Segera sebuah catatan kecil: rumus ini bekerja dengan baik ketika a, f dan g adalah bilangan biasa. Tetapi ketika ada fungsi alih-alih mereka, ekspresi ini tidak lagi memiliki hak yang sama. Bayangkan situasi hipotetis ini:

f< 0; g < 0

Dalam hal ini, produk fg akan positif, oleh karena itu, log a ( fg ) akan ada, tetapi log a f dan log a g tidak akan ada secara terpisah, dan kami tidak akan dapat melakukan transformasi seperti itu.

Mengabaikan fakta ini akan menyebabkan penyempitan domain definisi dan, sebagai akibatnya, hilangnya akar. Oleh karena itu, sebelum melakukan transformasi tersebut, perlu dipastikan terlebih dahulu bahwa fungsi f dan g adalah positif.

Dalam kasus kami, semuanya sederhana. Karena ada fungsi log 2 x dalam persamaan asli, maka x > 0 (bagaimanapun juga, variabel x ada dalam argumen). Ada juga log 2 (x 3), jadi x 3 > 0.

Oleh karena itu, dalam log fungsi 2 x (x 3) setiap faktor akan lebih besar dari nol. Oleh karena itu, kita dapat dengan aman menguraikan produk menjadi jumlah:

log 2 x log 2 (x 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x 3)

log 2 x log 2 (x 3) + 1 log 2 x log 2 (x 3) = 0

Pada pandangan pertama, tampaknya tidak menjadi lebih mudah. Sebaliknya: jumlah istilah hanya meningkat! Untuk memahami bagaimana melangkah lebih jauh, kami memperkenalkan variabel baru:

log 2 x = a

log 2 (x 3) = b

a b + 1 a b = 0

Dan sekarang kita kelompokkan suku ketiga dengan yang pertama:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Perhatikan bahwa kurung pertama dan kedua berisi b 1 (dalam kasus kedua, Anda harus menghilangkan "minus" dari kurung). Mari kita faktorkan konstruksi kita:

a (1 b 1) (b 1) = 0

(b 1)(a 1 1) = 0

Dan sekarang kita ingat aturan indah kita: hasil kali sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol:

b 1 = 0 b = 1;

a 1 = 0 a = 1.

Mari kita ingat apa b dan a. Kami mendapatkan dua persamaan logaritma sederhana di mana yang tersisa hanyalah menghilangkan tanda-tanda log dan menyamakan argumennya:

log 2 x = 1 log 2 x = log 2 2 x 1 =2;

log 2 (x 3) = 1 log 2 (x 3) = log 2 2 x 2 = 5

Kami mendapat dua akar, tetapi ini bukan solusi untuk persamaan logaritmik asli, tetapi hanya kandidat untuk jawabannya. Sekarang mari kita periksa domainnya. Untuk argumen pertama:

x > 0

Kedua akar memenuhi persyaratan pertama. Mari kita beralih ke argumen kedua:

x 3 > 0 x > 3

Tapi di sini sudah x = 2 tidak memuaskan kita, tetapi x = 5 cukup cocok untuk kita. Oleh karena itu, satu-satunya jawaban adalah x = 5.

Kami lolos ke persamaan logaritmik kedua. Pada pandangan pertama, ini jauh lebih sederhana. Namun, dalam proses penyelesaiannya, kami akan mempertimbangkan poin-poin halus yang terkait dengan domain definisi, ketidaktahuan yang secara signifikan memperumit kehidupan siswa pemula.

log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)

Di depan kita adalah bentuk kanonik dari persamaan logaritmik. Anda tidak perlu mengonversi apa pun - bahkan basisnya sama. Oleh karena itu, kami hanya menyamakan argumen:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Sebelum kita adalah persamaan kuadrat yang diberikan, itu mudah diselesaikan menggunakan rumus Vieta:

(x 5) (x + 1) = 0;

x 5 = 0 x = 5;

x + 1 = 0 x = 1.

Tetapi akar-akar ini belum merupakan jawaban yang pasti. Perlu untuk menemukan domain definisi, karena ada dua logaritma dalam persamaan asli, yaitu. sangat perlu untuk mempertimbangkan domain definisi.

Jadi, mari kita tuliskan domain definisi. Di satu sisi, argumen logaritma pertama harus lebih besar dari nol:

x 2 6x + 2 > 0

Di sisi lain, argumen kedua juga harus lebih besar dari nol:

7 2x > 0

Persyaratan ini harus dipenuhi pada saat yang bersamaan. Dan di sini yang paling menarik dimulai. Tentu saja, kita dapat menyelesaikan setiap pertidaksamaan ini, lalu memotongnya dan menemukan domain dari seluruh persamaan. Tapi mengapa membuat hidup begitu sulit untuk diri sendiri?

Mari kita perhatikan satu kehalusan. Menyingkirkan tanda log, kami menyamakan argumen. Ini menyiratkan bahwa persyaratan x 2 6x + 2 > 0 dan 7 2x > 0 adalah ekuivalen. Akibatnya, salah satu dari dua pertidaksamaan dapat dicoret. Mari kita coret yang paling sulit, dan tinggalkan ketidaksetaraan linier yang biasa untuk diri kita sendiri:

-2x > -7

x< 3,5

Karena kita membagi kedua ruas dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan telah berubah.

Jadi, kami telah menemukan ODZ tanpa pertidaksamaan kuadrat, diskriminan, dan perpotongan. Sekarang tinggal memilih akar yang terletak pada interval ini. Jelas, hanya x = 1 yang cocok untuk kita, karena x = 5 > 3,5.

Anda dapat menuliskan jawabannya: x = 1 adalah satu-satunya solusi untuk persamaan logaritma asli.

Kesimpulan dari persamaan logaritma ini adalah sebagai berikut:

1. Jangan takut untuk memfaktorkan logaritma, lalu memfaktorkan jumlah logaritmanya. Namun, ingat bahwa dengan memecah produk menjadi jumlah dari dua logaritma, Anda mempersempit domain definisi. Oleh karena itu, sebelum melakukan konversi seperti itu, pastikan untuk memeriksa apa persyaratan ruang lingkupnya. Paling sering, tidak ada masalah yang muncul, tetapi tidak ada salahnya untuk bermain aman sekali lagi.
2. Saat menyingkirkan bentuk kanonik, cobalah untuk mengoptimalkan perhitungan. Khususnya, jika kita diminta bahwa f > 0 dan g > 0, tetapi dalam persamaan itu sendiri f = g , maka kita dengan berani mencoret salah satu pertidaksamaan, hanya menyisakan pertidaksamaan yang paling sederhana untuk kita sendiri. Dalam hal ini, domain definisi dan jawaban tidak akan terpengaruh dengan cara apa pun, tetapi jumlah perhitungan akan berkurang secara signifikan.

Sebenarnya, hanya itu yang ingin saya ceritakan tentang pengelompokan ini. :)

Kesalahan umum dalam penyelesaian

Hari ini kita akan menganalisis dua persamaan logaritma tipikal yang banyak siswa temukan. Pada contoh persamaan ini, kita akan melihat kesalahan apa yang paling sering dilakukan dalam proses penyelesaian dan transformasi ekspresi aslinya.

Persamaan pecahan-rasional dengan logaritma

Harus segera dicatat bahwa ini adalah jenis persamaan yang agak berbahaya, di mana pecahan dengan logaritma di suatu tempat di penyebut tidak selalu langsung ada. Namun, dalam proses transformasi, fraksi seperti itu pasti akan muncul.

Pada saat yang sama, berhati-hatilah: dalam proses transformasi, domain awal definisi logaritma dapat berubah secara signifikan!

Kami beralih ke persamaan logaritma yang lebih kaku yang mengandung pecahan dan basis variabel. Untuk melakukan lebih banyak dalam satu pelajaran singkat, saya tidak akan menceritakan teori dasar. Langsung saja ke tugas-tugasnya:

4 log 25 (x 1) log 3 27 + 2 log x 1 5 = 1

Melihat persamaan ini, seseorang akan bertanya: “Apa hubungannya persamaan rasional pecahan dengan itu? Di mana pecahan dalam persamaan ini? Mari kita tidak terburu-buru dan melihat lebih dekat setiap istilah.

Suku pertama: 4 log 25 (x 1). Basis logaritma adalah angka, tetapi argumennya adalah fungsi dari x . Kami belum bisa berbuat apa-apa. Pindah.

Suku berikutnya adalah log 3 27. Ingatlah bahwa 27 = 3 3 . Oleh karena itu, kita dapat menulis ulang seluruh logaritma sebagai berikut:

log 3 27 = 3 3 = 3

Jadi suku kedua hanya tiga. Suku ketiga: 2 log x 1 5. Di sini juga tidak semuanya sederhana: basis adalah fungsi, argumennya adalah bilangan biasa. Saya mengusulkan untuk membalik seluruh logaritma sesuai dengan rumus berikut:

log a b = 1/log b a

Transformasi seperti itu hanya dapat dilakukan jika b 1. Jika tidak, logaritma yang akan diperoleh pada penyebut pecahan kedua tidak akan ada. Dalam kasus kami, b = 5, jadi semuanya baik-baik saja:

2 log x 1 5 = 2/log 5 (x 1)

Mari kita tulis ulang persamaan asli dengan mempertimbangkan transformasi yang diperoleh:

4 log 25 (x 1) 3 + 2/ log 5 (x 1) = 1

Kami memiliki log 5 (x 1) pada penyebut pecahan, dan log 25 (x 1) pada suku pertama. Tapi 25 \u003d 5 2, jadi kami mengambil kotak dari dasar logaritma sesuai dengan aturan:

Dengan kata lain, eksponen di dasar logaritma menjadi pecahan di depan. Dan ekspresinya akan ditulis ulang seperti ini:

4 1/2 log 5 (x 1) 3 + 2/ log 5 (x 1) 1 = 0

Kami berakhir dengan persamaan panjang dengan sekelompok logaritma identik. Mari kita perkenalkan variabel baru:

log 5 (x 1) = t;

2t 4 + 2/t = 0;

Tapi ini sudah merupakan persamaan pecahan-rasional, yang diselesaikan dengan aljabar tingkat 8-9. Pertama, mari kita bagi menjadi dua:

t 2 + 1/t = 0;

(t 2 2t + 1)/t = 0

Kuadrat yang tepat ada dalam tanda kurung. Mari kita gulung:

(t 1) 2 /t = 0

Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol. Jangan pernah melupakan fakta ini:

(t 1) 2 = 0

t=1

t 0

Mari kita ingat apa itu t:

log 5 (x 1) = 1

log 5 (x 1) = log 5 5

Kami menyingkirkan tanda-tanda log, menyamakan argumen mereka, dan kami mendapatkan:

x 1 = 5 x = 6

Semua. Masalah terpecahkan. Tapi mari kembali ke persamaan awal dan ingat bahwa ada dua logaritma dengan variabel x sekaligus. Oleh karena itu, Anda perlu menuliskan domain definisi. Karena x 1 ada dalam argumen logaritma, ekspresi ini harus lebih besar dari nol:

x 1 > 0

Di sisi lain, x 1 yang sama juga ada di pangkalan, sehingga harus berbeda dari satu:

x 1 1

Oleh karena itu kami menyimpulkan:

x > 1; x 2

Persyaratan ini harus dipenuhi pada saat yang bersamaan. Nilai x = 6 memenuhi kedua persyaratan, jadi x = 6 adalah solusi akhir dari persamaan logaritmik.

Mari kita beralih ke tugas kedua:

Sekali lagi, jangan terburu-buru dan lihat setiap istilah:

log 4 (x + 1) - ada empat di pangkalan. Nomor biasa, dan Anda tidak bisa menyentuhnya. Tapi terakhir kali kami menemukan persegi yang tepat di pangkalan, yang harus diambil dari bawah tanda logaritma. Mari kita lakukan hal yang sama sekarang:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Triknya adalah kita sudah memiliki logaritma dengan variabel x , meskipun dalam basis - ini adalah kebalikan dari logaritma yang baru saja kita temukan:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Suku berikutnya adalah log 2 8. Ini adalah konstanta, karena argumen dan basisnya adalah bilangan biasa. Mari kita cari nilainya:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Kita dapat melakukan hal yang sama dengan logaritma terakhir:

Sekarang mari kita tulis ulang persamaan aslinya:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) 3 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) 4 = 0

Mari kita bawa semuanya ke penyebut yang sama:

Di depan kita ada lagi persamaan fraksional-rasional. Mari kita perkenalkan variabel baru:

t = log 2 (x + 1)

Mari kita tulis ulang persamaan dengan mempertimbangkan variabel baru:

Hati-hati: pada langkah ini, saya menukar persyaratan. Pembilang pecahan adalah kuadrat selisihnya:

Seperti terakhir kali, pecahan adalah nol ketika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol:

(t 4) 2 = 0 t = 4;

t 0

Kami mendapatkan satu root yang memenuhi semua persyaratan, jadi kami kembali ke variabel x:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

Itu dia, kami telah memecahkan persamaan. Tetapi karena ada beberapa logaritma dalam persamaan asli, maka domain definisi perlu ditulis.

Jadi, ekspresi x + 1 ada dalam argumen logaritma. Oleh karena itu, x + 1 > 0. Di sisi lain, x + 1 juga ada di basis, yaitu. x + 1 1. Jumlah:

0 x > 1

Apakah root yang ditemukan memenuhi persyaratan ini? Niscaya. Oleh karena itu, x = 15 adalah solusi dari persamaan logaritma asli.

Akhirnya, saya ingin mengatakan yang berikut: jika Anda melihat persamaan dan memahami bahwa Anda harus menyelesaikan sesuatu yang kompleks dan tidak standar, cobalah untuk menyoroti struktur yang stabil, yang nantinya akan dilambangkan dengan variabel lain. Jika beberapa suku tidak mengandung variabel x sama sekali, mereka seringkali dapat dihitung secara sederhana.

Itu saja yang ingin saya bicarakan hari ini. Saya harap pelajaran ini akan membantu Anda dalam memecahkan persamaan logaritma kompleks. Tonton video tutorial lainnya, unduh dan selesaikan pekerjaan mandiri, dan sampai jumpa di video berikutnya!

Dalam pelajaran ini, kita akan mengulangi fakta teoritis dasar tentang logaritma dan mempertimbangkan solusi dari persamaan logaritma yang paling sederhana.

Ingat definisi pusat - definisi logaritma. Dihubungkan dengan solusi persamaan eksponensial. Persamaan ini memiliki akar tunggal, itu disebut logaritma dari b ke basis a:

Definisi:

Logaritma dari bilangan b ke basis a adalah pangkat dari mana basis a harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan b.

Mengingat identitas logaritma dasar.

Ekspresi (ekspresi 1) adalah akar dari persamaan (ekspresi 2). Kami mengganti nilai x dari ekspresi 1 alih-alih x dalam ekspresi 2 dan kami mendapatkan identitas logaritmik dasar:

Jadi kita melihat bahwa setiap nilai diberi nilai. Kami menyatakan b untuk x (), c untuk y, dan dengan demikian kami mendapatkan fungsi logaritmik:

Sebagai contoh:

Ingat sifat dasar fungsi logaritma.

Mari kita perhatikan sekali lagi, di sini, karena di bawah logaritma bisa ada ekspresi positif, sebagai basis logaritma.

Beras. 1. Grafik fungsi logaritma untuk berbagai basis

Grafik fungsi di ditampilkan dalam warna hitam. Beras. 1. Jika argumen meningkat dari nol hingga tak terhingga, fungsi meningkat dari minus ke plus tak terhingga.

Grafik fungsi di ditunjukkan dengan warna merah. Beras. satu.

Properti dari fungsi ini:

Domain: ;

Jarak nilai: ;

Fungsinya monoton di seluruh domain definisinya. Ketika monoton (ketat) meningkat, nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar. Ketika monoton (ketat) menurun, nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Sifat-sifat fungsi logaritma adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai persamaan logaritma.

Pertimbangkan persamaan logaritmik paling sederhana; semua persamaan logaritmik lainnya, sebagai aturan, direduksi menjadi bentuk ini.

Karena basis logaritma dan logaritma itu sendiri sama, fungsi di bawah logaritma juga sama, tetapi kita tidak boleh kehilangan ruang lingkup. Hanya bilangan positif yang dapat berdiri di bawah logaritma, kita memiliki:

Kami menemukan bahwa fungsi f dan g sama, jadi cukup memilih salah satu pertidaksamaan untuk memenuhi ODZ.

Jadi, kami mendapatkan sistem campuran di mana ada persamaan dan ketidaksetaraan:

Pertidaksamaan, sebagai suatu peraturan, tidak perlu dipecahkan, cukup dengan menyelesaikan persamaan dan mengganti akar yang ditemukan ke dalam ketidaksetaraan, sehingga melakukan pemeriksaan.

Mari kita merumuskan metode untuk memecahkan persamaan logaritma paling sederhana:

Menyamakan basis logaritma;

Menyamakan fungsi sublogaritma;

Jalankan cek.

Mari kita pertimbangkan contoh spesifik.

Contoh 1 - selesaikan persamaan:

Basis logaritma awalnya sama;

Contoh 2 - selesaikan persamaan:

Persamaan ini berbeda dari yang sebelumnya dalam hal basis logaritma kurang dari satu, tetapi ini tidak mempengaruhi solusi dengan cara apa pun:

Mari kita cari akarnya dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

Kami mendapatkan ketidaksetaraan yang salah, yang berarti bahwa akar yang ditemukan tidak memenuhi ODZ.

Contoh 3 - selesaikan persamaan:

Basis logaritma awalnya sama;

Mari kita cari akarnya dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

Jelas, hanya root pertama yang memenuhi ODZ.

Persamaan logaritma sebuah persamaan disebut di mana yang tidak diketahui (x) dan ekspresi dengannya berada di bawah tanda fungsi logaritmik. Memecahkan persamaan logaritmik mengasumsikan bahwa Anda sudah akrab dengan dan .
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma?

Persamaan yang paling sederhana adalah log a x = b, di mana a dan b adalah beberapa bilangan, x tidak diketahui.
Memecahkan persamaan logaritmik adalah x = a b asalkan: a > 0, a 1.

Perlu dicatat bahwa jika x berada di suatu tempat di luar logaritma, misalnya log 2 x \u003d x-2, maka persamaan seperti itu sudah disebut campuran dan diperlukan pendekatan khusus untuk menyelesaikannya.

Kasus yang ideal adalah ketika Anda menemukan persamaan di mana hanya angka yang berada di bawah tanda logaritma, misalnya x + 2 \u003d log 2 2. Di sini cukup untuk mengetahui sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikannya. Tapi keberuntungan semacam itu tidak sering terjadi, jadi bersiaplah untuk hal-hal yang lebih sulit.

Tapi pertama-tama, mari kita mulai dengan persamaan sederhana. Untuk menyelesaikannya, diinginkan untuk memiliki gagasan paling umum tentang logaritma.

Memecahkan persamaan logaritma sederhana

Ini termasuk persamaan seperti log 2 x \u003d log 2 16. Dapat dilihat dengan mata telanjang bahwa dengan menghilangkan tanda logaritma kita mendapatkan x \u003d 16.

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang lebih kompleks, biasanya diarahkan ke solusi persamaan aljabar biasa atau ke solusi persamaan logaritmik paling sederhana log a x = b. Dalam persamaan paling sederhana, ini terjadi dalam satu gerakan, itulah sebabnya mereka disebut yang paling sederhana.

Metode penurunan logaritma di atas adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Dalam matematika, operasi ini disebut potensiasi. Ada aturan atau batasan tertentu untuk jenis operasi ini:

• logaritma memiliki basis numerik yang sama
• logaritma di kedua bagian persamaan adalah bebas, yaitu tanpa koefisien dan berbagai macam ekspresi lainnya.

Katakanlah dalam persamaan log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), potensiasi tidak berlaku - koefisien 2 di sebelah kanan tidak memungkinkan. Dalam contoh berikut, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) salah satu batasan juga tidak terpenuhi - ada dua logaritma di sebelah kiri. Itu akan menjadi satu - masalah yang sama sekali berbeda!

Secara umum, Anda dapat menghapus logaritma hanya jika persamaan memiliki bentuk:

log a(...) = log a(...)

Benar-benar ekspresi apa pun dapat berada dalam tanda kurung, ini sama sekali tidak memengaruhi operasi potensiasi. Dan setelah penghapusan logaritma, persamaan yang lebih sederhana akan tetap ada - linier, kuadrat, eksponensial, dll., yang saya harap Anda sudah tahu cara menyelesaikannya.

Mari kita ambil contoh lain:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Menerapkan potensiasi, kita mendapatkan:

log 3 (2x-1) = 2

Berdasarkan definisi logaritma, yaitu bahwa logaritma adalah bilangan yang harus dipangkatkan basisnya untuk memperoleh suatu ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma, yaitu (4x-1), kita peroleh:

Sekali lagi, kami mendapat jawaban yang bagus. Di sini kita melakukannya tanpa eliminasi logaritma, tetapi potensiasi juga berlaku di sini, karena logaritma dapat dibuat dari bilangan berapa pun, dan persis dengan bilangan yang kita butuhkan. Metode ini sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan khususnya pertidaksamaan.

Mari kita selesaikan persamaan logaritmik kita log 3 (2x-1) = 2 menggunakan potensiasi:

Mari kita nyatakan angka 2 sebagai logaritma, misalnya log 3 9, karena 3 2 =9.

Kemudian log 3 (2x-1) = log 3 9 dan lagi kita mendapatkan persamaan yang sama 2x-1 = 9. Saya harap semuanya jelas.

Jadi kami melihat bagaimana menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, yang sebenarnya sangat penting, karena solusi persamaan logaritma, bahkan yang paling mengerikan dan terpelintir, pada akhirnya selalu bermuara pada penyelesaian persamaan yang paling sederhana.

Dalam semua yang telah kita lakukan di atas, kita telah mengabaikan satu hal yang sangat penting, yang akan memainkan peran yang menentukan di masa depan. Faktanya adalah bahwa solusi dari setiap persamaan logaritmik, bahkan yang paling dasar, terdiri dari dua bagian yang setara. Yang pertama adalah solusi dari persamaan itu sendiri, yang kedua adalah bekerja dengan luas nilai yang dapat diterima (ODV). Itu baru bagian pertama yang kita kuasai. Dalam contoh di atas, ODD sama sekali tidak memengaruhi jawaban, jadi kami tidak mempertimbangkannya.

Mari kita ambil contoh lain:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Secara lahiriah, persamaan ini tidak berbeda dengan persamaan dasar, yang sangat berhasil dipecahkan. Tapi tidak demikian. Tidak, tentu saja kami akan menyelesaikannya, tetapi kemungkinan besar itu akan salah, karena ada penyergapan kecil di dalamnya, di mana siswa C dan siswa kehormatan langsung jatuh ke dalamnya. Mari kita lihat lebih dekat.

Misalkan Anda perlu mencari akar persamaan atau jumlah akar, jika ada beberapa:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Kami menerapkan potensiasi, di sini diperbolehkan. Akibatnya, kita mendapatkan persamaan kuadrat biasa.

Kami menemukan akar persamaan:

Ada dua akar.

Jawaban: 3 dan -1

Sekilas, semuanya benar. Tapi mari kita periksa hasilnya dan substitusikan ke persamaan aslinya.

Mari kita mulai dengan x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Pengecekan berhasil, sekarang antrian x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Ya, berhenti! Secara eksternal, semuanya sempurna. Satu saat - tidak ada logaritma dari angka negatif! Dan ini berarti bahwa akar x \u003d -1 tidak cocok untuk menyelesaikan persamaan kita. Dan karena itu jawaban yang benar adalah 3, bukan 2, seperti yang kami tulis.

Di sinilah ODZ memainkan peran fatalnya, yang kami lupakan.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa di bawah area nilai yang dapat diterima, nilai x seperti itu diterima yang diizinkan atau masuk akal untuk contoh aslinya.

Tanpa ODZ, solusi apa pun, bahkan solusi yang benar-benar tepat, dari persamaan apa pun berubah menjadi lotre - 50/50.

Bagaimana kita bisa tertangkap saat memecahkan contoh yang tampaknya mendasar? Dan inilah saat potensiasi. Logaritma hilang, dan dengan mereka semua keterbatasan.

Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Menolak untuk menghilangkan logaritma? Dan sepenuhnya mengabaikan solusi persamaan ini?

Tidak, kami hanya, seperti pahlawan sejati dari satu lagu terkenal, akan berkeliling!

Sebelum melanjutkan dengan solusi persamaan logaritmik, kita akan menuliskan ODZ-nya. Tetapi setelah itu, Anda dapat melakukan apa pun yang diinginkan hati Anda dengan persamaan kami. Setelah menerima jawabannya, kami hanya membuang akar-akar yang tidak termasuk dalam ODZ kami, dan menuliskan versi finalnya.

Sekarang mari kita putuskan bagaimana menulis ODZ. Untuk melakukan ini, kami dengan hati-hati memeriksa persamaan asli dan mencari tempat yang mencurigakan di dalamnya, seperti pembagian dengan x, akar derajat genap, dll. Sampai kita menyelesaikan persamaan, kita tidak tahu apa x sama dengan, tetapi kita tahu pasti bahwa x seperti itu, yang, ketika disubstitusikan, akan memberikan pembagian dengan 0 atau ekstraksi akar kuadrat dari bilangan negatif, adalah jelas tidak cocok untuk jawabannya. Oleh karena itu, x tersebut tidak dapat diterima, sedangkan sisanya merupakan ODZ.

Mari kita gunakan persamaan yang sama lagi:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Seperti yang Anda lihat, tidak ada pembagian dengan 0, tidak ada akar kuadrat juga, tetapi ada ekspresi dengan x di badan logaritma. Kami segera mengingat bahwa ekspresi di dalam logaritma harus selalu > 0. Kondisi ini ditulis dalam bentuk ODZ:

Itu. kami belum menyelesaikan apa pun, tetapi kami telah menuliskan kondisi wajib untuk seluruh ekspresi sublogaritmik. Tanda kurung kurawal berarti bahwa kondisi ini harus dipenuhi pada saat yang bersamaan.

ODZ ditulis, tetapi juga diperlukan untuk menyelesaikan sistem ketidaksetaraan yang dihasilkan, yang akan kita lakukan. Kami mendapatkan jawaban x > v3. Sekarang kita tahu pasti x mana yang tidak cocok untuk kita. Dan kemudian kita mulai memecahkan persamaan logaritmik itu sendiri, yang kita lakukan di atas.

Setelah menerima jawaban x 1 \u003d 3 dan x 2 \u003d -1, mudah untuk melihat bahwa hanya x1 \u003d 3 yang cocok untuk kami, dan kami menuliskannya sebagai jawaban akhir.

Untuk masa depan, sangat penting untuk mengingat hal berikut: kami memecahkan persamaan logaritmik dalam 2 tahap. Yang pertama - kami memecahkan persamaan itu sendiri, yang kedua - kami memecahkan kondisi ODZ. Kedua tahap dilakukan secara independen satu sama lain dan hanya dibandingkan saat menulis jawabannya, mis. kami membuang semua yang tidak perlu dan menuliskan jawaban yang benar.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami sangat menyarankan menonton video:

Dalam video, contoh lain dari penyelesaian log. persamaan dan bekerja di luar metode interval dalam praktek.

Untuk hal ini, cara menyelesaikan persamaan logaritma sampai semuanya. Jika sesuatu sesuai dengan keputusan log. persamaan tetap tidak jelas atau tidak dapat dipahami, tulis pertanyaan Anda di komentar.

Catatan: Akademi Pendidikan Sosial (KSUE) siap menerima siswa baru.

Contoh:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Cara menyelesaikan persamaan logaritma:

Saat menyelesaikan persamaan logaritmik, Anda harus berusaha mengubahnya ke bentuk \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), lalu membuat transisi ke \(f( x)=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Contoh:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Larutan: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Penyelidikan:\(10>2\) - cocok untuk ODZ Menjawab:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Sangat penting! Transisi ini hanya dapat dilakukan jika:

Anda menulis untuk persamaan asli, dan pada akhirnya memeriksa apakah persamaan yang ditemukan termasuk dalam DPV. Jika ini tidak dilakukan, akar tambahan mungkin muncul, yang berarti keputusan yang salah.

Angka (atau ekspresi) sama di kiri dan kanan;

Logaritma di kiri dan kanan adalah "murni", yaitu, tidak boleh ada, perkalian, pembagian, dll. - hanya logaritma tunggal di kedua sisi tanda sama dengan.

Sebagai contoh:

Perhatikan bahwa persamaan 3 dan 4 dapat diselesaikan dengan mudah dengan menerapkan sifat-sifat logaritma yang diinginkan.

Contoh . Selesaikan persamaan \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Larutan :

		Mari kita tulis ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Di sebelah kiri di depan logaritma adalah koefisien, di sebelah kanan adalah jumlah dari logaritma. Ini mengganggu kita. Mari kita pindahkan keduanya ke eksponen \(x\) dengan properti: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Kami mewakili jumlah logaritma sebagai logaritma tunggal dengan properti: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Kami mengurangi persamaan ke bentuk \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) dan menuliskan ODZ, yang berarti bahwa kami dapat membuat transisi ke bentuk \(f (x)=g(x)\ ).
		Telah terjadi . Kami menyelesaikannya dan mendapatkan akarnya.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Kami memeriksa apakah akarnya pas di bawah ODZ. Untuk melakukan ini, dalam \(x>0\) alih-alih \(x\) kami mengganti \(5\) dan \(-5\). Operasi ini dapat dilakukan secara lisan.
\(5>0\), \(-5>0\)		Pertidaksamaan pertama benar, yang kedua tidak. Jadi \(5\) adalah akar persamaan, tetapi \(-5\) bukan. Kami menuliskan jawabannya.

Menjawab : \(5\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Larutan :

		Mari kita tulis ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Sebuah persamaan khas diselesaikan dengan . Ganti \(\log_2⁡x\) dengan \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Diterima seperti biasa. Mencari akarnya.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Membuat substitusi terbalik
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Kami mengubah bagian kanan, mewakilinya sebagai logaritma: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) dan \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Sekarang persamaan kita adalah \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) dan kita dapat melompat ke \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Kami memeriksa korespondensi akar ODZ. Untuk melakukannya, alih-alih \(x\) kita substitusikan \(4\) dan \(2\) ke dalam pertidaksamaan \(x>0\).
\(4>0\) \(2>0\)		Kedua ketidaksetaraan itu benar. Jadi keduanya \(4\) dan \(2\) adalah akar dari persamaan.

Menjawab : \(4\); \(2\).