IV Yakovlev | Materi tentang matematika | MathUs.ru

Deret aritmatika

Deret aritmatika adalah jenis barisan yang khusus. Oleh karena itu, sebelum mendefinisikan barisan aritmatika (dan kemudian geometrik), kita perlu membahas secara singkat konsep penting barisan bilangan.

selanjutnya

Bayangkan sebuah perangkat di layar yang beberapa nomornya ditampilkan satu demi satu. Katakanlah 2; 7; 13; satu; 6; 0; 3; : : : Himpunan bilangan tersebut hanyalah contoh barisan.

Definisi. Barisan numerik adalah sekumpulan angka di mana setiap angka dapat diberi nomor unik (yaitu, berkorespondensi dengan satu bilangan asli)1. Bilangan dengan bilangan n disebut anggota ke-n dari barisan tersebut.

Jadi, dalam contoh di atas, angka pertama memiliki angka 2, yang merupakan anggota pertama dari barisan, yang dapat dilambangkan dengan a1 ; nomor lima memiliki nomor 6 yang merupakan anggota kelima dari urutan, yang dapat dilambangkan a5 . Secara umum, anggota ke-n dari suatu barisan dilambangkan dengan (atau bn , cn , dll.).

Situasi yang sangat nyaman adalah ketika anggota urutan ke-n dapat ditentukan oleh beberapa rumus. Misalnya, rumus an = 2n 3 menentukan urutannya: 1; satu; 3; 5; 7; : : : Rumus an = (1)n mendefinisikan barisan: 1; satu; satu; satu; : : :

Tidak setiap himpunan bilangan merupakan barisan. Jadi, segmen bukan urutan; itu berisi 'terlalu banyak' nomor untuk dinomori ulang. Himpunan R dari semua bilangan real juga bukan barisan. Fakta-fakta ini dibuktikan dalam proses analisis matematis.

Perkembangan aritmatika: definisi dasar

Sekarang kita siap untuk mendefinisikan deret aritmatika.

Definisi. Deret aritmatika adalah barisan di mana setiap suku (dimulai dari yang kedua) sama dengan jumlah dari suku sebelumnya dan beberapa bilangan tetap (disebut selisih dari barisan aritmatika).

Misalnya, urutan 2; 5; delapan; sebelas; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan selisih 3. Barisan 7; 2; 3; delapan; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 7 dan selisih 5. Barisan 3; 3; 3; : : : adalah barisan aritmatika dengan selisih nol.

Definisi Setara: Suatu barisan an disebut barisan aritmatika jika selisih an+1 an adalah konstanta (tidak bergantung pada n).

Suatu barisan aritmatika dikatakan naik jika selisihnya positif, dan menurun jika selisihnya negatif.

1 Dan berikut adalah definisi yang lebih ringkas: barisan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli. Misalnya, barisan bilangan real adalah fungsi f:N! R.

Secara default, urutan dianggap tak terbatas, yaitu, berisi jumlah angka yang tak terbatas. Tapi tidak ada yang peduli untuk mempertimbangkan urutan yang terbatas juga; sebenarnya, setiap himpunan bilangan berhingga dapat disebut barisan berhingga. Misalnya, urutan terakhir 1; 2; 3; empat; 5 terdiri dari lima angka.

Rumus anggota ke-n dari deret aritmatika

Sangat mudah untuk memahami bahwa deret aritmatika sepenuhnya ditentukan oleh dua angka: suku pertama dan selisihnya. Oleh karena itu, muncul pertanyaan: bagaimana, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, menemukan suku sembarang dari suatu deret aritmatika?

Tidak sulit untuk mendapatkan rumus yang diinginkan untuk suku ke-n dari suatu deret aritmatika. Biarkan

barisan aritmatika dengan selisih d. Kita punya:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Secara khusus, kami menulis:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
dan sekarang menjadi jelas bahwa rumus untuk an adalah:
an = a1 + (n 1)d:

Tugas 1. Dalam deret aritmatika 2; 5; delapan; sebelas; : : : temukan rumus suku ke-n dan hitung suku keseratusnya.

Larutan. Menurut rumus (1) kita memiliki:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Sifat dan tanda deret aritmatika

sifat-sifat deret aritmatika. Dalam deret aritmatika untuk sembarang

Dengan kata lain, setiap anggota barisan aritmatika (dimulai dari yang kedua) adalah rata-rata aritmatika dari anggota tetangga.

	Bukti. Kita punya:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

yang dibutuhkan.

Secara umum, deret aritmatika memenuhi persamaan

a n = a n k+ a n+k

untuk n > 2 dan k alami apa pun< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ternyata rumus (2) tidak hanya merupakan syarat perlu tetapi juga syarat yang cukup untuk suatu barisan menjadi barisan aritmatika.

Tanda barisan aritmatika. Jika persamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka barisan an adalah barisan aritmatika.

Bukti. Mari kita tulis ulang rumus (2) sebagai berikut:

a na n 1 = a n+1a n:

Hal ini menunjukkan bahwa selisih an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini hanya berarti bahwa barisan an merupakan barisan aritmatika.

Sifat dan tanda suatu deret aritmatika dapat dirumuskan sebagai satu pernyataan; untuk kenyamanan, kami akan melakukan ini untuk tiga angka (ini adalah situasi yang sering terjadi dalam masalah).

Karakterisasi barisan aritmatika. Tiga bilangan a, b, c membentuk barisan aritmatika jika dan hanya jika 2b = a + c.

Soal 2. (Universitas Negeri Moskow, Fakultas Ekonomi, 2007) Tiga bilangan 8x, 3 x2 dan 4 yang diurutkan membentuk barisan aritmatika menurun. Temukan x dan tulis perbedaan dari deret ini.

Larutan. Dengan properti dari deret aritmatika, kami memiliki:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Jika x = 1, maka diperoleh penurunan sebesar 8, 2, 4 dengan selisih 6. Jika x = 5, maka diperoleh peningkatan sebesar 40, 22, 4; kasus ini tidak berhasil.

Jawab: x = 1, selisihnya 6.

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

Legenda mengatakan bahwa suatu kali guru menyuruh anak-anak untuk menemukan jumlah angka dari 1 hingga 100 dan duduk untuk membaca koran dengan tenang. Namun, dalam beberapa menit, seorang anak laki-laki mengatakan bahwa dia telah memecahkan masalah tersebut. Itu adalah Carl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, yang kemudian menjadi salah satu matematikawan terbesar dalam sejarah.

Ide Little Gauss adalah ini. Membiarkan

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Mari kita tulis jumlah ini dalam urutan terbalik:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

dan tambahkan dua rumus ini:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Setiap suku di dalam kurung sama dengan 101, dan ada 100 suku secara total.Oleh karena itu

2S = 101 100 = 10100;

Kami menggunakan ide ini untuk mendapatkan rumus jumlah

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Modifikasi yang berguna dari rumus (3) diperoleh dengan mengganti rumus suku ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:

		2a1 + (n 1)d

Tugas 3. Temukan jumlah semua bilangan tiga digit positif yang habis dibagi 13.

Larutan. Bilangan tiga angka yang merupakan kelipatan 13 membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama 104 dan selisihnya 13; Suku ke-n dari barisan tersebut adalah:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Mari kita cari tahu berapa banyak anggota yang terkandung dalam progres kami. Untuk melakukan ini, kami memecahkan ketidaksetaraan:

sebuah 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Jadi ada 69 anggota dalam perkembangan kami. Menurut rumus (4) kami menemukan jumlah yang diperlukan:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Jika setiap bilangan asli n cocok dengan bilangan asli sebuah , lalu mereka mengatakan bahwa diberikan urutan nomor :

sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . , sebuah , . . . .

Jadi, barisan numerik adalah fungsi dari argumen alami.

Nomor sebuah 1 ditelepon anggota pertama dari urutan , nomor sebuah 2 — anggota kedua dari urutan , nomor sebuah 3 — ketiga dan seterusnya. Nomor sebuah ditelepon anggota urutan ke-n , dan bilangan asli n — nomornya .

Dari dua anggota tetangga sebuah dan sebuah +1 urutan anggota sebuah +1 ditelepon setelah (menuju sebuah ), sebuah sebuah — sebelumnya (menuju sebuah +1 ).

Untuk menentukan urutan, Anda harus menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota urutan dengan nomor apa pun.

Seringkali urutan diberikan dengan rumus suku ke-n , yaitu, rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota urutan berdasarkan nomornya.

Sebagai contoh,

barisan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus

sebuah= 2n- 1,

dan urutan bolak-balik 1 dan -1 - rumus

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutannya dapat ditentukan rumus berulang, yaitu, formula yang mengungkapkan setiap anggota dari urutan, dimulai dengan beberapa, melalui anggota sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

jika sebuah 1 = 1 , sebuah sebuah +1 = sebuah + 5

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = sebuah 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

sebuah 3 = sebuah 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

sebuah 4 = sebuah 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

sebuah 5 = sebuah 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika sebuah sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh anggota pertama dari urutan numerik ditetapkan sebagai berikut:

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = 1,

sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,

sebuah 4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,

sebuah 5 = sebuah 3 + sebuah 4 = 2 + 3 = 5,

sebuah 6 = sebuah 4 + sebuah 5 = 3 + 5 = 8,

sebuah 7 = sebuah 5 + sebuah 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan bisa terakhir dan tak berujung .

Urutannya disebut terakhir jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak berujung jika memiliki banyak anggota yang tak terhingga.

Sebagai contoh,

barisan bilangan asli dua angka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

terakhir.

Urutan bilangan prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tak berujung. ◄

Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih besar dari yang sebelumnya.

Urutannya disebut memudar , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih kecil dari yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . adalah urutan menaik;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . adalah barisan menurun. ◄

Barisan yang unsur-unsurnya tidak berkurang dengan bertambahnya jumlah, atau, sebaliknya, tidak bertambah, disebut urutan monoton .

Urutan monoton, khususnya, adalah urutan yang meningkat dan urutan yang menurun.

Deret aritmatika

Deret aritmatika urutan disebut, setiap anggota yang, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, yang ditambahkan nomor yang sama.

sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . , sebuah, . . .

adalah barisan aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli n kondisi terpenuhi:

sebuah +1 = sebuah + d,

di mana d - beberapa nomor.

Jadi, perbedaan antara anggota berikutnya dan anggota sebelumnya dari deret aritmatika yang diberikan selalu konstan:

sebuah 2 - sebuah 1 = sebuah 3 - sebuah 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = d.

Nomor d ditelepon perbedaan barisan aritmatika.

Untuk menentukan barisan aritmatika, cukup dengan menentukan suku pertama dan selisihnya.

Sebagai contoh,

jika sebuah 1 = 3, d = 4 , maka lima suku pertama barisan tersebut ditemukan sebagai berikut:

sebuah 1 =3,

sebuah 2 = sebuah 1 + d = 3 + 4 = 7,

sebuah 3 = sebuah 2 + d= 7 + 4 = 11,

sebuah 4 = sebuah 3 + d= 11 + 4 = 15,

sebuah 5 = sebuah 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama sebuah 1 dan perbedaan d dia n

sebuah = sebuah 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

tentukan suku ke tigapuluh suatu deret aritmatika

1, 4, 7, 10, . . .

sebuah 1 =1, d = 3,

30 = sebuah 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

sebuah n-1 = sebuah 1 + (n- 2)d,

sebuah= sebuah 1 + (n- 1)d,

sebuah +1 = sebuah 1 + dan,

maka jelas

sebuah=	a n-1 + a n+1
	2

setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.

Bilangan a, b dan c adalah anggota berurutan dari beberapa barisan aritmatika jika dan hanya jika salah satunya sama dengan rata-rata aritmatika dari dua lainnya.

Sebagai contoh,

sebuah = 2n- 7 , adalah barisan aritmatika.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

sebuah = 2n- 7,

sebuah n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Akibatnya,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = sebuah,
2		2

◄

Perhatikan bahwa n -Anggota deret aritmatika dapat ditemukan tidak hanya melalui sebuah 1 , tetapi juga sebelumnya sebuah k

sebuah = sebuah k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

untuk sebuah 5 dapat ditulis

sebuah 5 = sebuah 1 + 4d,

sebuah 5 = sebuah 2 + 3d,

sebuah 5 = sebuah 3 + 2d,

sebuah 5 = sebuah 4 + d. ◄

sebuah = sebuah n-k + kd,

sebuah = sebuah n+k - kd,

maka jelas

sebuah=	sebuah n-k + a n+k
	2

setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan setengah jumlah anggota deret aritmatika ini yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk setiap deret aritmatika, persamaannya adalah benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam deret aritmatika

1) sebuah 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (sebuah 9 + sebuah 11 )/2;

2) 28 = 10 = sebuah 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, karena

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a1+a2+a3+ . . .+ sebuah,

pertama n anggota deret aritmatika sama dengan hasil kali setengah jumlah suku ekstrem dengan jumlah suku:

Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa jika perlu untuk menjumlahkan persyaratan

sebuah k, sebuah k +1 , . . . , sebuah,

maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam deret aritmatika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika suatu deret aritmatika diberikan, maka besarannya sebuah 1 , sebuah, d, n danS n dihubungkan oleh dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus-rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Barisan aritmatika adalah barisan monoton. Di mana:

• jika d > 0 , maka meningkat;
• jika d < 0 , maka menurun;
• jika d = 0 , maka barisan tersebut akan stasioner.

Kemajuan geometris

deret geometri urutan disebut, setiap istilah yang, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, dikalikan dengan angka yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

adalah deret geometri jika untuk sembarang bilangan asli n kondisi terpenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - beberapa nomor.

Jadi, rasio suku berikutnya dari deret geometri ini dengan yang sebelumnya adalah bilangan konstan:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nomor q ditelepon penyebut barisan geometri.

Untuk menentukan barisan geometri, cukup tentukan suku pertama dan penyebutnya.

Sebagai contoh,

jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima suku pertama barisan tersebut ditemukan sebagai berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebut q dia n suku -th dapat ditemukan dengan rumus:

b n = b 1 · q n -1 .

Sebagai contoh,

tentukan suku ketujuh suatu deret geometri 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

maka jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap anggota deret geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata geometrik (proporsional) dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.

Karena kebalikannya juga benar, maka pernyataan berikut berlaku:

bilangan a, b dan c adalah anggota berurutan dari beberapa deret ukur jika dan hanya jika kuadrat salah satunya sama dengan produk dari dua lainnya, yaitu, salah satu angka adalah rata-rata geometrik dari dua lainnya.

Sebagai contoh,

mari kita buktikan bahwa urutan yang diberikan oleh rumus b n= -3 2 n , adalah barisan geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Akibatnya,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahwa n Suku ke deret geometri tidak hanya dapat ditemukan melalui b 1 , tetapi juga istilah sebelumnya b k , yang cukup untuk menggunakan rumus

b n = b k · q n - k.

Sebagai contoh,

untuk b 5 dapat ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

maka jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuadrat dari setiap anggota deret geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan produk dari anggota deret yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk setiap deret geometri, persamaannya benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ aku.

Sebagai contoh,

secara eksponensial

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , karena

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pertama n anggota barisan geometri dengan penyebut q ≠ 0 dihitung dengan rumus:

Dan kapan q = 1 - menurut rumus

S n= n.b. 1

Perhatikan bahwa jika kita perlu menjumlahkan suku-sukunya

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka rumus yang digunakan :

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Sebagai contoh,

secara eksponensial 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika deret geometri diberikan, maka besarannya b 1 , b n, q, n dan S n dihubungkan oleh dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus-rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Untuk barisan geometri dengan suku pertama b 1 dan penyebut q berikut terjadi sifat monoton :

• progresi meningkat jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

b 1 > 0 dan q> 1;

b 1 < 0 dan 0 < q< 1;

• Sebuah kemajuan menurun jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

b 1 > 0 dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 dan q> 1.

Jika sebuah q< 0 , maka deret geometrinya adalah bolak-balik tanda: suku-sukunya yang bernomor ganjil bertanda sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku bernomor genap bertanda berlawanan. Jelaslah bahwa barisan geometri bolak-balik tidak monoton.

Produk pertama n suku-suku suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Deret geometri menurun tanpa batas

Deret geometri menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak hingga yang modulus penyebutnya kurang dari 1 , itu adalah

|q| < 1 .

Perhatikan bahwa deret geometri menurun tak terhingga mungkin bukan deret menurun. Ini sesuai dengan kasusnya

1 < q< 0 .

Dengan penyebut seperti itu, barisannya adalah bolak-balik tanda. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah dari deret geometri yang semakin menurun sebutkan bilangan yang dijumlahkan dengan bilangan pertama n hal perkembangan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas n . Bilangan ini selalu berhingga dan dinyatakan dengan rumus

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Sebagai contoh,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan deret aritmatika dan deret geometri

Deret aritmatika dan geometri sangat erat hubungannya. Mari kita pertimbangkan dua contoh saja.

sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . d , kemudian

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Sebagai contoh,

1, 3, 5, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan 2 dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . adalah barisan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . adalah barisan geometri dengan penyebut q , kemudian

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan log aq .

Sebagai contoh,

2, 12, 72, . . . adalah barisan geometri dengan penyebut 6 dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan lg 6 . ◄

Deret aritmatika dan geometrik

Informasi teoretis

Informasi teoretis

	Deret aritmatika	Perkembangan geometris
Definisi	Deret aritmatika sebuah urutan disebut, setiap anggota yang, mulai dari yang kedua, sama dengan anggota sebelumnya, ditambah dengan nomor yang sama d (d- perbedaan perkembangan)	deret geometri b n disebut barisan bilangan bukan nol, setiap suku yang dimulai dari yang kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama q (q- penyebut kemajuan)
Rumus berulang	Untuk alam apa pun n a n + 1 = a n + d	Untuk alam apa pun n b n + 1 = b n q, b n 0
rumus suku ke-n	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 q n - 1, b n 0
properti karakteristik
Jumlah n suku pertama

Contoh tugas dengan komentar

Latihan 1

Dalam barisan aritmatika ( sebuah) sebuah 1 = -6, sebuah 2

Menurut rumus suku ke-n:

22 = sebuah 1+ d (22 - 1) = sebuah 1+ 21 hari

Dengan kondisi:

sebuah 1= -6, jadi 22= -6 + 21d.

Perbedaan progresi perlu dicari:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Menjawab : 22 = -48.

Tugas 2

Tentukan suku kelima dari deret geometri: -3; 6;....

Cara pertama (menggunakan rumus suku-n)

Menurut rumus anggota ke-n dari deret geometri:

b 5 \u003d b 1 q 5 - 1 = b 1 q 4.

Karena b 1 = -3,

Cara ke-2 (menggunakan rumus rekursif)

Karena penyebut dari barisan tersebut adalah -2 (q = -2), maka:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Menjawab : b 5 = -48.

Tugas 3

Dalam barisan aritmatika ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Tentukan suku ke tujuh puluh lima dari deret ini.

Untuk barisan aritmatika, sifat karakteristik memiliki bentuk .

Karena itu:

.

Substitusikan data ke dalam rumus:

Jawaban: 95.

Tugas 4

Dalam barisan aritmatika ( a n ) a n= 3n - 4. Temukan jumlah tujuh belas suku pertama.

Untuk mencari jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika, digunakan dua rumus:

.

Manakah dari mereka yang lebih nyaman untuk diterapkan dalam kasus ini?

Dengan syarat, rumus anggota ke-n dari perkembangan asli diketahui ( sebuah) sebuah= 3n - 4. Dapat ditemukan segera dan sebuah 1, dan 16 tanpa menemukan d. Oleh karena itu, kami menggunakan rumus pertama.

Jawaban: 368.

Tugas 5

Dalam deret aritmatika sebuah) sebuah 1 = -6; sebuah 2= -8. Temukan suku kedua puluh dua dari perkembangan tersebut.

Menurut rumus suku ke-n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = sebuah 1+ 21 hari.

Dengan syarat, jika sebuah 1= -6, maka 22= -6 + 21d. Perbedaan progresi perlu dicari:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Menjawab : 22 = -48.

Tugas 6

Beberapa suku berurutan dari barisan geometri dicatat:

Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x .

Saat memecahkan, kami menggunakan rumus untuk suku ke-n b n \u003d b 1 q n - 1 untuk deret geometri. Anggota pertama dari perkembangan. Untuk menemukan penyebut dari perkembangan q, Anda perlu mengambil salah satu dari suku-suku dari perkembangan ini dan membaginya dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kami, Anda dapat mengambil dan membagi dengan. Kami mendapatkan q \u003d 3. Alih-alih n, kami mengganti 3 dalam rumus, karena perlu untuk menemukan suku ketiga dari deret geometri yang diberikan.

Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus, kami mendapatkan:

.

Menjawab : .

Tugas 7

Dari deret aritmatika yang diberikan oleh rumus suku ke-n, pilih salah satu yang memenuhi syarat 27 > 9:

Karena kondisi yang ditentukan harus dipenuhi untuk suku ke-27 dari progresi, kami mengganti 27 alih-alih n di masing-masing dari empat progresi. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapatkan:

.

Jawaban: 4.

Tugas 8

Dalam deret aritmatika sebuah 1= 3, d = -1.5. Tentukan nilai n terbesar yang dimiliki pertidaksamaan sebuah > -6.

Masalah perkembangan aritmatika telah ada sejak zaman kuno. Mereka muncul dan menuntut solusi, karena mereka punya kebutuhan praktis.

Jadi, di salah satu papirus Mesir Kuno, yang memiliki konten matematika - papirus Rhind (abad XIX SM) - berisi tugas berikut: membagi sepuluh ukuran roti menjadi sepuluh orang, asalkan perbedaan di antara masing-masing adalah satu kedelapan dari ukuran.

Dan dalam karya matematika orang Yunani kuno ada teorema elegan yang terkait dengan perkembangan aritmatika. Jadi, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambahkan buku keempat belas ke "Elements" Euclid, merumuskan gagasan: "Dalam deret aritmatika dengan jumlah anggota genap, jumlah anggota babak ke-2 lebih besar dari jumlah anggota ke-1 dengan kuadrat 1/2 anggota.

Urutan an dilambangkan. Nomor-nomor barisan tersebut disebut anggota-anggotanya dan biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf dengan indeks yang menunjukkan nomor urut anggota ini (a1, a2, a3 ... berbunyi: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd ” dan seterusnya).

Urutannya bisa tak terbatas atau terbatas.

Apa itu barisan aritmatika? Dipahami seperti yang diperoleh dengan menjumlahkan suku sebelumnya (n) dengan bilangan d yang sama, yang merupakan selisih perkembangannya.

jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan tersebut dianggap meningkat.

Suatu barisan aritmatika dikatakan berhingga jika hanya beberapa suku pertamanya saja yang diperhitungkan. Dengan jumlah anggota yang sangat besar, ini sudah merupakan kemajuan yang tak terbatas.

Setiap perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus berikut:

an =kn+b, sedangkan b dan k adalah beberapa bilangan.

Pernyataan, yang merupakan kebalikannya, sepenuhnya benar: jika barisan diberikan oleh rumus yang sama, maka ini adalah deret aritmatika, yang memiliki sifat-sifat:

1. Setiap anggota dari perkembangan adalah rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan yang berikutnya.
2. Kebalikannya: jika, mulai dari yang ke-2, setiap suku adalah rata-rata aritmatika dari suku sebelumnya dan suku berikutnya, mis. jika kondisi terpenuhi, maka barisan yang diberikan adalah barisan aritmatika. Kesetaraan ini juga merupakan tanda kemajuan, sehingga biasanya disebut sifat karakteristik kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorema yang mencerminkan sifat ini adalah benar: barisan adalah barisan aritmatika hanya jika persamaan ini benar untuk salah satu anggota barisan, mulai dari yang ke-2.

Sifat karakteristik untuk setiap empat bilangan dari suatu barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus an + am = ak + al jika n + m = k + l (m, n, k adalah bilangan-bilangan dari barisan tersebut).

Dalam deret aritmatika, setiap suku (N) yang diperlukan dapat ditemukan dengan menerapkan rumus berikut:

Contoh: suku pertama (a1) pada suatu barisan aritmatika diberikan dan sama dengan tiga, dan selisih (d) sama dengan empat. Anda perlu menemukan suku keempat puluh lima dari perkembangan ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Rumus an = ak + d(n - k) memungkinkan Anda untuk menentukan anggota ke-n dari deret aritmatika melalui salah satu anggota ke-k, asalkan diketahui.

Jumlah anggota deret aritmatika (dengan asumsi n anggota deret terakhir) dihitung sebagai berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika suku pertama juga diketahui, maka rumus lain yang sesuai untuk perhitungan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah barisan aritmatika yang memuat n suku dihitung sebagai berikut:

Pilihan rumus untuk perhitungan tergantung pada kondisi tugas dan data awal.

Deret alami dari bilangan apa pun seperti 1,2,3,...,n,... adalah contoh paling sederhana dari deret aritmatika.

Selain deret aritmatika, ada juga deret geometri yang memiliki sifat dan karakteristik tersendiri.

Ya, ya: deret aritmatika bukan mainan untuk Anda :)

Nah, teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti tutup internal memberi tahu saya bahwa Anda masih belum tahu apa itu barisan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOO!) ingin tahu. Karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke bisnis.

Untuk memulai, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set angka:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan dari semua set ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Tapi sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan nomor yang sama.

Hakim untuk diri sendiri. Set pertama hanya angka berurutan, masing-masing lebih banyak dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, perbedaan antara angka yang berdekatan sudah sama dengan lima, tetapi perbedaan ini masih konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar secara umum. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, sedangkan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mis. dalam hal ini setiap elemen berikutnya hanya bertambah $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua barisan seperti itu disebut deret aritmatika. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Jumlah di mana angka-angka itu berbeda disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah progresi itu sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya beberapa komentar penting. Pertama, kemajuan dianggap hanya tertib urutan angka: mereka diizinkan untuk dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Anda tidak dapat mengatur ulang atau menukar nomor.

Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu seperti (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan perkembangan yang tak terbatas. Elipsis setelah empat, seolah-olah, mengisyaratkan bahwa cukup banyak angka yang melangkah lebih jauh. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa progresi meningkat dan menurun. Kami telah melihat peningkatan yang - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh progresi yang menurun:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oke, oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi sisanya, saya pikir, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Deret aritmatika disebut:

1. meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya;
2. menurun, jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut urutan "stasioner" - mereka terdiri dari nomor berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan perkembangan yang meningkat dari yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

1. Jika $d \gt 0$, maka progresnya meningkat;
2. Jika $d \lt 0$, maka progresi jelas menurun;
3. Akhirnya, ada kasus $d=0$ — dalam kasus ini seluruh perkembangan direduksi menjadi urutan stasioner dari angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.

Mari kita coba hitung selisih $d$ untuk ketiga progresi menurun di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi dari angka di sebelah kanan, angka di sebelah kiri. Ini akan terlihat seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang Anda lihat, dalam ketiga kasus perbedaannya benar-benar negatif. Dan sekarang setelah kita sedikit banyak mengetahui definisinya, saatnya untuk mencari tahu bagaimana progresi dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.

Anggota perkembangan dan formula berulang

Karena elemen dari barisan kita tidak dapat dipertukarkan, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Baik\)\]

Elemen individu dari himpunan ini disebut anggota perkembangan. Mereka ditunjukkan dengan cara ini dengan bantuan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dan seterusnya.

Selain itu, seperti yang sudah kita ketahui, anggota perkembangan yang bertetangga terkait dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk menemukan suku ke $n$ dari perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisihnya $d$. Rumus seperti itu disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan nomor apa pun, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan pada kenyataannya, semua yang sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun ke suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan formula ini sebelumnya. Mereka suka memberikannya dalam segala macam buku referensi dan reshebnik. Dan dalam setiap buku teks yang masuk akal tentang matematika, itu adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas nomor 1. Tuliskan tiga suku pertama dari barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangan $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan substitusikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; -2)

Itu saja! Perhatikan bahwa perkembangan kami menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat disubstitusikan - kita sudah mengetahui suku pertamanya. Namun, dengan mengganti unit, kami memastikan bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berfungsi. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika dangkal.

Tugas nomor 2. Tulislah tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuhnya adalah 40 dan suku ketujuh belasnya adalah 50.

Larutan. Kami menulis kondisi masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Baik.\]

Saya memberi tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Dan sekarang kita perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita memiliki hak untuk melakukan ini, karena kita memiliki sistem), kita mendapatkan ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]

Sama seperti itu, kami menemukan perbedaan perkembangan! Tetap menggantikan nomor yang ditemukan di salah satu persamaan sistem. Misalnya, pada yang pertama:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \akhir(matriks)\]

Sekarang, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]

Siap! Masalah terpecahkan.

Jawaban: (-34; -35; -36)

Perhatikan sifat aneh dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku ke $n$ dan $m$ dan mengurangkannya satu sama lain, maka kita mendapatkan selisih dari perkembangan dikalikan dengan bilangan $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Properti sederhana namun sangat berguna yang harus Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat secara signifikan mempercepat solusi banyak masalah dengan progresi. Berikut adalah contoh utama dari ini:

Tugas nomor 3. Suku kelima dari barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari deret ini.

Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, jadi $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu menyusun sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama dan selisihnya - semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis masalah lain - pencarian anggota progresi yang negatif dan positif. Bukan rahasia lagi bahwa jika perkembangannya meningkat, sementara suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat dari suatu progresi yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, jauh dari selalu mungkin untuk menemukan momen ini "di dahi", secara berurutan memilah-milah elemen. Seringkali, masalah dirancang sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungan akan memakan waktu beberapa lembar - kami hanya akan tertidur sampai kami menemukan jawabannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas nomor 4. Berapa banyak suku negatif dalam deret aritmatika -38.5; -35,8; …?

Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35,8$, dari mana kita segera menemukan perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga progresnya meningkat. Suku pertama negatif, jadi memang suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu: berapa lama (yaitu, sampai berapa bilangan asli $n$) negativitas istilah dipertahankan:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \benar. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]

Baris terakhir membutuhkan klarifikasi. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, hanya nilai bilangan bulat dari angka yang cocok untuk kita (selain itu: $n\in \mathbb(N)$), jadi angka terbesar yang diizinkan adalah tepat $n=15$, dan tidak ada kasus 16.

Tugas nomor 5. Dalam deret aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Temukan jumlah suku positif pertama dari deret ini.

Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan yang sebelumnya, tetapi kita tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi suku-suku bertetangganya diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangan:

Selain itu, mari kita coba mengungkapkan suku kelima dalam hal yang pertama dan perbedaannya menggunakan rumus standar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan masalah sebelumnya. Kami mencari tahu pada titik mana dalam urutan angka positif kami akan muncul:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]

Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah bilangan 56.

Harap dicatat bahwa dalam tugas terakhir semuanya direduksi menjadi ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang kita telah belajar bagaimana memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari properti progresi aritmatika lain yang sangat berguna, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak sama di masa depan. :)

Rata-rata aritmatika dan indentasi yang sama

Pertimbangkan beberapa suku berurutan dari deret aritmatika yang meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Anggota perkembangan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus mencatat anggota arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ dll. Karena aturan, yang sekarang akan saya beri tahu Anda, berfungsi sama untuk "segmen" apa pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita ingat rumus rekursif dan menuliskannya untuk semua anggota yang ditandai:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]

Nah, jadi apa? Tetapi fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - mereka juga dihapus dari $((a)_(n) )$ dengan jarak yang sama sama dengan $2d$. Anda dapat melanjutkan tanpa batas, tetapi gambar menggambarkan artinya dengan baik

Anggota perkembangan terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini untuk kita? Ini berarti Anda dapat menemukan $((a)_(n))$ jika bilangan tetangga diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah menyimpulkan pernyataan yang luar biasa: setiap anggota deret aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota tetangga! Selain itu, kita dapat menyimpang dari $((a)_(n))$ kita ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah — dan tetap saja rumusnya akan benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan beberapa $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sepintas, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak tugas khusus "dipertajam" untuk penggunaan mean aritmatika. Lihatlah:

Tugas nomor 6. Temukan semua nilai $x$ sehingga bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ adalah anggota berurutan dari deret aritmatika (dalam urutan tertentu).

Larutan. Karena bilangan-bilangan ini adalah anggota dari suatu deret, kondisi rata-rata aritmatika terpenuhi untuk mereka: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen tetangga:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Hasilnya adalah persamaan kuadrat klasik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: -3; 2.

Tugas nomor 7. Temukan nilai $$ sedemikian rupa sehingga angka $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk deret aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Sekali lagi, kami menyatakan suku tengah dalam bentuk rata-rata aritmatika dari suku-suku tetangga:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

persamaan kuadrat lainnya. Dan lagi dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban 1; 6.

Jika dalam proses penyelesaian masalah Anda mendapatkan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada trik luar biasa yang memungkinkan Anda untuk memeriksa: apakah kami menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah dalam soal 6 kita mendapat jawaban -3 dan 2. Bagaimana kita bisa memastikan bahwa jawaban-jawaban ini benar? Mari kita pasang ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang seharusnya membentuk deret aritmatika. Pengganti $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat angka -54; 2; 50 yang berbeda dengan 52 tidak diragukan lagi merupakan perkembangan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Sekali lagi kemajuan, tetapi dengan perbedaan 27. Dengan demikian, masalah diselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa tugas kedua mereka sendiri, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, saat memecahkan masalah terakhir, kami menemukan fakta menarik lainnya yang juga perlu diingat:

Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga yang kedua adalah rata-rata dari yang pertama dan terakhir, maka angka-angka ini membentuk deret aritmatika.

Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk benar-benar "membangun" progresi yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "konstruksi" seperti itu, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang secara langsung mengikuti dari apa yang telah dipertimbangkan.

Pengelompokan dan jumlah elemen

Mari kita kembali ke garis bilangan lagi. Kami mencatat ada beberapa anggota perkembangan, di antaranya, mungkin. bernilai banyak anggota lain:

6 elemen yang ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba menyatakan "ekor kiri" dalam bentuk $((a)_(n))$ dan $d$, dan "ekor kanan" dalam $((a)_(k))$ dan $ d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut adalah sama:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita menganggap sebagai awal dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan beberapa angka $S$, dan kemudian kita mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (saling menuju atau sebaliknya untuk menjauh), kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Ini dapat direpresentasikan secara grafis:

Indentasi yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah dengan tingkat kompleksitas yang lebih tinggi secara fundamental daripada yang kita bahas di atas. Misalnya, ini:

Tugas nomor 8. Tentukan selisih suatu barisan aritmatika yang suku pertamanya adalah 66, dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak tahu perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun di sekitar perbedaan, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \left(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]

Bagi mereka yang ada di tangki: Saya telah mengambil faktor umum 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang diinginkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita membuka kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien dengan suku tertinggi adalah 11 - ini adalah bilangan positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

grafik fungsi kuadrat - parabola

Harap diperhatikan: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada titik puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini menurut skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan jauh lebih masuk akal untuk perhatikan bahwa simpul yang diinginkan terletak pada simetri sumbu parabola, sehingga titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \kanan)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]

Itu sebabnya saya tidak terburu-buru untuk membuka kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat, sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absis sama dengan rata-rata aritmatika dari angka 66 dan 6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang memberi kita nomor yang ditemukan? Dengan itu, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil (omong-omong, kami tidak menghitung $((y)_(\min ))$ - ini tidak diperlukan dari kami). Pada saat yang sama, angka ini adalah perbedaan dari perkembangan awal, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: -36

Tugas nomor 9. Masukkan tiga angka di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ sehingga bersama dengan angka-angka yang diberikan, mereka membentuk barisan aritmatika.

Larutan. Padahal, kita perlu membuat urutan lima angka, dengan angka pertama dan terakhir sudah diketahui. Tunjukkan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa angka $y$ adalah "tengah" dari barisan kita - angka ini berjarak sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika pada saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$ dari angka $x$ dan $z$, maka situasinya berbeda dengan akhir perkembangannya. Ingat mean aritmatika:

Sekarang, mengetahui $y$, kita akan menemukan angka yang tersisa. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ baru saja ditemukan. Itu sebabnya

Berdebat sama, kami menemukan nomor yang tersisa:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban dalam urutan di mana mereka harus disisipkan di antara angka-angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas nomor 10. Di antara bilangan 2 dan 42, sisipkan beberapa bilangan yang bersama-sama dengan bilangan yang diberikan membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah bilangan pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.

Larutan. Tugas yang bahkan lebih sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya - melalui rata-rata aritmatika. Masalahnya adalah kita tidak tahu persis berapa banyak angka yang harus dimasukkan. Oleh karena itu, untuk kepastian, kami berasumsi bahwa setelah memasukkan akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, deret aritmatika yang diinginkan dapat direpresentasikan sebagai:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Akan tetapi, perhatikan bahwa bilangan $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari bilangan 2 dan 42 yang berdiri di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain , yaitu . ke tengah urutan. Dan ini berarti bahwa

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tapi kemudian ekspresi di atas dapat ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangan:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetap hanya untuk menemukan anggota yang tersisa:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri urutan - angka 42. Secara total, hanya 7 angka yang harus dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugas teks dengan progres

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang relatif sederhana. Sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, tugas-tugas ini mungkin tampak seperti isyarat. Namun demikian, justru tugas-tugas seperti itulah yang ditemukan di OGE dan USE dalam matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengan mereka.

Tugas nomor 11. Tim memproduksi 62 bagian di bulan Januari, dan di setiap bulan berikutnya mereka memproduksi 14 bagian lebih banyak dari yang sebelumnya. Berapa banyak suku cadang yang diproduksi brigade pada bulan November?

Larutan. Jelas, jumlah bagian, yang dilukis berdasarkan bulan, akan menjadi deret aritmatika yang meningkat. Dan:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada November.

Tugas nomor 12. Lokakarya penjilidan buku menjilid 216 buku di bulan Januari, dan setiap bulannya mengikat 4 buku lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember adalah bulan ke-12 terakhir dalam setahun, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan "kursus petarung muda" dalam progresi aritmatika. Kita dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus penjumlahan perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.