Pendekatan penjumlahan bilangan bulat non-negatif memungkinkan pembuktian hukum penjumlahan yang terkenal: komutatif dan asosiatif.

Mari kita buktikan dulu hukum komutatifnya, yaitu kita buktikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat non-negatif a dan b persamaan a + b = b + a benar.

Misalkan a adalah banyaknya anggota himpunan A, b adalah banyaknya anggota himpunan B, dan A B=0. Maka, menurut definisi jumlah bilangan bulat non-negatif, a + b adalah banyaknya elemen gabungan himpunan A dan B: a + b = n (A//B). Tetapi himpunan A B sama dengan himpunan B A menurut sifat komutatif gabungan himpunan, dan karenanya n(AU B) = n(B U A). Berdasarkan definisi jumlah n(B dan A) = b + a, maka a + b = b + a untuk sembarang bilangan bulat non-negatif a dan b.

Sekarang kita buktikan hukum kombinasinya, yaitu kita buktikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat non-negatif a, b, c, persamaan (a + b) + c = a + (b + c) berlaku.

Misal a = n(A), b = n(B), c = n(C), dimana AUB=0, BUC=0 Maka, berdasarkan definisi penjumlahan dua bilangan, kita dapat menulis (a + b) + c = n(A/ /)B) + n(C) = n((AUBUC).

Karena gabungan himpunan mematuhi hukum kombinasi, maka n((AUB)UC) = n(A U(BUC)). Oleh karena itu, menurut definisi jumlah dua bilangan, kita mempunyai n (A J (BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c). Oleh karena itu, (a + b) + c -- a + (b + c) untuk sembarang bilangan bulat non-negatif a, b, dan c.

Apa tujuan dari hukum asosiatif penjumlahan? Dia menjelaskan cara mencari jumlah tiga suku: untuk melakukan ini, cukup dengan menambahkan suku pertama ke suku kedua dan menambahkan suku ketiga ke bilangan yang dihasilkan, atau menambahkan suku pertama ke jumlah suku kedua dan ketiga. Perhatikan bahwa hukum asosiatif tidak menyiratkan permutasi ketentuan.

Baik hukum penjumlahan komutatif maupun asosiatif dapat digeneralisasikan ke sejumlah suku berapa pun. Dalam hal ini, hukum komutatif berarti bahwa jumlah tidak berubah dengan adanya penataan ulang suku-suku, dan hukum asosiatif berarti bahwa jumlah tidak berubah dengan adanya pengelompokan suku-suku (tanpa mengubah urutannya).

Berdasarkan hukum penjumlahan komutatif dan asosiatif, jumlah beberapa suku tidak akan berubah jika disusun ulang dengan cara apa pun dan jika salah satu golongannya diapit tanda kurung.

Mari kita hitung, dengan menggunakan hukum penjumlahan, nilai ekspresi 109 + 36+ 191 +64 + 27.

Berdasarkan hukum komutatif, kita susun ulang suku 36 dan 191. Maka 109 + 36 + 191 + 64 + 27 = 109 + 191 + 36 + 64 + 27.

Mari kita gunakan hukum kombinasi dengan mengelompokkan suku-sukunya, lalu mencari jumlah dalam tanda kurung: 109 + 191 + 36 + 64 + 27 == (109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Mari kita terapkan kembali hukum kombinasi, masukkan jumlah angka 300 dan 100 ke dalam tanda kurung: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27.

Mari kita lakukan perhitungan: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.

Siswa sekolah dasar mengenal sifat komutatif penjumlahan ketika mempelajari bilangan sepuluh pertama. Pertama, digunakan saat menyusun tabel untuk menjumlahkan angka satu digit, dan kemudian untuk merasionalisasi berbagai perhitungan.

Hukum penjumlahan asosiatif tidak dipelajari secara eksplisit dalam mata pelajaran matematika dasar, tetapi terus digunakan. Jadi, dasar penjumlahan suatu bilangan per bagian: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1) + 1 =4+ 1 =5. Selain itu, dalam kasus di mana perlu untuk menambahkan suatu bilangan ke suatu jumlah, suatu jumlah ke suatu bilangan, suatu jumlah ke suatu jumlah, hukum asosiatif digunakan dalam kombinasi dengan hukum komutatif. Misalnya, menjumlahkan jumlah 2 + 1 ke angka 4 diusulkan dengan cara berikut:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Mari kita menganalisis metode-metode ini. Dalam kasus 1, perhitungan dilakukan sesuai dengan urutan operasi yang ditentukan. Dalam kasus 2, properti asosiatif penjumlahan diterapkan. Perhitungan dalam kasus terakhir didasarkan pada hukum penjumlahan komutatif dan asosiatif, dan transformasi perantara dihilangkan. Mereka. Pertama, berdasarkan hukum perpindahan, suku 1 dan 2 ditukar: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Kemudian mereka menggunakan hukum kombinasi: 4 + (1 + 2) = (4 + 1) + 2. Dan terakhir, mereka membuat perhitungan berdasarkan urutan tindakan (4 + 1) + 2 = 5 + 2 = 7.

Aturan pengurangan suatu bilangan dari suatu penjumlahan dan penjumlahan dari suatu bilangan

Mari kita jelaskan aturan terkenal untuk mengurangkan suatu bilangan dari suatu jumlah dan menjumlahkan suatu bilangan.

Aturan untuk mengurangkan suatu bilangan dari suatu penjumlahan. Untuk mengurangkan suatu bilangan dari suatu penjumlahan, cukup dengan mengurangkan bilangan tersebut dari salah satu suku penjumlahan tersebut dan menambahkan suku lain pada hasil yang diperoleh.

Kita menulis aturan ini dengan menggunakan simbol: Jika a, b, c adalah bilangan bulat non-negatif, maka:

a) untuk a > c kita mendapatkan (a + b) - c = (a - c) + b;

b) untuk b>c kita mempunyai (a+b) -- c==a + (b -- c);

c) untuk a>c dan b>c, salah satu rumus berikut dapat digunakan.

Misal a > c, maka selisih a -- c ada. Mari kita nyatakan dengan p: a - c = p. Oleh karena itu a = p + c. Substitusikan jumlah p + -c sebagai ganti a ke dalam ekspresi (a + b) - c dan ubah menjadi: (a + 6) - c \u003d (p + c + b) - c \u003d p + b + -c - c = p+b

Tetapi huruf p melambangkan selisih a - c, artinya kita mempunyai (a + b) - - c \u003d (a - c) + b, yang perlu dibuktikan.

Alasan serupa juga diterapkan pada kasus lain. Kami sekarang memberikan ilustrasi aturan ini (kasus "a") menggunakan lingkaran Euler. Ambil tiga himpunan berhingga A, B, dan C sehingga n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c, dan AUB=0, CUA. Maka (a + b) - c adalah banyaknya anggota himpunan (AUB)C, dan bilangan (a - c) + b adalah banyaknya anggota himpunan (AC)UB. Pada lingkaran Euler, himpunan (AUB)C diwakili oleh daerah yang diarsir seperti pada gambar.

Sangat mudah untuk melihat bahwa himpunan (AC)UВ diwakili oleh luas yang persis sama. Oleh karena itu, (AUB)C = (AC)UB untuk data

himpunan A, B, dan C. Oleh karena itu, n((AUB)C) = n((AC)UB) dan (a + b) - c - (a - c) + b.

Kasus "b" dapat diilustrasikan dengan cara yang sama.

Aturan untuk mengurangkan suatu penjumlahan. Untuk mengurangkan jumlah bilangan dari suatu bilangan, cukup dengan mengurangkan setiap suku satu demi satu dari bilangan tersebut secara berturut-turut, yaitu. jika a, b, c adalah bilangan bulat non-negatif, maka untuk a > b + c kita mempunyai a - ( b + c ) = (a - b) - c.

Pembenaran aturan ini dan ilustrasi teori himpunannya dilakukan dengan cara yang sama seperti aturan pengurangan suatu bilangan dari suatu penjumlahan.

Aturan di atas dipertimbangkan di sekolah dasar dengan contoh spesifik, gambar visual digunakan sebagai pembenaran. Aturan-aturan ini memungkinkan Anda melakukan perhitungan secara rasional. Misalnya, aturan pengurangan jumlah dari suatu bilangan mendasari metode pengurangan suatu bilangan per bagian:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Arti dari aturan-aturan di atas terungkap dengan baik ketika menyelesaikan masalah aritmatika dengan berbagai cara. Misalnya tugas “Pagi hari 20 perahu nelayan kecil dan 8 perahu nelayan besar melaut. 6 perahu kembali. Berapa banyak perahu dengan nelayan yang masih harus kembali? dapat diselesaikan dengan tiga cara:

/ jalan. 1.20 + 8 = 28 2.28 -- 6 = 22

// jalan. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22

cara III. 1.8 -- 6 = 2 2.20 + 2 = 22

Hukum perkalian

Mari kita buktikan hukum perkalian berdasarkan definisi suatu produk dalam bentuk produk Cartesian dari himpunan.

1. Hukum komutatif: untuk sembarang bilangan bulat non-negatif a dan b, persamaan a*b = b*a benar.

Misalkan a = n(A), b = n(B). Kemudian menurut definisi hasil kali a*b = n(A*B). Namun himpunan A*B dan B*A ekuivalen: masing-masing pasangan (a, b) dari himpunan AXB dapat diasosiasikan dengan satu pasangan (b, a) dari himpunan BxA, dan sebaliknya. Jadi, n(AXB) = n(BxA), dan oleh karena itu a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a.

2. Hukum asosiatif: untuk sembarang bilangan bulat non-negatif a, b, c, persamaan (a*b)*c = a*(b*c) benar.

Misalkan a = n(A), b = n(B), c = n(C). Kemudian menurut definisi hasil kali (a-b)-c = n((AXB)XQ, a a-(b-c) = n (AX(BXQ). Himpunan (AxB)XC dan A X (BX Q berbeda: yang pertama terdiri dari dari pasangan bentuk ((a, b), c), dan yang kedua dari pasangan bentuk (a, (b, c)), dimana aJA, bJB, cJC.Tetapi himpunan (AXB)XC dan AX (BXC) ekuivalen, karena ada pemetaan satu-ke-satu dari satu himpunan ke himpunan lainnya, jadi n((AXB)*C) = n(A*(B*C)), dan seterusnya (a*b) *c = a*(b*c).

3. Hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan: untuk sembarang bilangan bulat non-negatif a, b, c, persamaan (a + b) x c = ac + be benar.

Misalkan a - n (A), b = n (B), c = n (C) dan AUB = 0. Maka, berdasarkan definisi hasil kali, kita mempunyai (a + b) x c = n ((AUB ) * C. Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (*) kita peroleh n ((A UB) * C) = n ((A * C)U(B * C)), dan selanjutnya dengan menentukan jumlah dan hasil kali n (( A * C)U (B * C) ) -- = n(A*C) + n(B*C) = ac + bc.

4. Hukum distributif perkalian terhadap pengurangan: untuk sembarang bilangan bulat non-negatif a, b dan c dan a^b persamaan (a - b)c = ac - bc benar.

Hukum ini diturunkan dari persamaan (AB) * C = (A * C) (B * C) dan dibuktikan serupa dengan hukum sebelumnya.

Hukum perkalian komutatif dan asosiatif dapat diperluas ke sejumlah faktor. Selain itu, hukum-hukum ini sering digunakan bersamaan, yaitu hasil kali beberapa faktor tidak akan berubah jika diatur ulang dengan cara apa pun dan jika salah satu kelompoknya diapit tanda kurung.

Hukum distributif menetapkan hubungan antara perkalian, penjumlahan, dan pengurangan. Berdasarkan hukum-hukum ini, tanda kurung diperluas dalam ekspresi seperti (a + b) c dan (a - b) c, serta faktornya dikeluarkan dari tanda kurung jika ekspresi tersebut berbentuk ac - be atau

Pada mata kuliah awal matematika dipelajari sifat komutatif perkalian, dirumuskan sebagai berikut: “Perkalian tidak akan berubah dari permutasi faktor” - dan banyak digunakan dalam menyusun tabel perkalian bilangan satu digit. Hukum asosiatif tidak dibahas secara eksplisit di sekolah dasar, tetapi digunakan bersama dengan hukum komutatif saat mengalikan suatu bilangan dengan suatu hasil perkalian. Hal ini terjadi sebagai berikut: siswa diajak untuk mempertimbangkan berbagai cara mencari nilai ekspresi 3*(5*2) dan membandingkan hasilnya.

Kasus diberikan:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

Yang pertama didasarkan pada aturan urutan operasi, yang kedua - pada hukum perkalian asosiatif, yang ketiga - pada hukum perkalian komutatif dan asosiatif.

Hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan dibahas di sekolah dengan contoh-contoh spesifik dan disebut aturan untuk mengalikan suatu bilangan dengan suatu jumlah dan suatu jumlah dengan suatu bilangan. Pertimbangan kedua aturan ini ditentukan oleh pertimbangan metodologis.

Aturan membagi jumlah dengan angka dan angka dengan hasil kali

Mari berkenalan dengan beberapa sifat pembagian bilangan asli. Pilihan aturan-aturan ini ditentukan oleh isi mata kuliah matematika awal.

Aturan membagi suatu jumlah dengan suatu angka. Jika bilangan a dan b habis dibagi c, maka jumlah a + b juga habis dibagi c; hasil bagi yang diperoleh dengan membagi jumlah a + b dengan bilangan c sama dengan jumlah hasil bagi yang diperoleh dengan membagi a dengan c dan b dengan c, yaitu.

(a + b): c = a: c + b: c.

Bukti. Karena a habis dibagi c, maka terdapat bilangan asli m = a:c sehingga a = c-m. Demikian pula, terdapat bilangan asli n -- b:c sehingga b = c-n. Maka a + b = c-m + c-/2 = c-(m + n). Oleh karena itu a + b habis dibagi c dan hasil bagi yang diperoleh dengan membagi a + b dengan bilangan c sama dengan m + n, yaitu a: c + b: c.

Aturan yang terbukti dapat ditafsirkan dari posisi teori himpunan.

Misalkan a = n(A), b = n(B), dan AGW=0. Jika masing-masing himpunan A dan B dapat dibagi menjadi himpunan-himpunan bagian yang sama, maka gabungan himpunan-himpunan tersebut mempunyai partisi yang sama.

Terlebih lagi, jika setiap subset dari partisi himpunan A berisi elemen a:c, dan setiap subset dari himpunan B berisi elemen b:c, maka setiap subset dari himpunan A[)B berisi elemen a:c + b:c. Artinya (a + b): c = a: c + b: c.

Aturan membagi suatu bilangan dengan suatu hasil kali. Jika suatu bilangan asli a habis dibagi bilangan asli b dan c, maka untuk membagi a dengan hasil kali bilangan b dan c, cukup membagi bilangan a dengan b (c) dan membagi hasil bagi dengan c (b): a: (b * c) --(a: b): c = (a: c): b Bukti. Misalkan (a:b):c = x. Maka, menurut definisi hasil bagi, a:b = c-x, maka secara analogi a - b-(cx). Berdasarkan hukum asosiatif perkalian a = (bc)-x. Persamaan yang dihasilkan berarti a:(bc) = x. Jadi, a:(bc) = (a:b):c.

Aturan mengalikan suatu bilangan dengan hasil bagi dua bilangan. Untuk mengalikan suatu bilangan dengan hasil bagi dua bilangan, cukup dengan mengalikan bilangan tersebut dengan pembagian dan membagi hasil perkaliannya dengan pembaginya, yaitu.

a-(b:c) = (a-b):c.

Penerapan aturan yang dirumuskan memungkinkan untuk menyederhanakan perhitungan.

Misalnya, untuk mencari nilai ekspresi (720+ 600): 24, cukup membagi suku 720 dan 600 dengan 24 dan menjumlahkan hasil bagi yang dihasilkan:

(720+ 600)

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Aturan-aturan ini dipertimbangkan dalam kursus awal matematika dengan menggunakan contoh-contoh spesifik. Saat pertama kali mengenal aturan membagi jumlah 6 + 4 dengan angka 2, materi ilustrasi dilibatkan. Berikut ini, aturan ini digunakan untuk merasionalisasi perhitungan. Aturan membagi suatu bilangan dengan suatu perkalian banyak digunakan saat membagi bilangan yang berakhiran nol.

Topik nomor 1.

Bilangan real Ekspresi numerik. Mengonversi Ekspresi Numerik

I. Materi teori

Konsep dasar

· Bilangan bulat

Notasi angka desimal

Angka yang berlawanan

· Bilangan bulat

・Pecahan biasa

Angka rasional

Desimal tak terbatas

Periode suatu bilangan, pecahan periodik

bilangan irasional

· Bilangan nyata

· Operasi aritmatika

Ekspresi numerik

Nilai ekspresi

Mengubah desimal menjadi pecahan biasa

Mengubah pecahan biasa menjadi desimal

Mengubah Pecahan Berkala menjadi Pecahan Biasa

Hukum operasi aritmatika

Tanda-tanda perpecahan

Bilangan yang digunakan untuk menghitung suatu benda atau untuk menunjukkan nomor urut suatu benda di antara benda-benda yang homogen disebut alami. Bilangan asli apa pun dapat ditulis menggunakan sepuluh angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Notasi ini disebut desimal.

Misalnya: 24; 3711; 40125.

Himpunan bilangan asli biasanya dilambangkan N.

Dua bilangan yang berbeda tandanya saja disebut di depan angka.

Misalnya, nomor 7 dan - 7.

Bilangan asli, kebalikannya, dan bilangan nol membentuk himpunan tersebut utuh Z.

Misalnya: – 37; 0; 2541.

Nomor formulir , dimana M- bilangan bulat, N- bilangan asli disebut bilangan biasa tembakan. Perhatikan bahwa bilangan asli apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut 1.

Misalnya: , .

Gabungan himpunan bilangan bulat dan pecahan (positif dan negatif) membentuk himpunan tersebut rasional angka. Hal ini biasa disebut Q.

Misalnya: ; – 17,55; .

Biarkan pecahan desimal diberikan. Nilainya tidak akan berubah jika sejumlah angka nol ditempatkan di sebelah kanan.

Misalnya: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Desimal seperti ini disebut desimal tak terhingga.

Pecahan biasa apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal tak hingga.

Sekelompok angka-angka yang berulang secara berurutan setelah titik desimal suatu bilangan disebut periode, dan pecahan desimal tak hingga yang memiliki periode seperti itu dalam notasinya disebut berkala. Untuk singkatnya, titik biasanya ditulis satu kali, diapit dalam tanda kurung.

Misalnya: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Pecahan desimal tak berulang tak terhingga disebut irasional angka.

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irasional disebut himpunan sah angka. Hal ini biasa disebut R.

Misalnya: ; 0,(23); 41,3574…

Nomor tidak rasional.

Untuk semua angka, tindakan dari tiga langkah ditentukan:

Tindakan langkah I: penjumlahan dan pengurangan;

Tindakan langkah II: perkalian dan pembagian;

Tindakan langkah III: eksponensial dan ekstraksi akar.

Ekspresi yang terdiri dari angka, tanda aritmatika, dan tanda kurung disebut numerik.

Misalnya: ; .

Bilangan yang diperoleh sebagai hasil melakukan suatu tindakan disebut nilai ekspresi.

Ekspresi numerik tidak masuk akal jika mengandung pembagian dengan nol.

Apabila nilai ekspresi telah ditemukan maka tindakan tahap III, tahap II dan akhir tindakan tahap I dilakukan secara berurutan. Dalam hal ini, perlu memperhitungkan penempatan tanda kurung dalam ekspresi numerik.

Transformasi ekspresi numerik terdiri dari pelaksanaan operasi aritmatika secara berurutan pada bilangan-bilangan yang termasuk di dalamnya menggunakan aturan yang sesuai (aturan untuk menjumlahkan pecahan biasa dengan penyebut berbeda, mengalikan pecahan desimal, dll.). Tugas untuk mengonversi ekspresi numerik dalam tutorial ditemukan dalam rumusan berikut: “Temukan nilai ekspresi numerik”, “Sederhanakan ekspresi numerik”, “Hitung”, dll.

Saat menemukan nilai beberapa ekspresi numerik, Anda harus melakukan operasi dengan berbagai jenis pecahan: biasa, desimal, periodik. Dalam hal ini, mungkin perlu mengubah pecahan biasa menjadi desimal atau melakukan tindakan sebaliknya - mengganti pecahan periodik dengan pecahan biasa.

Berbalik desimal ke biasa, cukup dengan menuliskan angka setelah koma pada pembilang pecahan, dan angka yang memiliki angka nol pada penyebutnya, dan angka nol harus sebanyak angka di sebelah kanan koma desimal.

Misalnya: ; .

Berbalik pecahan biasa ke desimal, pembilangnya harus dibagi dengan penyebutnya sesuai dengan aturan membagi pecahan desimal dengan bilangan bulat.

Misalnya: ;

;

.

Berbalik pecahan periodik ke pecahan biasa, diperlukan:

1) dari angka sebelum periode kedua, kurangi angka sebelum periode pertama;

2) tuliskan selisihnya sebagai pembilang;

3) pada penyebutnya tuliskan angka 9 sebanyak jumlah angka pada periode tersebut;

4) tambahkan angka nol pada penyebut sebanyak angka antara koma desimal dan titik pertama.

Misalnya: ; .

Hukum operasi aritmatika pada bilangan real

1. dapat dipindahkan Hukum penjumlahan (komutatif): nilai penjumlahan tidak berubah akibat penataan ulang suku-sukunya:

2. dapat dipindahkan Hukum perkalian (komutatif): nilai hasil kali tidak berubah akibat penataan ulang faktor-faktor:

3. Asosiatif Hukum penjumlahan (asosiatif): nilai penjumlahan tidak akan berubah jika ada kelompok suku yang diganti dengan penjumlahannya:

4. Asosiatif Hukum perkalian (asosiatif): nilai perkalian tidak akan berubah jika ada kelompok faktor yang diganti dengan perkaliannya:

.

5. distribusi Hukum perkalian (distributif) terhadap penjumlahan: untuk mengalikan suatu jumlah dengan suatu bilangan, cukup dengan mengalikan setiap suku dengan bilangan ini dan menjumlahkan hasil perkaliannya:

Sifat 6 - 10 disebut hukum serapan 0 dan 1.

Tanda-tanda perpecahan

Sifat-sifat yang dalam beberapa kasus memungkinkan, tanpa membagi, untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi bilangan lain, disebut tanda-tanda perpecahan.

Tanda habis dibagi 2. Suatu bilangan habis dibagi 2 jika dan hanya jika notasi bilangan tersebut diakhiri dengan bahkan nomor. Artinya, 0, 2, 4, 6, 8.

Misalnya: 12834; –2538; 39,42.

Tanda habis dibagi 3. Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.

Misalnya: 2742; –17940.

Dapat dibagi dengan 4 tanda. Suatu bilangan yang mempunyai paling sedikit tiga angka habis dibagi 4 jika dan hanya jika dua angka yang dibentuk oleh dua angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4.

Misalnya: 15436; –372516.

Tanda habis dibagi 5. Suatu bilangan habis dibagi 5 jika dan hanya jika angka terakhirnya adalah 0 atau 5.

Misalnya: 754570; –4125.

Tanda habis dibagi 9. Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.

Misalnya: 846; –76455.

Tujuan: untuk menguji pembentukan keterampilan melakukan perhitungan dengan menggunakan rumus; mengenalkan anak pada hukum operasi aritmatika komutatif, asosiatif, dan distributif.

• memperkenalkan notasi literal dari hukum penjumlahan dan perkalian; mengajarkan bagaimana menerapkan hukum operasi aritmatika untuk menyederhanakan perhitungan dan ekspresi literal;
• mengembangkan pemikiran logis, keterampilan mental, kebiasaan berkemauan keras, ucapan matematika, ingatan, perhatian, minat matematika, kepraktisan;
• menumbuhkan rasa hormat satu sama lain, rasa persahabatan, kepercayaan.

Jenis pelajaran: digabungkan.

• verifikasi pengetahuan yang diperoleh sebelumnya;
• mempersiapkan siswa untuk mempelajari materi baru
• presentasi materi baru;
• persepsi dan kesadaran siswa terhadap materi baru;
• konsolidasi utama dari materi yang dipelajari;
• merangkum pelajaran dan menetapkan pekerjaan rumah.

Peralatan: komputer, proyektor, presentasi.

Rencana:

1. Momen organisasi.
2. Verifikasi materi yang dipelajari sebelumnya.
3. Mempelajari materi baru.
4. Tes utama penguasaan ilmu (bekerja dengan buku teks).
5. Pengendalian dan pengujian diri terhadap pengetahuan (kerja mandiri).
6. Menyimpulkan pelajaran.
7. Refleksi.

Selama kelas

1. Momen organisasi

Guru: Selamat siang, anak-anak! Kami memulai pelajaran kami dengan puisi - kata-kata perpisahan. Perhatikan layarnya. (1 slide). Lampiran 2 .

Matematika, teman-teman,
Pastinya semua orang membutuhkannya.
Bekerja keras di kelas
Dan kesuksesan menanti Anda!

2. Pengulangan materi

Mari kita tinjau apa yang telah kita pelajari. Saya mengundang siswa ke layar. Tugas: menggunakan penunjuk untuk menghubungkan rumus tertulis dengan namanya dan menjawab pertanyaan apa lagi yang dapat ditemukan dengan menggunakan rumus ini. (2 geser).

Buka buku catatan, tanda tangani nomornya, tugas kelas. Perhatikan layarnya. (slide ke-3).

Kami bekerja secara lisan pada slide berikutnya. (5 geser).

12 + 5 + 8		25 10		250 – 50
200 – 170		30 + 15		45: 3
15 + 30		45 – 17		28 25 4

Tugas: menemukan arti ekspresi. (Seorang siswa bekerja di depan layar.)

- Hal menarik apa yang Anda perhatikan saat memecahkan contoh? Contoh apa yang harus mendapat perhatian khusus? (Jawaban anak-anak.)

Situasi masalah

Sifat-sifat penjumlahan dan perkalian apa yang kamu ketahui sejak SD? Bisakah Anda menuliskannya menggunakan ekspresi literal? (Jawaban anak-anak).

3. Mempelajari materi baru

- Jadi, topik pelajaran hari ini adalah “Hukum operasi aritmatika” (6 geser).
- Tulis topik pelajaran di buku catatanmu.
Hal baru apa yang harus kita pelajari dalam pelajaran ini? (Bersama anak-anak, tujuan pelajaran dirumuskan).
- Lihat layarnya. (7 geser).

Anda melihat hukum penjumlahan ditulis dalam bentuk literal dan contohnya. (Analisis contoh).

- Slide selanjut nya (8 geser).

Memahami hukum perkalian.

- Sekarang mari kita mengenal hukum distributif yang sangat penting (9 geser).

- Ringkaslah. (10 geser).

Mengapa Anda perlu mengetahui hukum aritmatika? Apakah mereka akan berguna dalam studi lebih lanjut, dalam studi mata pelajaran apa? (Jawaban anak-anak.)

- Tuliskan aturannya di buku catatan Anda.

4. Memperbaiki materi

- Buka buku teks dan temukan No. 212 (a, b, e) secara lisan.

No.212 (c,d,g,h) secara tertulis di papan tulis dan di buku catatan. (Penyelidikan).

– Kami sedang mengerjakan No.214 secara lisan.

– Kita sedang menyelesaikan tugas nomor 215. Hukum apa yang digunakan untuk menyelesaikan nomor ini? (Jawaban anak-anak).

5. Kerja mandiri

- Tuliskan jawabannya pada kartu dan bandingkan hasilnya dengan teman satu meja Anda. Dan sekarang perhatian ke layar. (11 geser).(Verifikasi pekerjaan mandiri).

6. Ringkasan pelajaran

- Perhatian pada layar. (12 geser). Selesaikan kalimatnya.

Nilai pelajaran.

7. Pekerjaan rumah

§13, no.227, 229.

8. Refleksi