Sebagai bagian dari materi ini, kita akan menyentuh topik penting seperti penambahan angka negatif. Di paragraf pertama, kami akan menjelaskan aturan dasar untuk tindakan ini, dan di paragraf kedua, kami akan menganalisis contoh spesifik untuk memecahkan masalah tersebut.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Aturan dasar untuk menambahkan bilangan asli
Sebelum menurunkan aturan, mari kita ingat kembali apa yang umumnya kita ketahui tentang bilangan positif dan negatif. Sebelumnya kami sepakat bahwa angka negatif harus dianggap sebagai hutang, kerugian. Modulus bilangan negatif menyatakan ukuran yang tepat dari kerugian ini. Kemudian penambahan angka negatif dapat dianggap sebagai penambahan dua kerugian.
Dengan menggunakan alasan ini, kami merumuskan aturan dasar untuk menambahkan angka negatif.
Definisi 1
Untuk memenuhi penjumlahan bilangan negatif, Anda perlu menambahkan nilai modulnya dan memberi tanda minus di depan hasilnya. Dalam bentuk literal, rumusnya terlihat seperti (− a) + (− b) = (a + b) .
Berdasarkan aturan ini dapat kita simpulkan bahwa penjumlahan bilangan negatif sama dengan penjumlahan bilangan positif, hanya saja pada akhirnya kita pasti mendapatkan bilangan negatif, karena kita harus meletakkan tanda minus di depan penjumlahan modul.
Bukti apa yang dapat diberikan untuk aturan ini? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat sifat dasar operasi dengan bilangan real (baik dengan bilangan bulat atau dengan bilangan rasional - mereka sama untuk semua jenis bilangan ini). Untuk membuktikannya, kita hanya perlu menunjukkan bahwa selisih antara ruas kiri dan kanan persamaan (− a) + (− b) = (a + b) akan sama dengan 0 .
Mengurangi satu angka dari yang lain sama dengan menambahkan angka yang berlawanan dengannya. Jadi, (− a) + (− b) (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Ingatlah bahwa ekspresi numerik dengan penambahan memiliki dua sifat utama - asosiatif dan komutatif. Maka kita dapat menyimpulkan bahwa (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Karena, dengan menambahkan angka yang berlawanan, kami selalu mendapatkan 0, maka (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0, dan 0 + 0 \u003d 0. Persamaan kami dapat dianggap terbukti, yang berarti bahwa aturan untuk menambahkan angka negatif kami juga membuktikan.
Di paragraf kedua, kami akan mengambil masalah khusus di mana Anda perlu menambahkan angka negatif, dan mencoba menerapkan aturan yang dipelajari di dalamnya.
Contoh 1
Temukan jumlah dua bilangan negatif - 304 dan - 1807.
Larutan
Mari kita lakukan langkah demi langkah. Pertama kita perlu menemukan modul dari angka yang akan ditambahkan: - 304 = 304 , - 180007 = 180007 . Selanjutnya, kita perlu melakukan tindakan penambahan, di mana kita menggunakan metode jumlah kolom:
Yang tersisa adalah menempatkan minus di depan hasil dan mendapatkan - 18 311 .
Menjawab: - - 18 311 .
Itu tergantung pada angka apa yang kita miliki, pada apa kita dapat mengurangi tindakan penjumlahan: untuk menemukan jumlah bilangan asli, untuk menambahkan pecahan biasa atau desimal. Mari kita menganalisis masalah dengan angka-angka seperti itu.
Contoh N
Tentukan jumlah dua bilangan negatif - 2 5 dan 4 , (12) .
Larutan
Kami menemukan modul dari angka yang diinginkan dan mendapatkan 2 5 dan 4 , (12) . Kami memiliki dua fraksi yang berbeda. Kami mengurangi masalah menjadi penambahan dua fraksi biasa, di mana kami mewakili fraksi periodik dalam bentuk biasa:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Hasilnya, kami mendapatkan pecahan yang mudah dijumlahkan ke suku awal pertama (jika Anda lupa cara menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda dengan benar, ulangi materi yang sesuai).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Akibatnya, kami mendapat nomor campuran, di depannya kami hanya perlu memberi minus. Ini menyelesaikan perhitungan.
Menjawab: - 4 86 105 .
Bilangan negatif real dijumlahkan dengan cara yang sama. Hasil dari tindakan seperti itu biasanya ditulis sebagai ekspresi numerik. Nilainya tidak dapat dihitung atau terbatas pada perkiraan perhitungan. Jadi, misalnya, jika kita perlu mencari jumlah - 3 + (− 5) , maka kita tulis jawabannya sebagai - 3 5 . Kami mencurahkan materi terpisah untuk penambahan bilangan real, di mana Anda dapat menemukan contoh lain.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Aturan penjumlahan negatif
Jika Anda mengingat pelajaran matematika dan topik "Penambahan dan pengurangan angka dengan tanda berbeda", maka untuk menambahkan dua angka negatif yang Anda butuhkan:
- melakukan penambahan modul mereka;
- tambahkan tanda "-" ke jumlah yang diterima.
Menurut aturan penjumlahan, kita dapat menulis:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Aturan penjumlahan negatif berlaku untuk bilangan bulat negatif, bilangan rasional, dan bilangan real.
Contoh 1
Tambahkan angka negatif $−185$ dan $−23 \ 789.$
Larutan.
Mari kita gunakan aturan penjumlahan bilangan negatif.
Mari kita temukan modul dari angka-angka ini:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Mari kita tambahkan angka yang dihasilkan:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Kami menempatkan tanda $"–"$ di depan nomor yang ditemukan dan mendapatkan $−23 \ 974$.
Solusi singkat: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Menjawab: $−23 \ 974$.
Saat menambahkan bilangan rasional negatif, mereka harus dikonversi ke bentuk bilangan asli, pecahan biasa atau desimal.
Contoh 2
Tambahkan bilangan negatif $-\frac(1)(4)$ dan $−7.15$.
Larutan.
Menurut aturan penambahan angka negatif, pertama-tama Anda harus menemukan jumlah modul:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
Lebih mudah untuk mengurangi nilai yang diperoleh menjadi pecahan desimal dan melakukan penambahannya:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Mari kita letakkan tanda $"-"$ di depan nilai yang diterima dan dapatkan $-7,4$.
Ringkasan solusi:
$(-\frac(1)(4))+(−7.15)=−(\frac(1)(4)+7.15)=–(0.25+7.15)=−7, 4$.
Untuk menambahkan bilangan positif dan negatif:
- menghitung modul angka;
- jika mereka sama, maka angka aslinya berlawanan dan jumlahnya sama dengan nol;
- jika tidak sama, maka Anda perlu mengingat tanda angka yang modulusnya lebih besar;
kurangi yang lebih kecil dari yang lebih besar;
- sebelum nilai yang diterima, beri tanda bilangan yang modulusnya lebih besar.
bandingkan angka yang diterima:
Penjumlahan bilangan dengan tanda yang berlawanan direduksi menjadi pengurangan bilangan negatif yang lebih kecil dari bilangan positif yang lebih besar.
Aturan penjumlahan bilangan dengan tanda yang berlawanan dilakukan untuk bilangan bulat, rasional, dan real.
Contoh 3
Tambahkan angka $4$ dan $−8$.
Larutan.
Anda perlu menambahkan angka dengan tanda yang berlawanan. Mari kita gunakan aturan penjumlahan yang sesuai.
Mari kita temukan modul dari angka-angka ini:
Modulus bilangan $−8$ lebih besar dari modulus bilangan $4$, mis. ingat tanda $"-"$.
Kami meletakkan tanda $"–"$, yang kami hafal, di depan nomor yang dihasilkan, dan kami mendapatkan $−4.$
Ringkasan solusi:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Menjawab: $4+(−8)=−4$.
Untuk menjumlahkan bilangan rasional dengan tanda yang berlawanan, akan lebih mudah untuk menyatakannya sebagai pecahan biasa atau desimal.
Pengurangan bilangan dengan tanda berbeda dan negatif
Aturan pengurangan bilangan negatif:
Untuk mengurangkan bilangan negatif $b$ dari bilangan $a$, maka $a$ perlu ditambahkan bilangan $−b$, yang merupakan kebalikan dari pengurangan $b$.
Menurut aturan pengurangan, kita dapat menulis:
$a−b=a+(−b)$.
Aturan ini berlaku untuk bilangan bulat, rasional, dan real. Aturan dapat digunakan saat mengurangkan angka negatif dari angka positif, dari angka negatif, dan dari nol.
Contoh 4
Kurangi bilangan negatif $−28$ dengan bilangan negatif $−5$.
Larutan.
Angka kebalikan dari angka $–5$ adalah angka $5.
Menurut aturan untuk mengurangkan angka negatif, kita mendapatkan:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Mari kita menjumlahkan bilangan dengan tanda yang berlawanan:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Menjawab: $(−28)−(−5)=−23$.
Saat mengurangkan bilangan pecahan negatif, Anda harus mengubah bilangan tersebut ke dalam bentuk pecahan biasa, pecahan campuran, atau pecahan desimal.
Penjumlahan dan pengurangan bilangan dengan tanda yang berbeda
Aturan pengurangan bilangan yang berlawanan tanda sama dengan aturan pengurangan bilangan negatif.
Contoh 5
Kurangi bilangan positif $7$ dari bilangan negatif $−11$.
Larutan.
Angka kebalikan dari angka $7$ adalah angka $–7$.
Menurut aturan untuk mengurangkan bilangan dengan tanda yang berlawanan, kita mendapatkan:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Mari kita tambahkan angka negatif:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Solusi singkat: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Menjawab: $(−11)−7=−18$.
Saat mengurangkan bilangan pecahan dengan tanda yang berbeda, perlu untuk mengubah bilangan tersebut ke dalam bentuk pecahan biasa atau desimal.
Pengembangan keterampilan berhitung adalah tujuan utama yang dikejar oleh program matematika dari kelas 1 sampai 6. Seberapa cepat dan benar anak belajar melakukan operasi aritmatika akan tergantung pada kecepatan operasi logis (semantik) di kelas senior dan tingkat pemahaman subjek secara keseluruhan. Bukan hal yang aneh bagi seorang tutor matematika untuk menghadapi masalah komputasi siswa yang mencegah mereka mencapai nilai tinggi.
Siswa seperti apa yang tidak harus bekerja dengan tutor. Orang tua perlu persiapan untuk ujian matematika, dan anak mereka tidak dapat memahami pecahan biasa atau bingung dengan bilangan negatif. Tindakan apa yang harus dilakukan tutor matematika dalam kasus seperti itu? Bagaimana cara membantu siswa? Tutor tidak punya waktu untuk mempelajari aturan dengan santai dan konsisten, sehingga metode tradisional sering kali harus diganti dengan beberapa "akselerator produk setengah jadi" buatan. Dalam artikel ini, saya akan menjelaskan salah satu cara yang mungkin untuk mengembangkan keterampilan melakukan tindakan dengan angka negatif, yaitu, mengurangkannya.
Misalkan seorang tutor matematika senang bekerja dengan siswa yang sangat lemah yang pengetahuannya tidak melampaui perhitungan paling sederhana dengan bilangan positif. Mari kita asumsikan juga bahwa tutor berhasil menjelaskan hukum penjumlahan dan mendekati aturan a-b=a+(-b). Poin apa yang harus diperhatikan oleh tutor matematika?
Mengurangi pengurangan menjadi penambahan bukanlah konversi yang sederhana dan jelas. Buku teks menawarkan formulasi matematika yang ketat dan tepat: "Untuk mengurangi angka "b" dari angka "a", Anda perlu menambahkan angka yang berlawanan dengan "b" ke angka "a". Secara formal, Anda tidak dapat menemukan kesalahan pada teks, tetapi segera setelah teks tersebut mulai digunakan oleh tutor matematika sebagai instruksi untuk melakukan perhitungan tertentu, masalah muncul. Satu frasa saja bernilai sesuatu: "Untuk mengurangi, Anda harus menambahkan." Tanpa komentar yang jelas dari tutor, siswa tidak akan mengerti. Sebenarnya, apa yang harus dilakukan: mengurangi atau menambah?
Jika Anda bekerja dengan aturan sesuai dengan maksud penulis buku teks, maka selain mengerjakan konsep "bilangan berlawanan", Anda perlu mengajar siswa untuk menghubungkan sebutan "a" dan "b" dengan nyata angka pada contoh. Dan ini akan memakan waktu. Mengingat juga fakta bahwa siswa berpikir dan menulis pada saat yang sama, tugas seorang tutor matematika menjadi lebih rumit. Siswa yang lemah tidak memiliki memori visual, semantik, dan motorik yang baik, dan oleh karena itu lebih baik menawarkan teks alternatif dari aturan:
Untuk mengurangkan bilangan kedua dari bilangan pertama,
A) Tulis ulang angka pertama
B) beri nilai plus
B) Ubah tanda bilangan kedua menjadi kebalikannya
D) Tambahkan angka yang dihasilkan
Di sini, tahapan algoritma dipisahkan dengan jelas oleh titik dan tidak terikat dengan penunjukan huruf.
Dalam menyelesaikan tugas praktis untuk terjemahan, tutor matematika membacakan kembali teks ini kepada siswa beberapa kali (untuk menghafal). Saya menyarankan Anda untuk menuliskannya di buku catatan teoretis. Hanya setelah menyelesaikan aturan transisi ke penjumlahan, Anda dapat menulis bentuk umum a-b=a+(-b)
Gerakan tanda minus dan plus di kepala seorang anak (baik orang dewasa kecil maupun orang dewasa yang lemah) agak mengingatkan pada Brownian. Seorang tutor matematika perlu membereskan kekacauan ini secepat mungkin. Dalam proses penyelesaian contoh, petunjuk referensi (verbal dan visual) digunakan, yang, dalam kombinasi dengan tata letak yang akurat dan terperinci, melakukan tugasnya. Harus diingat bahwa setiap kata yang diucapkan oleh tutor matematika pada saat menyelesaikan masalah apa pun membawa petunjuk atau hambatan. Setiap frasa dianalisis oleh anak untuk membangun hubungan dengan satu atau lain objek matematika (fenomena) dan gambarnya di atas kertas.
Masalah khas anak sekolah yang lemah adalah pemisahan tanda tindakan dari tanda nomor yang terlibat di dalamnya. Gambar visual yang sama membuat sulit untuk mengenali "a" yang dikurangi dan "b" yang dikurangi dalam perbedaan a-b. Ketika, dalam proses menjelaskan, seorang tutor matematika membaca sebuah ekspresi, Anda perlu memastikan bahwa kata “kurangi” digunakan sebagai ganti “-”. Itu perlu! Misalnya, entri harus dibaca seperti ini: “Dari minus lima mengurangi dikurangi tiga. Kita tidak boleh melupakan aturan penerjemahan ke penjumlahan: “Sehingga dari bilangan“ a ” mengurangi angka "b" diperlukan ... ".
Jika tutor matematika terus-menerus keluar dari lidah "minus 5 minus minus 3", maka jelas akan lebih sulit bagi siswa untuk membayangkan struktur contoh. Korespondensi satu-ke-satu antara kata dan operasi aritmatika membantu tutor matematika untuk menyampaikan informasi secara akurat.
Bagaimana tutor menjelaskan transisi ke penjumlahan?
Tentu saja, seseorang dapat merujuk pada definisi "pengurangan" dan mencari angka yang harus ditambahkan ke "b" untuk mendapatkan "a". Namun, seorang siswa yang lemah berpikir jauh dari matematika yang ketat, dan tutor akan membutuhkan beberapa analogi dengan tindakan sederhana ketika bekerja dengannya. Saya sering berkata kepada siswa kelas enam saya, "Tidak ada operasi aritmatika dalam matematika seperti "perbedaan". Penulisan 5 - 3 adalah notasi sederhana untuk hasil penjumlahan 5 + (-3). Tanda plus dihilangkan begitu saja dan tidak ditulis.
Anak-anak terkejut dengan kata-kata guru dan tanpa sadar mengingat bahwa Anda tidak dapat mengurangi angka secara langsung. Tutor matematika menyatakan 5 dan -3 istilah, dan untuk motivasi yang lebih besar dari kata-katanya, membandingkan hasil tindakan 5-3 dan 5+(-3). Setelah itu, identitas a-b=a+(-b) ditulis
Apa pun siswanya, dan tidak peduli berapa banyak waktu yang diberikan kepada tutor matematika untuk kelas bersamanya, Anda perlu mengerjakan konsep "bilangan lawan" tepat waktu. Catatan "-x" layak mendapat perhatian khusus dari seorang tutor matematika. Seorang siswa kelas 6 harus belajar bahwa itu tidak menampilkan angka negatif, tetapi kebalikan dari x.
Penting untuk memikirkan perhitungan secara terpisah dengan dua tanda minus yang terletak berdampingan. Ada masalah memahami operasi penghapusan simultan mereka. Penting untuk hati-hati melalui semua poin dari algoritma yang dinyatakan untuk transisi ke penambahan. Akan lebih baik jika, saat mengerjakan perbedaan -5- (-3), sebelum memberikan komentar, tutor matematika akan menyorot angka -5 dan -3 di dalam kotak atau menggarisbawahinya. Ini akan membantu siswa mengidentifikasi komponen tindakan.
Fokus tutor matematika pada menghafal
Penghafalan yang andal adalah hasil dari penerapan praktis aturan matematika, sehingga penting bagi tutor untuk memastikan kepadatan yang baik dari contoh-contoh yang diselesaikan secara mandiri. Untuk meningkatkan stabilitas menghafal, Anda dapat meminta bantuan isyarat visual - chip. Misalnya, cara yang menarik untuk menerjemahkan pengurangan bilangan negatif menjadi penjumlahan. 
Tutor matematika menghubungkan dua minus dengan satu garis (seperti yang ditunjukkan pada gambar), dan tatapan siswa membuka tanda plus (di persimpangan dengan tanda kurung).
Untuk mencegah gangguan, saya sarankan tutor matematika menyorot minuend dan subtrahend dengan kotak. 
Jika tutor matematika menggunakan kotak atau lingkaran untuk menyoroti komponen operasi aritmatika, maka siswa akan lebih mudah dan cepat belajar melihat struktur contoh dan menghubungkannya dengan aturan yang sesuai. Anda tidak boleh menempatkan potongan-potongan dari seluruh objek saat membuat keputusan pada baris yang berbeda dari lembar buku catatan, dan juga mulai menambahkan sampai ditulis. Semua tindakan dan transisi ditampilkan tanpa gagal (setidaknya pada awal mempelajari topik).
Beberapa tutor matematika berusaha keras untuk membuktikan 100% akurat dari aturan terjemahan, mengingat strategi ini satu-satunya yang benar dan berguna untuk pembentukan keterampilan komputasi. Namun, praktik menunjukkan bahwa jalan ini tidak selalu membawa hasil yang baik. Kebutuhan akan kesadaran tentang apa yang dilakukan seseorang paling sering muncul setelah menghafal langkah-langkah dari algoritma yang diterapkan dan perbaikan praktis dari operasi komputasi.
Sangat penting untuk mengerjakan transisi ke jumlah dalam ekspresi numerik yang panjang dengan beberapa pengurangan, misalnya. Sebelum melanjutkan dengan penghitungan atau konversi, saya meminta siswa untuk melingkari angka-angka beserta tanda-tandanya di sebelah kiri. Gambar tersebut menunjukkan contoh bagaimana tutor matematika memilih istilah.Untuk siswa kelas enam yang sangat lemah, Anda juga dapat mewarnai lingkaran. Gunakan satu warna untuk istilah positif dan warna lain untuk istilah negatif. Dalam kasus khusus, saya mengambil gunting di tangan saya dan memotong ekspresi menjadi beberapa bagian. Mereka dapat diatur ulang secara sewenang-wenang, sehingga meniru permutasi istilah. Anak akan melihat bahwa tanda-tanda itu bergerak bersama dengan istilah-istilah itu sendiri. Artinya, jika tanda minus ada di sebelah kiri angka 5, maka di mana pun kita menggeser kartu yang sesuai, itu tidak akan terlepas dari lima.
Kolpakov A.N. Guru matematika kelas 5-6. Moskow. Strogino.
Mari kita mulai dengan contoh sederhana. Mari kita tentukan persamaan 2-5 dengan apa. Dari titik +2, mari kita turunkan lima pembagian, dua ke nol dan tiga di bawah nol. Mari kita berhenti di titik -3. Itu adalah 2-5 = -3. Sekarang perhatikan bahwa 2-5 tidak sama dengan 5-2 sama sekali. Jika dalam kasus penambahan angka, urutannya tidak masalah, maka dalam kasus pengurangan, semuanya berbeda. Urutan nomor penting.
Sekarang mari kita lanjutkan ke daerah negatif timbangan. Misalkan Anda perlu menambahkan +5 ke -2. (Mulai sekarang, kita akan meletakkan tanda "+" di depan bilangan positif dan memasukkan bilangan positif dan negatif dalam kurung agar tidak membingungkan tanda di depan bilangan dengan tanda penjumlahan dan pengurangan.) Sekarang masalah kita dapat ditulis sebagai (-2)+ (+5). Untuk mengatasinya, dari titik -2 kita akan naik lima divisi dan menemukan diri kita di titik +3.
Apakah tugas ini masuk akal secara praktis? Tentu saja memiliki. Katakanlah Anda memiliki hutang $2 dan menghasilkan $5. Jadi, setelah Anda melunasi hutang, Anda akan memiliki 3 dolar tersisa.
Anda juga dapat menurunkan area negatif skala. Misalkan Anda perlu mengurangi 5 dari -2, atau (-2)-(+5). Dari titik -2 pada skala, mari kita letakkan lima divisi dan temukan diri kita di titik -7. Apa arti praktis dari tugas ini? Misalkan Anda memiliki utang $2 dan harus meminjam $5 lagi. Sekarang utang Anda adalah $7.
Kami melihat bahwa dengan angka negatif seseorang dapat melakukan hal yang sama operasi penjumlahan dan pengurangan, serta dengan yang positif.
Benar, kami belum menguasai semua operasi. Kami hanya menambahkan angka negatif dan hanya mengurangi angka positif dari angka negatif. Tetapi apa yang harus dilakukan jika Anda perlu menambahkan angka negatif atau mengurangi angka negatif dari angka negatif?
Dalam praktiknya, ini mirip dengan berurusan dengan hutang. Katakanlah Anda ditagih $5 dalam hutang, yang artinya sama seperti jika Anda menerima $5. Di sisi lain, jika saya entah bagaimana membuat Anda menerima tanggung jawab atas hutang $5 seseorang, itu sama dengan mengambil $5 itu dari Anda. Artinya, mengurangkan -5 sama dengan menambahkan +5. Dan menambahkan -5 sama dengan mengurangi +5.
Ini memungkinkan kita untuk menyingkirkan operasi pengurangan. Memang, "5-2" sama dengan (+5)-(+2) atau menurut aturan kita (+5)+(-2). Dalam kedua kasus, kami mendapatkan hasil yang sama. Dari titik +5 pada skala, kita harus turun dua divisi, dan kita mendapatkan +3. Dalam kasus 5-2, ini jelas, karena pengurangan adalah gerakan ke bawah.
Dalam kasus (+5)+(-2) ini kurang jelas. Kami menambahkan angka, yang berarti menaikkan skala, tetapi kami menambahkan angka negatif, yaitu, kami melakukan tindakan yang berlawanan, dan kedua faktor ini secara bersama-sama berarti bahwa kami tidak perlu naik skala, tetapi ke arah yang berlawanan. , itu jauh ke bawah.
Jadi, kita kembali mendapatkan jawaban +3.
Mengapa itu benar-benar diperlukan? ganti pengurangan dengan penjumlahan? Mengapa naik "terbalik"? Bukankah lebih mudah untuk bergerak ke bawah? Pasalnya, dalam hal penjumlahan, urutan suku tidak menjadi masalah, sedangkan dalam hal pengurangan sangat penting.
Kami telah menemukan sebelumnya bahwa (+5)-(+2) sama sekali tidak sama dengan (+2)-(+5). Dalam kasus pertama, jawabannya adalah +3, dan yang kedua -3. Sebaliknya, (-2)+(+5) dan (+5)+(-2) menghasilkan +3. Jadi, dengan beralih ke operasi penjumlahan dan pengurangan, kita dapat menghindari kesalahan acak yang terkait dengan penataan ulang suku.
Demikian pula, Anda dapat bertindak saat mengurangkan negatif. (+5)-(-2) sama dengan (+5)+(+2). Dalam kedua kasus, kami mendapatkan jawaban +7. Kami mulai dari titik +5 dan bergerak "ke bawah ke arah yang berlawanan", yaitu ke atas. Dengan cara yang sama, kita akan bertindak ketika menyelesaikan ekspresi (+5) + (+2).
Penggantian pengurangan dengan penambahan aktif digunakan oleh siswa ketika mereka mulai belajar aljabar, dan oleh karena itu operasi ini disebut "penjumlahan aljabar". Faktanya, ini tidak sepenuhnya adil, karena operasi seperti itu jelas merupakan aritmatika, dan bukan aljabar sama sekali.
Pengetahuan ini tidak berubah untuk semua orang, jadi bahkan jika Anda mendapatkan pendidikan di Austria melalui www.salls.ru, meskipun belajar di luar negeri lebih dihargai, Anda masih dapat menerapkan aturan ini di sana.
Pada artikel ini kita akan berbicara tentang penjumlahan bilangan negatif. Pertama, kami memberikan aturan untuk menambahkan angka negatif dan membuktikannya. Setelah itu, kami akan menganalisis contoh tipikal penambahan angka negatif.
Navigasi halaman.
Sebelum memberikan rumusan aturan penjumlahan bilangan negatif, mari kita beralih ke materi artikel bilangan positif dan negatif. Di sana kami menyebutkan bahwa angka negatif dapat dianggap sebagai hutang, dan modulus angka dalam hal ini menentukan jumlah hutang ini. Oleh karena itu, penambahan dua angka negatif adalah penambahan dua hutang.
Kesimpulan ini memungkinkan untuk dipahami aturan penjumlahan negatif. Untuk menambahkan dua angka negatif, Anda perlu:
- susun modul mereka;
- beri tanda minus di depan jumlah yang diterima.
Mari kita tuliskan aturan penjumlahan bilangan negatif a dan b dalam bentuk literal: (−a)+(−b)=−(a+b) .
Jelas bahwa aturan bersuara mengurangi penambahan bilangan negatif ke penambahan bilangan positif (modulus bilangan negatif adalah bilangan positif). Jelas juga bahwa hasil penjumlahan dua bilangan negatif adalah bilangan negatif, dibuktikan dengan tanda minus yang diletakkan di depan penjumlahan modul.
Aturan penjumlahan bilangan negatif dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat tindakan dengan bilangan real(atau sifat operasi yang sama dengan bilangan rasional atau bilangan bulat). Untuk melakukannya, cukup ditunjukkan bahwa selisih antara bagian kiri dan kanan persamaan (−a)+(−b)=−(a+b) sama dengan nol.
Karena mengurangkan suatu bilangan sama dengan menjumlahkan bilangan yang berlawanan (lihat aturan pengurangan bilangan bulat), maka (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(a+b) . Berdasarkan sifat komutatif dan asosiatif dari penjumlahan, kita memiliki (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Karena jumlah bilangan yang berlawanan sama dengan nol, maka (−a+a)+(−b+b)=0+0 , dan 0+0=0 karena sifat menjumlahkan suatu bilangan menjadi nol. Ini membuktikan persamaan (−a)+(−b)=−(a+b) , dan karenanya aturan untuk menjumlahkan bilangan negatif.
Jadi, aturan penjumlahan ini berlaku untuk bilangan bulat negatif dan bilangan rasional, serta bilangan real.
Tetap hanya mempelajari cara menerapkan aturan penambahan angka negatif dalam praktik, yang akan kita lakukan di paragraf berikutnya.
Contoh Penjumlahan Bilangan Negatif
Mari kita analisis contoh penjumlahan bilangan negatif. Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana - penambahan bilangan bulat negatif, penambahan akan dilakukan sesuai dengan aturan yang dibahas pada paragraf sebelumnya.
Tambahkan angka negatif -304 dan -18007 .
Mari ikuti semua langkah aturan penjumlahan bilangan negatif.
Pertama, kami menemukan modul dari angka yang ditambahkan: dan 
. Sekarang Anda perlu menambahkan angka yang dihasilkan, di sini lebih mudah untuk melakukan penambahan dalam kolom: 
Sekarang kita menempatkan tanda minus di depan angka yang dihasilkan, sebagai hasilnya kita memiliki 18 311 .
Mari kita tuliskan seluruh solusi dalam bentuk pendek: (−304)+(−18 007)= (304+18 007)=−18 311 .
Penjumlahan bilangan rasional negatif, tergantung pada bilangan itu sendiri, dapat direduksi menjadi penjumlahan bilangan asli, atau pada penjumlahan pecahan biasa, atau pada penjumlahan pecahan desimal.
Tambahkan angka negatif dan angka negatif 4,(12) .
Menurut aturan penambahan angka negatif, Anda harus terlebih dahulu menghitung jumlah modul. Modul dari bilangan negatif yang ditambahkan masing-masing adalah 2/5 dan 4, (12). Penambahan bilangan yang dihasilkan dapat direduksi menjadi penjumlahan pecahan biasa. Untuk melakukan ini, kami menerjemahkan pecahan desimal periodik menjadi pecahan biasa :. Jadi 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Sekarang mari kita menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda: .
Tetap meletakkan tanda minus di depan nomor yang dihasilkan: . Ini melengkapi penambahan bilangan negatif asli.
Bilangan real negatif ditambahkan menurut aturan yang sama untuk menjumlahkan bilangan negatif. Perlu dicatat di sini bahwa hasil penjumlahan bilangan real sangat sering ditulis sebagai ekspresi numerik, dan nilai ekspresi ini dihitung kira-kira, dan kemudian jika perlu.
Misalnya, mari kita cari jumlah bilangan negatif dan -5. Modul angka-angka ini sama dengan akar kuadrat dari tiga dan lima, masing-masing, dan jumlah angka aslinya adalah . Ini adalah bagaimana jawabannya ditulis. Contoh lain dapat ditemukan di artikel. penjumlahan bilangan real.
www.cleversstudents.ru
Bagaimana cara menjumlahkan dua bilangan negatif?
Operasi dengan bilangan negatif dan positif
Nilai mutlak (modulus). Tambahan.
Pengurangan. Perkalian. Divisi.
Nilai mutlak (modulus). Untuk angka negatif adalah bilangan positif yang diperoleh dengan mengubah tandanya dari “-” menjadi “+”; untuk nomor positif dan nol adalah nomor itu sendiri. Untuk menunjukkan nilai absolut (modulus) suatu bilangan, dua garis lurus digunakan, di mana bilangan ini ditulis.
CONTOH: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) ketika menambahkan dua angka dengan tanda yang sama, tambahkan
nilai absolutnya dan jumlahnya didahului dengan tanda umum.
2) ketika menambahkan dua angka dengan tanda yang berbeda, absolutnya
nilai dikurangi (dari yang lebih besar semakin kecil) dan tanda diletakkan
bilangan dengan nilai absolut yang lebih besar.
Pengurangan. Anda dapat mengganti pengurangan dua angka dengan penambahan, sedangkan minuend mempertahankan tandanya, dan pengurangan diambil dengan tanda yang berlawanan.
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
Perkalian. Ketika dua angka dikalikan, nilai absolutnya dikalikan, dan produk memiliki tanda "+" jika tanda faktornya sama, dan tanda "-" jika tanda faktornya berbeda.
Skema berikut ini berguna ( aturan tanda perkalian):
Saat mengalikan beberapa angka (dua atau lebih), produk memiliki tanda "+" jika jumlah faktor negatifnya genap, dan tanda "-" jika jumlahnya ganjil.
Divisi. Saat membagi dua angka, nilai absolut dari dividen dibagi dengan nilai absolut dari pembagi, dan hasil bagi memiliki tanda "+" jika tanda dari dividen dan pembagi sama, dan tanda "-" jika tanda-tanda dividen dan pembagi berbeda.
Ada Sama aturan tanda, seperti dalam perkalian:
Menambahkan angka negatif
Penjumlahan bilangan positif dan negatif dapat diuraikan menggunakan sumbu angka.
Menambahkan angka menggunakan garis koordinat
Penjumlahan bilangan modulo kecil mudah dilakukan pada garis koordinat, secara mental membayangkan sebagai titik yang menunjukkan bilangan bergerak di sepanjang sumbu bilangan.
Mari kita ambil beberapa nomor, misalnya, 3 . Mari kita tentukan pada sumbu numerik dengan titik " A ".
Mari kita tambahkan angka positif 2 ke angka tersebut. Ini berarti bahwa titik "A" harus dipindahkan dua unit segmen ke arah positif, yaitu ke kanan. Hasilnya, kita akan mendapatkan titik "B" dengan koordinat 5.
Untuk menambahkan angka negatif "−5" ke angka positif, misalnya, 3, titik "A" harus dipindahkan 5 satuan panjang ke arah negatif, yaitu ke kiri.
Dalam hal ini, koordinat titik "B" sama dengan - "2".
Jadi, urutan penjumlahan bilangan rasional menggunakan sumbu bilangan adalah sebagai berikut:
Bergerak dari titik - 2 ke kiri (karena ada tanda minus di depan 6), kita mendapatkan - 8.
Penjumlahan bilangan dengan tanda yang sama
Menambahkan bilangan rasional lebih mudah jika Anda menggunakan konsep modulus.
Misalkan kita perlu menambahkan angka yang memiliki tanda yang sama.
Untuk melakukan ini, kami membuang tanda-tanda angka dan mengambil modul dari angka-angka ini. Kami menambahkan modul dan meletakkan tanda di depan jumlah, yang umum untuk angka-angka ini.
Contoh penjumlahan bilangan negatif.
Untuk menjumlahkan angka dari tanda yang sama, Anda perlu menambahkan modulnya dan meletakkan tanda di depan jumlah yang ada di depan suku.
Penambahan angka dengan tanda yang berbeda
Jika angka-angka memiliki tanda yang berbeda, maka kita bertindak agak berbeda dari saat menambahkan angka dengan tanda yang sama.
Contoh penjumlahan bilangan negatif dan bilangan positif.
Contoh penjumlahan bilangan campuran.
Ke jumlahkan bilangan yang berlawanan tanda diperlukan:
- kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar;
- sebelum selisih yang dihasilkan, beri tanda bilangan yang memiliki modulus lebih besar.
- melakukan penambahan modul mereka;
- tambahkan tanda "-" ke jumlah yang diterima.
- menghitung modul angka;
- bandingkan angka yang diterima:
- kurangi yang lebih kecil dari yang lebih besar;
- sebelum nilai yang diterima, beri tanda bilangan yang modulusnya lebih besar.
Penjumlahan dan pengurangan bilangan positif dan negatif
Tidak ada yang jelas?
Coba minta bantuan guru.
Aturan penjumlahan negatif
Untuk menambahkan dua angka negatif:
Menurut aturan penjumlahan, kita dapat menulis:
Aturan penjumlahan negatif berlaku untuk bilangan bulat negatif, bilangan rasional, dan bilangan real.
Tambahkan angka negatif $−185$ dan $−23 \ 789.$
Mari kita gunakan aturan penjumlahan bilangan negatif.
Mari kita tambahkan angka yang dihasilkan:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Kami menempatkan tanda $"–"$ di depan nomor yang ditemukan dan mendapatkan $−23 974$.
Solusi singkat: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Saat menambahkan bilangan rasional negatif, mereka harus dikonversi ke bentuk bilangan asli, pecahan biasa atau desimal.
Tambahkan angka negatif $-\frac $ dan $−7.15$.
Menurut aturan penambahan angka negatif, pertama-tama Anda harus menemukan jumlah modul:
Lebih mudah untuk mengurangi nilai yang diperoleh menjadi pecahan desimal dan melakukan penambahannya:
Mari kita letakkan tanda $"-"$ di depan nilai yang diterima dan dapatkan $-7,4$.
Ringkasan solusi:
Penjumlahan bilangan yang berlawanan tanda
Aturan untuk menjumlahkan angka dengan tanda yang berlawanan:
jika mereka sama, maka angka aslinya berlawanan dan jumlahnya sama dengan nol;
jika tidak sama, maka Anda perlu mengingat tanda angka yang modulusnya lebih besar;
Penjumlahan bilangan dengan tanda yang berlawanan direduksi menjadi pengurangan bilangan negatif yang lebih kecil dari bilangan positif yang lebih besar.
Aturan penjumlahan bilangan dengan tanda yang berlawanan dilakukan untuk bilangan bulat, rasional, dan real.
Tambahkan angka $4$ dan $−8$.
Anda perlu menambahkan angka dengan tanda yang berlawanan. Mari kita gunakan aturan penjumlahan yang sesuai.
Mari kita temukan modul dari angka-angka ini:
Modulus bilangan $−8$ lebih besar dari modulus bilangan $4$, mis. ingat tanda $"-"$.
Kami meletakkan tanda $"–"$, yang kami hafal, di depan nomor yang dihasilkan, dan kami mendapatkan $−4.$
Terlalu malas untuk membaca?
Tanyakan pada ahlinya dan dapatkan
respon dalam 15 menit!
Untuk menjumlahkan bilangan rasional dengan tanda yang berlawanan, akan lebih mudah untuk menyatakannya sebagai pecahan biasa atau desimal.
Pengurangan bilangan negatif
Aturan pengurangan bilangan negatif:
Untuk mengurangkan bilangan negatif $b$ dari bilangan $a$, maka $a$ perlu ditambahkan bilangan $−b$, yang merupakan kebalikan dari pengurangan $b$.
Menurut aturan pengurangan, kita dapat menulis:
Aturan ini berlaku untuk bilangan bulat, rasional, dan real. Aturan dapat digunakan saat mengurangkan angka negatif dari angka positif, dari angka negatif, dan dari nol.
Kurangi bilangan negatif $−28$ dengan bilangan negatif $−5$.
Angka kebalikan dari angka $–5$ adalah angka $5.
Menurut aturan untuk mengurangkan angka negatif, kita mendapatkan:
Mari kita menjumlahkan bilangan dengan tanda yang berlawanan:
Solusi singkat: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Saat mengurangkan bilangan pecahan negatif, Anda harus mengubah bilangan tersebut ke dalam bentuk pecahan biasa, pecahan campuran, atau pecahan desimal.
Pengurangan bilangan yang berlawanan tanda
Aturan pengurangan bilangan yang berlawanan tanda sama dengan aturan pengurangan bilangan negatif.
Kurangi bilangan positif $7$ dari bilangan negatif $−11$.
Angka kebalikan dari angka $7$ adalah angka $–7$.
Menurut aturan untuk mengurangkan bilangan dengan tanda yang berlawanan, kita mendapatkan:
Mari kita tambahkan angka negatif:
Saat mengurangkan bilangan pecahan dengan tanda yang berlawanan, perlu untuk mengubah bilangan tersebut ke bentuk pecahan biasa atau desimal.
Belum menemukan jawaban
untuk pertanyaan Anda?
Tulis saja dengan apa adanya
Butuh bantuan
Penambahan angka negatif: aturan, contoh
Sebagai bagian dari materi ini, kita akan menyentuh topik penting seperti penambahan angka negatif. Di paragraf pertama, kami akan menjelaskan aturan dasar untuk tindakan ini, dan di paragraf kedua, kami akan menganalisis contoh spesifik untuk memecahkan masalah tersebut.
Aturan dasar untuk menambahkan bilangan asli
Sebelum menurunkan aturan, mari kita ingat kembali apa yang umumnya kita ketahui tentang bilangan positif dan negatif. Sebelumnya kami sepakat bahwa angka negatif harus dianggap sebagai hutang, kerugian. Modulus bilangan negatif menyatakan ukuran yang tepat dari kerugian ini. Kemudian penambahan angka negatif dapat dianggap sebagai penambahan dua kerugian.
Dengan menggunakan alasan ini, kami merumuskan aturan dasar untuk menambahkan angka negatif.
Untuk memenuhi penjumlahan bilangan negatif, Anda perlu menambahkan nilai modulnya dan memberi tanda minus di depan hasilnya. Dalam bentuk literal, rumusnya terlihat seperti (− a) + (− b) = (a + b) .
Berdasarkan aturan ini dapat kita simpulkan bahwa penjumlahan bilangan negatif sama dengan penjumlahan bilangan positif, hanya saja pada akhirnya kita pasti mendapatkan bilangan negatif, karena kita harus meletakkan tanda minus di depan penjumlahan modul.
Bukti apa yang dapat diberikan untuk aturan ini? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat sifat dasar operasi dengan bilangan real (baik dengan bilangan bulat atau dengan bilangan rasional - mereka sama untuk semua jenis bilangan ini). Untuk membuktikannya, kita hanya perlu menunjukkan bahwa selisih antara ruas kiri dan kanan persamaan (− a) + (− b) = (a + b) akan sama dengan 0 .
Mengurangi satu angka dari yang lain sama dengan menambahkan angka yang berlawanan dengannya. Jadi, (− a) + (− b) (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Ingatlah bahwa ekspresi numerik dengan penambahan memiliki dua sifat utama - asosiatif dan komutatif. Maka kita dapat menyimpulkan bahwa (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Karena, dengan menambahkan angka yang berlawanan, kami selalu mendapatkan 0, maka (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0, dan 0 + 0 \u003d 0. Persamaan kami dapat dianggap terbukti, yang berarti bahwa aturan untuk menambahkan angka negatif kami juga membuktikan.
Soal penjumlahan bilangan negatif
Di paragraf kedua, kami akan mengambil masalah khusus di mana Anda perlu menambahkan angka negatif, dan mencoba menerapkan aturan yang dipelajari di dalamnya.
Temukan jumlah dua bilangan negatif - 304 dan - 1807.
Larutan
Mari kita lakukan langkah demi langkah. Pertama kita perlu menemukan modul angka yang akan ditambahkan: - 304 \u003d 304, - 180007 \u003d 180007. Selanjutnya, kita perlu melakukan tindakan penambahan, di mana kita menggunakan metode jumlah kolom:
Yang tersisa adalah menempatkan minus di depan hasil dan mendapatkan - 18 311 .
Menjawab: — — 18 311 .
Itu tergantung pada angka apa yang kita miliki, pada apa kita dapat mengurangi tindakan penjumlahan: untuk menemukan jumlah bilangan asli, untuk menambahkan pecahan biasa atau desimal. Mari kita menganalisis masalah dengan angka-angka seperti itu.
Tentukan jumlah dua bilangan negatif - 2 5 dan - 4 , (12) .
Kami menemukan modul dari angka yang diinginkan dan mendapatkan 2 5 dan 4 , (12) . Kami memiliki dua fraksi yang berbeda. Kami mengurangi masalah menjadi penambahan dua fraksi biasa, di mana kami mewakili fraksi periodik dalam bentuk biasa:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Hasilnya, kami mendapatkan pecahan yang mudah dijumlahkan ke suku awal pertama (jika Anda lupa cara menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda dengan benar, ulangi materi yang sesuai).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Akibatnya, kami mendapat nomor campuran, di depannya kami hanya perlu memberi minus. Ini menyelesaikan perhitungan.
Menjawab: — 4 86 105 .
Bilangan negatif real dijumlahkan dengan cara yang sama. Hasil dari tindakan seperti itu biasanya ditulis sebagai ekspresi numerik. Nilainya tidak dapat dihitung atau terbatas pada perkiraan perhitungan. Jadi, misalnya, jika kita perlu mencari jumlah - 3 + (- 5), maka kita tulis jawabannya sebagai - 3 - 5. Kami mencurahkan materi terpisah untuk penambahan bilangan real, di mana Anda dapat menemukan contoh lain.
