Kita telah mengetahui bahwa himpunan bilangan real $R$ dibentuk oleh bilangan rasional dan irasional.

Bilangan rasional selalu dapat direpresentasikan sebagai desimal (periodik terbatas atau tak terbatas).

Bilangan irasional ditulis sebagai desimal tak terbatas tetapi tidak berulang.

Himpunan bilangan real $R$ juga mencakup elemen $-\infty $ dan $+\infty $, yang pertidaksamaannya $-\infty

Pertimbangkan cara untuk mewakili bilangan real.

pecahan biasa

Pecahan biasa ditulis menggunakan dua bilangan asli dan batang pecahan horizontal. Bilah pecahan sebenarnya menggantikan tanda pembagian. Bilangan di bawah garis adalah penyebut (pembagi), bilangan di atas garis adalah pembilangnya (dibagi).

Definisi

Suatu pecahan disebut wajar jika pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Sebaliknya, suatu pecahan disebut tidak wajar jika pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya.

Untuk pecahan biasa, ada aturan perbandingan sederhana, praktis jelas ($m$,$n$,$p$ adalah bilangan asli):

1. dari dua pecahan dengan penyebut yang sama, pecahan dengan pembilang yang lebih besar lebih besar, yaitu $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ for $m>n$;
2. dari dua pecahan dengan pembilang yang sama, pecahan yang penyebutnya lebih kecil lebih besar, yaitu $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ untuk $ m
3. pecahan biasa selalu kurang dari satu; pecahan tak wajar selalu lebih besar dari satu; pecahan yang pembilangnya sama dengan penyebutnya sama dengan satu;
4. Setiap pecahan tidak wajar lebih besar dari pecahan biasa mana pun.

Bilangan desimal

Notasi bilangan desimal (pecahan desimal) memiliki bentuk: bagian bilangan bulat, titik desimal, bagian pecahan. Notasi desimal dari pecahan biasa dapat diperoleh dengan membagi "sudut" pembilang dengan penyebut. Ini dapat menghasilkan pecahan desimal terbatas atau pecahan desimal periodik tak terbatas.

Definisi

Angka pecahan disebut tempat desimal. Dalam hal ini, digit pertama setelah titik desimal disebut digit kesepuluh, digit kedua - seperseratus, digit ketiga - seperseribu, dll.

Contoh 1

Kami menentukan nilai angka desimal 3,74. Kami mendapatkan: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Bilangan desimal dapat dibulatkan. Dalam hal ini, Anda harus menentukan digit yang akan dilakukan pembulatan.

Aturan pembulatannya adalah sebagai berikut:

1. semua angka di sebelah kanan angka ini diganti dengan nol (jika angka-angka ini sebelum titik desimal) atau dibuang (jika angka-angka ini berada setelah titik desimal);
2. jika digit pertama setelah digit yang diberikan kurang dari 5, maka digit digit ini tidak diubah;
3. jika angka pertama setelah angka yang diberikan adalah 5 atau lebih, maka angka dari angka ini ditambah satu.

Contoh 2

1. Mari kita bulatkan angka 17302 ke ribuan terdekat: 17000.
2. Mari kita bulatkan angka 17378 ke ratusan terdekat: 17400.
3. Mari kita bulatkan angka 17378,45 menjadi puluhan: 17380.
4. Mari kita bulatkan angka 378.91434 ke perseratus terdekat: 378.91.
5. Mari kita bulatkan angka 378.91534 ke perseratus terdekat: 378.92.

Mengubah bilangan desimal menjadi pecahan biasa.

Kasus 1

Bilangan desimal adalah desimal berakhir.

Metode konversi ditunjukkan dalam contoh berikut.

Contoh 2

Kami memiliki: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Kurangi menjadi penyebut yang sama dan dapatkan:

Pecahan dapat dikurangi: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Kasus 2

Bilangan desimal adalah desimal berulang yang tak terbatas.

Metode transformasi didasarkan pada fakta bahwa bagian periodik dari pecahan desimal periodik dapat dianggap sebagai jumlah anggota deret geometri menurun tak terbatas.

Contoh 4

$0,\kiri(74\kanan)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Anggota pertama dari progres adalah $a=0.74$, penyebut dari progresi adalah $q=0.01$.

Contoh 5

$0,5\kiri(8\kanan)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Anggota pertama dari kemajuan adalah $a=0,08$, penyebut dari kemajuan adalah $q=0,1$.

Jumlah suku dari barisan geometri menurun tak hingga dihitung dengan rumus $s=\frac(a)(1-q) $, dengan $a$ suku pertama dan $q$ penyebut barisan $ \kiri (0

Contoh 6

Mari kita ubah pecahan desimal periodik tak hingga $0,\left(72\right)$ menjadi pecahan biasa.

Anggota pertama dari progres adalah $a=0.72$, penyebut dari progresi adalah $q=0.01$. Kita peroleh: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. Jadi $0,\kiri(72\kanan)=\frac(8)(11) $.

Contoh 7

Mari kita ubah pecahan desimal periodik tak hingga $0,5\kiri(3\kanan)$ menjadi pecahan biasa.

Anggota pertama dari progres adalah $a=0.03$, penyebut dari progres adalah $q=0.1$. Kita peroleh: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.

Jadi $0,5\kiri(3\kanan)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Bilangan real dapat diwakili oleh titik-titik pada garis bilangan.

Dalam hal ini, kami menyebut sumbu numerik sebagai garis lurus tak terbatas, di mana titik asal (titik $O$), arah positif (ditunjukkan oleh panah) dan skala (untuk menampilkan nilai) dipilih.

Antara semua bilangan real dan semua titik sumbu numerik ada korespondensi satu-satu: setiap titik sesuai dengan satu angka dan, sebaliknya, setiap angka sesuai dengan satu titik. Oleh karena itu, himpunan bilangan real kontinu dan tak terbatas dengan cara yang sama seperti sumbu bilangan kontinu dan tak terbatas.

Beberapa himpunan bagian dari himpunan bilangan real disebut interval numerik. Unsur-unsur interval numerik adalah bilangan $x\dalam R$ yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Biarkan $a\di R$, $b\di R$ dan $a\le b$. Dalam hal ini, jenis kesenjangan dapat sebagai berikut:

1. Interval $\kiri(a,\; b\kanan)$. Pada saat yang sama $a
2. Segmen $\kiri$. Selain itu, $a\le x\le b$.
3. Setengah-segmen atau setengah-interval $\left$. Pada saat yang sama $a \le x
4. Rentang tak terbatas, misalnya $a

Sangat penting juga semacam interval, yang disebut lingkungan suatu titik. Lingkungan dari titik tertentu $x_(0) \in R$ adalah interval arbitrer $\left(a,\; b\right)$ yang berisi titik ini di dalam dirinya sendiri, yaitu $a 0$ - radius 10.

Nilai mutlak dari bilangan

Nilai mutlak (atau modulus) dari bilangan real $x$ adalah bilangan real non-negatif $\left|x\right|$, didefinisikan oleh rumus: $\left|x\right|=\left\(\ mulai(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm aktif)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm aktif)\; \; x

Secara geometris, $\left|x\right|$ berarti jarak antara titik $x$ dan 0 pada sumbu nyata.

Sifat nilai mutlak:

1. berikut dari definisi bahwa $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. untuk modulus penjumlahan dan modulus selisih dua bilangan, pertidaksamaan $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ kiri|x-y\kanan|\le \kiri|x\kanan|+\kiri|y\kanan|$ dan juga $\kiri|x+y\kanan|\ge \kiri|x\kanan|-\kiri|y \kanan|$,$\ kiri|x-y\kanan|\ge \kiri|x\kanan|-\kiri|y\kanan|$;
3. modulus hasil kali dan modulus hasil bagi dua bilangan memenuhi persamaan $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ dan $\left |\frac(x)( y) \kanan|=\frac(\kiri|x\kanan|)(\kiri|y\kanan|) $.

Berdasarkan definisi nilai absolut untuk bilangan arbitrer $a>0$, kita juga dapat menetapkan ekivalensi dari pasangan pertidaksamaan berikut:

1. jika $ \kiri|x\kanan|
2. jika $\left|x\right|\le a$ maka $-a\le x\le a$;
3. jika $\left|x\right|>a$ maka $xa$;
4. jika $\left|x\right|\ge a$, maka $x\le -a$ atau $x\ge a$.

Contoh 8

Selesaikan pertidaksamaan $\left|2\cdot x+1\right|

Pertidaksamaan ini setara dengan pertidaksamaan $-7

Dari sini kita mendapatkan: $-8

Definisi 1. Sumbu numerik Garis lurus disebut dengan asal, skala dan arah yang dipilih di atasnya.

Teorema 1. Ada korespondensi satu-satu (bijeksi) antara titik-titik sumbu numerik dan bilangan real.

Membutuhkan. Mari kita tunjukkan bahwa setiap titik sumbu numerik sesuai dengan bilangan real. Untuk melakukan ini, sisihkan segmen skala satuan panjang

kali jadi titik itu akan terletak di sebelah kiri titik , dan titik
sudah ke kanan. Segmen berikutnya
dibagi dengan
bagian dan sisihkan segmen dan kali jadi titik itu akan terletak di sebelah kiri titik , dan titik
sudah ke kanan. Jadi, pada setiap tahap, jumlah
,
… Jika prosedur ini berakhir pada tahap tertentu, kami akan mendapatkan nomornya
(koordinat titik pada garis bilangan). Jika tidak, maka kita sebut batas kiri dari sembarang interval "angka dengan kerugian", dan yang benar - "nomornya lebih", atau "perkiraan jumlah dengan kekurangan atau kelebihan, "dan jumlah itu sendiri akan menjadi pecahan desimal non-periodik (mengapa?) tak terbatas. Dapat ditunjukkan bahwa semua operasi dengan aproksimasi rasional dari bilangan irasional didefinisikan dengan jelas.

Kecukupan. Mari kita tunjukkan bahwa sembarang bilangan real bersesuaian dengan satu titik pada sumbu bilangan.

Definisi 2. Jika sebuah
, maka selang bilangan
diteleponsegmen , jika
, maka selang bilangan diteleponselang , jika
, maka selang bilangan
diteleponsetengah interval .

HAI
definisi 3. Jika segmen
segmen bersarang sehingga
, sebuah
, maka sistem seperti ini disebut SHS (sistem segmen bersarang ).

Definisi 4. Mereka mengatakan itu

(panjang segmen
cenderung nol , dengan ketentuan
), jika.

Definisi 5. SVS, yang
disebut SSS (sistem segmen kontrak).

Aksioma Cantor-Dedekind: Di setiap SHS, setidaknya ada satu poin yang dimiliki semuanya sekaligus.

Karena aproksimasi rasional dari bilangan dapat diwakili oleh sistem segmen kontrak, maka bilangan rasional akan sesuai dengan satu titik sumbu numerik jika ada satu titik dalam sistem segmen kontrak yang dimiliki semuanya sekaligus ( teorema Cantor). Mari kita tunjukkan ini secara terbalik.

. Membiarkan dan dua titik seperti itu, dan
,
. T
ak bagaimana,
, kemudian
. Tapi di sisi lain,
, dan itu. mulai dari beberapa nomor
,
akan lebih kecil dari konstanta apa pun. Kontradiksi ini membuktikan apa yang dibutuhkan.

Jadi, kami telah menunjukkan bahwa sumbu numerik kontinu (tidak memiliki "lubang") dan tidak ada lagi angka yang dapat ditempatkan di atasnya. Namun, kami masih tidak tahu cara mengekstrak akar dari bilangan real apa pun (khususnya, dari bilangan negatif) dan tidak tahu cara menyelesaikan persamaan seperti
. Dalam Bagian 5 kita akan membahas masalah ini.

3. 4. Teori wajah

Definisi 1. Banyak
terbatas dari atas (dari bawah ) jika ada nomor , seperti yang
. Nomor diteleponatas (bawah ) tepian .

Definisi 2. Banyakterbatas jika dibatasi di atas dan di bawah.

Definisi 3. Tepi atas yang akurat himpunan bilangan real berbatas atas
ditelepon :

(itu. - salah satu wajah atas);

(itu. - tidak bergerak).

Komentar. Batas atas yang bagus (TSB) dari kumpulan angka
dilambangkan
(dari lat. tertinggi- yang terkecil dari yang terbesar).

Komentar. Definisi yang sesuai untuk TNG ( tepi bawah yang tepat) berikan dirimu. Set nomor TNG
dilambangkan
(dari lat. infinum- yang terbesar dari yang terkecil).

Komentar. mungkin milik
, Atau mungkin tidak. Nomor adalah TNG dari himpunan bilangan real negatif, dan TNG dari himpunan bilangan real positif, tetapi bukan milik salah satu atau yang lain. Nomor adalah TNG dari himpunan bilangan asli dan mengacu pada mereka.

Timbul pertanyaan: apakah setiap himpunan berbatas memiliki batas yang pasti, dan ada berapa banyak?

Teorema 1. Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang dibatasi dari atas memiliki TVG unik. (Demikian pula, rumuskan dan buktikan sendiri teorema TNG).

Rancangan. Banyak
himpunan bilangan real tak kosong yang dibatasi dari atas. Kemudian
dan
. Bagilah segmen

P
kutub dan menyebutnya segmen
yang memiliki sifat sebagai berikut:

segmen garis
mengandung setidaknya satu poin
. (misalnya, titik );

seluruh rangkaian
terletak di sebelah kiri titik , yaitu
.

Melanjutkan prosedur ini, kami mendapatkan CCC
. Jadi, menurut teorema Cantor, ada poin unik , milik semua segmen sekaligus. Mari kita tunjukkan itu
.

Mari kita tunjukkan itu
(itu. salah satu tepi). Asumsikan sebaliknya bahwa
. Karena
, kemudian
satu kali
,
, yaitu
, yaitu
. Menurut aturan pemilihan poin
, dot selalu ke kiri , yaitu
, oleh karena itu, dan
. Tetapi dipilih sehingga semua
, sebuah
, yaitu dan
. Kontradiksi ini membuktikan bagian teorema ini.

Mari kita tunjukkan ketidakberdayaan , yaitu
. Mari kita perbaiki
dan menemukan nomor. Menurut
dengan aturan 1 untuk memilih segmen. Kami baru saja menunjukkan itu
, yaitu
, atau
. Lewat sini
, atau
. ■

Sumbu adalah garis lurus di mana salah satu dari dua kemungkinan arah disorot sebagai positif (arah yang berlawanan dianggap negatif). Arah positif biasanya ditunjukkan dengan panah. Sumbu numerik (atau koordinat) adalah sumbu di mana titik awal (atau awal) O dan unit skala atau segmen skala OE dipilih (Gbr. 1).

Dengan demikian, sumbu numerik diberikan dengan menunjukkan arah langsung, asal dan skala.

Titik-titik pada garis bilangan menunjukkan bilangan real. Bilangan bulat diwakili oleh poin, yang diperoleh dengan meletakkan segmen skala beberapa kali ke kanan awal O dalam kasus bilangan bulat positif dan ke kiri dalam kasus bilangan bulat negatif. Nol diwakili oleh titik awal O (huruf O itu sendiri mengingatkan pada nol; itu adalah huruf pertama dari kata origo, yang berarti "awal"). Angka pecahan (rasional) juga hanya diwakili oleh titik sumbu; misalnya, untuk membuat titik yang sesuai dengan angka , tiga segmen skala dan sepertiga segmen skala harus disisihkan di sebelah kiri O (titik A pada Gambar 1). Selain titik A pada Gambar. 1 menunjukkan lebih banyak titik B, C, D, masing-masing mewakili angka -2; 3/2; empat.

Ada jumlah bilangan bulat yang tak terbatas, tetapi pada sumbu numerik, bilangan bulat diwakili oleh titik-titik yang terletak "jarang", titik-titik bilangan bulat dari sumbu dipisahkan dari yang berdekatan dengan unit skala. Titik-titik rasional terletak pada sumbu dengan sangat "padat" - mudah untuk menunjukkan bahwa pada setiap bagian kecil yang sewenang-wenang dari sumbu ada banyak titik yang mewakili bilangan rasional. Namun, ada titik-titik pada garis bilangan yang bukan merupakan gambaran bilangan rasional. Jadi, jika Anda membuat segmen OA pada sumbu nyata, sama dengan OS sisi miring dari segitiga siku-siku OEC dengan kaki, maka panjang segmen ini (menurut teorema Pythagoras, hal. 216) akan sama dan titik A akan bukan merupakan bayangan bilangan rasional.

Secara historis, fakta keberadaan segmen yang panjangnya tidak dapat dinyatakan dengan angka (bilangan rasional!), yang menyebabkan pengenalan bilangan irasional.

Pengenalan bilangan irasional, yang bersama-sama dengan bilangan rasional membentuk himpunan semua bilangan real, mengarah pada fakta bahwa setiap titik sumbu bilangan sesuai dengan satu bilangan real, gambar yang dilayaninya. Sebaliknya, setiap bilangan real diwakili oleh titik yang terdefinisi dengan baik pada sumbu numerik. Korespondensi satu-satu dibuat antara bilangan real dan titik-titik pada sumbu numerik.

Karena kita menganggap sumbu bilangan sebagai garis kontinu, dan titik-titiknya berkorespondensi satu-satu dengan bilangan real, kita berbicara tentang sifat kontinuitas himpunan bilangan real (item 6).

Kami juga mencatat bahwa dalam arti tertentu (kami tidak menentukannya) ada bilangan irasional yang jauh lebih banyak daripada bilangan rasional.

Angka yang diwakili oleh titik A tertentu dari sumbu numerik disebut koordinat titik ini; fakta bahwa a adalah koordinat titik A ditulis sebagai berikut: A (a). Koordinat titik A mana pun dinyatakan sebagai rasio OA / OE segmen OA dengan segmen skala OE, di mana, untuk titik-titik yang terletak dari awal O ke arah negatif, tanda minus diberikan.

Kami sekarang memperkenalkan koordinat Cartesian persegi panjang di pesawat. Ambil dua sumbu numerik yang saling tegak lurus Ox dan Oy, memiliki asal yang sama O dan segmen skala yang sama (dalam praktiknya, sumbu koordinat dengan unit skala yang berbeda sering digunakan). Katakanlah sumbu-sumbu ini (Gbr. 3) membentuk sistem koordinat persegi panjang Cartesian pada bidang. Titik O disebut titik asal koordinat, sumbu Ox dan Oy adalah sumbu koordinat (sumbu Ox disebut sumbu absis, sumbu Oy adalah sumbu ordinat). pada gambar. 3, seperti biasa, absis horizontal, sumbu y vertikal. Bidang di mana sistem koordinat diberikan disebut bidang koordinat.

Setiap titik pesawat diberi sepasang angka - koordinat titik ini relatif terhadap sistem koordinat yang diberikan. Yaitu, kami mengambil proyeksi persegi panjang dari titik M pada sumbu Ox dan Oy, titik-titik yang sesuai pada sumbu Ox, Oy ditunjukkan pada Gambar. 3 sampai

Titik memiliki, sebagai titik sumbu numerik, koordinat (absis) x, titik, sebagai titik sumbu numerik, koordinat (ordinat) y. Kedua bilangan y ini (ditulis dalam urutan yang ditunjukkan) disebut koordinat titik M.

Pada saat yang sama, mereka menulis: (x, y).

Jadi, setiap titik pesawat diberikan pasangan bilangan real terurut (x, y) - koordinat persegi panjang Cartesian dari titik ini. Istilah "pasangan terurut" menunjukkan bahwa seseorang harus membedakan antara nomor pertama dari pasangan - absis dan yang kedua - ordinat. Sebaliknya, setiap pasangan angka (x, y) mendefinisikan satu titik M di mana x adalah absis dan y adalah ordinatnya. Mengatur sistem koordinat Cartesian persegi panjang di pesawat membentuk korespondensi satu-ke-satu antara titik-titik pesawat dan pasangan bilangan real yang dipesan.

Sumbu koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat bagian, empat kuadran. Kuadran diberi nomor seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3, dalam angka Romawi.

Tanda-tanda koordinat suatu titik tergantung pada kuadran mana titik itu terletak, seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut:

Titik-titik yang terletak pada sumbu memiliki ordinat y sama dengan nol, titik-titik pada sumbu Oy memiliki absis sama dengan nol. Kedua koordinat asal O sama dengan nol: .

Contoh 1. Bangun titik pada bidang

Solusinya diberikan pada Gambar. empat.

Jika koordinat suatu titik diketahui, maka mudah untuk menunjukkan koordinat titik-titik yang simetris dengannya terhadap sumbu Ox, Oy dan titik asal: titik yang simetris dengan M terhadap sumbu Ox akan memiliki koordinat a titik simetris dengan M tentang koordinat, akhirnya, pada titik simetris dengan M relatif terhadap titik asal, koordinatnya adalah (-x, -y).

Anda juga dapat menentukan hubungan antara koordinat dari sepasang titik yang simetris terhadap garis-bagi sudut koordinat (Gbr. 5); jika salah satu titik M memiliki koordinat x dan y, maka y dari absis kedua sama dengan ordinat titik pertama, dan ordinatnya adalah absis titik pertama.

Dengan kata lain, koordinat titik N, simetris dengan M terhadap garis bagi sudut koordinat, adalah Untuk membuktikan posisi ini, perhatikan segitiga siku-siku O AM dan OBN. Mereka terletak simetris terhadap garis-bagi dari sudut koordinat dan karena itu adalah sama. Membandingkan kaki masing-masing, kami akan memverifikasi kebenaran pernyataan kami.

Sistem koordinat persegi panjang Cartesian dapat diubah dengan memindahkan titik asalnya O ke titik baru O tanpa mengubah arah sumbu dan ukuran segmen skala. pada gambar. Gambar 6 menunjukkan dua sistem koordinat pada saat yang sama: yang "lama" dengan asal O dan yang "baru" dengan asal O. Titik sembarang M sekarang memiliki dua pasang koordinat, satu relatif terhadap sistem koordinat lama, yang lain relatif terhadap yang baru. Jika koordinat awal baru dalam sistem lama dilambangkan dengan , maka hubungan antara koordinat lama titik M dan koordinat barunya (x, y) dinyatakan dengan rumus

Rumus ini disebut rumus transfer sistem koordinat; ketika mereka ditampilkan pada Gambar. 6, posisi paling nyaman dari titik M, yang terletak di kuadran pertama dari sistem lama dan baru, dipilih.

Dapat dilihat bahwa rumus (8.1) tetap berlaku untuk setiap lokasi titik M.

Posisi titik M pada bidang dapat ditentukan tidak hanya dengan koordinat kartesius persegi panjang y, tetapi juga dengan cara lain. Mari kita hubungkan, misalnya, titik M dengan titik asal O (Gbr. 7) dan pertimbangkan dua angka berikut: panjang segmen dan sudut kemiringan segmen ini ke arah sumbu positif; , jika rotasi berlawanan arah jarum jam, dan negatif sebaliknya, seperti biasa dalam trigonometri.Segmen disebut jari-jari kutub titik M, sudut adalah sudut kutub, sepasang angka adalah koordinat kutub titik M. Seperti yang Anda lihat , untuk menentukan koordinat kutub suatu titik, Anda hanya perlu menentukan satu sumbu koordinat Ox (dalam hal ini disebut sumbu kutub). Akan lebih mudah, bagaimanapun, untuk mempertimbangkan secara simultan kedua koordinat persegi panjang kutub dan Cartesian, seperti yang dilakukan pada Gambar. 7.

Sudut kutub suatu titik didefinisikan secara ambigu dengan menetapkan suatu titik: jika adalah salah satu sudut kutub suatu titik, maka setiap sudut

akan menjadi sudut kutubnya. Menentukan radius kutub dan sudut menentukan posisi titik dengan cara yang unik. Titik asal O (disebut kutub sistem koordinat kutub) memiliki radius sama dengan nol, tidak ada sudut kutub tertentu yang ditetapkan ke titik O.

Ada hubungan berikut antara koordinat Cartesian dan kutub suatu titik:

langsung mengikuti dari definisi fungsi trigonometri (Bag. 97). Hubungan ini memungkinkan untuk menemukan koordinat Cartesian dari koordinat kutub yang diberikan. Rumus berikut:

memungkinkan pemecahan masalah invers: menggunakan koordinat Cartesian yang diberikan dari suatu titik, temukan koordinat kutubnya.

Dalam hal ini, dengan nilai (atau ), Anda dapat menemukan dua kemungkinan nilai sudut dalam lingkaran pertama; salah satunya dipilih oleh coef tanda. Anda juga dapat menentukan sudut dengan tangennya: , tetapi dalam kasus ini, kuartal di mana terletak ditentukan oleh tanda coef atau .

Sebuah titik yang diberikan oleh koordinat kutubnya dibangun (tanpa perhitungan koordinat Cartesian) oleh sudut kutub dan jari-jarinya.

Contoh 2. Temukan koordinat Cartesian dari titik-titik.

2 PERSAMAAN DAN PERTIMBANGAN DERAJAT PERTAMA
Mulailah mempelajari topik dengan memecahkan masalah pengulangan dari Bab 1

4. KETIMPANGAN

Pertidaksamaan numerik dan sifat-sifatnya

175. Beri tanda pertidaksamaan antar bilangan sebuah dan b jika diketahui :
1) (a - b) adalah bilangan positif;
2) (a - b) - angka negatif;
3) (a - b) adalah bilangan non-negatif.

176. X, jika:
1) X> 0; 2) X < 0; 3) 1 < X; 4) X > -3,2?

177. Tulislah dengan menggunakan tanda pertidaksamaan bahwa:
1) X- nomor positif;
2) pada-angka negatif;
3) | sebuah| - angka non-negatif;
4) rata-rata aritmatika dari dua bilangan positif sebuah dan b tidak kurang dari rata-rata geometrisnya;
5) nilai mutlak jumlah dua bilangan rasional sebuah dan b tidak lebih dari jumlah nilai absolut dari persyaratan.

178. Apa yang bisa dikatakan tentang tanda-tanda angka sebuah dan b, jika:

1) a b> 0; 2) sebuah / b > 0; 3) a b< 0; 4) sebuah / b < 0?

179. 1) Susunlah bilangan-bilangan berikut dalam urutan menaik, hubungkan dengan tanda pertidaksamaan: 0; -5; 2. Bagaimana cara membaca entri ini?

2) Susunlah bilangan-bilangan berikut dalam urutan menurun, hubungkan dengan tanda pertidaksamaan: -10; 0,1;-2/3. Bagaimana cara membaca entri ini?

180. Tulis dalam urutan menaik semua angka tiga digit, yang masing-masing berisi angka 2; 0; 5, dan hubungkan dengan tanda pertidaksamaan.

181. 1) Saat mengukur panjang tertentu sekali aku ternyata panjangnya lebih dari 217 cm, tetapi kurang dari 218 cm Catatlah hasil pengukuran dengan menggunakan angka-angka ini sebagai batas nilai panjang aku.

2) Saat menimbang suatu benda ternyata lebih berat dari 19,5 G, tetapi lebih ringan dari 20,0 G. Tuliskan hasil penimbangan yang menunjukkan batas-batasnya.

182. Saat menimbang benda dengan akurasi 0,05 kg, kami menerima beratnya
26,4 kg. Tentukan batas berat item ini.

183. Dimana pada garis bilangan terletak titik yang mewakili bilangan tersebut X, jika:
1) 3 < X < 10; 2) - 2 < X < 7; 3) - 1 > X > - 6?

184. Temukan dan tunjukkan nilai bilangan bulat pada sumbu angka X, memenuhi ketidaksetaraan.

1) 0,2 < X <4;
2)-3 < X <2;
3) 1 / 2 < X< 5;
4) -1< X<;3.

185. Berapakah kelipatan 9 antara 141 dan 152? Berikan ilustrasi pada garis bilangan.

186. Tentukan manakah di antara kedua bilangan tersebut yang lebih besar, jika diketahui masing-masing lebih besar dari 103 dan lebih kecil dari 115, dan bilangan pertama merupakan kelipatan 13, dan bilangan kedua kelipatan 3. Berikan ilustrasi geometris.

187. Berapakah bilangan bulat terdekat antara pecahan biasa? Apakah mungkin untuk menentukan dua bilangan bulat di mana semua pecahan yang tidak tepat diapit?

188. Membeli 6 buku tentang matematika, fisika dan sejarah. Berapa banyak buku yang dibeli dalam setiap mata pelajaran jika lebih banyak buku yang dibeli dalam matematika daripada dalam sejarah, dan lebih sedikit dalam fisika daripada dalam sejarah?

189. Pada pelajaran aljabar, pengetahuan tiga siswa diuji. Berapa nilai yang diperoleh setiap siswa jika diketahui bahwa yang pertama mendapat lebih dari yang kedua, dan yang kedua lebih dari yang ketiga, dan jumlah poin yang diterima oleh setiap siswa lebih dari dua?

190. Dalam sebuah turnamen catur, pemain catur A, B, C dan D memperoleh hasil terbaik.Apakah mungkin untuk mengetahui posisi masing-masing peserta dalam turnamen jika diketahui bahwa A mencetak poin lebih banyak dari D, dan B lebih sedikit dari C?

191. Mengingat ketidaksetaraan a > b. Apakah selalu? a c > b c? Berikan contoh.

192. Mengingat ketidaksetaraan sebuah< b. Apakah ketidaksetaraan itu benar? sebuah > - b?

193. Apakah mungkin, tanpa mengubah tanda pertidaksamaan, untuk mengalikan kedua bagiannya dengan ekspresi X 2 + 1, dimana X- setiap bilangan rasional?

194. Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan faktor yang diberikan dalam tanda kurung.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) X > 2 (X);
4) sebuah < - 1 (sebuah); 5) b < - 3 (-b); 6)X -2 > 1 (X).

195. Bawa ke seluruh bentuk pertidaksamaan:

196. Diberikan sebuah fungsi y = kx, di mana k pada dengan argumen yang meningkat X jika: 1) k> 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

197. Diberikan sebuah fungsi y = kx + b, di mana k =/= 0, b=/= 0. Bagaimana nilai fungsi berubah pada dengan penurunan nilai argumen X jika: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Buktikan jika a > b dan Dengan> 0, maka sebuah / c > b / c; jika a > b dan Dengan< 0, то sebuah / c < b / c .

199. Bagilah kedua sisi pertidaksamaan dengan angka-angka dalam tanda kurung:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) sebuah < - 2sebuah 2 (sebuah);
4) sebuah > sebuah 2 (sebuah); 5) sebuah 3 > sebuah 2 (-sebuah).

200. Tambahkan pertidaksamaan istilah demi istilah:

1) 12 > 11 dan 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) sebuah - 2 < 8 + b dan 5 - 2 sebuah < 2 - b;
4) X 2 + 1 > 2X dan X - 3 < 9 - X 2 .

201. Buktikan bahwa setiap diagonal dari segi empat cembung lebih kecil dari setengah kelilingnya.

202. Buktikan bahwa jumlah dua sisi yang berhadapan pada segi empat cembung lebih kecil dari jumlah diagonal-diagonalnya.

203. Kurangi suku demi suku pertidaksamaan kedua dari yang pertama:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2sebuah- 1 > 3b; 2b > 3.

204. Buktikan jika | x |< а , kemudian - sebuah< х < а .

205. Tulislah pertidaksamaan berikut sebagai pertidaksamaan ganda:
1) | t |< 1; 2) | X - 2 | < 2.

206. Tentukan pada sumbu angka himpunan semua nilai X memenuhi ketidaksetaraan: 1) | X |< 2; 2) | X | < 1; 3) | X | > 3; 4) | X - 1 | < 1.

207. Buktikan jika - sebuah< х < а , lalu | x |< sebuah.

208. Ganti pertidaksamaan ganda dengan notasi yang disingkat:
1) -2 < sebuah < 2; 2) -1 < 2P < 1; 3) 1 < x < 3.

209. Perkiraan Panjang aku= 24,08(±0,01) mm. Tetapkan batas panjang aku.

210. Lima kali pengukuran jarak yang sama menggunakan penggaris meter diperoleh hasil sebagai berikut: 21,56; 21.60; 21.59; 21.55; 21,61 (m). Temukan rata-rata aritmatika dari hasil pengukuran, yang menunjukkan batas-batas kesalahan absolut dan relatif.

211. Saat menimbang kargo, diperoleh P = 16,7 (± 0,4%) kg. Tentukan limit berat R.

212. sebuah 16,4, kesalahan relatif = 0,5%. Temukan Kesalahan Mutlak
Δ sebuah dan tetapkan batas-batas di mana jumlah perkiraan terletak.

213. Tentukan batas kesalahan relatif dari nilai perkiraan masing-masing angka berikut, jika nilai perkiraan diambil dengan jumlah digit yang benar yang ditentukan: 1) 11 / 6 dengan tiga digit yang benar; 2) 5 dengan empat angka yang benar.

214. Ketika mengukur jarak antara dua kota di peta, mereka menemukan bahwa jaraknya lebih dari 24,4 cm, tetapi kurang dari 24,8 cm. Temukan jarak sebenarnya antara kota dan kesalahan perhitungan absolut jika skala peta adalah 1: 2.500.000.

215. Lakukan perhitungan dan tentukan kesalahan absolut dan relatif dari hasil: x = a + b - c, jika sebuah= 7,22 (±0,01); 3.14< b < 3,17; Dengan= 5,4(±0,05).

216. Kalikan suku pertidaksamaan dengan suku:

1) 7 > 5 dan 3 > 2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)sebuah> 2 dan b < -2.

217. Mengingat ketidaksetaraan sebuah > b. Apakah selalu? sebuah 2 > b 2? Berikan contoh.

218. Jika sebuah a > b > 0 dan P adalah bilangan asli, maka ke atas > b. Membuktikan.

219. Mana yang lebih besar: (0.3) 20 atau (0.1) 10 ?

220. Jika sebuah a > b > 0 atau b< а < 0 lalu 1 / sebuah < 1 / b. Membuktikan.

221. Hitunglah luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang 437 m dan lebar 162 m, jika kesalahan ±2 m dimungkinkan saat mengukur panjang plot, dan kesalahan ±1 m saat mengukur lebar.