Fokus artikel ini adalah logaritma. Di sini kita akan memberikan definisi logaritma, menunjukkan notasi yang diterima, memberikan contoh logaritma, dan berbicara tentang logaritma natural dan desimal. Setelah itu, perhatikan identitas logaritma dasar.
Navigasi halaman.
Definisi logaritma
Konsep logaritma muncul ketika memecahkan masalah dalam arti tertentu terbalik, ketika Anda perlu menemukan eksponen dari nilai derajat yang diketahui dan basis yang diketahui.
Tapi cukup basa-basi, saatnya menjawab pertanyaan “apa itu logaritma”? Mari kita berikan definisi yang tepat.
Definisi.
Logaritma b ke basis a, di mana a>0 , a≠1 dan b>0 adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.
Pada tahap ini, kami mencatat bahwa kata yang diucapkan "logaritma" harus segera menimbulkan dua pertanyaan berikutnya: "berapa nomor" dan "berdasarkan apa." Dengan kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya ada logaritma suatu bilangan di suatu basis.
Kami akan segera memperkenalkan notasi logaritma: logaritma dari angka b ke basis a biasanya dilambangkan sebagai log a b . Logaritma dari bilangan b ke basis e dan logaritma ke basis 10 masing-masing memiliki sebutan khusus lnb dan lgb, yaitu, mereka menulis bukan log e b , tetapi lnb , dan bukan log 10 b , tetapi lgb .
Sekarang Anda dapat membawa: .
Dan catatannya 
tidak masuk akal, karena yang pertama ada angka negatif di bawah tanda logaritma, yang kedua - angka negatif di pangkalan, dan yang ketiga - angka negatif di bawah tanda logaritma dan satu kesatuan di pangkalan.
Sekarang mari kita bicara tentang aturan membaca logaritma. Entri log a b dibaca sebagai "logaritma dari b ke basis a". Misalnya, log 2 3 adalah logaritma dari tiga ke basis 2, dan merupakan logaritma dari dua bilangan bulat dua pertiga basis dari akar kuadrat dari lima. Logaritma ke basis e disebut logaritma natural, dan notasi lnb dibaca sebagai "logaritma natural dari b". Sebagai contoh, ln7 adalah logaritma natural dari tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma natural dari pi. Logaritma ke basis 10 juga memiliki nama khusus - logaritma desimal, dan notasi lgb dibaca sebagai "logaritma desimal b". Misalnya, lg1 adalah logaritma desimal dari satu, dan lg2.75 adalah logaritma desimal dari dua koma tujuh puluh lima perseratus.
Penting untuk membahas secara terpisah kondisi a>0, a≠1 dan b>0, di mana definisi logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana batasan ini berasal. Untuk melakukan ini, kita akan dibantu oleh persamaan bentuk, yang disebut , yang langsung mengikuti dari definisi logaritma yang diberikan di atas.
Mari kita mulai dengan a≠1 . Karena satu sama dengan satu untuk pangkat apa pun, maka persamaan hanya dapat benar untuk b=1, tetapi log 1 1 dapat berupa bilangan real apa pun. Untuk menghindari ambiguitas ini, a≠1 diterima.
Mari kita buktikan kelayakan kondisi a>0 . Dengan a=0, menurut definisi logaritma, kita akan memiliki persamaan , yang hanya mungkin dengan b=0 . Tetapi kemudian log 0 0 dapat berupa bilangan real apa pun yang bukan nol, karena nol hingga pangkat apa pun yang bukan nol adalah nol. Ambiguitas ini dapat dihindari dengan kondisi a≠0 . Dan untuk<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Akhirnya, kondisi b>0 mengikuti pertidaksamaan a>0 , karena , dan nilai derajat dengan basis positif a selalu positif.
Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mengatakan bahwa definisi logaritma yang disuarakan memungkinkan Anda untuk segera menunjukkan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah tingkat basis tertentu. Memang, definisi logaritma memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa jika b=a p , maka logaritma dari bilangan b ke basis a sama dengan p . Artinya, persamaan log a a p = p benar. Sebagai contoh, kita mengetahui bahwa 2 3 =8 , maka log 2 8=3 . Kami akan berbicara lebih banyak tentang ini di artikel.
Dengan perkembangan masyarakat, kompleksitas produksi, matematika juga berkembang. Gerakan dari sederhana ke kompleks. Dari metode penghitungan penjumlahan dan pengurangan yang biasa, dengan pengulangan yang berulang-ulang, mereka sampai pada konsep perkalian dan pembagian. Pengurangan operasi perkalian berulang menjadi konsep eksponensial. Tabel pertama ketergantungan angka pada basis dan jumlah eksponensial disusun kembali pada abad ke-8 oleh ahli matematika India Varasena. Dari mereka, Anda dapat menghitung waktu terjadinya logaritma.
Garis besar sejarah
Kebangkitan Eropa pada abad ke-16 juga mendorong perkembangan mekanika. T membutuhkan sejumlah besar perhitungan berhubungan dengan perkalian dan pembagian bilangan multi-digit. Tabel kuno melakukan layanan hebat. Mereka memungkinkan untuk mengganti operasi kompleks dengan yang lebih sederhana - penambahan dan pengurangan. Sebuah langkah maju yang besar adalah karya matematikawan Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, di mana ia mewujudkan gagasan banyak matematikawan. Ini memungkinkan untuk menggunakan tabel tidak hanya untuk derajat dalam bentuk bilangan prima, tetapi juga untuk bilangan rasional arbitrer.
Pada tahun 1614, orang Skotlandia John Napier, yang mengembangkan ide-ide ini, pertama kali memperkenalkan istilah baru "logaritma suatu bilangan". Tabel kompleks baru dikompilasi untuk menghitung logaritma sinus dan cosinus, serta garis singgung. Ini sangat mengurangi pekerjaan para astronom.
Tabel baru mulai muncul, yang berhasil digunakan oleh para ilmuwan selama tiga abad. Banyak waktu berlalu sebelum operasi baru dalam aljabar memperoleh bentuk akhirnya. Logaritma didefinisikan dan sifat-sifatnya dipelajari.
Baru pada abad ke-20, dengan munculnya kalkulator dan komputer, umat manusia meninggalkan tabel kuno yang telah berhasil dioperasikan sepanjang abad ke-13.
Hari ini kita memanggil logaritma b untuk mendasarkan a bilangan x, yang merupakan pangkat dari a, untuk mendapatkan bilangan b. Ini ditulis sebagai rumus: x = log a(b).
Misalnya, log 3(9) akan sama dengan 2. Ini jelas jika Anda mengikuti definisi. Jika kita menaikkan 3 pangkat 2, kita mendapatkan 9.
Dengan demikian, definisi yang dirumuskan hanya menempatkan satu batasan, angka a dan b harus nyata.
Varietas logaritma
Definisi klasik disebut logaritma real dan sebenarnya merupakan solusi dari persamaan a x = b. Opsi a = 1 adalah batas dan tidak menarik. Catatan: 1 pangkat berapa pun adalah 1.
Nilai nyata dari logaritma didefinisikan hanya jika basis dan argumen lebih besar dari 0, dan basis tidak boleh sama dengan 1.
Tempat khusus di bidang matematika mainkan logaritma, yang akan dinamai tergantung pada nilai basisnya:
Aturan dan batasan
Sifat dasar logaritma adalah aturannya: logaritma suatu produk sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).
Sebagai varian dari pernyataan ini, itu akan menjadi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), fungsi hasil bagi sama dengan perbedaan fungsi.
Sangat mudah untuk melihat dari dua aturan sebelumnya bahwa: log a(b p) = p * log a(b).
Properti lainnya termasuk:
Komentar. Jangan membuat kesalahan umum - logaritma jumlah tidak sama dengan jumlah logaritma.
Selama berabad-abad, operasi menemukan logaritma adalah tugas yang agak memakan waktu. Matematikawan menggunakan rumus terkenal dari teori ekspansi logaritmik menjadi polinomial:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), di mana n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang menentukan keakuratan perhitungan.
Logaritma dengan basis lain dihitung menggunakan teorema transisi dari satu basis ke basis lain dan properti logaritma produk.
Karena metode ini sangat melelahkan dan saat memecahkan masalah praktis sulit untuk diterapkan, mereka menggunakan tabel logaritma yang telah dikompilasi sebelumnya, yang sangat mempercepat seluruh pekerjaan.
Dalam beberapa kasus, grafik logaritma yang dikompilasi secara khusus digunakan, yang memberikan akurasi yang lebih rendah, tetapi secara signifikan mempercepat pencarian nilai yang diinginkan. Kurva fungsi y = log a(x), dibangun di atas beberapa titik, memungkinkan penggunaan penggaris biasa untuk menemukan nilai fungsi di titik lain. Untuk waktu yang lama, para insinyur menggunakan apa yang disebut kertas grafik untuk tujuan ini.
Pada abad ke-17, kondisi komputasi analog tambahan pertama muncul, yang pada abad ke-19 telah memperoleh bentuk yang sudah jadi. Perangkat yang paling sukses disebut aturan slide. Terlepas dari kesederhanaan perangkat, penampilannya secara signifikan mempercepat proses semua perhitungan teknik, dan sulit untuk melebih-lebihkan ini. Saat ini, hanya sedikit orang yang akrab dengan perangkat ini.
Munculnya kalkulator dan komputer membuatnya tidak ada gunanya menggunakan perangkat lain.
Persamaan dan pertidaksamaan
Rumus berikut digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan dan pertidaksamaan menggunakan logaritma:
- Transisi dari satu basis ke basis lainnya: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Sebagai konsekuensi dari versi sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, perlu diketahui:
- Nilai logaritma akan positif hanya jika basis dan argumen keduanya lebih besar dari atau kurang dari satu; jika setidaknya satu kondisi dilanggar, nilai logaritma akan negatif.
- Jika fungsi logaritma diterapkan ke sisi kanan dan kiri pertidaksamaan, dan basis logaritma lebih besar dari satu, maka tanda pertidaksamaan dipertahankan; jika tidak, itu berubah.
Contoh tugas
Pertimbangkan beberapa opsi untuk menggunakan logaritma dan propertinya. Contoh dengan menyelesaikan persamaan:
Pertimbangkan opsi untuk menempatkan logaritma dalam derajat:
- Tugas 3. Hitung 25^log 5(3). Solusi: dalam kondisi soal, notasinya mirip dengan berikut (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tulis secara berbeda: 5^log 5(3*2), atau kuadrat suatu bilangan sebagai argumen fungsi dapat ditulis sebagai kuadrat dari fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan properti logaritma, ekspresi ini adalah 3^2. Jawaban: dari hasil perhitungan kita mendapatkan 9.
Penggunaan praktis
Menjadi alat matematika murni, tampaknya jauh dari kehidupan nyata bahwa logaritma tiba-tiba menjadi sangat penting dalam menggambarkan objek di dunia nyata. Sulit untuk menemukan ilmu yang tidak digunakan. Ini sepenuhnya berlaku tidak hanya untuk alam, tetapi juga untuk bidang pengetahuan humaniora.
Ketergantungan logaritmik
Berikut adalah beberapa contoh dependensi numerik:
Mekanika dan fisika
Secara historis, mekanika dan fisika selalu berkembang dengan menggunakan metode penelitian matematika dan pada saat yang sama menjadi pendorong bagi perkembangan matematika, termasuk logaritma. Teori sebagian besar hukum fisika ditulis dalam bahasa matematika. Kami hanya memberikan dua contoh deskripsi hukum fisika menggunakan logaritma.
Dimungkinkan untuk memecahkan masalah penghitungan jumlah yang kompleks seperti kecepatan roket menggunakan rumus Tsiolkovsky, yang meletakkan dasar bagi teori eksplorasi ruang angkasa:
V = I * ln(M1/M2), dimana
- V adalah kecepatan akhir pesawat.
- I adalah impuls spesifik dari mesin.
- M 1 adalah massa awal roket.
- M 2 - massa akhir.
Contoh penting lainnya- ini adalah penggunaan rumus ilmuwan hebat lainnya, Max Planck, yang berfungsi untuk mengevaluasi keadaan setimbang dalam termodinamika.
S = k * ln (Ω), dimana
- S adalah sifat termodinamika.
- k adalah konstanta Boltzmann.
- adalah bobot statistik dari negara bagian yang berbeda.
Kimia
Yang kurang jelas adalah penggunaan rumus dalam kimia yang mengandung rasio logaritma. Berikut ini hanya dua contoh:
- Persamaan Nernst, kondisi potensial redoks medium dalam kaitannya dengan aktivitas zat dan konstanta kesetimbangan.
- Perhitungan konstanta seperti indeks autoprolisis dan keasaman larutan juga tidak lengkap tanpa fungsi kita.
Psikologi dan biologi
Dan sama sekali tidak dapat dipahami apa hubungan psikologi dengannya. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai rasio kebalikan dari nilai intensitas stimulus ke nilai intensitas yang lebih rendah.
Setelah contoh-contoh di atas, tidak mengherankan lagi jika tema logaritma juga banyak digunakan dalam biologi. Seluruh volume dapat ditulis tentang bentuk biologis yang sesuai dengan spiral logaritmik.
daerah lain
Tampaknya keberadaan dunia tidak mungkin tanpa hubungan dengan fungsi ini, dan itu mengatur semua hukum. Apalagi ketika hukum alam dihubungkan dengan deret geometri. Perlu merujuk ke situs web MatProfi, dan ada banyak contoh seperti itu di bidang aktivitas berikut:
Daftarnya bisa jadi tidak ada habisnya. Setelah menguasai hukum dasar fungsi ini, Anda dapat terjun ke dunia kebijaksanaan tanpa batas.
Mari kita mulai dengan sifat-sifat logaritma kesatuan. Rumusannya adalah sebagai berikut: logaritma persatuan sama dengan nol, yaitu, log a 1=0 untuk setiap a>0 , a≠1 . Buktinya sederhana: karena a 0 =1 untuk setiap a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1 , maka log persamaan yang terbukti a 1=0 segera mengikuti dari definisi logaritma.
Mari berikan contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0 , lg1=0 dan .
Mari kita beralih ke properti berikutnya: logaritma suatu bilangan yang sama dengan alas sama dengan satu, itu adalah, log a = 1 untuk a>0 , a≠1 . Memang, karena a 1 =a untuk setiap a , maka dengan definisi logaritma log a a=1 .
Contoh penggunaan properti logaritma ini adalah log 5 5=1 , log 5.6 5.6 dan lne=1 .
Misalnya, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 dan 
.
Logaritma perkalian dua bilangan positif x dan y sama dengan produk dari logaritma dari angka-angka ini: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma hasil kali. Karena sifat-sifat derajat a log a x+log a y =a log a x a log a y, dan karena dengan identitas logaritma utama a log a x =x dan log a y =y , maka log a x a log a y =x y . Jadi, a log a x+log a y =x y , di mana persamaan yang diperlukan mengikuti definisi logaritma.
Mari kita tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma produk: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan 
.
Properti logaritma produk dapat digeneralisasi ke produk dari bilangan terbatas n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Kesetaraan ini mudah dibuktikan.
Misalnya, logaritma natural suatu produk dapat diganti dengan jumlah tiga logaritma natural dari angka 4 , e , dan .
Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan perbedaan antara logaritma dari angka-angka ini. Properti logaritma hasil bagi sesuai dengan rumus bentuk , di mana a>0 , a≠1 , x dan y adalah beberapa bilangan positif. Keabsahan rumus ini dibuktikan seperti rumus logaritma hasil kali: karena 
, maka dengan definisi logaritma .
Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: 
.
Mari kita lanjutkan ke sifat logaritma derajat. Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma modulus basis derajat ini. Kami menulis properti logaritma derajat ini dalam bentuk rumus: log a b p =p log a |b|, di mana a>0 , a≠1 , b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0 .
Kami pertama membuktikan properti ini untuk b positif . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , kemudian b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, karena sifat pangkat, sama dengan a p log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p log a b , dari mana, dengan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p log a b .
Tetap membuktikan sifat ini untuk b negatif. Di sini kita perhatikan bahwa ekspresi log a b p untuk b negatif masuk akal hanya untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam kasus ini b p =|b| p . Kemudian b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, dari mana log a b p =p log a |b| .
Sebagai contoh, 
dan ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari root: logaritma dari akar derajat ke-n sama dengan produk dari pecahan 1/n dan logaritma dari ekspresi akar, yaitu, 
, di mana a>0 , a≠1 , n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, b>0 .
Pembuktian didasarkan pada persamaan (lihat ), yang berlaku untuk setiap positif b , dan sifat logaritma derajat: 
.
Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: 
.
Sekarang mari kita buktikan rumus konversi ke basis baru logaritma jenis 
. Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b log c a . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b = log a b log c a. Dengan demikian, persamaan log c b=log a b log c a terbukti, yang berarti bahwa rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma juga terbukti.
Mari kita tunjukkan beberapa contoh penerapan sifat logaritma ini: dan 
.
Rumus untuk pindah ke basis baru memungkinkan Anda untuk melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis "nyaman". Misalnya, ini dapat digunakan untuk masuk ke logaritma natural atau desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus untuk transisi ke basis logaritma yang baru juga memungkinkan dalam beberapa kasus untuk menemukan nilai logaritma yang diberikan, ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.
Sering digunakan adalah kasus khusus dari rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma untuk c=b dari bentuk 
. Ini menunjukkan bahwa log a b dan log b a – . Sebagai contoh, 
.
Juga sering digunakan adalah rumus 
, yang berguna untuk mencari nilai logaritma. Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana nilai logaritma dari formulir dihitung dengan menggunakannya. Kita punya 
. Untuk membuktikan rumus 
cukup menggunakan rumus transisi ke basis baru logaritma a: 
.
Masih membuktikan sifat perbandingan logaritma.
Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif b 1 dan b 2 , b 1 log a b 2 , dan untuk a>1, log pertidaksamaan a b 1 Akhirnya, masih harus membuktikan yang terakhir dari properti logaritma yang terdaftar. Kami membatasi diri untuk membuktikan bagian pertama, yaitu, kami membuktikan bahwa jika a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 benar log a 1 b>log a 2 b . Pernyataan yang tersisa dari sifat logaritma ini dibuktikan dengan prinsip yang sama. Mari kita gunakan cara sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b benar. Dengan sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang sebagai: 
dan 
masing-masing, dan dari mereka berikut bahwa log b a 1 log b a 2 dan log b a 1 log b a 2, masing-masing. Kemudian, dengan sifat-sifat pangkat dengan basis yang sama, persamaan b log b a 1 b log b a 2 dan b log b a 1 b log b a 2 harus dipenuhi, yaitu, a 1 a 2 . Dengan demikian, kita telah sampai pada kontradiksi dengan kondisi a 1
Bibliografi.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).
Berhubungan dengan
tugas menemukan salah satu dari tiga angka dari dua lainnya, diberikan, dapat diatur. Diberikan a dan kemudian N ditemukan dengan eksponensial. Jika N diberikan dan kemudian a ditemukan dengan mengekstrak akar pangkat x (atau eksponensial). Sekarang perhatikan kasus ketika, diberikan a dan N, diperlukan untuk menemukan x.
Biarkan angka N positif: angka a positif dan tidak sama dengan satu: .
Definisi. Logaritma dari angka N ke basis a adalah eksponen yang Anda perlukan untuk mendapatkan angka N; logaritma dilambangkan dengan
Jadi, dalam persamaan (26.1), eksponen ditemukan sebagai logaritma dari N ke basis a. Entri
memiliki arti yang sama. Kesetaraan (26.1) kadang-kadang disebut identitas dasar teori logaritma; sebenarnya, itu mengungkapkan definisi konsep logaritma. Dengan definisi ini, basis logaritma a selalu positif dan berbeda dari satu; bilangan logaritma N adalah positif. Bilangan negatif dan nol tidak memiliki logaritma. Dapat dibuktikan bahwa setiap bilangan dengan basis tertentu memiliki logaritma yang terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu kesetaraan memerlukan . Perhatikan bahwa kondisinya penting di sini, jika tidak, kesimpulannya tidak akan dibenarkan, karena persamaan berlaku untuk semua nilai x dan y.
Contoh 1. Temukan
Larutan. Untuk mendapatkan nomornya, Anda perlu menaikkan basis 2 ke pangkat Oleh karena itu.
Anda dapat merekam saat memecahkan contoh seperti itu dalam bentuk berikut:
Contoh 2. Temukan .
Larutan. Kita punya
Dalam contoh 1 dan 2, kita dengan mudah menemukan logaritma yang diinginkan dengan menyatakan bilangan logaritma sebagai derajat basis dengan eksponen rasional. Dalam kasus umum, misalnya, untuk dll., ini tidak dapat dilakukan, karena logaritma memiliki nilai irasional. Mari kita perhatikan satu pertanyaan yang berkaitan dengan pernyataan ini. Dalam 12 kami memberikan konsep kemungkinan menentukan kekuatan nyata dari bilangan positif yang diberikan. Ini diperlukan untuk pengenalan logaritma, yang, secara umum, dapat berupa bilangan irasional.
Pertimbangkan beberapa sifat logaritma.
Sifat 1. Jika bilangan dan basis sama, maka logaritma sama dengan satu, dan sebaliknya, jika logaritma sama dengan satu, maka bilangan dan basis sama.
Bukti. Biarkan Dengan definisi logaritma, kami memiliki dan dari mana
Sebaliknya, biarkan Kemudian menurut definisi
Properti 2. Logaritma kesatuan untuk setiap basis sama dengan nol.
Bukti. Dengan definisi logaritma (pangkat nol dari setiap basis positif sama dengan satu, lihat (10.1)). Dari sini
Q.E.D.
Pernyataan sebaliknya juga benar: jika , maka N = 1. Memang, kita memiliki .
Sebelum menyatakan sifat-sifat logaritma berikut, kita setuju untuk mengatakan bahwa dua bilangan a dan b terletak pada sisi yang sama dari bilangan ketiga c jika keduanya lebih besar dari c atau lebih kecil dari c. Jika salah satu bilangan tersebut lebih besar dari c dan bilangan lainnya lebih kecil dari c, maka kita katakan bahwa bilangan-bilangan tersebut terletak pada sisi yang berlawanan dari c.
Sifat 3. Jika bilangan dan basis terletak pada sisi yang sama, maka logaritmanya positif; jika bilangan dan alas terletak pada sisi yang berlawanan, maka logaritmanya negatif.
Pembuktian sifat 3 didasarkan pada kenyataan bahwa derajat a lebih besar dari satu jika basis lebih besar dari satu dan eksponennya positif, atau basisnya lebih kecil dari satu dan eksponennya negatif. Derajat kurang dari satu jika basis lebih besar dari satu dan eksponennya negatif, atau basisnya kurang dari satu dan eksponennya positif.
Ada empat kasus yang harus dipertimbangkan:
Kami membatasi diri pada analisis yang pertama, pembaca akan mempertimbangkan sisanya sendiri.
Biarkan eksponen dalam kesetaraan menjadi tidak negatif atau sama dengan nol, oleh karena itu, itu positif, yaitu, yang harus dibuktikan.
Contoh 3. Tentukan mana dari logaritma berikut yang positif dan mana yang negatif:
Penyelesaian, a) karena angka 15 dan alas 12 terletak pada sisi yang sama dari satuan;
b) , karena 1000 dan 2 terletak di sisi unit yang sama; pada saat yang sama, tidak penting bahwa basis lebih besar dari bilangan logaritmik;
c), karena 3.1 dan 0.8 terletak pada sisi yang berlawanan dari kesatuan;
G) ; mengapa?
e); mengapa?
Sifat-sifat berikut 4-6 sering disebut aturan logaritma: mereka memungkinkan, mengetahui logaritma dari beberapa angka, untuk menemukan logaritma dari produk mereka, hasil bagi, derajat masing-masing.
Properti 4 (aturan untuk logaritma produk). Logaritma dari produk dari beberapa bilangan positif dalam basis yang diberikan sama dengan jumlah logaritma dari angka-angka ini dalam basis yang sama.
Bukti. Biarkan angka positif diberikan.
Untuk logaritma produk mereka, kami menulis persamaan (26.1) mendefinisikan logaritma:
Dari sini kita menemukan
Membandingkan eksponen dari ekspresi pertama dan terakhir, kami memperoleh persamaan yang diperlukan:
Perhatikan bahwa kondisinya sangat penting; logaritma dari produk dari dua angka negatif masuk akal, tetapi dalam kasus ini kita mendapatkan
Secara umum, jika produk dari beberapa faktor positif, maka logaritmanya sama dengan jumlah logaritma modul faktor-faktor ini.
Properti 5 (aturan logaritma hasil bagi). Logaritma dari hasil bagi bilangan positif sama dengan selisih antara logaritma pembagian dan pembagi, diambil dalam basis yang sama. Bukti. Temukan secara konsisten
Q.E.D.
Properti 6 (aturan logaritma derajat). Logaritma pangkat dari sembarang bilangan positif sama dengan logaritma bilangan tersebut dikalikan eksponen.
Bukti. Kami menulis lagi identitas utama (26.1) untuk nomor:
Q.E.D.
Konsekuensi. Logaritma dari akar bilangan positif sama dengan logaritma dari bilangan akar dibagi dengan pangkat dari akar:
Kita dapat membuktikan keabsahan akibat wajar ini dengan menyajikan bagaimana dan menggunakan properti 6.
Contoh 4. Logaritma ke basis a:
a) (diasumsikan bahwa semua nilai b, c, d, e positif);
b) (diasumsikan bahwa ).
Solusi, a) Lebih mudah untuk meneruskan ekspresi ini ke pangkat pecahan:
Berdasarkan persamaan (26.5)-(26.7) sekarang kita dapat menulis:
Kami memperhatikan bahwa operasi yang lebih sederhana dilakukan pada logaritma angka daripada pada angka itu sendiri: ketika mengalikan angka, logaritmanya ditambahkan, ketika dibagi, dikurangi, dll.
Itulah mengapa logaritma telah digunakan dalam praktik komputasi (lihat Bagian 29).
Tindakan kebalikan dari logaritma disebut potensiasi, yaitu: potensiasi adalah tindakan dengan mana bilangan itu sendiri ditemukan oleh logaritma yang diberikan dari suatu bilangan. Intinya, potensiasi bukanlah tindakan khusus: ia turun untuk menaikkan basis ke kekuatan (sama dengan logaritma angka). Istilah "potensiasi" dapat dianggap sinonim dengan istilah "eksponensial".
Saat mempotensiasi, perlu menggunakan aturan yang kebalikan dari aturan logaritma: ganti jumlah logaritma dengan logaritma produk, selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi, dll. Secara khusus, jika ada faktor apa pun di depan tanda logaritma, maka selama potensiasi itu harus ditransfer ke derajat indikator di bawah tanda logaritma.
Contoh 5. Carilah N jika diketahui
Larutan. Sehubungan dengan aturan potensiasi yang baru saja disebutkan, faktor 2/3 dan 1/3, yang berada di depan tanda-tanda logaritma di sisi kanan persamaan ini, akan dipindahkan ke pangkat di bawah tanda-tanda logaritma ini; kita mendapatkan
Sekarang kita ganti selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi:
untuk mendapatkan pecahan terakhir dalam rantai persamaan ini, kami membebaskan pecahan sebelumnya dari irasionalitas dalam penyebut (bagian 25).
Sifat 7. Jika alas lebih besar dari satu, maka bilangan yang lebih besar memiliki logaritma yang lebih besar (dan bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil), jika bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil (dan bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil). satu memiliki yang lebih besar).
Sifat ini juga dirumuskan sebagai aturan untuk logaritma pertidaksamaan, yang keduanya positif:
Ketika mengambil logaritma pertidaksamaan ke basis lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaan dipertahankan, dan ketika mengambil logaritma ke basis kurang dari satu, tanda pertidaksamaan dibalik (lihat juga item 80).
Pembuktian didasarkan pada sifat 5 dan 3. Perhatikan kasus ketika Jika , maka dan, dengan mengambil logaritma, kita peroleh
(a dan N/M terletak pada satu sisi yang sama). Dari sini
Kasus a berikut, pembaca akan mencari tahu sendiri.
Logaritma dari b (b > 0) ke basis a (a > 0, a 1) adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b.
Logaritma basis 10 dari b dapat ditulis sebagai: log (b), dan logaritma ke basis e (logaritma natural) - ln(b).
Sering digunakan saat memecahkan masalah dengan logaritma:
Sifat-sifat logaritma
Ada empat utama sifat-sifat logaritma.
Misalkan a > 0, a 1, x > 0 dan y > 0.
Properti 1. Logaritma produk
Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma:
log a (x y) = log a x + log a y
Properti 2. Logaritma hasil bagi
Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma:
log a (x / y) = log a x – log a y
Properti 3. Logaritma derajat
logaritma derajat sama dengan produk derajat dan logaritma:
Jika basis logaritma dalam eksponen, maka rumus lain berlaku:
Properti 4. Logaritma dari akar
Sifat ini dapat diperoleh dari sifat logaritma derajat, karena akar derajat ke-n sama dengan pangkat 1/n:
Rumus untuk berpindah dari logaritma di satu basis ke logaritma di basis lain
Rumus ini juga sering digunakan saat menyelesaikan berbagai tugas untuk logaritma:
Kasus spesial:
Perbandingan logaritma (pertidaksamaan)
Misalkan kita memiliki 2 fungsi f(x) dan g(x) di bawah logaritma dengan basis yang sama dan ada tanda pertidaksamaan di antara mereka:
Untuk membandingkannya, pertama-tama Anda harus melihat basis logaritma a:
- Jika a > 0, maka f(x) > g(x) > 0
- Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Bagaimana memecahkan masalah dengan logaritma: contoh
Tugas dengan logaritma termasuk dalam USE dalam matematika untuk kelas 11 dalam tugas 5 dan tugas 7, Anda dapat menemukan tugas dengan solusi di situs web kami di bagian yang relevan. Juga, tugas dengan logaritma ditemukan di bank tugas dalam matematika. Anda dapat menemukan semua contoh dengan mencari di situs.
Apa itu logaritma?
Logaritma selalu dianggap sebagai topik yang sulit dalam kursus matematika sekolah. Ada banyak definisi yang berbeda dari logaritma, tetapi untuk beberapa alasan kebanyakan buku teks menggunakan yang paling kompleks dan disayangkan dari mereka.
Kami akan mendefinisikan logaritma secara sederhana dan jelas. Mari kita buat tabel untuk ini:
Jadi, kita memiliki kekuatan dua.
Logaritma - properti, rumus, cara menyelesaikannya
Jika Anda mengambil nomor dari garis bawah, maka Anda dapat dengan mudah menemukan kekuatan yang Anda miliki untuk meningkatkan dua untuk mendapatkan nomor ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.
Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:
basis a dari argumen x adalah pangkat dimana bilangan a harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan x.
Notasi: log a x \u003d b, di mana a adalah basis, x adalah argumen, b sebenarnya adalah apa yang sama dengan logaritma.
Misalnya, 2 3 = 8 log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Mungkin juga log 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.
Operasi mencari logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut. Jadi mari kita tambahkan baris baru ke tabel kita:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Sayangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Misalnya, coba cari log 2 5. Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menentukan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat pada segmen. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Angka-angka seperti itu disebut irasional: angka-angka setelah titik desimal dapat ditulis tanpa batas, dan tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya, banyak orang bingung di mana dasarnya dan di mana argumennya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:
Sebelum kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana Anda perlu menaikkan basis untuk mendapatkan argumen. Ini adalah pangkalan yang dinaikkan menjadi kekuatan - dalam gambar itu disorot dengan warna merah. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu aturan yang luar biasa ini kepada murid-murid saya pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan.
Cara menghitung logaritma
Kami menemukan definisinya - masih mempelajari cara menghitung logaritma, mis. singkirkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti dari definisi:
- Argumen dan basis harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat oleh eksponen rasional, yang definisi logaritma dikurangi.
- Basis harus berbeda dari kesatuan, karena satu unit untuk kekuatan apa pun masih merupakan satu unit. Karena itu, pertanyaan “kepada apa seseorang harus dibangkitkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!
Pembatasan seperti itu disebut rentang yang valid(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b x > 0, a > 0, a 1.
Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Misalnya, logaritma mungkin negatif: log 2 0,5 = 1, karena 0,5 = 2 1 .
Namun, sekarang kami hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, di mana tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ dari logaritma. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penyusun masalah. Tetapi ketika persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik ikut bermain, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Memang, dalam dasar dan argumen bisa ada konstruksi yang sangat kuat, yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.
Sekarang pertimbangkan skema umum untuk menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:
- Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan kemungkinan basis terkecil lebih besar dari satu. Sepanjang jalan, lebih baik untuk menyingkirkan pecahan desimal;
- Selesaikan persamaan untuk variabel b: x = a b ;
- Angka yang dihasilkan b akan menjadi jawabannya.
Itu saja! Jika logaritma ternyata irasional, ini akan terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangat relevan: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Demikian pula dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahan akan jauh lebih sedikit.
Mari kita lihat bagaimana skema ini bekerja pada contoh spesifik:
Sebuah tugas. Hitung logaritma: log 5 25
- Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Menerima jawaban: 2.
Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
log 5 25 = b (5 1) b = 5 2 5 b = 5 2 b = 2;
Sebuah tugas. Hitung logaritma:
Sebuah tugas. Hitung logaritma: log 4 64
- Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 2b = 6 b = 3; - Menerima jawaban: 3.
Sebuah tugas. Hitung logaritma: log 16 1
- Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
log 16 1 = b (2 4) b = 2 0 2 4b = 2 0 4b = 0 b = 0; - Menerima tanggapan: 0.
Sebuah tugas. Hitung logaritma: log 7 14
- Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
- Ini mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa logaritma tidak dipertimbangkan;
- Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.
Sebuah catatan kecil pada contoh terakhir. Bagaimana cara memastikan bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Sangat sederhana - hanya menguraikannya menjadi faktor prima. Jika paling sedikit ada dua faktor yang berbeda dalam pemuaian, bilangan tersebut bukanlah pangkat eksak.
Sebuah tugas. Cari tahu apakah pangkat yang tepat dari bilangan tersebut adalah: 8; 48; 81; 35; empat belas.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - derajat yang tepat, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan merupakan pangkat eksak karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - derajat yang tepat;
35 = 7 5 - sekali lagi bukan gelar yang pasti;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan gelar yang tepat;
Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.
logaritma desimal
Beberapa logaritma sangat umum sehingga memiliki nama dan sebutan khusus.
dari argumen x adalah logaritma basis 10, mis. kekuatan yang 10 harus dinaikkan untuk mendapatkan x. sebutan: lgx.
Misalnya, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.
Mulai sekarang, ketika frasa seperti "Temukan lg 0,01" muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda tidak terbiasa dengan sebutan seperti itu, Anda selalu dapat menulis ulang:
log x = log 10 x
Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga benar untuk desimal.
logaritma natural
Ada logaritma lain yang memiliki notasi sendiri. Dalam arti tertentu, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini adalah logaritma natural.
dari argumen x adalah logaritma ke basis e, mis. kekuatan yang nomor e harus dinaikkan untuk mendapatkan nomor x. Penunjukan: lnx.
Banyak yang akan bertanya: berapakah angka e? Ini adalah bilangan irasional, nilai eksaknya tidak dapat ditemukan dan ditulis. Ini hanya angka pertama:
e = 2.718281828459…
Kami tidak akan menyelidiki apa nomor ini dan mengapa itu diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis dari logaritma natural:
ln x = log e x
Jadi ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - dst. Di sisi lain, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari setiap bilangan rasional adalah irasional. Kecuali, tentu saja, kesatuan: ln 1 = 0.
Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.
Lihat juga:
Logaritma. Sifat-sifat logaritma (kekuatan logaritma).
Bagaimana cara merepresentasikan angka sebagai logaritma?
Kami menggunakan definisi logaritma.
Logaritma adalah indikator kekuatan yang basisnya harus dinaikkan untuk mendapatkan nomor di bawah tanda logaritma.
Jadi, untuk menyatakan bilangan tertentu c sebagai logaritma ke basis a, Anda perlu menempatkan pangkat dengan basis yang sama dengan basis logaritma di bawah tanda logaritma, dan tuliskan bilangan ini c ke dalam eksponen:
Dalam bentuk logaritma, Anda dapat mewakili bilangan apa pun secara mutlak - positif, negatif, bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional:
Agar tidak bingung a dan c dalam kondisi stres ujian atau ujian, Anda dapat menggunakan aturan berikut untuk diingat:
yang di bawah turun, yang di atas naik.
Misalnya, Anda ingin merepresentasikan angka 2 sebagai logaritma ke basis 3.
Kami memiliki dua angka - 2 dan 3. Angka-angka ini adalah basis dan eksponen, yang akan kami tulis di bawah tanda logaritma. Tetap menentukan mana dari angka-angka ini yang harus ditulis, di dasar derajat, dan mana - naik, di eksponen.
Basis 3 dalam catatan logaritma berada di bawah, yang berarti bahwa ketika kita menyatakan deuce sebagai logaritma ke basis 3, kita juga akan menulis 3 ke basis.
2 lebih tinggi dari 3. Dan dalam notasi derajat, kami menulis dua di atas tiga, yaitu dalam eksponen:
Logaritma. Tingkat pertama.
logaritma
logaritma nomor positif b dengan alasan sebuah, di mana a > 0, a 1, adalah eksponen yang angkanya harus dinaikkan. sebuah, Untuk memperoleh b.
Definisi logaritma secara singkat dapat dituliskan seperti ini:
Persamaan ini berlaku untuk b > 0, a > 0, a 1. Dia biasa dipanggil identitas logaritma.
Tindakan menemukan logaritma suatu bilangan disebut logaritma.
Sifat-sifat logaritma:
Logaritma dari produk:
Logaritma hasil bagi dari pembagian:
Mengganti basis logaritma:
logaritma derajat:
logaritma akar:
Logaritma dengan basis daya:
desimal dan logaritma natural.
logaritma desimal nomor memanggil logaritma basis 10 dari nomor itu dan menulis lg b
logaritma natural nomor memanggil logaritma dari nomor ini ke basis e, di mana e adalah bilangan irasional, kira-kira sama dengan 2,7. Pada saat yang sama, mereka menulis ln b.
Catatan lain tentang Aljabar dan Geometri
Sifat dasar logaritma
Sifat dasar logaritma
Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.
Anda harus mengetahui aturan ini - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.
Penjumlahan dan pengurangan logaritma
Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x:y).
Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!
Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:
log 6 4 + log 6 9.
Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 2 48 log 2 3.
Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 3 135 log 3 5.
Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tanpa perubahan) ditawarkan di ujian.
Menghapus eksponen dari logaritma
Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:
Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus itu akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.
Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.
Bagaimana menyelesaikan logaritma
Ini yang paling sering dibutuhkan.
Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 7 49 6 .
Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:
Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kita punya:
Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".
Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebutnya sama: log 2 7. Karena log 2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.
Transisi ke yayasan baru
Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?
Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:
Biarkan log logaritma a x diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:
Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:
Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.
Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.
Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:
Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 5 16 log 2 25.
Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:
Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.
Sebuah tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 9 100 lg 3.
Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:
Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:
Identitas logaritma dasar
Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan.
Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:
Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.
Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Disebut seperti ini:
Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.
Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.
Sebuah tugas. Temukan nilai ekspresi:
Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:
Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu
Satuan logaritma dan nol logaritmik
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, secara mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "maju".
- log a a = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
- log a 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya nol! Karena a 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.
Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.
