Sebelum kita mulai memutuskan masalah deret aritmatika, pertimbangkan apa itu barisan bilangan, karena barisan aritmatika adalah kasus khusus dari barisan bilangan.

Barisan numerik adalah himpunan numerik, yang setiap elemennya memiliki nomor serinya sendiri. Unsur-unsur himpunan ini disebut anggota barisan. Nomor urut dari elemen urutan ditunjukkan oleh indeks:

Elemen pertama dari urutan;

Elemen kelima dari urutan;

- elemen "n" dari urutan, mis. elemen "berdiri dalam antrian" di nomor n.

Ada ketergantungan antara nilai elemen urutan dan nomor urutnya. Oleh karena itu, kita dapat menganggap barisan sebagai fungsi yang argumennya adalah bilangan urut dari suatu elemen barisan. Dengan kata lain, seseorang dapat mengatakan bahwa urutannya adalah fungsi dari argumen alami:

Urutan dapat ditentukan dalam tiga cara:

1 . Urutan dapat ditentukan menggunakan tabel. Dalam hal ini, kita cukup mengatur nilai setiap anggota barisan.

Misalnya, Seseorang memutuskan untuk mengambil manajemen waktu pribadi, dan untuk memulai, menghitung selama seminggu berapa banyak waktu yang dia habiskan di VKontakte. Dengan menuliskan waktu dalam sebuah tabel, ia akan mendapatkan barisan yang terdiri dari tujuh unsur:

Baris pertama tabel berisi nomor hari dalam seminggu, baris kedua - waktu dalam menit. Kami melihat bahwa, yaitu, pada hari Senin Seseorang menghabiskan 125 menit di VKontakte, yaitu pada hari Kamis - 248 menit, dan pada hari Jumat, hanya 15.

2 . Urutan dapat ditentukan menggunakan rumus anggota ke-n.

Dalam hal ini, ketergantungan nilai elemen urutan pada nomornya dinyatakan secara langsung sebagai rumus.

Misalnya, jika , maka

Untuk mencari nilai suatu unsur barisan dengan suatu bilangan tertentu, kita substitusikan bilangan unsur tersebut ke dalam rumus anggota ke-n.

Kami melakukan hal yang sama jika kami perlu mencari nilai fungsi jika nilai argumen diketahui. Kami mengganti nilai argumen sebagai gantinya dalam persamaan fungsi:

Jika, misalnya, , kemudian

Sekali lagi, saya perhatikan bahwa dalam urutan, berbeda dengan fungsi numerik arbitrer, hanya bilangan asli yang bisa menjadi argumen.

3 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan nilai anggota barisan dengan bilangan n pada nilai anggota sebelumnya. Dalam hal ini, tidak cukup hanya mengetahui jumlah anggota barisan untuk menemukan nilainya. Kita perlu menentukan anggota pertama atau beberapa anggota pertama dari barisan.

Misalnya, perhatikan urutannya ,

Kita dapat menemukan nilai anggota barisan berurutan, mulai dari yang ketiga:

Artinya, setiap kali mencari nilai anggota ke-n dari barisan, kita kembali ke dua sebelumnya. Cara pengurutan ini disebut berulang, dari kata Latin berulang- kembali.

Sekarang kita dapat mendefinisikan deret aritmatika. Deret aritmatika adalah kasus khusus sederhana dari barisan numerik.

Deret aritmatika disebut urutan numerik, yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama.

Nomor tersebut disebut perbedaan barisan aritmatika. Selisih deret aritmatika dapat bernilai positif, negatif, atau nol.

Jika judul="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} meningkat.

Misalnya, 2; 5; delapan; sebelas;...

Jika , maka setiap suku pada barisan aritmatika lebih kecil dari suku sebelumnya, dan barisan tersebut adalah memudar.

Misalnya, 2; -satu; -empat; -7;...

Jika , maka semua anggota barisan sama dengan bilangan yang sama, dan barisan tersebut adalah Perlengkapan tulis.

Misalnya, 2;2;2;2;...

Properti utama dari deret aritmatika:

Mari kita lihat gambarnya.

Kami melihat itu

, dan pada saat yang sama

Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan:

.

Bagi kedua ruas persamaan dengan 2:

Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua yang bertetangga:

Apalagi karena

, dan pada saat yang sama

, kemudian

, dan karenanya

Setiap anggota deret aritmatika dimulai dengan title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

rumus anggota ke.

Kami melihat bahwa untuk anggota deret aritmatika, hubungan berikut berlaku:

dan akhirnya

Kita punya rumus suku ke-n.

PENTING! Setiap anggota deret aritmatika dapat dinyatakan dalam dan . Mengetahui suku pertama dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, Anda dapat menemukan salah satu anggotanya.

Jumlah n anggota barisan aritmatika.

Dalam deret aritmatika arbitrer, jumlah suku-suku yang berjarak sama dari suku-suku ekstrem adalah sama satu sama lain:

Pertimbangkan deret aritmatika dengan n anggota. Biarkan jumlah n anggota deret ini sama dengan .

Susunlah suku-suku perkembangan terlebih dahulu dalam urutan angka menaik, kemudian dalam urutan menurun:

Mari kita pasangkan:

Jumlah dalam setiap kurung adalah , jumlah pasangan adalah n.

Kita mendapatkan:

Jadi, jumlah n anggota barisan aritmatika dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:

Mempertimbangkan memecahkan masalah deret aritmatika.

1 . Barisan tersebut diberikan oleh rumus suku ke-n: . Buktikan bahwa barisan ini merupakan barisan aritmatika.

Mari kita buktikan bahwa selisih antara dua anggota barisan yang berdekatan sama dengan bilangan yang sama.

Kami telah memperoleh bahwa perbedaan dua anggota yang berdekatan dari barisan tidak bergantung pada jumlah mereka dan adalah konstan. Oleh karena itu, menurut definisi, barisan ini adalah deret aritmatika.

2 . Diberikan deret aritmatika -31; -27;...

a) Tentukan 31 suku dari progresi tersebut.

b) Tentukan apakah bilangan 41 termasuk dalam deret ini.

sebuah) Kami melihat bahwa ;

Mari kita tuliskan rumus suku ke-n dari gerak maju kita.

Secara umum

Dalam kasus kami , itu sebabnya

Jumlah dari barisan aritmatika.

Jumlah dari deret aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik dalam arti maupun dalam rumus. Tetapi ada segala macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup padat.

Pertama, mari kita berurusan dengan arti dan rumus jumlah. Dan kemudian kami akan memutuskan. Untuk kesenangan Anda sendiri.) Arti dari penjumlahan sesederhana melenguh. Untuk menemukan jumlah deret aritmatika, Anda hanya perlu menambahkan semua anggotanya dengan hati-hati. Jika istilah ini sedikit, Anda dapat menambahkan tanpa rumus apa pun. Tetapi jika ada banyak, atau banyak ... penambahan itu mengganggu.) Dalam hal ini, rumusnya disimpan.

Rumus penjumlahannya sederhana:

Mari kita cari tahu jenis huruf apa yang termasuk dalam rumus. Ini akan menjernihkan banyak hal.

S n adalah jumlah dari barisan aritmatika. Hasil tambahan semua anggota, dengan pertama pada terakhir. Itu penting. Tambahkan dengan tepat semua anggota berturut-turut, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, mulai dari pertama. Dalam masalah seperti menemukan jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku lima sampai dua puluh, penerapan langsung rumus akan mengecewakan.)

sebuah 1 - pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana pertama nomor baris.

sebuah- terakhir anggota kemajuan. Nomor baris terakhir. Bukan nama yang sangat familiar, tapi bila diterapkan jumlahnya, sangat cocok. Kemudian Anda akan melihat sendiri.

n adalah jumlah anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa dalam rumus angka ini sesuai dengan jumlah anggota yang ditambahkan.

Mari kita definisikan konsepnya terakhir anggota sebuah. Mengisi pertanyaan: anggota seperti apa yang akan terakhir, jika diberikan tak berujung deret aritmatika?

Untuk jawaban yang meyakinkan, Anda perlu memahami arti dasar dari deret aritmatika dan ... baca tugas dengan cermat!)

Dalam tugas mencari jumlah suatu deret aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang harus dibatasi. Jika tidak, jumlah tertentu yang terbatas hanya tidak ada. Untuk solusinya, tidak masalah jenis kemajuan apa yang diberikan: terbatas atau tak terbatas. Tidak masalah bagaimana itu diberikan: dengan serangkaian angka, atau dengan rumus anggota ke-n.

Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus bekerja dari suku pertama dari deret ke suku dengan angka n. Sebenarnya, nama lengkap rumusnya terlihat seperti ini: jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua informasi berharga ini sering dienkripsi, ya ... Tapi tidak ada, dalam contoh di bawah ini kami akan mengungkapkan rahasia ini.)

Contoh tugas untuk jumlah deret aritmatika.

Pertama-tama, informasi yang berguna:

Kesulitan utama dalam tugas untuk jumlah deret aritmatika adalah penentuan elemen-elemen rumus yang benar.

Penulis tugas mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup dengan menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara rinci. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA nyata.

1. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 suku pertama.

Kerja yang baik. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menurut rumus, apa yang perlu kita ketahui? Anggota pertama sebuah 1, istilah terakhir sebuah, ya jumlah suku terakhir n.

Di mana mendapatkan nomor anggota terakhir? n? Ya, di sana, dalam kondisi! Dikatakan temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, nomor berapa itu? terakhir, anggota kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nomornya adalah kesepuluh!) Karena itu, alih-alih sebuah kita substitusikan ke rumus 10, melainkan n- sepuluh. Sekali lagi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.

Itu masih harus ditentukan sebuah 1 dan 10. Ini mudah dihitung dengan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana melakukannya? Kunjungi pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tidak ada.

sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1.5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Kami menemukan arti dari semua elemen rumus untuk jumlah deret aritmatika. Tetap menggantikan mereka, dan menghitung:

Itu saja. Jawaban: 75.

Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diketahui suatu barisan aritmatika (a n), selisihnya adalah 3,7; a 1 \u003d 2.3. Tentukan jumlah 15 suku pertama.

Kami segera menulis rumus jumlah:

Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan nilai dari setiap anggota dengan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Tetap mengganti semua elemen dalam rumus untuk jumlah deret aritmatika dan menghitung jawabannya:

Jawaban: 423.

Omong-omong, jika dalam rumus jumlah bukan sebuah substitusikan saja rumus suku ke-n, kita peroleh:

Kami memberikan yang serupa, kami mendapatkan formula baru untuk jumlah anggota deret aritmatika:

Seperti yang Anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini. sebuah. Dalam beberapa tugas, rumus ini sangat membantu, ya ... Anda dapat mengingat rumus ini. Dan Anda dapat menariknya pada waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, rumus jumlah dan rumus suku ke-n harus diingat dalam segala hal.)

Sekarang tugas dalam bentuk enkripsi singkat):

3. Tentukan jumlah semua bilangan positif dua angka yang merupakan kelipatan tiga.

Bagaimana! Tidak ada anggota pertama, tidak ada yang terakhir, tidak ada kemajuan sama sekali... Bagaimana cara hidup!?

Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan menarik keluar dari kondisi semua elemen jumlah dari deret aritmatika. Apa itu angka dua digit - kita tahu. Mereka terdiri dari dua angka.) Berapa angka dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) hal terakhir dua digit angka? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya ...

Kelipatan tiga... Hm... Ini adalah bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi... 12... habis dibagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah dapat menulis seri sesuai dengan kondisi masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Apakah deret ini merupakan deret aritmatika? Tentu saja! Setiap istilah berbeda dari yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika 2, atau 4, ditambahkan ke istilah, katakanlah, hasilnya, yaitu. angka baru tidak akan lagi dibagi 3. Anda dapat langsung menentukan perbedaan dari deret aritmatika ke heap: d = 3. Berguna!)

Jadi, kita dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan:

Apa yang akan menjadi nomor? n anggota terakhir? Siapapun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal ... Angka - mereka selalu berurutan, dan anggota kami melompati tiga besar. Mereka tidak cocok.

Ada dua solusi di sini. Salah satu caranya adalah untuk yang super pekerja keras. Anda dapat melukis kemajuan, seluruh rangkaian angka, dan menghitung jumlah istilah dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Anda perlu mengingat rumus untuk suku ke-n. Jika rumus diterapkan pada masalah kita, kita mendapatkan bahwa 99 adalah anggota ketiga puluh dari perkembangan. Itu. n = 30.

Kami melihat rumus untuk jumlah deret aritmatika:

Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk menghitung jumlah dari kondisi masalah:

sebuah 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Yang tersisa adalah aritmatika dasar. Substitusikan angka-angka dalam rumus dan hitung:

Jawaban: 1665

Jenis lain dari teka-teki populer:

4. Sebuah deret aritmatika diberikan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Temukan jumlah suku dari dua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat rumus jumlah dan ... kami kesal.) Rumusnya, izinkan saya mengingatkan Anda, menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam masalah Anda perlu menghitung jumlahnya sejak dua puluh... Formulanya tidak akan bekerja.

Anda dapat, tentu saja, melukis seluruh perkembangan dalam satu baris, dan menempatkan istilah dari 20 menjadi 34. Tapi ... entah bagaimana ternyata bodoh dan untuk waktu yang lama, kan?)

Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita pecah seri kita menjadi dua bagian. Bagian pertama akan dari suku pertama sampai suku kesembilan belas. Bagian kedua - dua puluh sampai tiga puluh empat. Jelas bahwa jika kita menghitung jumlah suku bagian pertama S 1-19, mari kita tambahkan ke jumlah anggota bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama ke suku ketiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ini menunjukkan bahwa untuk mencari jumlah S 20-34 dapat dilakukan dengan pengurangan sederhana

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua jumlah di ruas kanan dianggap dari yang pertama anggota, yaitu rumus jumlah standar cukup berlaku untuk mereka. Apakah kita mulai?

Kami mengekstrak parameter perkembangan dari kondisi tugas:

d = 1,5.

sebuah 1= -21,5.

Untuk menghitung jumlah 19 suku pertama dan 34 suku pertama, kita memerlukan suku ke-19 dan ke-34. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

sebuah 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Tidak ada yang tersisa. Kurangi jumlah 19 suku dari jumlah 34 suku:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Jawaban: 262,5

Satu catatan penting! Ada fitur yang sangat berguna dalam memecahkan masalah ini. Alih-alih perhitungan langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung apa, tampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka menentukan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil penuh. "Tipuan dengan telinga" seperti itu sering kali disimpan dalam teka-teki jahat.)

Dalam pelajaran ini, kami memeriksa masalah yang cukup untuk memahami arti dari jumlah deret aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa formula.)

Saran praktis:

Saat memecahkan masalah apa pun untuk jumlah deret aritmatika, saya sarankan untuk segera menulis dua rumus utama dari topik ini.

Rumus suku ke-n:

Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari, ke arah mana berpikir untuk memecahkan masalah. Membantu.

Dan sekarang tugas untuk solusi independen.

5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga.

Keren?) Petunjuknya tersembunyi di catatan untuk masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Tentukan jumlah 24 suku pertama.

Tidak biasa?) Ini adalah formula yang berulang. Anda dapat membacanya di pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan tautannya, teka-teki seperti itu sering ditemukan di GIA.

7. Vasya menabung uang untuk Liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling saya cintai (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menyangkal apa pun dari diri Anda sendiri. Belanjakan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih banyak pada setiap hari berikutnya daripada hari sebelumnya! Sampai uang habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Apakah sulit?) Rumus tambahan dari tugas 2 akan membantu.

Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Deret aritmatika sebutkan urutan angka (anggota perkembangan)

Di mana setiap istilah berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan istilah baja, yang juga disebut perbedaan langkah atau kemajuan.

Jadi, dengan menetapkan langkah dari perkembangan dan suku pertamanya, Anda dapat menemukan salah satu elemennya menggunakan rumus

Sifat-sifat deret aritmatika

1) Setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari angka kedua, adalah rata-rata aritmatika dari anggota barisan sebelumnya dan selanjutnya

Kebalikannya juga benar. Jika rata-rata aritmatika anggota ganjil (genap) tetangga dari barisan sama dengan anggota yang berdiri di antara mereka, maka barisan bilangan ini adalah barisan aritmatika. Dengan pernyataan ini, sangat mudah untuk memeriksa urutan apa pun.

Juga oleh properti deret aritmatika, rumus di atas dapat digeneralisasikan sebagai berikut:

Ini mudah untuk memverifikasi jika kita menulis istilah di sebelah kanan tanda sama dengan

Ini sering digunakan dalam praktik untuk menyederhanakan perhitungan dalam masalah.

2) Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dihitung dengan rumus

Ingat dengan baik rumus untuk jumlah deret aritmatika, itu sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup umum dalam situasi kehidupan yang sederhana.

3) Jika Anda tidak perlu menemukan jumlah keseluruhan, tetapi bagian dari urutan mulai dari anggota ke-k, maka rumus jumlah berikut akan berguna bagi Anda

4) Sangat menarik untuk mencari jumlah n anggota dari barisan aritmatika yang dimulai dari bilangan ke-k. Untuk melakukan ini, gunakan rumus

Di sinilah materi teoretis berakhir dan kami beralih ke pemecahan masalah yang umum dalam praktik.

Contoh 1. Tentukan suku keempat puluh dari barisan aritmatika 4;7;...

Larutan:

Sesuai dengan kondisi, kami memiliki

Tentukan langkah kemajuan

Menurut rumus terkenal, kami menemukan suku keempat puluh dari perkembangan

Contoh2. Deret aritmatika diberikan oleh anggota ketiga dan ketujuh. Tentukan suku pertama dari deret dan jumlah sepuluh.

Larutan:

Kami menulis elemen perkembangan yang diberikan sesuai dengan rumus

Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kami menemukan langkah perkembangan

Nilai yang ditemukan diganti ke dalam salah satu persamaan untuk menemukan suku pertama dari deret aritmatika

Hitung jumlah sepuluh suku pertama dari perkembangan

Tanpa menerapkan perhitungan yang rumit, kami menemukan semua nilai yang diperlukan.

Contoh 3. Suatu barisan aritmatika diberikan oleh penyebut dan salah satu anggotanya. Tentukan suku pertama dari deret tersebut, jumlah 50 sukunya dimulai dari 50, dan jumlah dari 100 suku pertama.

Larutan:

Mari kita tulis rumus untuk elemen keseratus dari progresi

dan temukan yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kami menemukan suku ke-50 dari perkembangan

Menemukan jumlah bagian dari perkembangan

dan jumlah dari 100 yang pertama

Jumlah perkembangannya adalah 250.

Contoh 4

Tentukan banyaknya anggota barisan aritmatika jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Larutan:

Kami menulis persamaan dalam hal suku pertama dan langkah dari perkembangan dan mendefinisikannya

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus jumlah untuk menentukan jumlah istilah dalam jumlah

Membuat penyederhanaan

dan selesaikan persamaan kuadrat

Dari dua nilai yang ditemukan, hanya angka 8 yang sesuai dengan kondisi soal. Jadi jumlah delapan suku pertama dari barisan tersebut adalah 111.

Contoh 5

selesaikan persamaannya

1+3+5+...+x=307.

Solusi: Persamaan ini adalah jumlah dari deret aritmatika. Kami menulis suku pertamanya dan menemukan perbedaan dari perkembangannya

IV Yakovlev | Materi tentang matematika | MathUs.ru

Deret aritmatika

Deret aritmatika adalah jenis barisan yang khusus. Oleh karena itu, sebelum mendefinisikan barisan aritmatika (dan kemudian geometrik), kita perlu membahas secara singkat konsep penting barisan bilangan.

selanjutnya

Bayangkan sebuah perangkat di layar yang menampilkan angka-angka tertentu satu demi satu. Katakanlah 2; 7; 13; satu; 6; 0; 3; : : : Himpunan bilangan tersebut hanyalah contoh barisan.

Definisi. Barisan numerik adalah sekumpulan angka di mana setiap angka dapat diberi nomor unik (yaitu, berkorespondensi dengan satu bilangan asli)1. Bilangan dengan bilangan n disebut anggota ke-n dari barisan tersebut.

Jadi, pada contoh di atas, angka pertama memiliki angka 2, yang merupakan anggota pertama dari barisan, yang dapat dilambangkan dengan a1 ; nomor lima memiliki nomor 6 yang merupakan anggota kelima dari urutan, yang dapat dilambangkan a5 . Secara umum, anggota ke-n dari suatu barisan dilambangkan dengan (atau bn , cn , dll.).

Situasi yang sangat nyaman adalah ketika anggota urutan ke-n dapat ditentukan oleh beberapa rumus. Misalnya, rumus an = 2n 3 menentukan urutannya: 1; satu; 3; 5; 7; : : : Rumus an = (1)n mendefinisikan barisan: 1; satu; satu; satu; : : :

Tidak setiap himpunan bilangan merupakan barisan. Jadi, segmen bukan urutan; itu berisi 'terlalu banyak' nomor untuk dinomori ulang. Himpunan R dari semua bilangan real juga bukan barisan. Fakta-fakta ini dibuktikan dalam proses analisis matematis.

Perkembangan aritmatika: definisi dasar

Sekarang kita siap untuk mendefinisikan deret aritmatika.

Definisi. Deret aritmatika adalah barisan di mana setiap suku (dimulai dari yang kedua) sama dengan jumlah dari suku sebelumnya dan beberapa bilangan tetap (disebut selisih dari barisan aritmatika).

Misalnya, urutan 2; 5; delapan; sebelas; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan selisih 3. Barisan 7; 2; 3; delapan; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 7 dan selisih 5. Barisan 3; 3; 3; : : : adalah barisan aritmatika dengan selisih nol.

Definisi Setara: Barisan an disebut barisan aritmatika jika selisih an+1 an adalah konstanta (tidak bergantung pada n).

Suatu barisan aritmatika dikatakan naik jika selisihnya positif, dan menurun jika selisihnya negatif.

1 Dan berikut adalah definisi yang lebih ringkas: barisan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli. Misalnya, barisan bilangan real adalah fungsi f:N! R.

Secara default, urutan dianggap tak terbatas, yaitu berisi jumlah angka yang tak terbatas. Tapi tidak ada yang peduli untuk mempertimbangkan urutan yang terbatas juga; sebenarnya, setiap himpunan bilangan berhingga dapat disebut barisan berhingga. Misalnya, urutan terakhir 1; 2; 3; empat; 5 terdiri dari lima angka.

Rumus anggota ke-n dari deret aritmatika

Sangat mudah untuk memahami bahwa deret aritmatika sepenuhnya ditentukan oleh dua angka: suku pertama dan selisihnya. Oleh karena itu, muncul pertanyaan: bagaimana, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, menemukan suku sembarang dari suatu deret aritmatika?

Tidak sulit untuk mendapatkan rumus yang diinginkan untuk suku ke-n dari suatu deret aritmatika. Biarkan

barisan aritmatika dengan selisih d. Kita punya:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Secara khusus, kami menulis:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
dan sekarang menjadi jelas bahwa rumus untuk an adalah:
an = a1 + (n 1)d:

Tugas 1. Dalam deret aritmatika 2; 5; delapan; sebelas; : : : temukan rumus suku ke-n dan hitung suku keseratusnya.

Larutan. Menurut rumus (1) kita memiliki:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Sifat dan tanda deret aritmatika

sifat-sifat deret aritmatika. Dalam deret aritmatika untuk sembarang

Dengan kata lain, setiap anggota barisan aritmatika (dimulai dari yang kedua) adalah rata-rata aritmatika dari anggota tetangga.

	Bukti. Kita punya:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

yang dibutuhkan.

Secara umum, deret aritmatika memenuhi persamaan

a n = a n k+ a n+k

untuk n > 2 dan k alami apa pun< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ternyata rumus (2) tidak hanya merupakan syarat perlu tetapi juga syarat yang cukup untuk suatu barisan menjadi barisan aritmatika.

Tanda barisan aritmatika. Jika persamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka barisan an adalah barisan aritmatika.

Bukti. Mari kita tulis ulang rumus (2) sebagai berikut:

a na n 1 = a n+1a n:

Hal ini menunjukkan bahwa selisih an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini hanya berarti bahwa barisan an merupakan barisan aritmatika.

Sifat dan tanda suatu deret aritmatika dapat dirumuskan sebagai satu pernyataan; untuk kenyamanan, kami akan melakukan ini untuk tiga angka (ini adalah situasi yang sering terjadi dalam masalah).

Karakterisasi barisan aritmatika. Tiga bilangan a, b, c membentuk barisan aritmatika jika dan hanya jika 2b = a + c.

Soal 2. (Universitas Negeri Moskow, Fakultas Ekonomi, 2007) Tiga bilangan 8x, 3 x2 dan 4 yang diurutkan membentuk barisan aritmatika menurun. Temukan x dan tulis perbedaan dari deret ini.

Larutan. Dengan properti dari deret aritmatika, kami memiliki:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Jika x = 1, maka diperoleh penurunan sebesar 8, 2, 4 dengan selisih 6. Jika x = 5, maka diperoleh peningkatan sebesar 40, 22, 4; kasus ini tidak berhasil.

Jawab: x = 1, selisihnya 6.

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

Legenda mengatakan bahwa suatu kali guru menyuruh anak-anak untuk menemukan jumlah angka dari 1 hingga 100 dan duduk untuk membaca koran dengan tenang. Namun, dalam beberapa menit, seorang anak laki-laki mengatakan bahwa dia telah memecahkan masalah tersebut. Itu adalah Carl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, yang kemudian menjadi salah satu matematikawan terbesar dalam sejarah.

Ide Little Gauss adalah ini. Membiarkan

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Mari kita tulis jumlah ini dalam urutan terbalik:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

dan tambahkan dua rumus ini:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Setiap suku di dalam kurung sama dengan 101, dan ada 100 suku secara total.Oleh karena itu

2S = 101 100 = 10100;

Kami menggunakan ide ini untuk mendapatkan rumus jumlah

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Modifikasi yang berguna dari rumus (3) diperoleh dengan mengganti rumus suku ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:

		2a1 + (n 1)d

Tugas 3. Temukan jumlah semua bilangan tiga digit positif yang habis dibagi 13.

Larutan. Bilangan tiga angka yang merupakan kelipatan 13 membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama 104 dan selisihnya 13; Suku ke-n dari barisan tersebut adalah:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Mari kita cari tahu berapa banyak anggota yang terkandung dalam progres kami. Untuk melakukan ini, kami memecahkan ketidaksetaraan:

sebuah 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Jadi ada 69 anggota dalam perkembangan kami. Menurut rumus (4) kami menemukan jumlah yang diperlukan:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Apa inti dari rumus tersebut?

Rumus ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap DENGAN NOMORNYA" n" .

Tentu saja, Anda perlu tahu istilah pertama sebuah 1 dan perbedaan perkembangan d, nah, tanpa parameter ini, Anda tidak dapat menuliskan perkembangan tertentu.

Tidaklah cukup untuk menghafal (atau menipu) rumus ini. Penting untuk mengasimilasi esensinya dan menerapkan formula dalam berbagai masalah. Ya, dan jangan lupa di waktu yang tepat ya…) Bagaimana tidak lupa- Saya tidak tahu. Tetapi bagaimana cara mengingat Jika perlu, saya akan memberi Anda petunjuk. Bagi mereka yang menguasai pelajaran sampai akhir.)

Jadi, mari kita berurusan dengan rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.

Apa rumus secara umum - kami bayangkan.) Apa itu deret aritmatika, nomor anggota, perbedaan progresi - dinyatakan dengan jelas dalam pelajaran sebelumnya. Lihatlah jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa anggota ke-n.

Kemajuan secara umum dapat ditulis sebagai serangkaian angka:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

sebuah 1- menunjukkan suku pertama dari deret aritmatika, sebuah 3- anggota ketiga sebuah 4- keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik dengan suku kelima, misalkan kita bekerja dengan sebuah 5, jika seratus dua puluh - dari 120.

Bagaimana mendefinisikan secara umum setiap anggota deret aritmatika, s setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:

sebuah

Itulah apa itu anggota ke-n dari deret aritmatika. Di bawah huruf n semua nomor anggota disembunyikan sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Dan apa yang diberikan catatan seperti itu kepada kita? Bayangkan saja, alih-alih angka, mereka menulis surat ...

Notasi ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan progresi aritmatika. Menggunakan notasi sebuah, kita dapat dengan cepat menemukan setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan banyak tugas yang harus diselesaikan secara bertahap. Anda akan melihat lebih jauh.

Dalam rumus anggota ke-n dari deret aritmatika:

a n = a 1 + (n-1)d

sebuah 1- anggota pertama dari perkembangan aritmatika;

n- nomor anggota.

Rumus tersebut menghubungkan parameter kunci dari setiap perkembangan: sebuah ; sebuah 1 ; d dan n. Di sekitar parameter ini, semua teka-teki berputar dalam perkembangan.

Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk menulis progresi tertentu. Misalnya, dalam masalah dapat dikatakan bahwa perkembangan diberikan oleh kondisi:

a n = 5 + (n-1) 2.

Masalah seperti itu bahkan bisa membingungkan ... Tidak ada seri, tidak ada perbedaan ... Tapi, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah untuk mengetahui bahwa dalam perkembangan ini a 1 \u003d 5, dan d \u003d 2.

Dan itu bisa lebih marah!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, ya, buka kurung dan berikan yang serupa? Kami mendapatkan formula baru:

an = 3 + 2n.

dia Hanya tidak umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah letak perangkapnya. Beberapa orang berpikir bahwa suku pertama adalah tiga. Meskipun pada kenyataannya anggota pertama adalah lima ... Sedikit lebih rendah kami akan bekerja dengan formula yang dimodifikasi.

Dalam tugas untuk kemajuan, ada notasi lain - n+1. Ini adalah, Anda dapat menebaknya, istilah "n ditambah yang pertama" dari perkembangan. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota perkembangan, yang jumlahnya lebih besar dari angka n per satu. Misalnya, jika dalam beberapa masalah kita ambil untuk sebuah suku kelima, maka n+1 akan menjadi anggota keenam. Dll.

Paling sering sebutan n+1 terjadi dalam rumus rekursif. Jangan takut dengan kata yang mengerikan ini!) Ini hanyalah cara untuk mengekspresikan suku dari deret aritmatika melalui yang sebelumnya. Misalkan kita diberikan deret aritmatika dalam bentuk ini, menggunakan rumus berulang:

a n+1 = a n +3

a2 = a1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Yang keempat - melalui yang ketiga, yang kelima - hingga yang keempat, dan seterusnya. Dan bagaimana cara menghitung segera, ucapkan suku kedua puluh, 20? Tapi tidak mungkin!) Meskipun suku ke-19 tidak diketahui, suku ke-20 tidak dapat dihitung. Inilah perbedaan mendasar antara rumus rekursif dan rumus suku ke-n. Rekursif hanya bekerja melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n - melalui pertama dan mengizinkan langsung temukan anggota mana pun dengan nomornya. Tidak menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.

Dalam deret aritmatika, rumus rekursif dapat dengan mudah diubah menjadi rumus biasa. Hitung sepasang suku berurutan, hitung selisihnya d, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tulis rumus dalam bentuk biasa, dan kerjakan. Di GIA, tugas seperti itu sering ditemukan.

Penerapan rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.

Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung dari rumus tersebut. Di akhir pelajaran sebelumnya ada masalah:

Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Soal ini dapat diselesaikan tanpa rumus apapun, hanya berdasarkan arti dari deret aritmatika. Tambah, ya tambah... Satu atau dua jam.)

Dan menurut rumusnya, solusinya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Kami memutuskan.

Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Masih harus dilihat apa n. Tidak masalah! Kita perlu menemukan 121. Di sini kami menulis:

Mohon perhatian! Alih-alih indeks n angka tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota deret aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita n. Ini dia artinya n= 121 selanjutnya kita substitusikan ke dalam rumus, dalam kurung. Substitusikan semua angka dalam rumus dan hitung:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Itu saja. Secepatnya seseorang dapat menemukan lima ratus sepuluh anggota, dan seribu tiga, apa saja. Kami menempatkan sebagai gantinya n nomor yang diinginkan dalam indeks surat " sebuah" dan dalam tanda kurung, dan kami pertimbangkan.

Biarkan saya mengingatkan Anda esensinya: formula ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap suku dari barisan aritmatika DENGAN NOMORNYA" n" .

Mari selesaikan masalah dengan lebih cerdas. Katakanlah kita memiliki masalah berikut:

Tentukan suku pertama barisan aritmatika (a n) jika a 17 = -2; d=-0,5.

Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan menyarankan langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika! Ya ya. Tulis tangan, tepat di buku catatan Anda:

a n = a 1 + (n-1)d

Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf dalam rumus, kami memahami data apa yang kami miliki dan apa yang hilang? Tersedia d=-0,5, ada anggota ketujuh belas ... Semuanya? Jika Anda berpikir itu saja, maka Anda tidak dapat menyelesaikan masalah, ya ...

Kami juga memiliki nomor n! dalam kondisi a 17 =-2 tersembunyi dua pilihan. Ini adalah nilai anggota ketujuh belas (-2) dan nomornya (17). Itu. n=17."Hal kecil" ini sering melewati kepala, dan tanpanya, (tanpa "hal kecil", bukan kepala!) Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Meskipun ... dan tanpa kepala juga.)

Sekarang kita bisa dengan bodohnya mengganti data kita ke dalam rumus:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh ya, 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita masukkan ke dalam:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Itu, pada dasarnya, adalah semua. Tetap mengungkapkan suku pertama deret aritmatika dari rumus, dan menghitung. Anda mendapatkan jawabannya: a1 = 6.

Teknik seperti itu - menulis formula dan hanya mengganti data yang diketahui - banyak membantu dalam tugas-tugas sederhana. Yah, tentu saja, Anda harus dapat mengekspresikan variabel dari rumus, tetapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika tidak dapat dipelajari sama sekali ...

Masalah populer lainnya:

Tentukan selisih dari barisan aritmatika (a n) jika a 1 =2; a 15 = 12.

Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami menulis rumusnya!)

a n = a 1 + (n-1)d

Pertimbangkan apa yang kita ketahui: a 1 = 2; a 15 = 12; dan (sorotan khusus!) n=15. Jangan ragu untuk mengganti dalam rumus:

12=2 + (15-1)d

Mari kita lakukan aritmatika.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ini adalah jawaban yang benar.

Jadi, tugas a n , a 1 dan d diputuskan. Masih belajar bagaimana menemukan nomornya:

Bilangan 99 adalah anggota deret aritmatika (a n), di mana a 1 = 12; d=3. Temukan nomor anggota ini.

Kami mengganti jumlah yang diketahui ke dalam rumus suku ke-n:

a n = 12 + (n-1) 3

Sekilas, ada dua besaran yang tidak diketahui di sini: sebuah n dan n. Tetapi sebuah adalah beberapa anggota perkembangan dengan nomor n... Dan anggota perkembangan ini yang kita kenal! Ini 99. Kami tidak tahu nomornya. n, jadi nomor ini juga perlu ditemukan. Substitusikan suku perkembangan 99 ke dalam rumus:

99 = 12 + (n-1) 3

Kami mengungkapkan dari rumus n, kami pikir. Kami mendapatkan jawabannya: n=30.

Dan sekarang masalah pada topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan apakah bilangan 117 merupakan anggota barisan aritmatika (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Mari kita menulis rumus lagi. Apa, tidak ada pilihan? Hm... Kenapa kita butuh mata?) Apakah kita melihat anggota pertama dari progresi? Kami melihat. Ini adalah -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: a 1 \u003d -3.6. Perbedaan d dapat ditentukan dari seri? Sangat mudah jika Anda tahu apa perbedaan dari deret aritmatika:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Ya, kami melakukan hal yang paling sederhana. Masih berurusan dengan nomor yang tidak dikenal n dan bilangan 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, paling tidak diketahui bahwa yang diberikan adalah suku dari barisan tersebut. Tapi di sini kita bahkan tidak tahu itu ... Bagaimana menjadi!? Nah, bagaimana menjadi, bagaimana menjadi ... Nyalakan kemampuan kreatif Anda!)

Kita memperkirakan bahwa 117 adalah, setelah semua, anggota kemajuan kami. Dengan nomor tak dikenal n. Dan, seperti pada soal sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumus (ya-ya!)) dan mengganti nomor kami:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Sekali lagi kami ungkapkan dari rumusn, kami menghitung dan mendapatkan:

Ups! Nomornya ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam progresi tidak bisa. Kesimpulan apa yang kita tarik? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kami. Itu adalah suatu tempat antara 101 dan 102 anggota. Jika jumlahnya ternyata alami, mis. bilangan bulat positif, maka nomor tersebut akan menjadi anggota perkembangan dengan nomor yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban untuk masalahnya adalah: tidak.

Tugas berdasarkan versi nyata GIA:

Deret aritmatika diberikan oleh kondisi:

a n \u003d -4 + 6.8n

Tentukan suku pertama dan suku kesepuluh dari deret tersebut.

Di sini perkembangan diatur dengan cara yang tidak biasa. Semacam formula ... Itu terjadi.) Namun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga rumus anggota ke-n dari deret aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan dengan nomornya.

Kami mencari anggota pertama. Yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat, adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal dimodifikasi. Suku pertama dari barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak ada, kita akan menemukannya sekarang.)

Sama seperti pada tugas sebelumnya, kami mengganti n=1 ke dalam rumus ini:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4!

Demikian pula, kami mencari suku kesepuluh:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Itu saja.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca hingga baris ini, bonus yang dijanjikan.)

Misalkan, dalam situasi pertempuran yang sulit dari GIA atau Ujian Negara Terpadu, Anda lupa rumus yang berguna dari anggota ke-n dari perkembangan aritmatika. Sesuatu muncul di pikiran, tetapi entah bagaimana tidak pasti ... Apakah n di sana, atau n+1, atau t-1... Bagaimana menjadi!?

Tenang! Rumus ini mudah diturunkan. Tidak terlalu ketat, tapi pasti cukup untuk kepercayaan diri dan keputusan yang tepat!) Sebagai kesimpulan, cukup untuk mengingat arti dasar dari deret aritmatika dan memiliki beberapa menit waktu. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.

Kami menggambar sumbu numerik dan menandai yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dst. anggota. Dan perhatikan perbedaannya d antar anggota. Seperti ini:

Kami melihat gambar dan berpikir: apa yang sama dengan istilah kedua? Kedua satu d:

sebuah 2 = a 1 + 1 d

Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua d.

sebuah 3 = a 1 + 2 d

Apa kau mengerti? Saya tidak menempatkan beberapa kata dalam huruf tebal untuk apa-apa. Oke, satu langkah lagi.)

Apa istilah keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga d.

sebuah 4 = a 1 + 3 d

Saatnya menyadari bahwa jumlah kesenjangan, yaitu. d, selalu satu kurang dari jumlah anggota yang Anda cari n. Artinya, sampai nomor n, jumlah celah akan n-1. Jadi, rumusnya adalah (tidak ada opsi!):

a n = a 1 + (n-1)d

Secara umum, gambar visual sangat membantu dalam memecahkan banyak masalah dalam matematika. Jangan abaikan gambar. Tetapi jika sulit untuk menggambar, maka ... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda untuk menghubungkan seluruh gudang senjata matematika yang kuat ke solusi - persamaan, ketidaksetaraan, sistem, dll. Anda tidak dapat menempatkan gambar dalam persamaan ...

Tugas untuk keputusan independen.

Untuk pemanasan:

1. Dalam deret aritmatika (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Temukan 3 .

Petunjuk: sesuai dengan gambar, masalahnya diselesaikan dalam 20 detik ... Menurut rumus, ternyata lebih sulit. Tetapi untuk menguasai rumus, itu lebih berguna.) Dalam Bagian 555, masalah ini diselesaikan baik dengan gambar maupun dengan rumus. Rasakan perbedaan nya!)

Dan ini bukan lagi pemanasan.)

2. Dalam deret aritmatika (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Carilah 3 .

Apa, keengganan untuk menggambar?) Masih! Lebih enak di rumus ya...

3. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Temukan suku keseratus dua puluh lima dari deret ini.

Dalam tugas ini, perkembangan diberikan secara berulang. Tapi menghitung sampai suku ke seratus dua puluh lima... Tidak semua orang bisa melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!

4. Diberikan barisan aritmatika (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Tentukan jumlah suku positif terkecil dari deret tersebut.

5. Sesuai dengan kondisi tugas 4, temukan jumlah anggota positif terkecil dan negatif terbesar dari perkembangan.

6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas dari suatu deret aritmatika meningkat adalah -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas adalah nol. Temukan 14 .

Bukan tugas termudah, ya ...) Di sini metode "di jari" tidak akan berfungsi. Anda harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan.

Jawaban (berantakan):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Telah terjadi? Itu bagus!)

Tidak semuanya berhasil? Itu terjadi. Omong-omong, dalam tugas terakhir ada satu poin halus. Perhatian saat membaca masalah akan diperlukan. Dan logika.

Solusi untuk semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk keempat, dan momen halus untuk keenam, dan pendekatan umum untuk memecahkan masalah apa pun untuk rumus suku ke-n - semuanya dilukis. Saya merekomendasi.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.