Rumus dasar dan metode integrasi. Aturan integrasi jumlah atau selisih. Mengambil konstanta dari tanda integral. Metode penggantian variabel. Rumus untuk integrasi per bagian. Contoh penyelesaian masalah.

Empat metode integrasi utama tercantum di bawah ini.

1) Aturan integrasi jumlah atau selisih.
.
Di sini dan di bawah, u, v, w adalah fungsi dari variabel integrasi x .

2) Mengambil konstanta dari tanda integral.
Misalkan c adalah konstanta yang tidak bergantung pada x. Kemudian dapat dikeluarkan dari tanda integral.

3) Metode penggantian variabel.
Perhatikan integral tak tentu.
Jika mungkin untuk memilih fungsi seperti itu (x) dari x , jadi
,
kemudian, setelah mengubah variabel t = (x) , kami memiliki
.

4) Rumus untuk integrasi per bagian.
,
di mana u dan v adalah fungsi dari variabel integrasi.

Tujuan akhir menghitung integral tak tentu adalah, melalui transformasi, untuk membawa integral yang diberikan ke integral paling sederhana, yang disebut integral tabular. Integral tabel dinyatakan dalam bentuk fungsi dasar menggunakan rumus yang sudah dikenal.
Lihat Tabel integral >>>

Contoh

Hitung integral tak tentu

Keputusan

Perhatikan bahwa integran adalah jumlah dan selisih dari tiga suku:
, dan .
Kami menerapkan metode 1 .

Selanjutnya, kami mencatat bahwa integran dari integral baru dikalikan dengan konstanta 5, 4, dan 2 , masing-masing. Kami menerapkan metode 2 .

Dalam tabel integral kita menemukan rumus
.
Pengaturan n = 2 , kita menemukan integral pertama.

Mari kita tulis ulang integral kedua dalam bentuk
.
Kami perhatikan itu. Kemudian

Mari kita gunakan cara ketiga. Kami membuat perubahan variabel t = (x) = log x.
.
Dalam tabel integral kita menemukan rumus

Karena variabel integrasi dapat dilambangkan dengan huruf apa saja, maka

Mari kita tulis ulang integral ketiga dalam bentuk
.
Kami menerapkan rumus untuk integrasi per bagian.
Membiarkan .
Kemudian
;
;

;
;
.

Di halaman ini Anda akan menemukan:

1. Sebenarnya, tabel antiturunan - dapat diunduh dalam format PDF dan dicetak;

2. Video tentang cara menggunakan tabel ini;

3. Sekelompok contoh menghitung antiturunan dari berbagai buku teks dan tes.

Dalam video itu sendiri, kami akan menganalisis banyak tugas di mana diperlukan untuk menghitung fungsi antiturunan, seringkali cukup rumit, tetapi yang paling penting, itu bukan hukum kekuatan. Semua fungsi yang dirangkum dalam tabel yang diusulkan di atas harus hafal, seperti turunannya. Tanpa mereka, studi lebih lanjut tentang integral dan penerapannya untuk memecahkan masalah praktis tidak mungkin dilakukan.

Hari ini kita terus berurusan dengan primitif dan beralih ke topik yang sedikit lebih kompleks. Jika terakhir kali kami mempertimbangkan antiturunan hanya dari fungsi daya dan struktur yang sedikit lebih kompleks, hari ini kami akan menganalisis trigonometri dan banyak lagi.

Seperti yang saya katakan di pelajaran terakhir, antiturunan, tidak seperti turunan, tidak pernah diselesaikan "kosong" menggunakan aturan standar apa pun. Selain itu, kabar buruknya adalah, tidak seperti turunan, antiturunan mungkin tidak dipertimbangkan sama sekali. Jika kita menulis fungsi yang benar-benar acak dan mencoba mencari turunannya, maka kita akan berhasil dengan probabilitas yang sangat tinggi, tetapi antiturunan hampir tidak akan pernah dihitung dalam kasus ini. Tetapi ada juga kabar baik: ada kelas fungsi yang cukup besar yang disebut fungsi dasar, antiturunannya sangat mudah dihitung. Dan semua konstruksi lain yang lebih kompleks yang diberikan pada berbagai kontrol, independen dan ujian, pada kenyataannya, terdiri dari fungsi-fungsi dasar ini dengan menambahkan, mengurangi, dan tindakan sederhana lainnya. Antiturunan dari fungsi tersebut telah lama dihitung dan diringkas dalam tabel khusus. Dengan fungsi dan tabel seperti itulah kita akan bekerja hari ini.

Tetapi kita akan mulai, seperti biasa, dengan pengulangan: ingat apa itu antiturunan, mengapa jumlahnya tak terhingga, dan bagaimana menentukannya. bentuk umum. Untuk melakukan ini, saya mengambil dua tugas sederhana.

Memecahkan contoh mudah

Contoh 1

Catat segera bahwa $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ dan keberadaan $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ segera memberi petunjuk kepada kita bahwa antiturunan yang diperlukan dari fungsi tersebut terkait dengan trigonometri. Dan memang, jika kita melihat tabel, kita menemukan bahwa $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ tidak lain adalah $\text(arctg)x$. Jadi mari kita menulis:

Untuk menemukan, Anda perlu menulis yang berikut:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Contoh #2

Di sini kita juga berbicara tentang fungsi trigonometri. Jika kita melihat tabelnya, maka memang akan menjadi seperti ini:

Kita perlu menemukan di antara seluruh rangkaian antiturunan yang melewati titik yang ditentukan:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Mari kita akhirnya menuliskannya:

Sesederhana itu. Satu-satunya masalah adalah untuk menghitung antiturunan dari fungsi sederhana, Anda perlu mempelajari tabel antiturunan. Namun, setelah mempelajari tabel turunan untuk Anda, saya rasa ini tidak akan menjadi masalah.

Memecahkan masalah yang mengandung fungsi eksponensial

Mari kita mulai dengan menulis rumus berikut:

\[((e)^(x))\ke ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\ke \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Mari kita lihat bagaimana semua ini bekerja dalam praktik.

Contoh 1

Jika kita perhatikan isi kurung, kita akan melihat bahwa dalam tabel antiturunan tidak ada ekspresi bahwa $((e)^(x))$ berada dalam sebuah persegi, jadi persegi ini harus dibuka. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus perkalian yang disingkat:

Mari kita cari antiturunan untuk masing-masing suku:

\[((e)^(2x))=((\left((((e)^(2)) \kanan))^(x))\ke \frac(((\left(((e)^)^ (2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left((((e)^(-2)) \kanan))^(x))\ke \frac(((\left(((e )^(-2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Dan sekarang kami mengumpulkan semua istilah dalam satu ekspresi dan mendapatkan antiturunan yang sama:

Contoh #2

Kali ini, eksponennya sudah lebih besar, sehingga rumus perkalian yang disingkat akan cukup rumit. Mari kita perluas tanda kurung:

Sekarang mari kita coba mengambil antiturunan dari rumus kita dari konstruksi ini:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dan supernatural dalam antiturunan dari fungsi eksponensial. Semua satu dihitung melalui tabel, namun, siswa yang penuh perhatian pasti akan memperhatikan bahwa antiturunan $((e)^(2x))$ lebih dekat ke hanya $((e)^(x))$ daripada ke $((a )^(x ))$. Jadi, mungkin ada beberapa aturan khusus yang memungkinkan, mengetahui antiturunan $((e)^(x))$, untuk menemukan $((e)^(2x))$? Ya, ada aturan seperti itu. Dan, terlebih lagi, ini merupakan bagian integral dari bekerja dengan tabel antiturunan. Kami sekarang akan menganalisisnya menggunakan ekspresi yang sama dengan yang baru saja kami kerjakan sebagai contoh.

Aturan untuk bekerja dengan tabel antiturunan

Mari kita tulis ulang fungsi kita:

Dalam kasus sebelumnya, kami menggunakan rumus berikut untuk menyelesaikannya:

\[((a)^(x))\ke \frac(((a)^(x)))(\namaoperator(lna))\]

Tapi sekarang mari kita lakukan sedikit berbeda: ingat atas dasar apa $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Seperti yang sudah dikatakan, karena turunan dari $((e)^(x))$ tidak lain adalah $((e)^(x))$, maka antiturunannya akan sama dengan $((e) ^( x))$. Tapi masalahnya adalah kita punya $((e)^(2x))$ dan $((e)^(-2x))$. Sekarang mari kita coba mencari turunan $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \kanan))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Mari kita tulis ulang konstruksi kita lagi:

\[((\left(((e)^(2x)) \kanan))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \kanan))^(\prime ))\]

Dan ini berarti bahwa ketika menemukan antiturunan $((e)^(2x))$, kita mendapatkan yang berikut:

\[((e)^(2x))\ke \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Seperti yang Anda lihat, kami mendapatkan hasil yang sama seperti sebelumnya, tetapi kami tidak menggunakan rumus untuk menemukan $((a)^(x))$. Sekarang ini mungkin tampak bodoh: mengapa memperumit perhitungan ketika ada formula standar? Namun, dalam ekspresi yang sedikit lebih kompleks, Anda akan melihat bahwa teknik ini sangat efektif, yaitu. menggunakan turunan untuk mencari antiturunan.

Mari, sebagai pemanasan, cari antiturunan dari $((e)^(2x))$ dengan cara yang sama:

\[((\left(((e)^(-2x)) \kanan))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \kanan))^(\prime ))\]

Saat menghitung, konstruksi kami akan ditulis sebagai berikut:

\[((e)^(-2x))\ke -\frac((((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Kami mendapat hasil yang persis sama, tetapi sebaliknya. Cara ini, yang bagi kita sekarang tampak sedikit lebih rumit, di masa depan akan lebih efisien untuk menghitung antiturunan yang lebih kompleks dan menggunakan tabel.

Catatan! Ini adalah poin yang sangat penting: antiturunan, seperti turunan, dapat dihitung dengan berbagai cara. Namun, jika semua perhitungan dan perhitungan sama, maka jawabannya akan sama. Kami baru saja memastikan ini dalam contoh $((e)^(-2x))$ - di satu sisi, kami menghitung antiderivatif ini "seluruh", menggunakan definisi dan menghitungnya dengan bantuan transformasi, di sisi lain, kita ingat bahwa $ ((e)^(-2x))$ dapat direpresentasikan sebagai $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dan kemudian gunakan antiturunan untuk fungsi $( (a)^(x))$. Namun, setelah semua transformasi, hasilnya sama seperti yang diharapkan.

Dan sekarang setelah kita memahami semua ini, saatnya untuk beralih ke sesuatu yang lebih substansial. Sekarang kita akan menganalisis dua konstruksi sederhana, namun, teknik yang akan diterapkan saat menyelesaikannya adalah alat yang lebih kuat dan berguna daripada "berlari" sederhana antara antiturunan tetangga dari tabel.

Pemecahan masalah: temukan antiturunan dari suatu fungsi

Contoh 1

Berikan jumlah yang ada di pembilangnya, uraikan menjadi tiga pecahan terpisah:

Ini adalah transisi yang cukup alami dan dapat dimengerti - kebanyakan siswa tidak memiliki masalah dengannya. Mari kita tulis ulang ekspresi kita sebagai berikut:

Sekarang mari kita ingat rumus ini:

Dalam kasus kami, kami akan mendapatkan yang berikut:

Untuk menghilangkan semua pecahan bertingkat tiga ini, saya sarankan melakukan hal berikut:

Contoh #2

Berbeda dengan pecahan sebelumnya, penyebutnya bukanlah hasil kali, melainkan jumlah. Dalam hal ini, kita tidak dapat lagi membagi pecahan kita dengan jumlah beberapa pecahan sederhana, tetapi kita harus mencoba memastikan bahwa pembilangnya memiliki persamaan yang kira-kira sama dengan penyebutnya. Dalam hal ini, cukup mudah dilakukan:

Notasi seperti itu, yang dalam bahasa matematika disebut "penjumlahan nol", akan memungkinkan kita untuk membagi kembali pecahan menjadi dua bagian:

Sekarang mari kita temukan apa yang kita cari:

Itu semua perhitungannya. Terlepas dari kerumitan yang tampak lebih besar daripada masalah sebelumnya, jumlah perhitungannya ternyata bahkan lebih kecil.

Nuansa solusi

Dan di sinilah letak kesulitan utama bekerja dengan tabel primitif, ini terutama terlihat pada tugas kedua. Faktanya adalah bahwa untuk memilih beberapa elemen yang mudah dihitung melalui tabel, kita perlu tahu persis apa yang kita cari, dan dalam pencarian elemen-elemen inilah seluruh perhitungan antiturunan terdiri.

Dengan kata lain, tidak cukup hanya menghafal tabel antiturunan - Anda harus dapat melihat sesuatu yang belum ada, tetapi apa maksud penulis dan penyusun masalah ini. Itulah sebabnya banyak matematikawan, guru, dan profesor terus-menerus berdebat: "Apa yang dimaksud dengan antiturunan atau integrasi - apakah itu hanya alat atau seni nyata?" Padahal, menurut saya pribadi, integrasi bukanlah seni sama sekali - tidak ada yang luhur di dalamnya, hanya latihan dan latihan lagi. Dan untuk berlatih, mari kita selesaikan tiga contoh yang lebih serius.

Praktek integrasi dalam praktek

Tugas 1

Mari kita tulis rumus berikut:

\[((x)^(n))\ke \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\ke \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\ke \text(arctg)x\]

Mari kita tulis berikut ini:

Tugas #2

Mari kita tulis ulang sebagai berikut:

Total antiturunan akan sama dengan:

Tugas #3

Kompleksitas tugas ini terletak pada kenyataan bahwa, tidak seperti fungsi sebelumnya, tidak ada variabel $x$ di atas, mis. tidak jelas bagi kami apa yang harus ditambahkan, dikurangi untuk mendapatkan setidaknya sesuatu yang mirip dengan apa yang ada di bawah ini. Namun, pada kenyataannya, ekspresi ini dianggap lebih sederhana daripada ekspresi apa pun dari konstruksi sebelumnya, karena fungsi ini dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Sekarang Anda mungkin bertanya: mengapa fungsi-fungsi ini sama? Mari kita periksa:

Mari kita menulis ulang lagi:

Mari kita ubah ekspresi kita sedikit:

Dan ketika saya menjelaskan semua ini kepada siswa saya, masalah yang sama hampir selalu muncul: dengan fungsi pertama semuanya kurang lebih jelas, dengan yang kedua Anda juga dapat mengetahuinya dengan keberuntungan atau latihan, tetapi kesadaran alternatif seperti apa yang dilakukan Anda perlu memiliki untuk memecahkan contoh ketiga? Sebenarnya, jangan takut. Teknik yang kami gunakan saat menghitung antiturunan terakhir disebut "menguraikan fungsi menjadi paling sederhana", dan ini adalah teknik yang sangat serius, dan pelajaran video terpisah akan dikhususkan untuk itu.

Sementara itu, saya mengusulkan untuk kembali ke apa yang baru saja kita pelajari, yaitu, fungsi eksponensial dan agak memperumit tugas dengan isinya.

Masalah yang lebih kompleks untuk menyelesaikan fungsi eksponensial antiturunan

Tugas 1

Perhatikan hal berikut:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \kanan))^(x))=((10)^(x) )\]

Untuk mencari antiturunan dari ekspresi ini, cukup gunakan rumus standar $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Dalam kasus kami, primitif akan seperti ini:

Tentu saja, dengan latar belakang konstruksi yang baru saja kita selesaikan, yang ini terlihat lebih sederhana.

Tugas #2

Sekali lagi, mudah untuk melihat bahwa fungsi ini mudah dibagi menjadi dua suku terpisah - dua pecahan terpisah. Mari kita menulis ulang:

Tetap menemukan antiturunan dari masing-masing istilah ini sesuai dengan rumus di atas:

Terlepas dari kompleksitas fungsi eksponensial yang tampak lebih besar dibandingkan dengan fungsi daya, jumlah total kalkulasi dan kalkulasi ternyata jauh lebih sederhana.

Tentu saja, bagi siswa yang berpengetahuan, apa yang baru saja kita bahas (terutama dengan latar belakang apa yang telah kita bahas sebelumnya) mungkin tampak seperti ekspresi dasar. Namun, memilih dua tugas ini untuk tutorial video hari ini, saya tidak menetapkan tujuan untuk memberi tahu Anda trik rumit dan mewah lainnya - semua yang ingin saya tunjukkan kepada Anda adalah Anda tidak perlu takut menggunakan trik aljabar standar untuk mengubah fungsi aslinya .

Menggunakan teknik "rahasia"

Sebagai kesimpulan, saya ingin menganalisis teknik lain yang menarik, yang, di satu sisi, melampaui apa yang terutama telah kita analisis hari ini, tetapi, di sisi lain, itu, pertama, tidak rumit, yaitu. bahkan siswa pemula dapat menguasainya, dan, kedua, cukup sering ditemukan di semua jenis pekerjaan kontrol dan mandiri, mis. mengetahuinya akan sangat berguna selain mengetahui tabel antiturunan.

Tugas 1

Jelas, kami memiliki sesuatu yang sangat mirip dengan fungsi daya. Bagaimana kita harus melanjutkan dalam kasus ini? Mari kita pikirkan: $x-5$ berbeda dari $x$ tidak terlalu banyak - hanya menambahkan $-5$. Mari kita tulis seperti ini:

\[((x)^(4))\ke \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \kanan))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Mari kita coba mencari turunan dari $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \kanan))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \kanan))^(4))\]

Ini menyiratkan:

\[((\kiri(x-5 \kanan))^(4))=((\kiri(\frac(((\kiri(x-5 \kanan))^(5))))(5) \ kanan))^(\prime ))\]

Tidak ada nilai seperti itu dalam tabel, jadi kami sekarang telah menurunkan rumus ini sendiri, menggunakan rumus antiturunan standar untuk fungsi pangkat. Mari kita tulis jawabannya seperti ini:

Tugas #2

Bagi banyak siswa yang melihat solusi pertama, tampaknya semuanya sangat sederhana: cukup mengganti $x$ dalam fungsi pangkat dengan ekspresi linier, dan semuanya akan sesuai. Sayangnya, semuanya tidak sesederhana itu, dan sekarang kita akan melihat ini.

Dengan analogi dengan ekspresi pertama, kami menulis yang berikut:

\[((x)^(9))\ke \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \kanan))^(10)) \kanan))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \kanan))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Kembali ke turunan kita, kita dapat menulis:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \kanan))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \kanan))^(\prime ))\]

Dari sini segera berikut:

Nuansa solusi

Harap dicatat: jika terakhir kali, pada kenyataannya, tidak ada yang berubah, maka dalam kasus kedua, alih-alih $-10$, $-30$ muncul. Apa perbedaan antara $-10$ dan $-30$? Jelas, dengan faktor $-3$. Pertanyaan: dari mana asalnya? Melihat lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa itu diambil sebagai hasil dari menghitung turunan dari fungsi kompleks - koefisien yang berdiri di $x$ muncul di antiturunan di bawah ini. Ini adalah aturan yang sangat penting, yang awalnya tidak saya rencanakan untuk dianalisis sama sekali dalam tutorial video hari ini, tetapi tanpanya, presentasi antiturunan tabular tidak akan lengkap.

Jadi mari kita lakukan lagi. Biarkan ada fungsi daya utama kami:

\[((x)^(n))\ke \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Dan sekarang daripada $x$ mari kita ganti ekspresi $kx+b$. Apa yang akan terjadi kemudian? Kita perlu menemukan yang berikut ini:

\[((\kiri(kx+b \kanan))^(n))\ke \frac(((\kiri(kx+b \kanan))^(n+1)))(\kiri(n+ 1 \kanan)\cdot k)\]

Atas dasar apa kita menegaskan hal ini? Sangat sederhana. Mari kita cari turunan dari konstruksi yang tertulis di atas:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \kanan))^(n+1)))(\left(n+1 \kanan)\cdot k) \kanan))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \kanan))^(n))\]

Ini adalah ekspresi yang sama yang awalnya. Dengan demikian, rumus ini juga benar, dan dapat digunakan untuk melengkapi tabel antiturunan, tetapi lebih baik untuk mengingat seluruh tabel.

Kesimpulan dari "rahasia: penerimaan:

• Kedua fungsi yang baru saja kita pertimbangkan, pada kenyataannya, dapat direduksi menjadi antiturunan yang ditunjukkan dalam tabel dengan membuka derajat, tetapi jika kita dapat sedikit banyak mengatasi derajat keempat, maka saya tidak akan melakukan derajat kesembilan sama sekali. memberanikan diri untuk mengungkapkan.
• Jika kita mengungkap derajatnya, maka kita akan mendapatkan volume perhitungan sedemikian rupa sehingga tugas sederhana akan memakan waktu yang tidak memadai.
• Itulah sebabnya tugas-tugas seperti itu, yang di dalamnya terdapat ekspresi linier, tidak perlu diselesaikan "kosong". Segera setelah Anda menemukan antiturunan, yang berbeda dari yang ada di tabel hanya dengan adanya ekspresi $kx+b$ di dalam, segera ingat rumus yang tertulis di atas, gantikan dengan antiturunan tabel Anda, dan semuanya akan menjadi banyak lebih cepat dan lebih mudah.

Tentu saja, karena kerumitan dan keseriusan teknik ini, kami akan berulang kali kembali ke pertimbangannya di tutorial video mendatang, tetapi untuk hari ini saya memiliki segalanya. Saya berharap pelajaran ini akan sangat membantu para siswa yang ingin memahami antiturunan dan integrasi.

Fungsi antiturunan dan integral tak tentu

Fakta 1. Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi, yaitu pemulihan suatu fungsi dari turunan yang diketahui dari fungsi ini. Fungsi dipulihkan dengan cara ini F(x) disebut primitif untuk fungsi f(x).

Definisi 1. Fungsi F(x f(x) pada beberapa interval X, jika untuk semua nilai x dari interval ini persamaan F "(x)=f(x), yaitu, fungsi ini f(x) adalah turunan dari fungsi antiturunan F(x). .

Misalnya fungsi F(x) = sin x adalah antiturunan dari fungsi f(x) = cos x pada seluruh garis bilangan, karena untuk sembarang nilai x (dosa x)" = (cos x) .

Definisi 2. Integral tak tentu dari suatu fungsi f(x) adalah himpunan semua antiturunannya. Ini menggunakan notasi

∫

f(x)dx

,

dimana tandanya ∫ disebut tanda integral, fungsi f(x) adalah integran, dan f(x)dx adalah integran.

Jadi, jika F(x) adalah beberapa antiturunan untuk f(x) , kemudian

∫

f(x)dx = F(x) +C

di mana C - konstanta arbitrer (konstan).

Untuk memahami arti dari himpunan antiturunan dari suatu fungsi sebagai integral tak tentu, analogi berikut ini tepat. Biarlah ada pintu (pintu kayu tradisional). Fungsinya adalah “menjadi pintu”. Pintunya terbuat dari apa? Dari sebuah pohon. Ini berarti bahwa himpunan antiturunan dari integran "menjadi pintu", yaitu integral tak tentu, adalah fungsi "menjadi pohon + C", di mana C adalah konstanta, yang dalam konteks ini dapat menunjukkan, untuk misalnya jenis pohon. Seperti halnya pintu yang dibuat dari kayu dengan beberapa perkakas, turunan suatu fungsi "dibuat" dari fungsi antiturunan dengan rumus yang kita pelajari dengan mempelajari turunan .

Kemudian tabel fungsi objek umum dan primitif yang sesuai ("menjadi pintu" - "menjadi pohon", "menjadi sendok" - "menjadi logam", dll.) mirip dengan tabel integral tak tentu dasar, yang akan diberikan di bawah ini. Tabel integral tak tentu mencantumkan fungsi-fungsi umum, yang menunjukkan antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini "dibuat". Sebagai bagian dari tugas mencari integral tak tentu, diberikan integran-integran yang dapat diintegralkan secara langsung tanpa usaha khusus, yaitu menurut tabel integral tak tentu. Dalam masalah yang lebih kompleks, integran harus terlebih dahulu ditransformasikan agar integral tabel dapat digunakan.

Fakta 2. Untuk mengembalikan fungsi sebagai antiturunan, kita harus memperhitungkan konstanta arbitrer (konstanta) C, dan agar tidak menulis daftar antiturunan dengan konstanta yang berbeda dari 1 hingga tak terhingga, Anda perlu menuliskan satu set antiturunan dengan konstanta arbitrer C, seperti ini: 5 x+C. Jadi, konstanta arbitrer (konstanta) termasuk dalam ekspresi antiturunan, karena antiturunan dapat berupa fungsi, misalnya, 5 x+4 atau 5 x+3 dan ketika mendiferensiasikan 4 atau 3 atau konstanta lainnya menghilang.

Kami mengatur masalah integrasi: untuk fungsi yang diberikan f(x) temukan fungsi seperti itu F(x), turunan siapa adalah sama dengan f(x).

Contoh 1 Tentukan himpunan antiturunan dari suatu fungsi

Keputusan. Untuk fungsi ini, antiturunannya adalah fungsi

Fungsi F(x) disebut antiturunan untuk fungsi f(x) jika turunan F(x) adalah sama dengan f(x), atau, yang merupakan hal yang sama, diferensial F(x) adalah sama dengan f(x) dx, yaitu

(2)

Oleh karena itu, fungsi tersebut merupakan antiturunan dari fungsi . Namun, itu bukan satu-satunya antiturunan untuk . Mereka juga fungsi

di mana Dengan adalah konstanta arbitrer. Hal ini dapat dibuktikan dengan diferensiasi.

Jadi, jika ada satu antiturunan untuk suatu fungsi, maka untuk itu ada himpunan antiturunan tak berhingga yang berbeda dengan jumlah konstan. Semua antiturunan untuk suatu fungsi ditulis dalam bentuk di atas. Ini mengikuti dari teorema berikut.

Teorema (pernyataan formal fakta 2). Jika sebuah F(x) adalah antiturunan dari fungsi f(x) pada beberapa interval X, maka antiturunan lainnya untuk f(x) pada interval yang sama dapat direpresentasikan sebagai F(x) + C, di mana Dengan adalah konstanta arbitrer.

Dalam contoh berikut, kita telah beralih ke tabel integral, yang akan diberikan dalam paragraf 3, setelah sifat-sifat integral tak tentu. Kami melakukan ini sebelum membiasakan diri dengan seluruh tabel, sehingga esensi dari hal di atas menjadi jelas. Dan setelah tabel dan properti, kami akan menggunakannya secara keseluruhan saat mengintegrasikan.

Contoh 2 Temukan himpunan antiturunan:

Keputusan. Kami menemukan set fungsi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini "dibuat". Saat menyebutkan rumus dari tabel integral, untuk saat ini, terima saja bahwa ada rumus seperti itu, dan kita akan mempelajari tabel integral tak tentu secara penuh lebih jauh.

1) Menerapkan rumus (7) dari tabel integral untuk n= 3, kita peroleh

2) Menggunakan rumus (10) dari tabel integral untuk n= 1/3, kita punya

3) Sejak

maka menurut rumus (7) di n= -1/4 temukan

Di bawah tanda integral, mereka tidak menulis fungsi itu sendiri f, dan produknya dengan diferensial dx. Ini dilakukan terutama untuk menunjukkan variabel mana yang dicari oleh antiturunan. Sebagai contoh,

, ;

di sini dalam kedua kasus integran sama dengan , tetapi integral tak tentu dalam kasus yang dipertimbangkan ternyata berbeda. Dalam kasus pertama, fungsi ini dianggap sebagai fungsi dari variabel x, dan yang kedua - sebagai fungsi dari z .

Proses mencari integral tak tentu dari suatu fungsi disebut pengintegrasian fungsi tersebut.

Arti geometris integral tak tentu

Biarkan diperlukan untuk menemukan kurva y=F(x) dan kita sudah tahu bahwa garis singgung dari kemiringan garis singgung pada setiap titiknya adalah fungsi yang diberikan f(x) absis titik ini.

Menurut arti geometris turunan, garis singgung kemiringan garis singgung pada titik tertentu pada kurva y=F(x) sama dengan nilai turunannya F"(x). Jadi, kita perlu menemukan fungsi seperti itu F(x), untuk itu F"(x)=f(x). Fungsi yang diperlukan dalam tugas F(x) berasal dari f(x). Kondisi masalah tidak dipenuhi oleh satu kurva, tetapi oleh keluarga kurva. y=F(x)- salah satu kurva ini, dan kurva lainnya dapat diperoleh darinya dengan translasi paralel sepanjang sumbu Oy.

Sebutlah grafik fungsi antiturunan dari f(x) kurva integral. Jika sebuah F"(x)=f(x), maka grafik fungsi y=F(x) adalah kurva integral.

Fakta 3. Integral tak tentu secara geometris diwakili oleh keluarga dari semua kurva integral seperti pada gambar di bawah ini. Jarak setiap kurva dari titik asal ditentukan oleh konstanta arbitrer (konstanta) integrasi C.

Sifat-sifat integral tak tentu

Fakta 4. Teorema 1. Turunan integral tak tentu sama dengan integran, dan diferensialnya sama dengan integran.

Fakta 5. Teorema 2. Integral tak tentu dari diferensial suatu fungsi f(x) sama dengan fungsi f(x) sampai suku konstan , yaitu

(3)

Teorema 1 dan 2 menunjukkan bahwa diferensiasi dan integrasi adalah operasi yang saling terbalik.

Fakta 6. Teorema 3. Faktor konstanta dalam integral dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu , yaitu

Belajar berintegrasi tidaklah sulit. Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu mempelajari seperangkat aturan tertentu yang agak kecil dan mengembangkan semacam bakat. Tentu saja, mudah untuk mempelajari aturan dan rumus, tetapi agak sulit untuk memahami di mana dan kapan menerapkan aturan integrasi atau diferensiasi ini atau itu. Ini, pada kenyataannya, adalah kemampuan untuk berintegrasi.

1. Antiturunan. integral tak tentu.

Diasumsikan bahwa pada saat membaca artikel ini, pembaca sudah memiliki beberapa keterampilan diferensiasi (yaitu, menemukan turunan).

Definisi 1.1: Suatu fungsi disebut antiturunan jika persamaannya memenuhi:

Komentar:> Penekanan pada kata “primordial” dapat ditempatkan dalam dua cara: tentang resah atau asli sebuah penuh arti.

Properti 1: Jika suatu fungsi merupakan antiturunan suatu fungsi, maka fungsi tersebut juga merupakan antiturunan suatu fungsi.

Bukti: Mari kita buktikan ini dari definisi antiturunan. Mari kita cari turunan dari fungsi:

Suku pertama dalam definisi 1.1 sama , dan suku kedua adalah turunan dari konstanta tersebut, yang sama dengan 0.

.

Meringkaskan. Mari kita tulis awal dan akhir rantai persamaan:

Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah sama, dan oleh karena itu, menurut definisi, adalah antiturunannya. Properti telah terbukti.

Definisi 1.2: Integral tak tentu dari suatu fungsi adalah seluruh himpunan antiturunan dari fungsi ini. Ini dilambangkan seperti ini:

.

Pertimbangkan nama setiap bagian dari catatan secara rinci:

adalah notasi umum untuk integral,

adalah ekspresi integran (integrand), fungsi yang dapat diintegralkan.

adalah diferensial, dan ekspresi setelah huruf , dalam hal ini , akan disebut variabel integrasi.

Komentar: Kata kunci dalam definisi ini adalah “seluruh rangkaian”. Itu. jika di kemudian hari “plus C” ini tidak tertulis dalam jawaban, maka inspektur berhak untuk tidak mengkredit tugas ini, karena perlu untuk menemukan seluruh rangkaian antiturunan, dan jika C tidak ada, maka hanya satu yang ditemukan.

Kesimpulan: Untuk memeriksa apakah integral dihitung dengan benar, perlu untuk menemukan turunan dari hasilnya. Itu harus cocok dengan integran.
Contoh:
Latihan: Hitung integral tak tentu dan periksa.

Keputusan:

Cara integral ini dihitung tidak masalah dalam kasus ini. Misalkan itu adalah wahyu dari atas. Tugas kita adalah menunjukkan bahwa wahyu tidak menipu kita, dan ini dapat dilakukan dengan bantuan verifikasi.

Penyelidikan:

Saat membedakan hasilnya, diperoleh integran, yang berarti integral dihitung dengan benar.

2. Mulai. Tabel integral.

Untuk integrasi, tidak perlu setiap kali mengingat fungsi yang turunannya sama dengan integran yang diberikan (yaitu, menggunakan definisi integral secara langsung). Setiap kumpulan soal atau buku teks tentang analisis matematika berisi daftar sifat integral dan tabel integral paling sederhana.

Mari kita daftar properti.

Properti:
1.
Integral diferensial sama dengan variabel integrasi.
2. , dimana adalah konstanta.
Pengganda konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral.

3.
Integral jumlah sama dengan jumlah integral (jika jumlah suku berhingga).
Tabel integral:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Paling sering, tugasnya adalah mereduksi integral yang diselidiki menjadi integral tabular menggunakan properti dan rumus.

Contoh:

[Mari kita gunakan sifat ketiga integral dan tuliskan sebagai jumlah dari tiga integral.]

[Mari kita gunakan properti kedua dan keluarkan konstanta dari tanda integrasi.]

[ Pada integral pertama, kami menggunakan integral tabel No. 1 (n=2), pada integral kedua - rumus yang sama, tetapi n=1, dan untuk integral ketiga, Anda dapat menggunakan integral tabel yang sama, tetapi dengan n=0, atau properti pertama. ]
.
Mari kita periksa dengan diferensiasi:

Integran asli diperoleh, oleh karena itu, integrasi dilakukan tanpa kesalahan (dan bahkan penambahan konstanta sembarang C tidak dilupakan).

Integral tabel harus dipelajari dengan hati karena satu alasan sederhana - untuk mengetahui apa yang harus diperjuangkan, mis. mengetahui tujuan dari transformasi ekspresi yang diberikan.

Berikut adalah beberapa contoh lagi:
1)
2)
3)

Tugas untuk solusi independen:

Latihan 1. Hitung integral tak tentu:

+ Tampilkan/sembunyikan petunjuk #1.

1) Gunakan sifat ketiga dan nyatakan integral ini sebagai jumlah dari tiga integral.

+ Tampilkan/sembunyikan petunjuk #2.

+ Tampilkan/sembunyikan petunjuk #3.

3) Untuk dua istilah pertama, gunakan integral tabular pertama, dan untuk yang ketiga - integral tabular kedua.

+ Tampilkan/sembunyikan Solusi dan Jawaban.

4) Solusi:

Menjawab: