Persamaan kanonik garis lurus dalam ruang adalah persamaan yang menentukan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu secara kolinear terhadap vektor arah.

Misalkan sebuah titik dan vektor arah diberikan. Titik sembarang terletak pada sebuah garis aku hanya jika vektor dan kolinear, yaitu, mereka memenuhi kondisi:

.

Persamaan di atas adalah persamaan kanonik garis.

angka m , n dan p adalah proyeksi dari vektor arah ke sumbu koordinat. Karena vektornya bukan nol, maka semua bilangan m , n dan p tidak boleh nol pada saat yang bersamaan. Tapi satu atau dua di antaranya mungkin nol. Dalam geometri analitik, misalnya, notasi berikut diperbolehkan:

,

yang berarti bahwa proyeksi vektor pada sumbu Oy dan Ons sama dengan nol. Oleh karena itu, baik vektor dan garis lurus yang diberikan oleh persamaan kanonik tegak lurus terhadap sumbu Oy dan Ons, yaitu pesawat yOz .

Contoh 1 Buatlah persamaan garis lurus dalam ruang yang tegak lurus bidang dan melewati titik perpotongan bidang ini dengan sumbu Ons .

Larutan. Temukan titik potong bidang yang diberikan dengan sumbu Ons. Karena setiap titik pada sumbu Ons, memiliki koordinat , maka, dengan asumsi diberikan persamaan bidang x=y= 0, kita mendapatkan 4 z- 8 = 0 atau z= 2 . Oleh karena itu, titik potong bidang yang diberikan dengan sumbu Ons memiliki koordinat (0; 0; 2) . Karena garis yang diinginkan tegak lurus terhadap bidang, maka garis tersebut sejajar dengan vektor normalnya. Oleh karena itu, vektor normal dapat berfungsi sebagai vektor pengarah garis lurus diberikan pesawat.

Sekarang kita tulis persamaan yang diinginkan dari garis lurus yang melalui titik SEBUAH= (0; 0; 2) dalam arah vektor :

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu

Garis lurus dapat ditentukan oleh dua titik yang terletak di atasnya dan Dalam hal ini, vektor pengarah garis lurus dapat berupa vektor . Kemudian persamaan kanonik garis mengambil bentuk

.

Persamaan di atas menentukan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Contoh 2 Tuliskan persamaan garis lurus di ruang angkasa yang melalui titik dan .

Larutan. Kami menulis persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk yang diberikan di atas dalam referensi teoretis:

.

Karena , maka garis yang diinginkan tegak lurus terhadap sumbu Oy .

Lurus sebagai garis perpotongan bidang

Garis lurus dalam ruang dapat didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang yang tidak sejajar dan, yaitu, sebagai himpunan titik-titik yang memenuhi sistem dua persamaan linier

Persamaan sistem juga disebut persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Contoh 3 Tulis persamaan kanonik dari garis lurus dalam ruang yang diberikan oleh persamaan umum

Larutan. Untuk menulis persamaan kanonik garis lurus atau, yang sama, persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu, Anda perlu menemukan koordinat dua titik pada garis lurus. Mereka dapat menjadi titik perpotongan garis lurus dengan dua bidang koordinat apa pun, misalnya yOz dan xOz .

Titik potong garis dengan bidang yOz memiliki absis x= 0 . Oleh karena itu, dengan asumsi dalam sistem persamaan ini x= 0 , kita mendapatkan sistem dengan dua variabel:

Keputusannya kamu = 2 , z= 6 bersama-sama dengan x= 0 mendefinisikan sebuah titik SEBUAH(0; 2; 6) dari baris yang diinginkan. Dengan asumsi kemudian dalam sistem persamaan yang diberikan kamu= 0, kita mendapatkan sistem

Keputusannya x = -2 , z= 0 bersama dengan kamu= 0 mendefinisikan sebuah titik B(-2; 0; 0) perpotongan garis dengan bidang xOz .

Sekarang kita tulis persamaan garis lurus yang melalui titik-titik SEBUAH(0; 2; 6) dan B (-2; 0; 0) :

,

atau setelah membagi penyebut dengan -2:

,

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu dalam arah tertentu. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu. Sudut antara dua garis. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis. Menentukan titik potong dua garis

1. Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu SEBUAH(x 1 , kamu 1) dalam arah tertentu, ditentukan oleh kemiringan k,

kamu - kamu 1 = k(x - x 1). (1)

Persamaan ini mendefinisikan sebuah pensil dari garis-garis yang melalui sebuah titik SEBUAH(x 1 , kamu 1), yang disebut pusat balok.

2. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik: SEBUAH(x 1 , kamu 1) dan B(x 2 , kamu 2) ditulis seperti ini:

Kemiringan garis lurus yang melalui dua titik tertentu ditentukan oleh rumus

3. Sudut antara garis lurus SEBUAH dan B adalah sudut di mana garis lurus pertama harus diputar SEBUAH di sekitar titik perpotongan garis-garis ini berlawanan arah jarum jam sampai bertepatan dengan garis kedua B. Jika dua garis diberikan oleh persamaan kemiringan

kamu = k 1 x + B 1 ,

Biarkan dua poin diberikan M(X 1 ,Pada 1) dan N(X 2,kamu 2). Mari kita cari persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini.

Karena garis ini melewati titik M, maka menurut rumus (1.13) persamaannya berbentuk

Pada – kamu 1 = K(X-x 1),

Di mana K adalah kemiringan yang tidak diketahui.

Nilai koefisien ini ditentukan dari kondisi garis lurus yang diinginkan melewati titik N, yang berarti koordinatnya memenuhi persamaan (1.13)

kamu 2 – kamu 1 = K(X 2 – X 1),

Dari sini Anda dapat menemukan kemiringan garis ini:

,

Atau setelah konversi

(1.14)

Rumus (1.14) mendefinisikan Persamaan garis yang melalui dua titik M(X 1, kamu 1) dan N(X 2, kamu 2).

Dalam kasus tertentu ketika poin M(SEBUAH, 0), N(0, B), TETAPI ¹ 0, B 0, terletak pada sumbu koordinat, persamaan (1.14) mengambil bentuk yang lebih sederhana

Persamaan (1.15) ditelepon Persamaan garis lurus dalam segmen, di sini TETAPI dan B menunjukkan segmen dipotong oleh garis lurus pada sumbu (Gambar 1.6).

Gambar 1.6

Contoh 1.10. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik M(1, 2) dan B(3, –1).

. Menurut (1.14), persamaan garis lurus yang diinginkan memiliki bentuk

2(kamu – 2) = -3(X – 1).

Mentransfer semua istilah ke sisi kiri, kami akhirnya mendapatkan persamaan yang diinginkan

3X + 2kamu – 7 = 0.

Contoh 1.11. Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik M(2, 1) dan titik potong garis X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Kami menemukan koordinat titik perpotongan garis dengan menyelesaikan persamaan ini bersama-sama

Jika kita menambahkan persamaan ini istilah demi istilah, kita mendapatkan 2 X+ 1 = 0, dari mana . Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan apa pun, kami menemukan nilai ordinatnya Pada:

Sekarang mari kita tulis persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 1) dan :

atau .

Oleh karena itu atau -5( kamu – 1) = X – 2.

Akhirnya, kami memperoleh persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk X + 5kamu – 7 = 0.

Contoh 1.12. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik M(2.1) dan N(2,3).

Dengan menggunakan rumus (1.14), kita memperoleh persamaan

Tidak masuk akal karena penyebut kedua adalah nol. Dapat dilihat dari kondisi soal bahwa absis kedua titik memiliki nilai yang sama. Oleh karena itu, garis yang diperlukan sejajar dengan sumbu OY dan persamaannya adalah: x = 2.

Komentar . Jika, ketika menulis persamaan garis lurus menurut rumus (1.14), salah satu penyebutnya sama dengan nol, maka persamaan yang diinginkan dapat diperoleh dengan menyamakan pembilang yang sesuai dengan nol.

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mengatur garis lurus pada pesawat.

1. Biarkan vektor bukan nol tegak lurus terhadap garis yang diberikan L, dan titik M 0(X 0, kamu 0) terletak pada garis ini (Gambar 1.7).

Gambar 1.7

Menunjukkan M(X, kamu) titik sembarang pada garis L. Vektor dan Ortogonal. Menggunakan kondisi ortogonalitas untuk vektor-vektor ini, kita memperoleh or TETAPI(X – X 0) + B(kamu – kamu 0) = 0.

Kami telah memperoleh persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M 0 tegak lurus terhadap vektor . Vektor ini disebut vektor normal ke garis lurus L. Persamaan yang dihasilkan dapat ditulis ulang sebagai

Oh + Wu + DARI= 0, dimana DARI = –(TETAPIX 0 + Oleh 0), (1.16),

Di mana TETAPI dan PADA adalah koordinat vektor normal.

Kami memperoleh persamaan umum garis lurus dalam bentuk parametrik.

2. Garis pada bidang dapat didefinisikan sebagai berikut: biarkan vektor bukan nol sejajar dengan garis yang diberikan L dan titik M 0(X 0, kamu 0) terletak pada baris ini. Sekali lagi, ambil titik sewenang-wenang M(X, y) pada garis lurus (Gambar 1.8).

Gambar 1.8

Vektor dan kolinear.

Mari kita tuliskan kondisi kolinearitas dari vektor-vektor ini: , dimana T adalah bilangan arbitrer yang disebut parameter. Mari kita tulis persamaan ini dalam koordinat:

Persamaan ini disebut Persamaan parametrik Lurus. Mari kita keluarkan dari persamaan ini parameter T:

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk

. (1.18)

Persamaan yang dihasilkan disebut Persamaan kanonik garis lurus. Panggilan vektor Arah vektor lurus .

Komentar . Sangat mudah untuk melihat bahwa jika adalah vektor normal ke garis L, maka vektor arahnya dapat berupa vektor , karena , yaitu .

Contoh 1.13. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M 0(1, 1) sejajar dengan garis 3 X + 2Pada– 8 = 0.

Larutan . Vektor adalah vektor normal untuk garis yang diberikan dan yang diinginkan. Mari kita gunakan persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M 0 dengan vektor normal yang diberikan 3( X –1) + 2(Pada– 1) = 0 atau 3 X + 2 tahun- 5 \u003d 0. Kami mendapat persamaan garis lurus yang diinginkan.

Artikel ini melanjutkan topik persamaan garis lurus pada bidang: pertimbangkan jenis persamaan seperti persamaan umum garis lurus. Mari kita definisikan sebuah teorema dan berikan buktinya; Mari kita cari tahu apa itu persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus dan bagaimana membuat transisi dari persamaan umum ke jenis persamaan garis lurus lainnya. Kami akan mengkonsolidasikan seluruh teori dengan ilustrasi dan memecahkan masalah praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Misalkan sistem koordinat persegi panjang O x y diberikan pada bidang.

Teorema 1

Setiap persamaan tingkat pertama, yang memiliki bentuk A x + B y + C \u003d 0, di mana A, B, C adalah beberapa bilangan real (A dan B tidak sama dengan nol pada saat yang sama) mendefinisikan garis lurus di sistem koordinat persegi panjang pada bidang. Pada gilirannya, setiap garis dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang ditentukan oleh persamaan yang berbentuk A x + B y + C = 0 untuk himpunan nilai tertentu A, B, C.

Bukti

Teorema ini terdiri dari dua poin, kami akan membuktikannya masing-masing.

1. Mari kita buktikan bahwa persamaan A x + B y + C = 0 mendefinisikan sebuah garis pada bidang.

Misalkan ada suatu titik M 0 (x 0 , y 0) yang koordinatnya sesuai dengan persamaan A x + B y + C = 0 . Jadi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Kurangi dari sisi kiri dan kanan persamaan A x + B y + C \u003d 0 sisi kiri dan kanan persamaan A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, kita mendapatkan persamaan baru yang terlihat seperti A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Setara dengan A x + B y + C = 0 .

Persamaan yang dihasilkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 adalah syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Jadi, himpunan titik M (x, y) mendefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang sebuah garis lurus yang tegak lurus terhadap arah vektor n → = (A, B) . Kita dapat berasumsi bahwa ini tidak benar, tetapi vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) tidak akan tegak lurus, dan persamaan A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 tidak akan benar.

Oleh karena itu, persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 mendefinisikan garis tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang, dan oleh karena itu persamaan setara A x + B y + C \u003d 0 mendefinisikan baris yang sama. Jadi kami telah membuktikan bagian pertama dari teorema.

1. Mari kita buktikan bahwa setiap garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang dapat diberikan oleh persamaan derajat pertama A x + B y + C = 0 .

Mari kita atur garis lurus a dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang; titik M 0 (x 0 , y 0) yang dilalui garis ini, serta vektor normal garis ini n → = (A , B) .

Biarkan ada juga beberapa titik M (x , y) - titik mengambang dari garis. Dalam hal ini, vektor n → = (A , B) dan M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) saling tegak lurus, dan hasil kali skalarnya nol:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Mari kita tulis ulang persamaan A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , tentukan C: C = - A x 0 - B y 0 dan akhirnya dapatkan persamaan A x + B y + C = 0 .

Jadi, kami telah membuktikan bagian kedua dari teorema, dan kami telah membuktikan seluruh teorema secara keseluruhan.

Definisi 1

Persamaan yang terlihat seperti A x + B y + C = 0 - ini persamaan umum garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjangO x y .

Berdasarkan teorema terbukti, kita dapat menyimpulkan bahwa garis lurus yang diberikan pada sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang tetap dan persamaan umumnya terkait erat. Dengan kata lain, garis asli sesuai dengan persamaan umumnya; persamaan umum garis lurus sesuai dengan garis lurus yang diberikan.

Bukti dari teorema ini juga menunjukkan bahwa koefisien A dan B untuk variabel x dan y adalah koordinat vektor normal garis lurus, yang diberikan oleh persamaan umum garis lurus A x + B y + C = 0 .

Pertimbangkan contoh spesifik dari persamaan umum garis lurus.

Biarkan persamaan 2 x + 3 y - 2 = 0 diberikan, yang sesuai dengan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan. Vektor normal dari garis ini adalah vektor n → = (2 , 3) ​​. Gambarlah garis lurus yang diberikan dalam gambar.

Berikut ini juga dapat diperdebatkan: garis lurus yang kita lihat dalam gambar ditentukan oleh persamaan umum 2 x + 3 y - 2 = 0, karena koordinat semua titik dari garis lurus yang diberikan sesuai dengan persamaan ini.

Kita dapat memperoleh persamaan · A x + · B y + · C = 0 dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis lurus umum dengan bilangan bukan nol . Persamaan yang dihasilkan setara dengan persamaan umum asli, oleh karena itu, akan menggambarkan garis yang sama pada bidang.

Definisi 2

Menyelesaikan persamaan umum garis lurus- persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0, di mana angka A, B, C bukan nol. Jika tidak, persamaannya adalah tidak lengkap.

Mari kita menganalisis semua variasi persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus.

1. Ketika A \u003d 0, B 0, C 0, persamaan umumnya menjadi B y + C \u003d 0. Persamaan umum yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang O x y yang sejajar dengan sumbu O x, karena untuk setiap nilai nyata x, variabel y akan mengambil nilai - C B . Dengan kata lain, persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0, ketika A \u003d 0, B 0, mendefinisikan tempat kedudukan titik (x, y) yang koordinatnya sama dengan angka yang sama - C B .
2. Jika A \u003d 0, B 0, C \u003d 0, persamaan umumnya menjadi y \u003d 0. Persamaan yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan sumbu x O x .
3. Ketika A 0, B \u003d 0, C 0, kita mendapatkan persamaan umum yang tidak lengkap A x + C \u003d 0, mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu y.
4. Misalkan A 0, B \u003d 0, C \u003d 0, maka persamaan umum yang tidak lengkap akan berbentuk x \u003d 0, dan ini adalah persamaan garis koordinat O y.
5. Akhirnya, ketika A 0, B 0, C \u003d 0, persamaan umum yang tidak lengkap mengambil bentuk A x + B y \u003d 0. Dan persamaan ini menggambarkan garis lurus yang melewati titik asal. Memang, pasangan angka (0 , 0) sesuai dengan persamaan A x + B y = 0 , karena A · 0 + B · 0 = 0 .

Mari kita ilustrasikan secara grafis semua jenis persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus di atas.

Contoh 1

Diketahui bahwa garis lurus yang diberikan sejajar dengan sumbu y dan melalui titik 2 7 , - 11 . Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan umum dari garis lurus yang diberikan.

Larutan

Garis lurus yang sejajar dengan sumbu y diberikan oleh persamaan bentuk A x + C \u003d 0, di mana A 0. Kondisi tersebut juga menentukan koordinat titik yang dilalui garis, dan koordinat titik ini sesuai dengan kondisi persamaan umum yang tidak lengkap A x + C = 0 , yaitu. persamaan benar:

A 2 7 + C = 0

Dimungkinkan untuk menentukan C darinya dengan memberi A beberapa nilai bukan nol, misalnya, A = 7 . Dalam hal ini, kita mendapatkan: 7 2 7 + C \u003d 0 C \u003d - 2. Kita mengetahui kedua koefisien A dan C, substitusikan ke dalam persamaan A x + C = 0 dan dapatkan persamaan garis yang diperlukan: 7 x - 2 = 0

Menjawab: 7 x - 2 = 0

Contoh 2

Gambar menunjukkan garis lurus, perlu untuk menuliskan persamaannya.

Larutan

Gambar yang diberikan memungkinkan kita dengan mudah mengambil data awal untuk memecahkan masalah. Kita lihat pada gambar bahwa garis yang diberikan sejajar dengan sumbu O x dan melalui titik (0 , 3) ​​.

Garis lurus yang sejajar dengan absis ditentukan oleh persamaan umum yang tidak lengkap B y + = 0. Tentukan nilai B dan C . Koordinat titik (0, 3), karena suatu garis lurus melaluinya, akan memenuhi persamaan garis lurus B y + = 0, maka persamaan tersebut valid: · 3 + = 0. Mari kita atur B ke beberapa nilai selain nol. Katakanlah B \u003d 1, dalam hal ini, dari persamaan B · 3 + C \u003d 0 kita dapat menemukan C: C \u003d - 3. Dengan menggunakan nilai B dan C yang diketahui, kami memperoleh persamaan garis lurus yang diperlukan: y - 3 = 0.

Menjawab: y - 3 = 0 .

Persamaan umum garis lurus yang melalui suatu titik tertentu pada bidang

Biarkan garis yang diberikan melalui titik M 0 (x 0, y 0), maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis, yaitu. persamaannya benar: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Kurangi ruas kiri dan kanan persamaan ini dari ruas kiri dan kanan persamaan umum lengkap garis lurus. Kami mendapatkan: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, persamaan ini setara dengan persamaan umum asli, melewati titik M 0 (x 0, y 0) dan memiliki a vektor normal n → \u003d (A, B) .

Hasil yang diperoleh memungkinkan untuk menulis persamaan umum garis lurus dengan koordinat vektor normal garis lurus yang diketahui dan koordinat titik tertentu dari garis lurus ini.

Contoh 3

Diberikan titik M 0 (- 3, 4) yang dilalui garis, dan vektor normal garis ini n → = (1 , - 2) . Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan garis lurus yang diberikan.

Larutan

Kondisi awal memungkinkan kami memperoleh data yang diperlukan untuk menyusun persamaan: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Kemudian:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 x - 2 y + 22 = 0

Masalahnya bisa diselesaikan secara berbeda. Persamaan umum garis lurus memiliki bentuk A x + B y + C = 0 . Vektor normal yang diberikan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai koefisien A dan B , lalu:

A x + B y + C = 0 1 x - 2 y + C = 0 x - 2 y + C = 0

Sekarang mari kita cari nilai C, menggunakan titik M 0 (- 3, 4) yang diberikan oleh kondisi masalah, yang dilalui garis. Koordinat titik ini sesuai dengan persamaan x - 2 · y + C = 0 , yaitu. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Jadi C = 11. Persamaan garis lurus yang diperlukan berbentuk: x - 2 · y + 11 = 0 .

Menjawab: x - 2 y + 11 = 0 .

Contoh 4

Diberikan garis 2 3 x - y - 1 2 = 0 dan sebuah titik M 0 terletak pada garis ini. Hanya absis titik ini yang diketahui, dan sama dengan - 3. Hal ini diperlukan untuk menentukan ordinat dari titik yang diberikan.

Larutan

Mari kita atur penunjukan koordinat titik M 0 sebagai x 0 dan y 0 . Data awal menunjukkan bahwa x 0 \u003d - 3. Karena titik tersebut milik garis tertentu, maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis ini. Maka persamaan berikut akan benar:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Tentukan y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 - 5 2 - y 0 = 0 y 0 = - 5 2

Menjawab: - 5 2

Transisi dari persamaan umum garis lurus ke jenis persamaan garis lurus lainnya dan sebaliknya

Seperti yang kita ketahui, ada beberapa jenis persamaan garis lurus yang sama pada bidang. Pilihan jenis persamaan tergantung pada kondisi masalah; dimungkinkan untuk memilih salah satu yang lebih nyaman untuk solusinya. Di sinilah keterampilan mengubah suatu persamaan menjadi persamaan jenis lain sangat berguna.

Pertama, pertimbangkan transisi dari persamaan umum bentuk A x + B y + C = 0 ke persamaan kanonik x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jika A 0, maka kita pindahkan suku B y ke ruas kanan persamaan umum. Di sisi kiri, kami mengambil A dari tanda kurung. Hasilnya, kita mendapatkan: A x + C A = - B y .

Persamaan ini dapat ditulis sebagai proporsi: x + C A - B = y A .

Jika B 0, kami hanya meninggalkan istilah A x di sisi kiri persamaan umum, kami mentransfer yang lain ke sisi kanan, kami mendapatkan: A x \u003d - B y - C. Kami mengeluarkan - B dari tanda kurung, lalu: A x \u003d - B y + C B.

Mari kita tulis ulang persamaan sebagai proporsi: x - B = y + C B A .

Tentu saja, tidak perlu menghafal rumus yang dihasilkan. Cukup mengetahui algoritme tindakan selama transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik.

Contoh 5

Persamaan umum dari garis 3 y - 4 = 0 diberikan. Itu perlu dikonversi ke persamaan kanonik.

Larutan

Kami menulis persamaan aslinya sebagai 3 y - 4 = 0 . Selanjutnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme: suku 0 x tetap di sisi kiri; dan di sisi kanan kami mengeluarkan - 3 dari tanda kurung; kita peroleh: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Mari kita tulis persamaan yang dihasilkan sebagai proporsi: x - 3 = y - 4 3 0 . Dengan demikian, kami telah memperoleh persamaan bentuk kanonik.

Jawaban: x - 3 = y - 4 3 0.

Untuk mengubah persamaan umum garis lurus menjadi persamaan parametrik, pertama, transisi ke bentuk kanonik dilakukan, dan kemudian transisi dari persamaan kanonik garis lurus ke persamaan parametrik.

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan 2 x - 5 y - 1 = 0 . Tuliskan persamaan parametrik dari garis ini.

Larutan

Mari kita buat transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik:

2 x - 5 y - 1 = 0 2 x = 5 y + 1 2 x = 5 y + 1 5 x 5 = y + 1 5 2

Sekarang mari kita ambil kedua bagian dari persamaan kanonik yang dihasilkan sama dengan , maka:

x 5 = y + 1 5 2 = ⇔ x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

Menjawab:x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

Persamaan umum dapat diubah menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan y = k x + b, tetapi hanya jika B 0. Untuk transisi di ruas kiri, kita tinggalkan suku B y , sisanya dipindahkan ke kanan. Kami mendapatkan: B y = - A x - C . Mari kita bagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan B , yang berbeda dari nol: y = - A B x - C B .

Contoh 7

Persamaan umum garis lurus diberikan: 2 x + 7 y = 0 . Anda perlu mengubah persamaan itu menjadi persamaan kemiringan.

Larutan

Mari kita lakukan tindakan yang diperlukan sesuai dengan algoritme:

2 x + 7 y = 0 7 y - 2 x y = - 2 7 x

Menjawab: y = - 2 7 x .

Dari persamaan umum garis lurus, cukup dengan mendapatkan persamaan dalam bentuk segmen x a + y b \u003d 1. Untuk membuat transisi seperti itu, kami mentransfer angka C ke sisi kanan persamaan, membagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan - dan, akhirnya, mentransfer koefisien untuk variabel x dan y ke penyebut:

A x + B y + C = 0 A x + B y = - C ⇔ A - C x + B - C y = 1 x - C A + y - C B = 1

Contoh 8

Persamaan umum garis lurus x - 7 y + 1 2 = 0 diubah menjadi persamaan garis lurus dalam segmen-segmen.

Larutan

Mari pindahkan 1 2 ke ruas kanan: x - 7 y + 1 2 = 0 x - 7 y = - 1 2 .

Bagi dengan -1/2 kedua ruas persamaan: x - 7 y = - 1 2 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Menjawab: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Secara umum, transisi terbalik juga mudah: dari jenis persamaan lain ke persamaan umum.

Persamaan garis lurus dalam segmen dan persamaan dengan kemiringan dapat dengan mudah diubah menjadi persamaan umum hanya dengan mengumpulkan semua suku di ruas kiri persamaan:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 A x + B y + C = 0 y = k x + b y - k x - b = 0 A x + B y + C = 0

Persamaan kanonik diubah menjadi persamaan umum menurut skema berikut:

x - x 1 a x = y - y 1 a y a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 A x + B y + C = 0

Untuk beralih dari parametrik, pertama-tama transisi ke kanonik dilakukan, dan kemudian ke yang umum:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y A x + B y + C = 0

Contoh 9

Persamaan parametrik dari garis lurus x = - 1 + 2 · y = 4 diberikan. Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan umum dari garis ini.

Larutan

Mari kita buat transisi dari persamaan parametrik ke kanonik:

x = - 1 + 2 y = 4 x = - 1 + 2 y = 4 + 0 ⇔ = x + 1 2 = y - 4 0 x + 1 2 = y - 4 0

Mari kita beralih dari kanonik ke umum:

x + 1 2 = y - 4 0 0 (x + 1) = 2 (y - 4) y - 4 = 0

Menjawab: y - 4 = 0

Contoh 10

Persamaan garis lurus pada segmen x 3 + y 1 2 = 1 diberikan. Hal ini diperlukan untuk melakukan transisi ke bentuk umum persamaan.

Larutan:

Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk yang diperlukan:

x 3 + y 1 2 = 1 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Menjawab: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Membuat persamaan umum garis lurus

Di atas, kami mengatakan bahwa persamaan umum dapat ditulis dengan koordinat yang diketahui dari vektor normal dan koordinat titik yang dilalui garis. Garis lurus tersebut didefinisikan oleh persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Di tempat yang sama kami menganalisis contoh yang sesuai.

Sekarang mari kita lihat contoh yang lebih kompleks di mana, pertama, perlu untuk menentukan koordinat vektor normal.

Contoh 11

Diketahui sebuah garis yang sejajar dengan garis 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Juga dikenal adalah titik M 0 (4 , 1) yang melaluinya garis yang diberikan. Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan garis lurus yang diberikan.

Larutan

Kondisi awal menyatakan bahwa garis-garis tersebut sejajar, maka sebagai vektor normal dari garis yang persamaannya perlu dituliskan, kita ambil vektor pengarah garis n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Sekarang kita tahu semua data yang diperlukan untuk menyusun persamaan umum garis lurus:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 2 x - 3 y - 5 = 0

Menjawab: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Contoh 12

Garis yang diberikan melalui titik asal tegak lurus terhadap garis x - 2 3 = y + 4 5 . Hal ini diperlukan untuk menulis persamaan umum dari garis lurus yang diberikan.

Larutan

Vektor normal dari garis yang diberikan akan menjadi vektor pengarah dari garis x - 2 3 = y + 4 5 .

Maka n → = (3 , 5) . Garis lurus melewati titik asal, mis. melalui titik O (0,0) . Mari kita buat persamaan umum dari garis lurus yang diberikan:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 3 x + 5 y = 0

Menjawab: 3 x + 5 y = 0 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pelajaran dari seri "Algoritma Geometris"

Halo pembaca yang budiman!

Hari ini kita akan mulai mempelajari algoritma yang berhubungan dengan geometri. Faktanya adalah ada banyak masalah olimpiade dalam ilmu komputer yang berkaitan dengan geometri komputasi, dan solusi dari masalah seperti itu sering menimbulkan kesulitan.

Dalam beberapa pelajaran, kita akan mempertimbangkan sejumlah submasalah dasar yang menjadi dasar penyelesaian sebagian besar masalah geometri komputasi.

Dalam pelajaran ini, kita akan menulis sebuah program untuk mencari persamaan garis lurus melewati yang diberikan dua titik. Untuk memecahkan masalah geometri, kita memerlukan pengetahuan tentang geometri komputasi. Kami akan mencurahkan sebagian dari pelajaran untuk mengenal mereka.

Informasi dari geometri komputasi

Geometri komputasi adalah cabang ilmu komputer yang mempelajari algoritma untuk memecahkan masalah geometri.

Data awal untuk masalah tersebut dapat berupa kumpulan titik pada bidang, kumpulan segmen, poligon (diberikan, misalnya, dengan daftar simpulnya dalam urutan searah jarum jam), dll.

Hasilnya dapat berupa jawaban untuk beberapa pertanyaan (seperti apakah suatu titik termasuk segmen, apakah dua segmen berpotongan, ...), atau beberapa objek geometris (misalnya, poligon cembung terkecil yang menghubungkan titik-titik tertentu, luas poligon, dll.).

Kami akan mempertimbangkan masalah geometri komputasi hanya pada bidang dan hanya dalam sistem koordinat Cartesian.

Vektor dan koordinat

Untuk menerapkan metode geometri komputasi, perlu untuk menerjemahkan gambar geometris ke dalam bahasa angka. Kami berasumsi bahwa sistem koordinat Cartesian diberikan pada bidang, di mana arah rotasi berlawanan arah jarum jam disebut positif.

Sekarang objek geometris menerima ekspresi analitis. Jadi, untuk menetapkan titik, cukup tentukan koordinatnya: sepasang angka (x; y). Segmen dapat ditentukan dengan menentukan koordinat ujungnya, garis lurus dapat ditentukan dengan menentukan koordinat pasangan titiknya.

Tetapi alat utama untuk memecahkan masalah adalah vektor. Oleh karena itu, izinkan saya mengingatkan Anda tentang beberapa informasi tentang mereka.

Segmen garis AB, yang memiliki titik TETAPI dianggap sebagai awal (titik penerapan), dan titik PADA- ujungnya disebut vektor AB dan dilambangkan dengan , atau huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya sebuah .

Untuk menyatakan panjang vektor (yaitu, panjang segmen yang sesuai), kita akan menggunakan simbol modul (misalnya, ).

Vektor arbitrer akan memiliki koordinat yang sama dengan perbedaan antara koordinat yang sesuai dari ujung dan awalnya:

,

titik di sini SEBUAH dan B memiliki koordinat masing-masing.

Untuk perhitungan, kita akan menggunakan konsep sudut berorientasi, yaitu, sudut yang memperhitungkan posisi relatif dari vektor.

Sudut berorientasi antara vektor sebuah dan b positif jika rotasi menjauhi vektor sebuah ke vektor b dilakukan dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam) dan negatif dalam kasus lain. Lihat gbr.1a, gbr.1b. Juga dikatakan bahwa sepasang vektor sebuah dan b berorientasi positif (negatif).

Dengan demikian, nilai sudut berorientasi tergantung pada urutan pencacahan vektor dan dapat mengambil nilai dalam interval .

Banyak masalah geometri komputasi menggunakan konsep produk vektor (skew atau pseudoscalar).

Produk vektor dari vektor a dan b adalah produk dari panjang vektor-vektor ini dan sinus sudut di antara mereka:

.

Produk vektor dari vektor dalam koordinat:

Ekspresi di sebelah kanan adalah determinan orde kedua:

Berbeda dengan definisi yang diberikan dalam geometri analitik, ini adalah skalar.

Tanda perkalian silang menentukan posisi vektor relatif satu sama lain:

sebuah dan b berorientasi positif.

Jika nilainya , maka pasangan vektor sebuah dan b berorientasi negatif.

Perkalian silang dari vektor-vektor tak-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut kolinear ( ). Ini berarti bahwa mereka terletak pada garis yang sama atau pada garis paralel.

Mari kita pertimbangkan beberapa tugas sederhana yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas yang lebih kompleks.

Mari kita tentukan persamaan garis lurus dengan koordinat dua titik.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik berbeda diberikan oleh koordinatnya.

Biarkan dua titik yang tidak bertepatan diberikan pada garis: dengan koordinat (x1;y1) dan dengan koordinat (x2; y2). Dengan demikian, vektor dengan awal di titik dan akhir di titik memiliki koordinat (x2-x1, y2-y1). Jika P(x, y) adalah sembarang titik pada garis kita, maka koordinat vektornya adalah (x-x1, y - y1).

Dengan bantuan perkalian silang, kondisi kolinearitas vektor dan dapat ditulis sebagai berikut:

Itu. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Kami menulis ulang persamaan terakhir sebagai berikut:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Jadi, garis lurus dapat diberikan oleh persamaan bentuk (1).

Tugas 1. Koordinat dua titik diberikan. Tentukan representasinya dalam bentuk ax + by + c = 0.

Dalam pelajaran ini, kami berkenalan dengan beberapa informasi dari geometri komputasi. Kami memecahkan masalah menemukan persamaan garis dengan koordinat dua titik.

Dalam pelajaran berikutnya, kita akan menulis program untuk menemukan titik potong dua garis yang diberikan oleh persamaan kita.