Bagian nyata dan imajiner dari fungsi logaritma. Logaritma kompleks

Bukti rumusnya .

=

= =

karena sinus dan kosinus tidak bergantung pada penjumlahan sudut yang merupakan kelipatan

Dan persamaan ini sudah jelas, karena ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks.

Jadi, logaritma ada untuk semua titik pada bidang, kecuali nol. Untuk bilangan real positif, argumennya adalah 0, jadi himpunan titik tak terhingga ini adalah , yaitu salah satu nilai yaitu di , akan jatuh pada sumbu real. Jika kita menghitung logaritma suatu bilangan negatif, maka kita peroleh , yaitu himpunan titik-titik digeser ke atas dan tidak ada satupun yang jatuh pada sumbu real.

Terlihat dari rumusnya bahwa hanya jika argumen bilangan aslinya sama dengan nol, salah satu nilai logaritmanya jatuh pada sumbu real. Dan ini sesuai dengan semi-sumbu kanan, dan itulah sebabnya dalam pelajaran matematika sekolah hanya logaritma bilangan positif yang dipertimbangkan. Logaritma bilangan negatif dan bilangan imajiner juga ada, tetapi tidak mempunyai nilai tunggal pada sumbu real.

Gambar berikut menunjukkan di mana semua nilai logaritma bilangan positif berada pada bidang tersebut. Salah satunya berada pada sumbu real, sisanya berada di atas dan di bawah , , dan seterusnya. Untuk bilangan negatif atau kompleks, argumennya bukan nol, sehingga barisan titik ini digeser secara vertikal sehingga tidak ada titik pada sumbu real.

Contoh. Hitung.

Larutan. Mari kita definisikan modulus bilangan (sama dengan 2) dan argumennya 180 0 , yaitu . Maka = .


Lampiran 1. Pertanyaan untuk bukti (untuk tiket).

Kuliah #1

1. Buktikan rumus integrasi per bagian.

Kuliah #2

1. Buktikan bahwa perubahan , dimana r = KPK (r 1 ,...,rk) mereduksi integral menjadi integral pecahan rasional.

2. Buktikan bahwa substitusi mereduksi integral bentuk ke integral pecahan rasional.

3. Turunkan rumus transformasi sinus dan kosinus

Untuk perubahan trigonometri universal.

4. Buktikan bahwa jika fungsinya ganjil terhadap kosinus, penggantian tersebut mereduksi integral menjadi pecahan rasional.

5. Buktikan dalam kasus kapan

penggantian: mereduksi integral menjadi pecahan rasional.

6. Buktikan bahwa untuk suatu integral bentuk

7. Buktikan rumusnya

8. Buktikan bahwa untuk suatu integral bentuk penggantinya mempunyai integral tersendiri terhadap pecahan rasional.

9. Buktikan bahwa untuk suatu integral bentuk penggantian tersebut mereduksi integral menjadi pecahan rasional.

Kuliah #3

1. Buktikan fungsinya adalah antiturunan dari fungsi tersebut.

2. Buktikan rumus Newton-Leibniz: .

3. Buktikan rumus panjang kurva yang diberikan secara eksplisit:

.

4. Buktikan rumus panjang kurva yang diberikan dalam koordinat kutub

Kuliah #4

Buktikan teorema: konvergen, konvergen.

Kuliah #5

1. Turunkan (buktikan) rumus luas permukaan yang diberikan secara eksplisit .

2. Penurunan rumus transisi ke koordinat kutub.

3. Penurunan determinan Jacobi koordinat kutub.

4. Penurunan rumus transisi ke koordinat silinder.

5. Penurunan determinan Jacobi koordinat silinder.

6. Penurunan rumus transisi ke koordinat bola:

.

Kuliah #6

1. Buktikan bahwa penggantian tersebut mereduksi persamaan homogen menjadi persamaan dengan variabel-variabel yang dapat dipisahkan.

2. Menyimpulkan bentuk umum penyelesaian persamaan linier homogen.

3. Turunkan bentuk umum penyelesaian persamaan linier tak homogen dengan metode Lagrange.

4. Buktikan bahwa penggantian tersebut mereduksi persamaan Bernoulli menjadi persamaan linier.

Kuliah nomor 7.

1. Buktikan bahwa penggantian menurunkan orde persamaan sebesar k.

2. Buktikan bahwa penggantian tersebut menurunkan orde persamaan tersebut sebesar satu .

3. Buktikan teorema: Fungsi tersebut merupakan penyelesaian persamaan diferensial homogen linier dan mempunyai akar karakteristik.

4. Buktikan teorema bahwa kombinasi linier dari solusi-solusi diff homogen linier. persamaan tersebut juga merupakan solusinya.

5. Buktikan teorema pembebanan penyelesaian: Jika - penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan ruas kanan, dan - penyelesaian persamaan diferensial yang sama, tetapi dengan ruas kanan, maka jumlah tersebut adalah penyelesaian persamaan dengan ruas kanan.

Kuliah nomor 8.

1. Buktikan teorema bahwa sistem fungsi bergantung linier.

2. Buktikan teorema bahwa terdapat n solusi bebas linier dari persamaan diferensial homogen linier berorde n.

3. Buktikan jika 0 adalah akar multiplisitas , maka sistem solusi yang bersesuaian dengan akar tersebut berbentuk .

Kuliah nomor 9.

1. Buktikan dengan menggunakan bentuk eksponensial bahwa ketika mengalikan bilangan kompleks, modulnya dikalikan dan argumennya ditambahkan.

2. Buktikan rumus De Moivre untuk derajat n

3. Buktikan rumus akar orde n suatu bilangan kompleks

4. Buktikan itu Dan

adalah generalisasi sinus dan kosinus, mis. untuk bilangan real, rumus ini menghasilkan sinus (kosinus).

5. Buktikan rumus logaritma bilangan kompleks:


Lampiran 2

Pertanyaan kecil dan lisan tentang pengetahuan teori (untuk kolokium).

Kuliah #1

1. Apa yang dimaksud dengan antiturunan dan integral tak tentu, apa perbedaannya?

2. Jelaskan mengapa ia juga bersifat antiturunan.

3. Tuliskan rumus integrasi per bagian.

4. Penggantian apa yang diperlukan dalam bentuk integral dan bagaimana cara menghilangkan akar-akarnya?

5. Tuliskan jenis perluasan integran suatu pecahan rasional menjadi pecahan paling sederhana jika semua akarnya berbeda dan real.

6. Tuliskan jenis perluasan integran pecahan rasional menjadi pecahan sederhana jika semua akarnya real dan terdapat satu akar kelipatan dari multiplisitas k.

Kuliah nomor 2.

1. Tulislah penguraian pecahan rasional menjadi pecahan paling sederhana jika penyebutnya memiliki faktor 2 derajat dengan diskriminan negatif.

2. Penggantian apa yang mereduksi integral menjadi pecahan rasional?

3. Apa yang dimaksud dengan substitusi trigonometri universal?

4. Penggantian apa yang dilakukan jika fungsi di bawah tanda integral ganjil terhadap sinus (kosinus)?

5. Substitusi apa yang dilakukan jika integran berisi ekspresi , , atau .

Kuliah nomor 3.

1. Pengertian integral tertentu.

2. Sebutkan beberapa sifat utama integral tertentu.

3. Tuliskan rumus Newton-Leibniz.

4. Tuliskan rumus volume suatu benda yang berputar.

5. Tuliskan rumus panjang kurva eksplisit.

6. Tuliskan rumus panjang kurva parametrik.

Kuliah nomor 4.

1. Definisi integral tak wajar (dengan bantuan limit).

2. Apa perbedaan integral tak wajar jenis ke-1 dan ke-2.

3. Berikan contoh sederhana integral konvergen jenis ke-1 dan ke-2.

4. Integral (T1) manakah yang konvergen.

5. Bagaimana konvergensi berhubungan dengan batas berhingga antiturunan (T2)

6. Apa tanda konvergensi yang diperlukan, rumusannya.

7. Tanda perbandingan dalam bentuk akhir

8. Uji perbandingan dalam bentuk limit.

9. Pengertian integral berganda.

Kuliah nomor 5.

1. Mengubah urutan integrasi, tunjukkan dengan contoh paling sederhana.

2. Tuliskan rumus luas permukaan.

3. Apa yang dimaksud dengan koordinat kutub, tuliskan rumus transisinya.

4. Berapakah Jacobian dari sistem koordinat kutub?

5. Apa yang dimaksud dengan koordinat silinder dan bola, apa perbedaannya.

6. Berapakah koordinat Jacobian dari silinder (bola).

Kuliah nomor 6.

1. Apa yang dimaksud dengan persamaan diferensial orde 1 (pandangan umum).

2. Berapakah persamaan diferensial orde 1 yang diselesaikan terhadap turunannya. Berikan beberapa contoh.

3. Apa yang dimaksud dengan persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

4. Apa yang dimaksud dengan penyelesaian umum dan khusus, kondisi Cauchy.

5. Apa yang dimaksud dengan persamaan homogen, bagaimana cara umum penyelesaiannya.

6. Apa yang dimaksud dengan persamaan linier, apa algoritma penyelesaiannya, apa yang dimaksud dengan metode Lagrange.

7. Apa persamaan Bernoulli, algoritma penyelesaiannya.

Kuliah nomor 7.

1. Penggantian apa yang diperlukan untuk persamaan bentuk .

2. Penggantian apa yang diperlukan untuk persamaan bentuk tersebut .

3. Tunjukkan dengan contoh bagaimana hal itu dapat dinyatakan sebagai .

4. Apa yang dimaksud dengan persamaan diferensial linier orde n.

5. Apa yang dimaksud dengan polinomial karakteristik, persamaan karakteristik.

6. Merumuskan teorema dimana r fungsi tersebut merupakan penyelesaian persamaan diferensial homogen linier.

7. Merumuskan teorema bahwa kombinasi linier dari solusi persamaan linier homogen juga merupakan solusinya.

8. Merumuskan teorema pembebanan solusi dan akibat wajarnya.

9. Apa yang dimaksud dengan sistem fungsi bergantung linier dan sistem fungsi bebas linier, berikan beberapa contohnya.

10. Berapakah determinan Wronsky dari sistem yang mempunyai n fungsi, berikan contoh determinan Wronsky untuk sistem LZS dan LNS.

Kuliah nomor 8.

1. Sifat apa yang dimiliki determinan Wronsky jika sistem tersebut merupakan fungsi bergantung linier.

2. Berapa banyak solusi bebas linier dari persamaan diferensial homogen linier berorde n yang ada.

3. Pengertian FSR (sistem dasar penyelesaian) persamaan orde homogen linier n.

4. Berapa banyak fungsi yang terkandung dalam SRF?

5. Tuliskan bentuk sistem persamaan pencarian metode Lagrange untuk n=2.

6. Tuliskan jenis penyelesaian tertentu pada kasus kapan

7. Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan diferensial linier, tuliskan beberapa contohnya.

8. Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan diferensial otonom.

9. Arti fisis sistem persamaan diferensial.

10. Tuliskan apa saja fungsi FSR suatu sistem persamaan jika nilai eigen dan vektor eigen matriks utama sistem tersebut diketahui.

Kuliah nomor 9.

1. Apa yang dimaksud dengan satuan imajiner.

2. Apa yang dimaksud dengan bilangan konjugasi dan apa yang terjadi jika dikalikan dengan bilangan aslinya.

3. Sebutkan bentuk trigonometri eksponensial suatu bilangan kompleks.

4. Tuliskan rumus Euler.

5. Apa yang dimaksud dengan modulus, argumen bilangan kompleks.

6. apa yang terjadi pada modul dan argumen pada saat perkalian (pembagian).

7. Tuliskan rumus De Moivre untuk derajat n.

8. Tuliskan rumus akar ordo n.

9. Tuliskan rumus umum sinus dan cosinus untuk argumen kompleks.

10. Tuliskan rumus logaritma bilangan kompleks.


Lampiran 3. Tugas perkuliahan.

Kuliah #1

Contoh. . Contoh. .

Contoh. . Contoh. .

Contoh. Contoh. .

Contoh. . Contoh. .

Kuliah #2

Contoh. . Contoh. .

Contoh. . Contoh. .

Contoh. . Contoh.. , dimana, nomor .

Contoh. Bagilah dalam bentuk eksponensial.

Contoh. Temukan dengan rumus De Moivre.

Contoh. Temukan semua nilai root.

Sifat-sifat utama logaritma, grafik logaritma, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, kenaikan dan penurunan diberikan. Menemukan turunan dari logaritma dipertimbangkan. Selain integral, perluasan dan representasi deret pangkat melalui bilangan kompleks.

Isi

Domain, kumpulan nilai, menaik, menurun

Logaritma merupakan fungsi monotonik, sehingga tidak memiliki titik ekstrem. Properti utama logaritma disajikan dalam tabel.

Domain 0 < x < + ∞ 0 < x < + ∞
Jarak nilai - ∞ < y < + ∞ - ∞ < y < + ∞
Nada datar meningkat secara monoton menurun secara monoton
Nol, y= 0 x= 1 x= 1
Titik potong dengan sumbu y, x = 0 TIDAK TIDAK
+ ∞ - ∞
- ∞ + ∞

Nilai-nilai pribadi


Logaritma basis 10 disebut logaritma desimal dan ditandai seperti ini:

logaritma dasar e ditelepon logaritma natural:

Rumus logaritma dasar

Sifat-sifat logaritma berikut dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus penggantian basa

Logaritma adalah operasi matematika untuk mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, hasil kali faktor diubah menjadi jumlah suku.
Potensiasi adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari logaritma. Saat mempotensiasi, basis yang diberikan dipangkatkan ke ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah suku diubah menjadi hasil kali faktor.

Bukti rumus dasar logaritma

Rumus yang berkaitan dengan logaritma mengikuti rumus fungsi eksponensial dan definisi fungsi invers.

Pertimbangkan properti fungsi eksponensial
.
Kemudian
.
Terapkan properti fungsi eksponensial
:
.

Mari kita buktikan rumus perubahan basa.
;
.
Pengaturan c = b , kita punya:

Fungsi terbalik

Kebalikan dari logaritma basis a adalah fungsi eksponensial dengan eksponen a.

Jika kemudian

Jika kemudian

Turunan dari logaritma

Turunan dari logaritma modulo x :
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Penurunan rumus >> >

Untuk mencari turunan logaritma, harus direduksi menjadi basis e.
;
.

Integral

Integral logaritma dihitung dengan melakukan integrasi per bagian : .
Jadi,

Ekspresi dalam bilangan kompleks

Pertimbangkan fungsi bilangan kompleks z:
.
Mari kita nyatakan bilangan kompleks z melalui modul R dan argumen φ :
.
Kemudian, dengan menggunakan properti logaritma, kita mendapatkan:
.
Atau

Namun argumennya φ tidak didefinisikan dengan jelas. Jika kita menempatkan
, dimana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi angka yang sama untuk yang berbeda N.

Oleh karena itu, logaritma, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Untuk , perluasan terjadi:

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

Lihat juga:

Logaritma nyata

Logaritma log bilangan real A B masuk akal dengan style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/gambar/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Yang paling banyak digunakan adalah jenis logaritma berikut.

Jika kita menganggap bilangan logaritmik sebagai variabel, kita memperolehnya fungsi logaritma, Misalnya: . Fungsi ini didefinisikan di sisi kanan garis bilangan: X> 0 , kontinu dan terdiferensiasi di sana (lihat Gambar 1).

Properti

logaritma natural

Sebab, kesetaraan

(1)

Secara khusus,

Deret ini konvergen lebih cepat, dan selain itu, sisi kiri rumus kini dapat menyatakan logaritma bilangan positif apa pun.

Hubungan dengan logaritma desimal: .

Logaritma desimal

Beras. 2. Skala log

Logaritma ke basis 10 (simbol: lg A) sebelum ditemukannya kalkulator banyak digunakan untuk perhitungan. Skala logaritma desimal yang tidak seragam biasanya juga diterapkan pada mistar hitung. Skala serupa banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, misalnya:

  • Kimia - aktivitas ion hidrogen ().
  • Teori musik - skala musik, dalam kaitannya dengan frekuensi suara musik.

Skala logaritmik juga banyak digunakan untuk mengidentifikasi eksponen ketergantungan eksponensial dan koefisien eksponen. Pada saat yang sama, grafik yang diplot pada skala logaritmik sepanjang satu atau dua sumbu berbentuk garis lurus, sehingga lebih mudah dipelajari.

Logaritma kompleks

Fungsi multinilai

permukaan Riemann

Fungsi logaritma kompleks adalah contoh permukaan Riemann; bagian imajinernya (Gbr. 3) terdiri dari cabang-cabang yang jumlahnya tak terhingga, dipelintir seperti spiral. Permukaan ini hanya terhubung; hanya nol (orde pertama) yang diperoleh z= 1 , poin khusus: z= 0 dan (titik cabang dengan orde tak terhingga).

Permukaan logaritma Riemann adalah penutup universal untuk bidang kompleks tanpa titik 0 .

Garis besar sejarah

Logaritma nyata

Kebutuhan akan perhitungan yang rumit pada abad ke-16 berkembang pesat, dan sebagian besar kesulitannya terkait dengan perkalian dan pembagian bilangan multi-digit. Pada akhir abad ini, beberapa ahli matematika, hampir secara bersamaan, mengemukakan ide: mengganti perkalian yang memakan waktu dengan penjumlahan sederhana, membandingkan barisan geometri dan aritmatika menggunakan tabel khusus, sedangkan perkalian geometri akan menjadi yang asli. Kemudian pembagian tersebut secara otomatis digantikan dengan pengurangan yang jauh lebih sederhana dan lebih dapat diandalkan. Dia adalah orang pertama yang mempublikasikan ide ini dalam bukunya Integrasi Aritmatika»Michael Stiefel, namun tidak melakukan upaya serius untuk mengimplementasikan idenya.

Pada tahun 1620-an, Edmund Wingate dan William Oughtred menemukan mistar hitung pertama, sebelum munculnya kalkulator saku, alat yang sangat diperlukan bagi seorang insinyur.

Pemahaman yang mendekati modern tentang logaritma - sebagai operasi kebalikan dari eksponensial - pertama kali muncul di Wallis dan Johann Bernoulli, dan akhirnya disahkan oleh Euler pada abad ke-18. Dalam buku "Introduction to the Analysis of Infinite" (), Euler memberikan definisi modern tentang fungsi eksponensial dan logaritma, memperluasnya menjadi deret pangkat, dan secara khusus mencatat peran logaritma natural.

Euler juga mempunyai manfaat dalam memperluas fungsi logaritmik ke domain kompleks.

Logaritma kompleks

Upaya pertama untuk memperluas logaritma ke bilangan kompleks dilakukan pada pergantian abad ke-17-18 oleh Leibniz dan Johann Bernoulli, tetapi mereka gagal menciptakan teori holistik - terutama karena konsep logaritma belum jelas. didefinisikan. Diskusi mengenai masalah ini pertama kali terjadi antara Leibniz dan Bernoulli, dan pada pertengahan abad ke-18 antara d'Alembert dan Euler. Bernoulli dan d'Alembert percaya bahwa definisi itu perlu catatan(-x) = catatan(x). Teori lengkap tentang logaritma bilangan negatif dan kompleks diterbitkan oleh Euler pada tahun 1747-1751 dan pada dasarnya tidak berbeda dengan teori modern.

Meskipun perselisihan terus berlanjut (D'Alembert mempertahankan sudut pandangnya dan memperdebatkannya secara rinci dalam sebuah artikel di Ensiklopedia dan karya lain), sudut pandang Euler dengan cepat mendapat pengakuan universal.

Tabel logaritma

Tabel logaritma

Berdasarkan sifat-sifat logaritma, alih-alih mengalikan bilangan multi-digit yang memakan waktu, cukup mencari (sesuai tabel) dan menjumlahkan logaritmanya, lalu melakukan potensiasi menggunakan tabel yang sama, yaitu, carilah nilai hasil dengan logaritmanya. Perbedaan dalam melakukan pembagian hanya terletak pada pengurangan logaritmanya. Laplace mengatakan bahwa penemuan logaritma "memperpanjang umur para astronom" dengan mempercepat proses penghitungan.

Saat memindahkan koma desimal dalam suatu angka ke N digit, nilai logaritma desimal dari angka ini diubah sebesar N. Misalnya, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Oleh karena itu, cukup membuat tabel logaritma desimal untuk bilangan dalam rentang 1 hingga 10.

Tabel logaritma pertama diterbitkan oleh John Napier (), dan hanya berisi logaritma fungsi trigonometri, dan dengan kesalahan. Terlepas dari dia, Jost Burgi, teman Kepler, menerbitkan tabelnya (). Pada tahun 1617 profesor matematika Oxford Henry Briggs menerbitkan tabel yang sudah menyertakan logaritma desimal dari angka itu sendiri, dari 1 hingga 1000, dengan 8 (kemudian 14) digit. Namun ada juga kesalahan dalam tabel Briggs. Edisi bebas kesalahan pertama berdasarkan tabel Vega () hanya muncul pada tahun 1857 di Berlin (tabel Bremiver).

Di Rusia, tabel logaritma pertama diterbitkan pada tahun 1703 dengan partisipasi L.F. Magnitsky. Beberapa kumpulan tabel logaritma diterbitkan di Uni Soviet.

  • Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. Edisi ke-44, M., 1973.


Rencana:

    Perkenalan
  • 1 Logaritma nyata
    • 1.1 Properti
    • 1.2 fungsi logaritma
    • 1.3 logaritma natural
    • 1.4 Logaritma desimal
  • 2 Logaritma kompleks
    • 2.1 Definisi dan properti
    • 2.2 Contoh
    • 2.3 Kelanjutan analitik
    • 2.4 permukaan Riemann
  • 3 Garis besar sejarah
    • 3.1 Logaritma nyata
    • 3.2 Logaritma kompleks
  • 4 Tabel logaritma
  • 5 Aplikasi
    • literatur
    Catatan

Perkenalan

Beras. 1. Grafik fungsi logaritma

Logaritma suatu bilangan B dengan alasan A (dari bahasa Yunani. λόγος - "kata", "sikap" dan ἀριθμός - “angka”) didefinisikan sebagai indikator sejauh mana alas harus dinaikkan A untuk mendapatkan nomornya B. Penamaan: . Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa entri-entri dan ekuivalen.

Misalnya saja karena.


1. Logaritma nyata

Logaritma log bilangan real A B masuk akal ketika. Seperti yang Anda ketahui, fungsi eksponensial kamu = A X bersifat monotonik dan setiap nilai hanya membutuhkan satu kali, dan rentang nilainya berisi semua bilangan real positif. Artinya nilai logaritma riil suatu bilangan positif selalu ada dan ditentukan secara unik.

Yang paling banyak digunakan adalah jenis logaritma berikut.


1.1. Properti

Bukti

Mari kita buktikan itu.

(karena dengan syarat bc > 0). ■

Bukti

Mari kita buktikan itu

(karena dengan syarat ■

Bukti

Mari kita gunakan identitas untuk membuktikannya. Kita logaritma kedua sisi identitas ke basis c. Kita mendapatkan:

Bukti

Mari kita buktikan itu.

(Karena B P> 0 berdasarkan kondisi). ■

Bukti

Mari kita buktikan itu

Bukti

Ambil logaritma ruas kiri dan kanan ke alasnya C :

Sisi kiri: Sisi kanan:

Kesetaraan ekspresi terlihat jelas. Karena logaritmanya sama, maka karena monotonisitas fungsi logaritma, ekspresi itu sendiri juga sama. ■


1.2. fungsi logaritma

Jika kita menganggap bilangan logaritmik sebagai variabel, kita memperolehnya fungsi logaritma kamu= mencatat A X (lihat gambar 1). Hal ini didefinisikan pada . Jarak nilai: .

Fungsinya meningkat secara ketat untuk A> 1 dan menurun secara ketat pada 0< A < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Lurus X= 0 adalah asimtot vertikal kiri, karena pada A> 1 dan pada 0< A < 1 .

Turunan dari fungsi logaritma adalah:

Bukti

I. Mari kita buktikan hal itu

Ayo tuliskan identitasnya e dalam X = X dan membedakan sisi kiri dan kanannya

Kita mendapatkan itu, dari situlah berikut itu

II. Mari kita buktikan itu

Fungsi logaritma menerapkan isomorfisme antara kelompok perkalian bilangan real positif dan kelompok penjumlahan semua bilangan real.


1.3. logaritma natural

Hubungan dengan logaritma desimal: .

Seperti disebutkan di atas, turunan logaritma natural memiliki rumus sederhana:

Oleh karena itu, logaritma natural terutama digunakan dalam penelitian matematika. Mereka sering muncul ketika menyelesaikan persamaan diferensial, mempelajari ketergantungan statistik (misalnya, distribusi bilangan prima), dll.

Integral tak tentu dari logaritma natural mudah dicari dengan mengintegrasikannya menjadi beberapa bagian:

Ekspansi deret Taylor dapat direpresentasikan sebagai berikut:
ketika kesetaraan

(1)

Secara khusus,

Deret ini konvergen lebih cepat, dan selain itu, sisi kiri rumus kini dapat menyatakan logaritma bilangan positif apa pun.


1.4. Logaritma desimal

Beras. 2a. Skala logaritmik

Beras. 2b. Skala logaritmik dengan simbol

Logaritma ke basis 10 (simbol: lg A) sebelum ditemukannya kalkulator banyak digunakan untuk perhitungan. Skala logaritma desimal yang tidak seragam biasanya juga diterapkan pada mistar hitung. Skala serupa digunakan dalam banyak bidang ilmu pengetahuan, misalnya:

  • Fisika - intensitas suara (desibel).
  • Astronomi adalah skala kecerahan bintang.
  • Kimia - aktivitas ion hidrogen (pH).
  • Seismologi - Skala Richter.
  • Teori musik - skala musik, dalam kaitannya dengan frekuensi suara musik.
  • Sejarah adalah skala waktu logaritmik.

Skala logaritmik juga banyak digunakan untuk mengidentifikasi eksponen ketergantungan eksponensial dan koefisien eksponen. Pada saat yang sama, grafik yang diplot pada skala logaritmik sepanjang satu atau dua sumbu berbentuk garis lurus, sehingga lebih mudah dipelajari.


2. Logaritma kompleks

2.1. Definisi dan properti

Untuk bilangan kompleks, logaritma didefinisikan dengan cara yang sama seperti logaritma real. Dalam praktiknya, logaritma kompleks natural digunakan hampir secara eksklusif, yang kami nyatakan dan definisikan sebagai himpunan semua bilangan kompleks z seperti yang e z = w . Logaritma kompleks ada untuk sembarang , dan bagian riilnya ditentukan secara unik, sedangkan bagian imajinernya memiliki jumlah nilai yang tak terhingga. Oleh karena itu, disebut fungsi multinilai. Jika dibayangkan w dalam bentuk eksponensial:

,

maka logaritmanya dicari dengan rumus:

Inilah logaritma sebenarnya, R = | w | , k adalah bilangan bulat sembarang. Nilai yang diperoleh ketika k= 0 dipanggil kepentingan utama logaritma natural yang kompleks; merupakan kebiasaan untuk mengambil nilai argumen dalam interval (− π,π] . Fungsi yang sesuai (yang sudah bernilai tunggal) disebut cabang utama logaritma dan dilambangkan dengan . Terkadang juga menunjukkan nilai logaritma, yang tidak terletak pada cabang utama.

Dari rumusnya sebagai berikut:

  • Bagian real dari logaritma ditentukan dengan rumus:
  • Logaritma bilangan negatif dicari dengan rumus:

Karena fungsi trigonometri kompleks berhubungan dengan eksponensial (rumus Euler), logaritma kompleks, sebagai kebalikan dari fungsi eksponensial, berhubungan dengan fungsi trigonometri terbalik. Contoh koneksi tersebut:


2.2. Contoh

Berikut adalah nilai utama logaritma untuk beberapa argumen:

Anda harus berhati-hati saat mengonversi logaritma kompleks, dengan mempertimbangkan bahwa logaritma tersebut bernilai banyak, dan oleh karena itu persamaan ekspresi ini tidak mengikuti persamaan logaritma ekspresi apa pun. Contoh penalaran yang salah:

Sayaπ = ln(− 1) = ln((− Saya) 2) = 2ln(− Saya) = 2(− Sayaπ / 2) = − Sayaπ - sebuah absurditas yang jelas.

Perhatikan bahwa nilai utama logaritma ada di sebelah kiri, dan nilai dari cabang yang mendasarinya ada di sebelah kanan ( k= − 1 ). Alasan kesalahan ini adalah penggunaan properti yang ceroboh, yang, secara umum, dalam kasus kompleks menyiratkan seluruh himpunan nilai logaritma yang tak terbatas, dan bukan hanya nilai pokok.


2.3. Kelanjutan analitik

Beras. 3. Logaritma kompleks (bagian imajiner)

Logaritma bilangan kompleks juga dapat didefinisikan sebagai kelanjutan analitik dari logaritma real ke seluruh bidang kompleks. Misalkan kurva Γ dimulai dari 1, tidak melewati nol, dan tidak memotong bagian negatif sumbu real. Kemudian nilai pokok logaritma pada titik akhir w kurva Γ dapat ditentukan dengan rumus:

Jika Γ adalah kurva sederhana (tanpa perpotongan sendiri), maka untuk bilangan-bilangan yang terletak di atasnya, identitas logaritmik dapat diterapkan tanpa rasa takut, misalnya

Jika kurva Γ diperbolehkan untuk memotong bagian negatif dari sumbu real, maka perpotongan pertama tersebut memindahkan hasil dari cabang nilai utama ke cabang tetangga, dan setiap perpotongan berikutnya menyebabkan pergeseran serupa di sepanjang cabang fungsi logaritma ( lihat gambar).

Ini mengikuti rumus kelanjutan analitik bahwa pada setiap cabang logaritma

Untuk kalangan mana pun S melampirkan titik 0 :

Integral diambil dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam). Identitas ini mendasari teori residu.

Kita juga dapat menentukan kelanjutan analitik dari logaritma kompleks menggunakan deret (1) di atas, yang digeneralisasikan ke kasus argumen kompleks. Namun, dari jenis perluasannya, ia sama dengan nol pada kesatuan, yaitu deret tersebut hanya mengacu pada cabang utama dari fungsi multinilai dari logaritma kompleks.


2.4. permukaan Riemann

Fungsi logaritma kompleks adalah contoh permukaan Riemann; bagian imajinernya (Gbr. 3) terdiri dari cabang-cabang yang jumlahnya tak terhingga, dipelintir dalam bentuk spiral. Permukaan ini hanya terhubung; hanya nol (orde pertama) yang diperoleh z= 1 , poin khusus: z= 0 dan (titik cabang dengan orde tak terhingga).

Permukaan logaritma Riemann adalah penutup universal untuk bidang kompleks tanpa titik 0 .


3. Garis besar sejarah

3.1. Logaritma nyata

Kebutuhan akan perhitungan yang rumit pada abad ke-16 berkembang pesat, dan sebagian besar kesulitannya terkait dengan perkalian dan pembagian bilangan multi-digit, serta penggalian akar-akarnya. Pada akhir abad ini, beberapa ahli matematika, hampir secara bersamaan, mengemukakan ide: mengganti perkalian yang memakan waktu dengan penjumlahan sederhana, membandingkan barisan geometri dan aritmatika menggunakan tabel khusus, sedangkan perkalian geometri akan menjadi yang asli. Kemudian pembagian tersebut secara otomatis diganti dengan pengurangan yang jauh lebih sederhana dan lebih dapat diandalkan, serta ekstraksi akar derajat N direduksi menjadi membagi logaritma ekspresi radikal dengan N. Dia adalah orang pertama yang mempublikasikan ide ini dalam bukunya Integrasi Aritmatika» Michael Stiefel, namun tidak melakukan upaya serius untuk mengimplementasikan idenya.

Pada tahun 1614, matematikawan amatir Skotlandia John Napier menerbitkan sebuah esai dalam bahasa Latin berjudul " Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan"(lat. Deskripsi Mirifici Logarithmorum Canonis ). Itu memiliki penjelasan singkat tentang logaritma dan propertinya, serta tabel logaritma 8 digit sinus, cosinus dan garis singgung, dengan langkah 1". logaritma, diusulkan oleh Napier, memantapkan dirinya dalam sains. Napier menguraikan teori logaritma dalam bukunya yang lain " Membangun tabel logaritma yang menakjubkan"(lat. Konstruksi Mirifici Logarithmorum Canonis ), diterbitkan secara anumerta pada tahun 1619 oleh putranya.

Konsep fungsi belum ada, dan Napier menentukan logaritma secara kinematis, membandingkan gerak lambat seragam dan logaritma; misalnya, ia mendefinisikan logaritma sinus sebagai berikut:

Logaritma suatu sinus adalah suatu bilangan yang selalu bertambah secara hitung dengan laju yang sama dengan sinus penuh yang mulai berkurang secara geometri.

Dalam notasi modern, model kinematik Napier dapat direpresentasikan dengan persamaan diferensial: dx/x = -dy/M, di mana M adalah faktor penskalaan yang diperkenalkan untuk menjadikan nilai bilangan bulat dengan jumlah digit yang diperlukan (desimal belum digunakan secara luas saat itu). Napier mengambil M = 10000000.

Sebenarnya, Napier mentabulasikan fungsi yang salah, yang sekarang disebut logaritma. Jika kita menyatakan fungsinya sebagai LogNap(x), maka fungsinya berhubungan dengan logaritma natural sebagai berikut:

Jelas sekali, LogNap (M) = 0, yaitu logaritma "sinus penuh" adalah nol - inilah yang dicari Napier dengan definisinya. .

Sifat utama logaritma Napier: jika besaran-besaran membentuk barisan geometri, maka logaritmanya membentuk barisan aritmatika. Namun, aturan logaritma untuk fungsi non-Pierian berbeda dengan aturan logaritma modern.

Misalnya, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Sayangnya, semua nilai dalam tabel Napier mengandung kesalahan komputasi setelah digit keenam. Namun, hal ini tidak menghalangi metode perhitungan baru untuk mendapatkan popularitas yang luas, dan banyak matematikawan Eropa, termasuk Kepler, mulai menyusun tabel logaritma. 5 tahun kemudian, pada tahun 1619, guru matematika London John Spydell ( John Spidel) menerbitkan ulang tabel Napier, mengubahnya sehingga benar-benar menjadi tabel logaritma natural (walaupun Spydell mempertahankan penskalaan ke bilangan bulat). Istilah "logaritma natural" diciptakan oleh matematikawan Italia Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) di pertengahan abad ke-16.

Pada tahun 1620-an, Edmund Wingate dan William Oughtred menemukan mistar hitung pertama, sebelum munculnya kalkulator saku, alat yang sangat diperlukan bagi seorang insinyur.

Pemahaman yang dekat dengan logaritma modern - sebagai operasi kebalikan dari pangkat - pertama kali muncul di Wallis dan Johann Bernoulli, dan akhirnya disahkan oleh Euler pada abad ke-18. Dalam bukunya Pengantar Analisis Tak Terbatas (1748), Euler memberikan definisi modern tentang fungsi eksponensial dan logaritma, memperluasnya menjadi deret pangkat, dan menekankan peran logaritma natural.

Euler juga mempunyai manfaat dalam memperluas fungsi logaritmik ke domain kompleks.


3.2. Logaritma kompleks

Upaya pertama untuk memperluas logaritma ke bilangan kompleks dilakukan pada pergantian abad 17-18 oleh Leibniz dan Johann Bernoulli, namun mereka gagal menciptakan teori holistik - terutama karena konsep logaritma itu sendiri belum jelas. didefinisikan. Diskusi mengenai masalah ini pertama kali terjadi antara Leibniz dan Bernoulli, dan pada pertengahan abad ke-18 antara d'Alembert dan Euler. Bernoulli dan d'Alembert percaya bahwa definisi itu perlu catatan(-x) = catatan(x). Teori lengkap tentang logaritma bilangan negatif dan kompleks diterbitkan oleh Euler pada tahun 1747-1751 dan pada dasarnya tidak berbeda dengan teori modern.

Meskipun perselisihan terus berlanjut (D'Alembert mempertahankan sudut pandangnya dan memperdebatkannya secara rinci dalam sebuah artikel di Ensiklopedia dan karya lain), sudut pandang Euler dengan cepat mendapat pengakuan umum.


4. Tabel logaritma

Tabel logaritma

Berdasarkan sifat-sifat logaritma, alih-alih mengalikan bilangan-bilangan multi-nilai yang memakan waktu, cukup mencari (dari tabel) dan menjumlahkan logaritmanya, lalu melakukan potensiasi menggunakan tabel yang sama, yaitu mencari nilai hasil dengan logaritmanya. Perbedaan dalam melakukan pembagian hanya terletak pada pengurangan logaritmanya. Laplace mengatakan bahwa penemuan logaritma "memperpanjang umur para astronom" dengan mempercepat proses penghitungan.

Saat memindahkan koma desimal dalam suatu angka ke N digit, nilai logaritma desimal dari angka ini diubah sebesar N. Misalnya, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Oleh karena itu, cukup membuat tabel logaritma desimal untuk bilangan dalam rentang 1 hingga 10.

Tabel logaritma pertama diterbitkan oleh John Napier (1614), dan hanya berisi logaritma fungsi trigonometri, dan dengan kesalahan. Terlepas dari dia, Joost Burgi, teman Kepler, menerbitkan tabelnya (1620). Pada tahun 1617 profesor matematika Oxford Henry Briggs menerbitkan tabel yang sudah menyertakan logaritma desimal dari angka itu sendiri, dari 1 hingga 1000, dengan 8 (kemudian 14) digit. Namun ada juga kesalahan dalam tabel Briggs. Edisi infalibel pertama berdasarkan tabel Vega (1783) hanya muncul pada tahun 1857 di Berlin (tabel Bremiver).

Di Rusia, tabel logaritma pertama diterbitkan pada tahun 1703 dengan partisipasi L.F. Magnitsky. Beberapa kumpulan tabel logaritma diterbitkan di Uni Soviet.

  • Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. Edisi ke-44, M., 1973.

Tabel Bradis (1921) digunakan di lembaga pendidikan dan dalam perhitungan teknik yang tidak memerlukan ketelitian tinggi. Mereka berisi mantissa logaritma desimal angka dan fungsi trigonometri, logaritma natural, dan beberapa alat perhitungan berguna lainnya.

  • Vega G. Tabel logaritma tujuh digit, edisi ke-4, M., 1971.

Koleksi profesional untuk perhitungan yang akurat.

  • Tabel lima digit nilai natural besaran trigonometri, logaritmanya, dan logaritma bilangan, edisi ke-6, M.: Nauka, 1972.
  • Tabel logaritma natural, edisi ke-2, dalam 2 jilid, Moskow: Nauka, 1971.

Saat ini, dengan tersebarnya kalkulator, kebutuhan untuk menggunakan tabel logaritma telah hilang.

M, Fitur (analisis kompleks).

fungsi logaritma

Fungsi logaritma adalah fungsi yang bentuknya f(x) = logax, didefinisikan untuk

Domain: . Jarak nilai: . Fungsinya meningkat tajam untuk a > 1 dan menurun tajam untuk 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Garis x = 0 adalah asimtot vertikal kiri, karena untuk a > 1 dan untuk 0< a < 1.

Turunan dari fungsi logaritma adalah:

Fungsi logaritma menerapkan isomorfisme antara kelompok perkalian bilangan real positif dan kelompok penjumlahan semua bilangan real.

Logaritma kompleks

Definisi dan properti

Untuk bilangan kompleks, logaritma didefinisikan dengan cara yang sama seperti logaritma real. Dalam praktiknya, logaritma kompleks natural digunakan hampir secara eksklusif, yang kami nyatakan dan definisikan sebagai himpunan semua bilangan kompleks z sehingga ez = w. Logaritma kompleks ada untuk siapa saja, dan bagian riilnya ditentukan secara unik, sedangkan bagian imajinernya memiliki jumlah nilai yang tak terbatas. Oleh karena itu, disebut fungsi multinilai. Jika kita menyatakan w dalam bentuk eksponensial:

maka logaritmanya dicari dengan rumus:

Di sini -- logaritma real, r = | w | , k adalah bilangan bulat sembarang. Nilai yang diperoleh jika k = 0 disebut nilai pokok logaritma natural kompleks; merupakan kebiasaan untuk mengambil nilai argumen di dalamnya dalam interval (? p, p]. Fungsi yang sesuai (sudah bernilai tunggal) disebut cabang utama logaritma dan dilambangkan. Terkadang nilai logaritma itu tidak terletak pada cabang utama juga dilambangkan dengan.

Dari rumusnya sebagai berikut:

Bagian real dari logaritma ditentukan dengan rumus:

Logaritma bilangan negatif ditemukan dengan rumus.

ARTIKEL TERKAIT