Beralih ke persamaan diferensial dasar osilasi, kita akan melihat bahwa ketika kita mengalikannya dengan – = k 2, persamaan tersebut akan mengandung suku-suku, beberapa di antaranya memiliki koefisien kuadrat kecepatan Dan getaran transversal, lainnya - kuadrat kecepatan membujur keraguan.
Suku pertama dalam kasus getaran memanjang akan hilang dari persamaan, dan kita mendapatkan kelompok pertama:
Karena permukaan p, sesuai pilihan kita, adalah permukaan gelombang, maka dalam persamaan § 7 kita harus mempertahankan satu osilasi R dan menyamakan getarannya /?! Dan R.2, terjadi pada bidang yang bersinggungan dengan gelombang. Hasilnya, kami menemukan, dengan asumsi // =1:
Karena A = 0, maka persamaan (1) berbentuk:
Mengalikan persamaan pertama (2) dengan //i // 2, membedakan p dan memperhatikan persamaan (4), kita mendapatkan:
Apa menurut persamaan (2), B tidak bergantung pada p x atau [–]. Oleh karena itu, maksudnya melalui &F turunan parsial suatu fungsi F oleh salah satu variabel ^, R. 2, kita peroleh dari persamaan (7):
Menggantikan ke ekspresi ini jumlah jam 1jam 2, ditemukan di hal. 3, dengan menyamakan koefisien pada berbagai pangkat dengan nol, kita menemukan kondisi berikut yang harus dipenuhi oleh gelombang F – i
Yang diketahui bahwa hubungan seperti itu terjadi hanya untuk bola, silinder bulat, dan bidang.
Dari sini kita punya, Apa permukaan gelombang isotermal dapat merambatkan getaran longitudinal.
Jadi, jika permukaan goncangan atau gelombang awal bukan termasuk permukaan gelombang isotermal, maka terjadi getaran di dekatnya. Campuran , tetapi pada jarak yang cukup jauh gelombang mendekati bentuk salah satu gelombang isotermal, dan osilasi terdeteksi dalam fenomena tersebut membujur. BERHENTI!!!
Tetap mengintegrasikan persamaan diferensial yang diberikan untuk bola, dengan menggunakan fungsi harmonis!!!
Eksperimen Tesla – osilator harmonik tidak dapat diterima!!!
Untuk bola dalam koordinat yang telah kita gunakan, kita mempunyai:
Transformasi lebih lanjut tidak signifikan dan tidak diberikan, karena mengarah pada persamaan asli , yang tidak memiliki arti fisik untuk gelombang mirip soliton.
Kesimpulan yang ditemukan juga dapat diterapkan pada fenomena cahaya dalam benda homogen dan, terlebih lagi, dalam batas perkiraan yang terjadi dalam teori Boussinesq!?
Dari sini:"momen yang menyakitkan" diidentifikasi.
Koleksi Matematika N. Umov, jilid 5, 1870.
Ketidakpastian “mengerikan” lainnya
Dengan alasan yang sama, seseorang dapat dengan mudah mendapatkan ekspresi serupa untuk energi magnet, dan juga untuk arus. Kami melihat itu, Meski bersikeras menggunakan rumus yang paling sederhana, masalah lokalisasi energi masih belum bisa diselesaikan.
Dan kita memiliki hal yang sama untuk aliran energi. Pergerakan energi arus dapat diubah secara sembarang dengan menambahkan vektor lain (u, v, w) ke vektor Poynting, yang hanya memenuhi persamaan fluida tak termampatkan.
Karena merupakan konsekuensi dari persamaan umum, hal ini tidak menambah apa pun pada persamaan tersebut.
Oleh karena itu, lokalisasi energi secara logis tidak ada gunanya(dan terkadang, berbahaya).
Namun ada aspek yang penting untuk mempertimbangkan teorema Poynting.
Fakta utama yang mendasari hukum kekekalan energi adalah dan tetap merupakan fakta ketidakmungkinan yang ditemukan secara eksperimental gerakan abadi , sebuah fakta yang tidak bergantung pada gagasan kita, dan dapat dikaitkan dengan bagian energi yang seharusnya dimiliki eter tanpa adanya benda material.
Hukum kekekalan energi, dalam bentuk klasiknya W = Konstan, menjelaskan ketidakmungkinan ini.
Teorema Poynting, membutuhkan kemampuan untuk bertransformasi integral volume(agak sewenang-wenang) di permukaan, mengungkapkan lebih sedikit. Dia dengan mudah mengakui terciptanya gerak abadi, tanpa mampu menunjukkan ketidakmungkinannya!
Faktanya, sampai kita memperkenalkan hipotesisnya potensi tertunda, pelepasan energi secara terus-menerus dari gelombang konvergen yang datang dari tak terhingga tetap sama kemungkinannya dengan hilangnya energi yang diamati dalam kenyataan.
Jika mesin selamanya hanya dapat mengambil energi eter, terlepas dari keberadaan benda material, maka mesin tersebut akan tetap ada gerakan abadi . Jadi, menjadi jelas bahwa sebelum kita menerima rumus potensial terbelakang, kita harus membuktikan bahwa partikel yang dipercepat kehilangan energi dan, sebagai akibatnya, mengalami reaksi yang sebanding dengan turunan percepatannya.
Ganti saja tandanya C untuk sampai pada hipotesis gelombang konvergen.
Kemudian kita akan menemukan pertanda yang luar biasa vektor radiasi juga akan berubah, dan hipotesis baru akan menyebabkan, katakanlah, dalam kasus partikel yang bergetar, peningkatan amplitudo secara bertahap seiring waktu, dan secara umum – untuk meningkatkan energi sistem?!
Di Alam, soliton adalah:
– di permukaan cairan, soliton pertama yang ditemukan di alam terkadang dianggap sebagai gelombang tsunami
– berbagai jenis palu air
– suara drum – mengatasi “supersonik”
– soliton ionosonik dan magnetosonik dalam plasma
– soliton dalam bentuk pulsa cahaya pendek dalam media aktif laser
– mungkin, contoh soliton adalah Segi Enam Raksasa di Saturnus
– impuls saraf dapat dianggap dalam bentuk soliton.
Model matematika, persamaan Korteweg-de Vries.
Salah satu model paling sederhana dan terkenal yang memungkinkan adanya soliton dalam solusi adalah persamaan Korteweg-de Vries:
kamu + kamu x + β kamu xxx = 0.
Salah satu solusi yang mungkin untuk persamaan ini adalah soliton soliter:
tapi juga di sini osilator adalah fungsi harmonik dimana R, S,α, kamu- ada pula yang permanen.Teorema ketidakpastian dalam analisis harmonik
Osilator harmonik dalam mekanika kuantum – dijelaskan oleh persamaan Schrödinger,
(217.5)Persamaannya (217.5) disebut persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner.
Keadaan stasioner osilator kuantum ditentukan oleh persamaan Schrödinger baik
(222.2)
Di mana E – energi total osilator.
Dalam teori persamaan diferensial dibuktikan bahwa persamaan tersebut (222.2) diselesaikan hanya untuk nilai eigen energi
(222.3)Rumus (222.3) menunjukkan bahwa energi osilator kuantum terkuantisasi.
Energinya dibatasi dari bawah agar berbeda dari nol, seperti halnya persegi panjang "lubang" dengan “dinding” yang sangat tinggi (lihat § 220), nilai energi minimum
E 0 = 1/2 ℏ w 0 . Adanya energi minimum disebut energi titik nol– khas untuk sistem kuantum dan merupakan konsekuensi langsung hubungan ketidakpastian.
DI DALAM analisis harmonik Prinsip ketidakpastian menyiratkan bahwa tidak mungkin memperoleh nilai suatu fungsi dan peta Fouriernya secara akurat – dan karena itu membuat perhitungan yang akurat.
Artinya, pemodelan, pembangkitan dan analogi sesuai dengan prinsip kesamaan proses dan bentuk di Alam, dengan menggunakan osilator harmonik – tidak memungkinkan.
Jenis yang berbeda matematissoliton masih sedikit yang diketahui dan semuanya tidak cocok untuk mendeskripsikan objek tiga dimensi ruang, terutama proses-proses yang terjadi di dalamnya Alam.
Misalnya, soliton biasa, yang muncul dalam persamaan Korteweg – de Vries, dilokalisasi hanya dalam satu dimensi jika itu "berlari" di dunia tiga dimensi, maka akan terlihat seperti itu selaput datar tak berujung terbang ke depan, secara halus, gobbledygook!!!
Di alam, membran tak terbatas seperti itu tidak diamati, yang berarti persamaan asli tidak cocok untuk mendeskripsikan objek tiga dimensi.
Di sinilah letak kesalahan dalam memperkenalkan fungsi harmonik – osilator, koneksi jika terjadi osilasi campuran.Hukum kesamaan yang terhubung, , tapi itu cerita lain yang akan mengarah pada teori soliton dari sistematis ketakpastian, .
Osilasi bebas sistem dengan parameter terdistribusi
Ciri utama dari proses osilasi bebas sistem dengan jumlah derajat kebebasan yang tak terhingga dinyatakan dalam jumlah frekuensi alami dan bentuk mode yang tak terhingga. Hal ini juga terkait dengan fitur matematika: alih-alih persamaan diferensial biasa yang menggambarkan osilasi sistem dengan jumlah derajat kebebasan yang terbatas, di sini kita harus berurusan dengan persamaan diferensial parsial. Selain kondisi awal yang menentukan perpindahan dan kecepatan awal, perlu juga diperhatikan kondisi batas yang menjadi ciri fiksasi sistem.
6.1. Getaran memanjang pada batang
Saat menganalisis getaran memanjang batang lurus (Gbr. 67, a), kita berasumsi bahwa penampang tetap datar dan partikel batang tidak melakukan gerakan melintang, tetapi hanya bergerak dalam arah memanjang.
Membiarkan kamu - gerakan memanjang dari bagian batang saat ini selama getaran; pergerakan ini bergantung pada letak bagian (koordinat x) dan waktu t. Jadi ada fungsi dari dua variabel; definisinya mewakili tugas utama. Perpindahan suatu bagian yang sangat dekat adalah sama dengan , oleh karena itu, perpanjangan absolut suatu elemen yang sangat kecil adalah sama (Gbr. 67, b), dan perpanjangan relatifnya adalah .
Dengan demikian, gaya longitudinal pada bagian tersebut dengan koordinat X dapat ditulis sebagai
,(173)
dimana adalah kekakuan batang dalam tarikan (kompresi). Gaya N juga merupakan fungsi dari dua argumen - koordinat X dan waktu t.
Mari kita perhatikan elemen batang yang terletak di antara dua bagian yang sangat dekat (Gbr. 67, c). Sebuah gaya N diterapkan pada sisi kiri elemen, dan sebuah gaya diterapkan pada sisi kanan. Jika kita menyatakan massa jenis bahan batang, maka massa unsur yang dimaksud adalah . Oleh karena itu, persamaan gerak di proyeksikan ke sumbu X
,
Mempertimbangkan (173) dan menerima A= konstanta, kita dapatkan
Mengikuti metode Fourier, kami mencari solusi khusus untuk persamaan diferensial (175) dalam bentuk
,(177)
itu. misalkan itu gerakannya kamu dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua fungsi, salah satunya hanya bergantung pada argumen X, dan yang lainnya hanya dari argumen t. Kemudian, alih-alih mendefinisikan fungsi dari dua variabel u (x, t), kita perlu mendefinisikan dua fungsi X(x) dan T(t), yang masing-masing bergantung pada satu variabel saja.
Substitusikan (177) ke (174), kita peroleh
di mana bilangan prima menunjukkan operasi diferensiasi terhadap X, dan dengan titik T. Mari kita tulis ulang persamaan ini seperti ini:
Di sini ruas kiri hanya bergantung pada x, dan ruas kanan hanya bergantung pada t. Agar kesetaraan ini berlaku secara identik (untuk siapa pun X dan t) setiap bagiannya harus sama dengan sebuah konstanta, yang dilambangkan dengan:
; .(178)
Ini mengarah pada dua persamaan:
;
.(179)
Persamaan pertama memiliki solusi:
,(180)
menunjukkan sifat osilasi, dan dari (180) jelas bahwa besaran yang tidak diketahui mempunyai arti frekuensi osilasi bebas.
Persamaan kedua (179) memiliki solusi:
,(181)
menentukan bentuk getarannya.
Persamaan frekuensi yang menentukan nilainya disusun dengan menggunakan kondisi batas. Persamaan ini selalu transendental dan mempunyai jumlah akar yang tak terhingga. Jadi, jumlah frekuensi alami tidak terbatas, dan setiap nilai frekuensi berhubungan dengan fungsinya sendiri T n (t), ditentukan oleh ketergantungan (180), dan fungsinya sendiri Xn (x), ditentukan oleh ketergantungan (181). Penyelesaian (177) hanya sebagian dan tidak memberikan gambaran gerak secara lengkap. Solusi lengkap diperoleh dengan menumpangkan semua solusi parsial:
.
Fungsi X n (x) dipanggil fungsi sendiri masalah dan menggambarkan mode getaran mereka sendiri. Mereka tidak bergantung pada kondisi awal dan memenuhi kondisi ortogonalitas, yang untuk A = const berbentuk
, Jika .
Mari pertimbangkan beberapa opsi untuk kondisi batas.
Memperbaiki ujung batang(Gbr. 68, a). Pada bagian ujung, perpindahan u harus nol; berikut ini di bagian ini
X=0(182)
Ujung batang yang bebas(Gbr. 68, b). Pada bagian ujung, gaya memanjang
(183)
harus sama dengan nol, yang dimungkinkan jika pada bagian akhir X"=0.
Ulet ujung batang(Gbr. 68, c).
Saat bergerak kamu ujung batang, terjadi reaksi tumpuan elastis 
, dimana C o adalah kekakuan tumpuan. Dengan mempertimbangkan (183) untuk gaya longitudinal, kita memperoleh kondisi batas
jika penyangga terletak di ujung kiri batang (Gbr. 68, c), dan
jika penyangga terletak di ujung kanan batang (Gbr. 68, d).
Massa terkonsentrasi di ujung batang.
Gaya inersia yang dikembangkan oleh massa:
.
Karena, berdasarkan persamaan pertama (179), , gaya inersia dapat ditulis dalam bentuk . Kami mendapatkan kondisi batas
,
jika massa berada di ujung kiri (Gbr. 68, d), dan
, (184)
jika massa dihubungkan ke ujung kanan (Gbr. 68, e).
Mari kita tentukan frekuensi alami batang kantilever (Gbr. 68,a").
Menurut (182) dan (183), kondisi batas
X=0pada x=0;
X"=0 pada x= .
Mengganti kondisi ini satu per satu ke dalam solusi (181), kita peroleh
Kondisi C0 mengarah ke persamaan frekuensi:
Akar persamaan ini
(n=1,2,…)
tentukan frekuensi alami:
(n=1,2,…).(185)
Frekuensi pertama (terendah) pada n=1:
.
Frekuensi kedua (pada n=2):
Mari kita tentukan frekuensi alami sebuah batang dengan massa di ujungnya (Gbr. 68, f).
Menurut (182) dan (184), kita punya
X=0 pada x=0;
di x= .
Mengganti kondisi ini ke dalam solusi (181), kita memperoleh:
D=0; 
.
Oleh karena itu, persamaan frekuensi dengan memperhitungkan (176) memiliki bentuk
.
Di sini sisi kanan mewakili perbandingan massa batang dengan massa beban ujung.
Untuk menyelesaikan persamaan transendental yang dihasilkan, perlu menggunakan beberapa metode perkiraan.
Pada dan nilai akar terendah terpenting masing-masing adalah 0,32 dan 0,65.
Pada rasio yang kecil, beban mempunyai pengaruh yang menentukan dan solusi perkiraan memberikan hasil yang baik
.
Untuk batang dengan penampang variabel, mis. untuk Аconst, dari (173) dan (174) diperoleh persamaan gerak dalam bentuk
.
Persamaan diferensial ini tidak dapat diselesaikan dalam bentuk tertutup. Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu perlu menggunakan metode perkiraan untuk menentukan frekuensi alami.
6.2. Getaran torsional poros
Getaran puntir poros dengan massa terdistribusi kontinu (Gbr. 69, a) dijelaskan dengan persamaan yang, secara struktur, sepenuhnya bertepatan dengan persamaan getaran memanjang batang di atas.
Torsi M pada bagian dengan absis X terkait dengan sudut rotasi dengan ketergantungan diferensial yang mirip dengan (173):
Di mana Jp-momen inersia kutub penampang.
Di bagian yang terletak agak jauh dx, torsinya sama dengan (Gbr. 69, b):
Dinyatakan melalui (di mana massa jenis bahan poros) intensitas momen inersia massa poros relatif terhadap sumbunya (yaitu momen inersia per satuan panjang), persamaan gerak suatu bagian dasar poros dapat ditulis sebagai berikut:
,
atau serupa (174):
.
Mengganti ekspresi (186) di sini, dengan Jp=const yang kita dapatkan, mirip dengan (175):
, (187)
Solusi umum persamaan (187), seperti persamaan (175), memiliki bentuk
,
(188)
Frekuensi natural dan fungsi eigen ditentukan oleh kondisi batas tertentu.
Dalam kasus utama pengikatan ujung-ujungnya, mirip dengan kasus getaran memanjang, kami memperolehnya
a) ujung tetap (=0): X=0;
b) ujung bebas (M=0): X"=0;
V) ulet ujung kiri: CoХ=GJpX "(Koefisien kekakuan);
G) ulet ujung kanan: -CoX=GJpX ";
e) disk di ujung kiri: 
(Jo adalah momen inersia piringan terhadap sumbu batang);
e) disk di ujung kanan: 
.
Jika poros terpasang pada ujung kiri (x=0), dan ujung kanan (x=) bebas, maka X=0 pada x=0 dan X"=0 pada x=; frekuensi alami ditentukan sama dengan ( 185):
(n=1,2,…).
Jika ujung kirinya tetap dan ada piringan di ujung kanannya, kita peroleh persamaan transendental:
.
Jika kedua ujung poros tetap, maka kondisi batasnya adalah X=0 untuk x=0 dan x=. Dalam hal ini, dari (188) kita peroleh
itu.
(n=1,2,…),
dari sini kita menemukan frekuensi alami:
Jika ujung kiri poros bebas, dan terdapat piringan di ujung kanan, maka X"=0 untuk x=0;Jo X=GJpX "untuk x=.
Menggunakan (188) kita temukan
C=0; 
,
atau persamaan frekuensi transendental:
.
6.3.getaran pembengkokan balok
6.3.1 Persamaan dasar
Dari kursus kekuatan material, ketergantungan diferensial pada balok lentur diketahui:
dimana EJ adalah kekakuan lentur; y=y (x, t) - defleksi; M=M(x, t) - momen lentur; q adalah intensitas beban yang didistribusikan.
Menggabungkan (189) dan (190), kita peroleh
.(191)
Dalam soal getaran bebas, beban kerangka elastis adalah gaya inersia terdistribusi:
dimana m adalah intensitas massa balok (massa per satuan panjang), dan persamaan (191) berbentuk
.
Dalam kasus khusus penampang konstan, ketika EJ = const, m = const, kita mempunyai:
.(192)
Untuk menyelesaikan persamaan (192), kita asumsikan, seperti di atas,
kamu= X ( X)× T ( t ).(193)
Substitusikan (193) ke (192), kita peroleh persamaan:
.
Agar persamaan ini dapat dipenuhi secara identik, setiap bagian persamaan harus konstan. Dengan menyatakan konstanta ini dengan , kita memperoleh dua persamaan:
.(195)
Persamaan pertama menunjukkan bahwa geraknya berosilasi dengan frekuensi.
Persamaan kedua menentukan bentuk getaran. Solusi persamaan (195) mengandung empat konstanta dan berbentuk
Lebih mudah untuk menggunakan varian penulisan solusi umum yang diusulkan oleh A.N. Krylov:
(198)
mewakili fungsi A.N.Krylov.
Mari kita perhatikan fakta bahwa S=1, T=U=V=0 di x=0. Fungsi S,T,U,V saling berhubungan sebagai berikut:
Oleh karena itu, ekspresi turunan (197) ditulis dalam bentuk
(200)
Dalam soal kelas yang sedang dipertimbangkan, jumlah frekuensi alaminya sangat besar; masing-masing mempunyai fungsi waktu sendiri T n dan fungsi fundamentalnya sendiri X n . Solusi umum diperoleh dengan menerapkan solusi parsial dalam bentuk (193)
.(201)
Untuk menentukan frekuensi alami dan rumusnya, perlu memperhatikan kondisi batas.
6.3.2. Kondisi perbatasan
Untuk setiap ujung batang, Anda dapat menentukan dua kondisi batas .
Ujung batang yang bebas(Gbr. 70, a). Gaya transversal Q=EJX""T dan momen lentur M=EJX""T sama dengan nol. Oleh karena itu, kondisi batasnya berbentuk
X""=0; X"""=0 .(202)
Ujung batang yang ditopang berengsel(Gbr. 70, b). Lendutan y=XT dan momen lentur M=EJX""T sama dengan nol. Oleh karena itu, syarat batasnya adalah:
X=0 ; X""=0 .(203)
Ujung terjepit(Gbr. 70, c). Lendutan y=XT dan sudut rotasi sama dengan nol. Kondisi perbatasan:
X=0; X"=0. (204)
Ada massa titik di ujung batang(Gbr. 70, d). Kekuatan inersianya 
dapat ditulis menggunakan persamaan (194) sebagai berikut: ; gaya tersebut harus sama dengan gaya geserQ=EJX"""T, sehingga kondisi batasnya berbentuk
; X""=0 .(205)
Pada kondisi pertama, tanda plus diambil bila beban titik dihubungkan pada ujung kiri batang, dan tanda minus bila dihubungkan pada ujung kanan batang. Kondisi kedua timbul karena tidak adanya momen lentur.
Ujung batang ditopang secara elastis(Gbr. 70, d). Di sini momen lentur adalah nol, dan gaya transversal Q=EJX"""T sama dengan reaksi tumpuan 
(C o - koefisien kekakuan pendukung).
Kondisi perbatasan:
X""=0 ; (206)
(tanda minus diambil bila tumpuan elastis di sebelah kiri, dan tanda tambah bila di sebelah kanan).
6.3.3. Persamaan frekuensi dan eigenform
Pencatatan kondisi batas yang diperluas menghasilkan persamaan homogen terhadap konstanta C 1, C 2, C 3, C 4.
Agar konstanta ini tidak sama dengan nol, determinan yang terdiri dari koefisien-koefisien sistem harus sama dengan nol; ini mengarah pada persamaan frekuensi. Selama operasi ini, hubungan antara C 1, C 2, C 3, C 4 diklarifikasi, mis. mode getaran alami ditentukan (hingga faktor konstan).
Mari kita telusuri komposisi persamaan frekuensi menggunakan contoh.
Untuk balok dengan ujung berengsel, menurut (203), kita mempunyai syarat batas sebagai berikut: X=0; X""=0 untuk x=0 dan x= . Dengan menggunakan (197)-(200) kita peroleh dari dua kondisi pertama: C 1 =C 3 =0. Dua kondisi yang tersisa dapat ditulis sebagai
Agar C 2 dan C 4 tidak sama dengan nol, maka determinannya harus sama dengan nol:
.
Dengan demikian, persamaan frekuensinya berbentuk
.
Mengganti ekspresi T dan U, kita mendapatkan
Karena , persamaan frekuensi akhir ditulis sebagai berikut:
. (207)
Akar persamaan ini adalah:
,(n =1,2,3,...).
Dengan mempertimbangkan (196), kita memperoleh
.(208)
Mari beralih ke definisi bentuk kita sendiri. Dari persamaan homogen yang ditulis di atas, berikut hubungan antara konstanta C 2 dan C 4:
.
Akibatnya, (197) mengambil bentuk
Menurut (207), kita punya
,(209)
di mana adalah konstanta baru, yang nilainya tetap tidak pasti sampai kondisi awal dipertimbangkan.
6.3.4. Penentuan gerak berdasarkan kondisi awal
Jika perlu menentukan gerak setelah gangguan awal, maka perpindahan awal dan kecepatan awal untuk semua titik balok perlu ditunjukkan:
(210)
dan menggunakan properti ortogonalitas eigenform:
.
Kami menulis solusi umum (201) sebagai berikut:
.(211)
Kecepatan diberikan oleh
.(212)
Substitusikan perpindahan dan kecepatan awal yang diasumsikan diketahui ke ruas kanan persamaan (211) dan (212), dan ke ruas kiri, kita peroleh
.
Mengalikan ekspresi ini dengan dan mengintegrasikannya ke seluruh panjangnya, kita mendapatkan
(213)
Jumlah tak hingga di ruas kanan telah hilang karena sifat ortogonalitas. Dari (213) ikuti rumus konstanta dan
(214)
Sekarang hasil ini perlu disubstitusikan ke dalam solusi (211).
Mari kita tekankan lagi bahwa pilihan skala eigenform tidak penting. Jika, misalnya, dalam ekspresi eigenform (209) kita mengambil nilai yang beberapa kali lebih besar, maka (214) akan memberikan hasil yang beberapa kali lebih kecil; setelah disubstitusikan ke dalam solusi (211), perbedaan-perbedaan ini saling mengimbangi. Namun demikian, mereka sering menggunakan fungsi eigen yang dinormalisasi, memilih skalanya sedemikian rupa sehingga penyebut ekspresi (214) sama dengan satu, yang menyederhanakan ekspresi dan .
6.3.5. Pengaruh gaya longitudinal yang konstan
Mari kita perhatikan kasus ketika balok yang berosilasi mengalami gaya longitudinal N, yang besarnya tidak berubah selama proses osilasi. Dalam hal ini persamaan lentur statis menjadi lebih rumit dan berbentuk (asalkan gaya tekan dianggap positif)
.
Dengan asumsi dan mempertimbangkan konstanta kekakuan, kita memperoleh persamaan getaran bebas
.(215)
Kami terus menerima solusi tertentu dalam bentuk.
Kemudian persamaan (215) terpecah menjadi dua persamaan:
Persamaan pertama mengungkapkan sifat osilasi dari solusi, persamaan kedua menentukan bentuk osilasi, dan juga memungkinkan Anda menemukan frekuensi. Mari kita tulis ulang seperti ini:
(216)
Di mana K ditentukan oleh rumus (196), dan
Solusi persamaan (216) memiliki bentuk
Mari kita perhatikan kasus ketika kedua ujung batang memiliki penyangga berengsel. Kondisi di ujung kiri 
memberi . Memenuhi kondisi yang sama di ujung kanan, kita dapatkan
Menyamakan dengan nol determinan yang terdiri dari koefisien-koefisien untuk besaran dan , kita sampai pada persamaan
Akar persamaan frekuensi ini adalah:
Oleh karena itu, frekuensi natural ditentukan dari persamaan
.
Dari sini, dengan memperhitungkan (217), kita temukan
.(219)
Saat diregangkan, frekuensinya meningkat, saat dikompresi frekuensinya berkurang. Ketika gaya tekan N mendekati nilai kritis, akarnya cenderung nol.
6.3.6. Pengaruh Kekuatan Rantai
Sebelumnya, gaya longitudinal dianggap diberikan dan tidak bergantung pada perpindahan sistem. Dalam beberapa permasalahan praktis, gaya longitudinal yang menyertai proses getaran transversal timbul akibat pembengkokan balok dan bersifat reaksi tumpuan. Perhatikan, misalnya, sebuah balok dengan dua penyangga berengsel dan tetap. Ketika ditekuk, terjadi reaksi horizontal pada tumpuan, menyebabkan balok meregang; gaya horizontal yang sesuai biasanya disebut kekuatan rantai. Jika balok berosilasi secara melintang, gaya rantai akan berubah seiring waktu.
Jika pada saat t defleksi balok ditentukan oleh fungsi, maka perpanjangan sumbu dapat dicari dengan menggunakan rumus
.
Kami menemukan gaya rantai yang sesuai menggunakan hukum Hooke
.
Mari kita substitusikan hasil ini ke (215) sebagai ganti gaya longitudinal N (dengan memperhatikan tandanya)
.(220)
Hasil nonlinier integrodiferensial persamaan disederhanakan menggunakan substitusi
,(221)
dimana adalah fungsi waktu tak berdimensi, yang nilai maksimumnya dapat ditetapkan sama dengan bilangan apa pun, misalnya kesatuan; amplitudo osilasi.
Substitusikan (221) ke (220), kita peroleh persamaan diferensial biasa
,(222)
yang koefisiennya mempunyai nilai sebagai berikut:
;.
Persamaan diferensial (222) bersifat nonlinier, oleh karena itu frekuensi osilasi bebas bergantung pada amplitudonya.
Solusi tepat untuk frekuensi getaran transversal mempunyai bentuk
dimana frekuensi getaran transversal, dihitung tanpa memperhitungkan gaya rantai; faktor koreksi tergantung pada rasio amplitudo osilasi dengan jari-jari girasi penampang; nilai diberikan dalam literatur referensi.
Ketika amplitudo dan radius girasi penampang sepadan, koreksi terhadap frekuensi menjadi signifikan. Jika, misalnya, amplitudo getaran suatu batang bundar sama dengan diameternya, maka , dan frekuensinya hampir dua kali lebih besar dibandingkan pada kasus perpindahan bebas tumpuan.
Kasus ini sesuai dengan nilai nol jari-jari inersia, ketika kekakuan lentur balok semakin kecil - sebuah tali. Pada saat yang sama, rumus memberikan ketidakpastian. Dengan mengungkap ketidakpastian ini, kita memperoleh rumus frekuensi getaran dawai
.
Rumus ini berlaku jika tegangan pada posisi setimbang adalah nol. Seringkali masalah osilasi tali diajukan berdasarkan asumsi lain: diyakini bahwa perpindahannya kecil, dan gaya tarik diberikan dan tetap tidak berubah selama proses osilasi.
Dalam hal ini rumus frekuensi berbentuk
dimana N adalah gaya tarik konstan.
6.4. Pengaruh gesekan kental
Sebelumnya diasumsikan bahwa bahan batang bersifat elastis sempurna dan tidak terjadi gesekan. Mari kita perhatikan pengaruh gesekan internal, dengan asumsi bahwa gesekan tersebut kental; maka hubungan antara tegangan dan deformasi digambarkan dengan hubungan
;
.(223)
Biarkan batang dengan parameter terdistribusi melakukan getaran longitudinal bebas. Dalam hal ini, gaya longitudinal akan dituliskan dalam bentuk
Dari persamaan gerak elemen batang diperoleh relasi (174).
Mengganti (224) di sini, kita sampai pada persamaan diferensial utama
,(225)
yang berbeda dari (175) dengan suku kedua, yang menyatakan pengaruh gaya gesekan viskos.
Mengikuti metode Fourier, kita mencari solusi persamaan (225) dalam bentuk
,(226)
dimana fungsinya hanya koordinat x, dan fungsinya hanya waktu t.
Dalam hal ini, setiap anggota deret harus memenuhi syarat batas soal, dan seluruh jumlah juga harus memenuhi syarat awal. Mengganti (226) menjadi (225) dan mengharuskan persamaan dipenuhi untuk bilangan berapa pun R, kita mendapatkan
,(227)
di mana bilangan prima menunjukkan diferensiasi terhadap koordinat X, dan titik-titik tersebut merupakan diferensiasi terhadap waktu t.
Membagi (227) dengan hasil kali 
, kita mencapai kesetaraan
,(228)
sisi kiri, yang hanya dapat bergantung pada koordinat X, dan yang kanan - hanya dari waktu t. Agar persamaan (228) terpenuhi secara identik, kedua bagian harus sama dengan konstanta yang sama, yang dilambangkan dengan .
Dari sini ikuti persamaannya
(229)
.(230)
Persamaan (229) tidak bergantung pada koefisien viskositas K dan, khususnya, tetap sama dalam kasus sistem elastis sempurna, ketika . Oleh karena itu, angka-angka tersebut sepenuhnya sama dengan yang ditemukan sebelumnya; namun, seperti yang akan ditunjukkan di bawah, nilai tersebut hanya memberikan nilai perkiraan frekuensi alami. Perhatikan bahwa bentuk eigen sepenuhnya tidak bergantung pada sifat kental batang, yaitu bentuk osilasi bebas teredam sama dengan bentuk osilasi bebas tidak teredam.
Sekarang mari kita beralih ke persamaan (230), yang menjelaskan proses osilasi teredam; solusinya memiliki bentuk
.(233)
Ekspresi (232) menentukan laju peluruhan, dan (233) menentukan frekuensi osilasi.
Jadi, solusi lengkap dari persamaan masalah
.(234)
Konstan dan selalu dapat dicari berdasarkan kondisi awal tertentu. Misalkan perpindahan awal dan kecepatan awal semua bagian batang ditentukan sebagai berikut:
;
,(235)
dimana dan merupakan fungsi yang diketahui.
Maka untuk , menurut (211) dan (212), kita punya
mengalikan kedua sisi persamaan ini dengan dan mengintegrasikan seluruh panjang batang, kita memperoleh
(236)
Menurut kondisi ortogonalitas eigenform, semua suku lain yang termasuk di ruas kanan persamaan ini menjadi nol. Sekarang dari persamaan (236) mudah untuk mencari bilangan berapa pun r.
Mengingat (232) dan (234), kami mencatat bahwa semakin tinggi jumlah mode getaran, semakin cepat redamannya. Selain itu, suku-suku yang termasuk dalam (234) menjelaskan osilasi teredam jika terdapat bilangan real. Dari (233) jelas bahwa hal ini hanya terjadi untuk beberapa nilai awal r selama pertidaksamaan terpenuhi
Untuk nilai yang cukup besar R pertidaksamaan (237) dilanggar dan besarannya menjadi imajiner. Dalam hal ini, suku-suku yang bersesuaian dari solusi umum (234) tidak lagi menggambarkan osilasi teredam, namun akan mewakili gerak teredam aperiodik. Dengan kata lain, getaran, dalam arti kata yang biasa, hanya dinyatakan oleh bagian tertentu yang terbatas dari jumlah tersebut (234).
Semua kesimpulan kualitatif ini berlaku tidak hanya pada kasus getaran longitudinal, namun juga pada kasus getaran puntir dan tekuk.
6.5. Getaran batang penampang variabel
Dalam kasus di mana massa terdistribusi dan penampang batang bervariasi sepanjang panjangnya, alih-alih persamaan getaran longitudinal (175), kita harus melanjutkan dari persamaan
.(238)
Persamaan getaran puntir (187) harus diganti dengan persamaan tersebut
,(239)
dan persamaan getaran transversal (192) adalah persamaannya
.(240)
Persamaan (238)-(240) dengan bantuan substitusi serupa ;;dapat direduksi menjadi persamaan diferensial biasa untuk fungsi tersebut
MEKANIKA
UDC 531.01/534.112
GETARAN LONGITUDINAL PAKET BATANG
SAYA. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU mereka. NE. Email Bauman, Moskow, Federasi Rusia: [dilindungi email]; [dilindungi email]
Dalam persoalan dinamika roket berbahan bakar cair, peranan penting dimainkan oleh masalah kestabilan gerak roket ketika terjadi osilasi elastik longitudinal. Munculnya osilasi seperti itu dapat menyebabkan terjadinya osilasi mandiri, yang jika roket tidak stabil dalam arah memanjang, dapat menyebabkan kehancurannya yang cepat. Masalah osilasi longitudinal paket roket dirumuskan, paket batang digunakan sebagai model perhitungan. Diakui bahwa cairan di dalam tangki roket “dibekukan”, yaitu. gerakan fluida itu sendiri tidak diperhitungkan. Hukum keseimbangan energi total untuk masalah yang sedang dipertimbangkan dirumuskan dan rumusan operatornya diberikan. Sebuah contoh numerik diberikan, dimana frekuensi ditentukan, dan bentuk osilasi alami dibangun dan dianalisis.
Kata kunci : getaran longitudinal, frekuensi dan bentuk getaran, bungkusan batang, hukum keseimbangan energi total, self adjoint operator, spektrum getaran, POGO.
SISTEM GETARAN PANJANG BATANG A.M. Pavlov, AL. Temnov
Email Universitas Teknik Negeri Bauman Moskow, Moskow, Federasi Rusia: [dilindungi email]; [dilindungi email]
Dalam persoalan dinamika roket berbahan bakar cair masalah kestabilan gerak roket ini mempunyai peranan penting dengan munculnya getaran elastik longitudinal. Terjadinya getaran seperti itu dapat menimbulkan getaran sendiri yang dapat menyebabkan kehancuran roket dengan cepat jika terjadi ketidakstabilan roket dalam arah memanjang. Permasalahan getaran longitudinal roket berbahan bakar cair berdasarkan skema paket telah dirumuskan dengan menggunakan model komputasi package rods. Diasumsikan bahwa cairan di dalam tangki roket "membeku", mis. gerakan yang tepat dari cairan tidak termasuk. Untuk masalah ini prinsip konservasi energi dirumuskan dan staging operatornya diberikan. Ada contoh numerik, yang frekuensinya telah ditentukan, bentuk getaran Eigen dibuat dan dianalisis.
Kata kunci: getaran longitudinal, mode dan frekuensi eigen, model batang, prinsip kekekalan energi, operator selfadjoint, spektrum getaran, POGO.
Perkenalan. Saat ini, di Rusia dan luar negeri, kendaraan peluncuran dengan tata letak paket dengan blok samping identik yang didistribusikan secara merata di sekitar blok pusat sering digunakan untuk meluncurkan muatan ke orbit yang diperlukan.
Studi tentang getaran struktur paket menghadapi kesulitan tertentu yang terkait dengan efek dinamis dari blok samping dan tengah. Dalam hal simetri tata letak kendaraan peluncuran, interaksi spasial yang kompleks dari blok-blok desain paket dapat dibagi menjadi beberapa jenis getaran, salah satunya adalah getaran memanjang dari blok tengah dan samping. Model matematis getaran longitudinal dari struktur semacam itu dalam bentuk paket batang berdinding tipis dibahas secara rinci dalam karya ini. Beras. 1. Skema pusat- Artikel ini menyajikan batang teoritis dan hasil komputasi longitudinal
getaran suatu paket batang, melengkapi penelitian yang dilakukan oleh A.A. Disayangkan.
Rumusan masalah. Mari kita perhatikan getaran longitudinal lainnya dari sekumpulan batang yang terdiri dari batang tengah dengan panjang l0 dan N batang samping dengan panjang yang sama j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, diikat di titik A (xA = l) (Gbr. 1) dengan elemen pegas pusat dengan kekakuan k.
Mari kita perkenalkan kerangka acuan tetap OX dan asumsikan bahwa kekakuan batang EFj (x), massa terdistribusi mj (x) dan gangguan q (x,t) adalah fungsi terbatas dari koordinat x:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Misalkan pada getaran memanjang terjadi perpindahan Uj (x, t) pada bagian batang dengan koordinat x, ditentukan oleh persamaan mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) syarat batas tidak adanya gaya normal pada ujung-ujung batang 3 =0, x = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = l0; kondisi persamaan gaya normal yang timbul pada batang, EF-3 = Fx = aku gaya elastis elemen pegas FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; syarat persamaan perpindahan di titik xa batang pusat Shch (ha-o) = Shch (xa+o) dan kondisi awal Shch y (x, 0) - Shch (x); , _ kamu(x, 0) = kamu(x), dimana u(x, 0) = "d^1(x, 0). Hukum keseimbangan energi total. Mari kalikan persamaan (2) dengan u(x,ξ), integrasikan panjang masing-masing batang dan jumlahkan hasilnya menggunakan kondisi batas (3) dan kondisi pencocokan (4). Hasilnya kita dapatkan (( 1 ^ [ (diL 2 TZ (x) "BT" (x+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Уо И (x - -)(tidak - Uj)2 dx = / ^ (x, £) mereka y (x, £) (x, (6) dimana 8 (x - ¡y) adalah fungsi delta Dirac. Pada persamaan (6), suku pertama dalam tanda kurung kurawal menyatakan energi kinetik T (¿) sistem, suku kedua adalah energi potensial Pr (£) yang disebabkan oleh deformasi batang, dan suku ketiga adalah energi potensial. Pk (£) dari elemen pegas, yang dengan adanya deformasi elastis batang dapat dituliskan dalam bentuk Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu. Persamaan (6) menunjukkan bahwa perubahan energi total per satuan waktu sistem mekanik yang ditinjau sama dengan daya pengaruh eksternal. Dengan tidak adanya gangguan eksternal q (x,t), kita memperoleh hukum kekekalan energi total: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Sinematografi. Hukum keseimbangan energi menunjukkan bahwa untuk setiap waktu t fungsi Uj (x, t) dapat dianggap sebagai elemen ruang Hilbert L2j(; m3 (x)), yang didefinisikan pada panjang ¡i oleh produk skalar (kita,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 dan norma yang sesuai. Mari kita perkenalkan ruang Hilbert H yang sama dengan jumlah ortogonal L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, fungsi vektor U = (uo, Ui,..., uN)т dan operator A yang bekerja pada spasi H menurut relasinya AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun). mj(x)dx\jdx" operator yang ditentukan pada himpunan B (A33) С Н dari fungsi yang memenuhi kondisi (3) dan (4). Soal awal (1)-(5) beserta kondisi awal akan dituliskan dalam bentuk Au = f (*), u (0) = u0, 17(0) = u1, (7) dimana f (*) = (ke (*),51 (*),..., Yam (¿))t. Kata pengantar singkat. 1. Jika dua kondisi pertama (1) terpenuhi, maka operator A dalam soal evolusi (7) adalah operator pasti positif tak terbatas, adjoint-sendiri, di ruang H (Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i. 2. Operator A menghasilkan ruang energi NA dengan norma yang sama dengan dua kali energi potensial osilasi sekumpulan batang 3\^I h)2 = 2П > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +$ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o HAI(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Dari hasil di atas maka norma energi operator A dinyatakan dengan rumus (8). Pemecahan masalah evolusi. Mari kita rumuskan teorema berikut. Teorema 1. Biarkan kondisi terpenuhi U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), maka soal (7) memiliki solusi lemah unik U (t) pada interval yang ditentukan oleh rumus U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 jika tidak ada gangguan eksternal f (£), hukum kekekalan energi terpenuhi 1 II A 1/2UИ2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Getaran alami dari sebungkus batang. Misalkan sistem batang tidak dipengaruhi oleh medan gaya luar: f (t) = 0. Dalam hal ini, gerak batang disebut bebas. Gerak bebas batang yang bergantung pada waktu t menurut hukum exp (iwt) disebut getaran alami. Mengambil U (x, t) = U (x) eiWÍ dalam persamaan (7), kita memperoleh masalah spektral untuk operator A: AU - AEU = 0, L = w2. (9) Sifat-sifat operator A memungkinkan kita merumuskan teorema tentang spektrum dan sifat-sifat fungsi eigen. Teorema 2. Masalah spektral (9) tentang getaran alami suatu paket batang mempunyai spektrum positif diskrit 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то dan sistem fungsi eigen (Uk (x))^=0, lengkap dan ortogonal di ruang H dan HA, dan rumus ortogonalitas berikut dipenuhi: (Ufe, Kami)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/T^) d*+ K (“feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j = saya Studi masalah spektral dalam kasus paket batang yang homogen. Menyatakan fungsi perpindahan m- (x, £) dalam bentuk m- (x, £) = m- (x), setelah memisahkan variabel-variabelnya diperoleh masalah spektral untuk setiap batang: ^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) yang kita tulis dalam bentuk matriks 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t « kamu = (u0, u1, u2,..., kamu«)t. Solusi dan analisis hasil yang diperoleh. Mari kita nyatakan fungsi perpindahan batang pusat pada bagian tersebut sebagai u01 dan pada bagian tersebut sebagai u02 (g). Dalam hal ini untuk fungsi u02 kita pindahkan titik asal koordinat ke titik dengan koordinat /. Untuk setiap batang kami menyajikan solusi persamaan (10) dalam bentuk Untuk mencari konstanta yang tidak diketahui pada (11), kita menggunakan kondisi batas yang dirumuskan di atas. Dari syarat batas homogen dapat ditentukan beberapa konstanta, yaitu: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. Hasilnya, tetap mencari konstanta N + 3: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan persamaan N + 3 untuk N + 3 persamaan yang tidak diketahui. Mari kita tulis sistem yang dihasilkan dalam bentuk matriks: (A) (C) = (0) . Disini (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t adalah vektor yang tidak diketahui; (A) - matriks karakteristik, cos (A1) EF0 A dosa (A1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 tahun 00 00 0 000Y a = k soe ^ ^A-L^ ; di = -k co8((.40-01L)1/2^ ; 7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0. Untuk mencari solusi non-trivial, kita mengambil konstanta C01 € M sebagai variabel, kita mempunyai dua pilihan: C01 = 0; C01 = 0. Misalkan C01 = 0, maka C03 = C04 = 0. Dalam hal ini, penyelesaian nontrivial dapat diperoleh jika 7 = 0 dari (12) bila kondisi tambahan terpenuhi £ s-1 = 0, (13) yang dapat diperoleh dari persamaan ketiga sistem (12). Hasilnya, kita memperoleh persamaan frekuensi sederhana EP (A"1 L)1/2 W ((A"1^1/2 P + zz \V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , bertepatan dengan persamaan frekuensi untuk batang yang salah satu ujungnya diikat secara elastis, yang dapat dianggap sebagai sistem parsial pertama. Dalam hal ini, semua kemungkinan kombinasi pergerakan batang samping yang memenuhi kondisi (13) secara kondisional dapat dibagi menjadi beberapa kelompok yang sesuai dengan kombinasi fase yang berbeda (dalam kasus yang dipertimbangkan, fase ditentukan oleh tanda C.d). Jika kita mengasumsikan batang sampingnya identik, maka kita mempunyai dua pilihan: 1) Сд = 0, maka banyaknya kombinasi n untuk N berbeda dapat dihitung dengan menggunakan rumus n = N 2, dimana merupakan fungsi pembagian tanpa sisa; 2) setiap (atau salah satu) konstanta C- sama dengan 0, maka jumlah kemungkinan kombinasi bertambah dan dapat ditentukan dengan rumus £ [(N - m) div 2]. Misalkan Coi = 0, maka Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), dimana in dan y adalah kompleks yang termasuk dalam (12). Dari sistem (12) kita juga mempunyai: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), mis. semua konstanta dinyatakan melalui C01. Persamaan frekuensi mengambil bentuk EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) - K2 karena | aku!-,1 L Sebagai contoh, perhatikan sistem dengan empat bilah sisi. Selain cara yang dijelaskan di atas, untuk contoh ini, Anda dapat menuliskan persamaan frekuensi seluruh sistem dengan menghitung determinan matriks A dan menyamakannya dengan nol. Mari kita lihat itu Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+ L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) - 4av3L cos (L(/0 - /)) = 0. Grafik persamaan frekuensi transendental untuk kasus-kasus di atas disajikan pada Gambar. 2. Diambil data awal sebagai berikut: EF = 2,109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900kg/m; bulan = 6000 kg/m; / = 23; /о = 33 m Nilai dari tiga frekuensi osilasi pertama dari rangkaian yang dipertimbangkan diberikan di bawah ini: N...................................... dan, senang................................. 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Beras. 2. Grafik persamaan frekuensi transendental untuk Coi = 0 (i) dan Coi = 0 (2) Mari kita sajikan mode getaran yang sesuai dengan solusi yang diperoleh (dalam kasus umum, mode getaran tidak dinormalisasi). Bentuk getaran yang sesuai dengan frekuensi pertama, kedua, ketiga, keempat, 13 dan 14 ditunjukkan pada Gambar. 3. Pada frekuensi getaran pertama, batang samping bergetar dengan bentuk yang sama, tetapi berpasangan secara antifase Gambar.3. Bentuk getaran batang samping (1) dan tengah (2), sesuai dengan V pertama = 3,20 Hz (a), V kedua = 5,02 Hz (b), V ketiga = 10,11 Hz (c), keempat V = 13,60 Hz (d), V ke-13 = 45,90 Hz (d) dan frekuensi V ke-14 = 50,88 Hz (f) (Gbr. 3, a), dengan yang kedua, batang tengah berosilasi, dan batang samping berosilasi dalam bentuk yang sama dalam fase (Gbr. 3, b). Perlu dicatat bahwa frekuensi getaran pertama dan kedua dari sistem batang yang dipertimbangkan sesuai dengan getaran sistem yang terdiri dari benda padat. Ketika sistem berosilasi dengan frekuensi alami ketiga, node muncul untuk pertama kalinya (Gbr. 3c). Frekuensi ketiga dan selanjutnya (Gbr. 3d) berhubungan dengan getaran elastis sistem. Dengan bertambahnya frekuensi getaran yang berhubungan dengan penurunan pengaruh unsur elastis, maka frekuensi dan bentuk getaran cenderung parsial (Gbr. 3, e, f). Kurva fungsi yang titik potongnya dengan sumbu absis merupakan penyelesaian persamaan transendental, disajikan pada Gambar. 4. Berdasarkan gambar, frekuensi alami osilasi sistem terletak di dekat frekuensi parsial. Seperti disebutkan di atas, dengan meningkatnya frekuensi, konvergensi frekuensi alami dengan frekuensi parsial meningkat. Akibatnya, frekuensi di mana seluruh sistem berosilasi secara konvensional dibagi menjadi dua kelompok: frekuensi yang mendekati frekuensi parsial batang samping dan frekuensi yang mendekati frekuensi parsial batang pusat. Kesimpulan. Masalah getaran longitudinal dari suatu paket batang dipertimbangkan. Sifat-sifat masalah nilai batas yang diajukan dan spektrum nilai eigennya dijelaskan. Sebuah solusi untuk masalah spektral untuk sejumlah batang samping homogen yang berubah-ubah telah diusulkan. Sebagai contoh numerik, nilai frekuensi osilasi pertama ditemukan dan bentuk yang sesuai dibuat. Beberapa sifat karakteristik dari mode getaran yang dibangun juga terungkap. Beras. 4. Kurva fungsi yang titik potongnya dengan sumbu absis merupakan penyelesaian persamaan transendental, untuk CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) berimpit dengan sistem parsial pertama (batang samping dipasang pada elastis elemen di titik x = I) dan sistem parsial kedua (5) (batang pusat dipasang pada empat elemen elastis di titik A) LITERATUR 1. Kolesnikov K.S. Dinamika roket. M.: Teknik Mesin, 2003. 520 hal. 2. Rudal balistik dan kendaraan peluncuran / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin dkk.M.: Bustard, 2004. 511 hal. 3. Rabinovich B.I. Pengantar dinamika kendaraan peluncuran pesawat ruang angkasa. M.: Teknik Mesin, 1974. 396 hal. 4. Studi parameter stabilitas POGO roket cair / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. Pesawat Luar Angkasa dan Roket. 2011. Jil. 48. Adalah. 3.Hal.537-541. 5. Balakirev Yu.G. Metode untuk menganalisis getaran longitudinal kendaraan peluncuran berbahan bakar cair // Ilmu Kosmonautika dan Roket. 1995. Nomor 5. Hal. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Fitur model matematika roket cair dengan susunan batch sebagai objek kontrol // Masalah kekuatan yang dipilih dalam teknik mesin modern. 2008. hlm.43-55. 7. Dokuchaev L.V. Meningkatkan metode untuk mempelajari dinamika kendaraan peluncuran paket, dengan mempertimbangkan simetrinya // Kosmonautika dan Ilmu Roket. 2005. Nomor 2. Hal. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Pengembangan metode analisis perkiraan untuk menghitung getaran alami dan paksa cangkang elastis dengan cairan: dis. ... Dr.Tek. Sains. M., 2005.220 hal. 9. Derek S.G. Persamaan diferensial linier dalam ruang Banach. M.: Nauka, 1967.464 hal. 10. Kopachevsky I.D. Metode operator fisika matematika. Simferopol: LLC "Forma", 2008. 140 hal. Kolesnikov K.S. Raket Dinamika. Moskow, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 hal. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., eds. Balisticheskie rakety dan rakety-nositeli. Moskow, Drofa Publ., 2003. 511 hal. Rabinovich B.I. Peralatan Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh. Moskow, Mashinostroenie Publ., 1974.396 hal. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Studi parameter stabilitas POGO roket bahan bakar cair. J. Pesawat Luar Angkasa dan Roket, 2011, vol. 48, masalah. 3, hal. 537-541. Balakirev Yu.G. Metode analisis getaran longitudinal kendaraan peluncuran dengan mesin propelan cair. kosm. saya raketostr. , 1995, tidak. 5, hal. 50-58 (dalam bahasa Rusia). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moscow, Fizmatlit Publ., 2008. 204 hal. (dikutip hal. 4355). Dokuchaev L.V. Peningkatan metode untuk mempelajari dinamika kendaraan peluncuran berkerumun dengan mempertimbangkan simetrinya. kosm. saya raketostr. , 2005, tidak. 2, hal. 112-121 (dalam bahasa Rusia). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh dan vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tekhn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye differential"nye uravneniya v Banakkhovykh prostranstvakh. Moskow, Nauka Publ., 1967. 464 hal. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 hal. Artikel telah diterima redaksi pada tanggal 28 April 2014 Pavlov Arseniy Mikhailovich - mahasiswa Departemen Pesawat Luar Angkasa dan Kendaraan Peluncuran di Universitas Teknik Negeri Moskow. NE. Bauman. Mengkhususkan diri dalam bidang teknologi roket dan luar angkasa. MSTU mereka. NE. Baumash, Federasi Rusia, 105005, Moskow, 2nd Baumanskaya st., 5. Pavlov A.M. - mahasiswa departemen "Pesawat Luar Angkasa dan Kendaraan Peluncur" di Universitas Teknik Negeri Bauman Moskow. Spesialis di bidang teknologi roket dan luar angkasa. Universitas Teknik Negeri Bauman Moskow, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskow, 105005 Federasi Rusia. Temnov Alexander Nikolaevich - Ph.D. fisika dan matematika Sains, Profesor Madya di Departemen Pesawat Luar Angkasa dan Kendaraan Peluncur, Universitas Teknik Negeri Moskow. NE. Bauman. Penulis lebih dari 20 makalah ilmiah di bidang mekanika fluida dan gas serta teknologi roket dan luar angkasa. MSTU mereka. NE. Baumash, Federasi Rusia, 105005, Moskow, 2nd Baumanskaya st., 5. Temnov A.N. - Cand. Sains. (Fis.-Matematika.), assoc. profesor departemen "Pesawat Luar Angkasa dan Kendaraan Peluncur" di Universitas Teknik Negeri Bauman Moskow. Penulis lebih dari 20 publikasi di bidang mekanika fluida dan gas serta teknologi roket dan luar angkasa. Universitas Teknik Negeri Bauman Moskow, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskow, 105005 Federasi Rusia. Mari kita perhatikan sebuah batang seragam yang panjangnya, yaitu benda berbentuk silinder atau bentuk lain, untuk diregangkan atau ditekuk dimana gaya tertentu harus diterapkan. Keadaan terakhir membedakan bahkan batang tertipis dari seutas tali, yang, seperti kita ketahui, dapat ditekuk dengan bebas. Dalam bab ini, kita akan menerapkan metode karakteristik untuk mempelajari getaran memanjang suatu batang, dan kita akan membatasi diri untuk mempelajari hanya getaran yang penampangnya, yang bergerak sepanjang sumbu batang, tetap datar dan sejajar dengan satu sama lain (Gbr. 6). Asumsi ini dibenarkan jika dimensi melintang batang lebih kecil dibandingkan panjangnya. Jika batang sedikit diregangkan atau dikompresi sepanjang sumbu memanjang kemudian dibiarkan sendiri, maka akan timbul getaran memanjang di dalamnya. Mari kita arahkan sumbu sepanjang sumbu batang dan asumsikan bahwa dalam keadaan diam ujung-ujung batang berada pada titik-titik Biarkan absis suatu bagian batang tertentu ketika batang tersebut diam. Mari kita nyatakan dengan perpindahan bagian ini pada saat waktu, maka perpindahan bagian tersebut dengan absis akan sama dengan Dari sini jelas bahwa perpanjangan relatif batang pada bagian dengan absis x dinyatakan dengan turunan Sekarang dengan asumsi bahwa batang mengalami osilasi kecil, kita dapat menghitung tegangan pada bagian ini. Memang benar, dengan menerapkan hukum Hooke, kita menemukan bahwa dimana adalah modulus elastisitas bahan batang, luas penampangnya. Mari kita ambil elemen batang yang tertutup antara dua bagian yang absisnya masing-masing sama besar dalam keadaan diam. Elemen ini dikenai gaya tarik yang bekerja pada bagian tersebut dan diarahkan sepanjang sumbu. Resultan gaya-gaya ini mempunyai besar dan juga diarahkan. Di sisi lain, percepatan suatu elemen adalah sama, sehingga kita dapat menulis persamaannya di mana adalah kepadatan volumetrik batang. Menempatkan dan mereduksinya kita memperoleh persamaan diferensial getaran longitudinal batang homogen Bentuk persamaan ini menunjukkan bahwa getaran memanjang batang bersifat gelombang, dan cepat rambat a gelombang memanjang ditentukan dengan rumus (4). Jika batang juga dikenai gaya luar yang dihitung per satuan volumenya, maka sebagai ganti (3) kita peroleh Ini adalah persamaan getaran longitudinal paksa pada batang. Seperti dalam dinamika pada umumnya, persamaan gerak (6) saja tidak cukup untuk menentukan gerak batang secara lengkap. Kondisi awal perlu diatur, yaitu mengatur perpindahan bagian-bagian batang dan kecepatannya pada momen awal dimana dan diberikan fungsi pada interval ( Selain itu, kondisi batas pada ujung batang harus ditentukan. Misalnya. Pada bagian ini kita akan membahas masalah getaran longitudinal batang homogen. Batang adalah benda berbentuk silinder (khususnya prismatik), yang untuk meregang atau menekannya harus diberikan gaya tertentu. Kita asumsikan bahwa semua gaya bekerja sepanjang sumbu batang dan masing-masing penampang batang (Gbr. 23) bergerak secara translasi hanya sepanjang sumbu batang. Biasanya asumsi ini dibenarkan jika dimensi transversal batang kecil dibandingkan panjangnya, dan gaya yang bekerja sepanjang sumbu batang relatif kecil. Dalam praktiknya, getaran memanjang paling sering terjadi ketika batang pertama-tama diregangkan sedikit atau, sebaliknya, dikompresi dan kemudian dibiarkan sendiri. Dalam hal ini, getaran longitudinal bebas muncul di dalamnya. Mari kita turunkan persamaan osilasi ini. Mari kita arahkan sumbu absis sepanjang sumbu batang (Gbr. 23); dalam keadaan diam, ujung-ujung batang mempunyai absis masing-masing, perhatikan penampangnya; - absisnya diam. Perpindahan bagian ini pada setiap waktu t akan dicirikan oleh suatu fungsi, untuk mencarinya kita harus membuat persamaan diferensial. Mari kita cari dulu perpanjangan relatif bagian batang yang dibatasi oleh bagian tersebut.Jika absis bagian tersebut diam, maka perpindahan bagian tersebut pada waktu t, akurat hingga sangat kecil dari orde yang lebih tinggi, sama dengan Oleh karena itu, perpanjangan relatif batang pada bagian dengan sumbu absis pada waktu t adalah sama dengan Dengan asumsi bahwa gaya-gaya yang menyebabkan perpanjangan ini mematuhi hukum Hooke, kita akan mencari besarnya gaya tarik T yang bekerja pada bagian tersebut: dimana adalah luas penampang batang, dan merupakan modulus elastisitas (modulus Young) bahan batang. Rumus (5.2) harus diketahui oleh pembaca dari mata kuliah kekuatan bahan. Dengan demikian, gaya yang bekerja pada bagian tersebut adalah sama dengan Karena gaya menggantikan aksi bagian batang yang dibuang, gaya yang dihasilkan sama dengan selisihnya Mengingat bagian batang yang dipilih adalah titik material bermassa , di mana adalah kerapatan volumetrik batang, dan menerapkan hukum kedua Newton pada titik tersebut, kita membuat persamaan Dengan menyingkat dan memperkenalkan notasi tersebut kita memperoleh persamaan diferensial getaran longitudinal bebas batang Jika kita juga berasumsi bahwa gaya eksternal yang dihitung per satuan volume dan bekerja sepanjang sumbu batang diterapkan pada batang, maka suatu suku akan ditambahkan ke sisi kanan hubungan (5 3) dan persamaan (5.4) akan mengambil membentuk yang persis sama dengan persamaan osilasi paksa tali. Sekarang mari kita lanjutkan ke penetapan kondisi awal dan kondisi batas dari soal dan pertimbangkan kasus yang paling menarik secara praktis, ketika salah satu ujung batang terpasang dan ujung lainnya bebas. Pada ujung bebas, kondisi batas akan mempunyai bentuk yang berbeda. Karena tidak ada gaya luar pada ujung ini, gaya T yang bekerja pada bagian tersebut juga harus sama dengan nol, yaitu. Osilasi terjadi karena pada momen awal batang mengalami deformasi (diregangkan atau dikompresi) dan kecepatan awal tertentu diberikan pada titik-titik batang. Oleh karena itu, kita harus mengetahui perpindahan penampang batang saat ini serta kecepatan awal titik-titik batang Jadi, masalah getaran longitudinal bebas dari sebuah batang yang dipasang pada salah satu ujungnya, yang timbul karena kompresi atau tegangan awal, membawa kita pada persamaan dengan kondisi awal dan kondisi batas Kondisi terakhir inilah yang, dari sudut pandang matematika, membedakan masalah yang sedang dipertimbangkan dari masalah osilasi tali yang dipasang pada kedua ujungnya. Kita akan menyelesaikan masalah yang diajukan dengan metode Fourier, yaitu mencari solusi parsial dari persamaan yang memenuhi kondisi batas (5.8) dalam bentuk Karena solusi selanjutnya serupa dengan yang telah diuraikan dalam § 3, kami akan membatasi diri hanya pada instruksi singkat. Membedakan fungsi , mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke (5.6) dan memisahkan variabel, kita peroleh (Kami menyerahkan kepada pembaca untuk menetapkan secara mandiri bahwa, karena kondisi batas, konstanta di ruas kanan tidak boleh berupa bilangan positif atau nol.) Solusi umum persamaan tersebut berbentuk Karena kondisi yang dikenakan pada fungsi yang akan kita miliki Penyelesaian yang tidak identik sama dengan nol hanya akan diperoleh jika kondisi terpenuhi, yaitu untuk , dimana k dapat mengambil nilai Jadi, nilai eigen dari soal adalah angka-angka Masing-masing mempunyai fungsinya masing-masing Seperti yang telah kita ketahui, dengan mengalikan salah satu fungsi eigen dengan konstanta sembarang, kita akan memperoleh solusi persamaan dengan kondisi batas yang ditetapkan. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa dengan memberikan nilai negatif pada bilangan k, kita tidak akan memperoleh fungsi eigen baru (misalnya, akan menghasilkan fungsi yang berbeda dari fungsi eigen ) hanya dalam tanda), Mari kita buktikan terlebih dahulu bahwa fungsi eigen (5.11) ortogonal pada interval . Memang kapan Jika kemudian Ortogonalitas fungsi eigen dapat dibuktikan dengan cara lain, tidak bergantung pada ekspresi eksplisitnya, tetapi hanya menggunakan persamaan diferensial dan kondisi batas. Misalkan dan adalah dua nilai eigen yang berbeda, dan menjadi fungsi eigen yang bersesuaian. Menurut definisinya, fungsi-fungsi ini memenuhi persamaan dan kondisi batas. Mari kalikan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan kurangi persamaan lainnya.
(5.2)
