bilangan dalam bentuk trigonometri.

Rumus De Moivre

Misalkan z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) dan z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Bentuk trigonometri bilangan kompleks mudah digunakan untuk melakukan operasi perkalian, pembagian, menaikkan pangkat bilangan bulat, dan mengekstrak akar derajat n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Saat mengalikan dua bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, modulusnya dikalikan dan argumennya ditambahkan. Saat membagi moduli mereka dibagi dan argumen mereka dikurangi.

Konsekuensi dari aturan perkalian bilangan kompleks adalah aturan untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat.

z = r(cos  + saya dosa ).

z n \u003d r n (cos n + isin n).

Rasio ini disebut rumus De Moivre.

Contoh 8.1 Temukan produk dan hasil bagi angka:

Dan

Larutan

z1∙z2
∙

=

;

Contoh 8.2 Tuliskan suatu bilangan dalam bentuk trigonometri

∙
-i) 7 .

Larutan

Menunjukkan
dan z 2 =
- Saya.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argz 1 = arctg ;

z1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 2 7
=

2 9

§ 9 Mengekstraksi akar bilangan kompleks

Definisi. akarNpangkat bilangan kompleks z (menunjukkan
) adalah bilangan kompleks w sehingga w n = z. Jika z = 0, maka
= 0.

Misal z  0, z = r(cos + isin). Dinotasikan w = (cos + sin), maka kita tuliskan persamaan w n = z dalam bentuk berikut

 n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).

Jadi  n = r,

 =

Jadi w k =
·
.

Tepatnya terdapat n nilai berbeda di antara nilai-nilai tersebut.

Oleh karena itu, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Pada bidang kompleks, titik-titik ini adalah simpul dari n-gon beraturan yang terdapat dalam lingkaran berjari-jari
berpusat di titik O (Gambar 12).

Gambar 12

Contoh 9.1 Temukan semua nilai
.

Larutan.

Mari kita nyatakan bilangan ini dalam bentuk trigonometri. Temukan modulus dan argumennya.

w k =
, dimana k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Pada bidang kompleks, titik-titik ini adalah simpul-simpul persegi yang tertulis dalam lingkaran berjari-jari
berpusat di titik asal (Gambar 13).

Gambar 13 Gambar 14

Contoh 9.2 Temukan semua nilai
.

Larutan.

z = - 64 = 64(cos + isin);

w k =
, dimana k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w4 =
; w 5 =
.

Pada bidang kompleks, titik-titik tersebut merupakan simpul-simpul segi enam beraturan yang terdapat dalam lingkaran berjari-jari 2 yang berpusat di titik O (0; 0) - Gambar 14.

§ 10 Bentuk eksponensial bilangan kompleks.

rumus Euler

Menunjukkan
= cos  + isin  dan
= cos  - isin  . Rasio ini disebut Rumus Euler .

Fungsi
memiliki sifat biasa dari fungsi eksponensial:

Misalkan bilangan kompleks z ditulis dalam bentuk trigonometri z = r(cos + isin).

Dengan menggunakan rumus Euler, kita dapat menulis:

z = r
.

Entri ini disebut bentuk indikatif bilangan kompleks. Dengan menggunakannya, kita mendapatkan aturan perkalian, pembagian, eksponensial, dan ekstraksi akar.

Jika z 1 = r 1
dan z 2 = r 2
?Itu

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z n = r n

, dimana k = 0, 1, … , n – 1.

Contoh 10.1 Tuliskan suatu bilangan dalam bentuk aljabar

z=
.

Larutan.

Contoh 10.2 Selesaikan persamaan z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.

Larutan.

Untuk koefisien kompleks apa pun, persamaan ini memiliki dua akar z 1 dan z 1 (mungkin bertepatan). Akar-akar ini dapat dicari dengan menggunakan rumus yang sama seperti pada kasus sebenarnya. Karena
mengambil dua nilai yang hanya berbeda tandanya, maka rumus ini berbentuk:

Karena –9 = 9 e  i, maka nilainya
angkanya adalah:

Kemudian
Dan
.

Larutan.

Akar persamaan yang diinginkan akan menjadi nilainya
.

Untuk z = –1 kita mempunyai r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Latihan

9 Sajikan dalam bentuk eksponensial angka-angka:

10 Tuliskan bilangan tersebut dalam bentuk eksponensial dan aljabar:

11 Tuliskan bilangan-bilangan dalam bentuk aljabar dan geometri:

12 Nomor yang diberikan

Sajikan dalam bentuk eksponensial, temukan
.

13 Dengan menggunakan bentuk eksponensial bilangan kompleks, lakukan hal berikut:

A)
B)

V)
G)

Dengan dan bilangan asli N 2 .

Bilangan kompleks Z ditelepon akarN– C, Jika Z N = C.

Temukan semua nilai root N– derajat dari bilangan kompleks Dengan. Membiarkan C=| C|·(karena Arg C+ Saya· dosa ArgDengan), A Z = | Z|·(denganos Arg Z + Saya· dosa Arg Z) , Di mana Z akar N- derajat dari bilangan kompleks Dengan. Maka itu pasti terjadi = C = | C|·(karena Arg C+ Saya· dosa ArgDengan). Oleh karena itu, berikut ini
Dan N· Arg Z = ArgDengan
Arg Z =
(k=0,1,…) . Karena itu, Z =
(karena
+ Saya· dosa
), (k=0,1,…) . Sangat mudah untuk melihat bahwa salah satu nilainya
, (k=0,1,…) berbeda dari salah satu nilai yang sesuai
,(k = 0,1,…, N-1) ke beberapa 2π. Itu sebabnya, (k = 0,1,…, N-1) .

Contoh.

Hitung akar dari (-1).

, jelas sekali |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (karena π + Saya· dosa π )

, (k = 0, 1).

= Saya

Gelar dengan eksponen rasional sewenang-wenang

Ambil bilangan kompleks sembarang Dengan. Jika N bilangan asli, kalau begitu Dengan N = | C| N ·(Denganos nArgdengan +Saya· dosa nArgDengan)(6). Rumus ini juga berlaku dalam kasus ini N = 0 (c≠0)
. Membiarkan N < 0 Dan N Z Dan c ≠ 0, Kemudian

Dengan N =
(karena nArgDengan+aku berdosa nArgDengan) = (karena nArgDengan+ aku berdosa nArgDengan) . Jadi, rumus (6) berlaku untuk semua N.

Mari kita ambil bilangan rasional , Di mana Q bilangan asli, dan R adalah bilangan bulat.

Lalu di bawah derajat C R mari kita pahami nomornya
.

Kami mengerti ,

(k = 0, 1, …, Q-1). Nilai-nilai ini Q potongan, jika pecahannya tidak dikurangi.

Kuliah №3 Limit barisan bilangan kompleks

Fungsi bernilai kompleks dari argumen natural disebut barisan bilangan kompleks dan dilambangkan (Dengan N ) atau Dengan 1 , Dengan 2 , ..., Dengan N . Dengan N = sebuah N + B N · Saya (N = 1,2, ...) bilangan kompleks.

Dengan 1 , Dengan 2 , … - anggota barisan; Dengan N - anggota biasa

Bilangan kompleks Dengan = A+ B· Saya ditelepon limit barisan bilangan kompleks (C N ) , Di mana Dengan N = sebuah N + B N · Saya (N = 1, 2, …) , di mana untuk apa pun

, itu untuk semua N > N ketimpangan
. Barisan yang mempunyai limit berhingga disebut berkumpul urutan.

Dalil.

Agar barisan bilangan kompleks (dengan N ) (Dengan N = sebuah N + B N · Saya) konvergen ke nomor dengan = A+ B· Saya, diperlukan dan cukup untuk kesetaraanbatas A N = A, batas B N = B.

Bukti.

Kami akan membuktikan teorema berdasarkan pertidaksamaan ganda berikut ini

, Di mana Z = X + y· Saya (2)

Kebutuhan. Membiarkan batas(Dengan N ) = dengan. Mari kita tunjukkan persamaannya batas A N = A Dan batas B N = B (3).

Jelas (4)

Karena
, Kapan N → ∞ , maka dari sisi kiri pertidaksamaan (4) berikut ini
Dan
, Kapan N → ∞ . oleh karena itu persamaan (3) berlaku. Kebutuhannya telah terbukti.

Kecukupan. Sekarang biarkan persamaan (3) berlaku. Ini mengikuti dari persamaan (3) bahwa
Dan
, Kapan N → ∞ , oleh karena itu, karena sisi kanan pertidaksamaan (4), maka menjadi
, Kapan N→∞ , Cara batas(Dengan N )=s. Kecukupannya telah terbukti.

Jadi, soal konvergensi barisan bilangan kompleks sama dengan konvergensi dua barisan bilangan real, oleh karena itu, semua sifat dasar limit barisan bilangan real berlaku untuk barisan bilangan kompleks.

Misalnya, untuk barisan bilangan kompleks, kriteria Cauchy berlaku: agar barisan bilangan kompleks (dengan N ) konvergen, itu perlu dan cukup untuk apa pun

, itu untuk apa punN, M > Nketimpangan
.

Dalil.

Biarkan barisan bilangan kompleks (dengan N ) Dan (z N ) konvergen masing-masing ke dengan danz, lalu kesetaraanbatas(Dengan N z N ) = C z, batas(Dengan N · z N ) = C· z. Jika diketahui secara pasti hal ituztidak sama dengan 0, maka persamaannya
.