Logaritma suatu bilangan N dengan alasan sebuah disebut eksponen X , yang perlu Anda tingkatkan sebuah untuk mendapatkan nomornya N

Dengan ketentuan
,
,

Ini mengikuti dari definisi logaritma bahwa
, yaitu
- persamaan ini adalah identitas logaritma dasar.

Logaritma ke basis 10 disebut logaritma desimal. Dari pada
menulis
.

logaritma dasar e disebut alami dan dilambangkan
.

Sifat dasar logaritma.

Logaritma kesatuan untuk basis apa pun adalah nol

Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

3) Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma

Faktor
disebut modulus transisi dari logaritma di basis sebuah ke logaritma di pangkalan b .

Dengan menggunakan properti 2-5, seringkali dimungkinkan untuk mereduksi logaritma dari ekspresi kompleks menjadi hasil operasi aritmatika sederhana pada logaritma.

Sebagai contoh,

Transformasi logaritma seperti ini disebut logaritma. Transformasi kebalikan dari logaritma disebut potensiasi.

Bab 2. Elemen matematika yang lebih tinggi.

1. Batas

batas fungsi
adalah bilangan terbatas A jika, ketika berjuang xx 0 untuk setiap yang telah ditentukan
, ada nomor
itu segera
, kemudian
.

Fungsi yang memiliki limit berbeda dengan jumlah yang sangat kecil:
, di mana - b.m.w., yaitu
.

Contoh. Pertimbangkan fungsinya
.

Saat berusaha
, fungsi kamu menjadi nol:

1.1. Teorema dasar tentang limit.

Batas nilai konstan sama dengan nilai konstan ini

.

Limit jumlah (selisih) sejumlah fungsi berhingga sama dengan jumlah (selisih) limit fungsi-fungsi tersebut.

Limit hasil kali sejumlah fungsi terhingga sama dengan hasil kali limit fungsi-fungsi tersebut.

Limit hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit fungsi-fungsi tersebut jika limit penyebutnya tidak sama dengan nol.

Batas Luar Biasa

,
, di mana

1.2. Contoh Perhitungan Batas

Namun, tidak semua batasan dihitung begitu sederhana. Lebih sering, perhitungan batas direduksi menjadi pengungkapan ketidakpastian tipe: atau .

.

2. Turunan dari suatu fungsi

Biarkan kita memiliki fungsi
, kontinu pada segmen
.

Argumen mendapat beberapa dorongan
. Maka fungsinya akan bertambah
.

Nilai argumen sesuai dengan nilai fungsi
.

Nilai argumen
sesuai dengan nilai fungsi.

Akibatnya, .

Mari kita cari limit dari relasi ini di
. Jika limit ini ada, maka disebut turunan dari fungsi yang diberikan.

Definisi 3 turunan dari fungsi yang diberikan
dengan argumen disebut limit rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen, ketika kenaikan argumen secara sewenang-wenang cenderung nol.

turunan fungsi
dapat dilambangkan sebagai berikut:

; ; ; .

Definisi 4Operasi mencari turunan suatu fungsi disebut diferensiasi.

2.1. Arti mekanis dari turunan.

Pertimbangkan gerakan bujursangkar dari beberapa benda kaku atau titik material.

Biarkan suatu saat nanti titik bergerak
berada di kejauhan dari posisi awal
.

Setelah beberapa waktu
dia pindah jauh
. Sikap =- kecepatan rata-rata titik material
. Mari kita cari batas rasio ini, dengan mempertimbangkan bahwa
.

Akibatnya, penentuan kecepatan sesaat dari suatu titik material direduksi untuk menemukan turunan dari jalur terhadap waktu.

2.2. Nilai geometris turunan

Misalkan kita memiliki beberapa fungsi yang didefinisikan secara grafis
.

Beras. 1. Arti geometris dari turunan

Jika sebuah
, maka intinya
, akan bergerak sepanjang kurva, mendekati titik
.

Akibatnya
, yaitu nilai turunan yang diberikan nilai argumen secara numerik sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung pada suatu titik tertentu dengan arah sumbu positif
.

2.3. Tabel rumus diferensiasi dasar.

Fungsi daya

Fungsi eksponensial

fungsi logaritma

fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri terbalik

2.4. Aturan diferensiasi.

Turunan dari

Turunan dari jumlah (selisih) fungsi

Turunan dari produk dua fungsi

Turunan dari hasil bagi dua fungsi

2.5. Turunan dari fungsi kompleks.

Biarkan fungsinya
sedemikian rupa sehingga dapat direpresentasikan sebagai

dan
, dimana variabel adalah argumen perantara, maka

Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi yang diberikan sehubungan dengan argumen antara dengan turunan dari argumen antara sehubungan dengan x.

Contoh 1.

Contoh2.

3. Diferensial fungsi.

Biarkan disana ada
, terdiferensialkan pada selang tertentu
biarkan saja pada fungsi ini memiliki turunan

,

maka Anda bisa menulis

(1),

di mana - kuantitas yang sangat kecil,

karena di

Mengalikan semua suku persamaan (1) dengan
kita punya:

Di mana
- b.m.v. urutan yang lebih tinggi.

Nilai
disebut diferensial fungsi
dan dilambangkan

.

3.1. Nilai geometrik diferensial.

Biarkan fungsinya
.

Gbr.2. Arti geometris dari diferensial.

.

Jelas, diferensial fungsi
sama dengan kenaikan ordinat garis singgung pada titik tertentu.

3.2. Derivatif dan diferensial dari berbagai pesanan.

Jika ada
, kemudian
disebut turunan pertama.

Turunan dari turunan pertama disebut turunan orde kedua dan ditulis
.

Turunan dari fungsi orde ke-n
disebut turunan dari orde (n-1) dan ditulis:

.

Diferensial dari diferensial suatu fungsi disebut diferensial kedua atau diferensial orde kedua.

.

.

3.3 Memecahkan masalah biologi menggunakan diferensiasi.

Tugas 1. Penelitian telah menunjukkan bahwa pertumbuhan koloni mikroorganisme mematuhi hukum
, di mana N – jumlah mikroorganisme (dalam ribuan), t - waktu (hari).

b) Akankah populasi koloni bertambah atau berkurang selama periode ini?

Menjawab. Koloni akan tumbuh dalam ukuran.

Tugas 2. Air di danau diuji secara berkala untuk mengontrol kandungan bakteri patogen. Melalui t hari setelah pengujian, konsentrasi bakteri ditentukan oleh rasio

.

Kapan konsentrasi minimum bakteri masuk ke dalam danau dan memungkinkan untuk berenang di dalamnya?

Solusi Sebuah fungsi mencapai max atau min ketika turunannya adalah nol.

,

Mari kita tentukan max atau min dalam 6 hari. Untuk melakukan ini, kami mengambil turunan kedua.

Jawaban: Setelah 6 hari akan ada konsentrasi minimum bakteri.

Fokus artikel ini adalah logaritma. Di sini kita akan memberikan definisi logaritma, menunjukkan notasi yang diterima, memberikan contoh logaritma, dan berbicara tentang logaritma natural dan desimal. Setelah itu, perhatikan identitas logaritma dasar.

Navigasi halaman.

Definisi logaritma

Konsep logaritma muncul ketika memecahkan masalah dalam arti tertentu terbalik, ketika Anda perlu menemukan eksponen dari nilai derajat yang diketahui dan basis yang diketahui.

Tapi cukup basa-basi, saatnya menjawab pertanyaan “apa itu logaritma”? Mari kita berikan definisi yang tepat.

Definisi.

Logaritma dari b ke basis a, di mana a>0 , a≠1 dan b>0 adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.

Pada tahap ini, kami mencatat bahwa kata yang diucapkan "logaritma" harus segera menimbulkan dua pertanyaan berikutnya: "berapa nomor" dan "berdasarkan apa." Dengan kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya ada logaritma suatu bilangan di suatu basis.

Kami akan segera memperkenalkan notasi logaritma: logaritma dari angka b ke basis a biasanya dilambangkan sebagai log a b . Logaritma dari bilangan b ke basis e dan logaritma ke basis 10 masing-masing memiliki sebutan khusus lnb dan lgb, yaitu, mereka menulis bukan log e b , tetapi lnb , dan bukan log 10 b , tetapi lgb .

Sekarang Anda dapat membawa: .
Dan catatannya tidak masuk akal, karena yang pertama ada angka negatif di bawah tanda logaritma, yang kedua - angka negatif di pangkalan, dan yang ketiga - angka negatif di bawah tanda logaritma dan satu kesatuan di pangkalan.

Sekarang mari kita bicara tentang aturan membaca logaritma. Entri log a b dibaca sebagai "logaritma dari b ke basis a". Misalnya, log 2 3 adalah logaritma dari tiga ke basis 2, dan merupakan logaritma dari dua bilangan bulat dua pertiga basis dari akar kuadrat dari lima. Logaritma ke basis e disebut logaritma natural, dan notasi lnb dibaca sebagai "logaritma natural dari b". Sebagai contoh, ln7 adalah logaritma natural dari tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma natural dari pi. Logaritma ke basis 10 juga memiliki nama khusus - logaritma desimal, dan notasi lgb dibaca sebagai "logaritma desimal b". Misalnya, lg1 adalah logaritma desimal dari satu, dan lg2.75 adalah logaritma desimal dari dua koma tujuh puluh lima perseratus.

Penting untuk membahas secara terpisah kondisi a>0, a≠1 dan b>0, di mana definisi logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana batasan ini berasal. Untuk melakukan ini, kita akan dibantu oleh persamaan bentuk, yang disebut , yang langsung mengikuti dari definisi logaritma yang diberikan di atas.

Mari kita mulai dengan a≠1 . Karena satu sama dengan satu untuk pangkat apa pun, maka persamaan hanya dapat benar untuk b=1, tetapi log 1 1 dapat berupa bilangan real apa pun. Untuk menghindari ambiguitas ini, a≠1 diterima.

Mari kita buktikan kelayakan kondisi a>0 . Dengan a=0, menurut definisi logaritma, kita akan memiliki persamaan , yang hanya mungkin dengan b=0 . Tetapi kemudian log 0 0 dapat berupa bilangan real apa pun yang bukan nol, karena nol hingga pangkat apa pun yang bukan nol adalah nol. Ambiguitas ini dapat dihindari dengan kondisi a≠0 . Dan untuk<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Akhirnya, kondisi b>0 mengikuti pertidaksamaan a>0 , karena , dan nilai derajat dengan basis positif a selalu positif.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mengatakan bahwa definisi logaritma yang disuarakan memungkinkan Anda untuk segera menunjukkan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah tingkat basis tertentu. Memang, definisi logaritma memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa jika b=a p , maka logaritma dari bilangan b ke basis a sama dengan p . Artinya, persamaan log a a p = p benar. Sebagai contoh, kita mengetahui bahwa 2 3 =8 , maka log 2 8=3 . Kami akan berbicara lebih banyak tentang ini di artikel.

Kami terus mempelajari logaritma. Pada artikel ini kita akan berbicara tentang perhitungan logaritma, proses ini disebut logaritma. Pertama, kita akan berurusan dengan perhitungan logaritma menurut definisi. Selanjutnya, pertimbangkan bagaimana nilai logaritma ditemukan menggunakan propertinya. Setelah itu, kita akan membahas perhitungan logaritma melalui nilai-nilai logaritma lain yang awalnya diberikan. Terakhir, mari belajar bagaimana menggunakan tabel logaritma. Seluruh teori diberikan dengan contoh-contoh dengan solusi rinci.

Navigasi halaman.

Menghitung logaritma menurut definisi

Dalam kasus yang paling sederhana, adalah mungkin untuk melakukan dengan cepat dan mudah menemukan logaritma menurut definisi. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana proses ini terjadi.

Esensinya adalah untuk mewakili angka b dalam bentuk a c , di mana, menurut definisi logaritma, angka c adalah nilai logaritma. Artinya, menurut definisi, menemukan logaritma sesuai dengan rantai persamaan berikut: log a b=log a a c =c .

Jadi, perhitungan logaritma, menurut definisi, turun untuk menemukan angka c sehingga a c \u003d b, dan angka c itu sendiri adalah nilai logaritma yang diinginkan.

Mengingat informasi dari paragraf sebelumnya, ketika angka di bawah tanda logaritma diberikan oleh beberapa derajat dasar logaritma, maka Anda dapat segera menunjukkan apa yang sama dengan logaritma - itu sama dengan eksponen. Mari kita tunjukkan contoh.

Contoh.

Cari log 2 2 3 , dan juga hitung logaritma natural dari e 5.3 .

Larutan.

Definisi logaritma memungkinkan kita untuk langsung mengatakan bahwa log 2 2 3 = 3 . Memang, angka di bawah tanda logaritma sama dengan basis 2 pangkat 3.

Demikian pula, kami menemukan logaritma kedua: jalur 5.3 =5.3.

Menjawab:

log 2 2 3 = 3 dan jalur 5.3 =5.3 .

Jika angka b di bawah tanda logaritma tidak diberikan sebagai pangkat dari basis logaritma, maka Anda perlu mempertimbangkan dengan cermat apakah mungkin untuk membuat representasi angka b dalam bentuk a c . Seringkali representasi ini cukup jelas, terutama ketika angka di bawah tanda logaritma sama dengan basis pangkat 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa 25=5 2 , ini memungkinkan Anda untuk menghitung logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Kami melanjutkan ke perhitungan logaritma kedua. Suatu bilangan dapat direpresentasikan sebagai pangkat 7: (lihat jika perlu). Akibatnya, .

Mari kita tulis ulang logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang Anda bisa melihatnya , dari mana kita menyimpulkan bahwa . Oleh karena itu, dengan definisi logaritma .

Secara singkat, solusinya dapat ditulis sebagai berikut:

Menjawab:

log 5 25=2 , dan .

Ketika bilangan asli yang cukup besar berada di bawah tanda logaritma, maka tidak ada salahnya untuk menguraikannya menjadi faktor prima. Seringkali membantu untuk mewakili angka seperti beberapa kekuatan dasar logaritma, dan oleh karena itu, untuk menghitung logaritma ini dengan definisi.

Contoh.

Cari nilai logaritmanya.

Larutan.

Beberapa properti logaritma memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma. Sifat-sifat ini termasuk sifat logaritma satu dan sifat logaritma bilangan yang sama dengan basis: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1 . Artinya, ketika angka 1 atau angka a berada di bawah tanda logaritma, sama dengan basis logaritma, maka dalam kasus ini logaritmanya masing-masing adalah 0 dan 1.

Contoh.

Apa logaritma dan lg10 ?

Larutan.

Karena , itu mengikuti dari definisi logaritma .

Dalam contoh kedua, angka 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya, sehingga logaritma desimal dari sepuluh sama dengan satu, yaitu, lg10=lg10 1 =1 .

Menjawab:

Dan lg10=1 .

Perhatikan bahwa menghitung logaritma menurut definisi (yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya) menyiratkan penggunaan log kesetaraan a a p =p , yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam praktiknya, ketika angka di bawah tanda logaritma dan basis logaritma dengan mudah direpresentasikan sebagai kekuatan beberapa angka, sangat mudah untuk menggunakan rumus , yang sesuai dengan salah satu sifat logaritma. Pertimbangkan contoh menemukan logaritma, yang menggambarkan penggunaan rumus ini.

Contoh.

Hitung logaritma dari .

Larutan.

Menjawab:

.

Sifat-sifat logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam perhitungan, tetapi kita akan membicarakannya dalam paragraf berikut.

Menemukan logaritma dalam hal logaritma lain yang diketahui

Informasi dalam paragraf ini melanjutkan topik penggunaan sifat-sifat logaritma dalam perhitungannya. Tetapi di sini perbedaan utamanya adalah bahwa sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asli dalam bentuk logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita ambil contoh untuk klarifikasi. Katakanlah kita tahu bahwa log 2 3≈1.584963 , maka kita dapat menemukan, misalnya, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dalam contoh di atas, kita cukup menggunakan properti logaritma produk. Namun, jauh lebih sering Anda harus menggunakan gudang properti logaritma yang lebih luas untuk menghitung logaritma asli dalam hal yang diberikan.

Contoh.

Hitung logaritma dari 27 hingga basis 60 jika diketahui log 60 2=a dan log 60 5=b .

Larutan.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Sangat mudah untuk melihat bahwa 27=3 3 , dan logaritma asli, karena sifat dari logaritma derajat, dapat ditulis ulang menjadi 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana log 60 3 dapat dinyatakan dalam logaritma yang diketahui. Properti logaritma dari angka yang sama dengan basis memungkinkan Anda untuk menulis log kesetaraan 60 60=1 . Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Lewat sini, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Akibatnya, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Akhirnya, kami menghitung logaritma asli: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Menjawab:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Secara terpisah, perlu disebutkan arti rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma bentuk . Ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari logaritma dengan basis apa pun ke logaritma dengan basis tertentu, yang nilainya diketahui atau dimungkinkan untuk menemukannya. Biasanya, dari logaritma asli, menurut rumus transisi, mereka beralih ke logaritma di salah satu basis 2, e atau 10, karena untuk basis ini ada tabel logaritma yang memungkinkan penghitungan nilainya dengan derajat tertentu akurasi. Di bagian selanjutnya, kami akan menunjukkan bagaimana ini dilakukan.

Tabel logaritma, kegunaannya

Untuk perkiraan perhitungan nilai logaritma, seseorang dapat menggunakan tabel logaritma. Yang paling umum digunakan adalah tabel logaritma basis 2, tabel logaritma natural, dan tabel logaritma desimal. Saat bekerja dalam sistem bilangan desimal, akan lebih mudah menggunakan tabel logaritma ke basis sepuluh. Dengan bantuannya, kita akan belajar menemukan nilai-nilai logaritma.

Tabel yang disajikan memungkinkan, dengan akurasi sepersepuluh ribu, untuk menemukan nilai logaritma desimal angka dari 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat desimal). Kami akan menganalisis prinsip menemukan nilai logaritma menggunakan tabel logaritma desimal menggunakan contoh spesifik - lebih jelas. Mari temukan lg1,256 .

Di kolom kiri tabel logaritma desimal kami menemukan dua digit pertama dari angka 1.256, yaitu, kami menemukan 1.2 (angka ini dilingkari dengan warna biru untuk kejelasan). Digit ketiga dari angka 1.256 (angka 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis ganda (angka ini dilingkari merah). Digit keempat dari angka asli 1.256 (angka 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis ganda (angka ini dilingkari dengan warna hijau). Sekarang kita menemukan angka-angka dalam sel tabel logaritma di persimpangan baris yang ditandai dan kolom yang ditandai (angka-angka ini disorot dalam warna oranye). Jumlah angka yang ditandai memberikan nilai yang diinginkan dari logaritma desimal hingga tempat desimal keempat, yaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Apakah mungkin, dengan menggunakan tabel di atas, untuk menemukan nilai logaritma desimal dari angka yang memiliki lebih dari tiga digit setelah titik desimal, dan juga melampaui batas dari 1 hingga 9,999? Ya kamu bisa. Mari kita tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan sebuah contoh.

Mari kita hitung lg102.76332 . Pertama, Anda perlu menulis nomor dalam bentuk standar: 102.76332=1.0276332 10 2 . Setelah itu, mantissa harus dibulatkan ke tempat desimal ketiga, kita punya 1.0276332 10 2 1.028 10 2, sedangkan logaritma desimal asli kira-kira sama dengan logaritma dari angka yang dihasilkan, yaitu, kita mengambil lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sekarang terapkan properti logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Akhirnya, kami menemukan nilai logaritma lg1.028 menurut tabel logaritma desimal lg1.028≈0,0086+0,0034=0,012. Akibatnya, seluruh proses penghitungan logaritma terlihat seperti ini: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa menggunakan tabel logaritma desimal, Anda dapat menghitung nilai perkiraan logaritma apa pun. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan rumus transisi untuk pergi ke logaritma desimal, menemukan nilainya dalam tabel, dan melakukan perhitungan yang tersisa.

Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma, kami memiliki . Dari tabel logaritma desimal kami menemukan lg3≈0.4771 dan lg2≈0.3010. Lewat sini, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja ketika Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

\(a^(b)=c\) \(\Panah kanan kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan lebih mudah. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan pangkat \(2\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).

Contoh:		\(\log_(5)(25)=2\)		karena \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		karena \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		karena \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumen dan basis logaritma

Setiap logaritma memiliki "anatomi" berikut:

Argumen logaritma biasanya ditulis pada levelnya, dan basis ditulis dalam subscript yang lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini dibaca seperti ini: "logaritma dari dua puluh lima ke basis lima."

Bagaimana cara menghitung logaritma?

Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: sejauh mana basis harus dinaikkan untuk mendapatkan argumen?

Sebagai contoh, hitung logaritmanya: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ kuadrat (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Berapa pangkat \(4\) yang harus dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Itu sebabnya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Berapakah \(\sqrt(5)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Dan derajat apa yang membuat angka menjadi satu unit? Nol, tentu saja!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Ke pangkat berapa \(\sqrt(7)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Yang pertama - angka apa pun di tingkat pertama sama dengan dirinya sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Ke pangkat berapa \(3\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Dari kita tahu bahwa itu adalah pangkat pecahan, dan karena itu akar kuadratnya adalah pangkat dari \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Hitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Larutan :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Kita perlu mencari nilai logaritma, mari kita nyatakan sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Panah kiri\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Apa tautan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, karena kedua angka dapat diwakili oleh dua: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Di sebelah kiri, kami menggunakan properti derajat: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Basisnya sama, kami melanjutkan ke kesetaraan indikator
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Kalikan kedua ruas persamaan dengan \(\frac(2)(5)\)
		Akar yang dihasilkan adalah nilai logaritma

Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapa logaritma ditemukan?

Untuk memahaminya, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cukup cocokkan \(x\) untuk membuat persamaan berfungsi. Tentu saja, \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaannya: \(3^(x)=8\).Berapa x sama dengan? Itulah intinya.

Yang paling cerdik akan berkata: "X sedikit kurang dari dua." Bagaimana tepatnya angka ini ditulis? Untuk menjawab pertanyaan ini, mereka datang dengan logaritma. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), serta logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya dalam bentuk desimal, maka akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Larutan :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak dapat direduksi menjadi basis yang sama. Jadi di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Panah kanan kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Balikkan persamaan sehingga x di sebelah kiri
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Sebelum kita. Pindahkan \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan itu seperti angka biasa.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Bagi persamaan dengan 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Berikut adalah akar kami. Ya, kelihatannya tidak biasa, tetapi jawabannya tidak dipilih.

Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma desimal dan natural

Sebagaimana dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya dapat berupa bilangan positif apa pun kecuali satu \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua basis yang mungkin, ada dua yang sering muncul sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma dengan mereka:

Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah bilangan Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2.7182818…\)), dan logaritmanya ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Itu adalah, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma desimal: Logaritma yang basisnya 10 ditulis \(\lg(a)\).

Itu adalah, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah beberapa angka.

Identitas logaritma dasar

Logaritma memiliki banyak sifat. Salah satunya disebut "Identitas logaritma dasar" dan terlihat seperti ini:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana formula ini muncul.

Ingat definisi singkat dari logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) sebagai ganti \(b\) dalam rumus \(a^(b)=c\) . Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritma utama.

Anda dapat menemukan sisa properti logaritma. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit untuk dihitung secara langsung.

Contoh : Cari nilai dari ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)

Larutan :

Menjawab : \(25\)

Bagaimana cara menulis angka sebagai logaritma?

Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: bilangan apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Misalnya, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\) alih-alih dua.

Tetapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), jadi Anda juga dapat menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Demikian pula dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Artinya, ternyata

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Jadi, jika perlu, kita dapat menulis keduanya sebagai logaritma dengan basis apa pun di mana pun (bahkan dalam persamaan, bahkan dalam ekspresi, bahkan dalam pertidaksamaan) - tulis saja basis kuadrat sebagai argumen.

Ini sama dengan triple - dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \) ... Di sini kita menulis basis dalam kubus sebagai argumen:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan minus satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Dan dengan sepertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Setiap bilangan \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Temukan nilai ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Larutan :

Menjawab : \(1\)