BabSAYA. ACARA ACAK. KEMUNGKINAN

1.1. Keteraturan dan keacakan, variabilitas acak dalam ilmu eksakta, biologi dan kedokteran

Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari pola dalam fenomena acak. Fenomena acak adalah fenomena yang, ketika pengalaman yang sama diulangi beberapa kali, dapat terjadi dengan cara yang sedikit berbeda setiap kali.

Jelasnya, tidak ada satu pun fenomena di alam di mana unsur-unsur keacakan tidak ada pada tingkat tertentu, tetapi dalam situasi yang berbeda kita memperhitungkannya dengan cara yang berbeda. Jadi, dalam sejumlah permasalahan praktis, fenomena tersebut dapat diabaikan dan, alih-alih fenomena nyata, diagram yang disederhanakan – sebuah “model” – dapat dipertimbangkan, dengan asumsi bahwa dalam kondisi eksperimental tertentu, fenomena tersebut berlangsung dengan cara yang sangat pasti. Pada saat yang sama, faktor-faktor terpenting dan penentu yang menjadi ciri fenomena tersebut disoroti. Skema mempelajari fenomena inilah yang paling sering digunakan dalam fisika, teknologi, dan mekanika; beginilah pola utama terungkap , karakteristik suatu fenomena tertentu dan memungkinkan untuk memprediksi hasil percobaan berdasarkan kondisi awal tertentu. Dan pengaruh faktor-faktor kecil yang acak pada hasil percobaan diperhitungkan di sini melalui kesalahan pengukuran acak (kami akan mempertimbangkan metode perhitungannya di bawah).

Namun, skema klasik yang dijelaskan dari apa yang disebut ilmu eksakta kurang cocok untuk memecahkan banyak masalah di mana banyak faktor acak yang saling terkait erat memainkan peran yang nyata (seringkali menentukan). Di sini sifat acak dari fenomena tersebut mengemuka, yang tidak dapat lagi diabaikan. Fenomena ini harus dikaji secara tepat dari sudut pandang pola-pola yang melekat di dalamnya sebagai fenomena acak. Dalam fisika, contoh fenomena tersebut adalah gerak Brown, peluruhan radioaktif, sejumlah proses mekanika kuantum, dll.

Subyek kajian para ahli biologi dan dokter adalah organisme hidup, yang asal usulnya, perkembangannya, dan keberadaannya ditentukan oleh banyak dan beragam, seringkali faktor eksternal dan internal yang acak. Itulah sebabnya fenomena dan peristiwa di dunia kehidupan dalam banyak hal juga bersifat acak.

Unsur ketidakpastian, kompleksitas, dan multikausalitas yang melekat pada fenomena acak memerlukan penciptaan metode matematika khusus untuk mempelajari fenomena tersebut. Pengembangan metode tersebut dan pembentukan pola spesifik yang melekat pada fenomena acak adalah tugas utama teori probabilitas. Merupakan ciri khas bahwa pola-pola ini hanya terpenuhi bila fenomena acak tersebar luas. Selain itu, karakteristik individu dari kasus-kasus individual tampaknya saling meniadakan, dan hasil rata-rata untuk sejumlah besar fenomena acak ternyata tidak lagi acak, tetapi sepenuhnya alami. . Dalam banyak hal, keadaan ini menjadi alasan meluasnya penggunaan metode penelitian probabilistik dalam biologi dan kedokteran.

Mari kita pertimbangkan konsep dasar teori probabilitas.

1.2. Kemungkinan suatu kejadian acak

Setiap ilmu yang mengembangkan teori umum tentang berbagai fenomena didasarkan pada sejumlah konsep dasar. Misalnya, dalam geometri, ini adalah konsep tentang titik, garis lurus; dalam mekanika - konsep gaya, massa, kecepatan, dll. Konsep dasar juga ada dalam teori probabilitas, salah satunya adalah kejadian acak.

Peristiwa acak adalah setiap fenomena (fakta) yang mungkin terjadi atau tidak terjadi sebagai akibat dari pengalaman (ujian).

Peristiwa acak ditandai dengan huruf A, B, C...dll. Berikut beberapa contoh kejadian acak:

A– munculnya elang (lambang) saat melempar koin standar;

DI DALAM– kelahiran anak perempuan dalam keluarga tertentu;

DENGAN– kelahiran anak dengan berat badan yang telah ditentukan;

D– terjadinya suatu penyakit epidemi di suatu wilayah selama jangka waktu tertentu, dll.

Karakteristik kuantitatif utama dari suatu kejadian acak adalah probabilitasnya. Membiarkan A- beberapa peristiwa acak. Peluang suatu kejadian acak A adalah besaran matematis yang menentukan kemungkinan terjadinya kejadian tersebut. Itu ditunjuk R(A).

Mari kita pertimbangkan dua metode utama untuk menentukan nilai ini.

Definisi klasik tentang probabilitas suatu kejadian acak biasanya didasarkan pada hasil analisis eksperimen spekulatif (tes), yang intinya ditentukan oleh kondisi tugas. Dalam hal ini, kemungkinan terjadinya kejadian acak P(A) adalah sama dengan:

Di mana M– jumlah kasus yang mendukung terjadinya peristiwa tersebut A; N– jumlah kasus yang sama kemungkinannya.

Contoh 1: Seekor tikus laboratorium ditempatkan di sebuah labirin di mana hanya satu dari empat kemungkinan jalur yang mengarah ke hadiah makanan. Tentukan peluang tikus memilih jalur ini.

Larutan: sesuai dengan kondisi permasalahan dari empat kemungkinan kasus yang sama ( N=4) peristiwa A(tikus menemukan makanan)
hanya satu yang menguntungkan, yaitu. M= 1 Lalu R(A) = R(tikus menemukan makanan) = = 0,25 = 25%.

Contoh 2. Ada 20 bola hitam dan 80 bola putih dalam sebuah guci. Satu bola diambil secara acak darinya. Tentukan peluang terambilnya bola berwarna hitam.

Larutan: jumlah semua bola dalam guci adalah jumlah kasus yang sama kemungkinannya N, yaitu. N = 20 + 80 = 100, di antaranya acara A(mengeluarkan bola hitam) hanya mungkin pada 20, mis. M= 20. Lalu R(A) = R(h.s.) = = 0,2 = 20%.

Mari kita daftar sifat-sifat probabilitas mengikuti definisi klasiknya – rumus (1):

1. Peluang suatu kejadian acak adalah besaran tak berdimensi.

2. Peluang suatu kejadian acak selalu positif dan kurang dari satu, yaitu 0< P (A) < 1.

3. Peluang suatu peristiwa yang dapat diandalkan, yaitu suatu peristiwa yang pasti akan terjadi karena suatu pengalaman ( M = N), sama dengan satu.

4. Kemungkinan suatu kejadian yang mustahil ( M= 0) sama dengan nol.

5. Peluang suatu kejadian adalah nilai yang tidak negatif dan tidak melebihi satu:
0 £ P (A) £1.

Penentuan statistik kemungkinan suatu kejadian acak digunakan ketika tidak mungkin menggunakan definisi klasik (1). Hal ini sering terjadi dalam biologi dan kedokteran. Dalam hal ini, kemungkinannya R(A) ditentukan dengan merangkum hasil rangkaian pengujian (eksperimen) yang sebenarnya dilakukan.

Mari kita perkenalkan konsep frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa acak. Misalkan dilakukan suatu rangkaian yang terdiri dari N percobaan (nomor N dapat dipilih terlebih dahulu); acara yang menarik bagi kami A terjadi di M dari mereka ( M < N). Rasio jumlah percobaan M, di mana peristiwa ini terjadi, dengan jumlah total percobaan yang dilakukan N disebut frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa acak A dalam rangkaian percobaan ini - R* (A)

R*(A) = .

Telah ditetapkan secara eksperimental bahwa jika serangkaian pengujian (percobaan) dilakukan dalam kondisi yang sama dan di masing-masing pengujian tersebut terdapat nomor N cukup besar, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas : itu sedikit berubah dari episode ke episode , mendekati dengan meningkatnya jumlah percobaan ke beberapa nilai konstan . Ini diambil sebagai probabilitas statistik dari suatu kejadian acak A:

R(A)= lim , dengan N , (2)

Jadi, probabilitas statistik R(A) kejadian acak A sebutkan batas kecenderungan frekuensi relatif terjadinya peristiwa ini dengan peningkatan jumlah percobaan yang tidak terbatas (dengan N → ∞).

Kira-kira probabilitas statistik suatu peristiwa acak sama dengan frekuensi relatif terjadinya peristiwa ini dalam sejumlah besar percobaan:

R(A)≈ P*(A)= (untuk besar N) (3)

Misalnya, dalam percobaan pelemparan koin, frekuensi relatif lambang yang rontok pada 12.000 pelemparan ternyata sama dengan 0,5016, dan pada 24.000 pelemparan - 0,5005. Sesuai dengan rumus (1):

P(lambang) = = 0,5 = 50%

Contoh . Dari pemeriksaan kesehatan terhadap 500 orang, 5 orang diantaranya didiagnosis mengidap tumor di paru-paru (l.l.). Tentukan frekuensi relatif dan kemungkinan penyakit ini.

Larutan: sesuai dengan kondisi permasalahan M = 5, N= 500, frekuensi relatif R*(o.l.) = M/N= 5/500 = 0,01; karena N cukup besar, kita dapat berasumsi dengan akurat bahwa kemungkinan adanya tumor di paru-paru sama dengan frekuensi relatif kejadian ini:

R(o.l.) = R*(vl) = 0,01 = 1%.

Sifat-sifat probabilitas suatu kejadian acak yang disebutkan sebelumnya dipertahankan dalam penentuan statistik besaran ini.

1.3. Jenis kejadian acak. Teorema dasar teori probabilitas

Semua kejadian acak dapat dibagi menjadi:

¾ tidak kompatibel;

¾ mandiri;

¾ tergantung.

Setiap jenis kejadian mempunyai karakteristik dan teorema teori probabilitasnya masing-masing.

1.3.1. Peristiwa acak yang tidak kompatibel. Teorema penjumlahan probabilitas

Peristiwa acak (A, B, C,D...) disebut tidak kompatibel , apabila terjadinya salah satu di antaranya meniadakan terjadinya peristiwa-peristiwa lain dalam sidang yang sama.

Contoh 1 . Sebuah koin dilempar. Ketika jatuh, tampilan “lambang” menghilangkan tampilan “ekor” (tulisan yang menentukan harga koin). Peristiwa “jatuhnya lambang” dan “kepala jatuh” tidak sejalan.

Contoh 2 . Seorang siswa yang menerima nilai “2”, atau “3”, atau “4”, atau “5” pada satu ujian adalah peristiwa yang tidak sesuai, karena salah satu dari nilai ini mengecualikan nilai lainnya pada ujian yang sama.

Untuk kejadian acak yang tidak konsisten, berlaku hal berikut: teorema penjumlahan probabilitas: probabilitas terjadinya satu, tapi tidak peduli yang mana, dari beberapa kejadian yang tidak kompatibel A1, A2, A3 ... Ak sama dengan jumlah probabilitasnya:

P(A1 atau A2...atau Ak) = P(A1) + P(A2) + …+ P(Ak). (4)

Contoh 3. Sebuah guci berisi 50 bola: 20 putih, 20 hitam, dan 10 merah. Temukan peluang munculnya warna putih (kejadian A) atau bola merah (acara DI DALAM), ketika sebuah bola diambil secara acak dari guci.

Solusi: R(A atau B)= hal(A)+ R(DI DALAM);

R(A) = 20/50 = 0,4;

R(DI DALAM) = 10/50 = 0,2;

R(A atau DI DALAM)= hal(b.sh. atau k.sh.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Contoh 4 . Ada 40 anak di kelas. Dari jumlah tersebut, berusia 7 hingga 7,5 tahun, 8 anak laki-laki ( A) dan 10 anak perempuan ( DI DALAM). Tentukan peluang mempunyai anak seusia ini di kelas.

Solusi: R(A)= 8/40 = 0,2; R(DI DALAM) = 10/40 = 0,25.

P(A atau B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Konsep penting berikutnya adalah kelompok peristiwa lengkap: beberapa peristiwa yang tidak kompatibel membentuk kelompok peristiwa yang lengkap jika hanya salah satu peristiwa dalam kelompok ini dan tidak ada peristiwa lain yang dapat terjadi sebagai akibat dari setiap percobaan.

Contoh 5 . Penembak melepaskan tembakan ke sasaran. Salah satu peristiwa berikut pasti akan terjadi: masuk ke “sepuluh”, “sembilan”, “delapan”,…, “satu” atau meleset. 11 peristiwa yang tidak kompatibel ini membentuk grup yang lengkap.

Contoh 6 . Dalam ujian universitas, seorang siswa dapat menerima salah satu dari empat nilai berikut: 2, 3, 4 atau 5. Keempat peristiwa yang tidak sesuai ini juga membentuk kelompok yang lengkap.

Jika acara tidak kompatibel A1, A2...Ak membentuk kelompok lengkap, maka jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut selalu sama dengan satu:

R(A1)+ R(A2)+ … R(Ak) = 1, (5)

Pernyataan ini sering digunakan dalam memecahkan banyak masalah terapan.

Jika dua peristiwa adalah satu-satunya yang mungkin dan tidak kompatibel, maka keduanya disebut berlawanan dan dilambangkan A Dan . Peristiwa-peristiwa tersebut membentuk suatu kelompok yang lengkap, sehingga jumlah probabilitasnya selalu sama dengan satu:

R(A)+ R() = 1. (6)

Contoh 7. Biarkan R(A) – kemungkinan kematian akibat penyakit tertentu; itu diketahui dan sama dengan 2%. Maka kemungkinan keberhasilan penyakit ini adalah 98% ( R() = 1 – R(A) = 0,98), karena R(A) + R() = 1.

1.3.2. Peristiwa acak yang independen. Teorema perkalian probabilitas

Peristiwa acak disebut independen jika terjadinya salah satu peristiwa tersebut sama sekali tidak mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa lainnya.

Contoh 1 . Jika ada dua guci atau lebih yang berisi bola berwarna, maka pengambilan bola apa pun dari satu guci tidak akan mempengaruhi kemungkinan terambilnya bola lain dari guci yang tersisa.

Untuk event independen memang benar adanya teorema perkalian probabilitas: probabilitas gabungan(serentak)terjadinya beberapa kejadian acak yang independen sama dengan hasil kali probabilitasnya:

P(A1 dan A2 dan A3 ... dan Ak) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(Ak). (7)

Terjadinya peristiwa secara bersama-sama (simultan) berarti terjadinya peristiwa dan A1, Dan A2, Dan A3… Dan Ak .

Contoh 2 . Ada dua guci. Satu berisi 2 bola hitam dan 8 bola putih, satu lagi berisi 6 bola hitam dan 4 bola putih. Biarkan acaranya A-memilih bola putih secara acak dari guci pertama, DI DALAM- dari yang kedua. Berapa peluang terambilnya sebuah bola putih secara acak dari guci-guci ini pada saat yang bersamaan, yaitu berapa sama dengan R (A Dan DI DALAM)?

Larutan: peluang terambilnya bola putih dari guci pertama
R(A) = = 0,8 dari detik – R(DI DALAM) = = 0,4. Peluang terambilnya bola putih dari kedua guci secara bersamaan adalah
R(A Dan DI DALAM) = R(A)· R(DI DALAM) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Contoh 3: Pola makan rendah yodium menyebabkan pembesaran kelenjar tiroid pada 60% hewan dalam populasi besar. Untuk percobaannya diperlukan 4 kelenjar yang diperbesar. Tentukan peluang terambilnya 4 hewan yang dipilih secara acak mempunyai kelenjar tiroid yang membesar.

Larutan: Peristiwa acak A– pemilihan acak hewan dengan kelenjar tiroid yang membesar. Menurut kondisi permasalahan, kemungkinan terjadinya kejadian tersebut R(A) = 0,6 = 60%. Maka peluang terjadinya gabungan empat kejadian independen - pemilihan acak 4 hewan dengan kelenjar tiroid yang membesar - akan sama dengan:

R(A 1 dan A 2 dan A 3 dan A 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. Peristiwa yang bergantung. Teorema perkalian peluang untuk kejadian tak bebas

Peristiwa acak A dan B disebut dependen jika terjadinya salah satu peristiwa tersebut, misalnya A, mengubah peluang terjadinya peristiwa lain, B. Oleh karena itu, dua nilai probabilitas digunakan untuk kejadian dependen: probabilitas tanpa syarat dan bersyarat .

Jika A Dan DI DALAM peristiwa yang bergantung, maka peluang terjadinya peristiwa tersebut DI DALAM pertama (yaitu sebelum acara A) disebut tak bersyarat kemungkinan acara ini ditunjuk R(DI DALAM). Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa DI DALAM asalkan acara tersebut A sudah terjadi, itu disebut probabilitas bersyarat acara DI DALAM dan ditunjuk R(DI DALAM/A) atau RA(DI DALAM).

Tanpa syarat - R(A) dan bersyarat – R(A/B) probabilitas suatu kejadian A.

Teorema perkalian peluang untuk dua kejadian tak terikat: peluang terjadinya dua kejadian tak terikat A dan B secara simultan sama dengan hasil kali peluang tak bersyarat kejadian pertama dan peluang bersyarat kejadian kedua:

R(A dan B)= hal(A)∙P(V/A) , (8)

A, atau

R(A dan B)= hal(DI DALAM)∙P(A/B), (9)

jika peristiwa itu terjadi terlebih dahulu DI DALAM.

Contoh 1. Ada 3 bola hitam dan 7 bola putih di dalam sebuah guci. Tentukan peluang terambilnya 2 bola putih dari guci ini satu demi satu (tanpa bola pertama dikembalikan ke guci).

Larutan: peluang terambilnya bola putih pertama (event A) sama dengan 7/10. Setelah dikeluarkan, tersisa 9 bola di dalam guci, 6 diantaranya berwarna putih. Maka peluang munculnya bola putih kedua (kejadian DI DALAM) adalah sama dengan R(DI DALAM/A) = 6/9, dan peluang terambilnya dua bola putih berturut-turut adalah

R(A Dan DI DALAM) = R(A)∙R(DI DALAM/A) = = 0,47 = 47%.

Teorema yang diberikan untuk mengalikan probabilitas kejadian dependen dapat digeneralisasikan ke sejumlah kejadian apa pun. Khusus untuk tiga peristiwa yang berkaitan satu sama lain:

R(A Dan DI DALAM Dan DENGAN)= hal(A)∙ R(V/A)∙ R(S/AB). (10)

Contoh 2. Wabah penyakit menular terjadi di dua taman kanak-kanak yang masing-masing dihadiri 100 anak. Proporsi pasien masing-masing adalah 1/5 dan 1/4, dan di institusi pertama 70%, dan di institusi kedua - 60% pasien - anak di bawah usia 3 tahun. Satu anak dipilih secara acak. Tentukan peluang bahwa:

1) anak yang dipilih termasuk dalam taman kanak-kanak pertama (acara A) dan sakit (acara DI DALAM).

2) seorang anak dari taman kanak-kanak kedua dipilih (acara DENGAN), sakit (peristiwa D) dan lebih tua dari 3 tahun (acara E).

Larutan. 1) probabilitas yang diperlukan –

R(A Dan DI DALAM) = R(A) ∙ R(DI DALAM/A) = = 0,1 = 10%.

2) probabilitas yang diperlukan:

R(DENGAN Dan D Dan E) = R(DENGAN) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

1.4. rumus Bayes

Jika kemungkinan terjadinya kejadian-kejadian dependen secara bersamaan A Dan DI DALAM tidak bergantung pada urutan kemunculannya R(A Dan DI DALAM)= hal(A)∙P(V/A)= hal(DI DALAM) × R(A/B). Dalam hal ini, peluang bersyarat dari salah satu kejadian dapat dicari dengan mengetahui peluang kedua kejadian dan peluang bersyarat dari kejadian kedua:

R(V/A) = (11)

Generalisasi rumus ini untuk kasus banyak kejadian adalah rumus Bayes.

Membiarkan " N» kejadian acak yang tidak kompatibel H1, H2, …, HN, membentuk kelompok acara yang lengkap. Kemungkinan kejadian-kejadian ini adalah R(H1), R(H2), …, R(NN) diketahui dan karena membentuk grup lengkap, maka = 1.

Beberapa peristiwa acak A berkaitan dengan peristiwa H1, H2, …, HN, dan probabilitas bersyarat terjadinya peristiwa tersebut diketahui A dengan setiap peristiwanya NSaya, yaitu diketahui R(A/H1), R(A/H2), …, R(SEBUAHN). Dalam hal ini, jumlah probabilitas bersyarat R(SEBUAHSaya) mungkin tidak sama dengan kesatuan, mis. ≠ 1.

Kemudian probabilitas bersyarat dari terjadinya peristiwa tersebut NSaya ketika suatu peristiwa terwujud A(yaitu, asalkan acara tersebut A terjadi) ditentukan oleh rumus Bayes :

Apalagi untuk probabilitas bersyarat tersebut .

Rumus Bayes telah diterapkan secara luas tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam kedokteran. Misalnya, digunakan untuk menghitung kemungkinan penyakit tertentu. Jadi jika N 1,…, NN– diagnosis yang diharapkan untuk pasien ini, A– beberapa tanda yang terkait dengannya (gejala, indikator tertentu dari tes darah, tes urin, detail rontgen, dll.), dan probabilitas bersyarat R(SEBUAHSaya) manifestasi gejala ini pada setiap diagnosis NSaya (Saya = 1,2,3,…N) diketahui sebelumnya, maka rumus Bayes (12) memungkinkan kita menghitung probabilitas bersyarat suatu penyakit (diagnosis) R(NSaya/A) setelah ditetapkan ciri cirinya A hadir pada pasien.

Contoh 1. Selama pemeriksaan awal pasien, 3 diagnosis diasumsikan N 1, N 2, N 3. Probabilitasnya, menurut dokter, didistribusikan sebagai berikut: R(N 1) = 0,5; R(N 2) = 0,17; R(N 3) = 0,33. Oleh karena itu, diagnosis pertama tampaknya paling mungkin untuk sementara. Untuk memperjelasnya, misalnya, tes darah ditentukan, yang diharapkan terjadi peningkatan ESR (peristiwa A). Telah diketahui sebelumnya (berdasarkan hasil penelitian) bahwa kemungkinan peningkatan ESR pada dugaan penyakit adalah sama:

R(A/N 1) = 0,1; R(A/N 2) = 0,2; R(A/N 3) = 0,9.

Analisis yang dihasilkan mencatat adanya peningkatan ESR (event A telah terjadi). Kemudian perhitungan menggunakan rumus Bayes (12) memberikan probabilitas penyakit yang diharapkan dengan peningkatan nilai ESR: R(N 1/A) = 0,13; R(N 2/A) = 0,09;
R(N 3/A) = 0,78. Angka-angka ini menunjukkan bahwa, dengan mempertimbangkan data laboratorium, yang paling realistis bukanlah diagnosis pertama, melainkan diagnosis ketiga, yang kemungkinannya kini cukup tinggi.

Contoh di atas adalah ilustrasi paling sederhana tentang bagaimana, dengan menggunakan rumus Bayes, Anda dapat memformalkan logika dokter saat membuat diagnosis dan, berkat ini, menciptakan metode diagnostik komputer.

Contoh 2. Tentukan probabilitas yang memperkirakan tingkat risiko kematian anak perinatal* pada wanita dengan panggul yang secara anatomis sempit.

Larutan: biarkan acara tersebut N 1 – kelahiran yang sukses. Menurut laporan klinis, R(N 1) = 0,975 = 97,5%, maka jika H2– fakta kematian perinatal, kalau begitu R(N 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Mari kita tunjukkan A– fakta bahwa wanita yang bersalin memiliki panggul yang sempit. Dari penelitian yang dilakukan kita mengetahui: a) R(A/N 1) – kemungkinan panggul sempit selama persalinan yang menguntungkan, R(A/N 1) = 0,029, b) R(A/N 2) – kemungkinan panggul sempit dengan kematian perinatal,
R(A/N 2) = 0,051. Kemudian peluang kematian perinatal yang diinginkan pada wanita bersalin dengan panggul sempit dihitung dengan menggunakan rumus Bays (12) dan sama dengan:

Dengan demikian, risiko kematian perinatal pada panggul yang secara anatomis sempit secara signifikan lebih tinggi (hampir dua kali lipat) dibandingkan risiko rata-rata (4,4% berbanding 2,5%).

Perhitungan seperti itu, biasanya dilakukan dengan menggunakan komputer, mendasari metode pembentukan kelompok pasien dengan peningkatan risiko terkait dengan adanya faktor yang memberatkan tertentu.

Rumus Bayes sangat berguna untuk menilai banyak situasi medis dan biologis lainnya, yang akan menjadi jelas ketika memecahkan masalah yang diberikan dalam manual ini.

1.5. Tentang kejadian acak dengan probabilitas mendekati 0 atau 1

Ketika memecahkan banyak masalah praktis, kita harus menghadapi kejadian yang probabilitasnya sangat kecil, yaitu mendekati nol. Berdasarkan pengalaman mengenai peristiwa-peristiwa tersebut, prinsip berikut telah diadopsi. Jika suatu kejadian acak mempunyai probabilitas yang sangat rendah, maka secara praktis kita dapat berasumsi bahwa kejadian tersebut tidak akan terjadi dalam satu pengujian, dengan kata lain kemungkinan terjadinya dapat diabaikan. Jawaban atas pertanyaan seberapa kecil kemungkinan ini ditentukan oleh esensi masalah yang dipecahkan dan seberapa penting hasil prediksi bagi kita. Misalnya, jika peluang parasut tidak terbuka saat melompat adalah 0,01, maka penggunaan parasut tersebut tidak dapat diterima. Namun, probabilitas 0,01 yang sama bahwa kereta api jarak jauh akan datang terlambat membuat kita hampir yakin bahwa kereta tersebut akan tiba tepat waktu.

Probabilitas yang cukup kecil dimana (dalam suatu masalah spesifik tertentu) suatu peristiwa dapat dianggap mustahil secara praktis disebut tingkat signifikansi. Dalam prakteknya, tingkat signifikansi biasanya diambil sama dengan 0,01 (tingkat signifikansi satu persen) atau 0,05 (tingkat signifikansi lima persen), apalagi diambil sama dengan 0,001.

Pengenalan tingkat signifikansi memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa suatu peristiwa A hampir mustahil, maka kejadian sebaliknya - praktis dapat diandalkan, yaitu untuk dia R() » 1.

BabII. VARIABEL ACAK

2.1. Variabel acak, tipenya

Dalam matematika, besaran adalah nama umum untuk berbagai sifat kuantitatif suatu benda dan fenomena. Panjang, luas, suhu, tekanan, dll adalah contoh besaran yang berbeda.

Kuantitas yang berbeda-beda nilai numerik di bawah pengaruh keadaan acak disebut variabel acak. Contoh variabel acak: jumlah pasien pada janji dengan dokter; dimensi yang tepat dari organ dalam manusia, dll.

Bedakan antara variabel acak diskrit dan kontinu .

Suatu variabel acak disebut diskrit jika hanya mengambil nilai-nilai tertentu yang berbeda yang dapat diidentifikasi dan dihitung.

Contoh variabel acak diskrit adalah:

– jumlah siswa yang hadir – hanya boleh bilangan bulat positif: 0,1,2,3,4….. 20…..;

– angka yang muncul di bagian atas saat melempar dadu – hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat dari 1 sampai 6;

– frekuensi relatif mengenai sasaran dengan 10 tembakan – nilainya: 0; 0,1; 0,2; 0,3…1

– jumlah kejadian yang terjadi dalam periode waktu yang sama: detak jantung, jumlah panggilan ambulans per jam, jumlah operasi per bulan yang berakibat fatal, dll.

Suatu variabel acak disebut kontinu jika dapat mengambil nilai apa pun dalam interval tertentu, yang terkadang mempunyai batasan yang jelas dan terkadang tidak.*. Variabel acak kontinu antara lain berat badan dan tinggi badan orang dewasa, berat badan dan volume otak, kandungan kuantitatif enzim pada orang sehat, ukuran sel darah, R N darah, dll.

Konsep variabel acak memainkan peran penting dalam teori probabilitas modern, yang telah mengembangkan teknik khusus untuk transisi dari kejadian acak ke variabel acak.

Jika variabel acak bergantung pada waktu, maka kita dapat membicarakan proses acak.

2.2. Hukum distribusi variabel acak diskrit

Untuk memberikan gambaran lengkap tentang variabel acak diskrit, perlu untuk menunjukkan semua nilai yang mungkin dan probabilitasnya.

Kesesuaian antara nilai yang mungkin dari suatu variabel acak diskrit dan probabilitasnya disebut hukum distribusi variabel tersebut.

Mari kita nyatakan nilai yang mungkin dari variabel acak X melalui XSaya, dan probabilitas yang sesuai – melalui RSaya *. Kemudian hukum distribusi suatu variabel acak diskrit dapat ditentukan dengan tiga cara: dalam bentuk tabel, grafik atau rumus.

Dalam tabel yang disebut deret distribusi, mencantumkan semua kemungkinan nilai dari variabel acak diskrit X dan probabilitas yang sesuai R(X):

X

…..

…..

P(X)

…..

…..

Dalam hal ini, jumlah semua probabilitas RSaya harus sama dengan kesatuan (kondisi normalisasi):

RSaya = P1 + P2 + ... + hal = 1. (13)

Secara grafis hukum tersebut diwakili oleh garis putus-putus, yang biasa disebut poligon distribusi (Gbr. 1). Di sini, semua kemungkinan nilai variabel acak diplot sepanjang sumbu horizontal XSaya, , dan sepanjang sumbu vertikal – probabilitas yang sesuai RSaya

Secara analitis hukum dinyatakan dengan rumus. Misalnya, jika kemungkinan mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah R, maka peluang mengenai sasaran 1 kali pada N tembakan diberikan oleh rumus R(N) = N qn-1 × P, Di mana Q= 1 – hal– kemungkinan meleset dengan satu tembakan.

2.3. Hukum distribusi variabel acak kontinu. Fungsi kepadatan probabilitas

Untuk variabel acak kontinu, tidak mungkin menerapkan hukum distribusi dalam bentuk yang diberikan di atas, karena variabel tersebut memiliki kumpulan nilai yang mungkin tak terhitung (“tak terhitung”) yang memenuhi interval tertentu. Oleh karena itu, tidak mungkin membuat tabel yang mencantumkan semua kemungkinan nilai, atau membuat poligon distribusi. Selain itu, probabilitas nilai tertentu sangat kecil (mendekati 0)*. Pada saat yang sama, daerah (interval) yang berbeda dari nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak memiliki kemungkinan yang sama. Jadi, dalam hal ini juga berlaku hukum distribusi tertentu, meskipun tidak dalam pengertian sebelumnya.

Pertimbangkan variabel acak kontinu X, nilai yang mungkin memenuhi interval tertentu (A, B)**. Hukum distribusi probabilitas dari nilai tersebut harus memungkinkan untuk menemukan probabilitas nilainya jatuh ke dalam interval tertentu ( x1, x2), berbaring di dalam ( A,B), Gambar.2.

Probabilitas ini dilambangkan R(x1< Х < х2 ), atau
R(x1£ X£ x2).

Mari kita pertimbangkan rentang nilai yang sangat kecil terlebih dahulu X- dari X sebelum ( x+DX); lihat Gambar.2. Kemungkinannya rendah DR itu variabel acak X akan mengambil beberapa nilai dari interval ( x, x+DX), akan sebanding dengan ukuran interval ini DX:DR~ DX, atau dengan memperkenalkan koefisien proporsionalitas F, yang mungkin bergantung padanya X, kita mendapatkan:

DP =F(X) × D x =F(X) × dx (14)

Fungsi yang diperkenalkan di sini F(X) disebut kepadatan distribusi probabilitas variabel acak X, atau, singkatnya, kepadatan probabilitas, kepadatan distribusi. Persamaan (13) merupakan persamaan diferensial yang penyelesaiannya memberikan peluang untuk mendapatkan nilai tersebut X dalam interval ( x1,x2):

R(x1<X<x2) = F(X) DX. (15)

Probabilitas secara grafis R(x1<X<x2) sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh sumbu absis kurva F(X) dan lurus X = x1 dan X = x2(Gbr. 3). Hal ini mengikuti arti geometri dari kurva integral tertentu (15). F(X) disebut kurva distribusi.

Dari (15) berikut ini jika fungsinya diketahui F(X), kemudian, dengan mengubah batas integrasi, kita dapat mencari probabilitas untuk setiap interval yang kita minati. Oleh karena itu, ini adalah tugas dari fungsi tersebut F(X) sepenuhnya menentukan hukum distribusi variabel acak kontinu.

Untuk kepadatan probabilitas F(X) kondisi normalisasi harus dipenuhi dalam bentuk:

F(X) Dx = 1, (16)

jika diketahui semua nilai X terletak pada interval ( A,B), atau dalam bentuk:

F(X) Dx = 1, (17)

jika batas interval untuk nilai X pasti tidak pasti. Kondisi untuk menormalkan kepadatan probabilitas (16) atau (17) adalah konsekuensi dari fakta bahwa nilai-nilai variabel acak X andal terletak di dalam ( A,B) atau (-¥, +¥). Dari (16) dan (17) maka luas bangun yang dibatasi kurva distribusi dan sumbu x selalu sama dengan 1 .

2.4. Karakteristik numerik dasar dari variabel acak

Hasil yang disajikan pada paragraf 2.2 dan 2.3 menunjukkan bahwa gambaran lengkap tentang variabel acak diskrit dan kontinu dapat diperoleh dengan mengetahui hukum distribusinya. Namun, dalam banyak situasi yang secara praktis signifikan, apa yang disebut karakteristik numerik dari variabel acak digunakan; tujuan utama dari karakteristik ini adalah untuk menyatakan secara ringkas ciri-ciri paling signifikan dari distribusi variabel acak. Penting bahwa parameter ini mewakili nilai spesifik (konstan) yang dapat dinilai menggunakan data yang diperoleh dari eksperimen. Estimasi ini ditangani oleh “Statistik Deskriptif”.

Dalam teori probabilitas dan statistik matematika, cukup banyak karakteristik berbeda yang digunakan, namun kami hanya akan mempertimbangkan karakteristik yang paling sering digunakan. Selain itu, hanya untuk beberapa dari mereka kami akan menyajikan rumus yang digunakan untuk menghitung nilainya, dalam kasus lain, kami akan menyerahkan penghitungannya ke komputer.

Mari kita pertimbangkan karakteristik posisi – ekspektasi matematis, modus, median.

Mereka mencirikan posisi variabel acak pada sumbu bilangan , yaitu, mereka menunjukkan beberapa nilai perkiraan di mana semua kemungkinan nilai variabel acak dikelompokkan. Diantaranya, peran terpenting dimainkan oleh ekspektasi matematis M(X).

AKADEMI EKONOMI NASIONAL DAN PELAYANAN PUBLIK RUSIA di bawah PRESIDEN FEDERASI RUSIA

CABANG ORYOL

Departemen Sosiologi dan Teknologi Informasi

Perhitungan khas No.1

dalam disiplin "Teori Probabilitas dan Statistik Matematika"

dengan topik “Dasar-dasar teori probabilitas”

Elang - 2016.

Tujuan pekerjaan: konsolidasi pengetahuan teoritis tentang topik dasar-dasar teori probabilitas dengan memecahkan masalah standar. Menguasai konsep jenis-jenis utama kejadian acak dan mengembangkan keterampilan operasi aljabar pada kejadian.

Persyaratan pendaftaran kerja: karya dibuat dalam bentuk tulisan tangan, karya harus memuat semua penjelasan dan kesimpulan yang diperlukan, rumus harus memuat penguraian notasi yang diterima, halaman harus diberi nomor.

Nomor opsi sesuai dengan nomor urut siswa dalam daftar kelompok.

Informasi teoritis dasar

Teori probabilitas– cabang matematika yang mempelajari pola fenomena acak.

Konsep suatu acara. Klasifikasi peristiwa.

Salah satu konsep dasar teori probabilitas adalah konsep suatu peristiwa. Acara ditunjukkan dengan huruf kapital Latin A, DI DALAM, DENGAN,…

Peristiwa adalah kemungkinan hasil (outcome) dari suatu pengujian atau percobaan.

Pengujian mengacu pada tindakan apa pun yang bertujuan.

Contoh : Penembak menembak sasaran. Tembakan adalah sebuah ujian, mengenai sasaran adalah sebuah peristiwa.

Peristiwa tersebut dinamakan acak , jika dalam kondisi percobaan tertentu hal ini dapat terjadi atau tidak terjadi.

Contoh : Menembak pistol - ujian

Menangis. A- mencapai sasaran,

Menangis. DI DALAM– ketinggalan – kejadian acak.

Peristiwa tersebut dinamakan dapat diandalkan , jika sebagai akibat dari ujian itu pasti terjadi.

Contoh : Maksimal 6 poin saat melempar dadu.

Peristiwa tersebut dinamakan mustahil , jika dalam kondisi percobaan tertentu hal itu tidak dapat terjadi sama sekali.

Contoh : Melemparkan lebih dari 6 poin saat melempar dadu.

Peristiwa tersebut disebut tidak kompatibel , jika terjadinya salah satu di antaranya meniadakan kemungkinan terjadinya yang lain. Kalau tidak, peristiwa-peristiwa itu disebut bersama.

Contoh : Sebuah dadu dilempar. Menggulirkan 5 poin menghilangkan menggulirkan 6 poin. Ini adalah peristiwa yang tidak sejalan. Seorang siswa yang memperoleh nilai “baik” dan “sangat baik” dalam ujian di dua disiplin ilmu yang berbeda merupakan suatu peristiwa bersama.

Dua peristiwa yang tidak kompatibel, yang mana salah satunya pasti terjadi, disebut di depan . Peristiwa yang berlawanan dengan peristiwa A menunjukkan Ā .

Contoh : Munculnya “lambang” dan munculnya “ekor” pada pelemparan uang logam merupakan kejadian yang berlawanan.

Beberapa peristiwa dalam percobaan ini disebut sama mungkinnya , jika ada alasan untuk percaya bahwa tidak satu pun dari peristiwa ini yang lebih mungkin terjadi dibandingkan peristiwa lainnya.

Contoh : menggambar kartu as, sepuluh, ratu dari setumpuk kartu - kejadian yang sama kemungkinannya.

Beberapa peristiwa terbentuk kelompok penuh , jika satu dan hanya satu dari kejadian tersebut pasti terjadi sebagai akibat dari pengujian tersebut.

Contoh : Melemparkan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 pada saat pelemparan sebuah dadu.

Definisi klasik tentang probabilitas suatu peristiwa. Sifat Probabilitas

Untuk kegiatan praktek, penting untuk dapat membandingkan peristiwa-peristiwa menurut besarnya kemungkinan terjadinya.

Kemungkinan Peristiwa adalah ukuran numerik tingkat kemungkinan obyektif terjadinya suatu peristiwa.

Mari kita menelepon hasil dasar masing-masing hasil tes yang mungkin sama.

Hasilnya disebut baik peristiwa (yang menguntungkan). A, jika kemunculannya menyebabkan terjadinya suatu peristiwa A.

Definisi klasik : kemungkinan suatu kejadian A sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk suatu peristiwa tertentu dengan jumlah total hasil yang mungkin terjadi.

(1)dimana P(A) – kemungkinan suatu kejadian A,

M– jumlah hasil yang menguntungkan,

N– jumlah semua hasil yang mungkin.

Contoh : Ada 1000 tiket dalam lotere, 700 di antaranya tidak menang. Berapa peluang menang pada satu tiket yang dibeli?

Peristiwa A– tiket pemenang dibeli

Jumlah kemungkinan hasil N=1000 adalah jumlah total tiket dalam lotere.

Jumlah hasil yang menguntungkan acara tersebut A– adalah jumlah tiket yang menang, yaitu, M=1000-700=300.

Menurut definisi klasik tentang probabilitas:

Menjawab:
.

Catatan properti probabilitas peristiwa:

1) Peluang suatu kejadian terletak antara nol dan satu, yaitu. 0≤ P(A)≤1.

2) Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan adalah 1.

3) Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah 0.

Selain definisi klasik, ada juga definisi probabilitas secara geometris dan statistik.

Elemen kombinatorik.

Untuk menghitung jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa yang sedang dipertimbangkan atau jumlah total hasil, rumus kombinatorik banyak digunakan.

Biarkan satu set diberikan N dari N berbagai elemen.

Definisi 1: Kombinasi, yang masing-masing mencakup segalanya N unsur-unsur dan yang berbeda satu sama lain hanya dalam urutan unsur-unsurnya disebut permutasi dari N elemen.

P N=N! (2), dimana N! (N-faktorial) – produk N bilangan pertama deret natural, mis.

N! = 1∙2∙3∙…∙(N–1)∙N

Jadi, misalnya, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

Definisi 2: M elemen ( M≤N) dan berbeda satu sama lain baik dalam komposisi unsur-unsurnya atau urutannya disebut penempatan dari N Oleh M elemen.

(3) 
Definisi 3: Kombinasi yang masing-masing berisi M elemen ( M≤N) dan berbeda satu sama lain hanya pada susunan unsurnya saja yang disebut kombinasi dari N Oleh M elemen.

(4)
Komentar: mengubah urutan elemen dalam satu kombinasi tidak menghasilkan kombinasi baru.

Mari kita rumuskan dua aturan penting yang sering digunakan ketika menyelesaikan masalah kombinatorial

Aturan penjumlahan: jika objek A dapat dipilih M cara, dan objeknya DI DALAM – N cara, maka pilihannya adalah salah satu A atau DI DALAM dapat diimplementasikan M+N cara.

Aturan produk: jika objek A dapat dipilih M cara, dan objeknya DI DALAM setelah setiap pilihan seperti itu, Anda dapat memilih N cara, lalu sepasang benda A Dan DI DALAM dapat dipilih sesuai urutan yang ditampilkan M ∙ N cara.

Tidak mungkin banyak orang memikirkan apakah mungkin untuk menghitung peristiwa yang kurang lebih acak. Secara sederhana, apakah mungkin untuk mengetahui sisi kubus mana yang akan muncul selanjutnya? Pertanyaan inilah yang ditanyakan oleh dua ilmuwan besar yang meletakkan dasar bagi ilmu pengetahuan seperti teori probabilitas, di mana probabilitas suatu peristiwa dipelajari secara ekstensif.

Asal

Jika Anda mencoba mendefinisikan konsep seperti teori probabilitas, Anda akan mendapatkan yang berikut: ini adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari keteguhan kejadian acak. Tentu saja konsep ini tidak terlalu mengungkapkan esensinya secara keseluruhan, sehingga perlu dikaji lebih detail.

Saya ingin memulai dengan pencipta teori ini. Seperti disebutkan di atas, ada dua di antaranya, dan mereka adalah salah satu orang pertama yang mencoba menghitung hasil suatu peristiwa tertentu dengan menggunakan rumus dan perhitungan matematis. Secara umum, awal mula ilmu ini muncul pada Abad Pertengahan. Saat itu, berbagai pemikir dan ilmuwan mencoba menganalisis permainan judi, seperti roulette, craps, dan sebagainya, sehingga dapat menetapkan pola dan persentase keluarnya suatu angka tertentu. Fondasinya diletakkan pada abad ketujuh belas oleh para ilmuwan yang disebutkan di atas.

Pada awalnya, karya-karya mereka belum bisa dianggap sebagai prestasi besar di bidang ini, karena yang mereka lakukan hanyalah fakta empiris, dan eksperimen dilakukan secara visual, tanpa menggunakan rumus. Seiring waktu, dimungkinkan untuk mencapai hasil luar biasa yang muncul sebagai hasil pengamatan pelemparan dadu. Alat inilah yang membantu memperoleh rumus pertama yang dapat dipahami.

Orang-orang yang berpikiran sama

Mustahil untuk tidak menyebut orang seperti Christiaan Huygens dalam proses mempelajari topik yang disebut “teori probabilitas” (probabilitas suatu peristiwa justru tercakup dalam ilmu ini). Orang ini sangat menarik. Ia, seperti para ilmuwan yang dikemukakan di atas, mencoba menurunkan pola kejadian acak dalam bentuk rumus matematika. Patut dicatat bahwa dia tidak melakukan ini bersama dengan Pascal dan Fermat, yaitu semua karyanya tidak bersinggungan dengan pemikiran ini. Huygens menyimpulkan

Fakta menariknya, karyanya muncul jauh sebelum hasil karya para penemunya, atau tepatnya dua puluh tahun sebelumnya. Di antara konsep yang teridentifikasi, yang paling terkenal adalah:

• konsep probabilitas sebagai nilai peluang;
• ekspektasi matematis untuk kasus-kasus diskrit;
• teorema perkalian dan penjumlahan probabilitas.

Juga tidak mungkin untuk tidak mengingat siapa yang juga memberikan kontribusi signifikan terhadap kajian masalah ini. Dengan melakukan pengujiannya sendiri, tanpa bergantung pada siapa pun, ia mampu menyajikan bukti hukum bilangan besar. Pada gilirannya, ilmuwan Poisson dan Laplace, yang bekerja pada awal abad kesembilan belas, mampu membuktikan teorema aslinya. Sejak saat inilah teori probabilitas mulai digunakan untuk menganalisis kesalahan dalam observasi. Ilmuwan Rusia, atau lebih tepatnya Markov, Chebyshev dan Dyapunov, tidak bisa mengabaikan ilmu ini. Berdasarkan pekerjaan yang dilakukan oleh para jenius besar, mereka menetapkan mata pelajaran ini sebagai salah satu cabang matematika. Angka-angka ini sudah berhasil pada akhir abad kesembilan belas, dan berkat kontribusinya, fenomena berikut terbukti:

• hukum jumlah besar;
• teori rantai Markov;
• teorema limit pusat.

Jadi, dengan sejarah lahirnya ilmu pengetahuan dan dengan orang-orang utama yang mempengaruhinya, semuanya kurang lebih jelas. Sekarang waktunya telah tiba untuk mengklarifikasi semua fakta.

Konsep dasar

Sebelum membahas hukum dan teorema, ada baiknya mempelajari konsep dasar teori probabilitas. Acara ini memainkan peran utama di dalamnya. Topik ini cukup banyak, tetapi tanpanya tidak mungkin memahami segala hal lainnya.

Peristiwa dalam teori probabilitas adalah serangkaian hasil eksperimen. Ada beberapa konsep tentang fenomena ini. Oleh karena itu, ilmuwan Lotman, yang bekerja di bidang ini, mengatakan bahwa dalam kasus ini kita berbicara tentang apa yang “terjadi, meskipun hal itu mungkin tidak terjadi”.

Peristiwa acak (teori probabilitas memberikan perhatian khusus pada peristiwa tersebut) adalah konsep yang secara mutlak menyiratkan setiap fenomena yang mempunyai peluang untuk terjadi. Atau sebaliknya, skenario ini mungkin tidak akan terjadi jika banyak syarat terpenuhi. Perlu juga diketahui bahwa peristiwa acaklah yang menangkap seluruh volume fenomena yang telah terjadi. Teori probabilitas menunjukkan bahwa semua kondisi dapat berulang secara konstan. Tingkah laku mereka itulah yang disebut “pengalaman” atau “ujian”.

Peristiwa yang dapat diandalkan adalah fenomena yang kemungkinannya seratus persen terjadi dalam suatu pengujian tertentu. Oleh karena itu, peristiwa yang mustahil adalah peristiwa yang tidak akan terjadi.

Kombinasi dari sepasang tindakan (dengan syarat kasus A dan kasus B) merupakan fenomena yang terjadi secara bersamaan. Mereka ditunjuk sebagai AB.

Jumlah pasangan kejadian A dan B adalah C, dengan kata lain jika terjadi paling sedikit salah satu diantaranya (A atau B), maka diperoleh C. Rumus fenomena yang dijelaskan ditulis sebagai berikut: C = A + B.

Peristiwa yang tidak selaras dalam teori probabilitas menyiratkan bahwa dua kasus saling eksklusif. Dalam situasi apa pun hal itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Peristiwa gabungan dalam teori probabilitas adalah antipodenya. Yang dimaksud di sini adalah jika A terjadi, maka tidak mencegah B sama sekali.

Peristiwa yang berlawanan (teori probabilitas mempertimbangkannya dengan sangat rinci) mudah dipahami. Cara terbaik untuk memahaminya adalah dengan membandingkannya. Peristiwa tersebut hampir sama dengan peristiwa yang tidak sesuai dalam teori probabilitas. Namun perbedaannya terletak pada kenyataan bahwa salah satu dari banyak fenomena pasti terjadi.

Kejadian yang sama kemungkinannya adalah kejadian yang pengulangannya sama. Untuk membuatnya lebih jelas, Anda dapat membayangkan melempar koin: kehilangan salah satu sisinya kemungkinan besar akan jatuh pada sisi lainnya.

Lebih mudah untuk mempertimbangkan peristiwa yang menguntungkan dengan sebuah contoh. Katakanlah ada episode B dan episode A. Yang pertama adalah pelemparan dadu yang muncul angka ganjil, dan yang kedua adalah munculnya angka lima pada dadu. Lalu ternyata A memihak B.

Peristiwa independen dalam teori probabilitas hanya diproyeksikan ke dua kasus atau lebih dan menyiratkan independensi tindakan apa pun dari kasus lain. Misalnya, A adalah hilangnya kepala saat melempar koin, dan B adalah terambilnya dongkrak dari geladak. Itu adalah peristiwa independen dalam teori probabilitas. Pada titik ini semuanya menjadi lebih jelas.

Peristiwa yang saling bergantung dalam teori probabilitas juga hanya diperbolehkan untuk sekumpulan peristiwa tersebut. Hal ini menyiratkan ketergantungan satu sama lain, yaitu fenomena B hanya dapat terjadi jika A sudah terjadi atau sebaliknya belum terjadi, bila hal ini merupakan syarat utama bagi B.

Hasil percobaan acak yang terdiri dari satu komponen adalah kejadian-kejadian elementer. Teori probabilitas menjelaskan bahwa fenomena ini hanya terjadi satu kali saja.

Rumus dasar

Jadi, konsep "peristiwa" dan "teori probabilitas" telah dibahas di atas, dan definisi istilah dasar ilmu ini juga diberikan. Sekarang saatnya berkenalan langsung dengan rumus-rumus penting tersebut. Ekspresi ini secara matematis mengkonfirmasi semua konsep utama dalam subjek yang kompleks seperti teori probabilitas. Kemungkinan suatu peristiwa juga memainkan peran besar di sini.

Lebih baik memulai dengan yang dasar, dan sebelum memulainya, ada baiknya mempertimbangkan apa itu.

Kombinatorik pada dasarnya adalah cabang matematika; ia berkaitan dengan studi tentang sejumlah besar bilangan bulat, serta berbagai permutasi dari bilangan itu sendiri dan elemennya, berbagai data, dll., yang mengarah pada munculnya sejumlah kombinasi. Selain teori probabilitas, cabang ini penting untuk statistik, ilmu komputer, dan kriptografi.

Nah, sekarang kita lanjut ke pemaparan rumus-rumus itu sendiri beserta definisinya.

Yang pertama adalah ekspresi jumlah permutasi, tampilannya seperti ini:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Persamaan tersebut diterapkan hanya jika unsur-unsurnya hanya berbeda dalam urutan susunannya.

Sekarang rumus penempatannya akan diperhatikan, tampilannya seperti ini:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ungkapan ini berlaku tidak hanya pada urutan penempatan suatu unsur, tetapi juga pada komposisinya.

Persamaan ketiga dari kombinatorik, dan juga yang terakhir, disebut rumus banyaknya kombinasi:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :M!

Kombinasi mengacu pada pilihan yang tidak diurutkan; oleh karena itu, aturan ini berlaku untuk pilihan tersebut.

Memahami rumus kombinatorik itu mudah; sekarang Anda dapat beralih ke definisi klasik tentang probabilitas. Ungkapan ini terlihat seperti ini:

Dalam rumus ini, m adalah banyaknya kondisi yang mendukung kejadian A, dan n adalah banyaknya semua kemungkinan hasil yang sama dan elementer.

Ada banyak ekspresi; artikel ini tidak akan membahas semuanya, tetapi yang paling penting akan disinggung, seperti, misalnya, probabilitas jumlah kejadian:

P(A + B) = P(A) + P(B) - teorema ini hanya untuk menjumlahkan kejadian yang tidak kompatibel;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - dan yang ini hanya untuk menambahkan yang kompatibel.

Kemungkinan terjadinya peristiwa:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - teorema ini untuk kejadian bebas;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - dan yang ini untuk tanggungan.

Daftar kejadian akan dilengkapi dengan rumusan kejadian. Teori probabilitas memberitahu kita tentang teorema Bayes, yang terlihat seperti ini:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., N

Dalam rumus ini, H 1, H 2, ..., H n merupakan kelompok hipotesis yang lengkap.

Contoh

Jika Anda mempelajari bagian matematika mana pun dengan cermat, itu tidak lengkap tanpa latihan dan solusi sampel. Begitu pula dengan teori probabilitas: peristiwa dan contoh di sini merupakan komponen integral yang menegaskan perhitungan ilmiah.

Rumus banyaknya permutasi

Katakanlah ada tiga puluh kartu dalam satu setumpuk kartu, dimulai dengan nilai satu. Pertanyaan selanjutnya. Berapa banyak cara menyusun tumpukan kartu agar kartu bernilai satu dan dua tidak bersebelahan?

Tugas telah ditetapkan, sekarang mari kita lanjutkan menyelesaikannya. Pertama kita perlu menentukan banyaknya permutasi dari tiga puluh elemen, untuk ini kita ambil rumus yang disajikan di atas, ternyata P_30 = 30!.

Berdasarkan aturan ini, kita mengetahui berapa banyak opsi yang ada untuk melipat dek dengan cara yang berbeda, tetapi kita perlu mengurangi opsi yang kartu pertama dan kedua bersebelahan. Untuk melakukan ini, mari kita mulai dengan opsi ketika opsi pertama berada di atas opsi kedua. Ternyata kartu pertama dapat menempati dua puluh sembilan tempat - dari yang pertama hingga dua puluh sembilan, dan kartu kedua dari yang kedua hingga ketiga puluh, sehingga totalnya ada dua puluh sembilan tempat untuk sepasang kartu. Pada gilirannya, sisanya dapat menerima dua puluh delapan tempat, dan dalam urutan apa pun. Artinya, untuk menyusun ulang dua puluh delapan kartu, ada dua puluh delapan pilihan P_28 = 28!

Hasilnya, jika kita perhatikan penyelesaiannya ketika kartu pertama berada di atas kartu kedua, maka akan ada 29 ⋅ 28 kemungkinan tambahan! = 29!

Dengan menggunakan metode yang sama, Anda perlu menghitung jumlah opsi yang berlebihan jika kartu pertama berada di bawah kartu kedua. Ternyata juga 29 ⋅ 28! = 29!

Oleh karena itu, ada 2 ⋅ 29 opsi tambahan!, sedangkan cara yang diperlukan untuk merakit dek adalah 30! - 2 ⋅ 29!. Yang tersisa hanyalah menghitung.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sekarang kamu perlu mengalikan semua angka dari satu sampai dua puluh sembilan, dan akhirnya mengalikan semuanya dengan 28. Jawabannya adalah 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Contoh solusi. Rumus nomor penempatan

Dalam soal ini, Anda perlu mencari tahu berapa banyak cara untuk meletakkan lima belas jilid dalam satu rak, tetapi dengan syarat totalnya ada tiga puluh jilid.

Solusi untuk masalah ini sedikit lebih sederhana dibandingkan solusi sebelumnya. Dengan menggunakan rumus yang sudah diketahui, perlu untuk menghitung jumlah total susunan tiga puluh volume lima belas.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Oleh karena itu, jawabannya adalah 202.843.204.931.727.360.000.

Sekarang mari kita ambil tugas yang sedikit lebih sulit. Anda perlu mencari tahu berapa banyak cara untuk menyusun tiga puluh buku dalam dua rak buku, mengingat satu rak hanya dapat menampung lima belas jilid.

Sebelum memulai penyelesaian, saya ingin menjelaskan bahwa beberapa masalah dapat diselesaikan dengan beberapa cara, dan yang satu ini memiliki dua metode, tetapi keduanya menggunakan rumus yang sama.

Pada soal kali ini kamu bisa mengambil jawaban dari soal sebelumnya, karena disana kami menghitung berapa kali kamu bisa mengisi rak dengan lima belas buku dengan cara yang berbeda-beda. Ternyata A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Kita akan menghitung rak kedua dengan menggunakan rumus permutasi, karena dapat memuat lima belas buku di dalamnya, sedangkan yang tersisa hanya lima belas. Kami menggunakan rumus P_15 = 15!.

Ternyata totalnya adalah A_30^15 ⋅ P_15 cara, tetapi selain itu, hasil kali semua bilangan dari tiga puluh hingga enam belas perlu dikalikan dengan hasil kali bilangan dari satu hingga lima belas, pada akhirnya Anda akan mendapatkan hasil kali semua bilangan dari satu sampai tiga puluh, yaitu jawabannya sama dengan 30!

Namun masalah ini dapat diselesaikan dengan cara lain - lebih mudah. Untuk melakukan ini, Anda dapat membayangkan ada satu rak untuk tiga puluh buku. Semuanya ditempatkan di bidang ini, tetapi karena kondisinya mengharuskan ada dua rak, kami melihat satu rak panjang menjadi dua, jadi kami mendapat dua dari lima belas. Dari sini ternyata ada P_30 = 30 pilihan susunan!.

Contoh solusi. Rumus bilangan kombinasi

Sekarang kita akan mempertimbangkan versi soal ketiga dari kombinatorik. Penting untuk mengetahui berapa banyak cara untuk menyusun lima belas buku, asalkan Anda harus memilih dari tiga puluh buku yang benar-benar identik.

Untuk menyelesaikannya tentu saja akan diterapkan rumus banyaknya kombinasi. Dari kondisi tersebut menjadi jelas bahwa urutan kelima belas buku yang identik itu tidak penting. Oleh karena itu, pada awalnya Anda perlu mengetahui jumlah total kombinasi dari tiga puluh buku dari lima belas.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Itu saja. Dengan menggunakan rumus ini, kami dapat menyelesaikan soal ini dalam waktu sesingkat mungkin; jawabannya adalah 155.117.520.

Contoh solusi. Definisi klasik tentang probabilitas

Dengan menggunakan rumus di atas, Anda dapat menemukan jawaban dari soal sederhana. Namun hal ini akan membantu untuk melihat dengan jelas dan melacak kemajuan tindakan.

Soalnya menyatakan bahwa ada sepuluh bola yang benar-benar identik di dalam guci. Dari jumlah tersebut, empat berwarna kuning dan enam berwarna biru. Satu bola diambil dari guci. Anda perlu mengetahui kemungkinan terkena warna biru.

Untuk menyelesaikan soal tersebut, perlu ditetapkan perolehan bola biru sebagai kejadian A. Percobaan ini dapat mempunyai sepuluh hasil, yang pada gilirannya bersifat dasar dan sama-sama mungkin. Pada saat yang sama, dari sepuluh, enam mendukung peristiwa A. Kita menyelesaikannya menggunakan rumus:

P(A) = 6 : 10 = 0,6

Dengan menerapkan rumus ini, kita mengetahui bahwa peluang terambilnya bola biru adalah 0,6.

Contoh solusi. Probabilitas jumlah kejadian

Sebuah opsi sekarang akan disajikan yang diselesaikan menggunakan rumus probabilitas jumlah kejadian. Jadi, syaratnya ada dua kotak, kotak pertama berisi satu bola abu-abu dan lima bola putih, dan kotak kedua berisi delapan bola abu-abu dan empat bola putih. Alhasil, mereka mengambil salah satunya dari kotak pertama dan kedua. Anda perlu mencari tahu berapa peluang bola yang Anda peroleh berwarna abu-abu dan putih.

Untuk mengatasi masalah ini, perlu dilakukan identifikasi kejadian.

• Jadi, A - mengambil bola abu-abu dari kotak pertama: P(A) = 1/6.
• A' - mengambil bola putih juga dari kotak pertama: P(A") = 5/6.
• B - bola abu-abu dikeluarkan dari kotak kedua: P(B) = 2/3.
• B’ - mengambil bola abu-abu dari kotak kedua: P(B") = 1/3.

Sesuai dengan kondisi permasalahannya, salah satu fenomena harus terjadi: AB' atau A'B. Dengan menggunakan rumus tersebut, kita mendapatkan: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sekarang rumus mengalikan probabilitas telah digunakan. Selanjutnya, untuk mengetahui jawabannya, Anda perlu menerapkan persamaan penjumlahannya:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 18/11.

Beginilah cara Anda menyelesaikan masalah serupa menggunakan rumus.

Intinya

Artikel tersebut menyajikan informasi dengan topik "Teori Probabilitas", di mana probabilitas suatu peristiwa memainkan peran penting. Tentu saja, tidak semuanya diperhitungkan, tetapi berdasarkan teks yang disajikan, Anda secara teoritis dapat membiasakan diri dengan bagian matematika ini. Ilmu yang dimaksud dapat bermanfaat tidak hanya dalam urusan profesional, tetapi juga dalam kehidupan sehari-hari. Dengan bantuannya, Anda dapat menghitung kemungkinan terjadinya peristiwa apa pun.

Teks tersebut juga menyinggung tanggal-tanggal penting dalam sejarah terbentuknya teori probabilitas sebagai suatu ilmu, dan nama-nama orang yang karyanya diinvestasikan di dalamnya. Inilah bagaimana keingintahuan manusia mengarah pada fakta bahwa orang belajar menghitung kejadian acak sekalipun. Dahulu kala mereka hanya tertarik dengan hal ini, tetapi hari ini semua orang sudah mengetahuinya. Dan tidak ada yang akan mengatakan apa yang menanti kita di masa depan, penemuan brilian apa lagi yang terkait dengan teori yang sedang dipertimbangkan akan dibuat. Tapi satu hal yang pasti - penelitian tidak berhenti!

Probabilitas suatu peristiwa dipahami sebagai karakteristik numerik tertentu dari kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut. Ada beberapa pendekatan untuk menentukan probabilitas.

Kemungkinan kejadian tersebut A disebut rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa ini dengan jumlah total semua hasil dasar yang sama-sama mungkin tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap. Jadi, kemungkinan kejadiannya A ditentukan oleh rumus

Di mana M– jumlah hasil dasar yang menguntungkan A, N– jumlah semua kemungkinan hasil tes dasar.

Contoh 3.1. Dalam percobaan yang melibatkan pelemparan sebuah dadu, jumlah semua hasil N sama dengan 6 dan kemungkinannya sama. Biarkan acaranya A berarti munculnya bilangan genap. Maka untuk kejadian ini, hasil yang menguntungkan adalah munculnya angka 2, 4, 6. Jumlahnya adalah 3. Oleh karena itu, peluang kejadian tersebut A sama dengan

Contoh 3.2. Berapa peluang terambilnya dua angka yang diambil secara acak mempunyai angka yang sama?

Bilangan dua angka adalah bilangan 10 sampai 99, jumlah bilangan tersebut ada 90. 9 bilangan mempunyai angka yang sama (yaitu bilangan 11, 22, ..., 99). Sejak dalam kasus ini M=9, N=90, lalu

Di mana A– kejadian, “angka dengan digit yang sama.”

Contoh 3.3. Dalam kumpulan 10 bagian, 7 adalah standar. Tentukan peluang bahwa di antara enam bagian yang diambil secara acak, 4 merupakan bagian baku.

Jumlah total kemungkinan hasil tes dasar sama dengan banyaknya cara untuk mengekstrak 6 bagian dari 10, yaitu banyaknya kombinasi 10 elemen yang masing-masing terdiri dari 6 elemen. Mari kita tentukan jumlah hasil yang menguntungkan bagi peristiwa yang kita minati A(di antara enam bagian yang diambil ada 4 bagian standar). Empat bagian standar dapat diambil dari tujuh bagian standar dengan cara berbeda; pada saat yang sama, 6-4=2 bagian yang tersisa harus non-standar, tetapi Anda dapat mengambil dua bagian non-standar dari 10-7=3 bagian non-standar dengan cara yang berbeda. Oleh karena itu, jumlah hasil yang menguntungkan sama dengan .

Maka probabilitas yang dibutuhkan sama dengan

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:

1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.

Memang benar, jika kejadian tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil tes yang mendasar akan mendukung kejadian tersebut. Oleh karena itu, dalam hal ini m=n

2. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada hasil dasar tes yang mendukung peristiwa tersebut. Dalam hal ini maksudnya

3. Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu.

Memang benar, hanya sebagian dari jumlah total hasil tes dasar yang disukai oleh kejadian acak. Pada kasus ini< M< n, berarti 0 < m/n < 1, yaitu 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Konstruksi teori probabilitas yang lengkap secara logis didasarkan pada definisi aksiomatik dari suatu peristiwa acak dan probabilitasnya. Dalam sistem aksioma yang dikemukakan oleh A. N. Kolmogorov, konsep tak terdefinisi adalah peristiwa dasar dan probabilitas. Berikut adalah aksioma yang mendefinisikan probabilitas:

1. Setiap acara A diberi bilangan real non-negatif P(A). Angka ini disebut peluang kejadian A.

2. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.

3. Peluang terjadinya paling sedikit salah satu kejadian berpasangan yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut.

Berdasarkan aksioma-aksioma ini, sifat-sifat probabilitas dan ketergantungan di antara keduanya diturunkan sebagai teorema.

Pertanyaan tes mandiri

1. Apa nama sifat numerik dari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa?

2. Berapa peluang suatu kejadian?

3. Berapakah probabilitas suatu kejadian yang dapat diandalkan?

4. Berapa peluang terjadinya suatu kejadian yang mustahil?

5. Berapakah batas peluang terjadinya suatu kejadian acak?

6. Berapa batas kemungkinan suatu kejadian?

7. Definisi probabilitas apa yang disebut klasik?

Untuk membandingkan secara kuantitatif peristiwa-peristiwa yang satu dengan yang lain menurut derajat kemungkinannya, tentunya perlu dikaitkan dengan suatu bilangan tertentu dengan setiap peristiwa, yang semakin besar, semakin besar kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut. Kami akan menyebut angka ini sebagai probabilitas suatu peristiwa. Dengan demikian, kemungkinan suatu peristiwa adalah ukuran numerik dari tingkat kemungkinan obyektif dari peristiwa ini.

Definisi probabilitas yang pertama harus dianggap sebagai definisi klasik, yang muncul dari analisis perjudian dan pada awalnya diterapkan secara intuitif.

Metode klasik untuk menentukan probabilitas didasarkan pada konsep peristiwa yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak kompatibel, yang merupakan hasil dari pengalaman tertentu dan membentuk kelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel.

Contoh paling sederhana dari kejadian-kejadian yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak cocok yang membentuk suatu kelompok yang lengkap adalah munculnya satu atau beberapa bola dari sebuah guci yang berisi beberapa bola dengan ukuran, berat, dan ciri-ciri nyata lainnya yang sama, hanya berbeda warnanya, dicampur seluruhnya sebelum dikeluarkan.

Oleh karena itu, suatu tes yang hasil-hasilnya membentuk kelompok lengkap kejadian-kejadian yang tidak kompatibel dan sama-sama mungkin dikatakan dapat direduksi menjadi pola guci, atau pola kasus, atau cocok dengan pola klasik.

Peristiwa-peristiwa yang sama-sama mungkin terjadi dan tidak mungkin terjadi yang membentuk suatu kelompok yang lengkap disebut kasus atau peluang saja. Selain itu, dalam setiap percobaan, seiring dengan kasus, peristiwa yang lebih kompleks dapat terjadi.

Contoh: Saat melempar dadu, bersamaan dengan kasus A i - hilangnya poin i di sisi atas, kita dapat mempertimbangkan kejadian seperti B - hilangnya sejumlah poin genap, C - hilangnya sejumlah poin titik yang merupakan kelipatan tiga...

Sehubungan dengan setiap peristiwa yang mungkin terjadi selama percobaan, kasus dibagi menjadi baik, di mana peristiwa ini terjadi, dan tidak menguntungkan, di mana peristiwa tersebut tidak terjadi. Pada contoh sebelumnya, kejadian B disukai oleh kasus A 2, A 4, A 6; acara C - kasus A 3, A 6.

Probabilitas klasik terjadinya suatu peristiwa tertentu disebut perbandingan jumlah kasus yang menguntungkan terjadinya peristiwa tersebut dengan jumlah total kasus-kasus yang sama-sama mungkin dan tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap dalam suatu percobaan tertentu:

Di mana P(A)- kemungkinan terjadinya peristiwa A; M- jumlah kasus yang mendukung peristiwa A; N- jumlah total kasus.

Contoh:

1) (lihat contoh di atas) P(B)= , P(C) =.

2) Guci tersebut berisi 9 bola merah dan 6 bola biru. Tentukan peluang terambilnya satu atau dua bola secara acak berwarna merah.

A- bola merah diambil secara acak:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- dua bola merah diambil secara acak:

Properti berikut mengikuti definisi klasik probabilitas (tunjukkan diri Anda):

1) Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah 0;

2) Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan adalah 1;

3) Peluang suatu kejadian terletak antara 0 dan 1;

4) Peluang suatu kejadian yang berlawanan dengan kejadian A,

Definisi klasik tentang probabilitas mengasumsikan bahwa jumlah hasil suatu percobaan adalah terbatas. Dalam praktiknya, sangat sering ada pengujian, yang jumlah kemungkinan kasusnya tidak terbatas. Selain itu, kelemahan definisi klasik adalah seringkali hasil suatu tes tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk himpunan kejadian dasar. Bahkan lebih sulit untuk menunjukkan alasan untuk mempertimbangkan kemungkinan hasil dasar dari suatu tes. Biasanya keseimbangan hasil tes dasar disimpulkan dari pertimbangan simetri. Namun, tugas seperti itu sangat jarang terjadi dalam praktiknya. Karena alasan ini, selain definisi klasik tentang probabilitas, definisi probabilitas lainnya juga digunakan.

Probabilitas statistik kejadian A adalah frekuensi relatif terjadinya kejadian ini dalam pengujian yang dilakukan:

dimana peluang terjadinya kejadian A;

Frekuensi relatif terjadinya peristiwa A;

Banyaknya percobaan dimana peristiwa A muncul;

Jumlah total percobaan.

Berbeda dengan probabilitas klasik, probabilitas statistik merupakan karakteristik eksperimental.

Contoh: Untuk mengontrol kualitas produk dari suatu batch, 100 produk dipilih secara acak, 3 produk diantaranya ternyata cacat. Tentukan kemungkinan pernikahan.

Metode statistik untuk menentukan probabilitas hanya berlaku untuk peristiwa-peristiwa yang memiliki sifat-sifat berikut:

Peristiwa yang dipertimbangkan harus merupakan hasil dari pengujian yang dapat direproduksi dalam jumlah yang tidak terbatas dalam kondisi yang sama.

Peristiwa harus mempunyai stabilitas statistik (atau stabilitas frekuensi relatif). Ini berarti bahwa dalam rangkaian pengujian yang berbeda, frekuensi relatif kejadian tersebut sedikit berubah.

Jumlah percobaan yang menghasilkan kejadian A pasti cukup banyak.

Mudah untuk memverifikasi bahwa sifat-sifat probabilitas yang muncul dari definisi klasik juga dipertahankan dalam definisi statistik tentang probabilitas.