1.3 Metode penyelesaian persamaan

Saat menyelesaikan persamaan bilangan bulat dan bilangan asli, metode berikut dapat dibedakan secara kasar:

1. Metode penghitungan pilihan.

2. Algoritma Euclidean.

3. Pecahan lanjutan.

4. Metode faktorisasi.

5. Menyelesaikan persamaan bilangan bulat sebagai kuadrat terhadap beberapa variabel.

6. Metode residu.

7. Metode keturunan tanpa batas.

Bab 2. Penerapan metode penyelesaian persamaan

1. Contoh penyelesaian persamaan.

2.1 Algoritma Euclidean.

Masalah 1 . Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat 407 X – 2816kamu = 33.

Mari kita gunakan algoritma yang dikompilasi.

1. Dengan menggunakan algoritma Euclidean, kita mencari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 407 dan 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Jadi (407.2816) = 11, dengan 33 habis dibagi 11

2. Bagi kedua ruas persamaan awal dengan 11, diperoleh persamaan 37 X – 256kamu= 3, dengan (37, 256) = 1

3. Dengan menggunakan algoritma Euclidean, kita mencari representasi linier dari angka 1 sampai angka 37 dan 256.

256 = 37 6 + 34;

Mari kita nyatakan 1 dari persamaan terakhir, lalu secara berturut-turut kita akan menyatakan 3; 34 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam ekspresi 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Jadi, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, jadi sepasang bilangan x 0= – 83 dan kamu 0= – 12 adalah penyelesaian persamaan 37 X – 256kamu = 3.

4. Mari kita tuliskan rumus umum penyelesaian persamaan awal

Di mana T- bilangan bulat apa pun.

2.2 Metode penghitungan pilihan.

Tugas 2. Kelinci dan burung pegar duduk dalam sangkar, total kakinya ada 18 kaki. Cari tahu berapa banyak keduanya yang ada di dalam sel?

Larutan: Sebuah persamaan dibuat dengan dua variabel yang tidak diketahui, dimana x adalah jumlah kelinci, y adalah jumlah burung pegar:

4x + 2y = 18, atau 2x + y = 9.

Mari berekspresi pada melalui X : kamu = 9 – 2x.

X	1	2	3	4
pada	7	5	3	1

Jadi, masalahnya memiliki empat solusi.

Menjawab: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Metode faktorisasi.

Menghitung opsi ketika menemukan solusi alami untuk persamaan dengan dua variabel ternyata sangat memakan waktu. Apalagi jika persamaannya punya utuh solusi, maka tidak mungkin untuk menghitungnya, karena solusi tersebut jumlahnya tidak terbatas. Oleh karena itu, kami akan menunjukkan teknik lain - metode faktorisasi.

Tugas 3. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulatkamu 3 - X 3 = 91.

Larutan. 1) Dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, kita memfaktorkan ruas kanan persamaan:

(kamu - X)(kamu 2 + xy + X 2) = 91……………………….(1)

2) Mari kita tuliskan semua pembagi bilangan 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Melakukan penelitian. Perhatikan bahwa untuk bilangan bulat apa pun X Dan kamu nomor

kamu 2 + yx + X 2 ≥ kamu 2 - 2|kamu||X| + X 2 = (|kamu| - |X|) 2 ≥ 0,

oleh karena itu, kedua faktor di ruas kiri persamaan harus positif. Maka persamaan (1) ekuivalen dengan himpunan sistem persamaan:

; ; ;

4) Setelah menyelesaikan sistem, kita memperoleh: sistem pertama memiliki solusi (5; 6), (-6; -5); ketiga (-3; 4),(-4; 3); yang kedua dan keempat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.

Menjawab: persamaan (1) memiliki empat solusi (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Tugas 4. Temukan semua pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan tersebut

Larutan. Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dan tulis persamaannya dalam bentuk

.

Karena Pembagi bilangan 69 adalah bilangan 1, 3, 23 dan 69, maka 69 dapat diperoleh dengan dua cara yaitu 69=1·69 dan 69=3·23. Mengingat bahwa

, kita mendapatkan dua sistem persamaan, dengan menyelesaikannya kita dapat menemukan bilangan yang diperlukan: atau .

Sistem pertama punya solusinya

, dan sistem kedua memiliki solusinya.

Menjawab:

.

Tugas 5. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:

.

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk

.

Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan tersebut. Kita mendapatkan

.

Hasil kali dua bilangan bulat hanya dapat sama dengan 1 dalam dua kasus: jika keduanya sama dengan 1 atau -1. Kami mendapatkan dua sistem:

atau .

Sistem pertama memiliki solusi x=2, y=2, dan sistem kedua memiliki solusi x=0, y=0.

Menjawab:

.

Tugas 6. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat

Larutan. Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk

.

Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dengan menggunakan metode pengelompokan, kita peroleh

.

Hasil kali dua bilangan bulat bisa sama dengan 7 dalam kasus berikut:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1) Jadi, kita mendapatkan empat sistem:

atau, atau, atau.

Penyelesaian sistem pertama adalah pasangan bilangan x = - 5, y = - 6. Menyelesaikan sistem kedua diperoleh x = 13, y = 6. Untuk sistem ketiga penyelesaiannya adalah bilangan x = 5, y = 6. Sistem keempat mempunyai solusi x = - 13, y = - 6.

.

Tugas 7. Buktikan bahwa persamaan ( X - kamu) 3 + (kamu - z) 3 + (z - X) 3 = 30 tidak

Institusi pendidikan kota

Sekolah menengah Savrushskaya

Distrik Pokhvistnevsky, wilayah Samara

Abstrak matematika dengan topik:

"Persamaan dengan dua

tidak dikenal

dalam bilangan bulat"

Diselesaikan oleh: Kolesova Tatyana

Staroverova Nina

pada siswa kelas 10

Sekolah menengah Savrushskaya lembaga pendidikan kota

Distrik Pokhvistnevsky

wilayah Samara.

Pengawas: Yatmankina Galina Mikhailovna

guru matematika.

Savrukha 2011

Pendahuluan.________________________________________________3

1. Latar belakang sejarah ________________________________________________5

1.1 Teorema banyaknya solusi persamaan linier Diophantine___6

1.2 Algoritma penyelesaian persamaan bilangan bulat_________________ 6

1.3 Metode penyelesaian persamaan______________________________ 7

Bab 2. Penerapan metode penyelesaian persamaan.

1. Pemecahan masalah________________________________ 8

2.1 Menyelesaikan masalah dengan menggunakan algoritma Euclidean________________ 8

2.2 Metode pencacahan pilihan________________________________ 9

2.3 Metode faktorisasi______________ 9

2.4 Metode sisa________________________________________________ 12

2. Tugas tingkat ujian______________ 13

Kesimpulan________________________________________________ 16

Daftar referensi __________________________ 17

"Siapa yang mengontrol angka,

Dia menguasai dunia"

Pythagoras.

Perkenalan.

Analisis situasi: Persamaan Diophantine adalah topik yang hangat di zaman kita, karena penyelesaian persamaan, pertidaksamaan, dan masalah yang direduksi menjadi penyelesaian persamaan bilangan bulat dengan menggunakan taksiran variabel terdapat di berbagai kumpulan matematika dan kumpulan Unified State Examination.

Setelah mempelajari berbagai cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan satu variabel di kelas, kami tertarik untuk memahami bagaimana persamaan dengan dua variabel diselesaikan. Tugas-tugas seperti itu ditemukan di Olimpiade dan dalam materi Ujian Negara Bersatu.

Tahun ajaran ini, siswa kelas sebelas harus mengikuti Ujian Negara Terpadu matematika, di mana KIM disusun menurut struktur baru. Tidak ada bagian "A", tetapi tugas telah ditambahkan ke bagian "B" dan bagian "C". Penyusun menjelaskan penambahan C6 dengan fakta bahwa untuk memasuki universitas teknik Anda harus mampu menyelesaikan tugas-tugas dengan tingkat kompleksitas yang tinggi.

Masalah: Saat menyelesaikan versi sampel tugas Ujian Negara Bersatu, kami memperhatikan bahwa C6 paling sering berisi tugas untuk menyelesaikan persamaan derajat pertama dan kedua dalam bilangan bulat. Tapi kita tidak tahu bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut. Berkaitan dengan hal tersebut, perlu dipelajari teori persamaan tersebut dan algoritma penyelesaiannya.

Target: Kuasai metode penyelesaian persamaan dengan dua bilangan bulat derajat pertama dan kedua yang tidak diketahui.

Tugas: 1) Mempelajari literatur pendidikan dan referensi;

2) Mengumpulkan materi teori tentang metode penyelesaian persamaan;

3) Menganalisis algoritma penyelesaian persamaan jenis ini;

4) Jelaskan solusinya.

5) Perhatikan sejumlah contoh penggunaan teknik ini.

6) Selesaikan persamaan dengan dua variabel bilangan bulat dari

materi UN Unified State-2010 C6.

Objek studi : Memecahkan persamaan

Subyek studi : Persamaan dengan dua variabel dalam bilangan bulat.

Hipotesa: Topik ini sangat penting secara praktis. Dalam kursus matematika sekolah, persamaan dengan satu variabel dan berbagai metode penyelesaiannya dipelajari secara rinci. Kebutuhan proses pendidikan menuntut siswa mengetahui dan mampu menyelesaikan persamaan sederhana dengan dua variabel. Oleh karena itu, peningkatan perhatian terhadap topik ini tidak hanya dibenarkan, tetapi juga relevan dalam pembelajaran matematika sekolah.

Karya ini dapat digunakan untuk mempelajari topik ini di kelas pilihan bagi siswa, dalam persiapan ujian akhir dan ujian masuk. Kami berharap materi kami dapat membantu siswa sekolah menengah belajar menyelesaikan persamaan jenis ini.

Bab 1. Teori persamaan dengan dua variabel bilangan bulat.

1. Latar belakang sejarah.

Diophantus dan sejarah persamaan Diophantine .

Menyelesaikan persamaan bilangan bulat adalah salah satu masalah matematika tertua. Perkembangan terbesar bidang matematika ini dicapai di Yunani Kuno. Sumber utama yang bertahan hingga zaman kita adalah karya Diophantus - “Aritmatika”. Diophantus merangkum dan memperluas pengalaman yang dikumpulkan sebelumnya dalam menyelesaikan persamaan tak tentu dalam bilangan bulat.

Sejarah telah melestarikan bagi kita beberapa ciri biografi Diophantus, ahli aljabar Aleksandria yang luar biasa. Menurut beberapa sumber, Diophantus hidup sampai tahun 364 Masehi. Hanya biografi unik Diophantus yang diketahui secara pasti, yang menurut legenda, diukir di batu nisannya dan menyajikan tugas teka-teki:

“Tuhan mengutus dia menjadi anak laki-laki selama seperenam hidupnya; menambahkan bagian kedua belas, Dia menutupi pipinya dengan bulu; setelah bagian ketujuh, Dia menyalakan lampu pernikahan untuknya dan lima tahun setelah pernikahan memberinya seorang putra. Sayang! Seorang anak terlambat yang malang, setelah mencapai setengah dari umur penuh ayahnya, dia terbawa oleh nasib tanpa ampun. Empat tahun kemudian, sambil menghibur kesedihan yang menimpanya dengan ilmu angka, dia [Diophantus] mengakhiri hidupnya” (kurang lebih 84 tahun).

Teka-teki ini menjadi contoh masalah yang dipecahkan Diophantus. Dia berspesialisasi dalam memecahkan masalah bilangan bulat. Masalah seperti ini sekarang dikenal dengan nama masalah Diophantine.

Masalah paling terkenal yang dipecahkan oleh Diophantus adalah masalah “penguraian menjadi dua kotak”. Persamaannya adalah teorema Pythagoras yang terkenal. Teorema ini dikenal di Babilonia, mungkin juga dikenal di Mesir Kuno, namun pertama kali dibuktikan di aliran Pythagoras. Ini adalah nama sekelompok filsuf yang tertarik pada matematika yang dinamai menurut nama pendiri aliran Pythagoras (c. 580-500 SM)

Kehidupan dan karya Diophantus terjadi di Alexandria, ia mengumpulkan dan memecahkan masalah-masalah yang diketahui dan menghasilkan masalah-masalah baru. Dia kemudian menggabungkannya dalam sebuah karya besar yang disebut Aritmatika. Dari tiga belas buku Aritmatika, hanya enam yang bertahan hingga Abad Pertengahan dan menjadi sumber inspirasi bagi matematikawan Renaisans.

1.1 Teorema banyaknya solusi persamaan Diophantine linier.

Di sini kami menyajikan rumusan teorema yang menjadi dasar penyusunan algoritma untuk menyelesaikan persamaan tak tentu tingkat pertama dua variabel dalam bilangan bulat.

Teorema 1. Jika dalam suatu persamaan , , maka persamaan tersebut mempunyai paling sedikit satu solusi.

Teorema 2. Jika dalam persamaan , dan Dengan tidak habis dibagi , maka persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian bilangan bulat.

Teorema 3. Jika pada persamaan , dan , maka ekuivalen dengan persamaan dimana .

Teorema 4. Jika dalam persamaan , , maka semua solusi bilangan bulat persamaan ini terdapat dalam rumus:

Di mana x 0, kamu 0

1.2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan bilangan bulat.

Teorema yang dirumuskan memungkinkan kita untuk menyusun yang berikut ini algoritma solusi dalam bilangan bulat untuk persamaan bentuk .

1. Temukan pembagi persekutuan terbesar dari suatu bilangan A Dan B ,

jika Dengan tidak habis dibagi , maka persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian bilangan bulat;

jika dan , maka

2. Bagilah suku persamaan dengan suku, sehingga diperoleh persamaan yang .

3. Temukan solusi keseluruhannya ( x 0, kamu 0) persamaan dengan merepresentasikan 1 sebagai kombinasi linier angka dan ;

4. Buatlah rumus umum untuk solusi bilangan bulat persamaan ini

Di mana x 0, kamu 0– solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut, - bilangan bulat apa pun.

1.3 Metode penyelesaian persamaan

Saat menyelesaikan persamaan bilangan bulat dan bilangan asli, metode berikut dapat dibedakan secara kasar:

1. Metode penghitungan pilihan.

2. Algoritma Euclidean.

3. Pecahan lanjutan.

4. Metode faktorisasi.

5. Menyelesaikan persamaan bilangan bulat sebagai kuadrat terhadap beberapa variabel.

6. Metode residu.

7. Metode keturunan tanpa batas.

Bab 2. Penerapan metode penyelesaian persamaan

1. Contoh penyelesaian persamaan.

2.1 Algoritma Euclidean.

Masalah 1 . Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat 407 X – 2816kamu = 33.

Mari kita gunakan algoritma yang dikompilasi.

1. Dengan menggunakan algoritma Euclidean, kita mencari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 407 dan 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Jadi (407.2816) = 11, dengan 33 habis dibagi 11

2. Bagi kedua ruas persamaan awal dengan 11, diperoleh persamaan 37 X – 256kamu= 3, dengan (37, 256) = 1

3. Dengan menggunakan algoritma Euclidean, kita mencari representasi linier dari angka 1 sampai angka 37 dan 256.

256 = 37 6 + 34;

Mari kita nyatakan 1 dari persamaan terakhir, lalu secara berturut-turut kita akan menyatakan 3; 34 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam ekspresi 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Jadi, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, jadi sepasang bilangan x 0= – 83 dan kamu 0= – 12 adalah penyelesaian persamaan 37 X – 256kamu = 3.

4. Mari kita tuliskan rumus umum penyelesaian persamaan awal

Di mana T- bilangan bulat apa pun.

2.2 Metode penghitungan pilihan.

Tugas 2. Kelinci dan burung pegar duduk dalam sangkar, total kakinya ada 18 kaki. Cari tahu berapa banyak keduanya yang ada di dalam sel?

Larutan: Sebuah persamaan dibuat dengan dua variabel yang tidak diketahui, dimana x adalah jumlah kelinci, y adalah jumlah burung pegar:

4x + 2y = 18, atau 2x + y = 9.

Mari berekspresi pada melalui X : kamu = 9 – 2x.

Jadi, masalahnya memiliki empat solusi.

Menjawab: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Metode faktorisasi.

Menghitung opsi ketika menemukan solusi alami untuk persamaan dengan dua variabel ternyata sangat memakan waktu. Apalagi jika persamaannya punya utuh solusi, maka tidak mungkin untuk menghitungnya, karena jumlah solusi tersebut tidak terbatas. Oleh karena itu, kami akan menunjukkan teknik lain - metode faktorisasi.

Tugas 3. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat kamu 3 - X 3 = 91.

Larutan. 1) Dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, kita memfaktorkan ruas kanan persamaan:

(kamu - X)(kamu 2 + xy + X 2) = 91……………………….(1)

2) Mari kita tuliskan semua pembagi bilangan 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Melakukan penelitian. Perhatikan bahwa untuk bilangan bulat apa pun X Dan kamu nomor

kamu 2 + yx + X 2 ≥ kamu 2 - 2|kamu ||X | + X 2 = (|kamu | - |X |) 2 ≥ 0,

oleh karena itu, kedua faktor di ruas kiri persamaan harus positif. Maka persamaan (1) ekuivalen dengan himpunan sistem persamaan:

; ; ;

4) Setelah menyelesaikan sistem, kita memperoleh: sistem pertama memiliki solusi (5; 6), (-6; -5); ketiga (-3; 4),(-4; 3); yang kedua dan keempat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.

Menjawab: persamaan (1) memiliki empat solusi (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Tugas 4. Temukan semua pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan tersebut

Larutan. Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dan tulis persamaannya dalam bentuk

.

Karena Pembagi bilangan 69 adalah bilangan 1, 3, 23 dan 69, maka 69 dapat diperoleh dengan dua cara yaitu 69=1·69 dan 69=3·23. Mengingat , kita memperoleh dua sistem persamaan, dengan menyelesaikannya kita dapat menemukan bilangan yang diperlukan:

Sistem pertama punya solusinya, dan sistem kedua punya solusinya.

Menjawab: .

Tugas 5.

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk

.

Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan tersebut. Kita mendapatkan

.

Hasil kali dua bilangan bulat hanya dapat sama dengan 1 dalam dua kasus: jika keduanya sama dengan 1 atau -1. Kami mendapatkan dua sistem:

Sistem pertama memiliki solusi x=2, y=2, dan sistem kedua memiliki solusi x=0, y=0.

Menjawab: .

Tugas 6. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat

.

Larutan. Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk

Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dengan menggunakan metode pengelompokan, kita peroleh

.

Hasil kali dua bilangan bulat bisa sama dengan 7 dalam kasus berikut:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1) Jadi, kita mendapatkan empat sistem:

Atau, atau, atau.

Penyelesaian sistem pertama adalah pasangan bilangan x = - 5, y = - 6. Menyelesaikan sistem kedua diperoleh x = 13, y = 6. Untuk sistem ketiga penyelesaiannya adalah bilangan x = 5, y = 6. Sistem keempat mempunyai solusi x = - 13, y = - 6.

Tugas 7. Buktikan bahwa persamaan ( X - kamu) 3 + (kamu - z) 3 + (z - X) 3 = 30 tidak

mempunyai solusi dalam bilangan bulat.

Larutan. 1) Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dan membagi kedua ruas persamaan dengan 3, sehingga menghasilkan persamaan berikut:

(X - kamu)(kamu - z)(z - X) = 10…………………………(2)

2) Pembagi 10 adalah bilangan ±1, ±2, ±5, ±10. Perhatikan juga bahwa jumlah faktor-faktor di ruas kiri persamaan (2) sama dengan 0. Mudah untuk memeriksa bahwa jumlah tiga bilangan apa pun dari himpunan pembagi bilangan 10, yang menghasilkan hasil kali 10, adalah tidak sama dengan 0. Oleh karena itu, persamaan awal tidak memiliki solusi bilangan bulat.

Tugas 8. Selesaikan persamaan: x 2 - y 2 = 3 dalam bilangan bulat.

Larutan:

1. terapkan rumus perkalian yang disingkat x 2 - y 2 = (x-y)(x+y)=3

2. tentukan pembagi bilangan 3 = -1;-3;1;3

3. Persamaan ini setara dengan himpunan 4 sistem:

X-y=1 2x=4 x=2, y=1

X-y=3 x=2, y=-1

X-y=-3 x=-2, y=1

X-y=-1 x=-2, y=-1

Jawaban: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Metode sisa.

Masalah 9 .Selesaikan persamaan: x 2 + xy = 10

Larutan:

1. Nyatakan variabel y melalui x: y= 10 2

kamu = - X

2. Pecahan akan bilangan bulat jika x ±1;±2; ±5;±10

3. Temukan 8 nilai kamu.

Jika x=-1, maka y=-9 x=-5, maka y=3

X=1, lalu y=9 x=5, lalu y=-3

X=-2, lalu y=-3 x=-10, lalu y=9

X=2, lalu y=3 x=10, lalu y=-9

Masalah 10. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:

2x 2 -2xy +9x+y=2

Larutan:

Mari kita nyatakan dari persamaan hal yang tidak diketahui yang termasuk di dalamnya hanya sampai tingkat pertama - dalam hal ini kamu:

2x 2 +9x-2=2xy-y

kamu =

Mari kita pilih seluruh bagian pecahan menggunakan aturan membagi polinomial dengan polinomial dengan “sudut”. Kita mendapatkan:

Oleh karena itu, selisih 2x-1 hanya dapat bernilai -3,-1,1,3.

Masih harus melalui empat kasus ini.

Menjawab : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Tugas tingkat ujian

Setelah mempertimbangkan beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan derajat pertama dengan dua variabel bilangan bulat, kami memperhatikan bahwa metode faktorisasi dan metode sisa paling sering digunakan.

Persamaan yang diberikan dalam versi USE -2011 sebagian besar diselesaikan dengan metode sisa.

1. Selesaikan persamaan dalam bilangan asli: , dimana m>n

Larutan:

Mari kita ekspresikan variabelnya P melalui variabel T

(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Jawaban: (12; -8)

Kesimpulan.

Memecahkan berbagai jenis persamaan adalah salah satu bidang konten kursus matematika sekolah, tetapi metode untuk menyelesaikan persamaan dengan beberapa hal yang tidak diketahui secara praktis tidak dipertimbangkan. Pada saat yang sama, menyelesaikan persamaan beberapa bilangan bulat yang tidak diketahui adalah salah satu masalah matematika tertua. Sebagian besar metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut didasarkan pada teori pembagian bilangan bulat, yang minatnya saat ini ditentukan oleh pesatnya perkembangan teknologi informasi. Berkaitan dengan hal tersebut, akan menarik bagi siswa sekolah menengah untuk mengenal metode penyelesaian beberapa persamaan bilangan bulat, apalagi olimpiade di berbagai tingkatan sangat sering menawarkan tugas-tugas yang melibatkan penyelesaian persamaan bilangan bulat, dan tahun ini persamaan tersebut juga disertakan. dan dalam materi Ujian Negara Bersatu.

Dalam pekerjaan kami, kami hanya mempertimbangkan persamaan tak tentu derajat pertama dan kedua. Persamaan derajat pertama, seperti yang telah kita lihat, diselesaikan dengan cukup sederhana. Kami telah mengidentifikasi jenis persamaan dan algoritma untuk menyelesaikannya. Solusi umum untuk persamaan tersebut juga ditemukan.

Lebih sulit dengan persamaan derajat kedua, jadi kami hanya mempertimbangkan kasus-kasus khusus: teorema Pythagoras dan kasus-kasus ketika satu bagian persamaan berbentuk produk, dan bagian kedua difaktorkan.

Matematikawan hebat mempelajari persamaan derajat ketiga dan lebih tinggi karena penyelesaiannya terlalu rumit dan rumit

Kedepannya kami berencana untuk memperdalam penelitian pada kajian persamaan dengan beberapa variabel yang digunakan dalam penyelesaian masalah

Literatur.

1. Berezin V.N. Kumpulan soal-soal kegiatan pilihan dan ekstrakurikuler matematika. Moskow "Pencerahan" 1985

2. Galkin E.G. Masalah non-standar dalam matematika. Chelyabinsk “Vzglyad” 2004

3. Galkin E.G. Masalah dengan bilangan bulat. Chelyabinsk “Vzglyad” 2004

4. Glazer E.I. Sejarah matematika di sekolah. Moskow “Pencerahan” 1983

5. Mordkovich A.G. Aljabar dan analisis permulaan kelas 10-11. Moskow 2003

6. Matematika. Ujian Negara Bersatu 2010. Institut Federal

pengukuran pedagogis.

7. Sharygin I.F.Kursus pilihan dalam matematika. Larutan

tugas. Moskow 1986

Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat.

Persamaan tak tentu adalah persamaan yang mengandung lebih dari satu persamaan yang tidak diketahui. Yang kami maksud dengan satu solusi persamaan tak tentu adalah himpunan nilai-nilai yang tidak diketahui yang mengubah persamaan yang diberikan menjadi persamaan yang benar.

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk bilangan bulat ah + oleh = C , Di mana A, B , C - bilangan bulat selain nol, kami menyajikan sejumlah ketentuan teoretis yang memungkinkan kami menetapkan aturan keputusan. Ketentuan ini juga didasarkan pada fakta-fakta yang sudah diketahui tentang teori keterbagian.

Teorema 1.Jika gcd (A, B ) = D , lalu ada bilangan bulat seperti itu X Dan pada, bahwa kesetaraan berlaku ah + B kamu = D . (Persamaan ini disebut kombinasi linier atau representasi linier dari pembagi persekutuan terbesar dua bilangan berdasarkan bilangan itu sendiri.)

Pembuktian teorema ini didasarkan pada penggunaan persamaan algoritma Euclidean untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan (pembagi persekutuan terbesar dinyatakan dalam hasil bagi parsial dan sisa, dimulai dari persamaan terakhir dalam algoritma Euclidean).

Contoh.

Temukan representasi linier dari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 1232 dan 1672.

Larutan.

1. Mari kita buat persamaan dari algoritma Euclidean:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, mis. (1672.352) = 88.

2) Mari kita nyatakan 88 secara berurutan melalui hasil bagi dan sisa yang tidak lengkap, dengan menggunakan persamaan yang diperoleh di atas, dimulai dari akhir:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, mis. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorema 2. Jika persamaannya ah + B kamu = 1 , jika gcd (A, B ) = 1 , cukup membayangkan jumlahnya 1 sebagai kombinasi linier angka a dan B.

Validitas teorema ini mengikuti Teorema 1. Jadi, untuk mencari solusi bilangan bulat tunggal dari persamaan tersebut ah + B kamu = 1, jika gcd (a, b) = 1, bilangan 1 cukup direpresentasikan sebagai kombinasi bilangan linier A Dan V .

Contoh.

Temukan solusi bilangan bulat dari persamaan 15x + 37y = 1.

Larutan.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorema 3. Jika dalam Persamaan. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 Dan Dengan tidak habis dibagi D , maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi bilangan bulat.

Untuk membuktikan teorema tersebut, cukup dengan asumsi sebaliknya.

Contoh.

Temukan solusi bilangan bulat dari persamaan 16x - 34y = 7.

Larutan.

(16.34)=2; 7 tidak habis dibagi 2, persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat

Teorema 4. Jika dalam Persamaan. ah + B y = c gcd(a, B ) = D >1 dan c D , maka itu benar

Saat membuktikan teorema, harus ditunjukkan bahwa solusi bilangan bulat sembarang persamaan pertama juga merupakan solusi persamaan kedua dan sebaliknya.

Teorema 5. Jika dalam Persamaan. ah + B y = c gcd(a, B ) = 1, maka semua solusi bilangan bulat persamaan ini terkandung dalam rumus:

T – bilangan bulat apa pun.

Saat membuktikan teorema, harus ditunjukkan, pertama, bahwa rumus di atas benar-benar memberikan solusi terhadap persamaan ini dan, kedua, bahwa rumus di atas memuat solusi bilangan bulat sembarang untuk persamaan ini.

Teorema di atas memungkinkan kita untuk menetapkan aturan berikut untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat ah+ B y = c gcd(a, B ) = 1:

1) Solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut ditemukan ah + B kamu = 1 dengan mewakili 1 sebagai kombinasi angka linier A DanB (ada cara lain untuk mencari solusi lengkap persamaan ini, misalnya menggunakan pecahan lanjutan);

Rumus umum untuk solusi bilangan bulat dari soal yang diberikan

Memberi T nilai bilangan bulat tertentu, Anda dapat memperoleh solusi parsial untuk persamaan ini: nilai absolut terkecil, positif terkecil (jika mungkin), dll.

Contoh.

Temukan solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut 407x - 2816 tahun = 33.

Larutan.

1. Kita sederhanakan persamaan ini menjadi 37x - 256y = 3.

2. Selesaikan persamaan 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Gambaran umum semua solusi bilangan bulat dari persamaan ini:

x = -83∙3 - 256 ton = -249 - 256 ton,

y = -12∙3 - 37t = -36 - 37t.

Metode pencacahan menyeluruh dari semua kemungkinan nilai variabel,

termasuk dalam persamaan.

Tentukan himpunan semua pasangan bilangan asli yang merupakan solusi persamaan 49x + 51y = 602.

Larutan:

Mari kita nyatakan variabel x dari persamaan melalui y x =, karena x dan y adalah bilangan asli, maka x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

Pencarian opsi secara lengkap menunjukkan bahwa solusi alami persamaan tersebut adalah x=5, y=7.

Jawaban: (5;7).

Menyelesaikan persamaan menggunakan metode faktorisasi.

Diophantus, bersama dengan persamaan linier, menganggap persamaan tak tentu kuadrat dan kubik. Memecahkannya biasanya sulit.

Mari kita pertimbangkan kasus di mana rumus selisih kuadrat atau metode faktorisasi lainnya dapat diterapkan pada persamaan.

Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + 23 = y 2

Larutan:

Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Karena x dan y adalah bilangan bulat dan 23 adalah bilangan prima, maka kasus berikut mungkin terjadi:

Memecahkan sistem yang dihasilkan, kami menemukan:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Menyatakan satu variabel dalam variabel lain dan mengisolasi seluruh bagian pecahan.

Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Larutan:

Mari kita nyatakan y melalui x dari persamaan ini:

kamu(x - 1) =2 - x 2,

Henry G.N. FMS No.146, Perm

54 ≡ 6× 5 ≡ 2 (mod 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Menaikkan k ke pangkat, kita memperoleh 56k ≡ 1(mod 7) untuk k natural apa pun. Oleh karena itu 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Secara geometris, persamaan ini berarti kita mengelilingi lingkaran mulai dari 5, sembilan puluh dua siklus dan tiga angka lagi). Jadi, angka 222555 menyisakan sisa 6 jika dibagi 7.

Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat.

Tidak diragukan lagi, salah satu topik menarik dalam matematika adalah penyelesaian persamaan Diophantine. Topik ini dipelajari di kelas 8, dan kemudian di kelas 10 dan 11.

Persamaan apa pun yang perlu diselesaikan dalam bilangan bulat disebut persamaan Diophantine. Yang paling sederhana adalah persamaan berbentuk ax+bу=c, dimana a, b dan cÎ Z. Teorema berikut digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini.

Dalil. Persamaan linier Diophantine ax+bу=c, di mana a, b dan сО Z mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika c habis dibagi gcd dari bilangan a dan b. Jika d=PBB (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d dan (x0, y0) merupakan penyelesaian persamaan akh+bу=с, maka semua penyelesaian diberikan dengan rumus x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, dengan t adalah bilangan bulat sembarang.

1. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:

	3xy–6x2 =y–2x+4;
	(x–2)(xy+4)=1;		y-x-xy=2;
	2x2 +xy=x+7;		3xy+2x+3y=0;
	x2 – xy – x + kamu = 1;
	x2 –3xy=x–3y+2;	10.x2 – xy – y = 4.

2. Saya mempertimbangkan masalah berikut dengan lulusan dalam persiapan ujian matematika tentang topik ini.

1). Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: xy+3y+2x+6=13. Larutan:

Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan tersebut. Kita mendapatkan:

kamu(x+3)+2(x+3)=13;

(x+3)(y+2)=13.

Sejak x,уО Z, kita memperoleh himpunan sistem persamaan:

Henry G.N.

	M x +
	M x +
	M x +
ê Ð x +

FMS No.146, Perm

		M x =
		M x =
		M x =
	ê Ð x =

Jawaban: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Selesaikan persamaan bilangan asli: 3x +4y =5z.

9). Temukan semua pasangan bilangan asli m dan n yang persamaan 3m +7=2n berlaku.

10). Temukan semua kembar tiga bilangan asli k, m dan n yang persamaannya berlaku: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

sebelas). Semua suku barisan berhingga adalah bilangan asli. Setiap anggota barisan ini, mulai dari yang kedua, berukuran 14 kali lebih besar atau 14 kali lebih kecil dari yang sebelumnya. Jumlah seluruh suku barisan tersebut adalah 4321.

c) Berapakah jumlah suku terbesar yang dapat dimiliki barisan tersebut? Larutan:

a) Misalkan a1 =x, maka a2 = 14x atau a1 =14x, maka a2 =x. Maka dengan syarat a1 + a2 = 4321. Didapatkan: x + 14x = 4321, 15x = 4321, tetapi 4321 bukan kelipatan 15, artinya tidak mungkin ada dua suku pada barisan tersebut.

b) Misalkan a1 =x, maka a2 = 14x, a3 =x, atau 14x+x+14x=4321, atau x+14x+x=4321. 29x=4321, maka x=149, 14x=2086. Artinya barisan tersebut dapat mempunyai tiga suku. Dalam kasus kedua, 16x=4321, tetapi x bukanlah bilangan asli.

Tidak ada Jawaban; b) ya; c) 577.

Henry G.N.

FMS No.146, Perm

12). Semua suku barisan berhingga adalah bilangan asli. Setiap anggota barisan ini, dimulai dari yang kedua, atau dari 10; kali lebih banyak, atau 10 kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jumlah seluruh suku barisan tersebut adalah 1860.

a) Dapatkah suatu barisan mempunyai dua suku? b) Dapatkah suatu barisan mempunyai tiga suku?

c) Berapakah jumlah suku terbesar yang dapat dimiliki barisan tersebut?

Jelasnya, kita dapat berbicara tentang pembagian bilangan bulat dan mempertimbangkan masalah tentang topik ini tanpa henti. Saya mencoba mempertimbangkan topik ini sedemikian rupa untuk lebih menarik minat siswa, untuk menunjukkan kepada mereka keindahan matematika dari sudut pandang ini.

Henry G.N.

FMS No.146, Perm

Bibliografi:

1. A. Ya.Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Bagaimana mengatasi masalah non-standar Moscow ICSME 2001

2. A.V. Spivak. Tambahan jurnal Kvant No. 4/2000 Liburan matematika, Moskow 2000

3. A.V. Spivak. Lingkaran matematika, “Menabur” 2003

4. Sankt Peterburg istana kreativitas pemuda kota. Lingkaran matematika. Buku Soal untuk studi tahun pertama dan kedua. Saint Petersburg. 1993

5. Aljabar untuk kelas 8. Buku teks untuk siswa di sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam. Diedit oleh N.Ya.Vilenkin. Moskow, 1995

6. M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich. Kumpulan soal aljabar untuk kelas 8-9. Buku teks untuk siswa di sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam. Moskow, Pencerahan. 1994

7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Aljabar kelas 8. Buku teks untuk sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam. Moskow, 2001

8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMATIKA Aljabar. Awal mula analisis matematis. Tingkat profil. Buku teks untuk kelas 11. Binom Moskow. Laboratorium Pengetahuan 2009

9. M.I. Shabunin, A.A. Prokofiev, T.A. Oleinik, T.V. Sokolova. Aljabar MATEMATIKA UMK. Awal mula analisis matematis. Buku Soal tingkat profil untuk kelas 11. Binom Moskow. Laboratorium Pengetahuan 2009

10. AG Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matematika. Kumpulan tes sesuai rencana Unified State Exam 2010

11. Ujian Negara Bersatu-2010. "Legiun-M". Rostov-on-Don 2009

12. Ujian Negara Terpadu UMK “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu." Diedit oleh F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Mempersiapkan Ujian Negara Bersatu 2011. "Legiun-M". Rostov-on-Don 2010

13. UMK “Matematika. Ujian Negara Bersatu 2010". Diedit oleh F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Persiapan MATEMATIKA UN Unified State-2010. Tes pendidikan dan pelatihan. "Legiun-M". Rostov-on-Don 2009

14. Ujian Negara Terpadu FIPI. Materi universal untuk persiapan siswa MATEMATIKA 2010"Pusat Intelek" 2010

15. A.Zh.Zhafyarov. Matematika. Konsultasi Ekspres Ujian Negara Bersatu-2010. Rumah Penerbitan Universitas Siberia, 2010

Persamaan dalam bilangan bulat adalah persamaan aljabar dengan dua atau lebih variabel yang tidak diketahui dan koefisien bilangan bulat. Solusi untuk persamaan tersebut adalah himpunan bilangan bulat (terkadang natural atau rasional) dari nilai variabel yang tidak diketahui yang memenuhi persamaan ini. Persamaan seperti itu disebut juga diophantine, untuk menghormati ahli matematika Yunani kuno yang mempelajari beberapa jenis persamaan tersebut sebelum zaman kita.

Kita berutang rumusan modern masalah Diophantine kepada ahli matematika Perancis. Dialah yang mengajukan pertanyaan tentang penyelesaian persamaan tak tentu hanya dalam bilangan bulat kepada ahli matematika Eropa. Persamaan bilangan bulat yang paling terkenal adalah teorema terakhir Fermat: persamaan

tidak memiliki solusi rasional bukan nol untuk semua n > 2 alami.

Ketertarikan teoretis terhadap persamaan bilangan bulat cukup besar, karena persamaan tersebut berkaitan erat dengan banyak permasalahan dalam teori bilangan.

Pada tahun 1970, ahli matematika Leningrad Yuri Vladimirovich Matiyasevich membuktikan bahwa metode umum yang memungkinkan penyelesaian persamaan Diophantine sewenang-wenang dalam bilangan bulat dalam sejumlah langkah terbatas tidak ada dan tidak mungkin ada. Oleh karena itu, Anda harus memilih metode penyelesaian Anda sendiri untuk berbagai jenis persamaan.

Saat menyelesaikan persamaan bilangan bulat dan bilangan asli, metode berikut dapat dibedakan secara kasar:

cara untuk memilah-milah pilihan;

penerapan algoritma Euclidean;

representasi bilangan dalam bentuk pecahan lanjutan (lanjutan);

faktorisasi;

menyelesaikan persamaan bilangan bulat sebagai kuadrat (atau lainnya) terhadap variabel apa pun;

metode sisa;

metode keturunan tak terbatas.

Masalah dengan solusi

1. Selesaikan persamaan x 2 – xy – 2y 2 = 7 dalam bilangan bulat.

Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk (x – 2y)(x + y) = 7.

Karena x, y adalah bilangan bulat, kita mencari solusi persamaan awal sebagai solusi empat sistem berikut:

1) x – 2kamu = 7, x + kamu = 1;

2) x – 2kamu = 1, x + kamu = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Setelah menyelesaikan sistem ini, kita memperoleh solusi persamaan: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) dan (–5; –2).

Jawaban: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

a) 20x + 12 tahun = 2013;

b) 5x + 7y = 19;

c) 201x – 1999 tahun = 12.

a) Karena untuk setiap nilai bilangan bulat x dan y ruas kiri persamaan habis dibagi dua, dan ruas kanan bilangan ganjil, maka persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian dalam bilangan bulat.

Jawaban: tidak ada solusi.

b) Pertama-tama mari kita pilih beberapa solusi spesifik. Dalam hal ini, sederhana saja, misalnya,

x 0 = 1, kamu 0 = 2.

5x 0 + 7y 0 = 19,

5(x – x 0) + 7(kamu – kamu 0) = 0,

5(x – x 0) = –7(kamu – kamu 0).

Karena bilangan 5 dan 7 relatif prima, maka

x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.

Jadi solusi umumnya adalah:

x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,

di mana k adalah bilangan bulat sembarang.

Jawaban: (1+7k; 2–5k), dengan k adalah bilangan bulat.

c) Menemukan solusi spesifik melalui seleksi dalam hal ini cukup sulit. Mari kita gunakan algoritma Euclidean untuk angka 1999 dan 201:

KPK(1999, 201) = KPK(201, 190) = KPK(190, 11) = KPK(11, 3) = KPK(3, 2) = KPK(2, 1) = 1.

Mari tulis proses ini dalam urutan terbalik:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =

121 11 – 7 190 = 121(201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =

121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Artinya pasangan (1273, 128) merupakan penyelesaian persamaan 201x – 1999y = 1. Maka pasangan bilangan tersebut

x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536

merupakan penyelesaian persamaan 201x – 1999y = 12.

Solusi umum persamaan ini akan ditulis dalam bentuk

x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, dimana k adalah bilangan bulat,

atau, setelah penetapan ulang (kami menggunakan 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),

x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, dimana n adalah bilangan bulat.

Jawaban: (1283+1999n, 129+201n), dimana n adalah bilangan bulat.

3. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:

a) x 3 + kamu 3 = 3333333;

b) x 3 + kamu 3 = 4(x 2 kamu + xy 2 + 1).

a) Karena x 3 dan y 3 bila dibagi 9 hanya dapat menghasilkan sisa 0, 1 dan 8 (lihat tabel pada bagian tersebut), maka x 3 + y 3 hanya dapat menghasilkan sisa 0, 1, 2, 7 dan 8. Namun bilangan 3333333 jika dibagi 9 menghasilkan sisa 3. Oleh karena itu, persamaan awal tidak memiliki solusi bilangan bulat.

b) Mari kita tulis ulang persamaan aslinya menjadi (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Karena kubus bilangan bulat jika dibagi 7 menghasilkan sisa 0, 1 dan 6, tetapi tidak 4, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.

Jawaban: Tidak ada solusi bilangan bulat.

a) pada bilangan prima persamaan x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;

b) dalam bilangan bulat persamaan x + y = x 2 – xy + y 2.

a) Mari kita selesaikan persamaan ini sebagai persamaan kuadrat terhadap variabel y. Kita mendapatkan

y = x + 9 atau y = 16 – x.

Karena untuk x ganjil bilangan x + 9 adalah bilangan genap, maka satu-satunya pasangan bilangan prima yang memenuhi persamaan pertama adalah (2; 11).

Karena x, y sederhana, maka dari persamaan y = 16 – x kita peroleh

2 x 16.2 pada 16.

Dengan menelusuri opsi, kita menemukan solusi yang tersisa: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Jawaban: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

b) Anggap persamaan ini sebagai persamaan kuadrat untuk x:

x 2 – (kamu + 1)x + kamu 2 – kamu = 0.

Diskriminan persamaan ini adalah –3y 2 + 6y + 1. Bersifat positif hanya untuk nilai y berikut: 0, 1, 2. Untuk masing-masing nilai tersebut, dari persamaan awal diperoleh persamaan kuadrat untuk x , yang mudah diselesaikan.

Jawaban: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Adakah bilangan tripel bilangan bulat x, y, z yang jumlahnya tak terhingga sehingga x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?

Mari kita coba memilih tiga kali lipat dimana y = –z. Maka y 3 dan z 3 akan selalu saling menghilangkan, dan persamaan kita akan terlihat seperti ini

x 2 + 2y 2 = x 3

atau, sebaliknya,

x 2 (x–1) = 2kamu 2 .

Agar sepasang bilangan bulat (x; y) memenuhi kondisi ini, bilangan x–1 cukup dua kali kuadrat bilangan bulat tersebut. Bilangan-bilangan seperti itu jumlahnya tak terhingga banyaknya, yaitu semua bilangan yang berbentuk 2n 2 +1. Substitusikan bilangan ini ke x 2 (x–1) = 2y 2, setelah transformasi sederhana kita peroleh:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Semua kembar tiga yang diperoleh dengan cara ini memiliki bentuk (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

Jawaban: ada.

6. Tentukan bilangan bulat x, y, z, u sehingga x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Bilangan x 2 + y 2 + z 2 + u 2 genap, maka di antara bilangan x, y, z, u terdapat bilangan ganjil yang bilangan genap.

Jika keempat bilangan x, y, z, u ganjil, maka x 2 + y 2 + z 2 + u 2 habis dibagi 4, tetapi 2xyzu tidak habis dibagi 4 - suatu perbedaan.

Jika tepat dua bilangan x, y, z, u ganjil, maka x 2 + y 2 + z 2 + u 2 tidak habis dibagi 4, tetapi 2xyzu habis dibagi 4 – lagi-lagi terjadi selisih.

Jadi, semua bilangan x, y, z, u adalah bilangan genap. Lalu kita bisa menulis itu

x = 2x 1 , y = 2kamu 1 , z = 2z 1 , kamu = 2kamu 1 ,

dan persamaan aslinya akan berbentuk

x 1 2 + kamu 1 2 + z 1 2 + kamu 1 2 = 8x 1 kamu 1 z 1 kamu 1 .

Sekarang perhatikan bahwa (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 bila dibagi 8 menghasilkan sisa 1. Oleh karena itu, jika semua bilangan x 1 , y 1 , z 1 , u 1 ganjil, maka x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 tidak habis dibagi 8. Dan jika tepat dua bilangan tersebut ganjil, maka x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 tidak habis dibagi 8 4. Artinya

x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, kamu 1 = 2u 2,

dan kita mendapatkan persamaannya

x 2 2 + kamu 2 2 + z 2 2 + kamu 2 2 = 32x 2 kamu 2 z 2 kamu 2 .

Mengulangi alasan yang sama lagi, kita menemukan bahwa x, y, z, u habis dibagi 2 n untuk semua n natural, yang hanya mungkin untuk x = y = z = u = 0.

Jawaban: (0; 0; 0; 0).

7. Buktikan persamaan tersebut

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.

Mari kita gunakan identitas berikut:

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).

Maka persamaan aslinya dapat ditulis sebagai

(x – kamu)(kamu – z)(z – x) = 10.

Mari kita nyatakan a = x – y, b = y – z, c = z – x dan tulis persamaan yang dihasilkan dalam bentuk

Selain itu, jelas bahwa a + b + c = 0. Mudah untuk memverifikasi bahwa, hingga permutasi, persamaan abc = 10 menyiratkan bahwa bilangan |a|, |b|, |c| sama dengan 1, 2, 5, atau 1, 1, 10. Namun dalam semua kasus ini, untuk setiap pilihan tanda a, b, c, jumlah a + b + c adalah bukan nol. Jadi, persamaan aslinya tidak memiliki solusi bilangan bulat.

8. Selesaikan persamaan 1 bilangan bulat! + 2! + . . . +x! = kamu 2 .

Jelas sekali

jika x = 1, maka y 2 = 1,

jika x = 3, maka y 2 = 9.

Kasus-kasus ini sesuai dengan pasangan angka berikut:

x 1 = 1, kamu 1 = 1;

x 2 = 1, kamu 2 = –1;

x 3 = 3, kamu 3 = 3;

x 4 = 3, kamu 4 = –3.

Perhatikan bahwa untuk x = 2 kita mempunyai 1! + 2! = 3, untuk x = 4 kita punya 1! + 2! + 3! + 4! = 33 dan baik 3 maupun 33 bukanlah kuadrat bilangan bulat. Jika x > 5, maka

5! + 6! + . . . +x! = 10n,

kita bisa menulis itu

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . +x! = 33 + 10n.

Karena 33 + 10n adalah bilangan yang berakhiran 3, maka bilangan tersebut bukan kuadrat bilangan bulat.

Jawaban: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Selesaikan sistem persamaan bilangan asli berikut:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, lalu a 3 > b 3 + c 3 ;

jadi kita punya

Dengan menambahkan ketidaksetaraan ini, kita mendapatkan hal itu

Dengan mempertimbangkan pertidaksamaan terakhir, dari persamaan kedua sistem kita peroleh bahwa

Namun persamaan kedua sistem juga menunjukkan bahwa a adalah bilangan genap. Jadi, a = 2, b = c = 1.

Jawaban: (2; 1; 1)

10. Temukan semua pasangan bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y.

Memfaktorkan kedua ruas persamaan ini, kita peroleh:

x(x + 1) = kamu(kamu + 1)(kamu 2 + 1),

x(x + 1) = (kamu 2 + kamu)(kamu 2 + 1)

Persamaan tersebut dimungkinkan jika ruas kiri dan ruas kanan sama dengan nol, atau merupakan hasil kali dua bilangan bulat berurutan. Oleh karena itu, dengan menyamakan faktor-faktor tertentu dengan nol, kita memperoleh 4 pasang nilai variabel yang diinginkan:

x 1 = 0, kamu 1 = 0;

x 2 = 0, kamu 2 = –1;

x 3 = –1, kamu 3 = 0;

x 4 = –1, kamu 4 = –1.

Hasil kali (y 2 + y)(y 2 + 1) dapat dianggap sebagai hasil kali dua bilangan bulat bukan nol yang berurutan hanya jika y = 2. Oleh karena itu x(x + 1) = 30, maka x 5 = 5, x 6 = –6. Artinya masih ada dua pasang bilangan bulat lagi yang memenuhi persamaan awal:

x 5 = 5, kamu 5 = 2;

x 6 = –6, kamu 6 = 2.

Jawaban: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Masalah tanpa solusi

1. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:

a) xy = x + y + 3;

b) x 2 + kamu 2 = x + kamu + 2.

2. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:

a) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;

b) 15x 2 – 7y 2 = 9.

3. Selesaikan persamaan bilangan asli:

a) 2 x + 1 = kamu 2;

b) 3 2 x + 1 = kamu 2.

4. Buktikan persamaan x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz dalam bilangan rasional mempunyai penyelesaian unik

5. Buktikan bahwa persamaan x 2 + 5 = y 3 dalam bilangan bulat tidak mempunyai penyelesaian.