Untuk memahami cara menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, pertama-tama mari kita pelajari aturannya, lalu lihat contoh spesifiknya.
Penjumlahan atau pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda:
1) Temukan (NOZ) pecahan yang diberikan.
2) Temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan. Untuk melakukan ini, penyebut baru harus dibagi dengan yang lama.
3) Kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan dan penjumlahan atau pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.
4) Periksa apakah pecahan yang dihasilkan beraturan dan tak dapat direduksi.
Dalam contoh berikut, Anda perlu menjumlahkan atau mengurangi pecahan dengan penyebut berbeda:
1) Untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut berbeda, pertama-tama cari penyebut persekutuan terkecil dari pecahan-pecahan tersebut. Kami memilih yang lebih besar dari angka dan memeriksa apakah itu dapat dibagi dengan yang lebih kecil. 25 tidak habis dibagi 20. Kita kalikan 25 dengan 2. 50 tidak habis dibagi 20. Kita kalikan 25 dengan 3. 75 tidak habis dibagi 20. Kalikan 25 dengan 4. 100 habis dibagi 20. Jadi penyebut terkecil adalah 100.
2) Untuk menemukan faktor tambahan untuk setiap pecahan, Anda perlu membagi penyebut baru dengan yang lama. 100:25=4, 100:20=5. Dengan demikian, untuk pecahan pertama faktor tambahan adalah 4, ke yang kedua - 5.
3) Kami mengalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan dan mengurangkan pecahan sesuai dengan aturan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.
4) Pecahan yang dihasilkan beraturan dan tidak dapat direduksi. Jadi ini adalah jawabannya.
1) Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda, cari dulu penyebutnya yang terkecil. 16 tidak habis dibagi 12. 16∙2=32 tidak habis dibagi 12. 16∙3=48 habis dibagi 12. Jadi 48 adalah NOZ.
2) 48:16=3, 48:12=4. Ini adalah faktor tambahan untuk setiap pecahan.
3) kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan dan tambahkan pecahan baru.
4) Pecahan yang dihasilkan beraturan dan tidak dapat direduksi.
1) 30 tidak habis dibagi 20. 30∙2=60 habis dibagi 20. Jadi 60 adalah penyebut terkecil dari pecahan ini.
2) untuk menemukan faktor tambahan untuk setiap pecahan, Anda perlu membagi penyebut baru dengan yang lama: 60:20=3, 60:30=2.
3) kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan dan kurangi pecahan baru.
4) pecahan yang dihasilkan 5.
1) 8 tidak habis dibagi 6. 8∙2=16 tidak habis dibagi 6. 8∙3=24 habis dibagi 4 dan 6. Oleh karena itu, 24 adalah NOZ.
2) untuk menemukan faktor tambahan untuk setiap pecahan, Anda perlu membagi penyebut baru dengan yang lama. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Jadi 3, 6 dan 4 adalah faktor tambahan pada pecahan pertama, kedua dan ketiga.
3) kalikan pembilang dan penyebut setiap dolby dengan faktor tambahan. Kami menambah dan mengurangi. Pecahan yang dihasilkan tidak tepat, jadi Anda harus memilih seluruh bagian.
Dalam pelajaran ini, kita akan melihat pengurangan pecahan ke penyebut yang sama dan memecahkan masalah pada topik ini. Mari kita berikan definisi konsep penyebut yang sama dan faktor tambahan, ingat tentang bilangan koprima. Mari kita definisikan konsep penyebut terkecil (LCD) dan selesaikan sejumlah masalah untuk menemukannya.
Topik: Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda
Pelajaran: Mengurangi pecahan ke penyebut yang sama
Pengulangan. Sifat dasar pecahan.
Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan asli yang sama, maka akan diperoleh pecahan yang sama dengannya.
Misalnya, pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dibagi 2. Kita mendapatkan pecahan. Operasi ini disebut pengurangan pecahan. Anda juga dapat melakukan transformasi terbalik dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 2. Dalam kasus ini, kita katakan bahwa kita telah mereduksi pecahan menjadi penyebut baru. Angka 2 disebut faktor tambahan.
Kesimpulan. Suatu pecahan dapat direduksi menjadi sembarang penyebut yang merupakan kelipatan dari penyebut pecahan tersebut. Untuk membawa pecahan ke penyebut baru, pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan faktor tambahan.
1. Bawa pecahan ke penyebut 35.
Bilangan 35 adalah kelipatan 7, yaitu 35 habis dibagi 7 tanpa sisa. Jadi transformasi ini mungkin. Mari kita cari faktor tambahan. Untuk melakukan ini, kami membagi 35 dengan 7. Kami mendapatkan 5. Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan asli dengan 5.
2. Bawa pecahan ke penyebut 18.
Mari kita cari faktor tambahan. Untuk melakukan ini, kami membagi penyebut baru dengan yang asli. Kami mendapatkan 3. Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ini dengan 3.
3. Bawa pecahan ke penyebut 60.
Dengan membagi 60 dengan 15, kita mendapatkan pengali tambahan. Sama dengan 4. Mari kalikan pembilang dan penyebutnya dengan 4.
4. Bawa pecahan ke penyebut 24
Dalam kasus sederhana, pengurangan ke penyebut baru dilakukan dalam pikiran. Biasanya hanya menunjukkan faktor tambahan di belakang tanda kurung sedikit ke kanan dan di atas pecahan asli.
Sebuah pecahan dapat disederhanakan menjadi penyebut 15 dan sebuah pecahan dapat disederhanakan menjadi penyebut 15. Pecahan memiliki penyebut yang sama dari 15.
Penyebut umum pecahan dapat berupa kelipatan persekutuan dari penyebutnya. Untuk penyederhanaan, pecahan direduksi menjadi penyebut persekutuan terkecil. Itu sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut dari pecahan yang diberikan.
Contoh. Kurangi penyebut terkecil dari pecahan dan .
Pertama, cari kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan-pecahan tersebut. Angka ini adalah 12. Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama dan kedua. Untuk melakukan ini, kita membagi 12 dengan 4 dan 6. Tiga adalah faktor tambahan untuk pecahan pertama, dan dua untuk pecahan kedua. Kami membawa pecahan ke penyebut 12.
Kami mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, yaitu, kami menemukan pecahan yang sama dengan mereka dan memiliki penyebut yang sama.
Aturan. Untuk membawa pecahan ke penyebut umum terendah,
Pertama, temukan kelipatan persekutuan terkecil dari pecahan-pecahan ini, yang akan menjadi penyebut persekutuan terkecilnya;
Kedua, bagi penyebut terkecil dengan penyebut pecahan ini, yaitu temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan.
Ketiga, kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.
a) Mengurangi pecahan dan penyebut yang sama.
Penyebut persekutuan terendah adalah 12. Faktor tambahan untuk pecahan pertama adalah 4, untuk pecahan kedua - 3. Kami membawa pecahan ke penyebut 24.
b) Mengurangi pecahan dan penyebut yang sama.
Penyebut persekutuan terendah adalah 45. Membagi 45 dengan 9 dengan 15, kita mendapatkan masing-masing 5 dan 3. Kami membawa pecahan ke penyebut 45.
c) Mengurangi pecahan dan penyebut yang sama.
Penyebutnya adalah 24. Faktor tambahannya masing-masing adalah 2 dan 3.
Kadang-kadang sulit untuk secara verbal menemukan kelipatan persekutuan terkecil untuk penyebut pecahan yang diberikan. Kemudian penyebut umum dan faktor tambahan ditemukan dengan memfaktorkan ke faktor prima.
Kurangi menjadi penyebut yang sama dari pecahan dan .
Mari kita uraikan bilangan 60 dan 168 menjadi faktor prima. Mari kita tuliskan pemuaian bilangan 60 dan tambahkan faktor 2 dan 7 yang hilang dari pemuaian kedua. Kalikan 60 dengan 14 dan dapatkan penyebut yang sama dari 840. Faktor tambahan untuk pecahan pertama adalah 14. Faktor tambahan untuk pecahan kedua adalah 5. Mari kita kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama dari 840.
Bibliografi
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. dan lain-lain.Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika kelas 6 SD. - Gimnasium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di balik halaman buku teks matematika. - Pencerahan, 1989.
4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Tugas mata kuliah matematika kelas 5-6. - ZSH MEPHI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matematika 5-6. Manual untuk siswa kelas 6 sekolah korespondensi MEPHI. - ZSH MEPHI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. dan lain-lain.Matematika: Sebuah buku teks-teman bicara untuk kelas 5-6 SMA. Perpustakaan guru matematika. - Pencerahan, 1989.
Anda dapat mengunduh buku-buku yang ditentukan dalam klausa 1.2. pelajaran ini.
Pekerjaan rumah
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. dan lain-lain.Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012. (lihat link 1.2)
Pekerjaan rumah: No. 297, No. 298, No. 300.
Tugas lain: #270, #290
Dalam materi ini, kami akan menganalisis cara membawa pecahan ke penyebut baru dengan benar, apa faktor tambahan itu dan bagaimana menemukannya. Setelah itu, kami merumuskan aturan dasar pengurangan pecahan ke penyebut baru dan mengilustrasikannya dengan contoh soal.
Konsep pengurangan pecahan ke penyebut yang berbeda
Ingat sifat dasar pecahan. Menurutnya, pecahan biasa a b (di mana a dan b adalah bilangan apa saja) memiliki banyak pecahan yang sama dengannya. Pecahan seperti itu dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama m (alami). Dengan kata lain, semua pecahan biasa dapat diganti dengan pecahan lain yang berbentuk a m b m . Ini adalah pengurangan nilai asli menjadi pecahan dengan penyebut yang diinginkan.
Anda dapat membawa pecahan ke penyebut yang berbeda dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bilangan asli apa pun. Syarat utamanya adalah pengali harus sama untuk kedua bagian pecahan. Hasilnya adalah pecahan yang sama dengan aslinya.
Mari kita ilustrasikan ini dengan sebuah contoh.
Contoh 1
Ubah pecahan 11 25 ke penyebut baru.
Larutan
Ambil bilangan asli 4 sembarang dan kalikan kedua bagian pecahan asli dengannya. Kami mempertimbangkan: 11 4 \u003d 44 dan 25 4 \u003d 100. Hasilnya adalah pecahan dari 44.100.
Semua perhitungan dapat ditulis dalam bentuk ini: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100
Ternyata pecahan apa pun dapat direduksi menjadi sejumlah besar penyebut yang berbeda. Alih-alih empat, kita bisa mengambil bilangan asli lain dan mendapatkan pecahan lain yang setara dengan yang asli.
Tapi tidak sembarang bilangan bisa menjadi penyebut pecahan baru. Jadi, untuk a b penyebut hanya dapat memuat bilangan b · m yang merupakan kelipatan dari b . Ingat konsep dasar pembagian - kelipatan dan pembagi. Jika bilangan tersebut bukan kelipatan b, tetapi tidak dapat menjadi pembagi pecahan baru. Mari kita jelaskan ide kita dengan contoh pemecahan masalah.
Contoh 2
Hitung apakah mungkin untuk mengurangi pecahan 5 9 menjadi penyebut 54 dan 21.
Larutan
54 adalah kelipatan sembilan, yang merupakan penyebut pecahan baru (yaitu 54 dapat dibagi 9). Oleh karena itu, pengurangan seperti itu dimungkinkan. Dan kita tidak dapat membagi 21 dengan 9, jadi tindakan seperti itu tidak dapat dilakukan untuk pecahan ini.
Konsep pengganda tambahan
Mari kita rumuskan apa itu faktor tambahan.
Definisi 1
Pengganda tambahan adalah bilangan asli yang kedua bagian dari pecahan dikalikan untuk membawanya ke penyebut baru.
Itu. ketika kami melakukan tindakan ini pada pecahan, kami mengambil pengganda tambahan untuk itu. Misalnya, untuk mereduksi pecahan 7 10 menjadi bentuk 21 30, kita memerlukan faktor tambahan 3 . Dan Anda bisa mendapatkan pecahan 15 40 dari 3 8 menggunakan pengganda 5.
Dengan demikian, jika kita mengetahui penyebut pecahan yang harus dikurangi, maka kita dapat menghitung faktor tambahan untuk itu. Mari kita cari tahu bagaimana melakukannya.
Kami memiliki pecahan a b , yang dapat direduksi menjadi beberapa penyebut c ; hitung faktor tambahan m . Kita perlu mengalikan penyebut pecahan asal dengan m. Kami mendapatkan b · m , dan sesuai dengan kondisi masalah b · m = c . Ingat bagaimana perkalian dan pembagian saling berhubungan. Hubungan ini akan membawa kita pada kesimpulan berikut: faktor tambahan tidak lebih dari hasil bagi membagi c dengan b, dengan kata lain, m = c: b.
Jadi, untuk menemukan faktor tambahan, kita perlu membagi penyebut yang diperlukan dengan yang asli.
Contoh 3
Temukan faktor tambahan yang dengannya pecahan 17 4 dibawa ke penyebut 124 .
Larutan
Dengan menggunakan aturan di atas, kita cukup membagi 124 dengan penyebut pecahan asal, empat.
Kami mempertimbangkan: 124: 4 \u003d 31.
Jenis perhitungan ini sering diperlukan saat mengurangi pecahan ke penyebut yang sama.
Aturan untuk mengurangi pecahan ke penyebut tertentu
Mari beralih ke definisi aturan dasar, yang dengannya Anda dapat membawa pecahan ke penyebut yang ditentukan. Jadi,
Definisi 2
Untuk membawa pecahan ke penyebut yang ditentukan, Anda perlu:
- menentukan pengganda tambahan;
- kalikan dengan pembilang dan penyebut pecahan asal.
Bagaimana menerapkan aturan ini dalam praktik? Mari kita beri contoh penyelesaian masalah.
Contoh 4
Kerjakan pengurangan pecahan 7 16 menjadi penyebut 336 .
Larutan
Mari kita mulai dengan menghitung pengali tambahan. Bagi: 336: 16 = 21.
Kami mengalikan jawaban yang diterima dengan kedua bagian dari pecahan asli: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. Jadi kami membawa pecahan asli ke penyebut yang diinginkan 336.
Jawaban: 7 16 = 147 336.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Bagaimana cara membawa pecahan aljabar (rasional) ke penyebut yang sama?
1) Jika penyebut pecahan adalah polinomial, Anda perlu mencoba salah satu metode yang diketahui.
2) Common denominator (LCD) terendah terdiri dari semua pengganda diambil terbesar derajat.
Penyebut terkecil untuk bilangan dicari secara lisan sebagai bilangan terkecil yang habis dibagi oleh bilangan lainnya.
3) Untuk menemukan faktor tambahan untuk setiap pecahan, Anda perlu membagi penyebut baru dengan yang lama.
4) Pembilang dan penyebut pecahan asal dikalikan dengan faktor tambahan.
Perhatikan contoh pengurangan pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama.
Untuk menemukan penyebut yang sama untuk angka, pilih angka yang lebih besar dan periksa apakah itu habis dibagi dengan yang lebih kecil. 15 tidak habis dibagi 9. Kami mengalikan 15 dengan 2 dan memeriksa apakah angka yang dihasilkan habis dibagi 9. 30 tidak habis dibagi 9. Kami mengalikan 15 dengan 3 dan memeriksa apakah angka yang dihasilkan habis dibagi 9. 45 habis dibagi 9, yang berarti bahwa penyebut umum untuk angka-angka tersebut adalah 45.
Common denominator terendah adalah jumlah dari semua faktor yang diambil ke pangkat tertinggi. Jadi, penyebut umum dari pecahan ini adalah 45 bc (huruf biasanya ditulis dalam urutan abjad).
Untuk menemukan faktor tambahan untuk setiap pecahan, Anda perlu membagi penyebut baru dengan yang lama. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Kami mengalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan:
Pertama, kita mencari penyebut yang sama untuk bilangan: 8 tidak habis dibagi 6, 8∙2=16 tidak habis dibagi 6, 8∙3=24 habis dibagi 6. Setiap variabel harus dimasukkan ke dalam common denominator satu kali. Dari derajat kita ambil derajat dengan eksponen besar.
Jadi, penyebut umum dari pecahan ini adalah 24a³bc.
Untuk menemukan faktor tambahan untuk setiap pecahan, Anda perlu membagi penyebut baru dengan yang lama: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Kami mengalikan faktor tambahan dengan pembilang dan penyebut:
Polinomial dalam penyebut pecahan ini diperlukan. Penyebut pecahan pertama adalah kuadrat penuh dari selisihnya: x²-18x+81=(x-9)²; dalam penyebut detik - selisih kuadrat: x²-81=(x-9)(x+9):
Penyebut yang sama terdiri dari semua faktor yang diambil sampai batas terbesar, yaitu sama dengan (x-9)²(x+9). Kami menemukan faktor tambahan dan mengalikannya dengan pembilang dan penyebut setiap pecahan:
Pecahan memiliki penyebut yang berbeda atau sama. Penyebut yang sama atau disebut faktor persekutuan di pecahan Contoh penyebut yang sama:
\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)
Contoh penyebut yang berbeda untuk pecahan:
\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)
Bagaimana cara mencari penyebut pecahan biasa?
Pecahan pertama memiliki penyebut 3, yang kedua adalah 13. Anda perlu menemukan bilangan yang habis dibagi 3 dan 13. Bilangan ini adalah 39.
Pecahan pertama harus dikalikan dengan pengganda tambahan 13. Agar pecahan tidak berubah, kita harus mengalikan pembilang dengan 13 dan penyebutnya.
\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(merah) (13))(3 \times \color(merah) (13)) = \frac(104)(39)\)
Kami mengalikan pecahan kedua dengan faktor tambahan 3.
\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(merah) (3))(13 \times \color(merah) (3)) = \frac(6)(39)\)
Kami telah mengurangi penyebut umum dari pecahan:
\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)
Penyebut umum terendah.
Pertimbangkan contoh lain:
Mari kita bawa pecahan \(\frac(5)(8)\) dan \(\frac(7)(12)\) ke penyebut yang sama.
Penyebut umum untuk angka 8 dan 12 dapat berupa angka 24, 48, 96, 120, ..., adalah kebiasaan untuk memilih penyebut umum terendah dalam kasus kami, angka ini adalah 24.
Penyebut persekutuan terendah adalah bilangan terkecil yang membagi penyebut pecahan pertama dan kedua.
Bagaimana menemukan penyebut umum terendah?
Dengan pencacahan angka, dimana penyebut dari pecahan pertama dan kedua dibagi dan memilih yang terkecil dari mereka.
Kita perlu mengalikan pecahan dengan penyebut 8 dengan 3, dan mengalikan pecahan dengan penyebut 12 dengan 2.
\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(merah) (2))(12 \times \color(merah) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\ \end(align)\)
Jika Anda tidak dapat segera membawa pecahan ke penyebut umum terendah, tidak ada yang perlu dikhawatirkan, di masa depan, ketika memecahkan contoh, Anda mungkin harus mendapatkan jawabannya
Penyebut yang sama dapat ditemukan untuk dua pecahan apa pun; itu bisa menjadi produk dari penyebut pecahan ini.
Sebagai contoh:
Kurangi pecahan \(\frac(1)(4)\) dan \(\frac(9)(16)\) ke penyebut persekutuan terkecil.
Cara termudah untuk menemukan penyebut yang sama adalah dengan mengalikan penyebutnya 4⋅16=64. Angka 64 bukanlah penyebut umum terendah. Tugasnya adalah menemukan penyebut bersama terkecil. Jadi kita mencari lebih jauh. Kita membutuhkan bilangan yang habis dibagi 4 dan 16, ini adalah bilangan 16. Mari kita kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, kalikan pecahan dengan penyebut 4 dengan 4, dan pecahan dengan penyebut 16 dengan satu. Kita mendapatkan:
\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(merah) (1))(16 \times \color(merah) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(align)\)
