Prinsip D'Alembert menetapkan pendekatan terpadu untuk mempelajari pergerakan suatu benda material, terlepas dari sifat kondisi yang dikenakan pada pergerakan tersebut. Dalam hal ini persamaan gerak dinamis diberikan bentuk persamaan kesetimbangan. Oleh karena itu nama kedua dari prinsip d'Alembert - metode kinetostatik.

Untuk suatu titik material pada setiap momen gerak, jumlah geometri gaya aktif yang diterapkan, reaksi kopling, dan gaya inersia yang diterapkan secara kondisional adalah nol (Gbr. 48).

Dimana F adalah gaya inersia suatu titik material, sama dengan:

. (15.2)

Gambar 48

Gambar 49

Gaya inersia diterapkan bukan pada benda yang bergerak, tetapi pada hubungan yang menentukan pergerakannya. Manusia melaporkan percepatan troli (Gbr. 49), mendorongnya dengan kuat .Gaya inersia mewakili perlawanan terhadap tindakan seseorang di troli, yaitu. modulo sama dengan gaya dan diarahkan ke arah yang berlawanan.

Jika suatu titik bergerak sepanjang lintasan lengkung, maka gaya inersia dapat diproyeksikan ke sumbu koordinat alam.

Gambar 50

; (15.3)

, (15.4) dimana -- radius kelengkungan lintasan.

Saat menyelesaikan masalah dengan menggunakan metode kinetostatika, Anda harus:

1. pilih sistem koordinat;

2. menunjukkan semua gaya aktif yang diterapkan pada setiap titik;

3. membuang senyawa, menggantinya dengan reaksi yang sesuai;

4. menambahkan gaya inersia pada gaya aktif dan reaksi ikatan;

5. menyusun persamaan kinetostatik untuk menentukan besaran yang diperlukan.

CONTOH 21.

TENTANG

LARUTAN.

1. Perhatikan sebuah mobil yang terletak di puncak jembatan cembung. Mari kita anggap mobil sebagai titik material yang diberi gaya tertentu dan reaksi komunikasi .

2. Karena mobil bergerak dengan kecepatan konstan, kita tuliskan prinsip D'Alembert untuk suatu titik material yang diproyeksikan ke garis normal
. (1) Mari kita nyatakan gaya inersia:
; Kita menentukan tekanan normal mobil dari persamaan (1): N.

tentukan tekanan sebuah mobil bermassa G=10000H yang terletak di titik puncak jembatan cembung berjari-jari =20m dan bergerak dengan kecepatan konstan V=36km/jam (Gbr. 51).

16. Prinsip D'Alembert untuk sistem mekanik. Vektor utama dan momen utama gaya inersia.

Jika gaya inersia yang bersangkutan diterapkan secara kondisional pada setiap titik sistem mekanis pada setiap momen gerak, maka pada setiap momen gerak, jumlah geometri gaya aktif yang bekerja pada titik tersebut, reaksi ikatan dan gaya inersia adalah sama dengan nol.

Persamaan yang menyatakan prinsip d'Alembert untuk sistem mekanik memiliki bentuk
. (16.1) Jumlah momen gaya-gaya seimbang terhadap pusat mana pun juga sama dengan nol
. (16.2) Dengan menerapkan prinsip D'Alembert, persamaan gerak sistem disusun dalam bentuk persamaan kesetimbangan. Dengan menggunakan persamaan (16.1) dan (16.2), respons dinamis dapat ditentukan.

CONTOH 22.

Poros AK vertikal berputar dengan kecepatan sudut konstan =10s -1, diamankan dengan bantalan dorong di titik A dan bantalan silinder di titik K (Gbr. 52). Pada poros di titik E dipasang sebuah batang patah tipis homogen bermassa m = 10 kg dan panjang 10 b, terdiri dari bagian 1 dan 2, dimana b = 0,1 m, dan massanya m 1 dan m 2 adalah sebanding dengan panjangnya. Batang diikatkan pada poros dengan sebuah engsel di titik E dan dengan sebuah batang tak berbobot 4 yang dipasang secara kaku di titik B. Tentukan reaksi engsel E dan batang 4.

LARUTAN.

1. Panjang batang yang patah adalah 10b. Mari kita nyatakan massa bagian-bagian batang, sebanding dengan panjangnya: m 1 =0,4m; m 2 =0,3m; m 3 =0,3m.

Gambar 42

2. Untuk menentukan reaksi yang diinginkan, perhatikan pergerakan batang patah dan terapkan prinsip D'Alembert. Mari kita letakkan batang pada bidang xy dan gambarkan gaya luar yang bekerja padanya: ,,, reaksi engsel Dan dan reaksi
batang 4. Pada gaya-gaya ini kita tambahkan gaya inersia bagian-bagian batang:
;
;
,

Di mana
;
;
.

Kemudian N.N.N.

Garis kerja resultan gaya inersia ,
Dan
melintas pada jarak h 1, h 2 dan h 3 dari sumbu x: m;

3. Menurut prinsip d'Alembert, gaya aktif yang diterapkan, reaksi kopling, dan gaya inersia membentuk sistem gaya yang seimbang. Mari kita buat tiga persamaan kesetimbangan untuk sistem gaya bidang:

; ; (1)
;; (2)
;.(3)

Memecahkan sistem persamaan (1)+(3), dengan mensubstitusi nilai yang diberikan dari besaran yang sesuai, kita menemukan reaksi yang diperlukan:

N= kamu E = x E =

Jika semua gaya yang bekerja pada titik-titik sistem mekanis dibagi menjadi gaya eksternal dan batin , (Gbr. 53), maka untuk titik sembarang dari sistem mekanis kita dapat menulis dua persamaan vektor:

; (16.3)
.

Gambar 53

Dengan memperhatikan sifat-sifat gaya dalam, maka diperoleh prinsip d'Alembert untuk sistem mekanik dalam bentuk sebagai berikut:
; (16.4)
, (16.5) dimana ,-- masing-masing, vektor utama gaya luar dan gaya inersia;

,
-- masing-masing, momen utama gaya luar dan gaya inersia relatif terhadap pusat sembarang O.

Vektor utama dan poin utama
gantikan gaya inersia semua titik dalam sistem, karena setiap titik dalam sistem pasti mempunyai gaya inersianya sendiri-sendiri, bergantung pada percepatan titik tersebut. Dengan menggunakan teorema tentang gerak pusat massa dan perubahan momentum sudut sistem relatif terhadap pusat sembarang, kita memperoleh:
, (16.6)

. (16.7) Untuk benda tegar yang berputar mengelilingi sumbu tetap z, momen gaya inersia utama terhadap sumbu ini sama dengan
, (16.8) dimana -- percepatan sudut benda.

Selama gerak translasi suatu benda, gaya inersia dari semua titiknya direduksi menjadi resultan yang sama dengan vektor utama gaya inersia, yaitu.
.

P

Gambar 54

Ketika sebuah benda berputar mengelilingi sumbu tetap z melewati pusat massa, gaya inersia semua titik benda direduksi menjadi sepasang gaya yang terletak pada bidang yang tegak lurus sumbu rotasi dan mempunyai momen
, (16.9) dimana -- momen inersia benda terhadap sumbu rotasi.

Jika suatu benda mempunyai bidang simetri dan berputar mengelilingi sumbu tetap z, tegak lurus terhadap bidang simetri dan tidak melalui pusat massa benda, maka gaya inersia semua titik pada benda tersebut dikurangi menjadi gaya resultan sama dengan ke vektor utama gaya inersia sistem, tetapi diterapkan pada titik tertentu K (Gbr. 54) . Garis tindakan yang dihasilkan terletak agak jauh dari titik O
. (16.10)

Dalam gerak bidang suatu benda yang memiliki bidang simetri, benda tersebut bergerak sepanjang bidang tersebut (Gbr. 55). Vektor utama dan momen utama gaya inersia juga terletak pada bidang ini dan ditentukan dengan rumus:

Gambar 55

;

.

Tanda minus menunjukkan arah momen tersebut
berlawanan dengan arah percepatan sudut benda.

CONTOH 23.

Tentukan gaya yang cenderung merobek roda gila bermassa m yang berputar seragam, dengan mempertimbangkan massanya terdistribusi pada tepinya. Jari-jari roda gila r, kecepatan sudut (Gbr. 56).

LARUTAN.

1. Kekuatan yang Anda cari bersifat internal. -- resultan gaya inersia elemen pelek.
. Mari kita nyatakan koordinat x c ​​pusat massa busur tepi dengan sudut pusat
:
, Kemudian
.

2. Untuk mengetahui kekuatan Mari kita terapkan prinsip d'Alembert dalam proyeksi ke sumbu x:
;
, Di mana
.

3. Jika roda gila adalah piringan padat homogen, maka
, Kemudian
.

prinsip d'Alembert digunakan ketika memecahkan masalah utama pertama tentang dinamika titik tak bebas, ketika pergerakan titik dan gaya aktif yang bekerja padanya diketahui, dan reaksi koneksi yang dihasilkan dicari.

Mari kita tuliskan persamaan dasar dinamika titik tak bebas dalam kerangka acuan inersia:

Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi:

.

Artinya , kita dapatkan

, (11.27)

dimana vektor tersebut dipanggil gaya inersia D'Alembert.

Pernyataan prinsip: Pada setiap momen pergerakan suatu titik material tidak bebas, gaya aktif dan reaksi ikatan diseimbangkan oleh gaya inersia D'Alembert..

Dengan memproyeksikan persamaan vektor (11.27) ke sembarang sumbu koordinat, kita memperoleh persamaan kesetimbangan yang sesuai, yang dengannya kita dapat menemukan reaksi yang tidak diketahui.

Mari kita proyeksikan persamaan (11.27) ke sumbu natural:

(11.28)

Di mana disebut gaya inersia sentrifugal, selalu diarahkan ke arah negatif dari normal utama; .

Catatan:

1). Pada kenyataannya, selain gaya-gaya tersebut, tidak ada gaya fisik lain yang diterapkan pada titik tersebut, dan ketiga gaya tersebut bukanlah suatu sistem gaya yang seimbang. Dalam pengertian ini, gaya inersia d'Alembert adalah gaya fiktif yang diterapkan secara kondisional pada suatu titik.

2). Prinsip D'Alembert harus dianggap sebagai perangkat metodologis yang memungkinkan masalah dinamika direduksi menjadi masalah statika.

Contoh 1. Mari kita tentukan reaksi kopling yang bekerja pada pilot ketika sebuah pesawat terbang yang bergerak pada bidang vertikal keluar dari penerbangan menyelam (Gbr. 11.5).

Pilot dipengaruhi oleh gravitasi dan reaksi kursi. Mari kita terapkan prinsip D'Alembert, dengan menambahkan gaya inersia D'Alembert ke gaya-gaya berikut:

(11.29)

Mari kita tulis persamaan (11.29) dalam proyeksi ke normal:

(11.30)

Di mana R- radius lingkaran saat pesawat memasuki penerbangan datar,

Kecepatan maksimum pesawat saat ini.

Dari persamaan (11.30)

(11.31)

Contoh 2. Sekarang mari kita tentukan reaksi yang sama yang bekerja pada pilot pada saat keluar dari mode pendakian (Gbr. 11.6).

Gerak relatif suatu titik material

Jika sistem acuan tidak bergerak secara translasi relatif terhadap sistem acuan inersia, atau titik asal koordinatnya bergerak tidak beraturan atau melengkung, maka sistem acuan tersebut adalah non-inersia. Dalam kerangka acuan ini aksioma A 1 dan A 2 tidak diamati, tetapi tidak berarti bahwa hanya gerak yang terjadi dalam kerangka acuan inersia yang dipelajari dalam dinamika. Mari kita perhatikan gerak suatu titik material dalam sistem koordinat non-inersia jika gaya-gaya yang bekerja pada titik material tersebut diketahui dan gerak sistem acuan non-inersia relatif terhadap kerangka acuan inersia ditentukan. Selanjutnya, kerangka acuan inersia disebut kerangka acuan stasioner, dan kerangka acuan noninersia disebut kerangka acuan bergerak. Misalkan resultan gaya-gaya aktif yang bekerja pada titik tersebut, dan resultan reaksi ikatan-ikatan; - sistem koordinat tetap; - sistem koordinat bergerak.

Pertimbangkan pergerakan suatu titik material M(Gbr. 11.7), tidak terhubung secara kaku dengan sistem koordinat bergerak, tetapi bergerak sehubungan dengannya. Dalam kinematika, gerak suatu titik disebut relatif, gerak suatu titik relatif terhadap sistem koordinat tetap disebut mutlak, dan gerak sistem koordinat bergerak disebut portabel.

Hukum dasar dinamika gerak absolut suatu titik M akan terlihat seperti

(11.33)

dimana adalah percepatan absolut titik tersebut.

Berdasarkan teorema penjumlahan percepatan kinematika (teorema Coriolis), percepatan absolut merupakan penjumlahan dari percepatan relatif, transpor, dan Coriolis.

. (11.34)

Substitusikan (11.34) ke (11.33), kita peroleh

dan setelah mentransfer dan memasukkan peruntukan

(11.35)

Di mana ; vektor disebut gaya transfer inersia; - Gaya inersia Coriolis.

Kesetaraan (11.35) menyatakan hukum gerak relatif suatu titik. Akibatnya, gerak suatu titik dalam kerangka acuan non-inersia dapat dianggap sebagai gerak dalam kerangka inersia, jika kita menambahkan gaya transfer dan gaya inersia Coriolis ke jumlah gaya aktif dan reaksi kopling yang bekerja pada titik tersebut.

Gaya inersia dalam dinamika suatu titik material dan sistem mekanik

Dengan kekuatan inersia suatu titik material adalah hasil kali massa titik dan percepatannya, diambil dengan tanda minus, yaitu gaya inersia dalam dinamika diterapkan dalam kasus berikut:

• 1. Saat mempelajari pergerakan suatu titik material di non-inersia sistem koordinat (bergerak), yaitu gerak relatif. Ini adalah gaya transpor dan gaya inersia Coriolis, yang sering disebut gaya Euler.
• 2. Saat menyelesaikan masalah dinamika dengan menggunakan metode kinetostatik. Metode ini didasarkan pada prinsip d'Alembert, yang menyatakan bahwa gaya inersia suatu titik material atau sistem titik material bergerak dengan percepatan tertentu sebesar inersia sistem referensi. Gaya inersia ini disebut gaya d'Alembert.
• 3. Gaya inersia D'Alembert juga digunakan ketika menyelesaikan masalah dinamika menggunakan prinsip Lagrange-D'Alembert atau persamaan umum dinamika.

Ekspresi dalam proyeksi pada sumbu koordinat kartesius

Di mana - modul proyeksi percepatan suatu titik pada sumbu koordinat kartesius.

Ketika suatu titik bergerak dalam arah lengkung, gaya inersia dapat diuraikan menjadi gaya singgung dan normal :; , - modul percepatan tangensial dan normal; - radius kelengkungan lintasan;

V- kecepatan titik.

Prinsip D'Alembert untuk suatu titik material

Jika tidak bebas suatu titik material yang bergerak di bawah aksi gaya aktif dan gaya reaksi ikatan, terapkan gaya inersianya, maka setiap saat sistem gaya yang dihasilkan akan seimbang, yaitu. jumlah geometri gaya-gaya ini akan sama dengan nol.

bahan bodi titik mekanis

Di mana - resultan gaya aktif yang diterapkan pada suatu titik; - resultan reaksi ikatan yang dikenakan pada suatu titik; gaya inersia suatu titik material. Catatan: Faktanya, gaya inersia suatu titik material diterapkan bukan pada titik itu sendiri, tetapi pada benda yang memberikan percepatan pada titik tersebut.

Prinsip D'Alembert untuk sistem mekanik

Jumlah geometris vektor utama gaya luar yang bekerja pada sistem dan gaya inersia semua titik sistem, serta jumlah geometri momen utama gaya-gaya tersebut relatif terhadap suatu pusat untuk sistem mekanis tak bebas pada setiap saat. sama dengan nol, yaitu

Vektor utama dan momen utama gaya inersia suatu benda tegar

Vektor utama dan momen utama gaya inersia titik-titik sistem ditentukan secara terpisah untuk setiap benda tegar yang termasuk dalam sistem mekanis tertentu. Definisi mereka didasarkan pada metode Poinsot, yang dikenal dari statika, yang membawa sistem gaya sewenang-wenang ke pusat tertentu.

Berdasarkan metode ini, gaya inersia seluruh titik benda, secara umum pergerakannya dapat dibawa ke pusat massa dan digantikan oleh vektor utama * dan momen utama relatif terhadap pusat massa. Mereka ditentukan oleh rumus yaitu untuk apa pun dalam gerak benda tegar, vektor utama gaya inersia sama, dengan tanda minus, dengan hasil kali massa benda dan percepatan pusat massa benda; ,Di mana R kc -- vektor radius k-th titik-titik yang ditarik dari pusat massa. Rumus-rumus ini dalam kasus-kasus khusus gerak benda tegar berbentuk:

1. Gerakan ke depan.

2. Rotasi suatu benda pada suatu sumbu yang melalui pusat massa

3. Gerak sejajar bidang

Pengantar Mekanika Analitik

Konsep dasar mekanika analitik

Mekanika analitik- suatu bidang (bagian) mekanika di mana gerak atau keseimbangan sistem mekanik dipelajari dengan menggunakan metode analisis umum dan terpadu yang digunakan untuk sistem mekanik apa pun.

Mari kita perhatikan konsep mekanika analitik yang paling khas.

1. Koneksi dan klasifikasinya.

Koneksi-- pembatasan apa pun dalam bentuk benda atau kondisi kinematik apa pun yang dikenakan pada pergerakan titik-titik sistem mekanis. Kendala tersebut dapat dituliskan sebagai persamaan atau pertidaksamaan.

Koneksi geometris-- koneksi yang persamaannya hanya memuat koordinat titik, yaitu pembatasan hanya dikenakan pada koordinat titik. Ini adalah hubungan dalam bentuk benda, permukaan, garis, dll.

Koneksi diferensial-- koneksi yang membatasi tidak hanya pada koordinat titik, tetapi juga pada kecepatannya.

Koneksi holonomis -- semua hubungan geometri dan hubungan diferensial yang persamaannya dapat diintegrasikan.

Koneksi non-holonomis-- koneksi diferensial yang tidak dapat diintegrasikan.

Sambungan telepon rumah -- koneksi yang persamaannya tidak secara eksplisit memasukkan waktu.

Komunikasi non-stasioner-- hubungan yang berubah seiring waktu, yaitu persamaan yang secara jelas mencakup waktu.

Sambungan dua arah (penahan) -- hubungan yang membatasi pergerakan suatu titik dalam dua arah yang berlawanan. Koneksi tersebut dijelaskan oleh persamaan .

Sepihak koneksi (non-pengekangan) - koneksi yang membatasi pergerakan hanya dalam satu arah. Hubungan seperti ini digambarkan dengan ketidaksetaraan

2. Gerakan yang mungkin (virtual) dan aktual.

Mungkin atau maya perpindahan titik-titik suatu sistem mekanis adalah gerakan imajiner yang sangat kecil yang memungkinkan adanya hubungan yang dikenakan pada sistem.

Mungkin Pergerakan suatu sistem mekanis adalah sekumpulan kemungkinan pergerakan titik-titik sistem secara simultan yang sesuai dengan sambungannya. Biarkan sistem mekanis menjadi mekanisme engkol.

Kemungkinan pergerakan titik tersebut A adalah gerak yang karena kecilnya dianggap bujursangkar dan arahnya tegak lurus OA.

Kemungkinan pergerakan titik tersebut DI DALAM(slider) bergerak di pemandu. Kemungkinan pergerakan engkol OA adalah sudut rotasi, dan batang penghubung AB -- ke sudut di sekitar MCS (titik R).

Sah perpindahan titik-titik sistem disebut juga perpindahan dasar yang memungkinkan adanya hubungan yang ditumpangkan, tetapi dengan memperhatikan kondisi awal gerak dan gaya-gaya yang bekerja pada sistem.

Jumlah derajat kebebasan S suatu sistem mekanis adalah jumlah kemungkinan pergerakan independen yang dapat dikomunikasikan ke titik-titik sistem pada suatu titik waktu tertentu.

Prinsip kemungkinan pergerakan (prinsip Lagrange)

Prinsip perpindahan yang mungkin terjadi atau prinsip Lagrange menyatakan kondisi keseimbangan sistem mekanik tak bebas di bawah pengaruh gaya aktif yang diterapkan. Pernyataan prinsip.

Untuk keseimbangan dari sistem mekanik tak bebas dengan ikatan dua arah, stasioner, holonomis, dan ideal, yang diam di bawah aksi gaya aktif yang diterapkan, perlu dan cukup bahwa jumlah kerja dasar semua gaya aktif sama dengan peluru pada setiap kemungkinan perpindahan sistem dari posisi setimbang yang dipertimbangkan:

Persamaan umum dinamika (prinsip Lagrange-D'Alembert)

Persamaan umum dinamika diterapkan pada studi tentang gerak sistem mekanik tidak bebas, yang benda atau titiknya bergerak dengan percepatan tertentu.

Sesuai dengan prinsip d'Alembert, totalitas gaya aktif yang diterapkan pada sistem mekanis, gaya reaksi penggandengan, dan gaya inersia di semua titik sistem membentuk sistem gaya yang seimbang.

Jika kita menerapkan prinsip kemungkinan perpindahan (prinsip Lagrange) pada sistem seperti itu, kita memperoleh gabungan prinsip Lagrange-D'Alembert atau persamaan umum dinamika.Pernyataan prinsip ini.

Saat bergerak tidak bebas suatu sistem mekanis dengan hubungan dua arah, ideal, stasioner, dan holonomis, jumlah kerja dasar semua gaya aktif dan gaya inersia yang diterapkan pada titik-titik sistem pada setiap kemungkinan pergerakan sistem adalah nol:

Persamaan Lagrange jenis kedua

Persamaan Lagrange jenis kedua adalah persamaan diferensial gerak sistem mekanik dalam koordinat umum.

Untuk sistem dengan S derajat kebebasan, persamaan ini mempunyai bentuk

Perbedaan turunan total terhadap waktu, turunan parsial energi kinetik sistem terhadap kecepatan umum, dan turunan parsial energi kinetik terhadap koordinat umum sama dengan gaya umum.

Persamaan Lagrange untuk sistem mekanik konservatif. Koordinat siklik dan integral

Untuk sistem konservatif, gaya umum ditentukan melalui energi potensial sistem sesuai rumus

Kemudian persamaan Lagrange akan ditulis ulang dalam bentuk

Karena energi potensial sistem hanya merupakan fungsi dari koordinat umum, yaitu dengan mempertimbangkan hal ini, mari kita nyatakan dalam bentuk di mana T - P = L -- Fungsi Lagrange (potensi kinetik). Terakhir, persamaan Lagrange untuk sistem konservatif

Stabilitas posisi kesetimbangan suatu sistem mekanik

Pertanyaan tentang kestabilan posisi kesetimbangan sistem mekanis mempunyai arti penting langsung dalam teori getaran sistem.

Posisi keseimbangan bisa stabil, tidak stabil dan acuh tak acuh.

Berkelanjutan posisi kesetimbangan - posisi kesetimbangan di mana titik-titik sistem mekanis, yang dipindahkan dari posisi ini, selanjutnya bergerak di bawah aksi gaya di sekitar posisi kesetimbangannya.

Gerakan ini akan memiliki tingkat pengulangan tertentu seiring berjalannya waktu, yaitu sistem akan melakukan gerakan osilasi.

Tidak stabil posisi kesetimbangan - posisi kesetimbangan yang, dengan deviasi kecil yang sewenang-wenang pada titik-titik sistem, gaya-gaya yang bekerja lebih lanjut akan mendorong titik-titik tersebut lebih jauh lagi dari posisi kesetimbangannya .

Cuek posisi kesetimbangan - posisi kesetimbangan ketika, dengan deviasi awal kecil dari titik-titik sistem dari posisi ini, pada posisi baru sistem juga tetap berada dalam kesetimbangan. .

Ada berbagai metode untuk menentukan posisi keseimbangan stabil suatu sistem mekanik.

Mari kita perhatikan definisi posisi keseimbangan stabil berdasarkan Teorema Lagrange-Dirichlet

Jika dalam posisi kesetimbangan sistem mekanik konservatif dengan hubungan ideal dan stasioner, energi potensialnya minimum, maka posisi kesetimbangan ini stabil.

Fenomena dampak. Kekuatan tumbukan dan impuls tumbukan

Fenomena yang terjadi dalam selang waktu yang sangat singkat, kecepatan titik-titik pada suatu benda berubah dengan jumlah tertentu disebut meniup. Periode waktu ini disebut waktu dampak. Selama tumbukan, gaya tumbukan diberikan dalam jangka waktu yang sangat kecil. Dampak kekuatan disebut gaya yang momentum tumbukannya bernilai berhingga.

Jika gayanya terbatas dalam modulus bertindak seiring waktu, memulai aksinya pada saat tertentu , maka impulsnya berbentuk

Selain itu, ketika gaya tumbukan bekerja pada suatu titik material, kita dapat mengatakan bahwa:

aksi kekuatan non-instan selama tumbukan dapat diabaikan;

pergerakan titik material selama tumbukan dapat diabaikan;

hasil aksi gaya tumbukan pada suatu titik material dinyatakan dalam perubahan akhir vektor kecepatannya selama tumbukan.

Teorema tentang perubahan momentum sistem mekanik saat tumbukan

perubahan momentum sistem mekanik selama tumbukan sama dengan jumlah geometri semua pulsa kejut eksternal yang diterapkan pada titik-titik sistem, Di mana - jumlah gerak sistem mekanis pada saat penghentian gaya tumbukan, - jumlah gerak sistem mekanis pada saat gaya tumbukan mulai bekerja, - impuls kejutan eksternal.

Prinsip D'Alembert memungkinkan kita merumuskan masalah dinamika sistem mekanik sebagai masalah statika. Dalam hal ini persamaan gerak diferensial dinamis diberikan bentuk persamaan kesetimbangan. Metode ini disebut metode kinetostatik .

Prinsip D'Alembert untuk suatu titik material: « Pada setiap momen waktu, pergerakan suatu titik material, gaya aktif yang bekerja padanya, reaksi ikatan dan gaya inersia yang diterapkan secara kondisional pada titik tersebut membentuk sistem gaya yang seimbang.»

Oleh gaya inersia suatu titik disebut besaran vektor yang mempunyai dimensi gaya yang besarnya sama dengan hasil kali massa suatu titik dan percepatannya dan arahnya berlawanan dengan vektor percepatan

. (3.38)

Mengingat sistem mekanis sebagai sekumpulan titik material, yang masing-masing dipengaruhi, menurut prinsip D'Alembert, oleh sistem gaya yang seimbang, kita mempunyai konsekuensi dari prinsip ini sebagaimana diterapkan pada sistem. Vektor utama dan momen utama terhadap setiap pusat gaya luar yang diterapkan pada sistem dan gaya inersia semua titiknya sama dengan nol:

(3.39)

Di sini gaya luar adalah gaya aktif dan reaksi ikatan.

Vektor utama gaya inersia sistem mekanik sama dengan hasil kali massa sistem dan percepatan pusat massanya dan diarahkan ke arah yang berlawanan dengan percepatan ini

. (3.40)

Momen utama gaya inersia sistem relatif terhadap pusat yang berubah-ubah TENTANG sama dengan turunan waktu yang diambil dengan tanda momentum sudut yang berlawanan terhadap pusat yang sama

. (3.41)

Untuk benda tegar yang berputar pada sumbu tetap Ons, mari kita cari momen utama gaya inersia terhadap sumbu ini

. (3.42)

3.8. Elemen mekanika analitik

Bagian “Mekanika Analitik” membahas prinsip-prinsip umum dan metode analitis untuk memecahkan masalah dalam mekanika sistem material.

3.8.1. Kemungkinan pergerakan sistem. Klasifikasi

beberapa koneksi

Kemungkinan pergerakan titik
dari suatu sistem mekanik adalah setiap gerakan imajiner, sangat kecil yang diperbolehkan oleh hubungan yang dikenakan pada sistem pada suatu titik waktu tertentu. A-priori, sejumlah derajat kebebasan Suatu sistem mekanis disebut banyaknya kemungkinan gerak independennya.

Koneksi yang dikenakan pada sistem disebut ideal , jika jumlah kerja dasar reaksinya pada salah satu kemungkinan perpindahan titik-titik sistem sama dengan nol

. (3. 43)

Koneksi yang pembatasannya diberlakukan tetap dipertahankan di posisi mana pun dalam sistem disebut memegang . Hubungan yang tidak berubah terhadap waktu dan persamaannya tidak mencakup waktu secara eksplisit disebut tidak bergerak . Koneksi yang hanya membatasi pergerakan titik-titik dalam sistem disebut geometris , dan kecepatan pembatasnya adalah kinematis . Berikut ini, kita hanya akan membahas hubungan geometri dan hubungan kinematik yang dapat direduksi menjadi hubungan geometri melalui integrasi.

3.8.2. Prinsip kemungkinan gerakan

Untuk keseimbangan suatu sistem mekanis dengan ikatan ideal dan stasioner, diperlukan dan cukup bahwa

jumlah kerja dasar semua gaya aktif yang bekerja padanya, untuk setiap kemungkinan perpindahan sistem, sama dengan nol

. (3.44)

Dalam proyeksi pada sumbu koordinat:

. (3.45)

Prinsip perpindahan yang mungkin memungkinkan untuk menetapkan secara umum kondisi keseimbangan sistem mekanis apa pun, tanpa mempertimbangkan keseimbangan masing-masing bagiannya. Dalam hal ini, hanya gaya aktif yang bekerja pada sistem yang diperhitungkan. Reaksi ikatan ideal yang tidak diketahui tidak termasuk dalam kondisi ini. Pada saat yang sama, prinsip ini memungkinkan untuk menentukan reaksi ikatan ideal yang tidak diketahui dengan membuang ikatan ini dan memasukkan reaksinya ke dalam jumlah gaya aktif. Ketika melepaskan ikatan yang reaksinya perlu ditentukan, sistem memperoleh sejumlah derajat kebebasan tambahan yang sesuai.

Contoh 1 . Temukan hubungan antar kekuatan Dan jack, jika diketahui dengan setiap putaran pegangan AB = aku, baut DENGAN diperluas berdasarkan jumlahnya H(Gbr. 3.3).

Larutan

Kemungkinan pergerakan mekanisme tersebut adalah memutar pegangan  dan memindahkan beban  H. Kondisi kerja gaya dasar sama dengan nol:

hal- Qjam = 0;

Kemudian
. Sejak H 0, lalu

3.8.3. Persamaan dinamika variasional umum

Perhatikan gerak suatu sistem yang terdiri dari N poin. Kekuatan aktif bertindak berdasarkan itu dan reaksi koneksi .(k = 1,…,N) Jika kita menambahkan gaya inersia titik ke gaya yang bekerja
, maka menurut prinsip d'Alembert, sistem gaya yang dihasilkan akan berada dalam keseimbangan dan, oleh karena itu, persamaan yang ditulis berdasarkan prinsip kemungkinan perpindahan (3.44) adalah valid:

. (3.46)

Jika semua sambungan ideal, maka jumlah ke-2 sama dengan nol dan proyeksi ke sumbu koordinat persamaan (3,46) akan terlihat seperti ini:

Persamaan terakhir adalah persamaan variasi umum dinamika dalam proyeksi pada sumbu koordinat, yang memungkinkan kita menyusun persamaan diferensial gerak sistem mekanik.

Persamaan variasi umum dinamika adalah ekspresi matematika prinsip d'Alembert-Lagrange: « Ketika suatu sistem bergerak, dengan adanya hubungan stasioner, ideal, dan menahan, pada saat tertentu, jumlah kerja dasar semua gaya aktif yang diterapkan pada sistem dan gaya inersia pada setiap kemungkinan pergerakan sistem adalah nol.».

Contoh 2 . Untuk sistem mekanis (Gbr. 3.4) yang terdiri dari tiga benda, tentukan percepatan beban 1 dan tegangan kabel 1-2 jika: M 1 = 5M; M 2 = 4M; M 3 = 8M; R 2 = 0,5R 2 ; radius girasi blok 2 Saya = 1,5R 2. Roller 3 adalah piringan homogen kontinu.

Larutan

Mari kita gambarkan gaya-gaya yang melakukan usaha dasar pada kemungkinan perpindahan  S kargo 1:

Mari kita tuliskan kemungkinan pergerakan semua benda melalui kemungkinan pergerakan beban 1:

Mari kita nyatakan percepatan linier dan sudut semua benda melalui percepatan beban 1 yang diinginkan (hubungannya sama seperti dalam kasus kemungkinan perpindahan):

.

Persamaan variasi umum untuk soal ini berbentuk:

Mengganti ekspresi yang diperoleh sebelumnya untuk gaya aktif, gaya inersia, dan kemungkinan perpindahan, setelah transformasi sederhana kita peroleh

Sejak  S 0, oleh karena itu, ekspresi dalam tanda kurung yang memuat percepatan sama dengan nol A 1 , Di mana A 1 = 5G/8,25 = 0,606G.

Untuk menentukan tegangan kabel yang menahan beban, kita melepaskan beban dari kabel, mengganti aksinya dengan reaksi yang diinginkan . Di bawah pengaruh kekuatan tertentu ,dan gaya inersia yang diterapkan pada beban
dia seimbang. Oleh karena itu, prinsip d'Alembert berlaku untuk beban (titik) yang dimaksud, yaitu. mari kita tuliskan itu
. Dari sini
.

3.8.4. Persamaan Lagrange jenis ke-2

Koordinat umum dan kecepatan umum. Setiap parameter yang saling independen yang secara unik menentukan posisi sistem mekanis dalam ruang disebut koordinat umum . Koordinat ini, dilambangkan Q 1 ,....Q saya dapat memiliki dimensi apa pun. Secara khusus, koordinat umum dapat berupa perpindahan atau sudut rotasi.

Untuk sistem yang dipertimbangkan, jumlah koordinat umum sama dengan jumlah derajat kebebasan. Posisi setiap titik sistem adalah fungsi bernilai tunggal dari koordinat umum

Dengan demikian, pergerakan sistem dalam koordinat umum ditentukan oleh ketergantungan berikut:

Turunan pertama dari koordinat umum disebut kecepatan umum :
.

Kekuatan yang digeneralisasi. Ekspresi untuk kerja gaya dasar tentang kemungkinan relokasi
memiliki bentuk:

.

Untuk operasi dasar sistem gaya, kami menulis

Dengan menggunakan dependensi yang diperoleh, ekspresi ini dapat ditulis sebagai:

,

di mana gaya umum bersesuaian dengan Saya koordinat umum,

. (3.49)

Dengan demikian, kekuatan umum yang sesuai Saya koordinat umum, adalah koefisien variasi koordinat ini dalam ekspresi jumlah karya dasar gaya aktif pada kemungkinan perpindahan sistem . Untuk menghitung gaya umum, perlu untuk menginformasikan sistem tentang kemungkinan perpindahan, di mana hanya koordinat umum yang berubah Q Saya. Koefisien di
dan akan menjadi kekuatan umum yang diinginkan.

Persamaan gerak suatu sistem dalam koordinat umum. Mari kita diberikan sistem mekanis dengan S derajat kebebasan. Mengetahui gaya-gaya yang bekerja padanya, perlu dibuat persamaan diferensial gerak dalam koordinat umum
. Mari kita terapkan prosedur penyusunan persamaan diferensial gerak sistem - Persamaan Lagrange jenis ke-2 - dengan analogi dengan penurunan persamaan ini untuk titik material bebas. Berdasarkan hukum ke-2 Newton, kami menulis

Mari kita peroleh analogi persamaan ini dengan menggunakan notasi energi kinetik suatu titik material,

Turunan parsial energi kinetik terhadap proyeksi kecepatan pada sumbu
sama dengan proyeksi momentum ke sumbu ini, yaitu.

Untuk mendapatkan persamaan yang diperlukan, kami menghitung turunannya terhadap waktu:

Sistem persamaan yang dihasilkan adalah persamaan Lagrange jenis ke-2 untuk suatu titik material.

Untuk sistem mekanis, kami menyajikan persamaan Lagrange jenis ke-2 dalam bentuk persamaan yang bukan proyeksi gaya aktif P X , P kamu , P z menggunakan kekuatan umum Q 1 , Q 2 ,...,Q saya dan secara umum memperhitungkan ketergantungan energi kinetik pada koordinat umum.

Persamaan Lagrange jenis ke-2 untuk sistem mekanik berbentuk:

. (3.50)

Mereka dapat digunakan untuk mempelajari gerak sistem mekanis apa pun dengan batasan geometris, ideal, dan penahan.

Contoh 3 . Untuk sistem mekanik (Gbr. 3.5), data yang diberikan pada contoh sebelumnya, buat persamaan diferensial gerak menggunakan persamaan Lagrange jenis ke-2,

Larutan

Suatu sistem mekanis mempunyai satu derajat kebebasan. Mari kita ambil pergerakan linier beban sebagai koordinat umum Q 1 = s; kecepatan umum – . Dengan mempertimbangkan hal ini, kami menulis persamaan Lagrange jenis ke-2

.

Mari kita buat ekspresi energi kinetik sistem

.

Mari kita nyatakan semua kecepatan sudut dan linier melalui kecepatan umum:

Sekarang kita mengerti

Mari kita hitung gaya umum dengan menyusun ekspresi kerja dasar pada kemungkinan perpindahan  S semua kekuatan aktif. Tanpa memperhitungkan gaya gesekan, kerja dalam sistem hanya dilakukan oleh gaya gravitasi beban 1
Mari kita tuliskan gaya umum di  S, sebagai koefisien dalam pekerjaan dasar Q 1 = 5mg. Selanjutnya kita akan menemukannya

Akhirnya, persamaan diferensial gerak sistem akan berbentuk:

Awalnya gagasan prinsip ini diungkapkan oleh Jacob Bernoulli (1654-1705) ketika mempertimbangkan masalah pusat osilasi benda-benda yang bentuknya berubah-ubah. Pada tahun 1716, akademisi St. Petersburg J. Herman (1678 - 1733) mengemukakan prinsip kesetaraan statis antara gerakan “bebas” dan gerakan “aktual”, yaitu gerakan yang dilakukan dengan adanya koneksi. Belakangan, prinsip ini diterapkan oleh L. Euler (1707-1783) pada masalah getaran benda fleksibel (karya tersebut diterbitkan pada tahun 1740) dan disebut “prinsip Petersburg”. Namun, orang pertama yang merumuskan prinsip tersebut dalam bentuk umum, meskipun tidak memberikan ungkapan analitis yang tepat, adalah d'Alembert (1717-1783). Dalam bukunya Dynamics, yang diterbitkan pada tahun 1743, ia menunjukkan metode pendekatan umum untuk memecahkan masalah dalam dinamika sistem tidak bebas. Ekspresi analitis dari prinsip ini kemudian diberikan oleh Lagrange dalam karyanya Analytical Mechanics.

Mari kita pertimbangkan beberapa sistem mekanis tidak bebas. Mari kita nyatakan resultan semua gaya aktif yang bekerja pada titik mana pun dalam sistem dengan dan resultan reaksi kopling dengan Maka persamaan gerak titik tersebut akan berbentuk

di mana adalah vektor percepatan suatu titik, dan merupakan massa titik tersebut.

Jika kita memperhitungkan gaya yang disebut gaya inersia d'Alembert, maka persamaan gerak (2.9) dapat ditulis ulang dalam bentuk persamaan kesetimbangan tiga gaya:

Persamaan (2.10) adalah inti dari prinsip d'Alembert untuk suatu titik, dan persamaan yang sama yang diperluas pada sistem adalah inti dari prinsip d'Alembert untuk sistem.

Persamaan gerak yang ditulis dalam bentuk (2.10) memungkinkan kita memberikan rumusan berikut pada prinsip d'Alembert: jika suatu sistem sedang bergerak, pada suatu titik waktu, langsung berhenti dan diterapkan pada setiap titik material sistem ini. gaya aktif reaksi ikatan yang bekerja padanya pada saat berhenti dan gaya inersia d'Alembertian, maka sistem akan tetap dalam keadaan setimbang.

Prinsip D'Alembert adalah metode yang mudah untuk memecahkan masalah dinamis, karena memungkinkan persamaan gerak sistem tak bebas ditulis dalam bentuk persamaan statis.

Dengan demikian, tentu saja masalah dinamika tidak direduksi menjadi masalah statika, karena masalah pengintegrasian persamaan gerak masih tetap ada, tetapi prinsip d'Alembert memberikan metode terpadu untuk menyusun persamaan gerak benda tak bebas. sistem, dan ini adalah keuntungan utamanya.

Jika kita ingat bahwa reaksi mewakili aksi koneksi pada titik-titik sistem, maka prinsip d'Alembert dapat diberikan rumusan berikut: jika gaya inersia d'Alembert ditambahkan ke gaya aktif yang bekerja pada titik-titik a sistem tidak bebas, maka gaya-gaya yang timbul dari gaya-gaya tersebut akan diseimbangkan oleh reaksi-reaksi ikatannya. Perlu ditegaskan bahwa rumusan ini bersifat kondisional, karena pada kenyataannya

Ketika sistem bergerak, tidak ada keseimbangan, karena gaya inersia tidak diterapkan pada titik-titik sistem.

Akhirnya, prinsip d'Alembert dapat diberikan rumusan lain yang setara, yang mana persamaan (2.9) kita tulis ulang dalam bentuk berikut: