Guru matematika Kochkina L.K.

Subjek SYMETRI AKSIAL DAN TENGAH

Tujuan dari tugas pelajaran:

Mengajarkan cara membangun titik-titik simetris dan mengenal bangun-bangun dengan simetri aksial dan simetri pusat, pembentukan representasi spasial siswa. Mengembangkan kemampuan mengamati dan menalar; pengembangan minat dalam subjek melalui penggunaan teknologi informasi. Pengembangan kompetensi matematika siswa. Membesarkan seseorang yang tahu bagaimana menghargai keindahan.

Hasil yang diharapkan Siswa dapat membangun bangun datar simetris tentang pusat dan garis.

Peralatan pelajaran:

Penggunaan teknologi informasi (presentasi).

Selama kelas

I. Momen organisasi.

Menginformasikan topik pelajaran, merumuskan tujuan pelajaran.

II. Presentasi menampilkan: "Dunia Simetris"(untuk siswa)

AKU AKU AKU. mengerjakan topik pelajaran(pekerjaan kelompok)

Siswa menyelesaikan tugas sendiri. Pada akhirnya, informasi dipertukarkan.

1 pilihan

item 47

simetri aksial

pilihan 2

item 47

simetri pusat

Tidak juga

Tidak juga

Pertimbangkan aturan untuk membangun angka simetris.

1 .Simetri pusat adalah simetri terhadap suatu titik.

Titik A dan B simetris terhadap beberapa titik O jika titik O adalah titik tengah segmen AB.

Algoritma untuk membangun sosok simetris terpusat

Kami membangun sebuah segitiga A 1 B 1 C 1, simetris dengan segitiga ABC, terhadap pusat (titik) O.

Untuk ini:

Hubungkan titik A, B, C dengan pusat O dan lanjutkan segmen ini;

2. Kami mengukur segmen AO, VO, CO dan menyisihkan di sisi lain titik O, segmen yang sama (AO \u003d A 1 O 1, VO \u003d B 1 O 1, CO \u003d C 1 O 1) ;

3. Hubungkan titik-titik yang dihasilkan dengan segmen A 1 B 1, A 1 C 1, B 1 C 1.

4. Diterima A 1 PADA 1 Dengan 1 ABC simetris.

Titik O disebut pusat simetri gambar, dan gambar disebut simetri pusat.

Tugas nomor 1 Gambar tersebut menunjukkan bagian dari gambar tersebut, yang pusat simetrinya adalah titik M. Jelaskan konstruksinya

Tugas nomor 2 Periksa kebenaran konstruksi gambar dari No. 1 dengan tetangga di atas meja. Bangun segi empat di buku catatannya dan tandai titik O, yang bukan milik segi empat ini. Ambil kembali buku catatan Anda dan buat segi empat simetris dengan yang diberikan sehubungan dengan titik O.

Periksa kebenaran tugas yang diselesaikan.

2. Simetri aksial - ini adalah simetri terhadap sumbu yang ditarik (garis lurus).

Titik A dan B simetris terhadap beberapa garis a jika titik-titik ini terletak pada garis yang tegak lurus terhadap garis yang diberikan dan pada jarak yang sama.

Sumbu simetri disebut garis lurus ketika ditekuk di mana "bagian" bertepatan, dan sosok itu disebut simetris terhadap beberapa sumbu.

Algoritma untuk membangun sosok simetris sehubungan dengan beberapa garis lurus

Kami membangun sebuah segitiga A 1 B 1 C 1, simetris dengan segitiga ABC terhadap garis lurus a.

Untuk ini:

1. Kami menggambar garis lurus dari simpul segitiga ABC yang tegak lurus terhadap garis lurus a dan melanjutkannya lebih jauh.

2. Kami mengukur jarak dari simpul segitiga ke titik yang dihasilkan pada garis lurus dan memplot jarak yang sama di sisi lain dari garis lurus.

3. Hubungkan titik-titik yang dihasilkan dengan segmen A 1 B 1, B 1 C 1, B 1 C 1.

4. Diterima A 1 PADA 1 Dengan 1 ABC simetris.

Tugas sesuai dengan buku teks No. 248-252, No. 261

melakukan konstruksi sosok simetris sehubungan dengan garis lurus a (di papan tulis dan di buku catatan).

VI. Menyimpulkan pelajaran.

Refleksi Apa jenis simetri yang Anda temui dalam pelajaran?

Pekerjaan rumah:

Ulangi definisi. Karya kreatif: Setelah mempelajari alfabet Rusia (untuk opsi 1) dan alfabet Latin (untuk opsi 2), pilih huruf-huruf yang memiliki simetri. Mengeluarkan hasil penelitian dalam format A4. Mereka yang tertarik dengan topik ini dapat mengambil bagian dalam proyek kreatif "Simetri di sekolah favorit saya"

Tugas nomor 4 Isi tabel:

Segmen garis

Lurus

sinar

Kotak

Satu pusat simetri

Tak terhingga banyak pusat simetri

Satu sumbu simetri

Dua sumbu simetri

Empat sumbu simetri

Banyak sumbu simetri tak terhingga

1 pilihan

item 47

simetri aksial

pilihan 2

item 47

simetri pusat

Simetri aksial adalah simetri sekitar ____________

Simetri pusat adalah simetri sekitar ________________

Dua titik A dan A 1 disebut simetris terhadap garis a jika ____________

Dua titik A dan A 1 disebut simetris terhadap titik O jika _______________

Garis lurus a disebut _______________

Titik O disebut _________________

Suatu bangun dikatakan simetris terhadap suatu garis a, jika untuk setiap titik pada gambar tersebut, titik yang simetris padanya adalah milik _________

Suatu bangun dikatakan simetris terhadap titik O jika untuk setiap titik pada gambar, titik yang simetris itu milik _______

Apakah bangun-bangun yang simetris terhadap garis lurus sama?

Tidak juga

Apakah bangun-bangun yang simetris terhadap suatu titik sama?

Jadi, berkaitan dengan geometri: ada tiga jenis simetri utama.

Pertama-tama, simetri pusat (atau simetri tentang suatu titik) - ini adalah transformasi bidang (atau ruang), di mana satu-satunya titik (titik O - pusat simetri) tetap di tempatnya, sedangkan titik-titik lainnya mengubah posisinya: alih-alih titik A, kita mendapatkan titik A1 sedemikian rupa sehingga titik O adalah tengah segmen AA1. Untuk membuat bangun datar 1, simetris dengan gambar terhadap titik O, perlu menggambar sinar melalui setiap titik pada gambar yang melalui titik O (pusat simetri), dan pada sinar ini untuk mengatur menyisihkan titik simetris dengan yang dipilih sehubungan dengan titik O. Himpunan poin dibangun dengan cara ini akan memberikan gambar F1.

Yang sangat menarik adalah gambar-gambar yang memiliki pusat simetri: dengan simetri terhadap titik O, setiap titik pada gambar F diubah lagi menjadi beberapa titik pada gambar F. Ada banyak gambar seperti itu dalam geometri. Misalnya: segmen (bagian tengah segmen adalah pusat simetri), garis lurus (setiap titiknya adalah pusat simetri), lingkaran (pusat lingkaran adalah pusat simetri), a persegi panjang (titik perpotongan diagonalnya adalah pusat simetri). Ada banyak objek simetris terpusat di alam hidup dan mati (komunikasi siswa). Seringkali orang sendiri membuat objek yang memiliki pusat simetririi (contoh dari menjahit, contoh dari teknik mesin, contoh dari arsitektur dan banyak contoh lainnya).

Kedua, simetri aksial (atau simetri terhadap garis) - ini adalah transformasi bidang (atau ruang), di mana hanya titik-titik garis p yang tetap di tempatnya (garis ini adalah sumbu simetri), sedangkan titik-titik lainnya mengubah posisinya: alih-alih titik B , kita mendapatkan titik B1 sehingga garis p adalah garis bagi tegak lurus segmen BB1 . Untuk membuat bangun 1 yang simetris dengan gambar terhadap garis p, setiap titik pada gambar perlu membuat titik yang simetris terhadapnya terhadap garis p. Himpunan semua titik yang dibangun ini memberikan angka yang diperlukan 1. Ada banyak bentuk geometris yang memiliki sumbu simetri.

Persegi panjang memiliki dua, persegi memiliki empat, lingkaran memiliki garis lurus yang melalui pusatnya. Jika Anda melihat lebih dekat pada huruf-huruf alfabet, maka di antara mereka Anda dapat menemukan yang memiliki sumbu horizontal atau vertikal, dan kadang-kadang kedua sumbu simetri. Objek dengan sumbu simetri cukup umum di alam hidup dan mati (laporan siswa). Dalam aktivitasnya, seseorang menciptakan banyak objek (misalnya ornamen) yang memiliki beberapa sumbu simetri.

______________________________________________________________________________________________________

Ketiga, planar (cermin) simetri (atau simetri tentang pesawat) - ini adalah transformasi ruang, di mana hanya titik-titik dari satu bidang yang mempertahankan lokasinya (bidang simetri α), titik-titik ruang yang tersisa mengubah posisinya: alih-alih titik C, diperoleh titik C1 sehingga bidang melewati tengah segmen CC1, tegak lurus terhadapnya.

Untuk membuat bangun 1, simetris dengan gambar terhadap bidang , setiap titik pada gambar perlu membangun titik-titik yang simetris terhadap , titik-titik tersebut membentuk gambar 1 dalam himpunannya.

Paling sering, di dunia benda dan benda di sekitar kita, kita menemukan tubuh tiga dimensi. Dan beberapa dari benda-benda ini memiliki bidang simetri, kadang-kadang bahkan beberapa. Dan pria itu sendiri dalam aktivitasnya (konstruksi, menjahit, pemodelan, ...) menciptakan objek dengan bidang simetri.

Perlu dicatat bahwa bersama dengan tiga jenis simetri yang terdaftar, ada (dalam arsitektur)portabel dan putar, yang dalam geometri adalah komposisi dari beberapa gerakan.

"Titik simetri" - Simetri dalam arsitektur. Contoh simetri bangun datar. Dua titik A dan A1 disebut simetris terhadap O jika O adalah titik tengah segmen AA1. Contoh bangun datar simetri pusat adalah lingkaran dan jajar genjang. Titik C disebut pusat simetri. Simetri dalam ilmu pengetahuan dan teknologi.

"Konstruksi bentuk geometris" - Aspek pendidikan. Kontrol dan koreksi asimilasi. Studi tentang teori yang menjadi dasar metode. Dalam stereometri - konstruksi tidak ketat. konstruksi stereometrik. metode aljabar. Metode transformasi (kesamaan, simetri, terjemahan paralel, dll.). Misalnya: lurus; garis bagi sudut; median tegak lurus.

"Human Figure" - Bentuk dan pergerakan tubuh manusia sangat ditentukan oleh kerangka. Adil dengan pertunjukan teater. Apakah Anda pikir ada pekerjaan untuk seorang seniman di sirkus? Kerangka memainkan peran bingkai dalam struktur gambar. Tubuh Utama (perut, dada) Tidak memperhatikan Kepala, wajah, tangan. A. Mathis. Proporsi. Yunani kuno.

"Simetri tentang garis" - Simetri tentang garis disebut simetri aksial. Garis lurus a adalah sumbu simetri. Simetri tentang garis lurus. Bulavin Pavel, kelas 9B. Berapa banyak sumbu simetri yang dimiliki masing-masing bangun tersebut? Suatu bangun dapat memiliki satu atau lebih sumbu simetri. simetri sentral. Trapesium sama kaki. Empat persegi panjang.

"Kuadrat angka geometri" - teorema Pythagoras. Daerah berbagai angka. Menyelesaikan puzzle. Gambar dengan luas yang sama disebut luas yang sama. Satuan wilayah. Luas segitiga. Persegi panjang, segitiga, jajaran genjang. sentimeter persegi. Angka-angka dengan luas yang sama. Angka yang sama b). milimeter persegi. di). Berapa luas bangun yang terdiri dari gambar A dan D.

"Batas fungsi pada suatu titik" - Kemudian dalam kasus ini. Saat berusaha. Batas suatu fungsi di suatu titik. Kontinu pada suatu titik. Sama dengan nilai fungsi di. Namun saat menghitung limit fungsi pada. Setara dengan nilai. Ekspresi. Aspirasi. Atau Anda dapat mengatakan ini: di lingkungan titik yang cukup kecil. Dikompilasi dari. Keputusan. Kontinu pada interval. Diantara.

Kesamaan dan kesamaan.Homothety - transformasi di mana setiap titik M (bidang atau ruang) diberi titik M", berbaring di OM (Gbr. 5.16), dan rasio OM":OM= sama untuk semua poin selain HAI. titik pasti HAI disebut pusat homotetis. Sikap OM": OM dianggap positif jika M" dan M berbaring di satu sisi HAI, negatif - di sisi yang berlawanan. Nomor X disebut koefisien homogenitas. Pada X< 0 homothety disebut invers. Padaλ = - 1 homothety menjadi transformasi simetri tentang suatu titik HAI. Dengan homothety, garis lurus masuk ke garis lurus, garis paralel dan bidang dipertahankan, sudut (linier dan dihedral) dipertahankan, setiap gambar melewatinya serupa (Gbr. 5.17).

Kebalikannya juga benar. Homotety dapat didefinisikan sebagai transformasi affine di mana garis-garis yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian melewati satu titik - pusat homothety. Homothety digunakan untuk memperbesar gambar (lampu proyeksi, bioskop).

Simetri pusat dan cermin.Simetri (dalam arti luas) adalah properti dari sosok geometris , yang mencirikan kebenaran tertentu dari bentuknya, invariansnya di bawah aksi gerakan dan refleksi. Gambar dikatakan simetri (simetris) jika terdapat transformasi ortogonal yang tidak identik yang memasukkan bangun tersebut ke dalam dirinya sendiri. Himpunan semua transformasi ortogonal yang menggabungkan gambar dengan dirinya sendiri adalah grup dari gambar ini. Jadi, bangun datar (Gbr. 5.18) dengan titik M, mengubah-

Xia dalam diri Anda dengan cermin refleksi, simetris terhadap sumbu lurus AB. Di sini kelompok simetri terdiri dari dua elemen - titik M dikonversi ke M".

Jika gambar pada bidang sedemikian rupa sehingga berotasi terhadap suatu titik HAI melalui sudut 360°/n, di mana n > 2 adalah bilangan bulat, ubah menjadi dirinya sendiri, maka gambar memiliki simetri orde ke-n terhadap titik HAI - pusat simetri. Contoh dari gambar tersebut adalah poligon beraturan, misalnya, berbentuk bintang (Gbr. 5.19), yang memiliki simetri orde delapan di sekitar pusatnya. Gugus simetri di sini disebut grup siklik orde ke-n. Lingkaran memiliki simetri dengan keteraturan tak terbatas (karena lingkaran itu digabungkan dengan dirinya sendiri dengan memutar melalui sudut mana pun).

Jenis simetri spasial yang paling sederhana adalah simetri pusat (inversi). Dalam hal ini, sehubungan dengan poin HAI gambar digabungkan dengan dirinya sendiri setelah pemantulan berturut-turut dari tiga bidang yang saling tegak lurus, yaitu titik HAI - bagian tengah ruas yang menghubungkan titik-titik simetris F. Jadi, untuk kubus (Gbr. 5.20) titik HAI adalah pusat simetri. poin kubus M dan M"

Kehidupan manusia dipenuhi dengan simetri. Nyaman, indah, tidak perlu menciptakan standar baru. Tapi apa dia sebenarnya dan apakah dia secantik yang diyakini secara umum?

Simetri

Sejak zaman kuno, orang telah berusaha merampingkan dunia di sekitar mereka. Oleh karena itu, sesuatu dianggap indah, dan sesuatu tidak begitu. Dari sudut pandang estetika, bagian emas dan perak dianggap menarik, serta, tentu saja, simetri. Istilah ini berasal dari bahasa Yunani dan secara harfiah berarti "proporsi". Tentu saja, kita berbicara tidak hanya tentang kebetulan atas dasar ini, tetapi juga pada beberapa lainnya. Dalam pengertian umum, simetri adalah sifat suatu objek ketika, sebagai hasil dari formasi tertentu, hasilnya sama dengan data asli. Itu ditemukan di alam hidup dan mati, serta dalam benda-benda yang dibuat oleh manusia.

Pertama-tama, istilah "simetri" digunakan dalam geometri, tetapi menemukan aplikasi di banyak bidang ilmiah, dan maknanya umumnya tetap tidak berubah. Fenomena ini cukup umum dan dianggap menarik, karena beberapa jenisnya, serta elemennya berbeda. Penggunaan simetri juga menarik, karena ditemukan tidak hanya di alam, tetapi juga pada ornamen pada kain, batas bangunan dan banyak benda buatan manusia lainnya. Perlu mempertimbangkan fenomena ini secara lebih rinci, karena sangat mengasyikkan.

Penggunaan istilah dalam bidang ilmiah lainnya

Di masa depan, simetri akan dipertimbangkan dari sudut pandang geometri, tetapi perlu disebutkan bahwa kata ini tidak hanya digunakan di sini. Biologi, virologi, kimia, fisika, kristalografi - semua ini adalah daftar lengkap area di mana fenomena ini dipelajari dari sudut yang berbeda dan dalam kondisi yang berbeda. Klasifikasi, misalnya, tergantung pada ilmu yang mengacu pada istilah ini. Dengan demikian, pembagian ke dalam jenis sangat bervariasi, meskipun beberapa yang dasar, mungkin, tetap tidak berubah di mana-mana.

Klasifikasi

Ada beberapa tipe dasar simetri, tiga di antaranya yang paling umum:

Selain itu, jenis-jenis berikut juga dibedakan dalam geometri, mereka jauh lebih jarang, tetapi tidak kalah penasarannya:

• geser;
• rotasi;
• titik;
• progresif;
• baut;
• fraktal;
• dll.

Dalam biologi, semua spesies disebut agak berbeda, meskipun sebenarnya mereka bisa sama. Pembagian ke dalam kelompok-kelompok tertentu terjadi berdasarkan ada atau tidaknya, serta jumlah elemen tertentu, seperti pusat, bidang, dan sumbu simetri. Mereka harus dipertimbangkan secara terpisah dan lebih terinci.

Elemen dasar

Beberapa fitur dibedakan dalam fenomena, salah satunya harus ada. Yang disebut elemen dasar meliputi bidang, pusat dan sumbu simetri. Sesuai dengan keberadaan, ketidakhadiran, dan kuantitasnya, jenisnya ditentukan.

Pusat simetri adalah titik di dalam gambar atau kristal, di mana garis-garis bertemu, menghubungkan berpasangan semua sisi sejajar satu sama lain. Tentu saja, itu tidak selalu ada. Jika ada sisi yang tidak memiliki pasangan sejajar, maka titik seperti itu tidak dapat ditemukan, karena tidak ada. Menurut definisi, jelas bahwa pusat simetri adalah melalui mana gambar dapat dipantulkan ke dirinya sendiri. Contohnya adalah, misalnya, lingkaran dan titik di tengahnya. Unsur ini biasanya disebut sebagai C.

Bidang simetri, tentu saja, adalah imajiner, tetapi dialah yang membagi gambar menjadi dua bagian yang sama besar. Itu dapat melewati satu atau lebih sisi, sejajar dengannya, atau dapat membaginya. Untuk sosok yang sama, beberapa pesawat bisa eksis sekaligus. Unsur-unsur ini biasanya disebut sebagai P.

Tapi mungkin yang paling umum adalah apa yang disebut "sumbu simetri". Fenomena yang sering terjadi ini dapat dilihat baik dalam geometri maupun di alam. Dan itu layak mendapat pertimbangan tersendiri.

kapak

Seringkali elemen sehubungan dengan mana sosok itu bisa disebut simetris,

adalah garis lurus atau segmen. Bagaimanapun, kita tidak berbicara tentang titik atau bidang. Kemudian angka-angka tersebut dipertimbangkan. Mungkin ada banyak dari mereka, dan mereka dapat ditemukan dengan cara apa pun: membagi sisi atau sejajar dengannya, serta menyilangkan sudut atau tidak. Sumbu simetri biasanya dilambangkan dengan L.

Contohnya adalah sama kaki dan Dalam kasus pertama akan ada sumbu simetri vertikal, di kedua sisi yang ada wajah yang sama, dan di kedua garis akan berpotongan setiap sudut dan bertepatan dengan semua garis-bagi, median dan ketinggian. Segitiga biasa tidak memilikinya.

Omong-omong, totalitas semua elemen di atas dalam kristalografi dan stereometri disebut derajat simetri. Indikator ini tergantung pada jumlah sumbu, bidang, dan pusat.

Contoh dalam Geometri

Secara kondisional dimungkinkan untuk membagi seluruh rangkaian objek studi matematikawan menjadi angka-angka yang memiliki sumbu simetri, dan yang tidak. Semua lingkaran, oval, serta beberapa kasus khusus secara otomatis masuk ke dalam kategori pertama, sedangkan sisanya masuk ke dalam kelompok kedua.

Seperti halnya ketika dikatakan tentang sumbu simetri segitiga, elemen untuk segiempat ini tidak selalu ada. Untuk persegi, persegi panjang, belah ketupat atau jajaran genjang, itu adalah, tetapi untuk bangun yang tidak beraturan, karenanya, tidak. Untuk lingkaran, sumbu simetri adalah himpunan garis lurus yang melalui pusatnya.

Selain itu, menarik untuk mempertimbangkan angka volumetrik dari sudut pandang ini. Setidaknya satu sumbu simetri, selain semua poligon beraturan dan bola, akan memiliki beberapa kerucut, serta piramida, jajaran genjang, dan beberapa lainnya. Setiap kasus harus dipertimbangkan secara terpisah.

Contoh di alam

Dalam kehidupan itu disebut bilateral, itu paling sering terjadi
sering. Setiap orang dan sangat banyak hewan adalah contohnya. Yang aksial disebut radial dan jauh lebih jarang, sebagai suatu peraturan, di dunia tumbuhan. Namun mereka. Misalnya, ada baiknya mempertimbangkan berapa banyak sumbu simetri yang dimiliki sebuah bintang, dan apakah ia memilikinya sama sekali? Tentu saja, kita berbicara tentang kehidupan laut, dan bukan tentang subjek studi para astronom. Dan jawaban yang benar adalah ini: itu tergantung pada jumlah sinar bintang, misalnya, lima, jika berujung lima.

Selain itu, banyak bunga memiliki simetri radial: aster, bunga jagung, bunga matahari, dll. Ada banyak contoh, mereka ada di mana-mana.

Aritmia

Istilah ini, pertama-tama, mengingatkan sebagian besar kedokteran dan kardiologi, tetapi pada awalnya memiliki arti yang sedikit berbeda. PADA kasus ini sinonim akan menjadi "asimetri", yaitu, tidak adanya atau pelanggaran keteraturan dalam satu bentuk atau lainnya. Itu dapat ditemukan sebagai kecelakaan, dan terkadang itu bisa menjadi perangkat yang indah, misalnya, dalam pakaian atau arsitektur. Lagi pula, ada banyak bangunan simetris, tetapi yang terkenal sedikit miring, dan meskipun itu bukan satu-satunya, ini adalah contoh paling terkenal. Diketahui bahwa ini terjadi secara tidak sengaja, tetapi ini memiliki daya tarik tersendiri.

Selain itu, terlihat jelas bahwa wajah dan tubuh manusia dan hewan juga tidak sepenuhnya simetris. Bahkan ada penelitian yang menyatakan bahwa wajah yang "benar" dianggap mati atau tidak menarik. Namun, persepsi simetri dan fenomena ini sendiri menakjubkan dan belum sepenuhnya dipelajari, dan karena itu sangat menarik.