Tingkat pertama

Kemajuan geometris. Panduan lengkap dengan contoh (2019)

Urutan numerik

Jadi mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, angka tersebut). Tidak peduli berapa banyak angka yang kita tulis, kita selalu dapat mengatakan yang mana yang pertama, yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, yaitu, kita dapat menghitungnya. Berikut adalah contoh barisan bilangan:

Urutan numerik adalah satu set angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan hanya khusus untuk satu nomor urut. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam urutan. Angka kedua (seperti angka -th) selalu sama.

Bilangan dengan nomor tersebut disebut anggota -th dari barisan tersebut.

Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Jenis deret yang paling umum adalah aritmatika dan geometrik. Dalam topik ini, kita akan berbicara tentang jenis kedua - deret geometri.

Mengapa kita membutuhkan deret geometri dan sejarahnya.

Bahkan di zaman kuno, matematikawan Italia, biarawan Leonardo dari Pisa (lebih dikenal sebagai Fibonacci), berurusan dengan kebutuhan praktis perdagangan. Bhikkhu itu dihadapkan pada tugas menentukan berapa jumlah bobot terkecil yang dapat digunakan untuk menimbang barang? Dalam tulisannya, Fibonacci membuktikan bahwa sistem bobot seperti itu optimal: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang harus berurusan dengan deret geometri, yang mungkin pernah Anda dengar dan setidaknya memiliki gambaran umum. Setelah Anda sepenuhnya memahami topiknya, pikirkan mengapa sistem seperti itu optimal?

Saat ini, dalam praktik kehidupan, perkembangan geometrik memanifestasikan dirinya ketika menginvestasikan uang di bank, ketika jumlah bunga dibebankan pada jumlah yang terakumulasi dalam akun untuk periode sebelumnya. Dengan kata lain, jika Anda menaruh uang pada deposito berjangka di bank tabungan, maka dalam setahun deposito akan meningkat dari jumlah aslinya, yaitu. jumlah baru akan sama dengan kontribusi dikalikan. Di tahun berikutnya, jumlah ini akan meningkat, yaitu. jumlah yang diperoleh saat itu dikalikan lagi dan seterusnya. Situasi serupa dijelaskan dalam masalah komputasi yang disebut bunga majemuk- persentase diambil setiap kali dari jumlah yang ada di akun, dengan mempertimbangkan bunga sebelumnya. Kami akan membicarakan tugas-tugas ini nanti.

Ada banyak kasus yang lebih sederhana di mana deret geometri diterapkan. Misalnya, penyebaran influenza: satu orang menginfeksi seseorang, mereka, pada gilirannya, menginfeksi orang lain, dan dengan demikian gelombang infeksi kedua - seseorang, dan mereka, pada gilirannya, menginfeksi orang lain ... dan seterusnya .. .

Omong-omong, piramida keuangan, MMM yang sama, adalah perhitungan sederhana dan kering sesuai dengan sifat-sifat deret geometri. Menarik? Mari kita cari tahu.

Kemajuan geometris.

Katakanlah kita memiliki urutan nomor:

Anda akan langsung menjawab bahwa itu mudah dan nama barisan tersebut adalah barisan aritmatika dengan selisih anggotanya. Bagaimana dengan sesuatu yang seperti ini:

Jika Anda mengurangi angka sebelumnya dari angka berikutnya, maka Anda akan melihat bahwa setiap kali Anda mendapatkan selisih baru (dan seterusnya), tetapi urutannya pasti ada dan mudah diperhatikan - setiap angka berikutnya kali lebih besar dari yang sebelumnya !

Urutan jenis ini disebut deret geometri dan ditandai.

Deret geometri ( ) adalah barisan numerik, suku pertama berbeda dengan nol, dan setiap suku, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, dikalikan dengan angka yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

Batasan bahwa suku pertama ( ) tidak sama dan tidak acak. Katakanlah tidak ada, dan suku pertama masih sama, dan q adalah, hmm..biarkan, maka ternyata:

Setuju bahwa ini bukan kemajuan.

Seperti yang Anda pahami, kami akan mendapatkan hasil yang sama jika itu adalah angka apa pun selain nol, tetapi. Dalam kasus ini, tidak akan ada kemajuan, karena seluruh seri angka akan menjadi semua nol, atau satu angka, dan semua sisanya nol.

Sekarang mari kita bicara lebih detail tentang penyebut deret geometri, yaitu tentang.

Mari kita ulangi: - ini adalah angka, berapa kali setiap suku berikutnya berubah? kemajuan geometris.

Menurutmu bisa menjadi apa? Itu benar, positif dan negatif, tetapi tidak nol (kita membicarakan ini sedikit lebih tinggi).

Katakanlah kita memiliki hal positif. Biarkan dalam kasus kami, a. Apa istilah kedua dan? Anda dapat dengan mudah menjawab bahwa:

Baiklah. Dengan demikian, jika, maka semua anggota perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif.

Bagaimana jika negatif? Misalnya, a. Apa istilah kedua dan?

Ini adalah cerita yang sama sekali berbeda

Coba hitung suku dari perkembangan ini. Berapa banyak yang Anda dapatkan? Saya memiliki. Jadi, jika, maka tanda-tanda dari suku-suku barisan geometri bergantian. Artinya, jika Anda melihat perkembangan dengan tanda-tanda bergantian di anggotanya, maka penyebutnya negatif. Pengetahuan ini dapat membantu Anda menguji diri sendiri ketika memecahkan masalah tentang topik ini.

Sekarang mari kita berlatih sedikit: coba tentukan barisan numerik mana yang merupakan barisan geometri, dan mana barisan aritmatika:

Mengerti? Bandingkan jawaban kami:

• Perkembangan geometris - 3, 6.
• Deret aritmatika - 2, 4.
• Ini bukan aritmatika atau deret geometri - 1, 5, 7.

Mari kembali ke deret terakhir, dan mari kita coba mencari sukunya dengan cara yang sama seperti dalam aritmatika. Seperti yang mungkin sudah Anda duga, ada dua cara untuk menemukannya.

Kami berturut-turut mengalikan setiap istilah dengan.

Jadi, anggota -th dari deret geometri yang dijelaskan sama dengan.

Seperti yang sudah Anda tebak, sekarang Anda sendiri akan mendapatkan rumus yang akan membantu Anda menemukan anggota deret geometri mana pun. Atau apakah Anda sudah mengeluarkannya sendiri, menjelaskan cara menemukan anggota ke-enam secara bertahap? Jika demikian, maka periksa kebenaran alasan Anda.

Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh menemukan anggota -th dari perkembangan ini:

Dengan kata lain:

Temukan sendiri nilai anggota deret geometri tertentu.

Telah terjadi? Bandingkan jawaban kami:

Perhatikan bahwa Anda mendapatkan angka yang sama persis seperti pada metode sebelumnya, ketika kita secara berturut-turut dikalikan dengan setiap anggota deret sebelumnya.
Mari kita coba "depersonalisasi" formula ini - kita bawa ke dalam bentuk umum dan dapatkan:

Rumus turunan berlaku untuk semua nilai - baik positif maupun negatif. Periksa sendiri dengan menghitung suku-suku suatu barisan geometri dengan ketentuan sebagai berikut: , a.

Apakah Anda menghitung? Mari kita bandingkan hasilnya:

Setuju bahwa adalah mungkin untuk menemukan anggota perkembangan dengan cara yang sama seperti anggota, namun, ada kemungkinan salah perhitungan. Dan jika kita telah menemukan suku ke-th dari deret geometri, a, lalu apa yang bisa lebih mudah daripada menggunakan bagian rumus yang "terpotong".

Deret geometri yang terus menurun.

Baru-baru ini, kami berbicara tentang apa yang bisa lebih besar atau lebih kecil dari nol, namun, ada nilai khusus yang disebut deret geometri. menurun tak terhingga.

Mengapa Anda pikir itu memiliki nama seperti itu?
Untuk memulainya, mari kita tuliskan beberapa deret geometri yang terdiri dari anggota.
Katakanlah, maka:

Kita melihat bahwa setiap suku berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya dalam waktu, tetapi apakah akan ada angka? Anda segera menjawab - "tidak". Itulah sebabnya penurunan tak terhingga - berkurang, berkurang, tetapi tidak pernah menjadi nol.

Untuk memahami dengan jelas seperti apa ini secara visual, mari kita coba menggambar grafik perkembangan kita. Jadi, untuk kasus kami, rumusnya mengambil bentuk berikut:

Pada grafik, kita terbiasa membangun ketergantungan, oleh karena itu:

Inti dari ekspresi tidak berubah: di entri pertama, kami menunjukkan ketergantungan nilai anggota deret geometri pada nomor urutnya, dan di entri kedua, kami hanya mengambil nilai anggota deret geometri untuk, dan nomor urut ditunjuk bukan sebagai, tetapi sebagai. Yang tersisa untuk dilakukan adalah memplot grafiknya.
Mari kita lihat apa yang Anda dapatkan. Berikut grafik yang saya dapatkan:

Melihat? Fungsi menurun, cenderung nol, tetapi tidak pernah melintasinya, sehingga menurun tak terhingga. Mari kita tandai titik kita pada grafik, dan pada saat yang sama apa koordinat dan artinya:

Coba gambarkan secara skematis grafik suatu deret ukur jika suku pertamanya juga sama. Analisis apa perbedaannya dengan grafik kita sebelumnya?

Apakah Anda berhasil? Berikut grafik yang saya dapatkan:

Sekarang setelah Anda sepenuhnya memahami dasar-dasar topik perkembangan geometris: Anda tahu apa itu, Anda tahu bagaimana menemukan sukunya, dan Anda juga tahu apa itu deret ukur yang menurun tak terhingga, mari kita beralih ke properti utamanya.

sifat deret geometri.

Apakah Anda ingat properti anggota deret aritmatika? Ya, ya, bagaimana mencari nilai dari sejumlah perkembangan ketika ada nilai sebelumnya dan selanjutnya dari anggota perkembangan ini. Ingat? Ini:

Sekarang kita dihadapkan pada pertanyaan yang sama persis untuk suku-suku barisan geometri. Untuk mendapatkan formula seperti itu, mari kita mulai menggambar dan bernalar. Anda akan lihat, itu sangat mudah, dan jika Anda lupa, Anda bisa mengeluarkannya sendiri.

Mari kita ambil lagi deret geometri sederhana, di mana kita tahu dan. Bagaimana menemukan? Dengan deret aritmatika, ini mudah dan sederhana, tetapi bagaimana di sini? Faktanya, tidak ada yang rumit dalam geometri juga - Anda hanya perlu melukis setiap nilai yang diberikan kepada kami sesuai dengan rumus.

Anda bertanya, dan sekarang apa yang kita lakukan dengannya? Ya, sangat sederhana. Untuk memulainya, mari kita gambarkan rumus-rumus ini pada gambar, dan coba lakukan berbagai manipulasi dengannya untuk mendapatkan suatu nilai.

Kami abstrak dari angka-angka yang kami diberikan, kami akan fokus hanya pada ekspresi mereka melalui formula. Kita perlu menemukan nilai yang disorot dalam warna oranye, mengetahui istilah yang berdekatan dengannya. Mari kita coba melakukan berbagai tindakan dengan mereka, sebagai hasil yang bisa kita dapatkan.

Tambahan.
Mari kita coba menambahkan dua ekspresi dan kita mendapatkan:

Dari ekspresi ini, seperti yang Anda lihat, kami tidak akan dapat mengekspresikannya dengan cara apa pun, oleh karena itu, kami akan mencoba opsi lain - pengurangan.

Pengurangan.

Seperti yang Anda lihat, kami juga tidak dapat mengungkapkan dari ini, oleh karena itu, kami akan mencoba untuk mengalikan ekspresi ini satu sama lain.

Perkalian.

Sekarang perhatikan baik-baik apa yang kita miliki, kalikan suku-suku deret geometri yang diberikan kepada kita dibandingkan dengan apa yang perlu ditemukan:

Tebak apa yang saya bicarakan? Benar, untuk menemukannya, kita perlu mengambil akar kuadrat dari bilangan deret geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan dikalikan satu sama lain:

Ini dia. Anda sendiri menyimpulkan properti dari perkembangan geometris. Cobalah untuk menulis rumus ini dalam bentuk umum. Telah terjadi?

Lupa kondisi kapan? Pikirkan mengapa itu penting, misalnya, coba hitung sendiri, di. Apa yang terjadi dalam kasus ini? Itu benar, omong kosong, karena rumusnya terlihat seperti ini:

Oleh karena itu, jangan lupakan batasan ini.

Sekarang mari kita hitung apa itu

Jawaban yang benar - ! Jika Anda tidak melupakan kemungkinan nilai kedua saat menghitung, maka Anda adalah orang yang hebat dan Anda dapat segera melanjutkan ke pelatihan, dan jika Anda lupa, baca apa yang dianalisis di bawah ini dan perhatikan mengapa kedua akar harus ditulis dalam jawaban. .

Mari kita menggambar kedua deret geometri kita - satu dengan nilai, dan yang lainnya dengan nilai, dan periksa apakah keduanya memiliki hak untuk eksis:

Untuk memeriksa apakah ada deret geometri seperti itu atau tidak, perlu untuk melihat apakah itu sama di antara semua anggotanya yang diberikan? Hitung q untuk kasus pertama dan kedua.

Lihat mengapa kita harus menulis dua jawaban? Karena tanda suku yang diperlukan tergantung pada apakah itu positif atau negatif! Dan karena kita tidak tahu apa itu, kita perlu menulis kedua jawaban dengan plus dan minus.

Sekarang setelah Anda menguasai poin-poin utama dan menyimpulkan rumus untuk properti deret geometri, temukan, ketahui, dan

Bandingkan jawaban Anda dengan jawaban yang benar:

Bagaimana menurut Anda, bagaimana jika kita tidak diberi nilai anggota deret geometri yang berdekatan dengan angka yang diinginkan, tetapi berjarak sama darinya. Misalnya, kita perlu mencari, dan diberikan dan. Bisakah kita menggunakan rumus yang kita peroleh dalam kasus ini? Coba konfirmasi atau bantah kemungkinan ini dengan cara yang sama, dengan menjelaskan apa yang terdiri dari setiap nilai, seperti yang Anda lakukan saat menurunkan rumus pada awalnya.
Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang perhatikan baik-baik lagi.
dan sesuai:

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa rumusnya berfungsi tidak hanya dengan tetangga dengan suku-suku deret geometri yang diinginkan, tetapi juga dengan sama jauh dari apa yang anggota cari.

Dengan demikian, rumus asli kami menjadi:

Artinya, jika dalam kasus pertama kami mengatakan itu, sekarang kami mengatakan bahwa itu bisa sama dengan bilangan asli apa pun yang lebih kecil. Hal utama adalah menjadi sama untuk kedua angka yang diberikan.

Berlatihlah pada contoh-contoh spesifik, berhati-hatilah!

1. , . Menemukan.
2. , . Menemukan.
3. , . Menemukan.

Aku memutuskan? Saya harap Anda sangat perhatian dan memperhatikan tangkapan kecil.

Kami membandingkan hasilnya.

Dalam dua kasus pertama, kami dengan tenang menerapkan rumus di atas dan mendapatkan nilai berikut:

Dalam kasus ketiga, setelah mempertimbangkan dengan cermat nomor seri dari nomor yang diberikan kepada kami, kami memahami bahwa mereka tidak berjarak sama dari nomor yang kami cari: itu adalah nomor sebelumnya, tetapi dihilangkan posisinya, jadi tidak mungkin untuk menerapkan rumus.

Bagaimana cara mengatasinya? Ini sebenarnya tidak sesulit kelihatannya! Mari kita tuliskan dengan Anda apa setiap nomor yang diberikan kepada kami dan terdiri dari nomor yang diinginkan.

Jadi kita punya dan. Mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan dengan mereka. Saya sarankan membelah. Kita mendapatkan:

Kami mengganti data kami ke dalam rumus:

Langkah selanjutnya yang dapat kita temukan - untuk ini kita perlu mengambil akar pangkat tiga dari angka yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat lagi apa yang kita miliki. Kami memiliki, tetapi kami perlu menemukan, dan itu, pada gilirannya, sama dengan:

Kami menemukan semua data yang diperlukan untuk perhitungan. Substitusi ke dalam rumus:

Jawaban kami: .

Coba selesaikan sendiri masalah yang sama:
Diberikan: ,
Menemukan:

Berapa banyak yang Anda dapatkan? Saya memiliki - .

Seperti yang Anda lihat, sebenarnya, Anda perlu ingat hanya satu rumus- . Semua sisanya dapat Anda tarik sendiri tanpa kesulitan kapan pun. Untuk melakukan ini, cukup tulis deret geometri paling sederhana di selembar kertas dan tuliskan, menurut rumus di atas, masing-masing angkanya sama dengan apa.

Jumlah suku-suku suatu deret geometri.

Sekarang perhatikan rumus yang memungkinkan kita menghitung dengan cepat jumlah suku deret geometri dalam interval tertentu:

Untuk menurunkan rumus jumlah suku deret geometri berhingga, kita mengalikan semua bagian persamaan di atas dengan. Kita mendapatkan:

Perhatikan baik-baik: apa persamaan dari dua formula terakhir? Itu benar, anggota biasa, misalnya dan seterusnya, kecuali anggota pertama dan terakhir. Mari kita coba kurangi persamaan ke-1 dari persamaan ke-2. Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang nyatakan melalui rumus anggota deret geometri dan gantikan ekspresi yang dihasilkan dalam rumus terakhir kami:

Kelompokkan ekspresi. Anda harus mendapatkan:

Yang tersisa untuk dilakukan hanyalah mengungkapkan:

Dengan demikian, dalam hal ini.

Bagaimana jika? Lalu rumus apa yang berhasil? Bayangkan deret geometri di. Apa yang dia suka? Serangkaian angka identik dengan benar, masing-masing, rumusnya akan terlihat seperti ini:

Seperti halnya deret aritmatika dan geometri, ada banyak legenda. Salah satunya adalah legenda Seth, pencipta catur.

Banyak orang tahu bahwa permainan catur ditemukan di India. Ketika raja Hindu bertemu dengannya, dia senang dengan kecerdasannya dan berbagai posisi yang memungkinkan dalam dirinya. Setelah mengetahui bahwa itu ditemukan oleh salah satu rakyatnya, raja memutuskan untuk secara pribadi menghadiahinya. Dia memanggil penemunya dan memerintahkan untuk meminta apa pun yang dia inginkan, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling terampil sekalipun.

Seta meminta waktu untuk berpikir, dan ketika keesokan harinya Seta muncul di hadapan raja, dia mengejutkan raja dengan kerendahan hati yang tak tertandingi dari permintaannya. Dia meminta sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, gandum untuk kotak kedua, kotak ketiga, kotak keempat, dan seterusnya.

Raja marah dan mengusir Seth, mengatakan bahwa permintaan pelayan itu tidak layak untuk kemurahan hati kerajaan, tetapi berjanji bahwa pelayan itu akan menerima biji-bijiannya untuk semua sel papan.

Dan sekarang pertanyaannya adalah: dengan menggunakan rumus jumlah anggota deret geometri, hitung berapa butir yang harus diterima Seth?

Mari kita mulai berdiskusi. Karena, menurut kondisinya, Seth meminta sebutir gandum untuk sel pertama papan catur, untuk yang kedua, untuk yang ketiga, untuk yang keempat, dst., kita melihatnya dalam soal kita sedang berbicara tentang deret geometri. Apa yang setara dalam hal ini?
Benar.

Jumlah sel papan catur. Masing-masing, . Kami memiliki semua data, tinggal mengganti ke dalam rumus dan menghitung.

Untuk mewakili setidaknya kira-kira "skala" dari angka yang diberikan, kami mengubah menggunakan sifat-sifat derajat:

Tentu saja, jika Anda mau, Anda dapat mengambil kalkulator dan menghitung jenis angka yang Anda dapatkan, dan jika tidak, Anda harus mengambil kata-kata saya untuk itu: nilai akhir dari ekspresi adalah.
Itu adalah:

triliun kuadriliun triliun miliar juta juta.

Fuh) Jika Anda ingin membayangkan besarnya jumlah ini, maka perkirakan berapa ukuran lumbung yang diperlukan untuk menampung seluruh jumlah biji-bijian.
Dengan tinggi gudang m dan lebar m, panjangnya harus mencapai km, yaitu. dua kali lebih jauh dari Bumi ke Matahari.

Jika raja kuat dalam matematika, dia dapat menawarkan ilmuwan itu sendiri untuk menghitung biji-bijian, karena untuk menghitung satu juta biji-bijian, dia akan membutuhkan setidaknya satu hari penghitungan yang tak kenal lelah, dan mengingat itu perlu untuk menghitung triliunan, biji-bijian harus dihitung sepanjang hidupnya.

Dan sekarang kita akan memecahkan masalah sederhana tentang jumlah suku deret geometri.
Vasya, seorang siswa kelas 5, jatuh sakit flu, tetapi tetap pergi ke sekolah. Setiap hari, Vasya menginfeksi dua orang yang, pada gilirannya, menginfeksi dua orang lagi, dan seterusnya. Hanya satu orang di kelas. Dalam berapa hari seluruh kelas akan terkena flu?

Jadi, anggota pertama dari deret geometri adalah Vasya, yaitu seseorang. anggota deret geometri, ini adalah dua orang yang terinfeksi pada hari pertama kedatangannya. Jumlah seluruh anggota barisan sama dengan jumlah siswa 5A. Dengan demikian, kita berbicara tentang perkembangan di mana:

Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus untuk jumlah suku-suku deret geometri:

Seluruh kelas akan sakit dalam beberapa hari. Tidak percaya pada rumus dan angka? Cobalah untuk menggambarkan "infeksi" siswa itu sendiri. Telah terjadi? Lihat seperti apa bagi saya:

Hitung sendiri berapa hari siswa akan terkena flu jika semua orang akan menginfeksi satu orang, dan ada satu orang di kelas.

Nilai apa yang Anda dapatkan? Ternyata semua orang mulai sakit setelah sehari.

Seperti yang Anda lihat, tugas seperti itu dan gambarnya menyerupai piramida, di mana setiap "membawa" orang baru berikutnya. Namun, cepat atau lambat suatu saat akan datang ketika yang terakhir tidak dapat menarik siapa pun. Dalam kasus kami, jika kami membayangkan bahwa kelas terisolasi, orang dari menutup rantai (). Jadi, jika seseorang terlibat dalam piramida keuangan di mana uang diberikan jika Anda membawa dua peserta lain, maka orang tersebut (atau dalam kasus umum) tidak akan membawa siapa pun, masing-masing, akan kehilangan semua yang mereka investasikan dalam penipuan keuangan ini. .

Semua yang disebutkan di atas mengacu pada deret ukur yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang Anda ingat, kami memiliki jenis khusus - deret geometris yang menurun tanpa batas. Bagaimana cara menghitung jumlah anggotanya? Dan mengapa jenis perkembangan ini memiliki fitur tertentu? Mari kita cari tahu bersama.

Jadi, sebagai permulaan, mari kita lihat lagi gambar deret geometri yang menurun tak terhingga dari contoh kita:

Dan sekarang mari kita lihat rumus untuk jumlah deret geometri, yang diturunkan sedikit lebih awal:
atau

Apa yang kita perjuangkan? Itu benar, grafik menunjukkan bahwa itu cenderung nol. Artinya, ketika, itu akan hampir sama, masing-masing, ketika menghitung ekspresi, kita akan mendapatkan hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahwa ketika menghitung jumlah deret geometri yang menurun tak terhingga, braket ini dapat diabaikan, karena itu akan sama.

- rumusnya adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan geometri yang semakin menurun.

PENTING! Kami menggunakan rumus untuk jumlah suku dari barisan geometri yang menurun tak hingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kami perlu menemukan jumlah tak berujung jumlah anggota.

Jika suatu bilangan spesifik n ditunjukkan, maka kita menggunakan rumus untuk jumlah n suku, genap jika atau.

Dan sekarang mari kita berlatih.

1. Tentukan jumlah suku pertama suatu deret geometri dengan dan.
2. Tentukan jumlah suku-suku suatu barisan geometri yang menurun tak hingga dengan dan.

Saya harap Anda sangat berhati-hati. Bandingkan jawaban kami:

Sekarang Anda tahu segalanya tentang deret geometri, dan inilah saatnya beralih dari teori ke praktik. Masalah eksponensial yang paling umum ditemukan pada ujian adalah masalah bunga majemuk. Ini tentang mereka yang akan kita bicarakan.

Masalah untuk menghitung bunga majemuk.

Anda pasti pernah mendengar apa yang disebut rumus bunga majemuk. Apakah Anda mengerti apa yang dia maksud? Jika tidak, mari kita cari tahu, karena setelah menyadari proses itu sendiri, Anda akan segera memahami apa hubungannya deret geometri dengannya.

Kita semua pergi ke bank dan tahu bahwa ada kondisi yang berbeda untuk deposito: ini adalah istilah, dan pemeliharaan tambahan, dan bunga dengan dua cara yang berbeda untuk menghitungnya - sederhana dan kompleks.

DARI minat sederhana semuanya kurang lebih jelas: bunga dibebankan sekali pada akhir jangka waktu deposito. Artinya, jika kita berbicara tentang menempatkan 100 rubel setahun di bawah, maka mereka hanya akan dikreditkan pada akhir tahun. Dengan demikian, pada akhir setoran, kami akan menerima rubel.

Bunga majemuk adalah pilihan di mana kapitalisasi bunga, yaitu penambahan mereka ke jumlah setoran dan perhitungan pendapatan selanjutnya bukan dari awal, tetapi dari jumlah akumulasi setoran. Kapitalisasi tidak terjadi terus-menerus, tetapi dengan beberapa periodisitas. Sebagai aturan, periode seperti itu sama dan paling sering bank menggunakan satu bulan, seperempat atau satu tahun.

Katakanlah kita menempatkan semua rubel yang sama per tahun, tetapi dengan kapitalisasi bulanan setoran. Apa yang kita dapatkan?

Apakah Anda mengerti semuanya di sini? Jika tidak, mari kita ambil langkah demi langkah.

Kami membawa rubel ke bank. Pada akhir bulan, kami harus memiliki jumlah di akun kami yang terdiri dari rubel kami ditambah bunganya, yaitu:

Saya setuju?

Kita bisa mengeluarkannya dari braket dan kemudian kita mendapatkan:

Setuju, rumus ini sudah lebih mirip dengan yang kami tulis di awal. Masih berurusan dengan persentase

Dalam kondisi masalah, kami diberitahu tentang tahunan. Seperti yang Anda ketahui, kami tidak mengalikan dengan - kami mengonversi persentase menjadi desimal, yaitu:

Benar? Sekarang Anda bertanya, dari mana nomor itu berasal? Sangat sederhana!
Saya ulangi: kondisi masalah mengatakan tentang TAHUNAN bunga yang diperoleh BULANAN. Seperti yang Anda ketahui, masing-masing dalam satu tahun bulan, bank akan membebankan sebagian dari bunga tahunan per bulan kepada kami:

Diwujudkan? Sekarang coba tuliskan seperti apa bagian rumus ini jika saya katakan bahwa bunga dihitung setiap hari.
Apakah Anda berhasil? Mari kita bandingkan hasilnya:

Bagus sekali! Mari kembali ke tugas kita: tuliskan berapa banyak yang akan dikreditkan ke akun kita untuk bulan kedua, dengan mempertimbangkan bahwa bunga dibebankan pada jumlah akumulasi setoran.
Inilah yang terjadi pada saya:

Atau, dengan kata lain:

Saya pikir Anda telah memperhatikan sebuah pola dan melihat perkembangan geometris dalam semua ini. Tulis berapa jumlah anggotanya, atau dengan kata lain, berapa banyak uang yang akan kita terima di akhir bulan.
Telah melakukan? Memeriksa!

Seperti yang Anda lihat, jika Anda menyimpan uang di bank selama satu tahun dengan bunga sederhana, maka Anda akan menerima rubel, dan jika Anda meletakkannya pada tingkat bunga majemuk, Anda akan menerima rubel. Manfaatnya kecil, tetapi ini hanya terjadi selama tahun ke-th, tetapi untuk lebih periode yang lama kapitalisasi jauh lebih menguntungkan:

Pertimbangkan jenis lain dari masalah bunga majemuk. Setelah apa yang Anda temukan, itu akan menjadi dasar bagi Anda. Jadi tugasnya adalah:

Zvezda mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2000 dengan modal dolar. Setiap tahun sejak 2001, telah menghasilkan keuntungan yang sama dengan modal tahun sebelumnya. Berapa keuntungan yang akan diterima perusahaan Zvezda pada akhir tahun 2003, jika keuntungan tersebut tidak ditarik dari peredaran?

Ibukota perusahaan Zvezda pada tahun 2000.
- ibukota perusahaan Zvezda pada tahun 2001.
- ibukota perusahaan Zvezda pada tahun 2002.
- ibukota perusahaan Zvezda pada tahun 2003.

Atau kita dapat menulis secara singkat:

Untuk kasus kami:

2000, 2001, 2002 dan 2003.

Masing-masing:
rubel
Perhatikan bahwa dalam soal ini kita tidak memiliki pembagian dengan atau dengan, karena persentase diberikan SETIAP TAHUN dan dihitung SETIAP TAHUN. Artinya, ketika membaca masalah untuk bunga majemuk, perhatikan berapa persentase yang diberikan, dan pada periode berapa dibebankan, dan baru kemudian lanjutkan ke perhitungan.
Sekarang Anda tahu segalanya tentang deret geometri.

Bekerja.

1. Tentukan suku suatu barisan geometri jika diketahui bahwa, dan
2. Tentukan jumlah suku pertama suatu deret geometri, jika diketahui bahwa, dan
3. MDM Capital mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2003 dengan modal dolar. Setiap tahun sejak tahun 2004, ia telah menghasilkan keuntungan yang sama dengan modal tahun sebelumnya. Perusahaan "MSK Cash Flows" mulai berinvestasi di industri pada tahun 2005 sebesar $10.000, mulai menghasilkan keuntungan pada tahun 2006 sebesar. Berapa dolar modal suatu perusahaan melebihi modal perusahaan lain pada akhir tahun 2007, jika laba tidak ditarik dari peredaran?

Jawaban:

1. Karena kondisi masalah tidak mengatakan bahwa perkembangannya tidak terbatas dan diperlukan untuk menemukan jumlah dari sejumlah anggotanya, perhitungan dilakukan sesuai dengan rumus:
2. 
   Perusahaan "Modal MDM":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - meningkat 100%, yaitu 2 kali.
   Masing-masing:
   rubel
   Arus Kas MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - meningkat, yaitu, kali.
   Masing-masing:
   rubel
   rubel

Mari kita rangkum.

1) Deret geometri ( ) adalah barisan numerik, yang suku pertamanya berbeda dengan nol, dan setiap suku, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, dikalikan dengan angka yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

2) Persamaan anggota deret geometri -.

3) dapat mengambil nilai apapun, kecuali untuk dan.

• jika, maka semua anggota perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif;
• jika, maka semua anggota perkembangan selanjutnya tanda-tanda alternatif;
• ketika - perkembangannya disebut menurun tanpa batas.

4) , di - milik deret geometri (anggota tetangga)

atau
, di (istilah jarak yang sama)

Ketika Anda menemukannya, jangan lupakan itu harus ada dua jawaban..

Sebagai contoh,

5) Jumlah anggota barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau

Jika perkembangannya menurun tanpa batas, maka:
atau

PENTING! Kami menggunakan rumus untuk jumlah suku dari barisan geometri yang menurun tak hingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa perlu untuk menemukan jumlah suku yang tak hingga.

6) Tugas untuk bunga majemuk juga dihitung menurut rumus anggota deret geometri ke-, asalkan dananya tidak ditarik dari peredaran:

PROGRESI GEOMETRI. SINGKAT TENTANG UTAMA

Kemajuan geometris( ) adalah barisan numerik, suku pertamanya berbeda dengan nol, dan setiap suku, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, dikalikan dengan bilangan yang sama. Nomor ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

Penyebut deret geometri dapat mengambil nilai apa pun kecuali untuk dan.

• Jika, maka semua anggota perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif;
• jika, maka semua anggota selanjutnya dari tanda-tanda perkembangan bergantian;
• ketika - perkembangannya disebut menurun tanpa batas.

Persamaan anggota barisan geometri - .

Jumlah suku-suku suatu barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau

Beberapa masalah fisika dan matematika dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat deret bilangan. Dua barisan bilangan paling sederhana yang diajarkan di sekolah adalah aljabar dan geometri. Pada artikel ini, kita akan mempertimbangkan lebih detail pertanyaan tentang bagaimana menemukan jumlah dari deret tak hingga dari deret geometrik yang menurun.

deret geometri

Kata-kata ini berarti serangkaian bilangan real, elemen a i yang memenuhi ekspresi:

Di sini i adalah jumlah elemen dalam deret, r adalah bilangan konstan, yang disebut penyebut.

Definisi ini menunjukkan bahwa, mengetahui suku apa pun dari perkembangan dan penyebutnya, adalah mungkin untuk mengembalikan seluruh rangkaian angka. Misalnya, jika elemen ke-10 diketahui, kemudian dibagi dengan r, kita mendapatkan elemen ke-9, kemudian membaginya lagi, kita mendapatkan yang ke-8 dan seterusnya. Argumen sederhana ini memungkinkan kita untuk menulis ekspresi yang valid untuk rangkaian angka yang dipertimbangkan:

Contoh deret dengan penyebut 2 adalah:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Jika penyebutnya -2, maka diperoleh deret yang sama sekali berbeda:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Deret geometri jauh lebih cepat daripada deret aljabar, yaitu, sukunya bertambah dengan cepat dan berkurang dengan cepat.

Jumlah i anggota perkembangan

Untuk memecahkan masalah praktis, seringkali perlu untuk menghitung jumlah beberapa elemen dari urutan numerik yang dipertimbangkan. Untuk kasus ini, rumus berikut ini valid:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Dapat dilihat bahwa untuk menghitung jumlah i suku, Anda hanya perlu mengetahui dua bilangan: a 1 dan r, yang logis, karena keduanya secara unik menentukan seluruh barisan.

Barisan menurun dan jumlah sukunya

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus khusus. Kami akan mengasumsikan bahwa nilai absolut dari penyebut r tidak melebihi satu, yaitu -1

Deret geometri menurun menarik untuk dipertimbangkan karena jumlah tak hingga dari suku-sukunya cenderung ke bilangan real berhingga.

Mari kita dapatkan rumus penjumlahan Ini mudah dilakukan jika kita menuliskan ekspresi untuk S i yang diberikan pada paragraf sebelumnya. Kita punya:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Pertimbangkan kasus ketika i->∞. Karena modulus penyebut kurang dari 1, maka menaikkannya ke pangkat tak terbatas akan menghasilkan nol. Ini dapat diverifikasi menggunakan contoh r=0.5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Akibatnya, jumlah suku-suku barisan deret geometri tak hingga berbentuk:

Rumus ini sering digunakan dalam praktik, misalnya untuk menghitung luas bangun. Hal ini juga digunakan dalam memecahkan paradoks Zeno dari Elea dengan kura-kura dan Achilles.

Jelas, dengan mempertimbangkan jumlah deret tak hingga dari kenaikan geometris (r>1), akan menghasilkan hasil S = +∞.

Masalah menemukan suku pertama dari perkembangan

Kami akan menunjukkan bagaimana rumus di atas harus diterapkan menggunakan contoh penyelesaian masalah. Diketahui jumlah barisan geometri tak hingga adalah 11. Selain itu, suku ke-7 adalah 6 kali lebih kecil dari suku ketiga. Apa elemen pertama untuk seri angka ini?

Untuk memulainya, kami menulis dua ekspresi untuk menentukan elemen ke-7 dan ke-3. Kita mendapatkan:

Membagi ekspresi pertama dengan yang kedua, dan menyatakan penyebutnya, kita mendapatkan:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 (a 7 / a 3)

Karena rasio suku ketujuh dan ketiga diberikan dalam kondisi masalah, kita dapat menggantinya dan menemukan r:

r \u003d 4 (a 7 / a 3) \u003d 4 (1/6) 0,63894

Kami telah menghitung r dengan akurasi lima digit signifikan setelah titik desimal. Karena nilai yang dihasilkan kurang dari satu, itu berarti bahwa perkembangannya menurun, yang membenarkan penggunaan rumus untuk jumlah tak terbatasnya. Kami menulis ekspresi untuk suku pertama dalam hal jumlah S :

Kami mengganti nilai yang diketahui ke dalam rumus ini dan mendapatkan jawabannya:

a 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166.

Paradoks Zeno yang terkenal dengan Achilles yang cepat dan kura-kura yang lambat

Zeno dari Elea adalah seorang filsuf Yunani terkenal yang hidup pada abad ke-5 SM. e. Sejumlah puncak atau paradoksnya telah mencapai saat ini, di mana masalah besar tak terhingga dan kecil tak terhingga dalam matematika dirumuskan.

Salah satu paradoks Zeno yang terkenal adalah persaingan antara Achilles dan kura-kura. Zeno percaya bahwa jika Achilles memberi kura-kura beberapa keuntungan dalam jarak, dia tidak akan pernah bisa menyalipnya. Misalnya, biarkan Achilles berlari 10 kali lebih cepat daripada hewan yang merangkak, yang, misalnya, 100 meter di depannya. Ketika prajurit berlari 100 meter, kura-kura merangkak mundur 10 meter. Berlari 10 meter lagi, Achilles akan melihat bahwa kura-kura telah merangkak 1 meter lagi. Anda bisa berdebat seperti ini tanpa batas, jarak antara pesaing akan benar-benar berkurang, tetapi kura-kura akan selalu berada di depan.

Dia membawa Zeno ke kesimpulan bahwa gerakan itu tidak ada, dan semua gerakan di sekitar objek adalah ilusi. Tentu saja, filosof Yunani kuno itu salah.

Solusi untuk paradoks terletak pada kenyataan bahwa jumlah tak terbatas dari segmen yang terus menurun cenderung ke jumlah yang terbatas. Dalam kasus di atas, untuk jarak yang ditempuh Achilles, kita mendapatkan:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Menerapkan rumus untuk jumlah deret geometri tak hingga, kita mendapatkan:

S \u003d 100 / (1-0,1) 111,111 meter

Hasil ini menunjukkan bahwa Achilles akan menyusul kura-kura yang hanya merangkak sejauh 11,111 meter.

Orang Yunani kuno tidak tahu bagaimana bekerja dengan jumlah tak terbatas dalam matematika. Namun, paradoks ini dapat diselesaikan jika kita tidak memperhatikan jumlah celah tak terbatas yang harus diatasi Achilles, tetapi pada jumlah langkah terbatas yang dibutuhkan pelari untuk mencapai tujuan.

Matematika adalah apaorang mengendalikan alam dan diri mereka sendiri.

Matematikawan Soviet, akademisi A.N. Kolmogorov

Kemajuan geometris.

Selain tugas-tugas untuk barisan aritmatika, tugas-tugas yang berkaitan dengan konsep barisan geometri juga umum dalam tes masuk matematika. Untuk berhasil memecahkan masalah seperti itu, Anda perlu mengetahui sifat-sifat deret geometri dan memiliki keterampilan yang baik dalam menggunakannya.

Artikel ini dikhususkan untuk penyajian sifat-sifat utama deret geometri. Ini juga memberikan contoh pemecahan masalah tipikal, dipinjam dari tugas tes masuk dalam matematika.

Mari kita perhatikan terlebih dahulu sifat-sifat utama dari deret geometri dan mengingat rumus dan pernyataan yang paling penting, terkait dengan konsep ini.

Definisi. Barisan numerik disebut deret geometri jika setiap angkanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, dikalikan dengan angka yang sama. Bilangan tersebut disebut penyebut suatu barisan geometri.

Untuk deret geometrirumusnya valid

, (1)

di mana . Rumus (1) disebut rumus suku umum deret geometri, dan rumus (2) adalah sifat utama deret geometri: setiap anggota deret bertepatan dengan rata-rata geometris anggota tetangganya dan .

Catatan, bahwa justru karena properti inilah perkembangan yang dimaksud disebut "geometris".

Rumus (1) dan (2) di atas diringkas sebagai berikut:

, (3)

Untuk menghitung jumlah pertama anggota barisan geometrirumusnya berlaku

Jika kita menunjuk

di mana . Karena , rumus (6) merupakan generalisasi dari rumus (5).

Dalam hal kapan dan deret geometriberkurang tak terhingga. Untuk menghitung jumlahdari semua anggota deret geometri yang menurun tak terhingga, rumus yang digunakan

. (7)

Sebagai contoh , menggunakan rumus (7), seseorang dapat menunjukkan, Apa

di mana . Persamaan ini diperoleh dari rumus (7) dengan ketentuan , (persamaan pertama) dan , (persamaan kedua).

Dalil. Jika kemudian

Bukti. Jika kemudian ,

Teorema telah terbukti.

Mari kita beralih ke mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah pada topik "Perkembangan geometris".

Contoh 1 Diketahui : , dan . Menemukan .

Larutan. Jika rumus (5) diterapkan, maka

Menjawab: .

Contoh 2 Biarkan dan . Menemukan .

Larutan. Sejak dan , kami menggunakan rumus (5), (6) dan memperoleh sistem persamaan

Jika persamaan kedua dari sistem (9) dibagi dengan yang pertama, maka atau . Dari sini berikut . Mari kita pertimbangkan dua kasus.

1. Jika , maka dari persamaan pertama sistem (9) kita memiliki.

2. Jika , maka .

Contoh 3 Biarkan , dan . Menemukan .

Larutan. Ini mengikuti dari rumus (2) bahwa atau . Sejak , maka atau .

Dengan kondisi. Namun, oleh karena itu. Karena dan , maka di sini kita memiliki sistem persamaan

Jika persamaan kedua dari sistem dibagi dengan yang pertama, maka atau .

Karena , persamaan memiliki akar tunggal yang cocok . Dalam hal ini, persamaan pertama sistem menyiratkan .

Dengan mempertimbangkan rumus (7), kita peroleh.

Menjawab: .

Contoh 4 Diketahui : dan . Menemukan .

Larutan. Dari dulu .

Karena , maka atau

Menurut rumus (2), kita memiliki . Dalam hal ini, dari persamaan (10) kita peroleh atau .

Namun, dengan syarat , oleh karena itu .

Contoh 5 Diketahui bahwa. Menemukan .

Larutan. Menurut teorema, kita memiliki dua persamaan

Sejak , maka atau . Karena , maka .

Menjawab: .

Contoh 6 Diketahui : dan . Menemukan .

Larutan. Dengan mempertimbangkan rumus (5), kita peroleh

Dari dulu . Sejak , dan , maka .

Contoh 7 Biarkan dan . Menemukan .

Larutan. Menurut rumus (1), kita dapat menulis

Oleh karena itu, kita memiliki atau . Diketahui bahwa dan , oleh karena itu dan .

Menjawab: .

Contoh 8 Tentukan penyebut dari barisan geometri menurun tak hingga jika

dan .

Larutan. Dari rumus (7) berikut ini dan . Dari sini dan dari kondisi masalah, kita memperoleh sistem persamaan

Jika persamaan pertama sistem dikuadratkan, dan kemudian membagi persamaan yang dihasilkan dengan persamaan kedua, maka kita dapatkan

Atau .

Menjawab: .

Contoh 9 Temukan semua nilai yang barisan , , adalah deret geometri.

Larutan. Biarkan , dan . Menurut rumus (2), yang mendefinisikan properti utama dari deret geometri, kita dapat menulis atau .

Dari sini kita mendapatkan persamaan kuadrat, yang akarnya adalah dan .

Mari kita periksa: jika, maka , dan ; jika , maka , dan .

Dalam kasus pertama kita memiliki dan , dan di kedua - dan .

Menjawab: , .

Contoh 10selesaikan persamaannya

, (11)

dimana dan .

Larutan. Sisi kiri persamaan (11) adalah jumlah dari deret geometri menurun tak hingga, di mana dan , Asalkan: dan .

Dari rumus (7) berikut ini, Apa . Dalam hal ini, persamaan (11) mengambil bentuk atau . akar yang cocok persamaan kuadrat adalah

Menjawab: .

Contoh 11. P barisan bilangan positifmembentuk barisan aritmatika, sebuah - deret geometri, apa hubungannya dengan . Menemukan .

Larutan. Karena barisan aritmatika, kemudian (properti utama dari deret aritmatika). Karena, maka atau . Ini menyiratkan, bahwa deret geometri adalah. Menurut rumus (2), maka kita menulis bahwa .

Sejak dan , maka . Dalam hal ini, ekspresi mengambil bentuk atau . Dengan syarat, jadi dari persamaankita mendapatkan solusi unik dari masalah yang sedang dipertimbangkan, yaitu .

Menjawab: .

Contoh 12. Hitung jumlah

. (12)

Larutan. Kalikan kedua ruas persamaan (12) dengan 5 dan dapatkan

Jika kita kurangi (12) dari ekspresi yang dihasilkan, kemudian

atau .

Untuk menghitung, kami mengganti nilainya ke dalam rumus (7) dan mendapatkan . Dari dulu .

Menjawab: .

Contoh pemecahan masalah yang diberikan di sini akan berguna bagi pelamar dalam persiapan untuk ujian masuk. Untuk studi yang lebih dalam tentang metode pemecahan masalah, berhubungan dengan deret geometri, Anda dapat menggunakan tutorial dari daftar literatur yang direkomendasikan.

1. Kumpulan tugas matematika untuk pelamar ke universitas teknik / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 hal.

2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: bagian tambahan dari kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 hal.

3. Medynsky M.M. Kursus lengkap matematika dasar dalam tugas dan latihan. Buku 2: Urutan Angka dan Progresi. – M.: Editus, 2015. - 208 hal.

Apakah Anda memiliki pertanyaan?

Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Deret geometri, bersama dengan aritmatika, adalah deret bilangan penting yang dipelajari dalam kursus aljabar sekolah di kelas 9. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan penyebut dari deret geometri, dan bagaimana nilainya mempengaruhi sifat-sifatnya.

Definisi deret geometri

Untuk memulainya, kami memberikan definisi deret angka ini. Deret geometri adalah barisan bilangan rasional yang dibentuk dengan mengalikan elemen pertamanya secara berurutan dengan bilangan konstan yang disebut penyebut.

Misalnya, bilangan pada deret 3, 6, 12, 24, ... adalah barisan geometri, karena jika kita mengalikan 3 (elemen pertama) dengan 2, kita mendapatkan 6. Jika kita mengalikan 6 dengan 2, kita mendapatkan 12, dan seterusnya.

Anggota barisan yang sedang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan simbol ai, di mana i adalah bilangan bulat yang menunjukkan jumlah elemen dalam deret tersebut.

Definisi suatu barisan di atas dapat dituliskan dalam bahasa matematika sebagai berikut: an = bn-1 * a1, di mana b adalah penyebutnya. Sangat mudah untuk memeriksa rumus ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapatkan a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan sekali lagi kita sampai pada definisi deret bilangan yang dibahas. Penalaran serupa dapat dilanjutkan untuk nilai n yang besar.

Penyebut barisan geometri

Angka b sepenuhnya menentukan karakter apa yang akan dimiliki seluruh seri angka. Penyebut b bisa positif, negatif, dan juga memiliki nilai lebih besar dari satu atau kurang. Semua opsi di atas mengarah ke urutan yang berbeda:

• b > 1. Ada deret bilangan rasional yang meningkat. Misalnya, 1, 2, 4, 8, ... Jika elemen a1 negatif, maka seluruh barisan hanya akan bertambah modulo, tetapi berkurang dengan mempertimbangkan tanda angka.
• b = 1. Seringkali kasus seperti itu tidak disebut deret, karena ada deret biasa dari bilangan rasional identik. Misalnya, -4, -4, -4.

Rumus untuk jumlah

Sebelum melanjutkan ke pembahasan masalah khusus dengan menggunakan penyebut dari jenis deret yang dibahas, formula penting harus diberikan untuk jumlah n elemen pertamanya. Rumusnya adalah: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda bisa mendapatkan ekspresi ini sendiri jika Anda mempertimbangkan urutan rekursif dari anggota perkembangan. Perhatikan juga bahwa dalam rumus di atas, cukup mengetahui hanya elemen pertama dan penyebutnya untuk menemukan jumlah sejumlah suku yang berubah-ubah.

Urutan menurun tanpa batas

Di atas adalah penjelasan tentang apa itu. Sekarang, mengetahui rumus untuk Sn, mari kita terapkan pada deret bilangan ini. Karena bilangan apa pun yang modulusnya tidak melebihi 1 cenderung nol bila dipangkatkan besar, yaitu b∞ => 0 jika -1

Karena perbedaan (1 - b) akan selalu positif, terlepas dari nilai penyebutnya, tanda jumlah deret geometri S∞ yang menurun tak hingga secara unik ditentukan oleh tanda elemen pertamanya a1.

Sekarang kami akan mempertimbangkan beberapa masalah, di mana kami akan menunjukkan bagaimana menerapkan pengetahuan yang diperoleh ke angka-angka tertentu.

Tugas nomor 1. Perhitungan elemen yang tidak diketahui dari perkembangan dan jumlah

Diketahui suatu barisan geometri, penyebut barisan tersebut adalah 2, dan elemen pertamanya adalah 3. Berapa suku ke-7 dan ke-10, dan berapa jumlah tujuh elemen awalnya?

Kondisi masalahnya cukup sederhana dan melibatkan penggunaan langsung rumus di atas. Jadi, untuk menghitung elemen bernomor n, kita menggunakan ekspresi an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita memiliki: a7 = b6 * a1, substitusikan data yang diketahui, kita dapatkan: a7 = 26 * 3 = 192. Kami melakukan hal yang sama untuk anggota ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Kami menggunakan rumus terkenal untuk jumlah dan menentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama dari deret tersebut. Kami memiliki: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Tugas nomor 2. Menentukan jumlah elemen arbitrer dari perkembangan

Biarkan -2 menjadi penyebut dari deret eksponensial bn-1 * 4, di mana n adalah bilangan bulat. Penting untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 dari deret ini, inklusif.

Masalah yang diajukan tidak dapat diselesaikan secara langsung dengan menggunakan rumus-rumus yang diketahui. Itu dapat diselesaikan dengan 2 cara berbeda. Demi kelengkapan, kami hadirkan keduanya.

Metode 1. Idenya sederhana: Anda perlu menghitung dua jumlah yang sesuai dari suku pertama, dan kemudian mengurangi yang lain dari satu. Hitung jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita hitung jumlah besarnya: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahwa dalam ekspresi terakhir, hanya 4 istilah yang dijumlahkan, karena yang ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dihitung sesuai dengan kondisi masalah. Akhirnya, kita ambil selisihnya: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metode 2. Sebelum mensubstitusikan bilangan dan menghitung, Anda dapat memperoleh rumus jumlah antara suku m dan n dari deret yang bersangkutan. Kami bertindak dengan cara yang persis sama seperti pada metode 1, hanya saja kami bekerja terlebih dahulu dengan representasi simbolis dari jumlah tersebut. Kami memiliki: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda dapat mengganti angka yang diketahui ke dalam ekspresi yang dihasilkan dan menghitung hasil akhirnya: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Tugas nomor 3. Apa penyebutnya?

Misalkan a1 = 2, temukan penyebut dari barisan geometri, asalkan jumlah tak hingga adalah 3, dan diketahui bahwa ini adalah deret bilangan menurun.

Sesuai dengan kondisi masalah, tidak sulit untuk menebak rumus mana yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Tentu saja, untuk jumlah dari perkembangan yang semakin menurun. Kami memiliki: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebutnya: b = 1 - a1 / S∞. Tetap menggantikan nilai yang diketahui dan mendapatkan nomor yang diperlukan: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 atau -0,333 (3). Kita dapat memeriksa hasil ini secara kualitatif jika kita ingat bahwa untuk jenis barisan ini, modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang Anda lihat, |-1 / 3|

Tugas nomor 4. Memulihkan serangkaian angka

Biarkan 2 elemen dari deret angka diberikan, misalnya, yang ke-5 sama dengan 30 dan ke-10 sama dengan 60. Penting untuk mengembalikan seluruh seri dari data ini, mengetahui bahwa itu memenuhi sifat-sifat deret geometri.

Untuk memecahkan masalah, Anda harus terlebih dahulu menuliskan ekspresi yang sesuai untuk setiap anggota yang diketahui. Kami memiliki: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang kita membagi ekspresi kedua dengan yang pertama, kita mendapatkan: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebut dengan mengambil akar pangkat lima dari rasio anggota yang diketahui dari kondisi masalah, b = 1,148698. Kami mengganti angka yang dihasilkan menjadi salah satu ekspresi untuk elemen yang diketahui, kami mendapatkan: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Dengan demikian, kita telah menemukan apa penyebut dari barisan bn, dan barisan geometri bn-1 * 17.2304966 = an, di mana b = 1.148698.

Di mana deret geometri digunakan?

Jika tidak ada penerapan deret numerik ini dalam praktik, maka studinya akan direduksi menjadi kepentingan teoretis murni. Tapi ada aplikasi seperti itu.

3 contoh paling terkenal tercantum di bawah ini:

• Paradoks Zeno, di mana Achilles yang gesit tidak dapat mengejar kura-kura yang lambat, diselesaikan dengan menggunakan konsep barisan bilangan yang semakin berkurang.
• Jika butir gandum ditempatkan pada setiap sel papan catur sehingga 1 butir ditempatkan pada sel pertama, 2 - pada sel ke-2, 3 - pada sel ke-3, dan seterusnya, maka diperlukan 18446744073709551615 butir untuk mengisi semua sel dari papan!
• Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk mengatur ulang disk dari satu batang ke batang lainnya, perlu untuk melakukan operasi 2n - 1, yaitu, jumlahnya bertambah secara eksponensial dari jumlah disk yang digunakan n.

Pelajaran terkait "Perkembangan geometris yang terus menurun" (aljabar, kelas 10)

Tujuan pelajaran: memperkenalkan siswa pada jenis barisan baru - deret geometri yang semakin berkurang.

Peralatan: layar proyektor.

Jenis pelajaran: Pelajaran - menguasai topik baru.

Selama kelas

Saya . organisasi momen. Pesan tentang topik dan tujuan pelajaran.

II . Memperbarui pengetahuan siswa.

Di kelas 9, Anda mempelajari deret aritmatika dan geometri.

pertanyaan

1. Definisi barisan aritmatika. (Deret aritmatika adalah barisan di mana setiap suku, mulai dari yang kedua, sama dengan suku sebelumnya yang ditambahkan ke angka yang sama.)

2. Rumus n-anggota deret aritmatika (
)

3. Rumus untuk jumlah yang pertama n anggota barisan aritmatika.

(
atau
)

4. Pengertian barisan geometri. (Deret geometri adalah barisan bilangan bukan nol, yang setiap sukunya, mulai dari yang kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama.)

5. Rumus n-anggota deret geometri (

)

6. Rumus jumlah pertama n anggota deret geometri. (
)

7. Rumus apa yang masih kamu ketahui?

(
, di mana
;
;
;
,
)

5. Untuk deret geometri
temukan suku kelima.

6. Untuk barisan geometri
Temukan n-anggota.

7. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Menemukan b 4 . (4)

8. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Menemukan b 1 dan q .

9. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2 . Menemukan S 5 . (62)

AKU AKU AKU . Menjelajahi topik baru(pertunjukan demonstrasi).

Pertimbangkan sebuah persegi dengan sisi sama dengan 1. Mari kita menggambar persegi lain, yang sisinya adalah setengah persegi pertama, lalu satu lagi, sisinya adalah setengah kedua, lalu yang berikutnya, dan seterusnya. Setiap kali sisi alun-alun baru adalah setengah dari yang sebelumnya.

Hasilnya, kami mendapat urutan sisi persegi membentuk barisan geometri dengan penyebut .

Dan, yang sangat penting, semakin banyak kita membangun kotak seperti itu, semakin kecil sisi perseginya. Sebagai contoh,

Itu. seiring dengan bertambahnya angka n, suku-suku dari progresi mendekati nol.

Dengan bantuan gambar ini, satu urutan lagi dapat dipertimbangkan.

Misalnya, barisan luas persegi:

. Dan, sekali lagi, jika n meningkat tanpa batas, maka area mendekati nol secara sewenang-wenang.

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Sebuah segitiga sama sisi dengan sisi 1 cm. Mari kita membangun segitiga berikutnya dengan simpul di titik tengah sisi segitiga ke-1, sesuai dengan teorema garis tengah segitiga - sisi ke-2 sama dengan setengah sisi yang pertama, sisi ke-3 adalah setengah sisi yang ke-2, dst. Sekali lagi kita mendapatkan urutan panjang sisi segitiga.

pada
.

Jika kita mempertimbangkan barisan geometri dengan penyebut negatif.

Kemudian, sekali lagi, dengan jumlah yang meningkat n syarat kemajuan mendekati nol.

Mari kita perhatikan penyebut dari barisan ini. Di mana-mana penyebutnya kurang dari 1 modulo.

Dapat kita simpulkan: suatu deret geometri akan berkurang tak hingga jika modulus penyebutnya kurang dari 1.

Definisi:

Suatu barisan geometri dikatakan turun tak berhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu.
.

Dengan bantuan definisi, adalah mungkin untuk memecahkan pertanyaan apakah deret geometri menurun tanpa batas atau tidak.

Sebuah tugas

Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang semakin menurun jika diberikan oleh rumus:

;
.

Larutan:

. Ayo temukan q .

;
;
;
.

deret geometri ini menurun tak terhingga.

b) barisan ini bukanlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Pertimbangkan sebuah persegi dengan sisi sama dengan 1. Bagilah menjadi dua, salah satu bagian menjadi dua lagi, dan seterusnya. luas semua persegi panjang yang dihasilkan membentuk deret geometri yang semakin menurun:

Jumlah luas semua persegi panjang yang diperoleh dengan cara ini akan sama dengan luas persegi pertama dan sama dengan 1.