Baru-baru ini, terdapat rumus elegan untuk menghitung Pi, pertama kali diterbitkan pada tahun 1995 oleh David Bailey, Peter Borwein dan Simon Plouffe:
Tampaknya: apa yang istimewa di dalamnya - ada banyak sekali rumus untuk menghitung Pi: dari metode sekolah Monte Carlo hingga integral Poisson yang tidak dapat dipahami dan rumus Francois Vieta dari akhir Abad Pertengahan. Namun rumus inilah yang patut mendapat perhatian khusus - ini memungkinkan Anda menghitung digit ke-n pi tanpa menemukan digit sebelumnya. Untuk informasi tentang cara kerjanya, serta kode siap pakai dalam C yang menghitung digit ke 1.000.000, silakan berlangganan.
Bagaimana cara kerja algoritma untuk menghitung digit ke-N Pi?
Misalnya, jika kita memerlukan digit heksadesimal ke-1000 dari Pi, kita mengalikan seluruh rumus dengan 16^1000, sehingga mengubah faktor di depan tanda kurung menjadi 16^(1000-k). Saat melakukan eksponensial, kami menggunakan algoritma eksponensial biner atau, seperti yang akan ditunjukkan pada contoh di bawah, eksponen modulo. Setelah ini, kita menghitung jumlah beberapa suku deret tersebut. Selain itu, tidak perlu menghitung banyak: seiring bertambahnya k, 16^(N-k) berkurang dengan cepat, sehingga suku-suku berikutnya tidak akan mempengaruhi nilai bilangan yang diperlukan). Itu semua ajaib - brilian dan sederhana.
Rumus Bailey-Borwine-Plouffe ditemukan oleh Simon Plouffe menggunakan algoritma PSLQ yang masuk dalam daftar Top 10 Algorithms of the Century pada tahun 2000. Algoritma PSLQ sendiri kemudian dikembangkan oleh Bailey. Berikut serial Meksiko tentang matematikawan.
Omong-omong, waktu berjalan algoritma adalah O(N), penggunaan memori adalah O(log N), dimana N adalah nomor seri dari tanda yang diinginkan.
Saya rasa pantas untuk mengutip kode dalam C yang ditulis langsung oleh penulis algoritme, David Bailey:
/* Program ini mengimplementasikan algoritma BBP untuk menghasilkan beberapa digit heksadesimal yang dimulai segera setelah id posisi tertentu, atau dengan kata lain dimulai pada posisi id + 1. Pada sebagian besar sistem yang menggunakan aritmatika floating-point IEEE 64-bit, kode ini berfungsi dengan benar selama d kurang dari kira-kira 1,18 x 10^7. Jika aritmatika 80-bit dapat digunakan, batas ini jauh lebih tinggi. Apapun aritmatika yang digunakan, hasil untuk id posisi tertentu dapat diperiksa dengan mengulangi dengan id-1 atau id+1, dan memverifikasi bahwa digit hex bertumpang tindih sempurna dengan offset satu, kecuali mungkin untuk beberapa digit terakhir. Pecahan yang dihasilkan biasanya akurat hingga setidaknya 11 digit desimal, dan hingga setidaknya 9 digit hex. */ /* David H. Bailey 08-09-2006 */ #termasuk
hal1 = hal;
Anda dapat menemukan informasi lebih lanjut tentang topik ini di artikel oleh David Bailey sendiri, di mana dia berbicara secara rinci tentang algoritma dan implementasinya (pdf);
Dan sepertinya Anda baru saja membaca artikel berbahasa Rusia pertama tentang algoritma ini di RuNet - saya tidak dapat menemukan artikel lain.
Penggemar matematika di seluruh dunia makan sepotong kue setiap tahun pada tanggal empat belas Maret - lagipula, ini adalah hari Pi, bilangan irasional paling terkenal. Tanggal ini berhubungan langsung dengan bilangan yang angka pertamanya 3,14. Pi adalah perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Karena tidak rasional, tidak mungkin menuliskannya sebagai pecahan. Ini adalah angka yang sangat panjang. Ia ditemukan ribuan tahun yang lalu dan terus dipelajari sejak saat itu, tetapi apakah Pi masih menyimpan rahasia? Dari asal usul kuno hingga masa depan yang tidak pasti, berikut beberapa fakta paling menarik tentang Pi.
Menghafal Pi
Rekor menghafal angka desimal dimiliki oleh Rajvir Meena dari India yang berhasil mengingat 70.000 digit - rekor tersebut ia pecahkan pada 21 Maret 2015. Sebelumnya pemegang rekor adalah Chao Lu dari China yang berhasil mengingat 67.890 angka - rekor ini terjadi pada tahun 2005. Pemegang rekor tidak resmi adalah Akira Haraguchi, yang merekam dirinya dalam video yang mengulangi 100.000 digit pada tahun 2005 dan baru-baru ini menerbitkan video di mana ia berhasil mengingat 117.000 digit. Rekor tersebut akan menjadi resmi hanya jika video ini direkam di hadapan perwakilan Guinness Book of Records, dan tanpa konfirmasi, video tersebut hanya akan menjadi fakta yang mengesankan, tetapi tidak dianggap sebagai pencapaian. Penggemar matematika suka menghafal angka Pi. Banyak orang menggunakan berbagai teknik mnemonik, misalnya puisi, di mana jumlah huruf dalam setiap kata sesuai dengan angka Pi. Setiap bahasa memiliki versi frasa serupa yang membantu Anda mengingat beberapa angka pertama dan seratus angka keseluruhan.
Ada bahasa Pi
Matematikawan, yang sangat menyukai sastra, menemukan dialek di mana jumlah huruf di semua kata sesuai dengan angka Pi dalam urutan yang tepat. Penulis Mike Keith bahkan menulis buku Not a Wake yang seluruhnya ditulis dalam bahasa Pi. Para peminat kreativitas tersebut menulis karyanya secara lengkap sesuai dengan jumlah huruf dan arti angka. Hal ini tidak mempunyai penerapan praktis, namun merupakan fenomena yang cukup umum dan terkenal di kalangan ilmuwan yang antusias.
Pertumbuhan eksponensial
Pi adalah bilangan tak terhingga, jadi menurut definisinya orang tidak akan pernah bisa menentukan angka pasti dari bilangan tersebut. Namun, jumlah tempat desimal telah meningkat pesat sejak Pi pertama kali digunakan. Orang Babilonia juga menggunakannya, tetapi bagi mereka pecahan dari tiga bilangan bulat dan seperdelapan sudah cukup. Orang Cina dan pencipta Perjanjian Lama hanya dibatasi pada tiga orang saja. Pada tahun 1665, Sir Isaac Newton telah menghitung 16 digit Pi. Pada tahun 1719, matematikawan Perancis Tom Fante de Lagny telah menghitung 127 digit. Munculnya komputer telah secara radikal meningkatkan pengetahuan manusia tentang Pi. Dari tahun 1949 hingga 1967, jumlah digit yang diketahui manusia meroket dari 2.037 menjadi 500.000. Belum lama ini, Peter Trueb, seorang ilmuwan dari Swiss, mampu menghitung 2,24 triliun digit Pi! Butuh 105 hari. Tentu saja ini bukanlah batasnya. Kemungkinan besar dengan perkembangan teknologi akan dimungkinkan untuk mendapatkan angka yang lebih akurat - karena Pi tidak terbatas, tidak ada batasan untuk akurasi, dan hanya fitur teknis teknologi komputer yang dapat membatasinya.
Menghitung Pi dengan tangan
Jika Anda ingin mencari nomornya sendiri, Anda dapat menggunakan teknik kuno - Anda memerlukan penggaris, stoples, dan tali, atau Anda dapat menggunakan busur derajat dan pensil. Kelemahan menggunakan kaleng adalah bentuknya yang bulat dan keakuratannya ditentukan oleh seberapa baik seseorang dapat melilitkan tali di sekelilingnya. Anda dapat menggambar lingkaran dengan busur derajat, tetapi hal ini juga memerlukan keterampilan dan ketelitian, karena lingkaran yang tidak rata dapat merusak hasil pengukuran Anda. Metode yang lebih akurat melibatkan penggunaan geometri. Bagilah lingkaran menjadi beberapa bagian, seperti pizza menjadi beberapa irisan, lalu hitung panjang garis lurus yang akan mengubah setiap segmen menjadi segitiga sama kaki. Jumlah sisi-sisinya akan menghasilkan angka perkiraan Pi. Semakin banyak segmen yang Anda gunakan, semakin akurat angkanya. Tentu saja, dalam perhitungan Anda, Anda tidak akan bisa mendekati hasil komputer, namun eksperimen sederhana ini memungkinkan Anda untuk memahami lebih detail apa itu bilangan Pi dan bagaimana penggunaannya dalam matematika. 
Penemuan Pi
Orang Babilonia kuno sudah mengetahui keberadaan angka Pi empat ribu tahun yang lalu. Tablet Babilonia menghitung Pi sebagai 3,125, dan papirus matematika Mesir menunjukkan angka 3,1605. Dalam Alkitab, Pi diberikan dalam satuan hasta yang sudah ketinggalan zaman, dan ahli matematika Yunani Archimedes menggunakan teorema Pythagoras, hubungan geometris antara panjang sisi segitiga dan luas bangun di dalam dan di luar lingkaran, untuk menggambarkan Pi. Dengan demikian, kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa Pi adalah salah satu konsep matematika paling kuno, meskipun nama pasti dari bilangan ini muncul relatif baru.
Tampilan baru pada Pi
Bahkan sebelum bilangan Pi mulai dikorelasikan dengan lingkaran, ahli matematika sudah memiliki banyak cara untuk memberi nama bilangan tersebut. Misalnya, dalam buku teks matematika kuno, kita dapat menemukan frasa dalam bahasa Latin yang secara kasar dapat diterjemahkan sebagai “besarnya yang menunjukkan panjang jika diameternya dikalikan”. Bilangan irasional menjadi terkenal ketika ilmuwan Swiss Leonhard Euler menggunakannya dalam karyanya tentang trigonometri pada tahun 1737. Namun, simbol Yunani untuk Pi masih belum digunakan - ini hanya terjadi dalam sebuah buku karya matematikawan yang kurang terkenal, William Jones. Dia sudah menggunakannya pada tahun 1706, tetapi hal itu luput dari perhatian untuk waktu yang lama. Seiring waktu, para ilmuwan mengadopsi nama ini, dan sekarang ini adalah versi paling terkenal dari nama tersebut, meskipun sebelumnya juga disebut nomor Ludolf.
Apakah Pi bilangan normal?
Pi jelas merupakan angka yang aneh, tetapi seberapa mengikuti hukum matematika normal? Para ilmuwan telah memecahkan banyak pertanyaan terkait bilangan irasional ini, namun masih ada beberapa misteri yang tersisa. Misalnya, tidak diketahui seberapa sering semua angka digunakan – angka 0 hingga 9 harus digunakan dalam proporsi yang sama. Namun, statistik dapat ditelusuri dari triliunan digit pertama, tetapi karena jumlahnya tidak terbatas, tidak mungkin untuk membuktikan apa pun secara pasti. Ada masalah lain yang masih luput dari perhatian para ilmuwan. Ada kemungkinan bahwa pengembangan ilmu pengetahuan lebih lanjut akan membantu menjelaskan hal-hal tersebut, namun saat ini hal tersebut masih berada di luar jangkauan kecerdasan manusia.
Pi terdengar ilahi
Para ilmuwan tidak dapat menjawab beberapa pertanyaan tentang angka Pi, namun setiap tahun mereka semakin memahami esensinya. Sudah di abad kedelapan belas, irasionalitas angka ini terbukti. Apalagi jumlahnya sudah terbukti transendental. Artinya tidak ada rumus khusus yang memungkinkan Anda menghitung Pi menggunakan bilangan rasional. 
Ketidakpuasan dengan angka Pi
Banyak ahli matematika yang jatuh cinta pada Pi, namun ada juga yang percaya bahwa angka-angka ini tidak terlalu signifikan. Selain itu, mereka menyatakan bahwa bilangan Tau, yang dua kali lebih besar dari Pi, lebih mudah digunakan sebagai bilangan irasional. Tau menunjukkan hubungan antara keliling dan jari-jari, yang diyakini sebagian orang mewakili metode penghitungan yang lebih logis. Namun, tidak mungkin untuk secara tegas menentukan apa pun dalam hal ini, dan nomor yang satu dan yang lainnya akan selalu memiliki pendukung, kedua metode memiliki hak untuk hidup, jadi ini hanya fakta yang menarik, dan bukan alasan untuk berpikir bahwa Anda tidak boleh melakukannya. gunakan nomor Pi.
Teks karya diposting tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap karya ini tersedia di tab "File Kerja" dalam format PDF
1. Relevansi pekerjaan.
Dalam variasi angka yang tak terbatas, seperti di antara bintang-bintang di Alam Semesta, angka-angka individual dan seluruh “rasi bintang” dengan keindahan luar biasa menonjol, angka-angka dengan sifat luar biasa dan harmoni unik yang hanya melekat pada angka-angka tersebut. Anda hanya perlu bisa melihat angka-angka tersebut dan memperhatikan propertinya. Perhatikan lebih dekat rangkaian angka alami - dan Anda akan menemukan di dalamnya banyak hal yang mengejutkan dan aneh, lucu dan serius, tak terduga dan membuat penasaran. Orang yang melihat melihat. Lagi pula, orang-orang bahkan tidak akan menyadarinya pada malam musim panas yang berbintang... cahayanya. Bintang kutub, jika tidak mengarahkan pandangannya ke ketinggian tak berawan.
Pindah dari kelas ke kelas, saya berkenalan dengan natural, pecahan, desimal, negatif, rasional. Tahun ini saya belajar irasional. Di antara bilangan irasional terdapat bilangan khusus, yang perhitungan pastinya telah dilakukan oleh para ilmuwan selama berabad-abad. Saya menemukannya di kelas 6 SD saat mempelajari topik “Keliling dan Luas Lingkaran”. Ditekankan bahwa kami cukup sering bertemu dengannya di kelas-kelas SMA. Tugas praktis mencari nilai numerik π menarik. Bilangan π merupakan salah satu bilangan yang paling menarik ditemui dalam pembelajaran matematika. Hal ini ditemukan dalam berbagai disiplin ilmu sekolah. Banyak fakta menarik terkait dengan bilangan π sehingga menggugah minat untuk diteliti.
Setelah mendengar banyak hal menarik tentang nomor ini, saya sendiri memutuskan dengan mempelajari literatur tambahan dan mencari di Internet untuk mengetahui informasi sebanyak-banyaknya tentang nomor ini dan menjawab pertanyaan-pertanyaan bermasalah:
Sudah berapa lama orang mengetahui tentang angka pi?
Mengapa perlu mempelajarinya?
Fakta menarik apa saja yang terkait dengannya?
Benarkah nilai pi kurang lebih 3,14
Oleh karena itu, saya mengatur diri saya sendiri target: menelusuri sejarah bilangan π dan pentingnya bilangan π pada tahap perkembangan matematika saat ini.
Tugas:
Pelajari literatur untuk memperoleh informasi tentang sejarah bilangan π;
Tetapkan beberapa fakta dari “biografi modern” nomor π;
Perhitungan praktis perkiraan nilai perbandingan keliling dan diameter.
Objek studi:
Objek Studi: Nomor PI.
Subyek studi: Fakta menarik terkait nomor PI.
2. Bagian utama. Angka pi yang luar biasa.
Tidak ada bilangan lain yang misterius seperti Pi, dengan rangkaian bilangannya yang terkenal dan tidak ada habisnya. Di banyak bidang matematika dan fisika, para ilmuwan menggunakan bilangan ini dan hukumnya.
Dari semua bilangan yang digunakan dalam matematika, sains, teknik, dan kehidupan sehari-hari, hanya sedikit bilangan yang mendapat perhatian sebanyak pi. Sebuah buku mengatakan, “Pi memikat pikiran para jenius sains dan matematikawan amatir di seluruh dunia” (“Fraktal untuk Kelas”).
Hal ini dapat ditemukan dalam teori probabilitas, dalam memecahkan masalah dengan bilangan kompleks dan bidang matematika lain yang tidak terduga dan jauh dari geometri. Matematikawan Inggris Augustus de Morgan pernah menyebut pi sebagai “...angka misterius 3,14159...yang merangkak menembus pintu, menembus jendela, dan menembus atap.” Angka misterius ini, terkait dengan salah satu dari tiga masalah klasik Zaman Kuno - membangun sebuah persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu - memerlukan jejak sejarah yang dramatis dan fakta-fakta menghibur yang membuat penasaran.
Beberapa bahkan menganggapnya sebagai salah satu dari lima angka terpenting dalam matematika. Namun seperti yang dicatat dalam buku Fractals for the Classroom, sama pentingnya dengan pi, “sulit untuk menemukan luas dalam perhitungan ilmiah yang memerlukan lebih dari dua puluh angka desimal pi”.
3. Konsep pi
Bilangan π adalah konstanta matematika yang menyatakan perbandingan keliling lingkaran dengan panjang diameternya. Angka π (diucapkan "pi") adalah konstanta matematika yang menyatakan perbandingan keliling lingkaran dengan panjang diameternya. Dilambangkan dengan huruf "pi" dari alfabet Yunani.
Dalam istilah numerik, π dimulai dari 3,141592 dan memiliki durasi matematis tak terhingga.
4. Sejarah bilangan “pi”
Menurut para ahli, angka ini ditemukan oleh para penyihir Babilonia. Itu digunakan dalam pembangunan Menara Babel yang terkenal. Namun, penghitungan nilai Pi yang kurang akurat menyebabkan runtuhnya keseluruhan proyek. Ada kemungkinan bahwa konstanta matematika inilah yang mendasari pembangunan Kuil Raja Sulaiman yang legendaris.
Sejarah pi, yang menyatakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya, dimulai di Mesir Kuno. Luas lingkaran dengan diameter D Matematikawan Mesir mendefinisikannya sebagai (hh/9) 2 (entri ini diberikan di sini dalam simbol modern). Dari ungkapan di atas kita dapat menyimpulkan bahwa pada saat itu bilangan p dianggap sama dengan pecahan (16/9) 2 , atau 256/81 , yaitu π = 3,160...
Dalam kitab suci Jainisme (salah satu agama tertua yang ada di India dan muncul pada abad ke-6 SM) terdapat indikasi bahwa bilangan p pada waktu itu dianggap sama, sehingga menghasilkan pecahan. 3,162... Yunani kuno Eudoxus, Hippocrates dan yang lainnya mereduksi pengukuran lingkaran menjadi konstruksi sebuah segmen, dan pengukuran lingkaran menjadi konstruksi persegi yang sama. Perlu dicatat bahwa selama berabad-abad, ahli matematika dari berbagai negara dan masyarakat telah mencoba menyatakan rasio keliling terhadap diameter sebagai bilangan rasional.
Archimedes pada abad ke-3 SM. dalam karya pendeknya “Measuring a Circle” ia mendukung tiga proposisi:
Setiap lingkaran sama besarnya dengan segitiga siku-siku, yang kaki-kakinya masing-masing sama dengan panjang lingkaran dan jari-jarinya;
Luas lingkaran berhubungan dengan persegi yang dibangun berdasarkan diameternya, seperti 11 hingga 14;
Perbandingan setiap lingkaran dengan diameternya lebih kecil 3 1/7 dan banyak lagi 3 10/71 .
Menurut perhitungan yang tepat Archimedes perbandingan keliling dengan diameter diapit di antara angka-angka tersebut 3*10/71 Dan 3*1/7 , yang berarti itu π = 3,1419... Arti sebenarnya dari hubungan ini 3,1415922653... Pada abad ke-5 SM. matematikawan Tiongkok Zu Chongzhi nilai yang lebih akurat untuk nomor ini ditemukan: 3,1415927...
Pada paruh pertama abad ke-15. observatorium Ulugbek, di dekat Samarkand, astronom dan ahli matematika al-Kashi menghitung pi hingga 16 tempat desimal. Al-Kashi membuat perhitungan unik yang diperlukan untuk menyusun tabel sinus secara bertahap 1" . Tabel-tabel ini memainkan peran penting dalam astronomi.
Satu setengah abad kemudian di Eropa F.Viet menemukan pi dengan hanya 9 tempat desimal yang benar dengan menggandakan jumlah sisi poligon sebanyak 16 kali. Tapi diwaktu yang sama F.Viet adalah orang pertama yang menyadari bahwa pi dapat ditemukan menggunakan batas deret tertentu. Penemuan ini sungguh luar biasa
nilai, karena memungkinkan kami menghitung pi dengan akurasi apa pun. Hanya 250 tahun setelahnya al-Kashi hasilnya terlampaui.
Ulang tahun nomor “”.
Hari libur tidak resmi “Hari PI” dirayakan pada tanggal 14 Maret, yang dalam format Amerika (hari/tanggal) ditulis sebagai 14/3, yang sesuai dengan perkiraan nilai PI.
Ada versi alternatif liburan - 22 Juli. Ini disebut Hari Perkiraan Pi. Faktanya adalah menyatakan tanggal ini sebagai pecahan (22/7) juga menghasilkan angka Pi. Diyakini bahwa hari libur ditemukan pada tahun 1987 oleh fisikawan San Francisco Larry Shaw, yang memperhatikan bahwa tanggal dan waktu bertepatan dengan digit pertama angka π.
Fakta menarik terkait angka “”
Ilmuwan Universitas Tokyo yang dipimpin Profesor Yasumasa Kanada berhasil memecahkan rekor dunia dalam menghitung angka Pi hingga 12,411 triliun digit. Untuk melakukan hal ini, sekelompok programmer dan ahli matematika memerlukan program khusus, superkomputer, dan 400 jam waktu komputer. (Buku Rekor Guinness).
Raja Jerman Frederick II begitu terpesona dengan angka ini sehingga dia mendedikasikannya... seluruh istana Castel del Monte, yang proporsinya dapat dihitung PI. Sekarang istana ajaib itu berada di bawah perlindungan UNESCO.
Cara mengingat digit pertama angka “”.
Tiga digit pertama angka = 3,14... tidak sulit untuk diingat. Dan untuk mengingat lebih banyak tanda, ada ucapan dan puisi lucu. Misalnya, ini:
Anda hanya perlu mencoba
Dan ingatlah semuanya apa adanya:
Sembilan puluh dua dan enam.
S.Bobrov. "bicorn ajaib"
Siapa pun yang mempelajari syair ini akan selalu dapat menyebutkan 8 tanda bilangan :
Pada frasa berikut, tanda bilangan dapat ditentukan berdasarkan jumlah huruf pada setiap kata:
“Apa yang saya ketahui tentang lingkaran?” (3.1416);
“Jadi saya tahu nomor yang disebut Pi. - Bagus sekali!"
(3,1415927);
“Pelajari dan ketahui angka dibalik angka tersebut, bagaimana cara memperhatikan keberuntungan.”
(3,14159265359)
5. Notasi pi
Orang pertama yang memperkenalkan simbol modern pi untuk perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya adalah seorang matematikawan Inggris W.Johnson pada tahun 1706. Sebagai simbol ia mengambil huruf pertama dari kata Yunani "keliling", yang artinya diterjemahkan "lingkaran". Masuk W.Johnson sebutan tersebut menjadi umum digunakan setelah penerbitan karyanya L.Euler, yang menggunakan karakter yang dimasukkan untuk pertama kalinya 1736 G.
Pada akhir abad ke-18. A.M.Lagendre berdasarkan karya IG membuktikan bahwa pi tidak rasional. Kemudian ahli matematika Jerman F.Lindeman berdasarkan penelitian S.Ermita, ditemukan bukti kuat bahwa bilangan ini tidak hanya irasional, tetapi juga transendental, yaitu. tidak bisa menjadi akar persamaan aljabar. Pencarian ekspresi yang tepat untuk pi dilanjutkan setelah pekerjaan selesai F.Vieta. Pada awal abad ke-17. Matematikawan Belanda dari Cologne Ludolf van Zeijlen(1540-1610) (beberapa sejarawan menyebutnya L.van Keulen) menemukan 32 tanda yang benar. Sejak itu (tahun terbit 1615), nilai bilangan p dengan 32 tempat desimal disebut bilangan Ludolph.
6. Cara mengingat angka "Pi" akurat hingga sebelas digit
Angka "Pi" adalah perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya, dinyatakan sebagai pecahan desimal tak hingga. Dalam kehidupan sehari-hari, kita cukup mengetahui tiga tanda (3.14). Namun, beberapa perhitungan memerlukan akurasi yang lebih tinggi.
Nenek moyang kita tidak memiliki komputer, kalkulator atau buku referensi, tetapi sejak zaman Peter I mereka terlibat dalam perhitungan geometris di bidang astronomi, teknik mesin, dan pembuatan kapal. Selanjutnya, teknik elektro ditambahkan di sini - ada konsep "frekuensi melingkar arus bolak-balik". Untuk mengingat angka "Pi", sebuah bait diciptakan (sayangnya, kita tidak mengetahui penulis atau tempat penerbitan pertamanya; tetapi pada akhir tahun 40-an abad kedua puluh, anak-anak sekolah Moskow mempelajari buku teks geometri Kiselev, di mana ia berada. diberikan).
Bait ini ditulis menurut aturan ortografi Rusia kuno, yang menurutnya setelahnya konsonan harus ditempatkan di akhir kata "lembut" atau "padat" tanda. Ini dia, bait sejarah yang indah ini:
Yang, bercanda, akan segera berharap
"Pi" tahu nomornya - dia sudah tahu.
Masuk akal bagi siapa pun yang berencana melakukan perhitungan yang tepat di masa depan untuk mengingat hal ini. Jadi berapa angka "Pi" yang akurat hingga sebelas digit? Hitung jumlah huruf dalam setiap kata dan tuliskan angka-angka tersebut secara berurutan (pisahkan angka pertama dengan koma).
Akurasi ini sudah cukup memadai untuk perhitungan teknik. Selain cara kuno, ada juga cara menghafal modern yang dikemukakan oleh seorang pembaca yang mengidentifikasi dirinya sebagai Georgiy:
Agar kita tidak melakukan kesalahan,
Anda perlu membacanya dengan benar:
Tiga, empat belas, lima belas,
Sembilan puluh dua dan enam.
Anda hanya perlu mencoba
Dan ingatlah semuanya apa adanya:
Tiga, empat belas, lima belas,
Sembilan puluh dua dan enam.
Tiga, empat belas, lima belas,
Sembilan, dua, enam, lima, tiga, lima.
Untuk melakukan sains,
Setiap orang harus mengetahui hal ini.
Anda bisa mencobanya
Dan ulangi lebih sering:
"Tiga, empat belas, lima belas,
Sembilan, dua puluh enam dan lima."
Nah, matematikawan dengan bantuan komputer modern dapat menghitung hampir semua jumlah digit Pi.
7. Catatan memori Pi
Umat manusia telah lama mencoba mengingat tanda-tanda pi. Tapi bagaimana cara memasukkan ketidakterbatasan ke dalam memori? Pertanyaan favorit para mnemonis profesional. Banyak teori dan teknik unik untuk menguasai sejumlah besar informasi telah dikembangkan. Banyak dari mereka telah diuji pada pi.
Rekor dunia yang dibuat pada abad terakhir di Jerman adalah 40.000 karakter. Rekor Rusia untuk nilai pi ditetapkan pada 1 Desember 2003 di Chelyabinsk oleh Alexander Belyaev. Dalam satu setengah jam dengan istirahat sejenak, Alexander menulis 2.500 digit pi di papan tulis.
Sebelumnya, pencatatan 2.000 karakter dianggap sebagai rekor di Rusia, yang dicapai pada tahun 1999 di Yekaterinburg. Menurut Alexander Belyaev, kepala pusat pengembangan memori figuratif, siapa pun di antara kita dapat melakukan eksperimen serupa dengan ingatan kita. Yang penting hanya mengetahui teknik menghafal khusus dan berlatih secara berkala.
Kesimpulan.
Angka pi muncul dalam rumus yang digunakan di banyak bidang. Fisika, teknik elektro, elektronik, teori probabilitas, konstruksi, dan navigasi hanyalah beberapa di antaranya. Dan sepertinya tanda-tanda bilangan pi tidak ada habisnya, begitu pula kemungkinan penerapan praktis dari bilangan pi yang berguna dan sulit dipahami ini juga tidak ada habisnya.
Dalam matematika modern, angka pi bukan hanya rasio keliling terhadap diameter; tetapi juga termasuk dalam sejumlah besar rumus berbeda.
Hal ini dan saling ketergantungan lainnya memungkinkan ahli matematika untuk lebih memahami sifat pi.
Nilai pasti angka π di dunia modern tidak hanya untuk nilai ilmiahnya sendiri, tetapi juga digunakan untuk perhitungan yang sangat tepat (misalnya orbit satelit, pembangunan jembatan raksasa), serta penilaian kecepatan dan kekuatan komputer modern.
Saat ini, angka π dikaitkan dengan serangkaian rumus, fakta matematika, dan fisika yang sulit dilihat. Jumlah mereka terus bertambah pesat. Semua ini menunjukkan meningkatnya minat terhadap konstanta matematika yang paling penting, yang studinya sudah ada sejak lebih dari dua puluh dua abad.
Pekerjaan yang saya lakukan menarik. Saya ingin belajar tentang sejarah pi, aplikasi praktisnya, dan saya rasa saya telah mencapai tujuan saya. Menyimpulkan hasil pekerjaan saya, saya sampai pada kesimpulan bahwa topik ini relevan. Banyak fakta menarik terkait dengan bilangan π sehingga menggugah minat untuk diteliti. Dalam pekerjaan saya, saya menjadi lebih mengenal angka - salah satu nilai abadi yang telah digunakan umat manusia selama berabad-abad. Saya mempelajari beberapa aspek dari kekayaan sejarahnya. Saya menemukan mengapa dunia kuno tidak mengetahui rasio keliling dan diameter yang benar. Saya melihat dengan jelas cara memperoleh nomor tersebut. Berdasarkan eksperimen, saya menghitung perkiraan nilai suatu bilangan dengan berbagai cara. Mengolah dan menganalisis hasil percobaan.
Setiap anak sekolah saat ini harus mengetahui apa arti suatu angka dan kira-kira sama dengan. Lagipula, perkenalan pertama setiap orang dengan suatu bilangan, penggunaannya dalam menghitung keliling lingkaran, luas lingkaran, terjadi di kelas 6 SD. Namun sayangnya, pengetahuan ini tetap formal bagi banyak orang dan setelah satu atau dua tahun, hanya sedikit orang yang mengingat tidak hanya bahwa perbandingan panjang lingkaran dengan diameternya adalah sama untuk semua lingkaran, tetapi mereka bahkan kesulitan mengingat nilai numeriknya. dari bilangan tersebut, sama dengan 3,14.
Saya mencoba membuka tabir kekayaan sejarah nomor yang telah digunakan umat manusia selama berabad-abad. Saya membuat presentasi untuk pekerjaan saya sendiri.
Sejarah angka sangat menarik dan misterius. Saya ingin terus meneliti angka-angka menakjubkan lainnya dalam matematika. Ini akan menjadi subjek studi penelitian saya selanjutnya.
Bibliografi.
1. Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah kelas IV-VI. - M.: Pencerahan, 1982.
2. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di balik halaman buku teks matematika - M.: Prosveshchenie, 1989.
3. Zhukov A.V. Angka "pi" yang ada di mana-mana. - M.: Redaksi URSS, 2004.
4. Kympan F. Sejarah bilangan “pi”. - M.: Nauka, 1971.
5. Svechnikov A.A. sebuah perjalanan menuju sejarah matematika - M.: Pedagogika - Press, 1995.
6. Ensiklopedia untuk anak-anak. T.11.Matematika - M.: Avanta+, 1998.
Sumber daya internet:
- http:// gagak.academy.ru/materials_/pi/history.htm
Http://hab/kp.ru//daily/24123/344634/
Mereka menyebutkan pertanyaan “Apa yang akan terjadi pada dunia jika Pi berjumlah 4?” Saya memutuskan untuk memikirkan sedikit tentang topik ini, menggunakan beberapa pengetahuan (walaupun bukan yang paling luas) di bidang matematika yang relevan. Jika ada yang tertarik, silakan lihat kucing.
Untuk membayangkan dunia seperti itu, Anda perlu mewujudkan ruang secara matematis dengan perbandingan keliling lingkaran dan diameternya yang berbeda. Inilah yang saya coba lakukan.
Percobaan No.1.
Katakanlah segera bahwa saya hanya akan mempertimbangkan ruang dua dimensi. Mengapa? Karena lingkaran sebenarnya terdefinisi dalam ruang dua dimensi (jika kita perhatikan dimensi n>2, maka perbandingan ukuran lingkaran berdimensi (n-1) terhadap jari-jarinya pun tidak akan konstan) .Jadi, untuk memulainya, saya mencoba menemukan setidaknya beberapa ruang di mana Pi tidak sama dengan 3,1415... Untuk melakukan ini, saya mengambil ruang metrik dengan metrik yang jarak antara dua titik sama dengan maksimum di antara modul perbedaan koordinat (yaitu jarak Chebyshev).
Apa bentuk lingkaran satuan pada ruang tersebut? Mari kita ambil titik dengan koordinat (0,0) sebagai pusat lingkaran ini. Maka himpunan titik-titik yang jaraknya (dalam artian metrik tertentu) ke pusat adalah 1, adalah 4 ruas yang sejajar sumbu koordinat, membentuk persegi dengan sisi 2 dan berpusat di nol.
Ya, dalam beberapa metrik itu adalah lingkaran!
Mari kita hitung Pi di sini. Jari-jarinya sama dengan 1, maka diameternya sama dengan 2. Anda juga dapat menganggap definisi diameter sebagai jarak terjauh antara dua titik, tetapi meskipun demikian sama dengan 2. Tetap mencari panjang dari "lingkaran" kita dalam metrik ini. Ini adalah jumlah panjang keempat segmen, yang dalam metrik ini memiliki panjang maks(0,2)=2. Artinya kelilingnya adalah 4*2=8. Jadi Pi di sini sama dengan 8/2=4. Telah terjadi! Tapi haruskah kita sangat bahagia? Hasil ini praktis tidak berguna, karena ruang yang dimaksud benar-benar abstrak, sudut dan belokan bahkan tidak terdefinisi di dalamnya. Bisakah Anda bayangkan sebuah dunia yang rotasinya tidak terdefinisi, dan lingkarannya berbentuk persegi? Sejujurnya saya mencoba, tetapi saya tidak memiliki cukup imajinasi.
Jari-jarinya 1, tetapi ada beberapa kesulitan dalam mencari panjang “lingkaran” ini. Setelah beberapa kali mencari di Internet, saya sampai pada kesimpulan bahwa dalam ruang pseudo-Euclidean, konsep seperti “Pi” tidak dapat didefinisikan sama sekali, yang tentunya buruk.
Jika seseorang di komentar memberi tahu saya cara menghitung secara formal panjang kurva dalam ruang pseudo-Euclidean, saya akan sangat senang, karena pengetahuan saya tentang geometri diferensial, topologi (serta rajin Googling) tidak cukup untuk ini.
Kesimpulan:
Saya tidak tahu apakah mungkin untuk menulis kesimpulan setelah studi jangka pendek seperti itu, tetapi ada sesuatu yang bisa dikatakan. Pertama, ketika saya mencoba membayangkan ruang angkasa dengan jumlah Pi yang berbeda, saya menyadari bahwa ruang tersebut terlalu abstrak untuk dijadikan model dunia nyata. Kedua, ketika mencoba menghasilkan model yang lebih sukses (mirip dengan dunia nyata kita), ternyata angka Pi tidak berubah. Jika kita menerima begitu saja kemungkinan jarak kuadrat negatif (yang tidak masuk akal bagi orang biasa), maka Pi tidak akan terdefinisi sama sekali! Semua ini menunjukkan bahwa mungkin dunia dengan angka Pi yang berbeda tidak mungkin ada sama sekali? Bukan tanpa alasan bahwa alam semesta memang seperti apa adanya. Atau mungkin ini nyata, tetapi matematika biasa, fisika, dan imajinasi manusia saja tidak cukup untuk ini. Bagaimana menurutmu?Pembaruan. Saya mengetahuinya dengan pasti. Panjang kurva dalam ruang pseudo-Euclidean hanya dapat ditentukan pada beberapa subruang Euclidean. Artinya, khususnya, untuk “keliling” yang diperoleh pada percobaan N3, konsep seperti “panjang” sama sekali tidak terdefinisi. Oleh karena itu, Pi juga tidak dapat dihitung di sana.
Pada tanggal 14 Maret, hari libur yang sangat tidak biasa dirayakan di seluruh dunia - Hari Pi. Semua orang sudah mengetahuinya sejak sekolah. Siswa langsung dijelaskan bahwa bilangan Pi merupakan konstanta matematika, yaitu perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya yang nilainya tak terhingga. Ternyata banyak fakta menarik terkait angka tersebut.
1. Sejarah bilangan sudah ada sejak lebih dari seribu tahun yang lalu, hampir sepanjang ilmu matematika telah ada. Tentu saja, nilai pasti dari angka tersebut tidak serta merta dihitung. Pada awalnya perbandingan keliling dan diameter dianggap sama dengan 3. Namun seiring berjalannya waktu, ketika arsitektur mulai berkembang, diperlukan pengukuran yang lebih akurat. Ngomong-ngomong, angka itu ada, tetapi baru mendapat sebutan huruf pada awal abad ke-18 (1706) dan berasal dari huruf awal dua kata Yunani yang berarti “lingkaran” dan “keliling”. Huruf “π” diberikan kepada bilangan tersebut oleh ahli matematika Jones, dan huruf ini mulai digunakan dalam matematika pada tahun 1737.
2. Pada zaman yang berbeda dan pada masyarakat yang berbeda, angka Pi memiliki arti yang berbeda-beda. Misalnya, di Mesir Kuno sama dengan 3,1604, di kalangan umat Hindu memperoleh nilai 3,162, dan orang Cina menggunakan angka sebesar 3,1459. Seiring waktu, π dihitung dengan lebih akurat, dan ketika teknologi komputasi, yaitu komputer, muncul, jumlahnya mulai lebih dari 4 miliar karakter.
3. Ada legenda, atau lebih tepatnya para ahli percaya, bahwa angka Pi digunakan dalam pembangunan Menara Babel. Namun, bukan murka Tuhan yang menyebabkan keruntuhannya, melainkan kesalahan perhitungan selama pembangunan. Sepertinya, para master kuno salah. Versi serupa ada mengenai Kuil Sulaiman.
4. Patut dicatat bahwa mereka mencoba memperkenalkan nilai Pi bahkan di tingkat negara bagian, yaitu melalui undang-undang. Pada tahun 1897, negara bagian Indiana menyiapkan undang-undang. Menurut dokumen tersebut, Pi adalah 3,2. Namun, para ilmuwan melakukan intervensi tepat waktu dan mencegah kesalahan tersebut. Secara khusus, Profesor Perdue, yang hadir pada rapat legislatif, menentang RUU tersebut.
5. Menariknya, beberapa bilangan dalam barisan Pi tak hingga memiliki namanya sendiri. Jadi, enam sembilan Pi dinamai menurut nama fisikawan Amerika. Richard Feynman pernah memberikan ceramah dan mengejutkan hadirin dengan sebuah komentar. Dia bilang dia ingin menghafal angka Pi hingga enam sembilan, hanya untuk mengatakan "sembilan" enam kali di akhir cerita, menyiratkan bahwa maknanya masuk akal. Padahal kenyataannya itu tidak rasional.
6. Para matematikawan di seluruh dunia tidak berhenti melakukan penelitian terkait bilangan Pi. Ini benar-benar diselimuti misteri. Beberapa ahli teori bahkan percaya bahwa hal itu mengandung kebenaran universal. Untuk bertukar pengetahuan dan informasi baru tentang Pi, mereka mendirikan Pi Club. Tidak mudah untuk bergabung; Anda harus memiliki ingatan yang luar biasa. Jadi, mereka yang ingin menjadi anggota klub diperiksa: seseorang harus melafalkan sebanyak mungkin tanda angka Pi dari ingatannya.
7. Mereka bahkan menemukan berbagai teknik untuk mengingat angka Pi setelah koma. Misalnya, mereka menghasilkan teks utuh. Di dalamnya, kata-kata memiliki jumlah huruf yang sama dengan angka setelah koma desimal. Agar lebih mudah mengingat angka yang begitu panjang, mereka mengarang puisi dengan prinsip yang sama. Anggota Klub Pi sering kali bersenang-senang dengan cara ini, sekaligus melatih daya ingat dan kecerdasan mereka. Misalnya, Mike Keith memiliki hobi seperti itu, yang delapan belas tahun yang lalu membuat sebuah cerita di mana setiap kata sama dengan hampir empat ribu (3834) digit pertama Pi.
8. Bahkan ada orang yang berhasil memecahkan rekor dalam menghafal tanda-tanda Pi. Jadi, di Jepang, Akira Haraguchi menghafal lebih dari delapan puluh tiga ribu karakter. Namun rekor domestiknya tidak begitu menonjol. Seorang penduduk Chelyabinsk hanya berhasil menghafalkan dua setengah ribu angka setelah koma desimal Pi.
"Pi" dalam perspektif
9. Hari Pi telah dirayakan selama lebih dari seperempat abad, sejak tahun 1988. Suatu hari, fisikawan dari museum sains populer di San Francisco, Larry Shaw, memperhatikan bahwa 14 Maret, jika ditulis, bertepatan dengan angka Pi. Pada tanggal, bulan dan hari form 3.14.
10. Hari Pi dirayakan bukan dengan cara yang orisinal, tapi dengan cara yang menyenangkan. Tentu saja para ilmuwan yang berkecimpung di bidang ilmu eksakta tidak melewatkannya. Bagi mereka, ini adalah cara untuk tidak melepaskan diri dari apa yang mereka sukai, tetapi sekaligus bersantai. Pada hari ini, orang-orang berkumpul dan menyiapkan berbagai makanan lezat bergambar Pi. Ada ruang khusus bagi koki pastry untuk menjelajah. Mereka bisa membuat kue dengan tulisan pi di atasnya dan kue dengan bentuk serupa. Setelah mencicipi kelezatannya, para ahli matematika mengadakan berbagai kuis.
11. Ada suatu kebetulan yang menarik. Pada tanggal 14 Maret, ilmuwan besar Albert Einstein, yang seperti kita ketahui, menciptakan teori relativitas, lahir. Meski begitu, fisikawan juga bisa ikut merayakan Hari Pi.
