VIII kelas: Topik 3. Luas bangun datar. Teori Pitagoras.

1. Konsep wilayah. Angka yang setara.

Jika panjang adalah karakteristik numerik suatu garis, maka luas adalah karakteristik numerik dari bangun tertutup. Terlepas dari kenyataan bahwa kita mengenal konsep luas dari kehidupan sehari-hari, tidak mudah untuk memberikan definisi yang ketat dari konsep ini. Ternyata luas bangun datar dapat disebut besaran non-negatif apa pun yang memiliki: sifat-sifat untuk mengukur luas bangun:

Angka yang sama memiliki luas yang sama. Jika gambar tertutup ini dibagi menjadi beberapa gambar tertutup, maka luas gambar tersebut sama dengan jumlah luas gambar penyusunnya (gambar pada Gambar 1 dibagi menjadi n angka; dalam hal ini, luas gambar, di mana Si- kotak saya angka ke-).

Pada prinsipnya, seseorang dapat menghasilkan satu set besaran yang memiliki sifat-sifat yang dirumuskan, dan karenanya mencirikan luas gambar. Namun yang paling akrab dan nyaman adalah nilai yang mencirikan luas persegi sebagai kuadrat sisinya. Mari kita sebut ini "pengaturan" properti ketiga dari pengukuran area angka:

Luas persegi sama dengan kuadrat sisinya (Gambar 2).

Dengan definisi ini, luas angka diukur dalam satuan persegi ( cm 2, km 2, Ha=100m 2).

angka-angka memiliki luas yang sama disebut ukurannya sama .

Komentar: Angka-angka yang sama memiliki luas yang sama, yaitu, angka-angka yang sama memiliki ukuran yang sama. Tetapi angka-angka berukuran sama jauh dari selalu sama (misalnya, Gambar 3 menunjukkan persegi dan segitiga sama kaki yang terdiri dari segitiga siku-siku yang sama (omong-omong, seperti angka-angka ditelepon sama-sama tersusun ); jelas bahwa persegi dan segitiga memiliki ukuran yang sama, tetapi tidak sama, karena tidak ditumpangkan).

Selanjutnya, kami memperoleh rumus untuk menghitung luas semua jenis poligon utama (termasuk rumus terkenal untuk menemukan luas persegi panjang), berdasarkan properti yang dirumuskan untuk mengukur luas bangun.

2. Luas persegi panjang. Luas jajaran genjang.

Rumus untuk menghitung luas persegi panjang: Luas persegi panjang sama dengan produk dari dua sisi yang berdekatan (Gambar 4).

Diberikan:

ABCD- persegi panjang;

IKLAN=sebuah, AB=b.

Membuktikan: SABCD=sebuah× b.

Bukti:

1. Perpanjang sisinya AB untuk sebuah segmen BP=sebuah, dan sisi IKLAN- untuk segmen DV=b. Mari kita membangun jajaran genjang APRV(Gambar 4). Sejak R SEBUAH= 90 °, APRV- persegi panjang. Di mana AP=sebuah+b=AV, Þ APRV adalah persegi dengan sisi ( sebuah+b).

2. Menunjukkan SMÇ R.V.=T, CDÇ PR=Q. Kemudian BCQP- persegi dengan sisi sebuah, CDVT- persegi dengan sisi b, CQRT- persegi panjang dengan sisi sebuah dan b.

Rumus untuk menghitung luas jajar genjang: Luas jajaran genjang sama dengan produk tinggi dan alasnya (Gambar 5).

Komentar: Alas jajar genjang disebut sisi yang tingginya ditarik; jelas bahwa setiap sisi jajaran genjang dapat berfungsi sebagai alas.

Diberikan:

ABCD– hal/g;

BH^IKLAN, HÎ IKLAN.

Membuktikan: SABCD=IKLAN× BH.

Bukti:

1. Arahkan ke pangkalan IKLAN tinggi CF(Gambar 5).

2. SMïê HF, BHïê CF, Þ BCFH- p / g menurut definisi. R H=90°, BCFH- persegi panjang.

3. BCFH– p/g, menurut sifat p/g BH=CF, D BAH=D CDF sepanjang sisi miring dan kaki ( AB=CD menurut St. p / g, BH=CF).

4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=BH× SM=BH× IKLAN. #

3. Luas segitiga.

Rumus untuk menghitung luas segitiga: Luas segitiga sama dengan setengah produk tinggi dan alasnya (Gambar 6).

Komentar: alas segitiga di kasus ini sebutkan sisi yang digambar tingginya. Salah satu dari tiga sisi segitiga dapat berfungsi sebagai alasnya.

Diberikan:

BD^AC, DÎ AC.

Membuktikan: .

Bukti:

1. Selesaikan D ABC sebelum p/y ABKC dengan melewati bagian atas B lurus BKïê AC, dan melalui bagian atas C- lurus CKïê AB(Gambar 6).

2. D ABC=D KCB pada tiga sisi ( SM- umum, AB=KC dan AC=KB menurut St. p/g), https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Akibat wajar 2: Jika kita anggap p / y D ABC dengan tinggi AH ditarik ke sisi miring SM, kemudian . Lewat sini, di p / y D-ke ketinggian yang ditarik ke sisi miring sama dengan rasio produk kaki-kakinya dengan sisi miring . Rasio ini sering digunakan dalam memecahkan masalah.

4. Akibat dari rumus mencari luas segitiga: perbandingan luas segitiga yang sama tinggi atau alasnya; segitiga sama dalam gambar; sifat luas segitiga yang dibentuk oleh diagonal-diagonal segi empat cembung.

Dari rumus untuk menghitung luas segitiga, dua akibat wajar mengikuti secara mendasar:

1. Perbandingan luas segitiga yang sama tinggi sama dengan rasio basa mereka (pada Gambar 8 ).

2. Perbandingan luas segitiga yang alasnya sama sama dengan rasio ketinggian mereka (pada Gambar 9 ).

Komentar: Saat memecahkan masalah, segitiga dengan ketinggian yang sama sangat umum. Dalam hal ini, sebagai aturan, alasnya terletak pada garis lurus yang sama, dan simpul yang berlawanan dengan alas adalah umum (misalnya, pada Gambar 10 S 1:S 2:S 3=sebuah:b:c). Anda harus belajar melihat tinggi total segitiga tersebut.

Juga, fakta-fakta yang berguna mengikuti dari rumus untuk menghitung luas segitiga, memungkinkan Anda untuk menemukan segitiga dengan luas yang sama pada gambar:

1. Median segitiga sembarang membaginya menjadi dua segitiga yang luasnya sama (pada gambar 11 di D ABM dan D ACM tinggi AH- umum, dan basis BM dan cm sama dengan definisi median; maka D ABM dan D ACM adalah sama).

2. Diagonal jajar genjang membaginya menjadi empat segitiga yang luasnya sama. (pada Gambar 12 AO adalah median segitiga ABD oleh properti diagonal p/g, z karena segitiga St sebelumnya ABO dan RIBUT adalah sama; karena BO adalah median segitiga ABC, segitiga ABO dan BCO adalah sama; karena BERSAMA adalah median segitiga BCD, segitiga BCO dan DCO adalah sama; dengan demikian, S D RIBUT=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. Diagonal trapesium membaginya menjadi empat segitiga; dua di antaranya, berdekatan dengan sisi, adalah sama (Gambar 13).

Diberikan:

ABCD- trapesium;

SMïê IKLAN; ACÇ BD=HAI.

Membuktikan: S D ABO=S D DCO.

Bukti:

1. Mari menggambar ketinggian bf dan CH(Gambar 13). Kemudian D ABD dan D ACD basis IKLAN- umum, dan ketinggian bf dan CH adalah sama; TH S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Jika Anda menggambar diagonal dari segi empat cembung (Gambar 14), empat segitiga terbentuk, area yang dihubungkan dengan rasio yang sangat mudah diingat. Turunan dari hubungan ini hanya mengandalkan rumus untuk menghitung luas segitiga; Namun, itu jarang ditemukan dalam literatur. Menjadi berguna dalam memecahkan masalah, hubungan yang akan dirumuskan dan dibuktikan di bawah ini patut mendapat perhatian:

Sifat-sifat luas segitiga yang dibentuk oleh diagonal-diagonal segi empat cembung: Jika diagonal-diagonal segi empat cembung ABCD berpotongan di suatu titik HAI, kemudian (Gambar 14).

ABCD- segi empat cembung;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

Bukti:

1. bf- tinggi keseluruhan D AOB dan D Dewan Komisaris; Þ S D AOB:S D Dewan Komisaris=AO:BERSAMA.

2. D.H.- tinggi keseluruhan D AOD dan D IKAN KOD; Þ S D AOD:S D IKAN KOD=AO:BERSAMA.

5. Perbandingan luas segitiga yang sama besar sudutnya.

Teorema perbandingan luas segitiga yang sama besar sudutnya : Luas segitiga yang memiliki sudut yang sama terkait sebagai produk dari sisi-sisi yang menutupi sudut-sudut ini (Gambar 15).

Diberikan:

D ABC, D SEBUAH 1B 1C 1;

Ð BACA=Ð B 1SEBUAH 1C 1.

Membuktikan:

.

Bukti:

1. Sisihkan di atas balok AB segmen garis AB 2=SEBUAH 1B 1, dan pada balok AC- segmen garis AC 2=SEBUAH 1C 1 (Gambar 15). Kemudian D AB 2C 2=D SEBUAH 1B 1C 1 di dua sisi dan sudut di antara mereka ( AB 2=SEBUAH 1B 1 dan AC 2=SEBUAH 1C 1 menurut konstruksi, dan B 2AC 2= B 1SEBUAH 1C 1 dengan syarat). Cara, .

2. Hubungkan titik-titik C dan B 2.

3. CH- tinggi keseluruhan D AB 2C dan D ABC, https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Sifat-sifat garis bagi segitiga.

Dengan menggunakan teorema tentang rasio luas segitiga dengan sudut yang sama, dan pada rasio luas segitiga dengan ketinggian yang sama, kami hanya membuktikan fakta yang sangat berguna dalam memecahkan masalah yang tidak berhubungan langsung dengan luas gambar:

Sifat-sifat garis bagi segitiga: Garis bagi segitiga membagi sisi yang ditarik menjadi segmen-segmen yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan dengannya.

Diberikan:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Bukti:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. Dari poin 1 dan 2 diperoleh: , https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">.#

Komentar: Karena anggota ekstrem atau anggota tengah dapat dipertukarkan dalam proporsi yang tepat, akan lebih mudah untuk mengingat properti garis-bagi segitiga dalam bentuk berikut (Gambar 16):.

7. Luas trapesium.

Rumus untuk menghitung luas trapesium: Luas trapesium sama dengan produk tinggi dan setengah jumlah alasnya.

Diberikan:

ABCD- trapesium;

SMïê IKLAN;

BH- tinggi.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

Bukti:

1. Gambarlah diagonal BD dan tinggi D.F.(Gambar 17). BHDF– persegi panjang, BH = D.F..

Konsekuensi: Rasio luas trapesium dengan ketinggian yang sama sama dengan rasio garis tengahnya (atau rasio jumlah alasnya).

8. Luas segi empat yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus.

Rumus untuk menghitung luas segi empat dengan diagonal yang saling tegak lurus: Luas segi empat yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya.

ABCD- segi empat;

AC^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Bukti:

1. Menunjukkan ACÇ BD=HAI. Karena AC^BD, AO- tinggi D ABD, sebuah BERSAMA- tinggi D CBD(Gambar 18a dan 18b untuk kasus segi empat cembung dan non-cembung, masing-masing).

2.
(tanda "+" atau "-" sesuai dengan kasus segi empat cembung dan non-cembung, masing-masing). #

Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat penting dalam memecahkan berbagai macam masalah; itu memungkinkan Anda untuk menemukan sisi yang tidak diketahui dari segitiga siku-siku dengan dua sisi yang diketahui. Ada banyak bukti teorema Pythagoras. Berikut ini yang paling sederhana, berdasarkan rumus untuk menghitung luas persegi dan segitiga:

Teori Pitagoras: Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.

Diberikan:

D ABC- p / y;

Ð SEBUAH= 90 °.

Membuktikan:

SM 2=AB 2+AC 2.

Bukti:

1. Menunjukkan AC=sebuah, AB=b. Mari kita taruh di balok AB segmen garis BP=sebuah, dan pada balok AC- segmen garis CV=b(Gambar 19). Mari kita lewati intinya P langsung PRïê AV, dan melalui titik V- langsung VRïê AP. Kemudian APRV- p / g menurut definisi. Pada saat yang sama, sejak SEBUAH= 90 °, APRV- persegi panjang. Dan sejak AV=sebuah+b=AP, APRV- persegi dengan sisi sebuah+b, dan SAPRV=(sebuah+b)2. Mari kita pisahkan sisinya PR dot Q menjadi segmen-segmen PQ=b dan QR=sebuah, dan sisi R.V.- dot T menjadi segmen-segmen RT=b dan televisi=sebuah.

2.D ABC=D PQB=D RTQ=D VCT dengan dua kaki, ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, SM=QB=TQ=CT, dan https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Karena SM=QB=TQ=CT, CBQT- belah ketupat. Pada saat yang sama, R QBC\u003d 180 ° - (Р ABC+Ð PBQ)=180 °-( ABC+Ð ACB)=Ð BACA=90 °; TH CBQT adalah persegi, dan SCBQT=SM 2.

empat. . Jadi, SM 2=AB 2+AC 2. #

Teorema Pythagoras terbalik adalah tanda segitiga siku-siku, yaitu, memungkinkan Anda untuk memeriksa apakah segitiga siku-siku oleh tiga sisi segitiga yang diketahui.

Teorema Pythagoras terbalik: Jika kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisinya yang lain, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku, dan sisi terpanjangnya adalah sisi miring.

Diberikan:

SM 2=AB 2+AC 2.

Membuktikan: D ABC- p / y;

Ð SEBUAH= 90 °.

Bukti:

1. Mari kita membangun sudut yang tepat SEBUAH 1 dan sisihkan segmen di sisinya SEBUAH 1B 1=AB dan SEBUAH 1C 1=AC(Gambar 20). Di terima p / y D SEBUAH 1B 1C 1 dengan teorema Pythagoras B 1C 12=SEBUAH 1B 12+SEBUAH 1C 12=AB 2+AC 2; tapi dengan syarat AB 2+AC 2=SM 2; TH B 1C 12=SM 2, kamu B 1C 1=SM.

2.D ABC=D SEBUAH 1B 1C 1 di tiga sisi ( SEBUAH 1B 1=AB dan SEBUAH 1C 1=AC dengan konstruksi, B 1C 1=SM dari item 1), SEBUAH=Ð SEBUAH 1=90°, D ABC- p/a. #

Segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya bilangan bulat disebut segitiga pythagoras , dan tiga kali lipat dari bilangan asli yang sesuai adalah kembar tiga Pythagoras . Tiga kali lipat Pythagoras berguna untuk diingat (yang lebih besar dari angka-angka ini sama dengan jumlah kuadrat dari dua lainnya). Berikut adalah beberapa tripel Pythagoras:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4, 5 digunakan di Mesir untuk membentuk sudut siku-siku, dan karena itu: segi tiga ditelepon Mesir .

10. Rumus bangau.

Rumus Heron memungkinkan Anda menemukan luas segitiga sembarang dengan tiga sisinya yang diketahui dan sangat diperlukan untuk memecahkan banyak masalah.

Rumus bangau: Luas segitiga dengan sisi sebuah, b dan c dihitung dengan rumus berikut: , di mana adalah setengah keliling segitiga.

Diberikan:

SM=sebuah; AC=b; AB=c.). Kemudian .

4. Substitusikan ekspresi tinggi yang dihasilkan ke dalam rumus untuk menghitung luas segitiga: . #

1. Potongan lurus Bagian dari garis lurus yang dibatasi oleh dua titik. Ruas adalah bagian dari garis lurus yang dibatasi oleh dua titik (ujung ruas). Segmen memiliki awal dan akhir. Segmen dilambangkan atau segmen AB.

poin SEBUAH dan B ditelepon ujung segmen. Semua titik lainnya disebut poin internal segmen.

Jarak antara ujung-ujung segmen disebut panjang dan menunjukkan |AB|.

Semua titik segmen terletak pada garis lurus yang sama melalui ujung-ujungnya.

2. Setelah dua data titik yang berada pada bidang yang sama, Anda dapat menggambar satu garis lurus. Dimungkinkan untuk menggambar garis lurus melalui dua titik apa pun, dan terlebih lagi, hanya satu

3. Jika dua garis berpotongan, maka mereka memiliki satu titik, dan jika garis-garis itu sejajar, maka tidak ada! Dua garis berpotongan, yaitu, mereka hanya memiliki satu titik yang sama. Penentuan titik potong garis: Titik perpotongan dua garis disebut titik potong kedua garis tersebut.

4. Apa itu balok dan apa itu setengah bidang? sinar adalah bagian dari garis lurus yang memiliki awal tetapi tidak memiliki akhir dan memiliki arah

Jika Anda menggambar garis dan menandai titik O di atasnya, maka garis itu akan membagi menjadi dua bagian, yang masing-masing disebut sinar yang berasal dari titik O (sinar ini disebut tambahan). Titik O disebut awal balok. balok bagian dari suatu garis disebut, terdiri dari semua titik yang terletak pada satu sisi dari suatu titik tetap dari suatu garis, dan titik ini sendiri, disebut awal balok . Sinar-sinar yang berbeda dari garis yang sama dengan asal yang sama disebut tambahan . Aksioma. Garis lurus membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Itu. Setiap garis membagi sebuah bidang menjadi dua bagian, yang masing-masing disebut setengah bidang, dan garis itu sendiri disebut batas dari masing-masing setengah bidang ini.

5. Sudut kembaliternyata bagian dari bidang yang dibatasi oleh dua sinar. Sinar-sinar itu sendiri disebut sisi-sisi sudut, dan titik bersama dari mana sinar-sinar itu keluar disebut titik sudut. Sudut adalah bangun geometri yangdibentuk oleh dua sinar yang datang dari titik yang sama. Titik sudut adalah titik dari mana sinar datang. Sisi sudut adalah salah satu dari sinar ini 6. Dua sinar yang saling melengkapi membentuk sudut yang berkembang. Sisi-sisi sudut ini bersama-sama membentuk garis lurus yang terletak di titik sudut yang tidak dilipat. (Sinar-sinar yang berbeda dari garis yang sama dengan asal yang sama disebut tambahan ) . Sudut yang diperluas - adalah sudut yang sisi-sisinya terletak pada garis lurus yang sama. Misalnya AOV.

7. Apa arti kata "sinar membagi sudut menjadi dua sudut"? ketika sinar membagi suatu sudut menjadi dua sudut, besar derajat seluruh sudut sama dengan jumlah besar derajat sudut-sudut tersebut. Ray OS membagi sudut AOB menjadi dua.

8. Angka apa yang disebut sama?

Bentuk yang cocok saat ditumpangkan disebut EQUAL. Dua bangun geometris disebut sama jika mereka dapat digabungkan ketika ditumpangkan

9. jelaskan cara membandingkan dua segmendan bagaimana membandingkan 2 sudut. Anda melapiskan satu segmen di yang lain sehingga ujung yang pertama sejajar dengan ujung yang kedua, jika dua ujung lainnya tidak sejajar, maka segmennya tidak sama, jika sejajar, maka mereka sama. Untuk membandingkan 2 segmen, Anda perlu membandingkan panjangnya, untuk membandingkan 2 sudut, Anda perlu membandingkan ukuran derajatnya, Dua sudut dikatakan sama jika keduanya dapat disuperposisikan. Untuk menentukan apakah dua sudut yang tidak diperbesar sama besar atau tidak, perlu untuk menggabungkan sisi dari satu sudut dengan sisi yang kedua sehingga dua sisi lainnya berada pada sisi yang sama dari sisi gabungan..Letakkan satu sudut di sudut lain sedemikian rupa sehingga simpulnya bertepatan di satu sisi, dan dua lainnya berada di sisi yang sama dari sisi yang sejajar. Jika sisi kedua dari suatu sudut sejajar dengan sisi kedua dari sudut yang lain, maka sudut-sudut tersebut sama besar. (Letakkan sudut-sudut sehingga sisi yang satu sejajar dengan sisi yang lain, dan dua lainnya berada pada sisi yang sama dari sisi yang sejajar. Jika kedua sisi yang lain sejajar, maka sudut-sudutnya benar-benar sejajar, yang berarti mereka setara.)

10. Titik apakah yang disebut titik tengah ruas? Titik tengah suatu ruas adalah titik yang membagi ruas yang diberikan menjadi dua bagian yang sama besar. Titik yang membagi segmen menjadi dua disebut titik tengah segmen.

11. bisektris(dari bahasa Latin bi- “ganda” dan sectio “memotong”) sudut adalah sinar yang muncul dari atas sudut dan melewati daerah dalamnya, yang membentuk dua sudut yang sama panjang dengan sisi-sisinya. Atau sinar yang keluar dari titik sudut suatu sudut dan membaginya menjadi dua sudut yang sama besar disebut pembagi sudut.

12. Bagaimana pengukuran segmen. Untuk mengukur segmen sepadan dengan salah satu cara untuk mengetahui berapa kali itu berisi unit atau sebagian kecil dari unit. Pengukuran jarak dilakukan dengan membandingkannya dengan segmen tertentu yang diambil sebagai satu kesatuan. Anda dapat mengukur panjang segmen menggunakan penggaris atau pita pengukur. Penting untuk menempatkan satu segmen pada segmen lain, yang telah kami ambil sebagai unit pengukuran, sehingga ujungnya sejajar.

? 13. Bagaimana panjang segmen AB dan CD berhubungan jika: a) segmen AB dan CD sama; b) apakah segmen AB lebih kecil dari segmen CD?

A) panjang segmen AB dan CD sama. B) panjang segmen AB lebih kecil dari panjang segmen CD.

14. Titik C membagi segmen AB menjadi dua segmen. Bagaimana hubungan panjang segmen AB, AC dan CB? Panjang ruas AB sama dengan jumlah panjang ruas-ruas tersebut AC danCB. Untuk mencari panjang ruas AB, tambahkan panjang ruas AC dan CB.

15. Apa itu gelar? Apa yang ditunjukkan oleh besaran derajat suatu sudut?? Sudut diukur dalam satuan yang berbeda. Itu bisa derajat, radian. Paling sering, sudut diukur dalam derajat. (Derajat ini tidak boleh disamakan dengan ukuran suhu, di mana kata "derajat" juga digunakan). Pengukuran sudut didasarkan pada membandingkannya dengan sudut yang diambil sebagai unit pengukuran. Biasanya, derajat diambil sebagai unit pengukuran untuk sudut - sudut yang sama dengan 1/180 dari sudut yang dikembangkan. Derajat adalah satuan sudut bidang dalam geometri. (Sebagai unit pengukuran sudut geometris, derajat diambil - bagian dari sudut yang dikembangkan.) .

Besaran derajat suatu sudut menunjukkan berapa kali derajat dan bagian-bagiannya - satu menit dan satu detik - masuk ke dalam sudut tertentu , yaitu, ukuran derajat - nilai yang mencerminkan jumlah derajat, menit dan detik antara sisi sudut.

16. Bagian mana dari derajat yang disebut menit, dan bagian apa yang disebut detik? 1/60 derajat disebut menit, dan 1/60 menit disebut detik. Menit dilambangkan dengan tanda "′", dan detik - dengan tanda "″"

? 17. Bagaimana hubungan derajat dua sudut jika: a) sudut-sudut ini sama besar; b) satu sudut lebih kecil dari yang lain? a) besar sudut sama besar. b. Besar sudut yang satu lebih kecil dari besar sudut yang kedua.

18. Sinar OC membagi sudut AOB menjadi dua sudut. Bagaimana hubungan derajat sudut AOB, AOC dan COB? Ketika sebuah sinar membagi suatu sudut menjadi dua sudut, besar derajat seluruh sudut sama dengan jumlah besar derajat sudut-sudut tersebut. AOB sama dengan jumlah ukuran derajat bagian-bagiannya AOC dan COB.

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Tujuan Pelajaran: Ulangi topik "Luas jajaran genjang". Turunkan rumus untuk luas segitiga, perkenalkan konsep angka yang sama besar. Memecahkan masalah dengan topik "Area dengan angka yang sama."

Selama kelas

I. Pengulangan.

1) Secara lisan sesuai dengan gambar yang sudah jadi Turunkan rumus luas jajar genjang.

2) Apa hubungan antara sisi jajar genjang dan ketinggian yang dijatuhkan padanya?

(sesuai dengan gambar yang sudah jadi)

hubungannya berbanding terbalik.

3) Temukan ketinggian kedua (sesuai dengan gambar yang sudah jadi)

4) Temukan luas jajaran genjang sesuai dengan gambar yang sudah jadi.

Larutan:

5) Bandingkan luas jajar genjang S1, S2, S3. (Mereka memiliki luas yang sama, semua memiliki alas a dan tinggi h).

Definisi: Angka-angka yang memiliki luas yang sama disebut sama.

II. Penyelesaian masalah.

1) Buktikan bahwa setiap garis yang melalui titik potong diagonal-diagonalnya membaginya menjadi 2 bagian yang sama.

Larutan:

2) Dalam jajar genjang ABCD tinggi CF dan CE. Buktikan bahwa AD CF = AB CE.

3) Diberikan trapesium dengan alas a dan 4a. Apakah mungkin menggambar garis lurus melalui salah satu simpulnya, membagi trapesium menjadi 5 segitiga dengan luas yang sama?

Larutan: Bisa. Semua segitiga sama.

4) Buktikan bahwa jika kita mengambil titik A pada sisi jajar genjang dan menghubungkannya dengan simpul-simpulnya, maka luas segitiga ABC yang dihasilkan sama dengan setengah luas jajar genjang.

Larutan:

5) Kue tersebut berbentuk jajar genjang. Kid dan Carlson membaginya seperti ini: Kid menunjuk ke sebuah titik di permukaan kue, dan Carlson memotong kue menjadi 2 bagian sepanjang garis lurus melewati titik ini dan mengambil salah satu bagian untuk dirinya sendiri. Semua orang menginginkan bagian yang lebih besar. Di mana Kid harus mengakhiri?

Larutan: Pada titik potong diagonal.

6) Pada diagonal persegi panjang, sebuah titik dipilih dan garis lurus digambar melaluinya, sejajar dengan sisi persegi panjang. Pada sisi yang berhadapan terbentuk 2 buah persegi panjang. Bandingkan daerah mereka.

Larutan:

AKU AKU AKU. Mempelajari topik "Luas segitiga"

mulai dengan tugas:

"Temukan luas segitiga yang alasnya a dan tingginya h."

Teman-teman, menggunakan konsep angka berukuran sama, membuktikan teorema.

Mari kita membangun segitiga ke jajaran genjang.

Luas segitiga sama dengan setengah luas jajar genjang.

Latihan: Gambarlah segitiga yang sama.

Sebuah model digunakan (3 segitiga berwarna dipotong dari kertas dan direkatkan pada alasnya).

Latihan nomor 474. "Bandingkan luas dua segitiga yang dibagi dengan mediannya."

Segitiga memiliki alas yang sama a dan tingginya sama h. Segitiga memiliki luas yang sama

Kesimpulan: Angka-angka yang memiliki luas yang sama disebut sama.

Pertanyaan untuk kelas:

1. Apakah angka yang sama ukurannya sama?
2. Rumuskan pernyataan yang berlawanan. Apakah itu benar?
3. Apakah benar:
   a) Apakah segitiga sama sisi sama luas?
   b. Segitiga sama sisi dengan sisi yang sama panjang?
   c. Persegi yang sisinya sama panjang?
   d) Buktikan bahwa jajar genjang yang dibentuk oleh perpotongan dua garis dengan lebar yang sama pada sudut kemiringan yang berbeda satu sama lain adalah sama besar. Temukan jajar genjang dari area terkecil yang dibentuk oleh persimpangan dua strip dengan lebar yang sama. (Tunjukkan pada model: garis-garis lebar yang sama)

IV. Maju!

Ditulis di papan tulis tugas opsional:

1. "Potong segitiga dengan dua garis lurus sehingga Anda dapat melipat potongannya menjadi persegi panjang."

Larutan:

2. "Potong persegi panjang dalam garis lurus menjadi 2 bagian, dari mana Anda dapat membuat segitiga siku-siku."

Larutan:

3) Sebuah diagonal digambar pada persegi panjang. Di salah satu segitiga yang dihasilkan, median ditarik. Tentukan perbandingan antara luas bangun tersebut .

Larutan:

Menjawab:

3. Dari tugas Olimpiade:

Pada segi empat ABCD, titik E adalah titik tengah AB, dihubungkan dengan titik D, dan F adalah titik tengah CD, dengan titik B. Buktikan bahwa luas EBFD segi empat adalah 2 kali lebih kecil dari luas segi empat ABCD.

Solusi: gambarkan BD diagonal.

Latihan nomor 475.

“Gambarlah segitiga ABC. Melalui titik sudut B, buat 2 garis lurus sehingga membagi segitiga tersebut menjadi 3 segitiga dengan luas yang sama.

Gunakan teorema Thales (bagi AC menjadi 3 bagian yang sama).

V. Tugas hari ini.

Baginya, saya mengambil bagian paling kanan dari papan, di mana saya menulis tugas hari ini. Anak-anak mungkin atau mungkin tidak memutuskan. Kami tidak akan menyelesaikan masalah ini di kelas hari ini. Hanya saja yang berminat bisa menuliskannya, menyelesaikannya di rumah atau saat istirahat. Biasanya, sudah jam istirahat, banyak pria mulai menyelesaikan masalah, jika mereka memutuskan, mereka menunjukkan solusinya, dan saya memperbaikinya di meja khusus. Dalam pelajaran berikutnya, kita pasti akan kembali ke masalah ini, mencurahkan sebagian kecil pelajaran untuk menyelesaikannya (dan masalah baru dapat ditulis di papan tulis).

“Jalur genjang dipotong dalam jajaran genjang. Bagi sisanya menjadi 2 gambar berukuran sama.

Larutan: Garis potong AB melalui titik potong diagonal jajar genjang O dan O1.

Masalah tambahan (dari masalah Olympiad):

1) “Dalam trapesium ABCD (AD || BC), simpul A dan B terhubung ke titik M, titik tengah sisi CD. Luas segitiga ABM adalah m. Cari luas trapesium ABCD.

Larutan:

Segitiga ABM dan AMK sama besar, karena AM adalah median.
S ABK = 2m, BCM = MDK, S ABCD = S ABK = 2m.

Jawab: SABCD = 2m.

2) "Pada trapesium ABCD (AD || BC), diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O. Buktikan bahwa segitiga AOB dan COD adalah luas yang sama."

Larutan:

S BCD = S ABC , karena mereka memiliki alas BC yang sama dan tinggi yang sama.

3) Sisi AB dari segitiga sembarang ABC diperpanjang melampaui titik B sehingga BP = AB, sisi AC diperpanjang melampaui titik A sehingga AM = CA, sisi BC diperpanjang melampaui titik C sehingga KS = BC. Berapa kali luas segitiga RMK lebih besar dari luas segitiga ABC?

Larutan:

Dalam segitiga MVS: MA = AC, jadi luas segitiga BAM sama dengan luas segitiga ABC. Dalam segitiga tempat kerja: BP = AB, jadi luas segitiga BAM sama dengan luas segitiga ABP. Dalam segitiga ARS: AB = BP, jadi luas segitiga BAC sama dengan luas segitiga BPC. Dalam segitiga VRK: BC \u003d SC, oleh karena itu, luas segitiga VRS sama dengan luas segitiga RKS. Dalam segitiga AVK: BC = SC, jadi luas segitiga BAC sama dengan luas segitiga ASC. Pada segitiga MSC:MA = AC, maka luas segitiga KAM sama dengan luas segitiga ASC. Kami mendapatkan 7 segitiga yang sama. Cara,

Jawab: Luas segitiga MRK adalah 7 kali luas segitiga ABC.

4) Jajar genjang terkait.

2 jajar genjang terletak seperti yang ditunjukkan pada gambar: mereka memiliki simpul yang sama dan satu simpul lagi untuk masing-masing jajaran genjang terletak di sisi jajaran genjang lainnya. Buktikan bahwa luas jajar genjang sama.

Larutan:

dan , cara,

Daftar literatur yang digunakan:

1. Buku teks "Geometri 7-9" (penulis L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev (Moskow, "Pencerahan", 2003).
2. Masalah Olimpiade dari tahun yang berbeda, khususnya dari buku teks "Masalah terbaik Olimpiade matematika" (disusun oleh A.A. Korznyakov, Perm, "Knizhny Mir", 1996).
3. Pilihan tugas yang terakumulasi selama bertahun-tahun bekerja.

Saat menghitung luas poligon, trik sederhana yang disebut metode partisi digunakan. Pertimbangkan poligon dan ditunjukkan pada Gambar. 1, yang menunjukkan cara memecah poligon ini menjadi jumlah yang sama dari masing-masing bagian yang sama (bagian yang sama ditandai dengan angka yang sama). Tentang poligon dan katakan bahwa mereka sama-sama tersusun. Secara umum, poligon disebut tersusun sama jika, setelah memotong poligon menjadi sejumlah bagian yang terbatas dengan cara tertentu, dimungkinkan, dengan mengatur bagian-bagian ini secara berbeda, untuk membuat poligon darinya. Sangat mudah untuk melihat bahwa teorema berikut ini benar: poligon dengan ukuran yang sama memiliki luas yang sama, atau, seperti yang mereka katakan, memiliki luas yang sama. Misalnya, jajar genjang berjarak sama dengan persegi panjang (Gbr. 2), dan oleh karena itu, mengetahui rumus luas persegi panjang, kami menemukan bahwa luas jajar genjang sama dengan produk dari panjang sisinya dan tinggi yang sesuai.

Contoh ini mengilustrasikan metode partisi, yang terdiri dari fakta bahwa untuk menghitung luas poligon, seseorang mencoba membaginya menjadi sejumlah bagian yang terbatas sedemikian rupa sehingga dari bagian-bagian ini dimungkinkan untuk membentuk poligon yang lebih sederhana, yang luasnya sudah kita ketahui. Misalnya, sebuah segitiga berjarak sama dengan jajar genjang yang alasnya sama dan tingginya setengahnya (Gbr. 3); dari sini rumus luas segitiga mudah diturunkan. Metode penghitungan luas poligon ini diketahui oleh Euclid, yang hidup lebih dari 2000 tahun yang lalu.

Sungguh luar biasa bahwa teorema kebalikan juga berlaku untuk teorema di atas: jika dua poligon berukuran sama, maka keduanya memiliki komposisi yang sama. Teorema ini, terbukti pada paruh pertama abad XIX. oleh matematikawan Hungaria F. Bolyai dan perwira dan matematikawan Jerman P. Gervin, dapat dijelaskan sebagai berikut: jika ada roti jahe berbentuk poligon dan kotak poligon yang bentuknya sama sekali berbeda, tetapi luasnya sama, kemudian Anda dapat memotong roti jahe menjadi potongan-potongan yang terbatas sedemikian rupa sehingga mereka berhasil dimasukkan ke dalam kotak ini.

Sehubungan dengan teorema Bolyai-Gervin, timbul pertanyaan untuk memberlakukan pembatasan tambahan pada jumlah atau susunan bagian yang membentuk poligon dengan luas yang sama. Sebagai contoh, mari kita bayangkan sebuah pesawat sebagai selembar kertas berwarna dengan satu sisi merah dan sisi lainnya putih. Jika dua poligon merah berukuran sama dipotong dari kertas seperti itu, maka muncul pertanyaan apakah salah satunya dapat dipotong menjadi beberapa bagian yang darinya dimungkinkan untuk menambahkan poligon merah yang sama dengan yang kedua. Bagian diizinkan untuk digeser tanpa membaliknya ke sisi putih yang salah. Jawaban atas pertanyaan ini juga dalam afirmatif.

Varian dari masalah ini diusulkan di salah satu Olimpiade Matematika Moskow dalam bentuk komik berikut. Pembuat manisan eksentrik memanggang kue (dan kue, tidak seperti roti jahe, memiliki krim di sisi atas) dalam bentuk segitiga skalen. Mereka juga membuat kotak untuk kue, tetapi karena kekhilafan mereka merekatkannya dengan tidak benar, sehingga kue dan kotak menjadi simetris satu sama lain (Gbr. 4). Penting (jika mungkin secara ekonomis) untuk memotong kue menjadi potongan-potongan yang dapat dimasukkan ke dalam kotak ini. Tentu saja, bagian-bagian kue tidak bisa diolesi krim.

Hasil menarik terkait dengan pengenaan persyaratan tambahan pada pengaturan bagian diperoleh pada tahun 1952 oleh matematikawan Swiss G. Hadwiger dan P. Glur: ekukonstituen dua poligon dengan luas yang sama dapat ditentukan menggunakan partisi di mana bagian yang bersesuaian memiliki sisi sejajar. Pada pandangan pertama, ini tampaknya bahkan tidak masuk akal: sulit untuk percaya bahwa dua segitiga yang sama diputar relatif satu sama lain dengan sudut yang berubah-ubah (Gbr. 5) selalu dapat dibagi menjadi bagian yang sama dengan sisi paralel yang sesuai. Namun demikian, ada partisi sedemikian rupa dari segitiga-segitiga ini sehingga bagian-bagian di mana satu segitiga dibagi diperoleh dari bagian-bagian yang sesuai dari segitiga kedua dengan terjemahan paralel atau simetri pusat. Hal yang sama berlaku untuk dua poligon dengan luas yang sama. Namun, transfer paralel bagian saja tidak dapat ditiadakan. Misalnya, tidak peduli bagaimana kita memotong jajaran genjang menjadi beberapa bagian, tidak mungkin membuat segitiga dari bagian-bagian ini dengan terjemahan paralel.

Ketertarikan pada pertanyaan-pertanyaan ini dibangkitkan oleh laporan terkenal "Masalah Matematika", yang dibacakan oleh ahli matematika terkemuka D. Hilbert pada Kongres Internasional Kedua Ahli Matematika, yang diadakan pada pergantian abad ke-19 dan ke-20. Dari dua puluh tiga masalah yang diajukan oleh Hilbert, sebagian besar berhubungan dengan cabang matematika baru yang berkembang pesat. Dan hanya satu masalah - yang ketiga - yang terkait dengan masalah geometri sekolah. Hilbert menarik perhatian pada fakta bahwa ketika menghitung volume piramida segitiga, sejak zaman Euclid, bagian yang agak rumit ke batas (lihat Batas) (dan sekarang - integrasi) digunakan, sementara ketika menghitung luas segitiga, kita lakukan tanpa bagian yang mirip dengan batas. Inti dari masalah Hilbert adalah untuk membenarkan penggunaan bagian "berlebihan" ini (dibandingkan dengan planimetri) hingga batasnya, yaitu. buktikan bahwa tanpanya teori volume polihedra tidak dapat dibangun. Pada tahun 1900, M. Dehn memecahkan masalah ketiga Hilbert dengan membuktikan bahwa tetrahedron biasa dan kubus dengan ukuran yang sama tidak sama ukurannya. Hilbert meramalkan bahwa pertanyaan ini dapat mengarah pada penciptaan teori yang menarik dan kaya secara matematis tentang kesetaraan poligon dan polihedra. Prediksi Hilbert menjadi kenyataan dengan cemerlang; bangunan indah dari teori modern tentang komposisi yang sama adalah monumen yang layak bagi ilmuwan.