Aturan untuk menemukan turunan dari fungsi kompleks. Fungsi kompleks

Sangat tidak mungkin untuk memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika tanpa pengetahuan tentang turunan dan metode untuk menghitungnya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dari analisis matematika. Kami memutuskan untuk mencurahkan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrisnya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini dapat digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometris dan fisik dari turunan

Biarkan ada fungsi f(x) , diberikan dalam beberapa interval (a,b) . Titik x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Perubahan argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai suatu fungsi pada dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika yang terakhir cenderung nol.

Jika tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batas seperti itu? Tapi yang mana:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di titik tertentu.


Arti fisis turunan: turunan waktu dari lintasan sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang, sejak masa sekolah, semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur pribadi. x=f(t) dan waktu t . Kecepatan rata-rata selama periode waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerakan pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batas:

Aturan satu: keluarkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, ambil sebagai aturan - jika Anda dapat menyederhanakan ekspresi, pastikan untuk menyederhanakan .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan dua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama berlaku untuk turunan dari perbedaan fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Cari turunan dari suatu fungsi:

Aturan tiga: turunan dari produk fungsi

Turunan produk dari dua fungsi yang dapat diturunkan dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan dari suatu fungsi:

Larutan:

Di sini penting untuk mengatakan tentang perhitungan turunan dari fungsi kompleks. Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi ini sehubungan dengan argumen antara dengan turunan dari argumen antara sehubungan dengan variabel bebas.

Dalam contoh di atas, kita menemukan ekspresi:

Dalam hal ini, argumen perantara adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita pertimbangkan turunan dari fungsi eksternal sehubungan dengan argumen antara, dan kemudian kalikan dengan turunan dari argumen antara itu sendiri sehubungan dengan variabel independen.

Aturan Empat: Turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan dari hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba berbicara tentang turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kedengarannya, jadi berhati-hatilah: sering ada jebakan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda memecahkan kontrol yang paling sulit dan menangani tugas-tugas, bahkan jika Anda belum pernah berurusan dengan perhitungan turunan sebelumnya.

Dan teorema turunan dari suatu fungsi kompleks, yang rumusannya adalah sebagai berikut:

Misal 1) fungsi $u=\varphi (x)$ memiliki turunan $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ pada suatu titik $x_0$, 2) fungsi $y=f(u)$ memiliki pada titik yang sesuai $u_0=\varphi (x_0)$ turunan $y_(u)"=f"(u)$. Maka fungsi kompleks $y=f\left(\varphi (x) \right)$ pada titik tersebut juga akan memiliki turunan yang sama dengan produk turunan dari fungsi $f(u)$ dan $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

atau, dalam notasi yang lebih pendek: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Dalam contoh bagian ini, semua fungsi memiliki bentuk $y=f(x)$ (yaitu, kita hanya mempertimbangkan fungsi dari satu variabel $x$). Dengan demikian, dalam semua contoh, turunan $y"$ diambil sehubungan dengan variabel $x$. Untuk menekankan bahwa turunan diambil sehubungan dengan variabel $x$, kita sering menulis $y"_x$ sebagai ganti $ y"$.

Contoh #1, #2, dan #3 memberikan proses terperinci untuk menemukan turunan dari fungsi kompleks. Contoh No. 4 dimaksudkan untuk pemahaman yang lebih lengkap tentang tabel turunan dan masuk akal untuk membiasakan diri dengannya.

Disarankan, setelah mempelajari materi pada contoh No. 1-3, untuk melanjutkan ke penyelesaian secara mandiri contoh No. 5, No. 6 dan No. 7. Contoh #5, #6 dan #7 berisi solusi singkat sehingga pembaca dapat memeriksa kebenaran hasilnya.

Contoh 1

Cari turunan dari fungsi $y=e^(\cos x)$.

Kita perlu mencari turunan dari fungsi kompleks $y"$. Karena $y=e^(\cos x)$, maka $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Untuk cari turunan $ \left(e^(\cos x)\right)"$ gunakan rumus #6 dari tabel turunan. Untuk menggunakan rumus No. 6, Anda perlu memperhitungkan bahwa dalam kasus kita $u=\cos x$. Solusi selanjutnya terdiri dari substitusi dangkal dari ekspresi $\cos x$ alih-alih $u$ ke dalam rumus No. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \kanan)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Sekarang kita perlu mencari nilai dari ekspresi $(\cos x)"$. Sekali lagi kita beralih ke tabel turunan, memilih rumus No. 10 darinya. Substitusikan $u=x$ ke rumus No. 10, kita punya : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Sekarang kita melanjutkan persamaan (1.1), melengkapinya dengan hasil yang ditemukan:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Karena $x"=1$, kami melanjutkan persamaan (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Jadi, dari persamaan (1.3) kita mendapatkan: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Biasanya, penjelasan dan persamaan antara biasanya dilompati, menuliskan turunan dalam satu baris, seperti pada persamaan ( 1.3) Jadi, turunan dari fungsi kompleks telah ditemukan, tinggal menuliskan jawabannya.

Menjawab: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Contoh #2

Cari turunan dari fungsi $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Kita perlu menghitung turunan $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Untuk memulainya, kita perhatikan bahwa konstanta (yaitu angka 9) dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)" \tag (2.1) $$

Sekarang mari kita beralih ke ekspresi $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Untuk memudahkan memilih rumus yang diinginkan dari tabel turunan, saya akan menyajikan ekspresi yang dimaksud dalam bentuk ini: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Sekarang jelas bahwa perlu menggunakan rumus No. 2, yaitu. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Substitusikan $u=\artg(4\cdot \ln x)$ dan $\alpha=12$ ke dalam rumus ini:

Melengkapi kesetaraan (2.1) dengan hasil yang diperoleh, kami memiliki:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"= 108\cdot\kiri(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Dalam situasi ini, sering terjadi kesalahan ketika solver pada langkah pertama memilih rumus $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ daripada rumus $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Intinya adalah turunan dari fungsi eksternal harus ditemukan terlebih dahulu. Untuk memahami fungsi mana yang akan berada di luar ekspresi $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, bayangkan Anda menghitung nilai dari ekspresi $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ untuk beberapa nilai $x$. Pertama Anda menghitung nilai $5^x$, lalu kalikan hasilnya dengan 4 untuk mendapatkan $4\cdot 5^x$. Sekarang kita ambil arctangent dari hasil ini, mendapatkan $\arctg(4\cdot 5^x)$. Kemudian kami menaikkan angka yang dihasilkan ke pangkat kedua belas, mendapatkan $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Tindakan terakhir, yaitu menaikkan pangkat 12, - dan akan menjadi fungsi eksternal. Dan dari sanalah seseorang harus mulai menemukan turunan, yang dilakukan dalam persamaan (2.2).

Sekarang kita perlu mencari $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Kita menggunakan rumus No. 19 dari tabel turunan, substitusikan $u=4\cdot \ln x$ ke dalamnya:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Mari kita sedikit menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan, dengan memperhitungkan $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Kesetaraan (2.2) sekarang akan menjadi:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Tetap mencari $(4\cdot \ln x)"$. Kami mengambil konstanta (yaitu 4) dari tanda turunan: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Untuk Untuk mencari $(\ln x)"$, kita menggunakan rumus No. 8, substitusikan $u=x$ ke dalamnya: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdotx"$. Karena $x"=1$, maka $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Mengganti hasil yang diperoleh ke dalam rumus (2.3), kami memperoleh:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \kanan)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \kanan)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\artg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa turunan dari fungsi kompleks paling sering dalam satu baris, seperti yang ditulis dalam persamaan terakhir. Oleh karena itu, ketika membuat perhitungan atau pengujian standar, sama sekali tidak perlu mengecat larutan dengan detail yang sama.

Menjawab: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Contoh #3

Cari $y"$ dari fungsi $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Pertama, mari kita ubah sedikit fungsi $y$ dengan menyatakan akar (root) sebagai pangkat: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \kanan)^(\frac(3)(7))$. Sekarang mari kita mulai mencari turunannya. Karena $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, maka:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Kami menggunakan rumus No. 2 dari tabel turunan, mensubstitusikan $u=\sin(5\cdot 9^x)$ dan $\alpha=\frac(3)(7)$ ke dalamnya:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Kami melanjutkan kesetaraan (3.1) menggunakan hasil yang diperoleh:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Sekarang kita perlu mencari $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Untuk ini, kita menggunakan rumus No. 9 dari tabel turunan, substitusikan $u=5\cdot 9^x$ ke dalamnya:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Melengkapi kesetaraan (3.2) dengan hasil yang diperoleh, kami memiliki:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Tetap mencari $(5\cdot 9^x)"$. Pertama, kita keluarkan konstanta (bilangan $5$) dari tanda turunan, yaitu $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Untuk mencari turunan $(9^x)"$, kita terapkan rumus No. 5 dari tabel turunan, substitusikan $a=9$ dan $u=x$ ke dalamnya: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Karena $x"=1$, maka $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sekarang kita dapat melanjutkan persamaan (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Anda dapat kembali dari pangkat ke radikal (yaitu akar) lagi dengan menulis $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ sebagai $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. Kemudian turunannya akan ditulis dalam bentuk berikut:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\kanan)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Menjawab: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Contoh #4

Tunjukkan bahwa rumus No. 3 dan No. 4 dari tabel turunan adalah kasus khusus dari rumus No. 2 dari tabel ini.

Dalam rumus No. 2 dari tabel turunan, turunan dari fungsi $u^\alpha$ ditulis. Mengganti $\alpha=-1$ ke dalam rumus #2, kita mendapatkan:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Karena $u^(-1)=\frac(1)(u)$ dan $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, persamaan (4.1) dapat ditulis ulang sebagai berikut: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ini adalah rumus nomor 3 dari tabel turunan.

Mari kita kembali ke rumus No. 2 dari tabel turunan. Substitusikan $\alpha=\frac(1)(2)$ ke dalamnya:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Karena $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ dan $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, maka persamaan (4.2) dapat ditulis ulang sebagai berikut:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Persamaan yang dihasilkan $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ adalah rumus No. 4 dari tabel turunan. Seperti yang Anda lihat, rumus No. 3 dan No. 4 dari tabel turunan diperoleh dari rumus No. 2 dengan mengganti nilai $\alpha$ yang sesuai.

Jika mengikuti definisi, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit dari rasio kenaikan fungsi kamu dengan kenaikan argumen x:

Semuanya tampak jelas. Tapi coba hitung dengan rumus ini, katakanlah, turunan dari fungsi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x dosa x. Jika Anda melakukan semuanya dengan definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda hanya akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Untuk memulainya, kita perhatikan bahwa apa yang disebut fungsi dasar dapat dibedakan dari seluruh ragam fungsi. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan dimasukkan ke dalam tabel. Fungsi-fungsi tersebut cukup mudah diingat, bersama dengan turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Fungsi dasar adalah semua yang tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus hafal. Selain itu, tidak sulit untuk menghafalnya - itulah sebabnya mereka masih SD.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Nama Fungsi Turunan
Konstan f(x) = C, C ∈ R 0 (ya, ya, nol!)
Derajat dengan eksponen rasional f(x) = x n n · x n − 1
sinus f(x) = sin x karena x
Kosinus f(x) = cos x dosa x(dikurangi sinus)
Garis singgung f(x) = tg x 1/co 2 x
Kotangens f(x) = ctg x 1/sin2 x
logaritma natural f(x) = log x 1/x
logaritma arbitrer f(x) = log sebuah x 1/(x ln sebuah)
Fungsi eksponensial f(x) = e x e x(Tidak ada yang berubah)

Jika fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru juga mudah dihitung:

(C · f)’ = C · f ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan. Sebagai contoh:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Jelas, fungsi dasar dapat ditambahkan satu sama lain, dikalikan, dibagi, dan banyak lagi. Ini adalah bagaimana fungsi baru akan muncul, tidak lagi sangat mendasar, tetapi juga dapat dibedakan menurut aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan jumlah dan selisih

Biarkan fungsi f(x) dan g(x), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat menemukan turunan dari jumlah dan perbedaan dari fungsi-fungsi ini:

  1. (f + g)’ = f ’ + g ’
  2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Sebagai contoh, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep "pengurangan" dalam aljabar. Ada konsep "elemen negatif". Oleh karena itu, perbedaan f − g dapat ditulis ulang sebagai jumlah f+ (−1) g, dan kemudian hanya satu formula yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungsi f(x) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, jadi:

f ’(x) = (x 2+ dosa x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cox;

Kami berpendapat sama untuk fungsi g(x). Hanya saja sudah ada tiga istilah (dari sudut pandang aljabar):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Menjawab:
f ’(x) = 2x+ cox;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Turunan dari suatu produk

Matematika adalah ilmu yang logis, sehingga banyak orang percaya bahwa jika turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan, maka turunan dari produk memukul"\u003e sama dengan produk turunan. Tapi ara untuk Anda! Turunan produk dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Rumusnya sederhana, tapi sering terlupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tetapi juga siswa. Hasilnya adalah masalah yang salah diselesaikan.

Sebuah tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = x 3 kosx; g(x) = (x 2 + 7x 7) · e x .

Fungsi f(x) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' karena x + x 3 (karena x)’ = 3x 2 karena x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x dosa x)

Fungsi g(x) pengganda pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umum tidak berubah dari ini. Jelas, pengali pertama dari fungsi g(x) adalah polinomial, dan turunannya adalah turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

g ’(x) = ((x 2 + 7x 7) · e x)’ = (x 2 + 7x 7)' · e x + (x 2 + 7x 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Menjawab:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x dosa x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Perhatikan bahwa pada langkah terakhir, turunan difaktorkan. Secara formal, ini tidak perlu, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, tetapi untuk mengeksplorasi fungsinya. Artinya selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, akan diketahui tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti itu, lebih baik memiliki ekspresi yang didekomposisi menjadi faktor.

Jika ada dua fungsi f(x) dan g(x), dan g(x) 0 pada himpunan yang menarik bagi kami, kami dapat mendefinisikan fungsi baru h(x) = f(x)/g(x). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat menemukan turunannya:

Tidak lemah, kan? Dari mana minusnya? Mengapa g 2? Tapi seperti ini! Ini adalah salah satu formula paling kompleks - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.

Sebuah tugas. Cari turunan fungsi:

Ada fungsi dasar dalam pembilang dan penyebut setiap pecahan, jadi yang kita butuhkan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:


Secara tradisi, kami memfaktorkan pembilangnya menjadi beberapa faktor - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks tidak harus berupa rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya, cukup untuk mengambil fungsi f(x) = sin x dan ganti variabel x, katakan, pada x 2+ln x. Ternyata f(x) = dosa ( x 2+ln x) adalah fungsi kompleks. Dia juga memiliki turunan, tetapi tidak akan berhasil menemukannya sesuai dengan aturan yang dibahas di atas.

Bagaimana menjadi? Dalam kasus seperti itu, penggantian variabel dan rumus turunan dari fungsi kompleks membantu:

f ’(x) = f ’(t) · t', jika x digantikan oleh t(x).

Sebagai aturan, situasi dengan pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan daripada dengan turunan dari hasil bagi. Oleh karena itu, lebih baik menjelaskannya dengan contoh-contoh spesifik, dengan penjelasan rinci dari setiap langkah.

Sebuah tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = dosa ( x 2+ln x)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsi f(x) alih-alih ekspresi 2 x+ 3 akan mudah x, maka kita mendapatkan fungsi dasar f(x) = e x. Oleh karena itu, kami membuat substitusi: biarkan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kami mencari turunan dari fungsi kompleks dengan rumus:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dan sekarang - perhatian! Melakukan substitusi terbalik: t = 2x+ 3. Kami mendapatkan:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya g(x). Jelas perlu diganti. x 2+ln x = t. Kita punya:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Penggantian terbalik: t = x 2+ln x. Kemudian:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Itu saja! Seperti yang dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah telah direduksi menjadi menghitung turunan dari jumlah tersebut.

Menjawab:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) karena( x 2+ln x).

Sangat sering dalam pelajaran saya, alih-alih istilah "turunan", saya menggunakan kata "goresan". Misalnya, jumlah pukulan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Dengan demikian, perhitungan turunan turun untuk menghilangkan pukulan ini sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(x n)’ = n · x n − 1

Sedikit yang tahu itu dalam peran n mungkin bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah x 0,5 . Tetapi bagaimana jika ada sesuatu yang rumit di bawah root? Sekali lagi, fungsi yang kompleks akan muncul - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu dalam tes dan ujian.

Sebuah tugas. Cari turunan dari suatu fungsi:

Pertama, mari kita tulis ulang akarnya sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sekarang kita membuat substitusi: mari x 2 + 8x − 7 = t. Kami menemukan turunan dengan rumus:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t 0,5 t ’.

Kami membuat substitusi terbalik: t = x 2 + 8x 7. Kami memiliki:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x 7) 0,5 ( x 2 + 8x 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Akhirnya, kembali ke akar:

Tingkat pertama

Turunan fungsi. Panduan Komprehensif (2019)

Bayangkan sebuah jalan lurus melewati daerah perbukitan. Artinya, naik turun, tetapi tidak berbelok ke kanan atau ke kiri. Jika sumbu diarahkan secara horizontal di sepanjang jalan, dan vertikal, maka garis jalan akan sangat mirip dengan grafik beberapa fungsi kontinu:

Sumbu adalah tingkat ketinggian nol tertentu, dalam kehidupan kita menggunakan permukaan laut sebagai itu.

Bergerak maju di sepanjang jalan seperti itu, kita juga bergerak naik atau turun. Kita juga dapat mengatakan: ketika argumen berubah (bergerak sepanjang sumbu absis), nilai fungsi berubah (bergerak sepanjang sumbu ordinat). Sekarang mari kita berpikir tentang bagaimana menentukan "kecuraman" jalan kita? Apa yang bisa menjadi nilai ini? Sangat sederhana: berapa banyak perubahan ketinggian ketika bergerak maju dalam jarak tertentu. Memang, di bagian jalan yang berbeda, bergerak maju (sepanjang absis) satu kilometer, kita akan naik atau turun dengan jumlah meter yang berbeda relatif terhadap permukaan laut (sepanjang ordinat).

Kami menunjukkan kemajuan ke depan (baca "delta x").

Huruf Yunani (delta) umumnya digunakan dalam matematika sebagai awalan yang berarti "perubahan". Yaitu - ini adalah perubahan besarnya, - perubahan; lalu apa itu? Itu benar, perubahan ukuran.

Penting: ekspresi adalah entitas tunggal, satu variabel. Anda tidak boleh merobek "delta" dari "x" atau huruf lainnya! Yaitu, misalnya, .

Jadi, kami telah bergerak maju, secara horizontal, terus. Jika kita membandingkan garis jalan dengan grafik fungsi, lalu bagaimana kita menunjukkan kenaikan? Tentu saja, . Artinya, ketika bergerak maju, kita naik lebih tinggi.

Sangat mudah untuk menghitung nilainya: jika pada awalnya kami berada di ketinggian, dan setelah bergerak kami berada di ketinggian, maka. Jika titik akhir ternyata lebih rendah dari titik awal, itu akan menjadi negatif - ini berarti kita tidak naik, tetapi turun.

Kembali ke "kecuraman": ini adalah nilai yang menunjukkan berapa banyak (curam) peningkatan ketinggian saat bergerak maju per satuan jarak:

Misalkan di beberapa bagian jalan, ketika maju sejauh km, jalan naik sejauh km. Kemudian kecuraman di tempat ini sama. Dan jika jalan, ketika maju sejauh m, tenggelam sejauh km? Maka kemiringannya sama.

Sekarang perhatikan puncak bukit. Jika Anda mengambil bagian awal setengah kilometer ke atas, dan ujungnya - setengah kilometer setelahnya, Anda dapat melihat bahwa tingginya hampir sama.

Artinya, menurut logika kita, ternyata kemiringan di sini hampir sama dengan nol, yang jelas tidak benar. Banyak yang bisa berubah hanya beberapa mil jauhnya. Area yang lebih kecil perlu dipertimbangkan untuk estimasi kecuraman yang lebih memadai dan akurat. Misalnya, jika Anda mengukur perubahan ketinggian saat bergerak satu meter, hasilnya akan jauh lebih akurat. Tetapi bahkan akurasi ini mungkin tidak cukup bagi kita - lagipula, jika ada tiang di tengah jalan, kita bisa saja melewatinya. Berapa jarak yang harus kita pilih? Sentimeter? Milimeter? Lebih sedikit lebih baik!

Dalam kehidupan nyata, mengukur jarak ke milimeter terdekat sudah lebih dari cukup. Tapi matematikawan selalu berusaha untuk kesempurnaan. Oleh karena itu, konsepnya adalah kecil sekali, yaitu, nilai modulo lebih kecil dari angka apa pun yang dapat kita sebutkan. Misalnya, Anda mengatakan: satu triliun! Kurang berapa? Dan Anda membagi angka ini dengan - dan itu akan menjadi lebih sedikit. Dan seterusnya. Jika kita ingin menulis bahwa nilainya sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca "x cenderung nol"). Sangat penting untuk dipahami bahwa angka ini tidak sama dengan nol! Tapi sangat dekat dengannya. Artinya dapat dibagi menjadi.

Konsep yang berlawanan dengan kecil tak terhingga adalah besar tak terhingga (). Anda mungkin pernah mengalaminya saat mengerjakan ketidaksetaraan: angka ini lebih besar dalam modulus daripada angka apa pun yang dapat Anda pikirkan. Jika Anda mendapatkan angka terbesar yang mungkin, kalikan saja dengan dua dan Anda akan mendapatkan lebih banyak lagi. Dan ketidakterbatasan bahkan lebih dari apa yang terjadi. Faktanya, besar tak terhingga dan kecil tak terhingga berbanding terbalik satu sama lain, yaitu di, dan sebaliknya: di.

Sekarang kembali ke jalan kita. Kemiringan yang dihitung secara ideal adalah kemiringan yang dihitung untuk segmen jalan yang sangat kecil, yaitu:

Saya perhatikan bahwa dengan perpindahan yang sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan menjadi sangat kecil. Tapi izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sangat kecil tidak berarti sama dengan nol. Jika Anda membagi bilangan yang sangat kecil satu sama lain, Anda bisa mendapatkan bilangan yang benar-benar biasa, misalnya,. Artinya, satu nilai kecil bisa persis dua kali lebih besar dari yang lain.

Mengapa semua ini? Jalannya, tanjakannya... Kami tidak pergi reli, tapi kami belajar matematika. Dan dalam matematika semuanya sama persis, hanya disebut berbeda.

Konsep turunan

Turunan suatu fungsi adalah rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen pada kenaikan argumen yang sangat kecil.

Kenaikan dalam matematika disebut perubahan. Berapa banyak argumen () telah berubah ketika bergerak sepanjang sumbu disebut penambahan argumen dan dilambangkan dengan Berapa banyak fungsi (tinggi) telah berubah ketika bergerak maju sepanjang sumbu dengan jarak disebut peningkatan fungsi dan ditandai.

Jadi, turunan dari suatu fungsi adalah hubungannya dengan kapan. Kami menunjukkan turunan dengan huruf yang sama dengan fungsi, hanya dengan goresan dari kanan atas: atau sederhana. Jadi, mari kita tulis rumus turunan menggunakan notasi ini:

Seperti dalam analogi jalan, di sini, ketika fungsi bertambah, turunannya positif, dan ketika berkurang, itu negatif.

Tetapi apakah turunannya sama dengan nol? Tentu saja. Misalnya, jika kita mengemudi di jalan horizontal yang datar, kecuramannya adalah nol. Memang, ketinggiannya tidak berubah sama sekali. Jadi dengan turunannya : turunan dari suatu fungsi konstan (konstanta) sama dengan nol :

karena kenaikan fungsi tersebut adalah nol untuk sembarang.

Mari kita ambil contoh puncak bukit. Ternyata adalah mungkin untuk mengatur ujung-ujung segmen pada sisi-sisi yang berlawanan dari simpul sedemikian rupa sehingga ketinggian di ujung-ujungnya ternyata sama, yaitu, segmen itu sejajar dengan sumbu:

Tetapi segmen besar adalah tanda pengukuran yang tidak akurat. Kami akan menaikkan segmen kami sejajar dengan dirinya sendiri, lalu panjangnya akan berkurang.

Pada akhirnya, ketika kita sangat dekat dengan puncak, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada saat yang sama, itu tetap sejajar dengan sumbu, yaitu perbedaan ketinggian pada ujungnya sama dengan nol (tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi turunannya

Ini dapat dipahami sebagai berikut: ketika kita berdiri di paling atas, pergeseran kecil ke kiri atau kanan mengubah ketinggian kita dengan tidak berarti.

Ada juga penjelasan aljabar murni: di kiri atas, fungsi meningkat, dan di kanan menurun. Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, ketika fungsi meningkat, turunannya positif, dan ketika menurun, itu negatif. Tapi itu berubah dengan mulus, tanpa lompatan (karena jalan tidak mengubah kemiringannya dengan tajam di mana pun). Oleh karena itu, harus ada antara nilai negatif dan positif. Ini akan berada di mana fungsi tidak bertambah atau berkurang - pada titik puncak.

Hal yang sama berlaku untuk lembah (area di mana fungsi berkurang di sebelah kiri dan meningkat di sebelah kanan):

Sedikit lagi tentang kenaikan.

Jadi kami mengubah argumen menjadi nilai. Kita ubah dari nilai apa? Apa yang dia (argumen) sekarang menjadi? Kita dapat memilih titik mana saja, dan sekarang kita akan menari darinya.

Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kami melakukan kenaikan yang sama: tingkatkan koordinat sebesar. Apa argumennya sekarang? Sangat mudah: . Berapakah nilai fungsi sekarang? Ke mana argumennya, fungsinya ada di sana: . Bagaimana dengan peningkatan fungsi? Tidak ada yang baru: ini masih jumlah perubahan fungsi:

Berlatih menemukan kenaikan:

  1. Temukan kenaikan fungsi pada titik dengan kenaikan argumen sama dengan.
  2. Hal yang sama untuk fungsi di suatu titik.

Solusi:

Pada titik yang berbeda, dengan kenaikan argumen yang sama, kenaikan fungsi akan berbeda. Ini berarti bahwa turunan di setiap titik memilikinya sendiri (kami membahas ini di awal - kecuraman jalan pada titik yang berbeda berbeda). Oleh karena itu, ketika kita menulis turunan, kita harus menunjukkan pada titik mana:

Fungsi daya.

Fungsi daya disebut fungsi di mana argumennya sampai batas tertentu (logis, bukan?).

Dan - sampai batas tertentu: .

Kasus paling sederhana adalah ketika eksponennya adalah:

Mari kita cari turunannya di suatu titik. Ingat definisi turunan:

Jadi argumennya berubah dari ke. Apa itu peningkatan fungsi?

Kenaikan adalah. Tetapi fungsi pada titik mana pun sama dengan argumennya. Itu sebabnya:

turunannya adalah:

turunan dari adalah:

b) Sekarang perhatikan fungsi kuadrat (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Ini berarti bahwa nilai kenaikan dapat diabaikan, karena sangat kecil, dan karena itu tidak signifikan dengan latar belakang istilah lain:

Jadi, kami memiliki aturan lain:

c) Kami melanjutkan deret logis: .

Ekspresi ini dapat disederhanakan dengan cara yang berbeda: buka kurung pertama menggunakan rumus perkalian singkat dari jumlah pangkat tiga, atau dekomposisi seluruh ekspresi menjadi faktor menggunakan rumus selisih pangkat tiga. Cobalah melakukannya sendiri dengan salah satu cara yang disarankan.

Jadi, saya mendapatkan yang berikut:

Dan sekali lagi, ingat itu. Ini berarti bahwa kita dapat mengabaikan semua istilah yang mengandung:

Kita mendapatkan: .

d) Aturan serupa dapat diperoleh untuk kekuatan besar:

e) Ternyata aturan ini dapat digeneralisasi untuk fungsi pangkat dengan eksponen arbitrer, bahkan bilangan bulat:

(2)

Anda dapat merumuskan aturan dengan kata-kata: "derajat dimajukan sebagai koefisien, dan kemudian dikurangi".

Kami akan membuktikan aturan ini nanti (hampir di akhir). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Cari turunan fungsi:

  1. (dalam dua cara: dengan rumus dan menggunakan definisi turunan - dengan menghitung kenaikan fungsi);
  1. . Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kekuatan. Jika Anda memiliki pertanyaan seperti “Bagaimana? Dan di mana gelarnya? ”, Ingat topik“ ”!
    Ya, ya, akarnya juga derajat, hanya pecahan:.
    Jadi akar kuadrat kita hanyalah pangkat dengan eksponen:
    .
    Kami mencari turunannya menggunakan rumus yang baru dipelajari:

    Jika pada titik ini menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik "" !!! (tentang gelar dengan indikator negatif)

  2. . Sekarang eksponennya:

    Dan sekarang melalui definisi (apakah Anda sudah lupa?):
    ;
    .
    Sekarang, seperti biasa, kita mengabaikan istilah yang mengandung:
    .

  3. . Kombinasi kasus sebelumnya: .

fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta dari matematika yang lebih tinggi:

Saat ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya di tahun pertama institut (dan untuk sampai ke sana, Anda harus lulus ujian dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafis:

Kami melihat bahwa ketika fungsi tidak ada - titik pada grafik tertusuk. Tetapi semakin dekat nilainya, semakin dekat fungsinya.Inilah yang paling "berusaha".

Selain itu, Anda dapat memeriksa aturan ini dengan kalkulator. Ya, ya, jangan malu, ambil kalkulator, kita belum ujian.

Jadi mari kita coba: ;

Jangan lupa untuk mengganti kalkulator ke mode Radian!

dll. Kita melihat bahwa semakin kecil, semakin dekat nilai rasionya.

a) Pertimbangkan sebuah fungsi. Seperti biasa, kami menemukan kenaikannya:

Mari kita ubah perbedaan sinus menjadi produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus (ingat topik ""):.

Sekarang turunannya:

Mari kita lakukan substitusi: . Kemudian, untuk sangat kecil, itu juga sangat kecil: . Ekspresi untuk mengambil bentuk:

Dan sekarang kita mengingatnya dengan ekspresi. Dan juga, bagaimana jika nilai yang sangat kecil dapat diabaikan dalam jumlah (yaitu, di).

Jadi kita mendapatkan aturan berikut: turunan sinus sama dengan cosinus:

Ini adalah turunan dasar (“tabel”). Ini dia dalam satu daftar:

Nanti kita akan menambahkan beberapa lagi, tapi ini yang paling penting, karena paling sering digunakan.

Praktik:

  1. Temukan turunan suatu fungsi di suatu titik;
  2. Temukan turunan dari fungsi tersebut.

Solusi:

  1. Pertama, kami menemukan turunannya dalam bentuk umum, dan kemudian kami mengganti nilainya sebagai gantinya:
    ;
    .
  2. Di sini kita memiliki sesuatu yang mirip dengan fungsi daya. Mari kita coba untuk membawanya ke
    tampilan biasa:
    .
    Oke, sekarang Anda bisa menggunakan rumus:
    .
    .
  3. . Eeeeeee….. Ada apa????

Oke, Anda benar, kami masih tidak tahu bagaimana menemukan turunan seperti itu. Di sini kita memiliki kombinasi dari beberapa jenis fungsi. Untuk bekerja dengan mereka, Anda perlu mempelajari beberapa aturan lagi:

eksponen dan logaritma natural.

Ada fungsi seperti itu dalam matematika, yang turunannya untuk sembarang sama dengan nilai fungsi itu sendiri untuk yang sama. Ini disebut "eksponen", dan merupakan fungsi eksponensial

Basis fungsi ini - konstanta - adalah pecahan desimal tak terbatas, yaitu bilangan irasional (seperti). Ini disebut "bilangan Euler", itulah sebabnya dilambangkan dengan huruf.

Jadi aturannya adalah:

Sangat mudah untuk diingat.

Baiklah, kita tidak akan jauh-jauh, kita akan langsung mempertimbangkan fungsi kebalikannya. Apa kebalikan dari fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma semacam itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut "alami", dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulis sebagai gantinya.

Apa yang setara dengan? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

  1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
  2. Apa turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: Eksponen dan logaritma natural adalah fungsi yang unik sederhana dalam hal turunannya. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lainnya akan memiliki turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita melalui aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Istilah baru lagi, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses menemukan turunannya.

Hanya dan segalanya. Apa kata lain dari proses ini? Bukan proizvodnovanie... Diferensial matematika disebut inkremental dari fungsi di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential - perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kami juga membutuhkan formula untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - beberapa angka konstan (konstan), maka.

Jelas, aturan ini juga berfungsi untuk perbedaan: .

Mari kita buktikan. Biarkan, atau lebih mudah.

Contoh.

Cari turunan fungsi:

  1. pada intinya;
  2. pada intinya;
  3. pada intinya;
  4. pada intinya.

Solusi:

  1. (turunannya sama di semua titik, karena merupakan fungsi linier, ingat?);

Turunan dari suatu produk

Semuanya serupa di sini: kami memperkenalkan fungsi baru dan menemukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

  1. Cari turunan dari fungsi dan;
  2. Tentukan turunan suatu fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari bagaimana menemukan turunan dari fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi di mana beberapa nomor.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba membawa fungsi kita ke basis baru:

Untuk melakukan ini, kami menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Yah, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan dari eksponen: seperti itu, tetap, hanya faktor yang muncul, yang hanya angka, tetapi bukan variabel.

Contoh:
Cari turunan fungsi:

Jawaban:

Ini hanyalah angka yang tidak dapat dihitung tanpa kalkulator, yaitu tidak dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Oleh karena itu, kami meninggalkannya dalam bentuk ini di jawaban.

Turunan dari fungsi logaritma

Ini mirip: Anda sudah tahu turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari arbitrer dari logaritma dengan basis yang berbeda, misalnya:

Kita perlu membawa logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang alih-alih kita akan menulis:

Penyebutnya ternyata hanya konstanta (angka konstan, tanpa variabel). Turunannya sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam ujian, tetapi tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa itu "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika logaritma tampaknya sulit bagi Anda, baca topik "Logaritma" dan semuanya akan berhasil), tetapi dalam hal matematika, kata "kompleks" tidak berarti "sulit".

Bayangkan sebuah konveyor kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang cokelat dalam bungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Ternyata benda komposit seperti itu: sebatang coklat dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah-langkah yang berlawanan dalam urutan terbalik.

Mari kita buat jalur matematika yang serupa: pertama kita akan menemukan kosinus dari sebuah angka, dan kemudian kita akan mengkuadratkan angka yang dihasilkan. Jadi, mereka memberi kami nomor (cokelat), saya menemukan kosinusnya (pembungkus), dan kemudian Anda kuadratkan apa yang saya dapatkan (ikat dengan pita). Apa yang terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk menemukan nilainya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua lainnya dengan apa yang terjadi sebagai akibat dari yang pertama.

Kami mungkin melakukan langkah yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda kuadratkan, dan kemudian saya mencari kosinus dari angka yang dihasilkan:. Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsi berubah.

Dengan kata lain, Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya adalah fungsi lain: .

Untuk contoh pertama, .

Contoh kedua: (sama). .

Tindakan terakhir yang kita lakukan akan disebut fungsi "eksternal", dan tindakan yang dilakukan pertama - masing-masing fungsi "internal"(ini adalah nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal:

Jawaban: Pemisahan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan perubahan variabel: misalnya, dalam fungsi

  1. Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? Pertama kami menghitung sinus, dan baru kemudian kami menaikkannya menjadi kubus. Jadi ini adalah fungsi internal, bukan fungsi eksternal.
    Dan fungsi aslinya adalah komposisinya: .
  2. dalaman: ; eksternal: .
    Penyelidikan: .
  3. dalaman: ; eksternal: .
    Penyelidikan: .
  4. dalaman: ; eksternal: .
    Penyelidikan: .
  5. dalaman: ; eksternal: .
    Penyelidikan: .

kita mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak cokelat kita - cari turunannya. Prosedurnya selalu dibalik: pertama, kita mencari turunan dari fungsi luar, kemudian kita mengalikan hasilnya dengan turunan dari fungsi dalam. Untuk contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita merumuskan aturan resmi:

Algoritma untuk mencari turunan dari fungsi kompleks:

Semuanya tampak sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

Solusi:

1) Dalaman: ;

Eksternal: ;

2) Dalaman: ;

(jangan mencoba untuk mengurangi sekarang! Tidak ada yang diambil dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Eksternal: ;

Segera jelas bahwa ada fungsi kompleks tiga tingkat di sini: lagi pula, ini sudah merupakan fungsi kompleks itu sendiri, dan kami masih mengekstrak akarnya, yaitu, kami melakukan tindakan ketiga (masukkan cokelat ke dalam bungkus dan dengan pita di dalam tas kerja). Tetapi tidak ada alasan untuk takut: bagaimanapun, kami akan "membongkar" fungsi ini dalam urutan yang sama seperti biasa: dari akhir.

Artinya, pertama-tama kita bedakan akarnya, lalu kosinusnya, dan baru kemudian ekspresinya dalam tanda kurung. Dan kemudian kita kalikan semuanya.

Dalam kasus seperti itu, akan lebih mudah untuk memberi nomor pada tindakan. Artinya, mari kita bayangkan apa yang kita ketahui. Dalam urutan apa kita akan melakukan tindakan untuk menghitung nilai ekspresi ini? Mari kita lihat sebuah contoh:

Semakin lambat tindakan dilakukan, semakin "eksternal" fungsi yang sesuai. Urutan tindakan - seperti sebelumnya:

Di sini bersarang umumnya 4 tingkat. Mari kita tentukan tindakannya.

1. Ekspresi radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Persegi. .

5. Menyatukan semuanya:

TURUNAN. SINGKAT TENTANG UTAMA

turunan fungsi- rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen dengan kenaikan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta diambil dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Produk turunan:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan dari fungsi kompleks:

  1. Kami mendefinisikan fungsi "internal", temukan turunannya.
  2. Kami mendefinisikan fungsi "eksternal", temukan turunannya.
  3. Kami mengalikan hasil poin pertama dan kedua.

Turunan dari fungsi kompleks. Contoh solusi

Dalam pelajaran ini, kita akan belajar bagaimana menemukan turunan dari fungsi kompleks. Pelajaran adalah kelanjutan logis dari pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya?, di mana kami menganalisis turunan paling sederhana, dan juga berkenalan dengan aturan diferensiasi dan beberapa metode teknis untuk menemukan turunan. Jadi, jika Anda tidak begitu baik dengan turunan fungsi atau beberapa poin dari artikel ini tidak sepenuhnya jelas, maka baca dulu pelajaran di atas. Silakan dengarkan suasana hati yang serius - materinya tidak mudah, tetapi saya akan tetap berusaha menyajikannya dengan sederhana dan jelas.

Dalam praktiknya, Anda harus sering berurusan dengan turunan dari fungsi kompleks, bahkan hampir selalu, ketika Anda diberi tugas untuk menemukan turunan.

Kami melihat dalam tabel pada aturan (No. 5) untuk membedakan fungsi kompleks:

Kami mengerti. Pertama-tama, mari kita lihat notasinya. Di sini kita memiliki dua fungsi - dan , dan fungsi, secara kiasan, bersarang di fungsi . Fungsi semacam ini (ketika satu fungsi bersarang di dalam fungsi lain) disebut fungsi kompleks.

Saya akan memanggil fungsinya fungsi eksternal, dan fungsi – fungsi dalam (atau bersarang).

! Definisi ini tidak teoretis dan seharusnya tidak muncul dalam desain tugas akhir. Saya menggunakan ungkapan informal "fungsi eksternal", fungsi "internal" hanya untuk memudahkan Anda memahami materi.

Untuk memperjelas situasi, pertimbangkan:

Contoh 1

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di bawah sinus, kita tidak hanya memiliki huruf "x", tetapi seluruh ekspresi, jadi mencari turunan langsung dari tabel tidak akan berhasil. Kami juga memperhatikan bahwa tidak mungkin untuk menerapkan empat aturan pertama di sini, tampaknya ada perbedaan, tetapi kenyataannya adalah tidak mungkin untuk "merobek" sinus:

Dalam contoh ini, sudah dari penjelasan saya, secara intuitif jelas bahwa fungsi adalah fungsi kompleks, dan polinomial adalah fungsi internal (penyematan), dan fungsi eksternal.

Langkah pertama, yang harus dilakukan ketika menemukan turunan dari fungsi kompleks adalah memahami fungsi mana yang internal dan mana yang eksternal.

Dalam kasus contoh sederhana, tampak jelas bahwa polinomial bersarang di bawah sinus. Tapi bagaimana jika itu tidak jelas? Bagaimana cara menentukan dengan tepat fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal? Untuk melakukan ini, saya mengusulkan untuk menggunakan teknik berikut, yang dapat dilakukan secara mental atau dalam konsep.

Mari kita bayangkan bahwa kita perlu menghitung nilai ekspresi dengan kalkulator (bukan satu, bisa ada angka apa pun).

Apa yang kita hitung dulu? Pertama Anda perlu melakukan tindakan berikut: , sehingga polinomial akan menjadi fungsi internal:

Kedua anda perlu menemukan, sehingga sinus - akan menjadi fungsi eksternal:

Setelah kita MEMAHAMI Dengan fungsi dalam dan luar, saatnya untuk menerapkan aturan diferensiasi fungsi majemuk.

Kami mulai memutuskan. Dari pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? kami ingat bahwa desain solusi turunan apa pun selalu dimulai seperti ini - kami menyertakan ekspresi dalam tanda kurung dan memberi tanda guratan di kanan atas:

Pertama kami menemukan turunan dari fungsi eksternal (sinus), lihat tabel turunan dari fungsi dasar dan perhatikan bahwa . Semua rumus tabel berlaku bahkan jika "x" diganti dengan ekspresi kompleks, pada kasus ini:

Perhatikan bahwa fungsi dalam tidak berubah, kami tidak menyentuhnya.

Yah, cukup jelas bahwa

Hasil akhir penerapan rumus terlihat seperti ini:

Faktor konstanta biasanya ditempatkan di awal ekspresi:

Jika ada kesalahpahaman, tuliskan keputusan di atas kertas dan baca kembali penjelasannya.

Contoh 2

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Contoh 3

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Seperti biasa, kami menulis:

Kami mencari tahu di mana kami memiliki fungsi eksternal, dan di mana fungsi internal. Untuk melakukan ini, kami mencoba (secara mental atau dalam konsep) menghitung nilai ekspresi untuk . Apa yang perlu dilakukan terlebih dahulu? Pertama-tama, Anda perlu menghitung apa yang sama dengan basis :, yang berarti polinomial adalah fungsi internal:

Dan, hanya kemudian eksponensial dilakukan, oleh karena itu, fungsi daya adalah fungsi eksternal:

Menurut rumus, pertama-tama Anda perlu menemukan turunan dari fungsi eksternal, dalam hal ini, derajat. Kami mencari formula yang diinginkan dalam tabel:. Kami ulangi lagi: rumus tabel apa pun tidak hanya valid untuk "x", tetapi juga untuk ekspresi kompleks. Dengan demikian, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks adalah sebagai berikut:

Saya tekankan lagi bahwa ketika kita mengambil turunan dari fungsi luar, fungsi dalam tidak berubah:

Sekarang tinggal menemukan turunan yang sangat sederhana dari fungsi dalam dan "sisir" hasilnya sedikit:

Contoh 4

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).

Untuk mengkonsolidasikan pemahaman tentang turunan dari fungsi kompleks, saya akan memberikan contoh tanpa komentar, coba cari tahu sendiri, alasannya, di mana fungsi eksternal dan di mana fungsi internal, mengapa tugas diselesaikan seperti itu?

Contoh 5

a) Tentukan turunan dari suatu fungsi

b) Tentukan turunan dari fungsi tersebut

Contoh 6

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di sini kita memiliki akar, dan untuk membedakan akar, itu harus direpresentasikan sebagai derajat. Jadi, pertama-tama kita bawa fungsi ke dalam bentuk yang tepat untuk diferensiasi:

Menganalisis fungsi, kita sampai pada kesimpulan bahwa jumlah tiga suku adalah fungsi internal, dan eksponensial adalah fungsi eksternal. Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Derajat direpresentasikan lagi sebagai radikal (akar), dan untuk turunan dari fungsi internal, kami menerapkan aturan sederhana untuk membedakan jumlah:

Siap. Anda juga dapat membawa ekspresi ke penyebut yang sama dalam tanda kurung dan menulis semuanya sebagai satu pecahan. Tentu saja indah, tetapi ketika turunan panjang yang rumit diperoleh, lebih baik tidak melakukannya (mudah bingung, membuat kesalahan yang tidak perlu, dan akan merepotkan guru untuk memeriksa).

Contoh 7

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).

Sangat menarik untuk dicatat bahwa kadang-kadang, alih-alih aturan untuk membedakan fungsi yang kompleks, seseorang dapat menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi , tetapi solusi seperti itu akan terlihat seperti penyimpangan yang lucu. Berikut adalah contoh tipikal:



Contoh 8

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di sini Anda dapat menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , tetapi jauh lebih menguntungkan untuk menemukan turunan melalui aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Kami menyiapkan fungsi untuk diferensiasi - kami mengambil tanda minus dari turunan, dan menaikkan kosinus ke pembilang:

Cosinus adalah fungsi internal, eksponensial adalah fungsi eksternal.
Mari kita gunakan aturan kita:

Kami menemukan turunan dari fungsi dalam, reset kosinus kembali ke bawah:

Siap. Dalam contoh yang dipertimbangkan, penting untuk tidak bingung dengan tanda-tandanya. Ngomong-ngomong, coba selesaikan dengan aturan , jawaban harus cocok.

Contoh 9

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).

Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan kasus di mana kami hanya memiliki satu sarang dalam fungsi yang kompleks. Dalam tugas-tugas praktis, Anda sering dapat menemukan turunan, di mana, seperti boneka bersarang, satu di dalam yang lain, 3 atau bahkan 4-5 fungsi bersarang sekaligus.

Contoh 10

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Kami memahami lampiran dari fungsi ini. Kami mencoba untuk mengevaluasi ekspresi menggunakan nilai eksperimental. Bagaimana kita mengandalkan kalkulator?

Pertama, Anda perlu menemukan, yang berarti bahwa arcsine adalah sarang terdalam:

Arcsinus kesatuan ini kemudian harus dikuadratkan:

Dan akhirnya, kami menaikkan tujuh kekuatan:

Artinya, dalam contoh ini kita memiliki tiga fungsi yang berbeda dan dua nesting, sedangkan fungsi terdalam adalah arcsinus, dan fungsi terluar adalah fungsi eksponensial.

Kami mulai memutuskan

Menurut aturan, Anda harus terlebih dahulu mengambil turunan dari fungsi eksternal. Kami melihat tabel turunan dan menemukan turunan dari fungsi eksponensial: Satu-satunya perbedaan adalah bahwa alih-alih "x" kami memiliki ekspresi kompleks, yang tidak meniadakan validitas rumus ini. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks adalah sebagai berikut:

Di bawah tanda hubung, kami memiliki fungsi yang rumit lagi! Tapi itu sudah lebih mudah. Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi dalam adalah arcsinus dan fungsi luar adalah derajat. Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, Anda harus terlebih dahulu mengambil turunan dari derajat.

ARTIKEL TERKAIT