Selanjutnya kita buktikan bahwa akar-akar persamaan frekuensi (4.25) adalah dua nilai positif Ke 2 dan ke 2(dalam teori osilasi, indeks yang lebih rendah berhubungan dengan frekuensi yang lebih rendah, yaitu. k ( Untuk tujuan ini, pertama-tama kita memperkenalkan konsep frekuensi parsial. Istilah ini dipahami sebagai frekuensi alami suatu sistem dengan satu derajat kebebasan, diperoleh dari sistem asli dengan menetapkan semua koordinat umum kecuali satu. Jadi, misalnya, jika dalam persamaan pertama sistem kami (4.22) menerima q 2 = 0, maka frekuensi parsialnya adalah p ( =yjc kamu /a n. Demikian pula, memperbaiki p 2 ~^c n /a 21.

Agar persamaan frekuensi (4.25) mempunyai dua akar real kx Dan k 2, pertama-tama perlu dan cukup grafik fungsi A (ke 2) pada k = 0 akan memiliki ordinat positif, dan kedua, berpotongan dengan sumbu x. Kasus beberapa frekuensi k ( = k. ) , serta mengubah frekuensi terendah menjadi nol, tidak dipertimbangkan di sini. Kondisi pertama terpenuhi, karena d (0) = c„c 22 - Dengan dan> 0 Sangat mudah untuk memverifikasi validitas kondisi kedua dengan mensubstitusi (4.25) k = k = hal 2 ; dalam hal ini, A(p, 2) Informasi semacam ini dalam perhitungan teknik memudahkan prakiraan dan estimasi.

Dua nilai frekuensi yang dihasilkan Ke, Dan ke 2 sesuai dengan solusi khusus berbentuk (4.23), sehingga solusi umum mempunyai bentuk sebagai berikut:

Jadi, masing-masing koordinat umum berpartisipasi dalam proses osilasi kompleks, yang merupakan penambahan gerakan harmonik dengan frekuensi, amplitudo, dan fase yang berbeda (Gbr. 4.6). Frekuensi kt Dan ke 2 Oleh karena itu, dalam kasus umum tidak dapat dibandingkan q v c, bukan fungsi periodik.

Beras. 4.6

Perbandingan amplitudo getaran bebas pada frekuensi alami tetap disebut koefisien bentuk. Untuk sistem dengan dua derajat kebebasan, koefisien bentuk (3.= BJA." ditentukan langsung dari persamaan (4.24):

Jadi, koefisiennya berbentuk p, = V 1 /A [ dan r.,= V.,/A., hanya bergantung pada parameter sistem dan tidak bergantung pada kondisi awal. Koefisien bentuk dikarakterisasi untuk frekuensi alami yang dipertimbangkan Ke. distribusi amplitudo sepanjang rangkaian osilasi. Kombinasi amplitudo ini membentuk apa yang disebut bentuk getaran.

Nilai faktor bentuk negatif berarti osilasi berada di luar fase.

Saat menggunakan program komputer standar, terkadang mereka menggunakan koefisien bentuk yang dinormalisasi. Istilah ini berarti

Dalam indeks koefisien p'g Saya sesuai dengan nomor koordinat, dan indeks G- nomor frekuensi. Jelas sekali atau Sangat mudah untuk memperhatikan bahwa p*

Dalam sistem persamaan (4.28), empat sisanya tidak diketahui A g A 2, oc, cx 2 ditentukan dengan menggunakan kondisi awal:

Kehadiran gaya resistensi linier, seperti halnya dalam sistem dengan satu derajat kebebasan, menyebabkan redaman osilasi bebas.

Beras. 4.7

Contoh. Mari kita tentukan frekuensi alami, frekuensi parsial dan faktor bentuk untuk sistem osilasi yang ditunjukkan pada Gambar. 4.7, A. Mengambil perpindahan massa absolut.g sebagai koordinat umum, = q v x 2 = q. R Mari kita tuliskan persamaan energi kinetik dan energi potensial:

Dengan demikian,

Setelah disubstitusikan ke dalam persamaan frekuensi (4.25) kita peroleh

Selain itu, menurut (4.29)

Pada Gambar. 4.7, B mode getaran diberikan. Pada bentuk osilasi pertama, massa bergerak serempak dalam satu arah, dan pada bentuk kedua, dalam arah berlawanan. Selain itu, dalam kasus terakhir, muncul penampang N, tidak berpartisipasi dalam proses osilasi dengan frekuensinya sendiri k r Inilah yang disebut satuan getaran.

Teori osilasi bebas sistem dengan beberapa derajat kebebasan dibangun dengan cara yang mirip dengan osilasi satu dimensi yang dibahas dalam § 21.

Misalkan energi potensial sistem U, sebagai fungsi koordinat umum, mempunyai nilai minimum pada . Memperkenalkan offset kecil

dan memperluas U hingga suku orde kedua, kita memperoleh energi potensial dalam bentuk kuadrat pasti positif

dimana kita kembali menghitung energi potensial dari nilai minimumnya. Karena koefisien dan dimasukkan dalam (23.2) dikalikan dengan nilai yang sama, jelas bahwa koefisien tersebut selalu dapat dianggap simetris dalam indeksnya

Dalam energi kinetik, yang secara umum berbentuk

(lihat (5.5)), kita masukkan ke dalam koefisien dan, dengan menyatakan konstanta dengan , kita memperolehnya dalam bentuk kuadrat pasti positif

Jadi, fungsi Lagrangian dari sistem yang melakukan osilasi kecil bebas:

Sekarang mari kita buat persamaan gerak. Untuk menentukan turunan yang termasuk di dalamnya, kita tuliskan diferensial total fungsi Lagrange

Karena nilai penjumlahan tentu saja tidak bergantung pada penunjukan indeks penjumlahan, kita mengubah suku pertama dan ketiga dalam tanda kurung i dengan k, dan k dengan i; dengan mempertimbangkan simetri koefisien, kita memperoleh:

Dari sini jelas bahwa

Oleh karena itu persamaan Lagrange

(23,5)

Mereka mewakili sistem persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan.

Menurut aturan umum untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita mencari s fungsi yang tidak diketahui dalam bentuk

di mana ada beberapa konstanta yang belum terdefinisi. Mengganti (23.6) ke dalam sistem (23.5), kita memperoleh reduksi ke sistem persamaan aljabar homogen linier yang harus dipenuhi oleh konstanta:

Agar sistem ini mempunyai solusi bukan nol, determinannya harus hilang

Persamaan (23.8) - yang disebut persamaan karakteristik adalah persamaan derajat s terhadap Ia, dalam kasus umum, memiliki s akar positif nyata yang berbeda (dalam kasus khusus, beberapa akar ini mungkin bertepatan). Besaran yang ditentukan dengan cara ini disebut frekuensi natural sistem.

Realitas dan kepositifan akar persamaan (23.8) sudah terlihat jelas dari pertimbangan fisik. Memang, keberadaan bagian imajiner di y berarti adanya ketergantungan koordinat waktu (23.6) (dan bersamanya kecepatan) dari faktor yang menurun atau meningkat secara eksponensial. Namun kehadiran faktor seperti itu dalam kasus ini tidak dapat diterima, karena akan menyebabkan perubahan energi total sistem dari waktu ke waktu, yang bertentangan dengan hukum kekekalannya.

Hal yang sama dapat diverifikasi secara matematis murni. Mengalikan persamaan (23.7) dengan lalu menjumlahkannya dengan kita mendapatkan:

Bentuk kuadrat pada pembilang dan penyebut ekspresi ini adalah nyata karena realitas dan simetri koefisiennya dan, tentu saja,

Nilai-nilai tersebut juga sangat positif, dan karenanya positif

Setelah frekuensi ditemukan, dengan mensubstitusikan masing-masing frekuensi ke dalam persamaan (23.7), kita dapat mencari nilai koefisien yang bersesuaian.Jika semua akar persamaan karakteristik berbeda, maka seperti diketahui koefisien A sebanding dengan minor dari determinan (23.8), di mana penggantian Kami menunjukkan minor tersebut dengan nilai yang sesuai melalui Do. Oleh karena itu, solusi khusus untuk sistem persamaan diferensial (23.5) memiliki bentuk

di mana adalah konstanta (kompleks) yang berubah-ubah.

Solusi umum diberikan oleh jumlah semua solusi khusus. Lanjut ke bagian sebenarnya, kita tuliskan di formulir

tempat kami memperkenalkan notasi

(23,10)

Jadi, perubahan setiap koordinat sistem dari waktu ke waktu mewakili superposisi osilasi periodik sederhana dengan amplitudo dan fase yang berubah-ubah, tetapi memiliki frekuensi yang terdefinisi dengan baik.

Pertanyaan yang muncul secara alami: apakah mungkin untuk memilih koordinat umum sedemikian rupa sehingga masing-masing koordinat hanya melakukan satu osilasi sederhana? Bentuk integral umum (23.9) menunjukkan jalan untuk memecahkan masalah ini.

Faktanya, dengan mempertimbangkan relasi s (23.9) sebagai sistem persamaan dengan besaran yang tidak diketahui, kita dapat, setelah menyelesaikan sistem ini, menyatakan besaran melalui koordinat. Oleh karena itu, besaran dapat dianggap sebagai koordinat umum baru. Koordinat ini disebut normal (atau utama), dan osilasi periodik sederhana yang dilakukannya disebut osilasi normal sistem.

Koordinat normal memenuhi, seperti yang jelas dari definisinya, persamaan

(23,11)

Artinya dalam koordinat normal persamaan gerak dipecah menjadi persamaan s yang tidak bergantung satu sama lain. Percepatan setiap koordinat normal hanya bergantung pada nilai koordinat yang sama, dan untuk sepenuhnya menentukan ketergantungannya terhadap waktu, perlu diketahui nilai awalnya saja dan kecepatannya yang sesuai. Dengan kata lain, osilasi normal sistem sepenuhnya independen.

Dari penjelasan di atas, jelas bahwa fungsi Lagrange, yang dinyatakan dalam koordinat normal, dipecah menjadi sejumlah ekspresi, yang masing-masing berhubungan dengan osilasi satu dimensi dengan salah satu frekuensi, yaitu memiliki bentuk

(23,12)

dimana adalah konstanta positif. Dari sudut pandang matematika, ini berarti bahwa melalui transformasi (23.9) kedua bentuk kuadrat - energi kinetik (23.3) dan energi potensial (23.2) secara bersamaan direduksi menjadi bentuk diagonal.

Biasanya, koordinat normal dipilih sehingga koefisien kecepatan kuadrat dalam fungsi Lagrange sama dengan 1/2. Untuk melakukan ini, cukup mendefinisikan koordinat normal (sekarang kita menyatakannya) dengan persamaan

Semua hal di atas tidak banyak berubah jika ada banyak akar di antara akar-akar persamaan karakteristik. Bentuk umum (23.9), (23.10) integral persamaan gerak tetap sama (dengan jumlah s suku yang sama) dengan satu-satunya perbedaan bahwa koefisien-koefisien yang bersesuaian dengan beberapa frekuensi tidak lagi merupakan minor dari determinan, yaitu , seperti diketahui, dalam hal ini berubah menjadi nol.

Setiap kelipatan (atau, seperti yang mereka katakan, merosot) frekuensi sesuai dengan banyak koordinat normal yang berbeda serta derajat multiplisitas, tetapi pilihan koordinat normal ini tidak ambigu. Karena koordinat normal (dengan ) yang sama memasukkan energi kinetik dan energi potensial dalam bentuk jumlah yang dapat ditransformasikan secara identik, keduanya dapat dikenai transformasi linier apa pun yang membuat jumlah kuadratnya tidak berubah.

Sangat mudah untuk menemukan koordinat normal untuk getaran tiga dimensi dari satu titik material yang terletak di medan luar yang konstan. Dengan menempatkan titik asal sistem koordinat Kartesius pada titik energi potensial minimum, kita memperoleh energi potensial minimum dalam bentuk kuadrat dari variabel x, y, z, dan energi kinetik.

(m adalah massa partikel) tidak bergantung pada pilihan arah sumbu koordinat. Oleh karena itu, dengan memutar sumbu secara tepat, energi potensial hanya perlu diubah menjadi bentuk diagonal. Kemudian

dan getaran sepanjang sumbu x, y, z adalah getaran utama yang mempunyai frekuensi

Dalam kasus khusus bidang simetris terpusat, ketiga frekuensi ini bertepatan (lihat Soal 3).

Penggunaan koordinat normal memungkinkan untuk mereduksi masalah osilasi paksa suatu sistem dengan beberapa derajat kebebasan menjadi masalah osilasi paksa satu dimensi. Fungsi Lagrange suatu sistem, dengan mempertimbangkan variabel gaya luar yang bekerja padanya, memiliki bentuk

(23,15)

dimana adalah fungsi Lagrangian dari osilasi bebas.

Dengan memasukkan koordinat normal dan bukan koordinat, kita peroleh:

di mana sebutan itu diperkenalkan

Dengan demikian, persamaan gerak

(23.17)

Tugas

1. Tentukan osilasi suatu sistem dengan dua derajat kebebasan jika fungsi Lagrange-nya

Dalam kasus khusus sistem dengan dua derajat kebebasan, bentuk kuadrat T, P, Ф masing-masing akan sama

dan persamaan diferensial getaran kecil akan berbentuk

Mari kita perhatikan osilasi bebas dari sistem konservatif. Pada kasus ini

dan persamaan diferensialnya berbentuk:

Syarat awal berbentuk:

Karena kepastian positif dari bentuk energi kinetik kuadrat, koefisien inersia umum memenuhi hubungan

dan hubungan serupa untuk koefisien kuasielastik

adalah kondisi yang cukup untuk kestabilan posisi kesetimbangan sistem.

Koefisien dan yang menghubungkan koordinat umum dan persamaan (4.5) masing-masing disebut koefisien kopling inersia dan elastis. Jika sistem osilasi mempunyai koefisien , maka disebut sistem dengan sambungan elastis, dan jika disebut sistem dengan sambungan inersia.

Sistem parsial yang sesuai dengan koordinat umum disebut sistem osilasi bersyarat dengan satu derajat kebebasan, diperoleh dari sistem asli jika dilarang mengubah semua koordinat umum kecuali . Frekuensi parsial adalah frekuensi alami sistem parsial:

Karena persamaan (4.5) hanya berisi koordinat umum dan turunan keduanya terhadap waktu, kami mencari solusinya dalam bentuk

dimana jumlahnya masih belum diketahui.

Mengganti (4.8) menjadi (4.5) dan menyamakan koefisien sinus, kita memperoleh sistem aljabar homogen terhadap dan :

Agar sistem aljabar homogen (4.9) memiliki solusi bukan nol, maka sistem tersebut harus mengalami degenerasi, yaitu. determinannya harus sama dengan nol:

Oleh karena itu, solusi (4.7) hanya akan masuk akal untuk nilai-nilai yang memenuhi kondisi (4.9). Memperluas (4.10), kita memperoleh

Persamaan yang disajikan dalam bentuk (4.10), (4.11) atau (4.12) disebut frekuensi Seperti terlihat pada (4.12), persamaan frekuensi merupakan persamaan biquadratic. Nilai yang ditemukan dari (4.10)–(4.12) disebut frekuensi alami osilasi sistem.

Studi tentang akar persamaan frekuensi memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan berikut:

1) jika posisi kesetimbangan stabil, maka kedua akar persamaan frekuensinya positif;

2) frekuensi alami pertama sistem selalu lebih kecil dari frekuensi parsial yang lebih kecil, dan frekuensi alami kedua lebih besar dari frekuensi parsial yang lebih besar.

Untuk sistem osilasi dengan kopling elastis ( = 0), persamaannya

Mari kita tuliskan dua solusi independen parsial yang bersesuaian dengan frekuensi dan , dalam bentuk

di mana digit kedua dalam indeks sesuai dengan nomor frekuensi, atau angka nada getar.

Konstanta tersebut tidak independen, karena sistem (4.9) mengalami degenerasi. Koefisien-koefisien tersebut dihubungkan satu sama lain melalui relasi

Di mana . (4.15)

Di mana . (4.16)

Dengan mempertimbangkan (4.15) dan (4.16), solusi khusus (4.14) akan berbentuk

Osilasi yang persamaannya berbentuk (4.17) disebut fluktuasi utama. Mereka mewakili getaran harmonik dengan frekuensi dan masing-masing. Koefisiennya disebut koefisien distribusi amplitudo. Mereka mencirikan rasio amplitudo pada getaran utama atau membentuk fluktuasi utama.

Koefisien distribusi amplitudo dan, akibatnya, bentuk getaran utama, serta frekuensi alami, ditentukan oleh parameter sistem osilasi itu sendiri dan tidak bergantung pada kondisi awal. Oleh karena itu, modus getaran dan frekuensinya disebut mode getaran sendiri ketika berosilasi sesuai dengan nada yang sesuai.

Solusi umum sistem persamaan (4.5) dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari solusi parsial yang ditemukan (4.17)

Solusi umum berisi empat konstanta yang belum ditentukan, yang harus ditentukan dari kondisi awal (4.6).

Dalam kondisi awal yang berubah-ubah, keduanya konstan dan berbeda dari nol. Artinya perubahan waktu setiap koordinat umum akan menjadi jumlah osilasi harmonik dengan frekuensi dan . Dan osilasi seperti itu tidak hanya non-harmonik, tetapi secara umum juga tidak periodik.

Mari kita perhatikan kasus osilasi bebas sistem, ketika frekuensi alami osilasi sistem sedikit berbeda satu sama lain:

Mari kita tunjukkan perbedaan argumen sinus dalam solusi umum (4.18) persamaan osilasi bebas

Ketika nilainya , dan seiring bertambahnya waktu, ketergantungan ini meningkat sangat lambat karena kecilnya. Kemudian

Dengan memperhatikan persamaan terakhir, solusi umum persamaan getaran bebas (4.18) dapat ditulis sebagai:

Dalam persamaan ini

Karena ekspresi (4.21) bergantung pada dan , dan sudut berubah perlahan terhadap waktu, osilasi yang dipertimbangkan (4.20) akan menjadi osilasi dengan amplitudo yang bervariasi secara periodik. Periode perubahan amplitudo dalam hal ini jauh lebih lama dibandingkan periode osilasi (Gbr. 4.1). Jika koefisien distribusi amplitudo mempunyai tanda yang berbeda, maka minimum sama dengan maksimum dan sebaliknya. Ketika getaran utama pertama meningkat, intensitas getaran utama kedua berkurang dan sebaliknya, yaitu energi pergerakan sistem secara periodik tampak terkonsentrasi pada satu atau beberapa mata rantai dari sistem getaran ini. Fenomena ini disebut mengalahkan.

Pendekatan lain untuk memecahkan masalah osilasi bebas sistem juga dimungkinkan - dengan menemukan beberapa koordinat umum baru dan disebut normal atau utama, yang dalam kondisi awal apa pun, geraknya akan berfrekuensi tunggal dan harmonis.

Hubungan antara koordinat umum dan , dipilih secara sewenang-wenang, dan koordinat utama dapat dinyatakan sebagai berikut:

dimana dan adalah koefisien distribusi amplitudo (koefisien bentuk). Dapat ditunjukkan bahwa peralihan dari koordinat asal ke koordinat utama membawa bentuk kuadrat energi kinetik dan potensial ke bentuk kanonik:

Mengganti ekspresi (4.23) yang diperoleh dan ke dalam persamaan Lagrange jenis kedua, kita memperoleh persamaan osilasi kecil sistem dalam koordinat utama: . Ekspresi energi kinetik dan potensial akan memiliki bentuk kanonik: dan

Mari kita perhatikan osilasi kecil suatu sistem dengan dua derajat kebebasan, yang dipengaruhi oleh gaya medan potensial dan gaya yang berubah secara berkala terhadap waktu. Pergerakan sistem yang dihasilkan disebut osilasi paksa.

Biarkan gaya-gaya umum yang mengganggu berubah menurut hukum harmonik terhadap waktu, mempunyai periode dan fase awal yang sama. Maka persamaan gerak sistem yang ditinjau akan berbentuk:

Persamaan gerak dalam kasus yang dibahas adalah sistem persamaan diferensial linier orde dua dengan koefisien konstan dan ruas kanan.

Pergi ke koordinat utama

Untuk memudahkan mempelajari persamaan gerak, mari kita beralih ke koordinat utama sistem.Hubungan antar koordinat ditentukan oleh rumus paragraf sebelumnya yang berbentuk:

Mari kita nyatakan dengan cara yang sama gaya-gaya umum yang bersesuaian dengan koordinat normal.Karena gaya-gaya umum mewakili koefisien untuk variasi-variasi yang bersesuaian dari koordinat-koordinat umum dalam ekspresi kerja dasar gaya-gaya yang bekerja pada sistem, maka

Karena itu:

Dengan demikian, persamaan gerak pada koordinat utama berbentuk:

Persamaan osilasi paksa suatu sistem dengan dua derajat kebebasan pada koordinat normal tidak bergantung satu sama lain dan dapat diintegrasikan secara terpisah.

Frekuensi kritis dari kekuatan pengganggu

Persamaan atau menentukan sifat osilasi dari perubahan koordinat normal, dipelajari secara rinci ketika mempertimbangkan osilasi paksa suatu titik sepanjang garis lurus, karena persamaan diferensial gerak dalam kedua kasus adalah sama. Khususnya, jika frekuensi gaya pengganggu sama dengan frekuensi salah satu osilasi alami sistem, atau maka penyelesaiannya akan memasukkan waktu t sebagai faktornya. Akibatnya, salah satu koordinat umum normal untuk t yang cukup besar akan menjadi besar, atau kita mempunyai fenomena resonansi.