ფურიეს სერიის გაფართოება გრაფიკის მაგალითების მიხედვით. ფუნქციების გაფართოება დენის სერიებში

როგორ ჩავსვათ მათემატიკური ფორმულები საიტზე?

თუ ოდესმე დაგჭირდებათ ვებ გვერდზე ერთი ან ორი მათემატიკური ფორმულის დამატება, მაშინ ამის გაკეთების უმარტივესი გზაა სტატიაში აღწერილი: მათემატიკური ფორმულები ადვილად ჩასმულია საიტზე სურათების სახით, რომლებსაც Wolfram Alpha ავტომატურად ქმნის. გარდა სიმარტივისა, ეს უნივერსალური მეთოდი ხელს შეუწყობს საიტის ხილვადობის გაუმჯობესებას საძიებო სისტემებში. უკვე დიდი ხანია მუშაობს (და მგონი სამუდამოდ იმუშავებს), მაგრამ მორალურად მოძველებულია.

თუ, მეორე მხრივ, თქვენ მუდმივად იყენებთ მათემატიკურ ფორმულებს თქვენს საიტზე, მაშინ გირჩევთ გამოიყენოთ MathJax, სპეციალური JavaScript ბიბლიოთეკა, რომელიც აჩვენებს მათემატიკურ აღნიშვნას ვებ ბრაუზერებში MathML, LaTeX ან ASCIIMathML მარკირების გამოყენებით.

MathJax–ის გამოყენების დასაწყებად ორი გზა არსებობს: (1) მარტივი კოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ სწრაფად დააკავშიროთ MathJax სკრიპტი თქვენს საიტზე, რომელიც ავტომატურად ჩაიტვირთება დისტანციური სერვერიდან საჭირო დროს (სერვერების სია); (2) ატვირთეთ MathJax სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან თქვენს სერვერზე და დააკავშირეთ იგი თქვენი საიტის ყველა გვერდზე. მეორე მეთოდი უფრო რთული და შრომატევადია და საშუალებას მოგცემთ დააჩქაროთ თქვენი საიტის გვერდების ჩატვირთვა და თუ მშობელი MathJax სერვერი რაიმე მიზეზით დროებით მიუწვდომელი გახდება, ეს არანაირად არ იმოქმედებს თქვენს საიტზე. მიუხედავად ამ უპირატესობებისა, მე ავირჩიე პირველი მეთოდი, რადგან ის უფრო მარტივია, უფრო სწრაფი და არ საჭიროებს ტექნიკურ უნარებს. მიჰყევით ჩემს მაგალითს და 5 წუთში შეძლებთ გამოიყენოთ MathJax-ის ყველა ფუნქცია თქვენს ვებსაიტზე.

შეგიძლიათ დააკავშიროთ MathJax ბიბლიოთეკის სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან კოდის ორი ვარიანტის გამოყენებით, რომელიც აღებულია MathJax-ის მთავარი ვებსაიტიდან ან დოკუმენტაციის გვერდიდან:

კოდის ერთ-ერთი ვარიანტი უნდა იყოს კოპირებული და ჩასმული თქვენი ვებ გვერდის კოდში, სასურველია ტეგებს შორის დაან უშუალოდ ტეგის შემდეგ . პირველი ვარიანტის მიხედვით MathJax უფრო სწრაფად იტვირთება და ნაკლებად ანელებს გვერდს. მაგრამ მეორე ვარიანტი ავტომატურად აკონტროლებს და ატვირთავს MathJax-ის უახლეს ვერსიებს. თუ პირველ კოდს ჩასვამთ, მაშინ ის პერიოდულად უნდა განახლდეს. თუ მეორე კოდს ჩასვით, მაშინ გვერდები უფრო ნელა იტვირთება, მაგრამ არ დაგჭირდებათ MathJax-ის განახლებების მუდმივი მონიტორინგი.

MathJax-ის დასაკავშირებლად უმარტივესი გზაა Blogger-ში ან WordPress-ში: საიტის მართვის პანელში დაამატეთ ვიჯეტი, რომელიც შექმნილია მესამე მხარის JavaScript კოდის ჩასართავად, დააკოპირეთ მასში ზემოთ წარმოდგენილი დატვირთვის კოდის პირველი ან მეორე ვერსია და მოათავსეთ ვიჯეტი უფრო ახლოს. შაბლონის დასაწყისამდე (სხვათა შორის, ეს საერთოდ არ არის საჭირო, რადგან MathJax სკრიპტი ასინქრონულად იტვირთება). Სულ ეს არის. ახლა ისწავლეთ MathML, LaTeX და ASCIIMathML მარკირების სინტაქსი და მზად ხართ მათემატიკის ფორმულების ჩასართავად თქვენს ვებ გვერდებში.

ნებისმიერი ფრაქტალი აგებულია გარკვეული წესის მიხედვით, რომელიც თანმიმდევრულად გამოიყენება შეუზღუდავი რაოდენობით. ყოველ ასეთ დროს გამეორებას უწოდებენ.

მენგერის ღრუბლის ასაგებად განმეორებითი ალგორითმი საკმაოდ მარტივია: ორიგინალური კუბი 1-ლი გვერდით იყოფა მისი სახეების პარალელურად სიბრტყეებით 27 თანაბარ კუბებად. მისგან ამოღებულია ერთი ცენტრალური კუბი და მის მიმდებარე 6 კუბი სახეების გასწვრივ. გამოდის ნაკრები, რომელიც შედგება 20 დარჩენილი პატარა კუბისაგან. იგივეს ვაკეთებთ თითოეულ ამ კუბით, მივიღებთ კომპლექტს, რომელიც შედგება 400 პატარა კუბისაგან. ამ პროცესის განუსაზღვრელი ვადით გაგრძელებით, ვიღებთ მენგერის სპონგს.

ფუნქციონალური სერიების თეორიაში ცენტრალური ადგილი უკავია განყოფილებას, რომელიც ეძღვნება ფუნქციის სერიად გაფართოებას.

ამრიგად, პრობლემა დგება: მოცემული ფუნქციისთვის საჭიროა ასეთი სიმძლავრის სერიის პოვნა

რომელიც რაღაც შუალედზე იკრიბებოდა და მისი ჯამი ტოლი იყო
, იმათ.

= ..

ამ ამოცანას ე.წ ფუნქციის გაფართოების პრობლემა დენის სერიაში.

ფუნქციის სიმძლავრის სერიაში გაფართოების აუცილებელი პირობაარის მისი დიფერენციალურობა უსასრულო რაოდენობის ჯერ - ეს გამომდინარეობს კონვერგენტული სიმძლავრის სერიის თვისებებიდან. ეს პირობა დაკმაყოფილებულია, როგორც წესი, ელემენტარული ფუნქციებისთვის მათი განმარტების სფეროში.

ასე რომ, დავუშვათ, რომ ფუნქცია
აქვს ნებისმიერი რიგის წარმოებულები. შეიძლება თუ არა მისი გაფართოება სიმძლავრის სერიაში, თუ ასეა, როგორ მოვძებნოთ ეს სერია? პრობლემის მეორე ნაწილი უფრო ადვილი მოსაგვარებელია, ამიტომ დავიწყოთ ამით.

დავუშვათ, რომ ფუნქცია
შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც წერტილის შემცველი ინტერვალში შეკრებილი სიმძლავრის სერიის ჯამი X 0 :

= .. (*)

სადაც ა 0 , ა 1 , ა 2 ,...,ა პ ,... – გაურკვეველი (ჯერჯერობით) კოეფიციენტები.

მოდით ჩავდოთ ტოლობის (*) მნიშვნელობა x = x 0 , შემდეგ მივიღებთ

ჩვენ განვასხვავებთ სიმძლავრის სერიას (*) ტერმინების მიხედვით

= ..

და აქ აყენებს x = x 0 , ვიღებთ

შემდეგი დიფერენცირებით, ჩვენ ვიღებთ სერიას

= ..

ვარაუდით x = x 0 , ვიღებთ
, სად
.

შემდეგ პ-ნაკეც დიფერენციაცია მივიღებთ

ბოლო თანასწორობაში ვარაუდით x = x 0 , ვიღებთ
, სად

ასე რომ, კოეფიციენტები ნაპოვნია

,
,
, …,
,….,

რომლის ჩანაცვლება მწკრივად (*), ვიღებთ

მიღებულ სერიას ე.წ ტეილორთან ახლოს ფუნქციისთვის
.

ამრიგად, ჩვენ დავადგინეთ, რომ თუ ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს სიმძლავრის სერიებად (x - x 0 ), მაშინ ეს გაფართოება უნიკალურია და შედეგად მიღებული სერია აუცილებლად ტეილორის სერიაა.

გაითვალისწინეთ, რომ ტეილორის სერიების მიღება შესაძლებელია ნებისმიერი ფუნქციისთვის, რომელსაც აქვს ნებისმიერი რიგის წარმოებულები წერტილში x = x 0 . მაგრამ ეს ჯერ კიდევ არ ნიშნავს, რომ ფუნქციასა და მიღებულ სერიებს შორის შეიძლება დაიდოს თანაბარი ნიშანი, ე.ი. რომ სერიების ჯამი ორიგინალური ფუნქციის ტოლია. ჯერ ერთი, ასეთი თანასწორობა შეიძლება იყოს აზრი მხოლოდ კონვერგენციის რეგიონში და ფუნქციისთვის მიღებული ტეილორის სერია შეიძლება განსხვავდებოდეს, და მეორეც, თუ ტეილორის სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მისი ჯამი შეიძლება არ ემთხვეოდეს თავდაპირველ ფუნქციას.

3.2. საკმარისი პირობები ფუნქციის ტეილორის სერიაში გაფართოებისთვის

ჩამოვაყალიბოთ განცხადება, რომლის დახმარებითაც აღნიშნული პრობლემა მოგვარდება.

თუ ფუნქცია
x წერტილის რომელიღაც სამეზობლოში 0 აქვს წარმოებულები (ნ+ 1)-ე რიგის ჩათვლით, მაშინ ამ სამეზობლოში გვაქვსფორმულა ტეილორი

სადაცრ ნ (X)-ტეილორის ფორმულის ნარჩენი ტერმინი - აქვს ფორმა (ლაგრანგის ფორმა)

სადაც წერტილიξ მდებარეობს x-სა და x-ს შორის 0 .

გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს განსხვავება ტეილორის სერიებსა და ტეილორის ფორმულებს შორის: ტეილორის ფორმულა არის სასრული ჯამი, ე.ი. P -ფიქსირებული ნომერი.

შეგახსენებთ, რომ სერიის ჯამი ს(x) შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ნაწილობრივი ჯამების ფუნქციური თანმიმდევრობის ზღვარი ს პ (x) რაღაც ინტერვალით X:

ამის მიხედვით, ფუნქციის გაფართოება ტეილორის სერიაში ნიშნავს ისეთი სერიების პოვნას, რომ ნებისმიერისთვის XX

ტეილორის ფორმულას ვწერთ იმ ფორმით, სადაც

შეამჩნია, რომ
განსაზღვრავს შეცდომას, რომელსაც მივიღებთ, შეცვალეთ ფუნქცია ვ(x) მრავალწევრი ს ნ (x).

Თუ
, მაშინ
, იმათ. ფუნქცია ფართოვდება ტეილორის სერიაში. პირიქით, თუ
, მაშინ
.

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ ფუნქციის ტეილორის სერიაში გაფართოების კრიტერიუმი.

იმისათვის, რომ რაღაც ინტერვალში ფუნქციავ(x) ფართოვდება ტეილორის სერიაში, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ინტერვალზე
, სადრ ნ (x) არის ტეილორის სერიის დარჩენილი ნაწილი.

ჩამოყალიბებული კრიტერიუმის დახმარებით შეიძლება მიიღოთ საკმარისიფუნქციის ტეილორის სერიაში გაფართოების პირობები.

თუ შიგნითx წერტილის რაღაც სამეზობლო 0 ფუნქციის ყველა წარმოებულის აბსოლუტური მნიშვნელობები შემოიფარგლება იგივე რიცხვით M≥ 0, ე.ი.

, ტo ამ სამეზობლოში ფუნქცია გაფართოვდება ტეილორის სერიაში.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს ალგორითმიფუნქციის გაფართოება ვ(x) ტეილორის სერიალშიწერტილის სიახლოვეს X 0 :

1. წარმოებული ფუნქციების მოძიება ვ(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობას და მისი წარმოებულების მნიშვნელობებს წერტილში X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), ვ“ (x 0 ), ვ“ (x 0 ), ვ (n) (x 0 ),…

3. ჩვენ ფორმალურად ვწერთ ტეილორის სერიებს და ვპოულობთ მიღებული სიმძლავრის რიგის კონვერგენციის რეგიონს.

4. ვამოწმებთ საკმარისი პირობების შესრულებას, ე.ი. დაამყარონ რისთვისაც Xკონვერგენციის რეგიონიდან, დარჩენილი ვადა რ ნ (x) მიდრეკილია ნულისკენ
ან
.

ტეილორის სერიებში ფუნქციების გაფართოება ამ ალგორითმის მიხედვით ე.წ ტეილორის სერიებში ფუნქციის გაფართოება განსაზღვრებითან პირდაპირი დაშლა.

როგორ ჩავსვათ მათემატიკური ფორმულები საიტზე?

თუ ფუნქცია f(x)აქვს რაღაც ინტერვალზე, რომელიც შეიცავს წერტილს ა, ყველა შეკვეთის წარმოებულები, მაშინ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის ფორმულა:

სადაც rn- ეგრეთ წოდებული ნარჩენი ვადა ან სერიის დარჩენილი ნაწილი, ის შეიძლება შეფასდეს ლაგრანგის ფორმულის გამოყენებით:

, სადაც რიცხვი x არის ჩასმული შორის Xდა ა.

თუ რაიმე ღირებულებისთვის x r n®0 ზე ნ®¥, შემდეგ ლიმიტში ამ მნიშვნელობის ტეილორის ფორმულა გადაიქცევა კონვერგენტურ ფორმულად ტეილორის სერია:

ასე რომ ფუნქცია f(x)განხილულ წერტილში შეიძლება გაფართოვდეს ტეილორის სერიაში X, თუ:

1) მას აქვს ყველა ორდერის წარმოებულები;

2) აწყობილი სერია იყრის თავს ამ მომენტში.

ზე ა=0 მივიღებთ სერიას, რომელსაც ეწოდება მაკლარინთან ახლოს:

მაგალითი 1 f(x)= 2x.

გამოსავალი. მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის და მისი წარმოებულების მნიშვნელობები X=0

f(x) = 2x, ვ( 0) = 2 0 =1;

f¢ (x) = 2x ln2, ვ¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢ (x) = 2x 2 2-ში, f¢¢( 0) = 2 0 ჟურნალი 2 2= ჟურნალი 2 2;

f(n)(x) = 2xლნ ნ 2, f(n)( 0) = 2 0 ლნ ნ 2=ln ნ 2.

წარმოებულების მიღებული მნიშვნელობების ტეილორის სერიის ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

ამ სერიის კონვერგენციის რადიუსი უდრის უსასრულობას, ამიტომ ეს გაფართოება მოქმედებს -¥<x<+¥.

მაგალითი 2 X+4) ფუნქციისთვის f(x)=ე x.

გამოსავალი. ე ფუნქციის წარმოებულების მოძიება xდა მათი ღირებულებები წერტილში X=-4.

f(x)= ე x, ვ(-4) = ე -4 ;

f¢ (x)= ე x, ვ¢(-4) = ე -4 ;

f¢¢ (x)= ე x, f¢¢(-4) = ე -4 ;

f(n)(x)= ე x, f(n)( -4) = ე -4 .

ამრიგად, ფუნქციის სასურველ ტეილორის სერიას აქვს ფორმა:

ეს დაშლა ასევე მოქმედებს -¥-ისთვის<x<+¥.

მაგალითი 3 . ფუნქციის გაფართოება f(x)= ლნ xსერიებში გრადუსით ( X- 1),

(ანუ ტეილორის სერიაში წერტილის სიახლოვეს X=1).

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულებს.

ამ მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ სასურველ ტეილორის სერიას:

დ'ალმბერის ტესტის დახმარებით შეიძლება გადავამოწმოთ, რომ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, როცა

½ X- 1½<1. Действительно,

სერია იყრის თავს, თუ ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 ვიღებთ ალტერნატიულ სერიას, რომელიც აკმაყოფილებს ლაიბნიცის ტესტის პირობებს. ზე X=0 ფუნქცია არ არის განსაზღვრული. ამრიგად, ტეილორის სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის ნახევრად ღია ინტერვალი (0;2].

წარმოვადგინოთ ამ გზით მიღებული გაფართოებები მაკლარინის სერიაში (ანუ წერტილის მიმდებარედ X=0) ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციისთვის:

(2) ,

(3) ,

(ბოლო გაფართოება ე.წ ბინომალური სერია)

მაგალითი 4 . გააფართოვეთ ფუნქცია ძალაუფლების სერიაში

გამოსავალი. დაშლისას (1), ჩვენ ვცვლით Xზე - X 2, ჩვენ ვიღებთ:

მაგალითი 5 . გააფართოვეთ ფუნქცია მაკლარინის სერიებში

გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს

ფორმულის გამოყენებით (4) შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩანაცვლება ნაცვლად Xფორმულაში -X, ვიღებთ:

აქედან ვხვდებით:

ფრჩხილების გაფართოება, სერიის ტერმინების გადაწყობა და მსგავსი ტერმინების შემცირება, მივიღებთ

ეს სერია ერთმანეთს ემთხვევა ინტერვალში

(-1;1) ვინაიდან იგი მიღებულია ორი სერიიდან, რომელთაგან თითოეული ერთდება ამ ინტერვალში.

კომენტარი .

ფორმულები (1)-(5) ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის სერიის შესაბამისი ფუნქციების გაფართოებისთვის, ე.ი. ფუნქციების გაფართოებისთვის დადებით მთელ რიცხვებში ( ჰა). ამისათვის საჭიროა მოცემულ ფუნქციაზე ისეთი იდენტური გარდაქმნების შესრულება, რათა მივიღოთ ერთ-ერთი ფუნქცია (1) - (5), რომელშიც ნაცვლად Xღირს k( ჰა) m, სადაც k არის მუდმივი რიცხვი, m არის დადებითი მთელი რიცხვი. ხშირად მოსახერხებელია ცვლადის შეცვლა ტ=ჰადა გააფართოვეთ მიღებული ფუნქცია t-ის მიმართ მაკლარინის სერიაში.

ეს მეთოდი ასახავს თეორემას სიმძლავრის სერიაში ფუნქციის გაფართოების უნიკალურობის შესახებ. ამ თეორემის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ ერთი და იმავე წერტილის სიახლოვეს ვერ მიიღება ორი განსხვავებული სიმძლავრის სერია, რომელიც გადაიყრება ერთსა და იმავე ფუნქციას, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ განხორციელდება მისი გაფართოება.

მაგალითი 6 . გააფართოვეთ ფუნქცია ტეილორის სერიაში წერტილის სამეზობლოში X=3.

გამოსავალი. ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს, როგორც ადრე, ტეილორის სერიის განმარტების გამოყენებით, რისთვისაც აუცილებელია ფუნქციების წარმოებულების და მათი მნიშვნელობების პოვნა. X=3. თუმცა, უფრო ადვილი იქნება არსებული დაშლის გამოყენება (5):

შედეგად მიღებული სერია იყრის თავს ან -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

მაგალითი 7 . დაწერეთ ტეილორის სერია ძალაში ( X-1) თვისებები .

გამოსავალი.

სერია იყრის თავს , ან 2< x 5 ფუნტი.

პერიოდული ფუნქციების ფურიეს სერია 2π პერიოდით.

ფურიეს სერია საშუალებას გაძლევთ შეისწავლოთ პერიოდული ფუნქციები კომპონენტებად დაშლით. ალტერნატიული დენები და ძაბვები, გადაადგილებები, ამწე მექანიზმების სიჩქარე და აჩქარება და აკუსტიკური ტალღები პერიოდული ფუნქციების ტიპიური პრაქტიკული გამოყენებაა საინჟინრო გამოთვლებში.

ფურიეს სერიის გაფართოება ემყარება დაშვებას, რომ ყველა პრაქტიკული მნიშვნელობის ფუნქცია ინტერვალში -π ≤ x ≤ π შეიძლება გამოიხატოს როგორც კონვერგენტული ტრიგონომეტრიული სერია (სერიები ითვლება კონვერგენტურად, თუ მისი ტერმინებისგან შემდგარი ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა იყრის თავს) :

სტანდარტული (=ჩვეულებრივი) აღნიშვნა sinx-ისა და cosx-ის ჯამის მეშვეობით

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

სადაც a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. არის რეალური მუდმივები, ე.ი.

სადაც, -π-დან π-მდე დიაპაზონისთვის, ფურიეს სერიის კოეფიციენტები გამოითვლება ფორმულებით:

a o ,a n და b n კოეფიციენტები ეწოდება ფურიეს კოეფიციენტები, და თუ მათი პოვნა შესაძლებელია, მაშინ სერია (1) ეწოდება ფურიეს მახლობლად, f(x) ფუნქციის შესაბამისი. სერიისთვის (1) ტერმინს (a 1 cosx+b 1 sinx) ეწოდება პირველი ან მთავარი ჰარმონიკა,

სერიის დაწერის კიდევ ერთი გზაა მიმართების გამოყენება acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

სადაც a o არის მუდმივი, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 არის სხვადასხვა კომპონენტის ამპლიტუდები და უდრის a n \ u003d arctg a n /b n.

სერიისთვის (1) ტერმინს (a 1 cosx + b 1 sinx) ან c 1 sin (x + α 1) ეწოდება პირველი ან მთავარი ჰარმონიკა,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ან c 2 sin(2x+α 2) ე.წ. მეორე ჰარმონიულიდა ასე შემდეგ.

რთული სიგნალის ზუსტად წარმოსადგენად, ჩვეულებრივ საჭიროა ტერმინების უსასრულო რაოდენობა. თუმცა, ბევრ პრაქტიკულ პრობლემაში საკმარისია მხოლოდ პირველი რამდენიმე ტერმინის გათვალისწინება.

არაპერიოდული ფუნქციების ფურიეს სერია 2π პერიოდით.

არაპერიოდული ფუნქციების დაშლა.

თუ ფუნქცია f(x) არაპერიოდულია, მაშინ ის არ შეიძლება გაფართოვდეს ფურიეს სერიაში x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. თუმცა, შესაძლებელია ფურიეს სერიის განსაზღვრა, რომელიც წარმოადგენს ფუნქციას 2π სიგანის ნებისმიერ დიაპაზონში.

არაპერიოდული ფუნქციის გათვალისწინებით, შეიძლება ახალი ფუნქციის შედგენა f(x) მნიშვნელობების არჩევით გარკვეულ დიაპაზონში და მათი გამეორებით ამ დიაპაზონის გარეთ 2π ინტერვალით. ვინაიდან ახალი ფუნქცია პერიოდულია 2π პერიოდით, ის შეიძლება გაფართოვდეს ფურიეს სერიაში x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. მაგალითად, ფუნქცია f(x)=x არ არის პერიოდული. თუმცა, თუ საჭიროა მისი გაფართოება ფურიეს სერიაში 0-დან 2π-მდე ინტერვალით, მაშინ პერიოდული ფუნქცია 2π პერიოდით აგებულია ამ ინტერვალის გარეთ (როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე).

არაპერიოდული ფუნქციებისთვის, როგორიცაა f(x)=x, ფურიეს სერიის ჯამი უდრის f(x)-ის მნიშვნელობას მოცემულ დიაპაზონში ყველა წერტილში, მაგრამ ის არ არის ტოლი f(x) წერტილებისთვის. დიაპაზონის გარეთ. 2π დიაპაზონში არაპერიოდული ფუნქციის ფურიეს სერიის საპოვნელად გამოიყენება ფურიეს კოეფიციენტების იგივე ფორმულა.

ლუწი და კენტი ფუნქციები.

ისინი ამბობენ ფუნქციას y=f(x) თუნდაცთუ f(-x)=f(x) x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. ლუწი ფუნქციების გრაფიკები ყოველთვის სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ (ანუ ისინი ასახულია). ლუწი ფუნქციების ორი მაგალითი: y=x 2 და y=cosx.

ისინი ამბობენ, რომ ფუნქცია y=f(x) უცნაური,თუ f(-x)=-f(x) x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. უცნაური ფუნქციების გრაფიკები ყოველთვის სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

ბევრი ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

ფურიეს სერიის გაფართოება კოსინუსებში.

ლუწი პერიოდული ფუნქციის f(x) ფურიეს სერია 2π პერიოდით შეიცავს მხოლოდ კოსინუსს (ე.ი. არ შეიცავს სინუს წევრებს) და შეიძლება შეიცავდეს მუდმივ წევრს. შესაბამისად,

სად არის ფურიეს სერიის კოეფიციენტები,

კენტი პერიოდული ფუნქციის ფ(x) ფუნქციის ფურიეს სერია 2π პერიოდით შეიცავს მხოლოდ ნაწილებს სინუსებით (ანუ არ შეიცავს კოსინუსებთან ტერმინებს).

შესაბამისად,

სად არის ფურიეს სერიის კოეფიციენტები,

ფურიეს სერია ნახევარ ციკლზე.

თუ ფუნქცია განისაზღვრება დიაპაზონში, ვთქვათ 0-დან π, და არა მხოლოდ 0-დან 2π-მდე, ის შეიძლება გაფართოვდეს სერიებად მხოლოდ სინუსების ან მხოლოდ კოსინუსების თვალსაზრისით. შედეგად მიღებული ფურიეს სერია ე.წ ფურიეს მახლობლად ნახევარ ციკლზე.

თუ გსურთ მიიღოთ დაშლა ფურიე ნახევარციკლზე კოსინუსებშიფუნქციები f(x) 0-დან π დიაპაზონში, მაშინ აუცილებელია ლუწი პერიოდული ფუნქციის შედგენა. ნახ. ქვემოთ მოცემულია ფუნქცია f(x)=x, რომელიც აგებულია x=0-დან x=π-მდე ინტერვალზე. ვინაიდან ლუწი ფუნქცია სიმეტრიულია f(x) ღერძის მიმართ, ვხატავთ AB წრფეს, როგორც ნაჩვენებია ნახ. ქვევით. თუ ჩავთვლით, რომ განხილული ინტერვალის მიღმა, მიღებული სამკუთხა ფორმა პერიოდულია 2π პერიოდით, მაშინ საბოლოო გრაფიკს აქვს ფორმა, ჩვენება. ნახ. ქვევით. ვინაიდან საჭიროა ფურიეს გაფართოების მიღება კოსინუსებში, როგორც ადრე, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფურიეს კოეფიციენტებს a o და a n.

თუ უნდა მიიღოთ სინუს ნახევარციკლური ფურიეს გაფართოებაფუნქცია f(x) 0-დან π დიაპაზონში, მაშინ აუცილებელია კენტი პერიოდული ფუნქციის შედგენა. ნახ. ქვემოთ მოცემულია ფუნქცია f(x)=x, რომელიც აგებულია x=0-დან x=π-მდე ინტერვალზე. ვინაიდან კენტი ფუნქცია სიმეტრიულია საწყისის მიმართ, ჩვენ ვაშენებთ CD ხაზს, როგორც ნაჩვენებია ნახ. თუ ვივარაუდებთ, რომ განხილული ინტერვალის გარეთ მიღებული ხერხის კბილის სიგნალი პერიოდულია 2π პერიოდით, მაშინ საბოლოო გრაფიკს აქვს ნახ. ვინაიდან საჭიროა ფურიეს გაფართოების მიღება ნახევარციკლზე სინუსების მიხედვით, როგორც ადრე, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფურიეს კოეფიციენტს. ბ

ფურიეს სერია თვითნებური ინტერვალისთვის.

პერიოდული ფუნქციის გაფართოება პერიოდით L.

პერიოდული ფუნქცია f(x) მეორდება, როცა x იზრდება L-ით, ე.ი. f(x+L)=f(x). ადრე განხილული ფუნქციებიდან 2π პერიოდით ფუნქციებზე გადასვლა L პერიოდით საკმაოდ მარტივია, რადგან ეს შეიძლება გაკეთდეს ცვლადის ცვლილების გამოყენებით.

f(x) ფუნქციის ფურიეს სერიის საპოვნელად -L/2≤x≤L/2 დიაპაზონში, შემოგვაქვს ახალი ცვლადი u ისე, რომ f(x) ფუნქციას ჰქონდეს 2π პერიოდი u მიმართ. თუ u=2πx/L, მაშინ x=-L/2 u=-π და x=L/2 u=π. ასევე მოდით f(x)=f(Lu/2π)=F(u). ფურიეს სერიებს F(u) აქვს ფორმა

(ინტეგრაციის ლიმიტები შეიძლება შეიცვალოს L სიგრძის ნებისმიერი ინტერვალით, მაგალითად, 0-დან ლ-მდე)

ფურიეს სერია ნახევარციკლზე L≠2π ინტერვალში მოცემული ფუნქციებისთვის.

ჩანაცვლებისთვის u=πx/L ინტერვალი x=0-დან x=L-მდე შეესაბამება u=0-დან u=π-მდე ინტერვალს. მაშასადამე, ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს სერიებად მხოლოდ კოსინუსების ან მხოლოდ სინუსების მიხედვით, ე.ი. in ფურიეს სერია ნახევარ ციკლზე.

კოსინუსებში გაფართოებას 0-დან L-მდე აქვს ფორმა

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

3.2. საკმარისი პირობები ფუნქციის ტეილორის სერიაში გაფართოებისთვის

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ