უპირველეს ყოვლისა, იმის გასარკვევად, შეიძლება თუ არა ნულის გაყოფა უარყოფით რიცხვზე, უნდა გვახსოვდეს, როგორ ხდება ზოგადად უარყოფითი რიცხვების დაყოფა. გაყოფის მათემატიკური მოქმედება არის გამრავლების ინვერსია.

ეს შეიძლება აიხსნას შემდეგნაირად: თუ a და b რაციონალური რიცხვებია, მაშინ a-ზე გაყოფა ნიშნავს c რიცხვის პოვნას, რომელიც b-ზე გამრავლებისას მივიღებთ რიცხვს a. გაყოფის ეს განმარტება მართალია როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვებისთვის, თუ გამყოფები არ არის ნულოვანი. ამ შემთხვევაში მკაცრად არის დაცული პირობა, რომ ნულზე გაყოფა შეუძლებელია.

ამიტომ, მაგალითად, რიცხვი 32 რომ გავყოთ -8 რიცხვზე, უნდა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას -8 რიცხვზე მივიღებთ რიცხვს 32. ეს რიცხვი იქნება -4, ვინაიდან

(-4) x (-8) \u003d 32. ნიშნები ემატება ერთმანეთში და მინუს მინუს გამოიწვევს პლუსს.

Ამგვარად:

რაციონალური რიცხვების გაყოფის სხვა მაგალითები:

21: 7 = 3, ვინაიდან 7 x 3 = 21,

(−9) : (−3) = 3 ვინაიდან 3 (−3) = −9.

უარყოფითი რიცხვების გაყოფის წესები

კოეფიციენტის მოდულის დასადგენად აუცილებელია გამყოფი რიცხვის მოდული გაყოფა გამყოფის მოდულზე. მნიშვნელოვანია გავითვალისწინოთ ოპერაციის ორივე ელემენტის ნიშანი.

ერთი და იგივე ნიშნით ორი რიცხვის გასაყოფად, დივიდენდის მოდული უნდა გაყოთ გამყოფის მოდულზე და შედეგის წინ დააყენოთ პლუს ნიშანი.

სხვადასხვა ნიშნით ორი რიცხვის გასაყოფად, დივიდენდის მოდული უნდა გაყოთ გამყოფის მოდულზე, მაგრამ შედეგის წინ დააყენოთ მინუს ნიშანი და არ აქვს მნიშვნელობა რომელი ელემენტი, გამყოფი თუ დივიდენდი იყო უარყოფითი.

მითითებული წესები და მიმართებები გამრავლებისა და გაყოფის შედეგებს შორის, რომლებიც ცნობილია დადებითი რიცხვებით, ასევე მოქმედებს ყველა რაციონალურ რიცხვზე, გარდა ნულისა.

არსებობს ნულის მნიშვნელოვანი წესი: ნულის კოეფიციენტი გაყოფილი ნებისმიერ არანულოვან რიცხვზე ასევე არის ნული.

0: b = 0, b ≠ 0. უფრო მეტიც, b შეიძლება იყოს დადებითიც და უარყოფითიც.

ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ნული შეიძლება დაიყოს უარყოფით რიცხვზე და შედეგი ყოველთვის იქნება ნული.

ახლა მოდით გავუმკლავდეთ გამრავლება და გაყოფა.

დავუშვათ, რომ +3 უნდა გავამრავლოთ -4-ზე. Როგორ გავაკეთო ეს?

განვიხილოთ ასეთი შემთხვევა. სამ ადამიანს ვალში ჩაუვარდა და თითოეულს 4 დოლარი აქვს ვალი. რა არის მთლიანი დავალიანება? იმისათვის, რომ იპოვოთ იგი, თქვენ უნდა დაამატოთ სამივე დავალიანება: $4 + $4 + $4 = $12. ჩვენ გადავწყვიტეთ, რომ სამი რიცხვი 4-ის დამატება აღინიშნა 3 × 4. ვინაიდან ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ ვალზე, 4-ის წინ არის "-" ნიშანი. ჩვენ ვიცით, რომ მთლიანი დავალიანება არის $12, ასე რომ, ახლა ჩვენი პრობლემაა 3x(-4)=-12.

იგივე შედეგს მივიღებთ, თუ პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ოთხივე ადამიანიდან თითოეულს 3 დოლარის ვალი აქვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, (+4)x(-3)=-12. და რადგან ფაქტორების თანმიმდევრობას არ აქვს მნიშვნელობა, მივიღებთ (-4)x(+3)=-12 და (+4)x(-3)=-12.

მოდით შევაჯამოთ შედეგები. ერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი რიცხვის გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის იქნება უარყოფითი რიცხვი. პასუხის რიცხვითი მნიშვნელობა იგივე იქნება, რაც დადებითი რიცხვების შემთხვევაში. პროდუქტი (+4)x(+3)=+12. "-" ნიშნის არსებობა გავლენას ახდენს მხოლოდ ნიშანზე, მაგრამ არ ახდენს გავლენას ციფრულ მნიშვნელობაზე.

როგორ გავამრავლოთ ორი უარყოფითი რიცხვი?

სამწუხაროდ, ამ თემაზე ცხოვრებიდან შესაფერისი მაგალითის მოფიქრება ძალიან რთულია. ადვილი წარმოსადგენია 3 ან 4 დოლარის ვალი, მაგრამ სრულიად შეუძლებელია წარმოიდგინო -4 ან -3 ადამიანი ვალში ჩავარდნილი.

ალბათ სხვა გზით წავალთ. გამრავლებისას, ერთ-ერთი ფაქტორის ნიშნის შეცვლა ცვლის პროდუქტის ნიშანს. თუ ორივე ფაქტორის ნიშანს შევცვლით, ნიშნები ორჯერ უნდა შევცვალოთ პროდუქტის ნიშანი, ჯერ დადებითიდან უარყოფითზე, შემდეგ კი პირიქით, უარყოფითიდან პოზიტიურამდე, ანუ პროდუქტს ექნება თავისი ორიგინალური ნიშანი.

აქედან გამომდინარე, საკმაოდ ლოგიკურია, თუმცა ცოტა უცნაურია, რომ (-3)x(-4)=+12.

მოაწერე პოზიციაგამრავლებისას იცვლება ასე:

• დადებითი რიცხვი x დადებითი რიცხვი = დადებითი რიცხვი;
• უარყოფითი რიცხვი x დადებითი რიცხვი = უარყოფითი რიცხვი;
• დადებითი რიცხვი x უარყოფითი რიცხვი = უარყოფითი რიცხვი;
• უარყოფითი რიცხვი x უარყოფითი რიცხვი = დადებითი რიცხვი.

Სხვა სიტყვებით, გავამრავლოთ ორი რიცხვი ერთი და იგივე ნიშნით, მივიღებთ დადებით რიცხვს. გავამრავლოთ ორი რიცხვი სხვადასხვა ნიშნით, მივიღებთ უარყოფით რიცხვს.

იგივე წესი მოქმედებს გამრავლების საწინააღმდეგო მოქმედებაზე - for.

ამის დადასტურება მარტივად შეგიძლიათ გაშვებით შებრუნებული გამრავლების ოპერაციები. თუ თითოეულ ზემოთ მოცემულ მაგალითში გაამრავლებთ კოეფიციენტს გამყოფზე, მიიღებთ დივიდენდს და დარწმუნდით, რომ მას აქვს იგივე ნიშანი, როგორიცაა (-3)x(-4)=(+12).

იმის გამო, რომ ზამთარი მოდის, დროა ვიფიქროთ იმაზე, თუ რაში შეცვალოთ თქვენი რკინის ცხენი, რათა არ გადაიჩეხო ყინულზე და თავი თავდაჯერებულად არ იგრძნოთ ზამთრის გზებზე. შეგიძლიათ, მაგალითად, აიღოთ Yokohama საბურავები საიტზე: mvo.ru ან სხვა, მთავარია რომ იყოს მაღალი ხარისხის, მეტი ინფორმაცია და ფასები შეგიძლიათ იხილოთ საიტზე Mvo.ru.

ამ სტატიის ყურადღება გამახვილებულია უარყოფითი რიცხვების გაყოფა. ჯერ მოცემულია უარყოფითი რიცხვის უარყოფითზე გაყოფის წესი, მოყვანილია მისი დასაბუთება, შემდეგ კი უარყოფითი რიცხვების გაყოფის მაგალითები ამონახსნების დეტალური აღწერით.

გვერდის ნავიგაცია.

უარყოფითი რიცხვების გაყოფის წესი

უარყოფითი რიცხვების გაყოფის წესამდე გავიხსენოთ გაყოფის მოქმედების მნიშვნელობა. დაყოფა თავისი არსით წარმოადგენს უცნობი ფაქტორის პოვნას ცნობილი პროდუქტის და ცნობილი სხვა ფაქტორის მიერ. ანუ რიცხვი c არის a-ის კოეფიციენტი გაყოფილი b-ზე, როდესაც c b=a , და პირიქით, თუ c b=a , მაშინ a:b=c .

უარყოფითი რიცხვების გაყოფის წესიშემდეგი: ერთი უარყოფითი რიცხვის მეორეზე გაყოფის კოეფიციენტი უდრის მრიცხველის მნიშვნელის მოდულზე გაყოფის კოეფიციენტს.

ასოების გამოყენებით ჩამოვწეროთ გაჟღერებული წესი. თუ a და b უარყოფითი რიცხვებია, მაშინ ტოლია a:b=|ა|:|ბ| .

ტოლობა a:b=a b −1 ადვილი დასამტკიცებელია, დაწყებული ნამდვილ რიცხვთა გამრავლების თვისებებიდა საპასუხო რიცხვების განმარტებები. მართლაც, ამის საფუძველზე შეიძლება დაიწეროს ფორმის თანასწორობის ჯაჭვი (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, რაც სტატიის დასაწყისში ნახსენები გაყოფის მნიშვნელობით ამტკიცებს, რომ a · b − 1 არის a b-ზე გაყოფის კოეფიციენტი.

და ეს წესი საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ უარყოფითი რიცხვების გაყოფიდან გამრავლებამდე.

რჩება მაგალითების ამოხსნისას უარყოფითი რიცხვების გაყოფის გათვალისწინებული წესების გამოყენების გათვალისწინება.

უარყოფითი რიცხვების გაყოფის მაგალითები

გავაანალიზოთ უარყოფითი რიცხვების გაყოფის მაგალითები. დავიწყოთ მარტივი შემთხვევებით, რომლებზეც შევიმუშავებთ გაყოფის წესის გამოყენებას.

მაგალითი.

უარყოფითი რიცხვი −18 გავყოთ უარყოფით რიცხვზე −3 , შემდეგ გამოვთვალოთ კოეფიციენტი (−5):(−2) .

გამოსავალი.

უარყოფითი რიცხვების გაყოფის წესით −18-ის −3-ზე გაყოფის კოეფიციენტი უდრის ამ რიცხვების მოდულების გაყოფის კოეფიციენტს. ვინაიდან |−18|=18 და |−3|=3 , მაშინ (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , რჩება მხოლოდ ნატურალური რიცხვების გაყოფის შესრულება, გვაქვს 18:3=6.

ანალოგიურად ვაგვარებთ პრობლემის მეორე ნაწილს. ვინაიდან |−5|=5 და |−2|=2 , მაშინ (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . ეს კოეფიციენტი შეესაბამება ჩვეულებრივ წილადს 5/2, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს შერეული რიცხვის სახით.

იგივე შედეგები მიიღება უარყოფითი რიცხვების გაყოფის სხვა წესის გამოყენებით. მართლაც, რიცხვი −3 არის საპირისპირო რიცხვი, მაშინ , ახლა ვასრულებთ უარყოფითი რიცხვების გამრავლებას: . ანალოგიურად,.

პასუხი:

(−18):(−3)=6 და .

წილადი რაციონალური რიცხვების გაყოფისას ყველაზე მოსახერხებელია ჩვეულებრივ წილადებთან მუშაობა. მაგრამ, თუ მოსახერხებელია, მაშინ შეგიძლიათ გაყოთ და საბოლოო ათობითი წილადები.

მაგალითი.

რიცხვი -0.004 გაყავით -0.25-ზე.

გამოსავალი.

დივიდენდის და გამყოფის მოდულები არის შესაბამისად 0,004 და 0,25, შემდეგ უარყოფითი რიცხვების გაყოფის წესის მიხედვით გვაქვს (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• ან შეასრულეთ ათობითი წილადების დაყოფა სვეტით,
• ან გადადით ათწილადებიდან ჩვეულებრივ წილადებზე და შემდეგ გაყავით შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადები.

მოდით შევხედოთ ორივე მიდგომას.

სვეტში 0,004 0,25-ზე გასაყოფად, ჯერ გადაიტანეთ მძიმით 2 ციფრი მარჯვნივ, ხოლო 0,4 გაყავით 25-ზე. ახლა ჩვენ ვასრულებთ დაყოფას სვეტით:

ანუ 0.004:0.25=0.016.

ახლა კი ვაჩვენოთ, როგორი იქნებოდა გამოსავალი, თუ გადავწყვიტეთ ათწილადი წილადების გადაყვანა ჩვეულებრივზე. იმიტომ რომ და მერე და შეასრულეთ

ეს სტატია გთავაზობთ დეტალურ მიმოხილვას რიცხვების გაყოფა სხვადასხვა ნიშნით. პირველ რიგში მოცემულია სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის წესი. ქვემოთ მოცემულია დადებითი რიცხვების უარყოფით და უარყოფითი რიცხვების დადებითზე გაყოფის მაგალითები.

გვერდის ნავიგაცია.

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის წესი

მთელი რიცხვების არტიკულ დაყოფაში მიღებული იყო მთელი რიცხვების სხვადასხვა ნიშნით გაყოფის წესი. ის შეიძლება გაფართოვდეს როგორც რაციონალურ, ასევე რეალურ რიცხვებზე, მითითებული სტატიიდან ყველა არგუმენტის გამეორებით.

Ისე, სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის წესიაქვს შემდეგი ფორმულირება: დადებითი რიცხვის უარყოფით ან უარყოფითი რიცხვის დადებითზე გასაყოფად აუცილებელია დივიდენდის გაყოფა გამყოფის მოდულზე და მიღებული რიცხვის წინ მინუს ნიშანი.

ჩვენ ვწერთ ამ გაყოფის წესს ასოების გამოყენებით. თუ a და b რიცხვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, მაშინ ფორმულა მოქმედებს a:b=−|a|:|b| .

გაჟღერებული წესიდან ირკვევა, რომ სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის შედეგი უარყოფითი რიცხვია. მართლაც, ვინაიდან დივიდენდის მოდული და გამყოფის მოდული რიცხვზე უფრო დადებითია, მათი კოეფიციენტი დადებითი რიცხვია, ხოლო მინუს ნიშანი ამ რიცხვს უარყოფითად აქცევს.

გაითვალისწინეთ, რომ განხილული წესი ამცირებს სხვადასხვა ნიშნის მქონე რიცხვების დაყოფას დადებითი რიცხვების გაყოფამდე.

შეგიძლიათ სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის წესის სხვა ფორმულირება: რიცხვი a რომ გავყოთ b რიცხვზე, უნდა გავამრავლოთ რიცხვი a რიცხვით b −1, b რიცხვის ორმხრივი. ანუ a:b=a b −1 .

ეს წესი შეიძლება გამოყენებულ იქნას, როდესაც შესაძლებელია მთელი რიცხვების სიმრავლის მიღმა გასვლა (რადგან ყველა მთელ რიცხვს არ აქვს შებრუნებული). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იგი გამოიყენება როგორც რაციონალური რიცხვების სიმრავლეზე, ასევე რეალური რიცხვების სიმრავლეზე.

გასაგებია, რომ სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის ეს წესი გაყოფიდან გამრავლებაზე გადასვლის საშუალებას გაძლევთ.

იგივე წესი გამოიყენება უარყოფითი რიცხვების გაყოფისას.

გასათვალისწინებელია, თუ როგორ გამოიყენება სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის ეს წესი მაგალითების ამოხსნისას.

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის მაგალითები

განვიხილოთ რამდენიმე მახასიათებლის გადაწყვეტილებები სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის მაგალითებიგაითავისოს წინა პუნქტის წესების გამოყენების პრინციპი.

მაგალითი.

უარყოფითი რიცხვი −35 გავყოთ დადებით რიცხვზე 7-ზე.

გამოსავალი.

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის წესი განსაზღვრავს პირველ რიგში დივიდენდის და გამყოფის მოდულების პოვნას. −35-ის მოდული არის 35 და 7-ის მოდული არის 7. ახლა ჩვენ უნდა გავყოთ დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე, ანუ 35 უნდა გავყოთ 7-ზე. გავიხსენოთ როგორ ხდება ნატურალური რიცხვების გაყოფა, მივიღებთ 35:7=5. რჩება სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის წესის ბოლო ნაბიჯი - მიღებული რიცხვის წინ დადეთ მინუსი, გვაქვს -5.

აქ არის მთელი გამოსავალი: .

შეიძლება გამოვიდეს სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის წესის განსხვავებული ფორმულირებიდან. ამ შემთხვევაში პირველ რიგში ვპოულობთ რიცხვს, რომელიც არის 7-ის გამყოფის ორმხრივი. ეს რიცხვი არის საერთო წილადი 1/7. Ამგვარად, . რჩება რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით: . ცხადია, იგივე შედეგამდე მივედით.

პასუხი:

(−35):7=−5 .

მაგალითი.

გამოთვალეთ კოეფიციენტი 8:(−60) .

გამოსავალი.

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გაყოფის წესით გვაქვს 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . მიღებული გამოხატულება შეესაბამება უარყოფით ჩვეულებრივ წილადს (იხილეთ გაყოფის ნიშანი, როგორც წილადის ზოლი), შეგიძლიათ წილადი შეამციროთ 4-ით, მივიღებთ .

მთლიან ამოხსნას მოკლედ ვწერთ: .

პასუხი:

.

წილადი რაციონალური რიცხვების სხვადასხვა ნიშნით გაყოფისას მათი დივიდენდი და გამყოფი ჩვეულებრივ წარმოდგენილია როგორც ჩვეულებრივი წილადები. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი რიცხვებით გაყოფა სხვადასხვა ნოტაციით (მაგალითად, ათობითი).

მაგალითი.

გამოსავალი.

დივიდენდის მოდული არის , ხოლო გამყოფის მოდული არის 0,(23) . დივიდენდის მოდულის გასაყოფად გამყოფის მოდულზე გადავიდეთ ჩვეულებრივ წილადებზე.

ვთარგმნოთ შერეული რიცხვი ჩვეულებრივ წილადად: , ისევე, როგორც