5. რევოლუციის ორგანოების ზედაპირის ფართობის პოვნა

მრუდი AB იყოს y = f(x) ≥ 0 ფუნქციის გრაფიკი, სადაც x [a; b] და ფუნქცია y \u003d f (x) და მისი წარმოებული y "\u003d f" (x) უწყვეტია ამ სეგმენტზე.

ვიპოვოთ ზედაპირის S ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება Ox ღერძის გარშემო AB მრუდის ბრუნვით (სურ. 8).

ვიყენებთ II სქემას (დიფერენციალური მეთოდი).

თვითნებური წერტილის მეშვეობით x [a; b] დავხატოთ სიბრტყე P, Ox ღერძის პერპენდიკულარული. თვითმფრინავი P კვეთს ბრუნვის ზედაპირს წრის გასწვრივ y - f(x) რადიუსით. სიბრტყის მარცხნივ მდებარე რევოლუციის ფიგურის ნაწილის ზედაპირის მნიშვნელობა არის x-ის ფუნქცია, ე.ი. s = s(x) (s(a) = 0 და s(b) = S).

მოდით მივცეთ x არგუმენტი ნამატი Δх = dх. x + dx წერტილის გავლით [a; b] ასევე დახაზეთ x ღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყე. ფუნქცია s = s(x) მიიღებს Δs-ის ნამატს, რომელიც ნაჩვენებია ფიგურაში, როგორც "ქამარი".

ვიპოვოთ ds ფართობის დიფერენციალი, სექციებს შორის წარმოქმნილი ფიგურა შევცვალოთ შეკვეცილი კონუსით, რომლის გენერატრიქსი უდრის dl-ს, ხოლო ფუძეების რადიუსი უდრის y და y + dy. მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობია: = 2ydl + dydl.

dу d1 ნამრავლის უგულებელყოფით, როგორც ds-ზე უსასრულო უფრო მაღალი რიგის სახით, მივიღებთ ds = 2уdl, ან, ვინაიდან d1 = dx.

შედეგად მიღებული ტოლობის ინტეგრირება x = a-დან x = b დიაპაზონში, ვიღებთ

თუ მრუდი AB მოცემულია პარამეტრული განტოლებით x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, მაშინ ბრუნვის ზედაპირის ფართობის ფორმულა ხდება

S=2 dt.

მაგალითი: იპოვეთ R რადიუსის სფეროს ზედაპირის ფართობი.

S=2 =

6. ცვლადი ძალის მუშაობის პოვნა

ცვლადი ძალის მუშაობა

მოდით, მატერიალური წერტილი M მოძრაობდეს Ox ღერძის გასწვრივ ამ ღერძის პარალელურად მიმართული ცვლადი ძალის F = F(x) მოქმედებით. M წერტილის x = a პოზიციიდან x = b პოზიციაზე გადაადგილებისას ძალის მიერ შესრულებული სამუშაო (a

რა სამუშაო უნდა ჩატარდეს ზამბარის 0,05 მ-ით გასაწელად, თუ 100 ნ ძალა აჭიმავს ზამბარას 0,01 მ-ით?

ჰუკის კანონის მიხედვით, დრეკადობის ძალა, რომელიც ჭიმავს ზამბარას, პროპორციულია ამ მონაკვეთის x-ის, ე.ი. F = kx, სადაც k არის პროპორციულობის კოეფიციენტი. ამოცანის პირობის მიხედვით ძალა F = 100 N ჭიმავს ზამბარას x = 0,01 მ-ით; შესაბამისად, 100 = k 0,01, საიდანაც k = 10000; შესაბამისად, F = 10000x.

სასურველი სამუშაო ფორმულის საფუძველზე

A=

იპოვეთ სამუშაო, რომელიც უნდა დაიხარჯოს სითხის კიდეზე გადატუმბვისთვის ვერტიკალური ცილინდრული ავზიდან H m სიმაღლისა და ფუძის რადიუსის R m (ნახ. 13).

p წონიანი სხეულის h სიმაღლეზე აწევაზე დახარჯული სამუშაო ტოლია p H. მაგრამ ავზში სითხის სხვადასხვა ფენა განსხვავებულ სიღრმეზეა და აწევის სიმაღლეზე (ავზის კიდემდე) სხვადასხვა ფენა არ არის იგივე.

პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ II სქემას (დიფერენციალური მეთოდი). ჩვენ შემოგთავაზებთ კოორდინატთა სისტემას.

1) ავზიდან x (0 ≤ x ≤ H) სისქის თხევადი ფენის ამოტუმბვაზე დახარჯული სამუშაო არის x-ის ფუნქცია, ე.ი. A \u003d A (x), სადაც (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) ნამატის ΔA ძირითად ნაწილს ვპოულობთ, როცა x იცვლება Δx = dx-ით, ე.ი. ვპოულობთ A(x) ფუნქციის დიფერენციალურ dA-ს.

dx-ის სიმცირის გათვალისწინებით, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ "ელემენტარული" თხევადი ფენა არის იმავე x სიღრმეზე (რეზერვუარის კიდიდან). შემდეგ dА = dрх, სადაც dр არის ამ ფენის წონა; ის უდრის g AV-ს, სადაც g არის სიმძიმის აჩქარება, არის სითხის სიმკვრივე, dv არის "ელემენტარული" თხევადი შრის მოცულობა (ეს გამოკვეთილია ფიგურაში), ე.ი. dr = გ. ამ თხევადი ფენის მოცულობა აშკარად უდრის , სადაც dx არის ცილინდრის (ფენის) სიმაღლე, არის მისი ფუძის ფართობი, ე.ი. dv = .

ამრიგად, dр = . და

3) შედეგად მიღებული ტოლობის ინტეგრირება x \u003d 0-დან x \u003d H დიაპაზონში, ჩვენ ვპოულობთ

ა

8. ინტეგრალების გამოთვლა MathCAD პაკეტის გამოყენებით

ზოგიერთი გამოყენებითი პრობლემის გადაჭრისას საჭიროა სიმბოლური ინტეგრაციის მოქმედების გამოყენება. ამ შემთხვევაში MathCad პროგრამა შეიძლება გამოადგეს როგორც საწყის ეტაპზე (კარგია პასუხი წინასწარ იცოდეთ ან ვიცოდეთ მისი არსებობის) ასევე ფინალურ ეტაპზე (კარგია სხვისი პასუხის გამოყენებით მიღებული შედეგის შემოწმება. წყარო ან სხვა ადამიანის გამოსავალი).

დიდი რაოდენობის პრობლემების გადაჭრისას, შეგიძლიათ შეამჩნიოთ პრობლემების გადაჭრის რამდენიმე მახასიათებელი MathCad პროგრამის გამოყენებით. შევეცადოთ რამდენიმე მაგალითით გავიგოთ როგორ მუშაობს ეს პროგრამა, გავაანალიზოთ მისი დახმარებით მიღებული გადაწყვეტილებები და შევადაროთ ეს გადაწყვეტილებები სხვა მეთოდებით მიღებულ ამონახსნებს.

MathCad პროგრამის გამოყენებისას ძირითადი პრობლემები შემდეგია:

ა) პროგრამა იძლევა პასუხს არა ნაცნობი ელემენტარული ფუნქციების, არამედ სპეციალური ფუნქციების სახით, რომლებიც ყველასთვის შორს არის ცნობილი;

ბ) ზოგ შემთხვევაში „უარს ამბობს“ პასუხის გაცემაზე, თუმცა პრობლემას აქვს გამოსავალი;

გ) ზოგჯერ შეუძლებელია მიღებული შედეგის გამოყენება მისი მოცულობის გამო;

დ) არასრულად წყვეტს პრობლემას და არ აანალიზებს გამოსავალს.

ამ პრობლემების გადასაჭრელად აუცილებელია პროგრამის ძლიერი და სუსტი მხარეების გამოყენება.

მისი დახმარებით ადვილი და მარტივია წილადი რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალების გამოთვლა. ამიტომ რეკომენდებულია ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენება, ე.ი. წინასწარ მოამზადეთ ინტეგრალი ხსნარისთვის. ამ მიზნებისათვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ზემოთ განხილული ჩანაცვლება. გასათვალისწინებელია ისიც, რომ მიღებული შედეგები უნდა შემოწმდეს ორიგინალური ფუნქციის განსაზღვრის დომენებისა და მიღებული შედეგის დამთხვევაზე. გარდა ამისა, ზოგიერთი მიღებული გადაწყვეტა საჭიროებს დამატებით კვლევას.

MathCad პროგრამა ათავისუფლებს სტუდენტს ან მკვლევარს რუტინული სამუშაოსგან, მაგრამ ვერ ათავისუფლებს მას დამატებითი ანალიზისგან როგორც პრობლემის დაყენებისას, ასევე რაიმე შედეგის მიღებისას.

ამ ნაშრომში განხილული იყო ძირითადი დებულებები, რომლებიც დაკავშირებულია მათემატიკის კურსში განსაზღვრული ინტეგრალის აპლიკაციების შესწავლასთან.

– ჩატარდა ინტეგრალების ამოხსნის თეორიული საფუძვლის ანალიზი;

- მასალა დაექვემდებარა სისტემატიზაციას და განზოგადებას.

საკურსო მუშაობის დროს განხილული იყო ფიზიკის, გეომეტრიის, მექანიკის დარგის პრაქტიკული ამოცანების მაგალითები.

დასკვნა

ზემოთ განხილული პრაქტიკული პრობლემების მაგალითები ნათელ წარმოდგენას გვაძლევს გარკვეული ინტეგრალის მნიშვნელობაზე მათი გადაწყვეტისთვის.

ძნელია ისეთი სამეცნიერო სფეროს დასახელება, რომელშიც ინტეგრალური გაანგარიშების მეთოდები, ზოგადად, და განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები, კერძოდ, არ იქნება გამოყენებული. ასე რომ, კურსის მუშაობის პროცესში განვიხილეთ პრაქტიკული ამოცანების მაგალითები ფიზიკის, გეომეტრიის, მექანიკის, ბიოლოგიის და ეკონომიკის დარგში. რა თქმა უნდა, ეს არავითარ შემთხვევაში არ არის მეცნიერებათა ამომწურავი სია, რომლებიც იყენებენ ინტეგრალურ მეთოდს კონკრეტული პრობლემის გადაჭრისას დასახული მნიშვნელობის მოსაძებნად და თეორიული ფაქტების დასამკვიდრებლად.

ასევე, განსაზღვრული ინტეგრალი გამოიყენება თავად მათემატიკის შესასწავლად. მაგალითად, დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას, რაც თავის მხრივ შეუცვლელ წვლილს შეაქვს პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრაში. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის ერთგვარი საფუძველი მათემატიკის შესწავლისთვის. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია იცოდეთ როგორ გადაჭრათ ისინი.

ყოველივე ზემოთქმულიდან ირკვევა, რატომ ხდება განსაზღვრული ინტეგრალის გაცნობა თუნდაც საშუალოზე საშუალო სკოლა, სადაც სტუდენტები სწავლობენ არა მხოლოდ ინტეგრალის კონცეფციას და მის თვისებებს, არამედ მის ზოგიერთ გამოყენებას.

ლიტერატურა

1. ვოლკოვი ე.ა. რიცხვითი მეთოდები. მ., ნაუკა, 1988 წ.

2. პისკუნოვი ნ.ს. დიფერენციალური და ინტეგრალური გაანგარიშება. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. შიპაჩოვი ვ.ს. უმაღლესი მათემატიკა. მ., უმაღლესი სკოლა, 1990 წ.

I. რევოლუციის ორგანოების ტომები. წინასწარ შეისწავლეთ თავი XII, p°p° 197, 198, G. M. Fikhtengol'ts-ის სახელმძღვანელოს მიხედვით* დეტალურად გააანალიზეთ p° 198-ში მოცემული მაგალითები.

508. გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება x-ღერძის გარშემო ელიფსის ბრუნვით.

ამრიგად,

530. იპოვეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება y \u003d sin x სინუსოიდის რკალის Ox ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად X \u003d 0 წერტილიდან X \u003d It წერტილამდე.

531. გამოთვალეთ კონუსის ზედაპირის ფართობი h სიმაღლით და r რადიუსით.

532. გამოთვალეთ წარმოქმნილი ზედაპირის ფართობი

ასტროიდის x3 ბრუნვა -) - y* - a3 x ღერძის გარშემო.

533. გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება x ღერძის გარშემო 18 y-x(6-x)r მრუდის მარყუჟის ინვერსიით.

534. იპოვეთ X2 წრის ბრუნვით წარმოქმნილი ტორუსის ზედაპირი - j - (y-3)2 = 4 x ღერძის გარშემო.

535. გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება წრის ბრუნვით X = ღირებულება, y = ასინტი Ox ღერძის გარშემო.

536. გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება მრუდის მარყუჟის ბრუნვით x = 9t2, y = St - 9t3 ღერძის გარშემო Ox.

537. იპოვეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება მრუდის რკალის ბრუნვით x = e * sint, y = el ღირებულება Ox ღერძის გარშემო

t = 0-დან t = --მდე.

538. აჩვენეთ, რომ ზედაპირი Oy ღერძის გარშემო x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) რკალის ბრუნვით წარმოქმნილი ზედაპირი, უდრის 16 u2 o2.

539. იპოვეთ კარდიოიდის პოლარული ღერძის გარშემო ბრუნვით მიღებული ზედაპირი.

540. იპოვეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება ლემნისკატის ბრუნვით პოლარული ღერძის გარშემო.

IV თავის დამატებითი ამოცანები

თვითმფრინავის ფიგურების არეები

541. იპოვეთ მრუდით შემოსაზღვრული რეგიონის მთელი ფართობი და ღერძი Oh.

542. იპოვეთ მრუდით შემოსაზღვრული მხარის ფართობი

და ღერძი Oh.

543. იპოვეთ რეგიონის ფართობის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს პირველ კვადრატში და შემოსაზღვრულია მრუდით

ლ საკოორდინაციო ღერძები.

544. იპოვეთ შიგნით შემავალი ტერიტორიის ფართობი

მარყუჟები:

545. იპოვეთ მრუდის ერთი მარყუჟით შემოსაზღვრული რეგიონის ფართობი:

546. იპოვეთ მარყუჟის შიგნით არსებული არეალის ფართობი:

547. იპოვეთ მრუდით შემოსაზღვრული მხარის ფართობი

და ღერძი Oh.

548. იპოვეთ მრუდით შემოსაზღვრული მხარის ფართობი

და ღერძი Oh.

549. იპოვეთ Oxr ღერძით შემოსაზღვრული რეგიონის ფართობი

სწორი და მრუდი

თუ მრუდი მოცემულია პარამეტრული განტოლებით, მაშინ ამ მრუდის ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად მიღებული ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით . ამავდროულად, გულგრილია ხაზის „დახაზვის მიმართულება“, რომლის შესახებაც სტატიაში ამდენი ასლი იყო გატეხილი. მაგრამ, როგორც წინა აბზაცში, მნიშვნელოვანია, რომ მრუდი მდებარეობს უფრო მაღალიაბსცისის ღერძი - წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფუნქცია "y-ზე პასუხისმგებელი" მიიღებს უარყოფით მნიშვნელობებს და ინტეგრალის წინ მოგიწევთ მინუს ნიშნის დადება.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ სფეროს ფართობი, რომელიც მიღებულია ღერძის გარშემო წრის ბრუნვით.

გადაწყვეტილება: სტატიის მასალებიდან ფართობისა და მოცულობის შესახებ პარამეტრულად მოცემული ხაზითთქვენ იცით, რომ განტოლებები განსაზღვრავენ წრეს, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე 3 რადიუსით.

კარგად და სფერო , ვისაც დაავიწყდა, არის ზედაპირი ბურთი(ან სფერული ზედაპირი).

ჩვენ ვიცავთ შემუშავებულ გადაწყვეტის სქემას. მოდი ვიპოვოთ წარმოებულები:

მოდით შევადგინოთ და გავამარტივოთ "ფორმულის" ფესვი:

ზედმეტია იმის თქმა, რომ ტკბილეული აღმოჩნდა. შედარებისთვის ნახეთ, როგორ აკრა ფიხტენგოლცმა თავები კვადრატთან რევოლუციის ელიფსოიდი.

თეორიული შენიშვნის მიხედვით განვიხილავთ ზედა ნახევარწრეს. იგი "იხატება" პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლისას შიგნით (ამის დანახვა ადვილია ამ ინტერვალზე), ამრიგად:

უპასუხე:

თუ პრობლემას ზოგადად გადავჭრით, მივიღებთ ზუსტად სკოლის ფორმულას სფეროს ფართობისთვის, სად არის მისი რადიუსი.

რაღაც მტკივნეულად მარტივი პრობლემა, სირცხვილიც კი... გირჩევ გამოასწორო ეს შეცდომა =)

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც მიღებულია ციკლოიდის პირველი რკალის ღერძის გარშემო ბრუნვით.

დავალება კრეატიულია. სცადეთ გამოიტანოთ ან გამოიტანოთ ფორმულა ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, რომელიც მიღებულია y-ღერძის გარშემო მრუდის როტაციით. და, რა თქმა უნდა, კვლავ უნდა აღინიშნოს პარამეტრული განტოლებების უპირატესობა - მათ არ სჭირდებათ რაიმე სახის შეცვლა; არ არის საჭირო ინტეგრაციის სხვა საზღვრების მოძიებით შეწუხება.

ციკლოიდური გრაფიკის ნახვა შესაძლებელია გვერდზე ფართობი და მოცულობა, თუ ხაზი დაყენებულია პარამეტრულად. ბრუნვის ზედაპირი დაემსგავსება ... არც კი ვიცი რას შევადარო ... რაღაც არამიწიერს - მომრგვალებული წვეტიანი დეპრესიით შუაში. აქ, ღერძის ირგვლივ ციკლოიდის ბრუნვის შემთხვევაში, მყისიერად მახსენდება ასოციაცია - წაგრძელებული რაგბის ბურთი.

ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ ვასრულებთ ჩვენს მომხიბლავ მიმოხილვას საქმით პოლარული კოორდინატები. დიახ, ეს არის მიმოხილვა, თუ გადახედავთ მათემატიკური ანალიზის სახელმძღვანელოებს (ფიხტენგოლცის, ბოჰანის, პისკუნოვის და სხვა ავტორების), შეგიძლიათ მიიღოთ ათეული (ან თუნდაც შესამჩნევად მეტი) სტანდარტული მაგალითი, რომელთა შორის სავსებით შესაძლებელია, რომ თქვენ იპოვის თქვენთვის საჭირო პრობლემას.

როგორ გამოვთვალოთ რევოლუციის ზედაპირის ფართობი,
თუ ხაზი მოცემულია პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში?

თუ მრუდი დაყენებულია პოლარული კოორდინატებიგანტოლება და ფუნქციას აქვს უწყვეტი წარმოებული მოცემულ ინტერვალზე, შემდეგ ამ მრუდის პოლარული ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად მიღებული ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით , სადაც არის მრუდის ბოლოების შესაბამისი კუთხოვანი მნიშვნელობები.

პრობლემის გეომეტრიული მნიშვნელობის შესაბამისად ინტეგრანდ , და ეს მიიღწევა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ( და ცნობილია, რომ არაუარყოფითია). აქედან გამომდინარე, აუცილებელია კუთხის მნიშვნელობების გათვალისწინება დიაპაზონიდან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მრუდი უნდა განთავსდეს უფრო მაღალიპოლარული ღერძი და მისი გაფართოება. როგორც ხედავთ, იგივე ამბავია, რაც წინა ორ აბზაცში.

მაგალითი 5

გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება კარდიოიდის ბრუნვით პოლარული ღერძის გარშემო.

გადაწყვეტილება: ამ მრუდის გრაფიკი შეგიძლიათ იხილოთ შესახებ გაკვეთილის მე-6 მაგალითში პოლარული კოორდინატთა სისტემა. კარდიოიდი სიმეტრიულია პოლარული ღერძის მიმართ, ამიტომ განვიხილავთ მის ზედა ნახევარს უფსკრულის შესახებ (რაც, ფაქტობრივად, ასევე განპირობებულია ზემოაღნიშნული შენიშვნით).

ბრუნვის ზედაპირი დაემსგავსება ბუშტუკს.

გადაწყვეტის ტექნიკა სტანდარტულია. მოდი ვიპოვოთ წარმოებული "ფი"-ს მიმართ:

შეადგინეთ და გაამარტივეთ ფესვი:

იმედი მაქვს ზედმეტად ტრიგონომეტრიული ფორმულებიარავის არ ჰქონია პრობლემა.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

Შორის , აქედან გამომდინარე: (სტატიაში დეტალურად აღვწერე, თუ როგორ უნდა მოვიშოროთ ფესვი მრუდის რკალის სიგრძე).

უპასუხე:

საინტერესო და მოკლე დავალება დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 6

გამოთვალეთ სფერული სარტყლის ფართობი,

რა არის ბურთიანი ქამარი? მაგიდაზე მოათავსეთ მრგვალი, გაუსუფთავებელი ფორთოხალი და აიღეთ დანა. გააკეთე ორი პარალელურადდავჭრათ, რითაც ნაყოფი დავყოთ თვითნებური ზომის 3 ნაწილად. ახლა აიღეთ შუა, რომელშიც წვნიანი რბილობი ორივე მხრიდან არის გამოსახული. ამ სხეულს ე.წ სფერული ფენადა მისი შემზღუდავი ზედაპირი (ფორთოხლის კანი) - ბურთის ქამარი.

მკითხველები იცნობენ პოლარული კოორდინატები, მარტივად წარმოადგინა ამოცანის ნახაზი: განტოლება განსაზღვრავს რადიუსის პოლუსზე ორიენტირებულ წრეს, საიდანაც სხივები მოჭრა ნაკლებირკალი. ეს რკალი ბრუნავს პოლარული ღერძის გარშემო და ამით მიიღება სფერული სარტყელი.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მიირთვათ ფორთოხალი სუფთა სინდისით და მსუბუქი გულით, ამ გემრიელ ნოტაზე დავასრულებთ გაკვეთილს, მადას ნუ გაიფუჭებთ სხვა მაგალითებით =)

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2:გადაწყვეტილება : გამოთვალეთ ზედა ტოტის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი ზედაპირის ფართობი x-ღერძის გარშემო. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას .
Ამ შემთხვევაში: ;

ამრიგად:


უპასუხე:

მაგალითი 4:გადაწყვეტილება : გამოიყენეთ ფორმულა . ციკლოიდის პირველი რკალი განისაზღვრება სეგმენტზე .
მოდი ვიპოვოთ წარმოებულები:

შეადგინეთ და გაამარტივეთ ფესვი:

ასე რომ, რევოლუციის ზედაპირის ფართობია:

Შორის , Ამიტომაც

პირველი ინტეგრალინაწილების მიხედვით ინტეგრირება :

მეორე ინტეგრალში ვიყენებთტრიგონომეტრიული ფორმულა .


უპასუხე:

მაგალითი 6:გადაწყვეტილება : გამოიყენეთ ფორმულა:


უპასუხე:

უმაღლესი მათემატიკა მიმოწერის სტუდენტებისთვის და არა მარტო >>>

(გადადით მთავარ გვერდზე)

როგორ გამოვთვალოთ განსაზღვრული ინტეგრალი
ტრაპეციის ფორმულისა და სიმპსონის მეთოდის გამოყენებით?

რიცხვითი მეთოდები არის უმაღლესი მათემატიკის საკმაოდ დიდი ნაწილი და ამ თემაზე სერიოზული სახელმძღვანელოები ასობით გვერდიანია. პრაქტიკაში, ტესტებში, ტრადიციულად შემოთავაზებულია ზოგიერთი დავალება რიცხვითი მეთოდებით გადასაჭრელად და ერთ-ერთი გავრცელებული ამოცანაა სავარაუდო გაანგარიშება. განსაზღვრული ინტეგრალები. ამ სტატიაში განვიხილავ ორ მეთოდს განსაზღვრული ინტეგრალის სავარაუდო გამოთვლისთვის - ტრაპეციული მეთოდიდა სიმპსონის მეთოდი.

რა უნდა იცოდეთ ამ მეთოდების დასაუფლებლად? სასაცილოდ ჟღერს, მაგრამ შეიძლება საერთოდ ვერ აიღოთ ინტეგრალები. და არც კი მესმის, რა არის ინტეგრალები. ტექნიკური საშუალებებიდან დაგჭირდებათ მიკროკალკულატორი. დიახ, დიახ, ჩვენ ველოდებით სკოლის რუტინულ გამოთვლებს. კიდევ უკეთესი, გადმოწერე ჩემი ნახევრად ავტომატური კალკულატორი ტრაპეციული მეთოდისთვის და სიმპსონის მეთოდისთვის. კალკულატორი დაწერილია Excel-ში და საშუალებას მოგცემთ ათჯერ შეამციროთ ამოცანების ამოხსნისა და დამუშავების დრო. Excel-ის ჩაიდანებისთვის მოყვება ვიდეო სახელმძღვანელო! სხვათა შორის, პირველი ვიდეო ჩემი ხმით.

ჯერ საკუთარ თავს დავუსვათ კითხვა, რატომ გვჭირდება საერთოდ მიახლოებითი გამოთვლები? როგორც ჩანს, შესაძლებელია ფუნქციის ანტიდერივატივის პოვნა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება, გარკვეული ინტეგრალის ზუსტი მნიშვნელობის გამოთვლა. როგორც კითხვაზე პასუხი, მოდით დაუყოვნებლივ განვიხილოთ დემო მაგალითი სურათით.

გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი

ყველაფერი კარგად იქნებოდა, მაგრამ ამ მაგალითში ინტეგრალი არ არის აღებული - სანამ არ მიიღება, ე.წ. ინტეგრალური ლოგარითმი. არსებობს კი ეს ინტეგრალი? ნახატზე გამოვსახოთ ინტეგრანტის გრაფიკი:

Ყველაფერი კარგადაა. ინტეგრანდ უწყვეტისეგმენტზე და განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის დაჩრდილულ ფართობს. დიახ, ეს მხოლოდ ერთი ნაკლია - ინტეგრალი არ არის აღებული. და ასეთ შემთხვევებში, რიცხვითი მეთოდები მოდის სამაშველოში. ამ შემთხვევაში, პრობლემა წარმოიქმნება ორი ფორმულირებით:

1) გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი დაახლოებით , შედეგის დამრგვალება გარკვეულ ათობითი ადგილზე. მაგალითად, ორ ათწილადამდე, სამ ათწილადამდე და ა.შ. ვთქვათ, მიიღებთ მიახლოებით პასუხს 5.347. სინამდვილეში, ეს შეიძლება არ იყოს მთლად სწორი (სინამდვილეში, ვთქვათ, უფრო ზუსტი პასუხია 5.343). ჩვენი ამოცანაა მხოლოდ ამაშიშედეგის დამრგვალება სამ ათწილადამდე.

2) გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი დაახლოებით, გარკვეული სიზუსტით. მაგალითად, გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი დაახლოებით 0,001 სიზუსტით. Რას ნიშნავს? ეს ნიშნავს, რომ თუ მიახლოებითი პასუხი მიიღება 5.347, მაშინ ყველაფიგურები უნდა იყოს რკინაბეტონი სწორი. უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, პასუხი 5.347 უნდა განსხვავდებოდეს ჭეშმარიტების მოდულისგან (ამა თუ იმ მიმართულებით) არაუმეტეს 0.001-ით.

არსებობს რამდენიმე ძირითადი მეთოდი განსაზღვრული ინტეგრალის სავარაუდო გამოთვლისთვის, რომელიც ხდება ამოცანებში:

მართკუთხედის მეთოდი. ინტეგრაციის სეგმენტი იყოფა რამდენიმე ნაწილად და აგებულია საფეხურის ფიგურა ( ზოლიანი დიაგრამა), რომელიც ფართობით ახლოს არის სასურველ ზონასთან:

არ განსაჯოთ მკაცრად ნახატების მიხედვით, სიზუსტე არ არის სრულყოფილი - ისინი მხოლოდ ხელს უწყობენ მეთოდების არსის გაგებას.

ამ მაგალითში, ინტეგრაციის სეგმენტი დაყოფილია სამ სეგმენტად:
. ცხადია, რაც უფრო ხშირია დანაყოფი (რაც უფრო მცირეა შუალედური სეგმენტები), მით უფრო მაღალია სიზუსტე. მართკუთხედების მეთოდი იძლევა ფართობის უხეშ მიახლოებას, როგორც ჩანს, ამიტომ პრაქტიკაში ძალიან იშვიათია (მხოლოდ ერთი პრაქტიკული მაგალითი გავიხსენე). ამასთან დაკავშირებით მე არ განვიხილავ მართკუთხედების მეთოდს და არც მივცემ მარტივ ფორმულას. არა სიზარმაცის გამო, არამედ ჩემი გადაწყვეტილებების წიგნის პრინციპის გამო: ის, რაც ძალზე იშვიათია პრაქტიკულ ამოცანებში, არ განიხილება.

ტრაპეციული მეთოდი. იდეა მსგავსია. ინტეგრაციის სეგმენტი დაყოფილია რამდენიმე შუალედურ სეგმენტად და ინტეგრატის გრაფიკი უახლოვდება გატეხილი ხაზიხაზი:

ასე რომ, ჩვენი ფართობი (ლურჯი დაჩრდილვა) მიახლოებულია ტრაპეციის (წითელი) ფართობების ჯამით. აქედან მოდის მეთოდის სახელწოდება. ადვილი მისახვედრია, რომ ტრაპეციის მეთოდი გაცილებით უკეთეს მიახლოებას იძლევა, ვიდრე მართკუთხედის მეთოდი (ერთნაირი რაოდენობის დანაყოფების სეგმენტებით). და, რა თქმა უნდა, რაც უფრო მცირეა შუალედური სეგმენტები, მით უფრო მაღალი იქნება სიზუსტე. ტრაპეციის მეთოდს დროდადრო ვხვდებით პრაქტიკულ ამოცანებში და ამ სტატიაში რამდენიმე მაგალითი იქნება გაანალიზებული.

სიმფსონის მეთოდი (პარაბოლის მეთოდი). ეს უფრო სრულყოფილი გზაა - ინტეგრანდის გრაფიკს უახლოვდება არა გატეხილი ხაზით, არამედ მცირე პარაბოლებით. რამდენი შუალედური სეგმენტი - ამდენი პატარა პარაბოლა. თუ ავიღებთ ერთსა და იმავე სამ სეგმენტს, მაშინ სიმპსონის მეთოდი მისცემს კიდევ უფრო ზუსტ მიახლოებას, ვიდრე მართკუთხედის მეთოდი ან ტრაპეციის მეთოდი.

მე ვერ ვხედავ აზრს ნახატის აგებაში, რადგან ვიზუალურად მიახლოება იქნება ზედმიწევნითი ფუნქციის გრაფიკზე (წინა აბზაცის გატეხილი ხაზი - და მაშინაც კი თითქმის დაემთხვა).

სიმპსონის ფორმულით განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის ამოცანა პრაქტიკაში ყველაზე პოპულარული ამოცანაა. პარაბოლების მეთოდს კი დიდი ყურადღება დაეთმობა.

რევოლუციის ზედაპირი- ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება თვითნებური ხაზის (სწორი, ბრტყელი ან სივრცითი მრუდის) სწორი ხაზის გარშემო ბრუნვისას (ზედაპირის ღერძი). მაგალითად, თუ სწორი ხაზი კვეთს ბრუნვის ღერძს, მაშინ მისი ბრუნვისას მიიღება კონუსური ზედაპირი, თუ ის ღერძის პარალელურია - ცილინდრული, თუ ღერძს კვეთს - რევოლუციის ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი. იგივე ზედაპირი შეიძლება მიღებულ იქნეს მრავალფეროვანი მოსახვევების როტაციით. ბრუნვის ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება სასრული სიგრძის სიბრტყის მრუდის ბრუნვით იმ ღერძის გარშემო, რომელიც დევს მრუდის სიბრტყეში, მაგრამ არ კვეთს მრუდს, ტოლია მრუდის სიგრძის ნამრავლისა და წრის სიგრძე რადიუსით ტოლი მანძილის ღერძიდან მრუდის მასის ცენტრამდე. ამ დებულებას ჰულდენის მეორე თეორემა ან პაპუსის ცენტროიდული თეორემა ეწოდება.

ღერძის გარშემო მრუდის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი რევოლუციის ზედაპირის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

იმ შემთხვევისთვის, როდესაც მრუდი მოცემულია პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში, ფორმულა მოქმედებს

განსაზღვრული ინტეგრალის მექანიკური გამოყენება (ძალების მუშაობა, სტატიკური მომენტები, სიმძიმის ცენტრი).

ძალების მუშაობის გაანგარიშება

მატერიალური წერტილი მოძრაობს მუდმივად დიფერენცირებადი მრუდის გასწვრივ, ხოლო მასზე მოქმედებს ძალა, რომელიც მიმართულია მოძრაობის მიმართულებით ტრაექტორიაზე. ძალის F(s) მიერ შესრულებული მთლიანი სამუშაო:

თუ წერტილის პოზიცია მოძრაობის ტრაექტორიაზე აღწერილია სხვა პარამეტრით, მაშინ ფორმულა იღებს ფორმას:

სტატიკური მომენტების და სიმძიმის ცენტრის გამოთვლა
მოდით, რაღაც M მასა განაწილდეს Oxy კოორდინატულ სიბრტყეზე, სიმკვრივით p = p(y) S წერტილების ზოგიერთ ნაკრებზე (ეს შეიძლება იყოს მრუდის რკალი ან შემოსაზღვრული ბრტყელი ფიგურა). აღვნიშნოთ s(y) - მითითებული სიმრავლის საზომი (რკალის სიგრძე ან ფართობი).

განმარტება 2. ნომერი ეწოდება M მასის k-ე მომენტი Ox ღერძის გარშემო.
k \u003d 0 M 0 \u003d M არის მასა,
k \u003d 1 M 1 - სტატიკური მომენტი,
k \u003d 2 M 2 - ინერციის მომენტი.

Oy ღერძის გარშემო მომენტები ანალოგიურად არის შემოღებული. სივრცეში კოორდინატულ სიბრტყეებთან მიმართებაში მასის მომენტების ცნებები ანალოგიურად არის შემოტანილი.
თუ p = 1, მაშინ შესაბამის მომენტებს გეომეტრიული ეწოდება. ერთგვაროვანი (p - const) ბრტყელი ფიგურის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

სადაც M 1 y, M 1 x - ფიგურის გეომეტრიული სტატიკური მომენტები Oy და Ox ღერძების შესახებ; S არის ფიგურის ფართობი.