ცილინდრი არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია ორი პარალელური სიბრტყით და ცილინდრული ზედაპირით. სტატიაში ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ცილინდრის ფართობი და, ფორმულის გამოყენებით, გადავჭრით რამდენიმე პრობლემას, მაგალითად.

ცილინდრს აქვს სამი ზედაპირი: ზედა, ქვედა და გვერდითი ზედაპირი.

ცილინდრის ზედა და ქვედა ნაწილი არის წრეები და მათი განსაზღვრა მარტივია.

ცნობილია, რომ წრის ფართობი უდრის πr 2-ს. ამრიგად, ორი წრის ფართობის ფორმულა (ცილინდრის ზედა და ქვედა) გამოიყურება πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

ცილინდრის მესამე, გვერდითი ზედაპირი, არის ცილინდრის მრუდი კედელი. ამ ზედაპირის უკეთ წარმოჩენის მიზნით, შევეცადოთ მისი გარდაქმნა, რათა მივიღოთ ცნობადი ფორმა. წარმოიდგინეთ, რომ ცილინდრი არის ჩვეულებრივი თუნუქის ქილა, რომელსაც არ აქვს ზედა სახურავი და ქვედა. გვერდის კედელზე გავაკეთოთ ვერტიკალური ჭრილი ქილის ზემოდან ქვემოდან (ნაბიჯი 1 ფიგურაში) და ვეცადოთ მიღებული ფიგურის მაქსიმალურად გახსნა (გასწორება) (ნაბიჯი 2).

შედეგად მიღებული ქილის სრული გამჟღავნების შემდეგ, ჩვენ დავინახავთ ნაცნობ ფიგურას (ნაბიჯი 3), ეს არის მართკუთხედი. მართკუთხედის ფართობის გამოთვლა მარტივია. მანამდე კი ცოტა ხნით დავუბრუნდეთ თავდაპირველ ცილინდრს. საწყისი ცილინდრის წვერო არის წრე და ვიცით, რომ წრის გარშემოწერილობა გამოითვლება ფორმულით: L = 2πr. ნახატზე წითლად არის აღნიშნული.

როდესაც ცილინდრის გვერდითი კედელი სრულად გაფართოვდება, ჩვენ ვხედავთ, რომ გარშემოწერილობა ხდება მიღებული მართკუთხედის სიგრძე. ამ მართკუთხედის გვერდები იქნება წრეწირი (L = 2πr) და ცილინდრის სიმაღლე (h). მართკუთხედის ფართობი უდრის მისი გვერდების ნამრავლს - S = სიგრძე x სიგანე = L x h = 2πr x h = 2πrh. შედეგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის გამოსათვლელად.

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა
S მხარე = 2 სთ

ცილინდრის სრული ზედაპირი

და ბოლოს, თუ სამივე ზედაპირის ფართობს დავუმატებთ, მივიღებთ ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობის ფორმულას. ცილინდრის ზედაპირის ფართობი ტოლია ცილინდრის ზედა ფართობის + ცილინდრის ფუძის ფართობის + ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ან S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. ზოგჯერ ეს გამოთქმა იწერება იდენტური ფორმულით 2πr (r + h).

ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობის ფორმულა
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r არის ცილინდრის რადიუსი, h არის ცილინდრის სიმაღლე

ცილინდრის ზედაპირის ფართობის გაანგარიშების მაგალითები

ზემოაღნიშნული ფორმულების გასაგებად, შევეცადოთ გამოვთვალოთ ცილინდრის ზედაპირის ფართობი მაგალითების გამოყენებით.

1. ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის 2, სიმაღლე 3. განსაზღვრეთ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: S მხარე. = 2 სთ

S მხარე = 2 * 3.14 * 2 * 3

S მხარე = 6.28 * 6

S მხარე = 37,68

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობია 37,68.

2. როგორ მოვძებნოთ ცილინდრის ზედაპირის ფართობი, თუ სიმაღლე არის 4 და რადიუსი 6?

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

არსებობს დიდი რიცხვიცილინდრებთან დაკავშირებული ამოცანები. მათში თქვენ უნდა იპოვოთ სხეულის რადიუსი და სიმაღლე ან მისი მონაკვეთის ტიპი. გარდა ამისა, ზოგჯერ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ცილინდრის ფართობი და მისი მოცულობა.

რა სხეულია ცილინდრი?

სასკოლო სასწავლო გეგმის მსვლელობისას ისწავლება წრიული, ანუ ცილინდრი, რომელიც ასეთია ძირში. მაგრამ ისინი ასევე განასხვავებენ ამ ფიგურის ელიფსურ გარეგნობას. სახელიდან ირკვევა, რომ მისი საფუძველი იქნება ელიფსი ან ოვალური.

ცილინდრს აქვს ორი ძირი. ისინი ერთმანეთის ტოლია და დაკავშირებულია სეგმენტებით, რომლებიც აერთიანებს ფუძის შესაბამის წერტილებს. მათ ცილინდრის გენერატორებს უწოდებენ. ყველა გენერატორი ერთმანეთის პარალელურია და თანაბარია. ისინი ქმნიან სხეულის გვერდითი ზედაპირს.

ზოგადად, ცილინდრი არის დახრილი სხეული. თუ გენერატორები სწორ კუთხეს აკეთებენ ფუძეებთან, მაშინ ისინი უკვე საუბრობენ სწორ ფიგურაზე.

საინტერესოა, რომ წრიული ცილინდრი არის რევოლუციის სხეული. იგი მიიღება მართკუთხედის ერთ-ერთი მხარის გარშემო ბრუნვით.

ცილინდრის ძირითადი ელემენტები

ცილინდრის ძირითადი ელემენტები შემდეგია.

1. სიმაღლე. ეს არის ყველაზე მოკლე მანძილი ცილინდრის ფუძეებს შორის. თუ ის სწორია, მაშინ სიმაღლე ემთხვევა გენერატრიქსს.
2. რადიუსი. ემთხვევა იმას, რაც შეიძლება განხორციელდეს ბაზაში.
3. ღერძი. ეს არის სწორი ხაზი, რომელიც შეიცავს ორივე ფუძის ცენტრებს. ღერძი ყოველთვის პარალელურია ყველა გენერატორის. მარჯვენა ცილინდრში ის ფუძეების პერპენდიკულარულია.
4. ღერძული განყოფილება. იგი იქმნება, როდესაც ცილინდრი კვეთს ღერძის შემცველ სიბრტყეს.
5. ტანგენტური თვითმფრინავი. ის გადის ერთ-ერთ გენერატორში და პერპენდიკულარულია ღერძულ მონაკვეთზე, რომელიც შედგენილია ამ გენერატრიქსის მეშვეობით.

როგორ უკავშირდება ცილინდრი მასში ჩაწერილ ან მის მახლობლად შემოხაზულ პრიზმასთან?

ზოგჯერ არის პრობლემები, რომლებშიც აუცილებელია ცილინდრის ფართობის გამოთვლა, მაშინ როდესაც ცნობილია მასთან დაკავშირებული პრიზმის ზოგიერთი ელემენტი. როგორ უკავშირდება ეს ციფრები?

თუ პრიზმა ჩაწერილია ცილინდრში, მაშინ მისი ფუძეები თანაბარი მრავალკუთხედებია. უფრო მეტიც, ისინი ჩაწერილია ცილინდრის შესაბამის ძირებში. პრიზმის გვერდითი კიდეები ემთხვევა გენერატორებს.

აღწერილ პრიზმას აქვს რეგულარული მრავალკუთხედები მის ფუძეებში. ისინი აღწერილია ცილინდრის წრეების მახლობლად, რომლებიც მისი ფუძეებია. თვითმფრინავები, რომლებიც შეიცავს პრიზმის სახეებს, ეხებიან ცილინდრს გენერატორების გასწვრივ.

გვერდითი ზედაპირის ფართობზე და საყრდენი მარჯვენა წრიული ცილინდრისთვის

თუ გვერდითა ზედაპირს გაშლით, მიიღებთ მართკუთხედს. მისი გვერდები დაემთხვევა გენერატრიქსს და ფუძის გარშემოწერილობას. ამრიგად, ცილინდრის გვერდითი ფართობი ტოლი იქნება ამ ორი რაოდენობის პროდუქტის. თუ დაწერთ ფორმულას, მიიღებთ შემდეგს:

S მხარე \u003d l * n,

სადაც n არის გენერატრიქსი, l არის წრეწირი.

უფრო მეტიც, ბოლო პარამეტრი გამოითვლება ფორმულით:

ლ = 2 π*r,

აქ r არის წრის რადიუსი, π არის რიცხვი "pi", უდრის 3.14.

ვინაიდან ბაზა არის წრე, მისი ფართობი გამოითვლება შემდეგი გამოსახულებით:

S მთავარი \u003d π * r 2.

მარჯვენა წრიული ცილინდრის მთელი ზედაპირის ფართობზე

ვინაიდან ის ორი ფუძითა და გვერდითი ზედაპირით იქმნება, ეს სამი რაოდენობა უნდა დაემატოს. ანუ, ცილინდრის მთლიანი ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

S სართული = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

ხშირად სხვაგვარად იწერება:

S სართული = 2 π * r (n + r).

დახრილი წრიული ცილინდრის უბნებზე

რაც შეეხება ფუძეებს, ყველა ფორმულა ერთნაირია, რადგან ისინი მაინც წრეებია. მაგრამ გვერდითი ზედაპირი აღარ იძლევა ოთხკუთხედს.

დახრილი ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ გენერატრიქსის მნიშვნელობები და მონაკვეთის პერიმეტრი, რომელიც იქნება შერჩეული გენერატრიქსის პერპენდიკულარული.

ფორმულა ასე გამოიყურება:

S მხარე \u003d x * P,

სადაც x არის ცილინდრის გენერატრიქსის სიგრძე, P არის მონაკვეთის პერიმეტრი.

ჯვარი მონაკვეთი, სხვათა შორის, უმჯობესია აირჩიოს ისეთი, რომ იგი ქმნის ელიფსს. შემდეგ გამარტივდება მისი პერიმეტრის გამოთვლები. ელიფსის სიგრძე გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით, რომელიც იძლევა სავარაუდო პასუხს. მაგრამ ხშირად საკმარისია სასკოლო კურსის ამოცანები:

l \u003d π * (a + b),

სადაც "a" და "b" არის ელიფსის ნახევარღერძი, ანუ მანძილი ცენტრიდან მის უახლოეს და შორეულ წერტილებამდე.

მთელი ზედაპირის ფართობი უნდა გამოითვალოს შემდეგი გამოხატვის გამოყენებით:

S სართული = 2 π * r 2 + x * R.

რა არის მარჯვენა წრიული ცილინდრის რამდენიმე მონაკვეთი?

როდესაც მონაკვეთი გადის ღერძზე, მაშინ მისი ფართობი განისაზღვრება როგორც გენერატრიქსის პროდუქტი და ფუძის დიამეტრი. ეს იმიტომ ხდება, რომ მას აქვს მართკუთხედის ფორმა, რომლის გვერდები ემთხვევა დანიშნულ ელემენტებს.

ცილინდრის განივი კვეთის ფართობის საპოვნელად, რომელიც ღერძულის პარალელურია, ასევე დაგჭირდებათ მართკუთხედის ფორმულა. ამ სიტუაციაში, მისი ერთი მხარე მაინც დაემთხვევა სიმაღლეს, ხოლო მეორე ტოლი იქნება ფუძის აკორდთან. ეს უკანასკნელი ემთხვევა ფუძის გასწვრივ მონაკვეთის ხაზს.

როდესაც მონაკვეთი ღერძის პერპენდიკულარულია, მაშინ ის წრეს ჰგავს. უფრო მეტიც, მისი ფართობი იგივეა, რაც ფიგურის ბაზაზე.

ასევე შესაძლებელია ღერძის გარკვეული კუთხით გადაკვეთა. შემდეგ განყოფილებაში მიიღება ოვალური ან მისი ნაწილი.

დავალების მაგალითები

დავალება ნომერი 1.მოცემულია სწორი ცილინდრი, რომლის ფუძის ფართობია 12,56 სმ 2. აუცილებელია გამოვთვალოთ ცილინდრის მთლიანი ფართობი, თუ მისი სიმაღლეა 3 სმ.

გადაწყვეტილება. აუცილებელია გამოიყენოთ ფორმულა წრიული მარჯვენა ცილინდრის მთლიანი ფართობისთვის. მაგრამ მას აკლია მონაცემები, კერძოდ, ბაზის რადიუსი. მაგრამ წრის ფართობი ცნობილია. მისგან ადვილია რადიუსის გამოთვლა.

გამოდის, რომ ტოლია კვადრატული ფესვის კოეფიციენტის, რომელიც მიიღება ფუძის ფართობის პი-ზე გაყოფით. 12.56-ის 3.14-ზე გაყოფა არის 4. 4-ის კვადრატული ფესვი არის 2. ამიტომ რადიუსს ექნება ეს მნიშვნელობა.

პასუხი: S სართული \u003d 50,24 სმ 2.

დავალება ნომერი 2. 5 სმ რადიუსის ცილინდრი მოწყვეტილია ღერძის პარალელურად სიბრტყით. მანძილი მონაკვეთიდან ღერძამდე არის 3 სმ, ცილინდრის სიმაღლე 4 სმ, საჭიროა მონაკვეთის ფართობის პოვნა.

გადაწყვეტილება. მონაკვეთის ფორმა მართკუთხაა. მისი ერთი მხარე ცილინდრის სიმაღლეს ემთხვევა, მეორე კი აკორდის ტოლია. თუ პირველი მნიშვნელობა ცნობილია, მაშინ მეორე უნდა მოიძებნოს.

ამისათვის თქვენ უნდა გააკეთოთ დამატებითი კონსტრუქცია. ბაზაზე ვხატავთ ორ სეგმენტს. ორივე დაიწყება წრის ცენტრში. პირველი დასრულდება აკორდის ცენტრში და ტოლი იქნება ცნობილი მანძილის ღერძამდე. მეორე არის აკორდის ბოლოს.

თქვენ მიიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს. მასში ცნობილია ჰიპოტენუზა და ერთ-ერთი ფეხი. ჰიპოტენუზა იგივეა, რაც რადიუსი. მეორე ფეხი ტოლია აკორდის ნახევარს. უცნობი ფეხი, გამრავლებული 2-ზე, მისცემს საჭირო აკორდის სიგრძეს. მოდით გამოვთვალოთ მისი ღირებულება.

უცნობი ფეხის საპოვნელად საჭიროა ჰიპოტენუზისა და ცნობილი ფეხის კვადრატი, გამოკლოთ მეორე პირველს და აიღოთ კვადრატული ფესვი. კვადრატები არის 25 და 9. მათი განსხვავება 16. კვადრატული ფესვის ამოღების შემდეგ რჩება 4. ეს არის სასურველი ფეხი.

აკორდი ტოლი იქნება 4 * 2 = 8 (სმ). ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ კვეთის ფართობი: 8 * 4 \u003d 32 (სმ 2).

პასუხი: S წამია 32 სმ 2.

დავალება ნომერი 3.აუცილებელია ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის ფართობის გამოთვლა. ცნობილია, რომ მასში 10 სმ-იანი კიდის მქონე კუბია ჩაწერილი.

გადაწყვეტილება. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთი ემთხვევა მართკუთხედს, რომელიც გადის კუბის ოთხ წვეროზე და შეიცავს მისი ფუძის დიაგონალებს. კუბის მხარე არის ცილინდრის გენერატორი, ხოლო ფუძის დიაგონალი ემთხვევა დიამეტრს. ამ ორი რაოდენობის პროდუქტი მისცემს იმ არეალს, რომელიც უნდა გაარკვიოთ პრობლემაში.

დიამეტრის საპოვნელად დაგჭირდებათ იმის ცოდნა, რომ კუბის საფუძველი არის კვადრატი და მისი დიაგონალი ტოლგვერდა მართკუთხა სამკუთხედს ქმნის. მისი ჰიპოტენუზა არის ფიგურის საჭირო დიაგონალი.

მის გამოსათვლელად საჭიროა პითაგორას თეორემის ფორმულა. საჭიროა კუბის გვერდის კვადრატი, გაამრავლოთ 2-ზე და აიღოთ კვადრატული ფესვი. ათი მეორე ხარისხამდე არის ასი. 2-ზე გამრავლებული არის ორასი. 200-ის კვადრატული ფესვი არის 10√2.

მონაკვეთი ისევ არის მართკუთხედი გვერდებით 10 და 10√2. მისი ფართობის გამოთვლა ადვილია ამ მნიშვნელობების გამრავლებით.

უპასუხე. წმ \u003d 100√2 სმ 2.

როგორ გამოვთვალოთ ცილინდრის ზედაპირის ფართობი ამ სტატიის თემაა. ნებისმიერ მათემატიკურ პრობლემაში, თქვენ უნდა დაიწყოთ მონაცემთა შეყვანით, დაადგინოთ რა არის ცნობილი და რაზე უნდა იმოქმედოთ მომავალში და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელოთ პირდაპირ გაანგარიშება.

ეს სამგანზომილებიანი სხეული არის ცილინდრული ფორმის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია ზემოთ და ქვემოთ ორი პარალელური სიბრტყით. თუ ცოტა ფანტაზიას გამოიყენებთ, შეამჩნევთ, რომ გეომეტრიული სხეული იქმნება ღერძის გარშემო მართკუთხედის ბრუნვით, ღერძი კი მისი ერთ-ერთი მხარეა.

აქედან გამომდინარეობს, რომ აღწერილი მრუდი ცილინდრის ზემოთ და ქვემოთ იქნება წრე, რომლის მთავარი მაჩვენებელია რადიუსი ან დიამეტრი.

ცილინდრის ზედაპირის ფართობი - ონლაინ კალკულატორი

ეს ფუნქცია საბოლოოდ აადვილებს გამოთვლის პროცესს და ყველაფერი მოდის ფიგურის ფუძის სიმაღლისა და რადიუსის (დიამეტრის) მოცემული მნიშვნელობების ავტომატურ ჩანაცვლებამდე. ერთადერთი, რაც საჭიროა, არის მონაცემების ზუსტად განსაზღვრა და ციფრების შეყვანისას შეცდომების დაშვება.

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

ჯერ უნდა წარმოიდგინოთ, როგორ გამოიყურება სვირი ორგანზომილებიან სივრცეში.

ეს სხვა არაფერია თუ არა მართკუთხედი, რომლის ერთი გვერდი უდრის გარშემოწერილობას. მისი ფორმულა ცნობილი იყო უხსოვარი დროიდან - 2π *რ, სად რარის წრის რადიუსი. მართკუთხედის მეორე მხარე სიმაღლის ტოლია თ. ძნელი არ იქნება იმის პოვნა, რასაც ეძებ.

სმხარეს= 2π *r*h,

სადაც ნომერი π = 3.14.

ცილინდრის სრული ზედაპირი

ცილინდრის მთლიანი ფართობის დასადგენად, თქვენ უნდა მიიღოთ S მხარედაამატეთ ორი წრის ფართობი, ცილინდრის ზედა და ქვედა ნაწილი, რომლებიც გამოითვლება ფორმულით S o =2π*r2.

საბოლოო ფორმულა ასე გამოიყურება:

სიატაკი\u003d 2π * r 2+ 2π*r*სთ.

ცილინდრის ფართობი - ფორმულა დიამეტრის მიხედვით

გამოთვლების გასაადვილებლად, ზოგჯერ საჭიროა გამოთვლების გაკეთება დიამეტრის საშუალებით. მაგალითად, არსებობს ცნობილი დიამეტრის ღრუ მილის ნაჭერი.

ზედმეტი გამოთვლებით შეწუხების გარეშე გვაქვს მზა ფორმულა. მე-5 კლასის ალგებრა სამაშველოში მოდის.

სსქესი = 2π*რ 2 + 2 π*r*h= 2 π*დ 2 /4 + 2 π*თ*დ/2 = π *დ 2 /2 + π *d*h,

Იმის მაგივრად რსრულ ფორმულაში თქვენ უნდა ჩაწეროთ მნიშვნელობა r=დ/2.

ცილინდრის ფართობის გაანგარიშების მაგალითები

ცოდნით შეიარაღებული, მოდით გადავიდეთ პრაქტიკაზე.

მაგალითი 1 აუცილებელია გამოვთვალოთ მილის შეკვეცილი ნაწილის ფართობი, ანუ ცილინდრი.

გვაქვს r = 24 მმ, h = 100 მმ. თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა რადიუსის მიხედვით:

S სართული \u003d 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 \u003d 3617.28 + 15072 \u003d 18689.28 (მმ 2).

ჩვენ ვთარგმნით ჩვეულებრივ m 2-ში და ვიღებთ 0.01868928, დაახლოებით 0.02 m 2.

მაგალითი 2 საჭიროა გაირკვეს აზბესტის ღუმელის მილის შიდა ზედაპირის ფართობი, რომლის კედლები მოპირკეთებულია ცეცხლგამძლე აგურით.

მონაცემები ასეთია: დიამეტრი 0,2 მ; სიმაღლე 2 მ. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას დიამეტრის მიხედვით:

S სართული \u003d 3.14 * 0.2 2 / 2 + 3.14 * 0.2 * 2 \u003d 0.0628 + 1.256 \u003d 1.3188 მ 2.

მაგალითი 3 როგორ გავარკვიოთ, რამდენი მასალაა საჭირო ჩანთის შესაკერად, r \u003d 1 მ და სიმაღლე 1 მ.

ერთ მომენტში არის ფორმულა:

S მხარე \u003d 2 * 3.14 * 1 * 1 \u003d 6.28 მ 2.

დასკვნა

სტატიის ბოლოს გაჩნდა კითხვა: აუცილებელია თუ არა ყველა ეს გამოთვლა და თარგმნა ერთი მნიშვნელობის მეორეში? რატომ არის ეს ყველაფერი საჭირო და რაც მთავარია ვისთვის? მაგრამ ნუ უგულებელყოფთ და დაივიწყებთ უბრალო ფორმულებს საშუალო სკოლიდან.

სამყარო იდგა და დადგება ელემენტარულ ცოდნაზე, მათ შორის მათემატიკაზე. და, როდესაც რაიმე მნიშვნელოვან სამუშაოს დაუდგებით, არასდროს არის ზედმეტი გამოთვლების მონაცემების მეხსიერებაში განახლება, მათი პრაქტიკაში გამოყენება დიდი ეფექტით. სიზუსტე - მეფეთა ზრდილობა.

იპოვეთ ღერძული მონაკვეთის ფართობი ცილინდრის ფუძეების პერპენდიკულარულად. ამ მართკუთხედის ერთი გვერდი უდრის ცილინდრის სიმაღლეს, მეორე კი ფუძის წრის დიამეტრს. შესაბამისად, განივი ფართობი ამ შემთხვევაში ტოლი იქნება მართკუთხედის გვერდების ნამრავლის. S=2R*h, სადაც S არის კვეთის ფართობი, R არის ფუძის წრის რადიუსი, მოცემული ამოცანის პირობებით და h არის ცილინდრის სიმაღლე, ასევე მოცემული ამოცანის პირობებით.

თუ მონაკვეთი არის ფუძეების პერპენდიკულარული, მაგრამ არ გადის ბრუნვის ღერძს, მართკუთხედი არ იქნება წრის დიამეტრის ტოლი. საჭიროა დათვლა. ამისათვის დავალებამ უნდა თქვას რა მანძილზე გადის ბრუნვის ღერძიდან მონაკვეთის სიბრტყე. გამოთვლების მოხერხებულობისთვის ააწყვეთ ცილინდრის ფუძის წრე, დახაზეთ რადიუსი და გამოყავით მასზე მანძილი, რომლითაც მდებარეობს განყოფილება წრის ცენტრიდან. ამ წერტილიდან დახაზეთ პერპენდიკულარებისკენ, სანამ ისინი არ გადაიკვეთება წრეზე. შეაერთეთ გადაკვეთის წერტილები ცენტრთან. თქვენ უნდა იპოვოთ აკორდები. იპოვეთ ნახევარი აკორდის ზომა პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ის ტოლი იქნება წრის რადიუსის კვადრატების სხვაობის კვადრატული ფესვის ცენტრიდან მონაკვეთის ხაზამდე. a2=R2-b2. მთელი აკორდი იქნება, შესაბამისად, 2a-ის ტოლი. გამოთვალეთ კვეთის ფართობი, რომელიც ტოლია მართკუთხედის გვერდების ნამრავლის, ანუ S=2a*h.

ცილინდრის დაშლა შესაძლებელია ფუძის სიბრტყეში გავლის გარეშე. თუ ჯვარი მონაკვეთი ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულია, მაშინ ეს იქნება წრე. მისი ფართობი ამ შემთხვევაში უდრის ფუძის ფართობს, ანუ გამოითვლება ფორმულით S \u003d πR2.

სასარგებლო რჩევა

განყოფილების უფრო ზუსტად წარმოსადგენად, გააკეთეთ ნახაზი და მასზე დამატებითი კონსტრუქციები.

წყაროები:

• ცილინდრის კვეთის ფართობი

ზედაპირის სიბრტყესთან გადაკვეთის ხაზი მიეკუთვნება როგორც ზედაპირს, ასევე სეკანტურ სიბრტყეს. ცილინდრული ზედაპირის გადაკვეთის ხაზი სწორი გენერატრიქსის პარალელურად სეკანტური სიბრტყით არის სწორი ხაზი. თუ ჭრის სიბრტყე პერპენდიკულარულია ბრუნვის ზედაპირის ღერძზე, მონაკვეთს ექნება წრე. ზოგადად, ცილინდრული ზედაპირის კვეთის სიბრტყესთან გადაკვეთის ხაზი არის მრუდი ხაზი.

დაგჭირდებათ

• ფანქარი, სახაზავი, სამკუთხედი, ნიმუშები, კომპასები, საზომი ინსტრუმენტი.

ინსტრუქცია

შუბლის საპროექციო სიბრტყეზე P2, მონაკვეთის ხაზი ემთხვევა სეკანტური სიბრტყის Σ2 პროექციას სწორი ხაზის სახით.
მიუთითეთ ცილინდრის გენერატრიკის გადაკვეთის წერტილები Σ2 12, 22 და სხვ. 10₂ და 11₂ წერტილებამდე.

თვითმფრინავზე P1 არის წრე. პუნქტები 12, 22 აღინიშნება მონაკვეთის სიბრტყეზე Σ2 და ა.შ. საპროექციო ხაზის დახმარებით ისინი დაპროექტდება ამ წრის მოხაზულობაზე. აღნიშნეთ მათი ჰორიზონტალური პროგნოზები წრის ჰორიზონტალური ღერძის მიმართ სიმეტრიულად.

ამრიგად, განისაზღვრება სასურველი მონაკვეთის პროგნოზები: P2 სიბრტყეზე - სწორი ხაზი (პუნქტები 12, 22 ... 102); თვითმფრინავზე P1 - წრე (პუნქტები 11, 21 ... 101).

ორით, ააგეთ მოცემული ცილინდრის მონაკვეთის ბუნებრივი ზომა Σ წინა პროექციული სიბრტყით. ამისათვის გამოიყენეთ პროგნოზების მეთოდი.

სიბრტყე P₄ დახაზეთ Σ2 სიბრტყის პროექციის პარალელურად. ამ ახალ x24 ღერძზე მონიშნეთ წერტილი 1₀. დისტანციები 12 - 22, 22 - 42 წერტილებს შორის და ა.შ. მონაკვეთის ფრონტალური პროექციიდან, განზე x24 ღერძზე, დახაზეთ პროექციის კავშირის თხელი ხაზები x24 ღერძზე პერპენდიკულარული.

ამ მეთოდით, P4 სიბრტყე იცვლება P1 სიბრტყით, ამიტომ ჰორიზონტალური პროექციისგან ზომები გადაიტანეთ ღერძიდან წერტილებამდე P4 სიბრტყის ღერძამდე.

მაგალითად, P1-ზე 2 და 3 წერტილებისთვის, ეს იქნება მანძილი 21-დან და 31-დან ღერძამდე (წერტილი A) და ა.შ.

ჰორიზონტალური პროექციისგან მითითებული მანძილების გადადების შემდეგ, თქვენ მიიღებთ ქულებს 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. შემდეგ, კონსტრუქციის მეტი სიზუსტისთვის, განისაზღვრება დარჩენილი, შუალედური, ქულები.

ყველა წერტილის მოღუნული მრუდით შეერთებით, თქვენ მიიღებთ ცილინდრის ჯვრის მონაკვეთის სასურველ ბუნებრივ ზომას წინა საპროექტო სიბრტყით.

წყაროები:

• როგორ შევცვალო თვითმფრინავი

რჩევა 3: როგორ მოვძებნოთ შეკვეცილი კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობი

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გახსოვდეთ, რა არის შეკვეცილი კონუსი და რა თვისებები აქვს მას. აუცილებლად დახატეთ. ეს განსაზღვრავს რომელი გეომეტრიული ფიგურა არის მონაკვეთი. შესაძლებელია ამის შემდეგ პრობლემის გადაჭრა აღარ გაგიჭირდეთ.

ინსტრუქცია

მრგვალი კონუსი არის სხეული, რომელიც მიიღება მისი ერთ-ერთი ფეხის გარშემო სამკუთხედის ბრუნვით. სწორი ხაზები მოდის ზემოდან გირჩებიდა მისი ფუძის გადაკვეთას გენერატორები ეწოდებათ. თუ ყველა გენერატორი თანაბარია, მაშინ კონუსი სწორია. რაუნდის ბაზაზე გირჩებიდევს წრე. ზემოდან ძირზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარი არის სიმაღლე გირჩები. მრგვალ პირდაპირ გირჩებისიმაღლე ემთხვევა მის ღერძს. ღერძი არის სწორი ხაზი, რომელიც აკავშირებს ბაზის ცენტრს. თუ წრიულის ჰორიზონტალური ჭრის სიბრტყე გირჩები, მაშინ მისი ზედა ფუძე არის წრე.

ვინაიდან ის არ არის მითითებული პრობლემის მდგომარეობაში, ეს არის კონუსი, რომელიც მოცემულია ამ საქმეს, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს არის სწორი შეკვეცილი კონუსი, რომლის ჰორიზონტალური მონაკვეთი ფუძის პარალელურია. მისი ღერძული განყოფილება, ე.ი. ვერტიკალური სიბრტყე, რომელიც წრიული ღერძის გავლით გირჩები, არის ტოლფერდა ტრაპეცია. ყველა ღერძულია სექციებიმრგვალი სწორი გირჩებიერთმანეთის ტოლები არიან. ამიტომ, რომ იპოვოთ კვადრატიღერძული სექციები, მოძიებაა საჭირო კვადრატიტრაპეცია, რომლის ფუძეები არის ჩამოსხმული ფუძის დიამეტრი გირჩები, და მხარეები მისი გენერატორები არიან. შეკვეცილი სიმაღლე გირჩებიარის ასევე ტრაპეციის სიმაღლე.

ტრაპეციის ფართობი განისაზღვრება ფორმულით: S = ½(a+b) h, სადაც S არის კვადრატიტრაპეცია; a - ტრაპეციის ქვედა ფუძის მნიშვნელობა; b - მისი ზედა ფუძის მნიშვნელობა; h - ტრაპეციის სიმაღლე.

ვინაიდან პირობა არ აკონკრეტებს რომელი მათგანია მოცემული, შესაძლებელია, რომ შეკვეცილი ფუძის ორივე ფუძის დიამეტრი გირჩებიცნობილია: AD = d1 არის შეკვეცილი ქვედა ფუძის დიამეტრი გირჩები;BC = d2 არის მისი ზედა ფუძის დიამეტრი; EH = h1 - სიმაღლე გირჩები.ამგვარად, კვადრატიღერძული სექციებიშეკვეცილი გირჩებიგანსაზღვრული: S1 = ½ (d1+d2) h1

წყაროები:

• შეკვეცილი კონუსის არე

ცილინდრი არის სამგანზომილებიანი ფიგურა და შედგება ორი თანაბარი ფუძისგან, რომლებიც არის წრეები და გვერდითი ზედაპირის დამაკავშირებელი ხაზები, რომლებიც ზღუდავს ფუძებს. Გამოთვლა კვადრატი ცილინდრიიპოვნეთ მისი ყველა ზედაპირის ფართობები და დაამატეთ ისინი.

ცილინდრის თითოეული ფუძის ფართობი არის π რ 2, ორივე ფუძის ფართობი იქნება 2π რ 2 (ნახ.).

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის მართკუთხედის ფართობს, რომლის ფუძე არის 2π. რდა სიმაღლე ცილინდრის სიმაღლის ტოლია თ, ანუ 2π rh.

ცილინდრის მთლიანი ზედაპირი იქნება: 2π რ 2+2π rh= 2π რ(რ+ თ).

აღებულია ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი საწმენდი ტერიტორიამისი გვერდითი ზედაპირი.

ამრიგად, მარჯვენა წრიული ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის შესაბამისი მართკუთხედის ფართობს (ნახ.) და გამოითვლება ფორმულით.

ძვ.წ. = 2πRH, (1)

თუ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობს დავამატებთ ცილინდრის ორი ფუძის ფართობს, მივიღებთ ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობს.

S სავსე \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).

ცილინდრის სწორი მოცულობა

თეორემა. მარჯვენა ცილინდრის მოცულობა უდრის მისი ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს , ე.ი.

სადაც Q არის ფუძის ფართობი და H არის ცილინდრის სიმაღლე.

ვინაიდან ცილინდრის ფუძის ფართობი არის Q, არსებობს შემოხაზული და ჩაწერილი მრავალკუთხედების თანმიმდევრობები Q ფართობებით. ნდა Q' ნისეთივე როგორც

\(\lim_(n \მარჯვენა ისარი \infty)\) Q ნ= \(\lim_(n \მარჯვენა ისარი \infty)\) Q' ნ= ქ.

ავაშენოთ პრიზმების თანმიმდევრობები, რომელთა ფუძეები არის ზემოთ განხილული აღწერილი და ჩაწერილი მრავალკუთხედები, ხოლო გვერდითი კიდეები მოცემული ცილინდრის გენერატრიქსის პარალელურია და აქვს სიგრძე H. ეს პრიზები აღწერილია და ჩაწერილია მოცემული ცილინდრისთვის. მათი ტომი ნაპოვნია ფორმულებით

ვ ნ= ქ ნ H და V' ნ= Q' ნჰ.

აქედან გამომდინარე,

V= \(\lim_(n \მარჯვენა arrow \infty)\) Q ნ H = \(\lim_(n \მარჯვენა ისარი \infty)\) Q' ნ H = QH.

შედეგი.
მარჯვენა წრიული ცილინდრის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით

V = π R 2 H

სადაც R არის ფუძის რადიუსი და H არის ცილინდრის სიმაღლე.

ვინაიდან წრიული ცილინდრის საფუძველი არის R რადიუსის წრე, მაშინ Q \u003d π R 2 და, შესაბამისად,