სტუდენტებისთვის ერთ-ერთი ყველაზე რთული თემაა მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი განტოლებების ამოხსნა. ჯერ ვნახოთ, რასთან არის დაკავშირებული? მაგალითად, რატომ აჭერს კვადრატულ განტოლებებს ბავშვების უმეტესობა თხილივით, მაგრამ ყველაზე რთული კონცეფციისგან, როგორც მოდული, ამდენი პრობლემა აქვს?

ჩემი აზრით, ყველა ეს სირთულე დაკავშირებულია მოდულით განტოლებების ამოხსნის მკაფიოდ ჩამოყალიბებული წესების ნაკლებობასთან. ასე რომ, კვადრატული განტოლების ამოხსნისას მოსწავლემ ზუსტად იცის, რომ ჯერ უნდა გამოიყენოს დისკრიმინაციული ფორმულა, შემდეგ კი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები. მაგრამ რა მოხდება, თუ მოდული გვხვდება განტოლებაში? შევეცდებით ნათლად აღვწეროთ მოქმედების აუცილებელი გეგმა იმ შემთხვევაში, როდესაც განტოლება შეიცავს უცნობს მოდულის ნიშნის ქვეშ. ჩვენ ვაძლევთ რამდენიმე მაგალითს თითოეული შემთხვევისთვის.

მაგრამ ჯერ გავიხსენოთ მოდულის განმარტება. ასე რომ, რიცხვის მოდული ათავად ნომერი იწოდება თუ აარაუარყოფითი და -ათუ ნომერი ანულზე ნაკლები. შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

|ა| = a თუ a ≥ 0 და |a| = -a თუ ა< 0

მოდულის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე საუბრისას, უნდა გვახსოვდეს, რომ თითოეული რეალური რიცხვი შეესაბამება რიცხვის ღერძის გარკვეულ წერტილს - მისი კოორდინაცია. ასე რომ, მოდული ან რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა არის მანძილი ამ წერტილიდან რიცხვითი ღერძის საწყისამდე. მანძილი ყოველთვის მოცემულია როგორც დადებითი რიცხვი. ამრიგად, ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვის მოდული არის დადებითი რიცხვი. სხვათა შორის, ამ ეტაპზეც ბევრი სტუდენტი იწყებს დაბნეულობას. მოდულში შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი, მაგრამ მოდულის გამოყენების შედეგი ყოველთვის დადებითი რიცხვია.

ახლა გადავიდეთ განტოლებების ამოხსნაზე.

1. განვიხილოთ ფორმის განტოლება |x| = c, სადაც c არის რეალური რიცხვი. ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას მოდულის განსაზღვრის გამოყენებით.

ყველა ნამდვილ რიცხვს ვყოფთ სამ ჯგუფად: ნულზე მეტი, ნულზე ნაკლები და მესამე ჯგუფი არის რიცხვი 0. ამონახსანს ვწერთ დიაგრამის სახით:

(±c თუ c > 0

თუ |x| = c, შემდეგ x = (0 თუ c = 0

(ძირები არ არის, თუ აქვს< 0

1) |x| = 5, რადგან 5 > 0, შემდეგ x = ±5;

2) |x| = -5, რადგან -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, შემდეგ x = 0.

2. |f(x)|-ის ფორმის განტოლება = b, სადაც b > 0. ამ განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა მოდულის მოშორება. ვაკეთებთ ასე: f(x) = b ან f(x) = -b. ახლა საჭიროა თითოეული მიღებული განტოლების ცალ-ცალკე ამოხსნა. თუ თავდაპირველ განტოლებაში ბ< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, რადგან 4 > 0, მაშინ

x + 2 = 4 ან x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, რადგან 11 > 0, მაშინ

x 2 - 5 = 11 ან x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ფესვების გარეშე

3) |x 2 – 5x| = -8, რადგან -რვა< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)|-ის ფორმის განტოლება = g(x). მოდულის მნიშვნელობის მიხედვით, ასეთ განტოლებას ექნება ამონახსნები, თუ მისი მარჯვენა მხარე მეტია ან ტოლია ნულზე, ე.ი. g(x) ≥ 0. მაშინ გვაქვს:

f(x) = g(x)ან f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. ამ განტოლებას ექნება ფესვები, თუ 5x - 10 ≥ 0. აქედან იწყება ასეთი განტოლებების ამოხსნა.

1. ო.დ.ზ. 5x – 10 ≥ 0

2. გამოსავალი:

2x - 1 = 5x - 10 ან 2x - 1 = -(5x - 10)

3. შეუთავსეთ O.D.Z. და გამოსავალს ვიღებთ:

ფესვი x \u003d 11/7 არ ჯდება O.D.Z.-ის მიხედვით, ის 2-ზე ნაკლებია და x \u003d 3 აკმაყოფილებს ამ პირობას.

პასუხი: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. ო.დ.ზ. 1 - x 2 ≥ 0. ამ უტოლობას ამოვხსნათ ინტერვალის მეთოდით:

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. გამოსავალი:

x - 1 \u003d 1 - x 2 ან x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 ან x = 1 x = 0 ან x = 1

3. შეუთავსეთ ხსნარი და O.D.Z.:

მხოლოდ ფესვები x = 1 და x = 0 არის შესაფერისი.

პასუხი: x = 0, x = 1.

4. |f(x)|-ის ფორმის განტოლება = |g(x)|. ასეთი განტოლება უდრის შემდეგ ორ განტოლებას f(x) = g(x) ან f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. ეს განტოლება უდრის შემდეგ ორს:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 ან x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 ან x = 4 x = 2 ან x = 1

პასუხი: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. ჩანაცვლების მეთოდით ამოხსნილი განტოლებები (ცვლადის ცვლილება). გადაწყვეტის ამ მეთოდის ახსნა ყველაზე მარტივია კონკრეტული მაგალითით. მაშ ასე, მიეცეს კვადრატული განტოლება მოდულით:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. მოდულის თვისებით x 2 = |x| 2, ასე რომ განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. შევიტანოთ ცვლილება |x| = t ≥ 0, მაშინ გვექნება:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. ამ განტოლების ამოხსნით, მივიღებთ, რომ t \u003d 1 ან t \u003d 5. დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

|x| = 1 ან |x| = 5

x = ±1 x = ±5

პასუხი: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს:

x 2 + |x| – 2 = 0. მოდულის თვისებით x 2 = |x| 2, ასე რომ

|x| 2 + |x| – 2 = 0. შევიტანოთ ცვლილება |x| = t ≥ 0, მაშინ:

t 2 + t - 2 \u003d 0. ამ განტოლების ამოხსნით, ვიღებთ, t \u003d -2 ან t \u003d 1. დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

|x| = -2 ან |x| = 1

არ არის ფესვები x = ± 1

პასუხი: x = -1, x = 1.

6. განტოლების კიდევ ერთი ტიპია განტოლებები "კომპლექსური" მოდულით. ასეთი განტოლებები მოიცავს განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ „მოდულები მოდულში“. ამ ტიპის განტოლებები შეიძლება ამოხსნას მოდულის თვისებების გამოყენებით.

1) |3 – |x|| = 4. ჩვენ ვიმოქმედებთ ისევე, როგორც მეორე ტიპის განტოლებებში. იმიტომ რომ 4 > 0, მაშინ მივიღებთ ორ განტოლებას:

3 – |x| = 4 ან 3 – |x| = -4.

ახლა გამოვხატოთ x მოდული თითოეულ განტოლებაში, შემდეგ |x| = -1 ან |x| = 7.

ჩვენ ვხსნით თითოეულ მიღებულ განტოლებას. პირველ განტოლებაში ფესვები არ არის, რადგან -ერთი< 0, а во втором x = ±7.

უპასუხეთ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. ჩვენ ამ განტოლებას ვხსნით ანალოგიურად:

3 + |x + 1| = 5 ან 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ან x + 1 = -2. ფესვები არ არის.

პასუხი: x = -3, x = 1.

ასევე არსებობს უნივერსალური მეთოდი განტოლებების მოდულით ამოხსნისთვის. ეს არის ინტერვალის მეთოდი. მაგრამ ჩვენ მას შემდგომ განვიხილავთ.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

მოდული ერთ-ერთია იმ საკითხთაგან, რომლის შესახებ თითქოს ყველას სმენია, მაგრამ სინამდვილეში არავის ესმის. ამიტომ, დღეს იქნება დიდი გაკვეთილი, რომელიც მიეძღვნება მოდულებით განტოლებების ამოხსნას.

მაშინვე გეტყვით: გაკვეთილი მარტივი იქნება. ზოგადად, მოდულები ზოგადად შედარებით მარტივი თემაა. ”დიახ, რა თქმა უნდა, ადვილია! ეს ჩემს ტვინს ფეთქავს!" - იტყვის ბევრი სტუდენტი, მაგრამ ყველა ეს ტვინის რღვევა გამოწვეულია იმით, რომ ადამიანების უმეტესობას თავში არა ცოდნა, არამედ რაღაც სისულელე აქვს. და ამ გაკვეთილის მიზანია სისულელე გადააქციოს ცოდნად. :)

ცოტა თეორია

ასე რომ წავიდეთ. დავიწყოთ ყველაზე მნიშვნელოვანით: რა არის მოდული? შეგახსენებთ, რომ რიცხვის მოდული უბრალოდ იგივე რიცხვია, მაგრამ აღებული მინუს ნიშნის გარეშე. ეს არის, მაგალითად, $\left| -5 \მარჯვნივ|=5$. ან $\მარცხენა| -129.5\მარჯვნივ|=129.5$.

ასე მარტივია? დიახ, მარტივი. მაშინ რა არის დადებითი რიცხვის მოდული? აქ კიდევ უფრო მარტივია: დადებითი რიცხვის მოდული უდრის თავად ამ რიცხვს: $\left| 5\მარჯვნივ|=5$; $\მარცხნივ| 129.5 \მარჯვნივ|=129.5$ და ა.შ.

საინტერესოა: სხვადასხვა რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს ერთი და იგივე მოდული. მაგალითად: $\left| -5 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| 5\მარჯვნივ|=5$; $\მარცხნივ| -129.5 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| 129.5 \მარჯვნივ|=129.5$. ადვილი მისახვედრია, რა სახის რიცხვებია ეს, რომლებშიც მოდულები ერთი და იგივეა: ეს რიცხვები საპირისპიროა. ამრიგად, ჩვენ თვითონ აღვნიშნავთ, რომ საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია:

\[\მარცხნივ| -a \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| a\ უფლება|\]

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ფაქტი: მოდული არასოდეს არის უარყოფითი. რა რიცხვიც არ უნდა ავიღოთ - თუნდაც დადებითი, თუნდაც უარყოფითი - მისი მოდული ყოველთვის დადებითი (ან უკიდურეს შემთხვევაში ნული) გამოდის. ამიტომ მოდულს ხშირად უწოდებენ რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას.

გარდა ამისა, თუ გავაერთიანებთ დადებითი და უარყოფითი რიცხვის მოდულის განმარტებას, მაშინ მივიღებთ მოდულის გლობალურ განმარტებას ყველა რიცხვისთვის. კერძოდ: რიცხვის მოდული უდრის თავად ამ რიცხვს, თუ რიცხვი დადებითია (ან ნული), ან საპირისპირო რიცხვის ტოლია, თუ რიცხვი უარყოფითია. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს ფორმულის სახით:

ასევე არსებობს ნულის მოდული, მაგრამ ის ყოველთვის ნულის ტოლია. ასევე, ნული არის ერთადერთი რიცხვი, რომელსაც არ აქვს საპირისპირო.

ამრიგად, თუ გავითვალისწინებთ ფუნქციას $y=\left| x \right|$ და სცადეთ დახატოთ მისი გრაფიკი, მიიღებთ ასეთ "daw"-ს:

მოდულის გრაფიკისა და განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ამ სურათიდან დაუყოვნებლივ ხედავთ, რომ $\left| -m \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| m \right|$, და მოდულის ნახაზი არასოდეს ჩამოდის x-ღერძზე ქვემოთ. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის: წითელი ხაზი აღნიშნავს სწორ ხაზს $y=a$, რომელიც დადებითი $a$-ით გვაძლევს ერთდროულად ორ ფესვს: $((x)_(1))$ და $((x) _(2)) $, მაგრამ ამაზე მოგვიანებით ვისაუბრებთ. :)

გარდა წმინდა ალგებრული განმარტებისა, არსებობს გეომეტრიული. ვთქვათ, რიცხვთა წრფეზე არის ორი წერტილი: $((x)_(1))$ და $((x)_(2))$. ამ შემთხვევაში გამოთქმა $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ არის მხოლოდ მანძილი მითითებულ წერტილებს შორის. ან, თუ გნებავთ, ამ წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე:

მოდული არის მანძილი რიცხვთა ხაზის წერტილებს შორის

ამ განმარტებიდან ასევე გამომდინარეობს, რომ მოდული ყოველთვის არაუარყოფითია. მაგრამ საკმარისი განმარტებები და თეორია - მოდით გადავიდეთ რეალურ განტოლებაზე. :)

ძირითადი ფორმულა

კარგი, ჩვენ გავარკვიეთ განმარტება. მაგრამ ეს უფრო ადვილი არ ყოფილა. როგორ ამოხსნათ განტოლებები, რომლებიც შეიცავს ამ მოდულს?

დამშვიდდი, უბრალოდ დამშვიდდი. დავიწყოთ უმარტივესი ნივთებით. განვიხილოთ მსგავსი რამ:

\[\მარცხნივ| x\მარჯვნივ|=3\]

ასე რომ, მოდული$x$ არის 3. რისი შეიძლება იყოს $x$? კარგად, თუ ვიმსჯელებთ განმარტებით, $x=3$ ძალიან კარგად გვერგება. ნამდვილად:

\[\მარცხნივ| 3\მარჯვნივ|=3\]

არის სხვა ნომრები? Cap, როგორც ჩანს, მიანიშნებს, რომ არსებობს. მაგალითად, $x=-3$ — $\left| -3 \მარჯვნივ|=3$, ე.ი. დაკმაყოფილებულია საჭირო თანასწორობა.

იქნებ თუ მოვძებნოთ, დავფიქრდეთ, მეტი რიცხვი ვიპოვოთ? მაგრამ შეწყვიტე: მეტი ნომრები არ არის. განტოლება $\მარცხენა| x \right|=3$-ს აქვს მხოლოდ ორი ფესვი: $x=3$ და $x=-3$.

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. მოდით, $x$ ცვლადის ნაცვლად, ფუნქცია $f\left(x \right)$ ჩამოკიდებული იყოს მოდულის ნიშნის ქვეშ, ხოლო მარჯვნივ, სამმაგი ნაცვლად, დავაყენოთ თვითნებური რიცხვი $a$. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

\[\მარცხნივ| f\ მარცხენა (x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=a\]

აბა, როგორ გადაწყვიტე? შეგახსენებთ: $f\left(x \right)$ არის თვითნებური ფუნქცია, $a$ არის ნებისმიერი რიცხვი. იმათ. საერთოდ ნებისმიერი! Მაგალითად:

\[\მარცხნივ| 2x+1 \მარჯვნივ|=5\]

\[\მარცხნივ| 10x-5 \მარჯვნივ|=-65\]

მოდით შევხედოთ მეორე განტოლებას. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ თქვათ მასზე: მას ფესვები არ აქვს. რატომ? ეს ასეა: რადგან ის მოითხოვს, რომ მოდული იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი, რაც არასდროს ხდება, რადგან უკვე ვიცით, რომ მოდული ყოველთვის დადებითი რიცხვია ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნულოვანი.

მაგრამ პირველი განტოლებით, ყველაფერი უფრო სახალისოა. არსებობს ორი ვარიანტი: ან არის დადებითი გამოხატულება მოდულის ნიშნის ქვეშ და შემდეგ $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ან ეს გამონათქვამი მაინც უარყოფითია, ამ შემთხვევაში $\left| 2x+1 \მარჯვნივ|=-\მარცხნივ(2x+1 \მარჯვნივ)=-2x-1$. პირველ შემთხვევაში, ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\მარცხნივ| 2x+1 \მარჯვნივ|=5\მარჯვენა ისარი 2x+1=5\]

და უცებ აღმოჩნდება, რომ ქვემოდულის გამოხატულება $2x+1$ მართლაც დადებითია - ის უდრის რიცხვს 5. ანუ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ამოხსნათ ეს განტოლება - შედეგად მიღებული ფესვი იქნება პასუხის ნაწილი:

მათ, ვისაც განსაკუთრებით დაუჯერებელია, შეუძლიათ სცადონ ნაპოვნი ფესვის ჩანაცვლება თავდაპირველ განტოლებაში და დარწმუნდნენ, რომ მოდულის ქვეშ ნამდვილად იქნება დადებითი რიცხვი.

ახლა მოდით შევხედოთ ნეგატიური ქვემოდულის გამოხატვის შემთხვევას:

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& \მარცხნივ| 2x+1 \მარჯვნივ|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვნივ ისარი -2x-1=5 \მარჯვენა ისარი 2x+1=-5\]

უი! ისევ ყველაფერი ნათელია: ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ $2x+1 \lt 0$, და შედეგად მივიღეთ ეს $2x+1=-5$ - მართლაც, ეს გამოხატულება ნულზე ნაკლებია. ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას, მაშინ როდესაც უკვე ვიცით, რომ ნაპოვნი ფესვი მოგვწონს:

ჯამში ისევ მივიღეთ ორი პასუხი: $x=2$ და $x=3$. დიახ, გამოთვლების რაოდენობა ოდნავ მეტი აღმოჩნდა, ვიდრე ძალიან მარტივ განტოლებაში $\left| x \right|=3$, მაგრამ ფუნდამენტურად არაფერი შეცვლილა. იქნებ არსებობს რაიმე სახის უნივერსალური ალგორითმი?

დიახ, ასეთი ალგორითმი არსებობს. და ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ მას.

მოდულის ნიშნის მოშორება

მოდით მივცეთ განტოლება $\left| f\left(x \right) \right|=a$ და $a\ge 0$ (წინააღმდეგ შემთხვევაში, როგორც უკვე ვიცით, ფესვები არ არსებობს). შემდეგ შეგიძლიათ მოიცილოთ მოდულის ნიშანი შემდეგი წესის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| f\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ

ამრიგად, ჩვენი განტოლება მოდულით იყოფა ორად, მაგრამ მოდულის გარეშე. ეს არის მთელი ტექნოლოგია! შევეცადოთ ამოხსნათ რამდენიმე განტოლება. დავიწყოთ ამით

\[\მარცხნივ| 5x+4 \მარჯვნივ|=10\მარჯვენა ისარი 5x+4=\pm 10\]

ცალ-ცალკე განვიხილავთ, როცა არის ათი პლიუსით მარჯვნივ და ცალკე როცა არის მინუსთან ერთად. Ჩვენ გვაქვს:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\მარჯვენა ისარი 5x=-14\მარჯვენა ისარი x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! მივიღეთ ორი ფესვი: $x=1.2$ და $x=-2.8$. მთელი გამოსავალი სიტყვასიტყვით ორ სტრიქონს აიღო.

კარგი, არავითარი კითხვა, მოდით შევხედოთ რაღაც უფრო სერიოზულს:

\[\მარცხნივ| 7-5x \მარჯვნივ|=13\]

ისევ გახსენით მოდული პლუსებით და მინუსებით:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ისევ რამდენიმე სტრიქონი - და პასუხი მზად არის! როგორც ვთქვი, არაფერია რთული მოდულებში. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ რამდენიმე წესი. ამიტომ, ჩვენ წინ მივდივართ და ვაგრძელებთ მართლაც უფრო რთულ ამოცანებს.

ცვლადი მარჯვენა მხარეს კორპუსი

ახლა განიხილეთ ეს განტოლება:

\[\მარცხნივ| 3x-2 \მარჯვნივ|=2x\]

ეს განტოლება ფუნდამენტურად განსხვავდება ყველა წინაგან. Როგორ? და ის ფაქტი, რომ გამონათქვამი $2x$ არის ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ - და წინასწარ ვერ გავიგებთ, დადებითია თუ უარყოფითი.

როგორ უნდა იყოს ამ შემთხვევაში? პირველ რიგში, ეს ერთხელ და სამუდამოდ უნდა გავიგოთ თუ განტოლების მარჯვენა მხარე უარყოფითია, მაშინ განტოლებას ფესვები არ ექნება- უკვე ვიცით, რომ მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი.

და მეორეც, თუ მარჯვენა ნაწილი კვლავ დადებითია (ან ნულის ტოლია), მაშინ შეგიძლიათ გააგრძელოთ ზუსტად ისე, როგორც ადრე: უბრალოდ გახსენით მოდული ცალკე პლუსის ნიშნით და ცალკე მინუს ნიშნით.

ამრიგად, ჩვენ ვაყალიბებთ წესს თვითნებური ფუნქციებისთვის $f\left(x \right)$ და $g\left(x \right)$:

\[\მარცხნივ| f\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ ), \\& g\left(x \მარჯვნივ)\ge 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

რაც შეეხება ჩვენს განტოლებას, მივიღებთ:

\[\მარცხნივ| 3x-2 \მარჯვნივ|=2x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ შეგვიძლია როგორმე გავუმკლავდეთ $2x\ge 0$ მოთხოვნას. საბოლოო ჯამში, ჩვენ შეგვიძლია სულელურად შევცვალოთ ფესვები, რომლებიც მივიღეთ პირველი განტოლებიდან და შევამოწმოთ, მოქმედებს თუ არა უტოლობა.

მაშ, მოდით, თავად გადავჭრათ განტოლება:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აბა, ამ ორი ფესვიდან რომელი აკმაყოფილებს $2x\ge 0$ მოთხოვნას? დიახ, ორივე! ამიტომ, პასუხი იქნება ორი რიცხვი: $x=(4)/(3)\;$ და $x=0$. ეგაა გამოსავალი. :)

მეეჭვება, რომ ერთ-ერთმა სტუდენტმა უკვე დაიწყო მოწყენა? კარგად, განიხილეთ კიდევ უფრო რთული განტოლება:

\[\მარცხნივ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \მარჯვნივ|=x-((x)^(3))\]

მიუხედავად იმისა, რომ ის ბოროტად გამოიყურება, სინამდვილეში ეს არის ფორმის "მოდული უდრის ფუნქციას" იგივე განტოლება:

\[\მარცხნივ| f\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=g\მარცხნივ(x \მარჯვნივ)\]

და ის წყდება იმავე გზით:

\[\მარცხნივ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \მარჯვნივ|=x-((x)^(3))\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \მარცხნივ(x-((x)^(3)) \მარჯვნივ), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

უთანასწორობას მოგვიანებით გავუმკლავდებით - ის რაღაცნაირად ზედმეტად მანკიერია (სინამდვილეში მარტივია, მაგრამ ჩვენ არ მოვაგვარებთ). ახლა მოდით შევხედოთ მიღებულ განტოლებებს. განვიხილოთ პირველი შემთხვევა - ეს არის მაშინ, როდესაც მოდული გაფართოვდება პლუს ნიშნით:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

აჰა, უაზროა, რომ თქვენ უნდა შეაგროვოთ ყველაფერი მარცხნივ, მოიტანოთ მსგავსი და ნახოთ რა მოხდება. და აი რა ხდება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\ბოლო (გასწორება)\]

საერთო ფაქტორის $((x)^(2))$ ფრჩხილიდან ამოღებით, მივიღებთ ძალიან მარტივ განტოლებას:

\[((x)^(2))\მარცხნივ(2x-3 \მარჯვნივ)=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[((x)_(1))=0;\ოთხი ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

აქ ჩვენ გამოვიყენეთ პროდუქტის მნიშვნელოვანი თვისება, რისთვისაც ფაქტორზე დავყავით თავდაპირველი მრავალწევრი: ნამრავლი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

ახლა, ანალოგიურად, ჩვენ განვიხილავთ მეორე განტოლებას, რომელიც მიიღება მოდულის გაფართოებით მინუს ნიშნით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\მარცხნივ(x-((x)^(3)) \მარჯვნივ); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ მარცხენა (-3x+2 \მარჯვნივ)=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ისევ იგივე: პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულია. Ჩვენ გვაქვს:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ მივიღეთ სამი ფესვი: $x=0$, $x=1.5$ და $x=(2)/(3)\;$. აბა, რა იქნება საბოლოო პასუხი ამ ნაკრებიდან? ამისათვის გახსოვდეთ, რომ ჩვენ გვაქვს დამატებითი უთანასწორობის შეზღუდვა:

როგორ გავითვალისწინოთ ეს მოთხოვნა? მოდით შევცვალოთ ნაპოვნი ფესვები და შევამოწმოთ უტოლობა ამ $x$-ისთვის თუ არა. Ჩვენ გვაქვს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& x=0\მარჯვენა ისარი x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\მარჯვენა ისარი x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\მარჯვენა ისარი x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, ფესვი $x=1,5$ არ გვიწყობს. და საპასუხოდ მხოლოდ ორი ფესვი წავა:

\[((x)_(1))=0;\ quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

როგორც ხედავთ, ამ შემთხვევაშიც კი არაფერი იყო რთული - მოდულებით განტოლებები ყოველთვის წყდება ალგორითმის მიხედვით. თქვენ უბრალოდ უნდა გქონდეთ კარგად გაგება მრავალწევრებისა და უტოლობების შესახებ. ამიტომ, ჩვენ გადავდივართ უფრო რთულ ამოცანებზე - უკვე იქნება არა ერთი, არამედ ორი მოდული.

განტოლებები ორი მოდულით

აქამდე ჩვენ შევისწავლეთ მხოლოდ უმარტივესი განტოლებები - იყო ერთი მოდული და რაღაც სხვა. ჩვენ გავაგზავნეთ ეს „რაღაც სხვა“ უტოლობის სხვა ნაწილზე, მოდულიდან მოშორებით, რათა საბოლოოდ ყველაფერი დაყვანილიყო $\left| განტოლებამდე. f\left(x \right) \right|=g\left(x \მარჯვნივ)$ ან კიდევ უფრო მარტივი $\left| f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=a$.

მაგრამ საბავშვო ბაღი დასრულდა - დროა განვიხილოთ რაიმე უფრო სერიოზული. დავიწყოთ ასეთი განტოლებებით:

\[\მარცხნივ| f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| g\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|\]

ეს არის ფორმის განტოლება "მოდული უდრის მოდულს". ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანი წერტილი არის სხვა ტერმინებისა და ფაქტორების არარსებობა: მხოლოდ ერთი მოდული მარცხნივ, კიდევ ერთი მოდული მარჯვნივ - და მეტი არაფერი.

ახლა შეიძლება ვიფიქროთ, რომ ასეთი განტოლებების ამოხსნა უფრო რთულია, ვიდრე ის, რაც აქამდე შევისწავლეთ. მაგრამ არა: ეს განტოლებები წყდება კიდევ უფრო მარტივად. აქ არის ფორმულა:

\[\მარცხნივ| f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| g\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ

ყველაფერი! ჩვენ უბრალოდ ვაიგივებთ ქვემოდულის გამონათქვამებს ერთ-ერთი მათგანის პრეფიქსით პლუს ან მინუს ნიშნით. შემდეგ ჩვენ ვხსნით მიღებულ ორ განტოლებას - და ფესვები მზად არის! არანაირი დამატებითი შეზღუდვა, არანაირი უთანასწორობა და ა.შ. ყველაფერი ძალიან მარტივია.

შევეცადოთ ამ პრობლემის მოგვარება:

\[\მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| 2x-7 \მარჯვნივ|\]

ელემენტარული უოტსონი! მოდულების გახსნა:

\[\მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| 2x-7 \მარჯვნივ|\მარჯვნივ ისარი 2x+3=\pm \მარცხნივ(2x-7 \მარჯვნივ)\]

განვიხილოთ თითოეული შემთხვევა ცალკე:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\მარცხნივ(2x-7 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი 2x+3=-2x+7. \\\ბოლო (გასწორება)\]

პირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები. რადგან როდის არის $3=-7$? რა ღირებულებებისთვის $x$? „რა ჯანდაბაა $x$? ჩაქოლეს? საერთოდ არ არის $x$”, - ამბობთ თქვენ. და მართალი იქნებით. ჩვენ მივიღეთ ტოლობა, რომელიც არ არის დამოკიდებული $x$ ცვლადზე და ამავე დროს თავად ტოლობა არასწორია. ამიტომაც არ არის ფესვები.

მეორე განტოლებით, ყველაფერი ცოტა უფრო საინტერესოა, მაგრამ ასევე ძალიან, ძალიან მარტივი:

როგორც ხედავთ, ყველაფერი გადაწყდა სიტყვასიტყვით რამდენიმე სტრიქონში - წრფივი განტოლებისგან სხვას არაფერს ველოდით. ​​:)

შედეგად, საბოლოო პასუხია: $x=1$.

აბა, როგორ? რთული? Რათქმაუნდა არა. სხვა რამე ვცადოთ:

\[\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| ((x)^(2))-3x+2 \მარჯვნივ|\]

ისევ გვაქვს განტოლება, როგორიცაა $\left| f\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| g\left(x \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|$. ამიტომ, ჩვენ დაუყოვნებლივ გადავწერთ მას, გამოვავლენთ მოდულის ნიშანს:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\]

იქნებ ახლა ვინმემ იკითხოს: „აი, რა სისულელეა? რატომ არის პლუს-მინუსი მარჯვენა მხარეს და არა მარცხენა მხარეს? დამშვიდდი, ყველაფერს აგიხსნი. მართლაც, კარგი თვალსაზრისით, ჩვენ უნდა გადაგვეწერა ჩვენი განტოლება შემდეგნაირად:

შემდეგ თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები, გადაიტანოთ ყველა ტერმინი ერთი მიმართულებით ტოლობის ნიშნიდან (რადგან განტოლება, ცხადია, ორივე შემთხვევაში კვადრატი იქნება) და შემდეგ იპოვეთ ფესვები. მაგრამ თქვენ უნდა აღიაროთ: როდესაც „პლუს-მინუს“ არის სამი ტერმინის წინ (განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ამ ტერმინებიდან ერთ-ერთი კვადრატული გამოხატულებაა), ეს რაღაცნაირად უფრო რთულად გამოიყურება, ვიდრე სიტუაცია, როდესაც „პლუს-მინუს“ მხოლოდ ორის წინ არის. ვადები.

მაგრამ არაფერი გვიშლის ხელს თავდაპირველი განტოლების შემდეგნაირად გადაწერაში:

\[\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| ((x)^(2))-3x+2 \მარჯვნივ|\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ| ((x)^(2))-3x+2 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\]

Რა მოხდა? დიახ, არაფერი განსაკუთრებული: უბრალოდ შევცვალეთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები. წვრილმანი, რომელიც საბოლოოდ ცოტათი გაგვიმარტივებს ცხოვრებას. :)

ზოგადად, ჩვენ ვხსნით ამ განტოლებას, განვიხილავთ პლიუს და მინუს ვარიანტებს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\მარჯვენა ისარი ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი ((x)^(2))-2x+1=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

პირველ განტოლებას აქვს ფესვები $x=3$ და $x=1$. მეორე არის ზოგადად ზუსტი კვადრატი:

\[((x)^(2))-2x+1=((\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ))^(2))\]

აქედან გამომდინარე, მას აქვს ერთი ფესვი: $x=1$. მაგრამ ჩვენ უკვე მივიღეთ ეს ფესვი ადრე. ამრიგად, მხოლოდ ორი რიცხვი შევა საბოლოო პასუხში:

\[((x)_(1))=3;\ოთხი ((x)_(2))=1.\]

Მისია შესრულებულია! შეგიძლიათ აიღოთ თაროდან და მიირთვათ ღვეზელი. არის 2 მათგანი, შენი საშუალო. :)

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი. მოდულის გაფართოების სხვადასხვა ვერსიისთვის ერთი და იგივე ფესვების არსებობა ნიშნავს, რომ თავდაპირველი პოლინომები იშლება ფაქტორებად და ამ ფაქტორებს შორის აუცილებლად იქნება საერთო. ნამდვილად:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| ((x)^(2))-3x+2 \მარჯვნივ|; \\&\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \მარცხენა(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხენა(x-2 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ|. \\\ბოლო (გასწორება)\]

მოდულის ერთ-ერთი თვისება: $\left| a\cdot b \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| a \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| b \right|$ (ანუ ნამრავლის მოდული უდრის მოდულის ნამრავლს), ამიტომ თავდაპირველი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც

\[\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|\]

როგორც ხედავთ, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საერთო ფაქტორი. ახლა, თუ თქვენ შეაგროვებთ ყველა მოდულს ერთ მხარეს, მაშინ შეგიძლიათ ამოიღოთ ეს მულტიპლიკატორი ფრჩხილიდან:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|; \\&\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|-\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|=0; \\&\მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|\cdot \left(1-\left| x-2 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ)=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

კარგად, ახლა გავიხსენებთ, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|=0, \\& \მარცხნივ| x-2 \მარჯვნივ|=1. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ამრიგად, ორიგინალური განტოლება ორი მოდულით შემცირდა ორ უმარტივეს განტოლებამდე, რომლებზეც გაკვეთილის დასაწყისში ვისაუბრეთ. ასეთი განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში. :)

ეს შენიშვნა შეიძლება ზედმეტად რთული და პრაქტიკაში შეუსაბამო ჩანდეს. თუმცა, სინამდვილეში, თქვენ შეიძლება შეგხვდეთ ბევრად უფრო რთული ამოცანები, ვიდრე ის, რასაც დღეს ვაანალიზებთ. მათში მოდულები შეიძლება გაერთიანდეს მრავალწევრებთან, არითმეტიკულ ფესვებთან, ლოგარითმებთან და ა.შ. და ასეთ სიტუაციებში, განტოლების საერთო ხარისხის შემცირების შესაძლებლობა ფრჩხილიდან რაღაცის ამოღებით შეიძლება იყოს ძალიან, ძალიან მოსახერხებელი. :)

ახლა მინდა გავაანალიზო კიდევ ერთი განტოლება, რომელიც ერთი შეხედვით შეიძლება გიჟურად მოგეჩვენოთ. ბევრი სტუდენტი მასზე „იკიდებს“ - მათაც კი, ვისაც სჯერა, რომ კარგად ესმით მოდულები.

თუმცა, ეს განტოლება კიდევ უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე ადრე განვიხილეთ. და თუ გესმით რატომ, მიიღებთ კიდევ ერთ ხრიკს მოდულებით განტოლებების სწრაფად გადაჭრისთვის.

ასე რომ, განტოლება არის:

\[\მარცხნივ| x-((x)^(3)) \მარჯვნივ|+\მარცხნივ| ((x)^(2))+x-2 \მარჯვნივ|=0\]

არა, ეს არ არის შეცდომა: ეს არის პლუსი მოდულებს შორის. და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რომელ $x$-ში ორი მოდულის ჯამი უდრის ნულს. :)

Რა არის პრობლემა? და პრობლემა ის არის, რომ თითოეული მოდული არის დადებითი რიცხვი, ან უკიდურეს შემთხვევაში, ნულოვანი. რა ხდება, როცა ორ დადებით რიცხვს დაამატებთ? ცხადია, ისევ დადებითი რიცხვია:

\[\ დასაწყისი (გასწორება)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]

ბოლო სტრიქონი მოგცემთ წარმოდგენას: ერთადერთი შემთხვევა, როდესაც მოდულების ჯამი ნულია, არის თუ თითოეული მოდული ნულის ტოლია:

\[\მარცხნივ| x-((x)^(3)) \მარჯვნივ|+\მარცხნივ| ((x)^(2))+x-2 \მარჯვნივ|=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& \მარცხნივ| x-((x)^(3)) \მარჯვნივ|=0, \\& \მარცხნივ|((x)^(2))+x-2 \მარჯვნივ|=0. \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

როდის არის მოდული ნულის ტოლი? მხოლოდ ერთ შემთხვევაში - როდესაც ქვემოდულის გამოხატულება ნულის ტოლია:

\[((x)^(2))+x-2=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)=0\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=-2 \\& x=1 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ამრიგად, გვაქვს სამი წერტილი, რომლებშიც პირველი მოდული დაყენებულია ნულზე: 0, 1 და −1; ასევე ორი წერტილი, რომლებშიც მეორე მოდული არის ნულოვანი: −2 და 1. თუმცა, ჩვენ გვჭირდება ორივე მოდული ერთდროულად იყოს ნულოვანი, ამიტომ აღმოჩენილ რიცხვებს შორის უნდა ავირჩიოთ ის, რაც შედის ორივე სიმრავლეში. ცხადია, ასეთი რიცხვი მხოლოდ ერთია: $x=1$ - ეს იქნება საბოლოო პასუხი.

გაყოფის მეთოდი

ისე, ჩვენ უკვე დავფარეთ რამდენიმე დავალება და ვისწავლეთ ბევრი ხრიკი. გგონია ეს არის? Მაგრამ არა! ახლა ჩვენ განვიხილავთ საბოლოო ტექნიკას - და ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანს. ჩვენ ვისაუბრებთ მოდულით განტოლებების გაყოფაზე. რა იქნება განხილული? მოდით ცოტა უკან დავბრუნდეთ და განვიხილოთ რამდენიმე მარტივი განტოლება. მაგალითად, ეს:

\[\მარცხნივ| 3x-5\მარჯვნივ|=5-3x\]

პრინციპში, ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლება, რადგან ეს არის $\left| სტანდარტული f\left(x \right) \right|=g\left(x \მარჯვნივ)$. მაგრამ შევეცადოთ შევხედოთ ამ განტოლებას ოდნავ განსხვავებული კუთხით. უფრო ზუსტად, განიხილეთ გამოხატულება მოდულის ნიშნის ქვეშ. შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი რიცხვის მოდული შეიძლება იყოს თავად რიცხვის ტოლი, ან შეიძლება იყოს ამ რიცხვის საპირისპირო:

\[\მარცხნივ| a \მარჯვნივ|=\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სინამდვილეში, ეს გაურკვევლობა არის მთელი პრობლემა: ვინაიდან რიცხვი მოდულის ქვეშ იცვლება (ეს დამოკიდებულია ცვლადზე), ჩვენთვის უცნობია დადებითია თუ უარყოფითი.

მაგრამ რა მოხდება, თუ თავდაპირველად მოვითხოვთ, რომ ეს რიცხვი იყოს დადებითი? მაგალითად, მოვითხოვოთ, რომ $3x-5 \gt 0$ - ამ შემთხვევაში გარანტირებული გვაქვს დადებითი რიცხვის მიღება მოდულის ნიშნის ქვეშ და შეგვიძლია მთლიანად მოვიშოროთ ეს მოდული:

ამრიგად, ჩვენი განტოლება გადაიქცევა წრფივ, რომელიც ადვილად ამოხსნილია:

მართალია, ყველა ეს მოსაზრება აზრი აქვს მხოლოდ იმ პირობით, $3x-5 \gt 0$ - ჩვენ თვითონ შემოვიღეთ ეს მოთხოვნა მოდულის ცალსახად გამოსავლენად. მოდით ჩავანაცვლოთ ნაპოვნი $x=\frac(5)(3)$ ამ მდგომარეობაში და შეამოწმოთ:

გამოდის, რომ მითითებული მნიშვნელობისთვის $x$, ჩვენი მოთხოვნა არ არის დაკმაყოფილებული, რადგან გამოთქმა აღმოჩნდა ნულის ტოლი და ჩვენ გვჭირდება, რომ ის მკაცრად მეტი იყოს ნულზე. სამწუხაროა. :(

მაგრამ არაუშავს! ყოველივე ამის შემდეგ, არის კიდევ ერთი ვარიანტი $3x-5 \lt 0$. მეტიც: არის შემთხვევაც $3x-5=0$ - ესეც გასათვალისწინებელია, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოსავალი არასრული იქნება. ასე რომ, განიხილეთ $3x-5 \lt 0$ შემთხვევა:

აშკარაა, რომ მოდული გაიხსნება მინუს ნიშნით. მაგრამ შემდეგ წარმოიქმნება უცნაური სიტუაცია: როგორც მარცხნივ, ასევე მარჯვნივ თავდაპირველ განტოლებაში ერთი და იგივე გამონათქვამი გამოიკვეთება:

მაინტერესებს ასეთი $x$ გამოთქმა $5-3x$ რა იქნება გამოხატვის $5-3x$? ასეთი განტოლებიდან კაპიტანსაც კი აშკარად ნერწყვი ახრჩობდა, მაგრამ ვიცით, რომ ეს განტოლება არის იდენტობა, ე.ი. ეს მართალია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის!

და ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი $x$ მოგვწონს. თუმცა, ჩვენ გვაქვს შეზღუდვა:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პასუხი არ იქნება ერთი რიცხვი, არამედ მთელი ინტერვალი:

დაბოლოს, გასათვალისწინებელია კიდევ ერთი შემთხვევა: $3x-5=0$. აქ ყველაფერი მარტივია: მოდულის ქვეშ იქნება ნული და ნულის მოდული ასევე ნულის ტოლია (ეს პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებიდან):

მაგრამ შემდეგ ორიგინალური განტოლება $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ გადაიწერება ასე:

ჩვენ უკვე მივიღეთ ეს ფესვი ზემოთ, როდესაც განვიხილეთ შემთხვევა $3x-5 \gt 0$. უფრო მეტიც, ეს ფესვი არის $3x-5=0$ განტოლების ამონახსნი - ეს არის შეზღუდვა, რომელიც ჩვენ თვითონ შემოვიღეთ მოდულის გასაუქმებლად. :)

ამრიგად, ინტერვალის გარდა, ჩვენ ასევე დავკმაყოფილდებით ამ ინტერვალის ბოლოში მყოფი რიცხვით:

ფესვების გაერთიანება განტოლებებში მოდულთან

სრული საბოლოო პასუხი: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \მარჯვნივ]$. არც ისე ხშირია ასეთი სისულელეების დანახვა საკმაოდ მარტივ (ძირითადად წრფივ) განტოლებაზე მოდულით. კარგად, შეეგუეთ ამას: მოდულის სირთულე იმაში მდგომარეობს, რომ პასუხები ასეთ განტოლებებში შეიძლება სრულიად არაპროგნოზირებადი აღმოჩნდეს.

ბევრად უფრო მნიშვნელოვანია სხვა რამ: ჩვენ ახლახან დავშალეთ განტოლების მოდულით ამოხსნის უნივერსალური ალგორითმი! და ეს ალგორითმი შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან:

1. განტოლებაში თითოეული მოდული გაატოლეთ ნულთან. ავიღოთ რამდენიმე განტოლება;
2. ამოხსენით ყველა ეს განტოლება და მონიშნეთ ფესვები რიცხვთა წრფეზე. შედეგად, სწორი ხაზი დაიყოფა რამდენიმე ინტერვალად, რომელთაგან თითოეულზე ყველა მოდული ცალსახად არის გაფართოებული;
3. ამოხსენით თავდაპირველი განტოლება თითოეული ინტერვალისთვის და დააკავშირეთ პასუხები.

Სულ ეს არის! რჩება მხოლოდ ერთი კითხვა: რა უნდა გავაკეთოთ პირველ ეტაპზე მიღებულ ფესვებთან? ვთქვათ, გვაქვს ორი ფესვი: $x=1$ და $x=5$. ისინი დაყოფენ რიცხვთა ხაზს 3 ნაწილად:

რიცხვითი წრფის დაყოფა ინტერვალებად წერტილების გამოყენებით

ასე რომ, რა არის ინტერვალები? ნათელია, რომ სამი მათგანია:

1. მარცხნივ: $x \lt 1$ - თავად ერთეული არ შედის ინტერვალში;
2. ცენტრალური: $1\le x \lt 5$ - აქ ერთი შედის ინტერვალში, მაგრამ ხუთი არ შედის;
3. ყველაზე მარჯვენა: $x\ge 5$ — ხუთი შედის მხოლოდ აქ!

ვფიქრობ, თქვენ უკვე გესმით ნიმუში. თითოეული ინტერვალი მოიცავს მარცხენა ბოლოს და არ მოიცავს მარჯვენა ბოლოს.

ერთი შეხედვით, ასეთი ჩანაწერი შეიძლება ჩანდეს არასასიამოვნო, ალოგიკური და ზოგადად რაღაც გიჟური. მაგრამ დამიჯერეთ: მცირე პრაქტიკის შემდეგ აღმოაჩენთ, რომ ეს მიდგომა ყველაზე საიმედოა და ამავდროულად არ ერევა მოდულების ცალსახად გამოვლენაში. უმჯობესია გამოიყენოთ ასეთი სქემა, ვიდრე იფიქროთ ყოველ ჯერზე: მარცხენა / მარჯვენა ბოლო მიეცით მიმდინარე ინტერვალს ან „გადააგდეთ“ შემდეგზე.

ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. ჩვენ მივცემთ რიცხვის მოდულის სხვადასხვა განმარტებას, შემოგთავაზებთ აღნიშვნას და ვაძლევთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს. ამ შემთხვევაში განვიხილავთ რიცხვის მოდულის განსაზღვრის სხვადასხვა მაგალითს. ამის შემდეგ ჩამოვთვლით და ვამართლებთ მოდულის ძირითად თვისებებს. სტატიის ბოლოს ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ არის განსაზღვრული და ნაპოვნი რთული რიცხვის მოდული.

გვერდის ნავიგაცია.

რიცხვის მოდული - განმარტება, აღნიშვნა და მაგალითები

ჯერ წარმოგიდგენთ მოდულის აღნიშვნა. a რიცხვის მოდული დაიწერება როგორც , ანუ რიცხვის მარცხნივ და მარჯვნივ დავსვამთ ვერტიკალურ ხაზებს, რომლებიც ქმნიან მოდულის ნიშანს. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი. მაგალითად, modulo -7 შეიძლება დაიწეროს როგორც ; მოდული 4,125 იწერება როგორც , ხოლო მოდული იწერება როგორც .

მოდულის შემდეგი განმარტება ეხება და, შესაბამისად, მთელ რიცხვებს და რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს, როგორც რეალური რიცხვების სიმრავლის შემადგენელ ნაწილებს. ჩვენ ვისაუბრებთ კომპლექსური რიცხვის მოდულზე.

განმარტება.

მოდული აარის ან თავად რიცხვი a, თუ a დადებითი რიცხვია, ან რიცხვი −a, a რიცხვის საპირისპირო, თუ a უარყოფითი რიცხვია, ან 0, თუ a=0.

რიცხვის მოდულის გახმოვანებული განმარტება ხშირად იწერება შემდეგი ფორმით , ეს აღნიშვნა ნიშნავს, რომ თუ a>0 , თუ a=0 და თუ a<0 .

ჩანაწერი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უფრო კომპაქტური ფორმით . ეს აღნიშვნა ნიშნავს, რომ თუ (a მეტია ან ტოლია 0-ზე), და თუ a<0 .

ასევე არის ჩანაწერი . აქ ცალკე უნდა აიხსნას შემთხვევა, როცა a=0. ამ შემთხვევაში გვაქვს , მაგრამ −0=0 , ვინაიდან ნული ითვლება თავის საპირისპირო რიცხვად.

მოვიყვანოთ რიცხვის მოდულის პოვნის მაგალითებიმოცემული განმარტებით. მაგალითად, ვიპოვოთ 15 და ნომრების მოდულები. დავიწყოთ მოძიებით. ვინაიდან რიცხვი 15 დადებითია, მისი მოდული, განსაზღვრებით, უდრის თავად ამ რიცხვს, ანუ . რა არის რიცხვის მოდული? ვინაიდან უარყოფითი რიცხვია, მაშინ მისი მოდული უდრის რიცხვის საპირისპირო რიცხვს, ანუ რიცხვს . Ამგვარად, .

ამ პუნქტის დასასრულს, ჩვენ ვაძლევთ ერთ დასკვნას, რომელიც ძალიან მოსახერხებელია პრაქტიკაში რიცხვის მოდულის პოვნისას. რიცხვის მოდულის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ რიცხვის მოდული უდრის რიცხვს მოდულის ნიშნის ქვეშ, მიუხედავად მისი ნიშნისადა ზემოთ განხილული მაგალითებიდან ეს ძალიან ნათლად ჩანს. გაჟღერებული განცხადება განმარტავს, თუ რატომ არის ასევე მოწოდებული რიცხვის მოდული რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. ასე რომ, რიცხვის მოდული და რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ერთი და იგივეა.

რიცხვის მოდული მანძილის სახით

გეომეტრიულად, რიცხვის მოდული შეიძლება განიმარტოს როგორც მანძილი. მოვიყვანოთ რიცხვის მოდულის განსაზღვრა მანძილის მიხედვით.

განმარტება.

მოდული აარის მანძილი საწყისიდან კოორდინატთა წრფეზე a რიცხვის შესაბამის წერტილამდე.

ეს განმარტება შეესაბამება პირველ აბზაცში მოცემული რიცხვის მოდულის განმარტებას. მოდით ავხსნათ ეს წერტილი. მანძილი საწყისიდან დადებითი რიცხვის შესაბამის წერტილამდე ამ რიცხვის ტოლია. ნული შეესაბამება საწყისს, ამიტომ მანძილი საწყისიდან წერტილამდე 0 კოორდინატით არის ნული (არც ერთი სეგმენტი და არც ერთი სეგმენტი, რომელიც ადგენს ერთეული სეგმენტის რომელიმე წილადს, არ არის საჭირო გადაიდოს იმისათვის, რომ O წერტილიდან წერტილამდე მივიდეთ. კოორდინატით 0). მანძილი საწყისიდან უარყოფითი კოორდინატის მქონე წერტილამდე უდრის მოცემული წერტილის კოორდინატის საპირისპირო რიცხვს, ვინაიდან იგი უდრის მანძილს საწყისიდან იმ წერტილამდე, რომლის კოორდინატი არის საპირისპირო რიცხვი.

მაგალითად, რიცხვი 9-ის მოდული არის 9, რადგან მანძილი საწყისიდან 9 კოორდინატის მქონე წერტილამდე არის ცხრა. ავიღოთ სხვა მაგალითი. წერტილი −3.25 კოორდინატით არის O წერტილიდან 3.25 დაშორებით, ასე რომ .

რიცხვის მოდულის გახმოვანებული განსაზღვრება არის ორი რიცხვის სხვაობის მოდულის განსაზღვრის განსაკუთრებული შემთხვევა.

განმარტება.

ორი რიცხვის განსხვავების მოდული a და b უდრის მანძილს კოორდინატთა ხაზის წერტილებს შორის a და b კოორდინატებთან.

ანუ, თუ მოცემულია A(a) და B(b) კოორდინატთა წრფეზე წერტილები, მაშინ მანძილი A წერტილიდან B წერტილამდე უდრის a და b რიცხვებს შორის სხვაობის მოდულის. თუ B წერტილად ავიღებთ O წერტილს (საცნობარო პუნქტს), მაშინ მივიღებთ ამ აბზაცის დასაწყისში მოცემული რიცხვის მოდულის განმარტებას.

რიცხვის მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის მეშვეობით

ზოგჯერ ნაპოვნი მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის მეშვეობით.

მაგალითად, გამოვთვალოთ −30 რიცხვების მოდულები და ამ განმარტებაზე დაყრდნობით. Ჩვენ გვაქვს . ანალოგიურად, ჩვენ ვიანგარიშებთ ორი მესამედის მოდულს: .

რიცხვის მოდულის განსაზღვრა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის მიხედვით ასევე შეესაბამება ამ მუხლის პირველ პუნქტში მოცემულ განმარტებას. ვაჩვენოთ. მოდით, დადებითი რიცხვი იყოს, ხოლო −a უარყოფითი. მერე და , თუ a=0 , მაშინ .

მოდულის თვისებები

მოდულს აქვს მრავალი დამახასიათებელი შედეგი - მოდულის თვისებები. ახლა ჩვენ მივცემთ მათ მთავარ და ყველაზე ხშირად გამოყენებას. ამ თვისებების დასაბუთებისას დავეყრდნობით რიცხვის მოდულის განსაზღვრას მანძილის მიხედვით.

დავიწყოთ მოდულის ყველაზე აშკარა თვისებით - რიცხვის მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. პირდაპირი ფორმით, ამ თვისებას აქვს ნებისმიერი რიცხვის ფორმა a . ამ თვისების დასაბუთება ძალიან ადვილია: რიცხვის მოდული არის მანძილი, ხოლო მანძილი არ შეიძლება გამოისახოს როგორც უარყოფითი რიცხვი.

მოდით გადავიდეთ მოდულის შემდეგ თვისებაზე. რიცხვის მოდული ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ეს რიცხვი ნულის ტოლია. ნულის მოდული განსაზღვრებით ნულია. ნული შეესაბამება საწყისს, არც ერთი სხვა წერტილი კოორდინატთა წრფეზე არ შეესაბამება ნულს, ვინაიდან თითოეული რეალური რიცხვი ასოცირდება კოორდინატთა წრფის ერთ წერტილთან. ამავე მიზეზით, ნულის გარდა ნებისმიერი რიცხვი შეესაბამება საწყისის გარდა სხვა წერტილს. და მანძილი საწყისიდან ნებისმიერ წერტილამდე, გარდა O წერტილისა, არ არის ნულის ტოლი, ვინაიდან ორ წერტილს შორის მანძილი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს წერტილები ემთხვევა. ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა ადასტურებს, რომ მხოლოდ ნულის მოდული უდრის ნულს.

Გაინძერი. საპირისპირო რიცხვებს აქვთ თანაბარი მოდულები, ანუ ნებისმიერი რიცხვისთვის a . მართლაც, კოორდინატთა ხაზის ორი წერტილი, რომელთა კოორდინატები საპირისპირო რიცხვებია, ერთნაირი მანძილით არის დაშორებული საწყისიდან, რაც ნიშნავს, რომ საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია.

შემდეგი მოდულის თვისებაა: ორი რიცხვის ნამრავლის მოდული უდრის ამ რიცხვების მოდულების ნამრავლს, ანუ . განმარტებით, a და b რიცხვების ნამრავლის მოდული არის ან b თუ , ან −(a b) თუ . ნამდვილ რიცხვთა გამრავლების წესებიდან გამომდინარეობს, რომ a და b რიცხვების მოდულების ნამრავლი ტოლია ან b , , ან −(a b) , თუ , რომელიც ადასტურებს განხილულ თვისებას.

a-ს b-ზე გაყოფის კოეფიციენტის ტოლია a-ის მოდულის b-ზე გაყოფის კოეფიციენტი., ანუ . მოდით გავამართლოთ მოდულის ეს თვისება. ვინაიდან კოეფიციენტი ტოლია პროდუქტის, მაშინ . წინა ქონების ძალით გვაქვს . რჩება მხოლოდ ტოლობის გამოყენება, რომელიც ძალაშია რიცხვის მოდულის განსაზღვრის გამო.

შემდეგი მოდულის თვისება იწერება როგორც უტოლობა: , a , b და c არის თვითნებური რეალური რიცხვები. წერილობითი უთანასწორობა სხვა არაფერია, თუ არა სამკუთხედის უტოლობა. ამის გასაგებად, ავიღოთ წერტილები A(a), B(b) , C(c) კოორდინატთა წრფეზე და განვიხილოთ გადაგვარებული სამკუთხედი ABC, რომლის წვეროები დევს იმავე წრფეზე. განმარტებით, განსხვავების მოდული უდრის AB სეგმენტის სიგრძეს, - AC სეგმენტის სიგრძეს და - CB სეგმენტის სიგრძეს. ვინაიდან სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის სიგრძე არ აღემატება დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძის ჯამს, უტოლობა მაშასადამე, უთანასწორობაც მოქმედებს.

ახლახან დადასტურებული უთანასწორობა ბევრად უფრო ხშირია ფორმაში . ჩაწერილი უტოლობა ჩვეულებრივ განიხილება, როგორც მოდულის ცალკეული თვისება ფორმულირებით: ” ორი რიცხვის ჯამის მოდული არ აღემატება ამ რიცხვების მოდულების ჯამს". მაგრამ უტოლობა პირდაპირ გამომდინარეობს უტოლობიდან, თუ მასში b-ის ნაცვლად −b ჩავსვამთ და ავიღებთ c=0.

კომპლექსური რიცხვების მოდული

მივცეთ რთული რიცხვის მოდულის განსაზღვრა. მოდით, მოგვცეს რთული რიცხვი, დაწერილი ალგებრული ფორმით, სადაც x და y არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომლებიც, შესაბამისად, წარმოადგენს მოცემული z რთული რიცხვის რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს და არის წარმოსახვითი ერთეული.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა აარის მანძილი საწყისიდან წერტილამდე მაგრამ(ა).

ამ განმარტების გასაგებად, ჩვენ ვცვლით ცვლადის ნაცვლად ანებისმიერი რიცხვი, მაგალითად 3 და სცადეთ მისი ხელახლა წაკითხვა:

რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა 3 არის მანძილი საწყისიდან წერტილამდე მაგრამ(3 ).

ცხადი ხდება, რომ მოდული სხვა არაფერია, თუ არა ჩვეულებრივი მანძილი. შევეცადოთ დავინახოთ მანძილი საწყისიდან A წერტილამდე 3 )

მანძილი კოორდინატების საწყისიდან A წერტილამდე 3 ) უდრის 3-ს (სამი ერთეული ან სამი ნაბიჯი).

რიცხვის მოდული მითითებულია ორი ვერტიკალური ხაზით, მაგალითად:

3 რიცხვის მოდული აღინიშნა შემდეგნაირად: |3|

4 რიცხვის მოდული აღინიშნება შემდეგნაირად: |4|

5 რიცხვის მოდული აღინიშნება შემდეგნაირად: |5|

ჩვენ მოვძებნეთ რიცხვი 3-ის მოდული და აღმოვაჩინეთ, რომ ის უდრის 3-ს. ამიტომ ვწერთ:

იკითხება ასე: "სამი მოდული არის სამი"

ახლა შევეცადოთ ვიპოვოთ -3 რიცხვის მოდული. კვლავ ვუბრუნდებით განმარტებას და ჩავანაცვლებთ მასში რიცხვს -3. მხოლოდ წერტილის ნაცვლად აგამოიყენეთ ახალი წერტილი ბ. წერტილი აჩვენ უკვე გამოვიყენეთ პირველ მაგალითში.

რიცხვის მოდული არის 3 მოვუწოდებთ მანძილს საწყისიდან წერტილამდე ბ(—3 ).

მანძილი ერთი წერტილიდან მეორემდე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი. ამიტომ, ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვის მოდული, როგორც მანძილი, ასევე არ იქნება უარყოფითი. -3 რიცხვის მოდული იქნება რიცხვი 3. მანძილი საწყისიდან B(-3) წერტილამდე ასევე უდრის სამ ერთეულს:

იკითხება ასე: "რიცხვის მინუს სამი მოდული არის სამი"

0 რიცხვის მოდული არის 0, ვინაიდან წერტილი 0 კოორდინატით ემთხვევა საწყისს, ე.ი. მანძილი საწყისიდან წერტილამდე O(0)უდრის ნულს:

"ნულის მოდული არის ნული"

ჩვენ ვაკეთებთ დასკვნებს:

• რიცხვის მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი;
• დადებითი რიცხვისა და ნულისთვის, მოდული უდრის თავად რიცხვს, ხოლო უარყოფითისთვის, საპირისპირო რიცხვს;
• საპირისპირო რიცხვებს აქვთ თანაბარი მოდულები.

საპირისპირო ნომრები

რიცხვებს, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ ნიშნებით, ეძახიან საწინააღმდეგო. მაგალითად, რიცხვები −2 და 2 საპირისპიროა. ისინი განსხვავდებიან მხოლოდ ნიშნებით. რიცხვს −2 აქვს მინუს ნიშანი, ხოლო 2-ს აქვს პლუს ნიშანი, მაგრამ ჩვენ ამას ვერ ვხედავთ, რადგან პლუსი, როგორც ადრე ვთქვით, ტრადიციულად არ იწერება.

საპირისპირო რიცხვების სხვა მაგალითები:

საპირისპირო რიცხვებს აქვთ თანაბარი მოდულები. მაგალითად, ვიპოვოთ მოდულები −2 და 2-ისთვის

ნახაზი აჩვენებს, რომ მანძილი საწყისიდან წერტილებამდე A(−2)და B(2)ორი ნაბიჯის ტოლი.

მოგეწონათ გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ Vkontakte ჯგუფს და დაიწყეთ ახალი გაკვეთილების შეტყობინებების მიღება