ყოველი არითმეტიკული ოპერაცია ხანდახან ზედმეტად შრომატევადი ხდება ჩასაწერად და ცდილობენ მის გამარტივებას. ადრე იგივე იყო დამატების ოპერაციაზე. საჭირო იყო ადამიანებმა განახორციელონ ერთი და იგივე ტიპის განმეორებითი დამატებები, მაგალითად, გამოეთვალათ ასი სპარსული ხალიჩის ღირებულება, რომლის ღირებულებაა თითო 3 ოქროს მონეტა. 3+3+3+…+3 = 300. უხერხულობის გამო, გამოიგონეს აღნიშვნის შემცირება 3 * 100 = 300-მდე. სინამდვილეში, აღნიშვნა „სამჯერ ასი“ ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ასი. სამეული და დაამატეთ ისინი ერთად. გამრავლებამ გაიდგა ფესვი, მოიპოვა საერთო პოპულარობა. მაგრამ სამყარო არ დგას და შუა საუკუნეებში საჭირო გახდა იმავე ტიპის განმეორებითი გამრავლება. მახსენდება ძველი ინდური გამოცანა ბრძენი კაცის შესახებ, რომელიც გაწეული შრომის სანაცვლოდ ხორბლის მარცვლებს სთხოვდა შემდეგი რაოდენობით: ჭადრაკის დაფის პირველი უჯრედისთვის მან სთხოვა ერთი მარცვალი, მეორესთვის - ორი, მესამეს - ოთხი. , მეხუთე - რვა და ა.შ. ასე გაჩნდა ძალების პირველი გამრავლება, რადგან მარცვლების რაოდენობა უჯრედის რიცხვის სიძლიერის ორს უდრიდა. მაგალითად, ბოლო უჯრედზე იქნება 2*2*2*…*2 = 2^63 მარცვალი, რაც უდრის 18 სიმბოლოს სიგრძის რიცხვს, რაც, ფაქტობრივად, არის გამოცანის მნიშვნელობა.

სიმძლავრის ამაღლების ოპერაციამ საკმაოდ სწრაფად მიიღო ფესვი და ასევე სწრაფად გახდა საჭირო ხარისხების შეკრება, გამოკლება, გაყოფა და გამრავლება. ამ უკანასკნელის უფრო დეტალურად განხილვა ღირს. ძალების დამატების ფორმულები მარტივია და ადვილად დასამახსოვრებელი. გარდა ამისა, ძალიან ადვილია იმის გაგება, თუ საიდან მოდის ისინი, თუ დენის ოპერაცია ჩანაცვლდება გამრავლებით. მაგრამ ჯერ უნდა გესმოდეთ ელემენტარული ტერმინოლოგია. გამოთქმა a ^ b (წაიკითხეთ "a ხარისხად b") ნიშნავს, რომ რიცხვი a უნდა გამრავლდეს თავის თავზე b-ჯერ, ხოლო "a" ეწოდება ხარისხის ფუძეს, ხოლო "b" არის მაჩვენებელი. თუ ძალაუფლების საფუძვლები იგივეა, მაშინ ფორმულები საკმაოდ მარტივად არის მიღებული. კონკრეტული მაგალითი: იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2^3 * 2^4. იმისათვის, რომ იცოდეთ რა უნდა მოხდეს, თქვენ უნდა გაიგოთ პასუხი კომპიუტერში, სანამ დაიწყებთ გადაწყვეტას. ამ გამოთქმის შეყვანა ნებისმიერ ონლაინ კალკულატორში, საძიებო სისტემაში, აკრიფეთ "ძალების გამრავლება სხვადასხვა ბაზებით და იგივე" ან მათემატიკური პაკეტით, გამომავალი იქნება 128. ახლა დავწეროთ ეს გამოთქმა: 2^3 = 2*2*2. და 2^4 = 2 *2*2*2. გამოდის, რომ 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . გამოდის, რომ ერთი და იგივე ფუძის მქონე სიმძლავრეების ნამრავლი უდრის წინა ორი სიმძლავრის ჯამის ტოლი ფუძის ამაღლებულ ძალას.

შეიძლება იფიქროთ, რომ ეს უბედური შემთხვევაა, მაგრამ არა: ნებისმიერ სხვა მაგალითს შეუძლია მხოლოდ ამ წესის დადასტურება. ამრიგად, ზოგადად, ფორმულა ასე გამოიყურება: a^n * a^m = a^(n+m) . ასევე არსებობს წესი, რომ ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის. აქ უნდა გვახსოვდეს უარყოფითი ძალების წესი: a^(-n) = 1 / a^n. ანუ, თუ 2^3 = 8, მაშინ 2^(-3) = 1/8. ამ წესის გამოყენებით შეგვიძლია დავამტკიცოთ ტოლობა a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) შეიძლება შემცირდეს და რჩება ერთი. აქედან გამომდინარეობს წესი, რომ იგივე ფუძის მქონე ძალების კოეფიციენტი უდრის ამ ფუძეს დივიდენდის და გამყოფის კოეფიციენტის ტოლი ხარისხით: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . მაგალითი: გაამარტივე გამოთქმა 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . გამრავლება არის კომუტაციური ოპერაცია, ამიტომ ჯერ უნდა დაემატოს გამრავლების მაჩვენებლები: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. შემდეგი, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ გაყოფას უარყოფითი ხარისხით. აუცილებელია გამყოფის მაჩვენებლის გამოკლება დივიდენდის მაჩვენებელს: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. გამოდის, რომ უარყოფით ხარისხზე გაყოფის ოპერაცია მსგავსი დადებითი მაჩვენებლით გამრავლების ოპერაციის იდენტურია. ასე რომ, საბოლოო პასუხი არის 8.

არის მაგალითები, სადაც ხდება ძალაუფლების არაკანონიკური გამრავლება. ძალების გამრავლება სხვადასხვა ფუძით ძალიან ხშირად ბევრად უფრო რთულია და ზოგჯერ შეუძლებელიც კი. მოყვანილი უნდა იყოს სხვადასხვა შესაძლო მიდგომის რამდენიმე მაგალითი. მაგალითი: გაამარტივე გამოთქმა 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. ცხადია, ადგილი აქვს ძალაუფლების გამრავლებას სხვადასხვა ფუძით. მაგრამ, უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა საფუძველი არის სამეულის სხვადასხვა ძალა. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. წესის (a^n) ^m = a^(n*m) გამოყენებით, თქვენ უნდა გადაწეროთ გამონათქვამი უფრო მოსახერხებელი ფორმით: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . პასუხი: 3^11. იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს სხვადასხვა ფუძე, წესი a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n მუშაობს თანაბარ მაჩვენებლებზე. მაგალითად, 3^3 * 7^3 = 21^3. წინააღმდეგ შემთხვევაში, როდესაც არსებობს სხვადასხვა ფუძე და ინდიკატორი, შეუძლებელია სრული გამრავლება. ზოგჯერ შეგიძლიათ ნაწილობრივ გაამარტივოთ ან მიმართოთ კომპიუტერული ტექნოლოგიების დახმარებას.

თუ გჭირდებათ კონკრეტული ნომრის გაზრდა ძალაზე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ . ახლა ჩვენ უფრო დეტალურად განვიხილავთ ძალაუფლების თვისებები.

ექსპონენციალური რიცხვებიხსნის დიდ შესაძლებლობებს, ისინი საშუალებას გვაძლევს გადავიყვანოთ გამრავლება შეკრებად და შეკრება ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე გამრავლება.

მაგალითად, ჩვენ უნდა გავამრავლოთ 16 64-ზე. ამ ორი რიცხვის გამრავლების ნამრავლი არის 1024. მაგრამ 16 არის 4x4, ხოლო 64 არის 4x4x4. ანუ 16-ჯერ 64=4x4x4x4x4 რაც ასევე არის 1024.

რიცხვი 16 ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2x2x2x2, ხოლო 64 როგორც 2x2x2x2x2x2 და თუ გავამრავლებთ, ისევ მივიღებთ 1024-ს.

ახლა გამოვიყენოთ წესი. 16=4 2 , ან 2 4 , 64=4 3 , ან 2 6 , ხოლო 1024=6 4 =4 5 , ან 2 10 .

მაშასადამე, ჩვენი პრობლემა შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს: 4 2 x4 3 =4 5 ან 2 4 x2 6 =2 10 და ყოველ ჯერზე მივიღებთ 1024-ს.

ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ მრავალი მსგავსი მაგალითი და დავინახოთ, რომ რიცხვების გამრავლება ხარისხებით მცირდება ექსპონენტების დამატება, ან ექსპონენტი, რა თქმა უნდა, იმ პირობით, რომ ფაქტორების საფუძვლები თანაბარია.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია, გამრავლების გარეშე, დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

ეს წესი ასევე მართალია რიცხვების ხარისხებით გაყოფისას, მაგრამ ამ შემთხვევაში ე გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს. ამრიგად, 2 5:2 3 =2 2, რომელიც ჩვეულებრივ რიცხვებში უდრის 32:8=4, ანუ 2 2. შევაჯამოთ:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, სადაც m და n მთელი რიცხვებია.

ერთი შეხედვით, შეიძლება ასე ჩანდეს რიცხვების გამრავლება და გაყოფა ხარისხებითარ არის ძალიან მოსახერხებელი, რადგან ჯერ უნდა წარმოადგინოთ რიცხვი ექსპონენციალური ფორმით. 8 და 16 რიცხვების ამ ფორმით წარმოდგენა არ არის რთული, ანუ 2 3 და 2 4, მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს 7 და 17 რიცხვებთან? ან რა უნდა გააკეთოს იმ შემთხვევებში, როდესაც რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ექსპონენციალური ფორმით, მაგრამ რიცხვების ექსპონენციური გამოხატვის საფუძვლები ძალიან განსხვავებულია. მაგალითად, 8×9 არის 2 3 x 3 2, ამ შემთხვევაში ჩვენ ვერ შევაჯამებთ მაჩვენებლებს. არც 2 5 და არც 3 5 არის პასუხი და არც პასუხი ორს შორისაა.

მაშინ საერთოდ ღირს ამ მეთოდით შეწუხება? ნამდვილად ღირს. ის იძლევა უზარმაზარ უპირატესობებს, განსაკუთრებით რთული და შრომატევადი გამოთვლებისთვის.

ძალაუფლების შეკრება და გამოკლება

ცხადია, სიმძლავრის მქონე რიცხვები შეიძლება დაემატოს სხვა რაოდენობებს , სათითაოდ მათი ნიშნების მიყოლებით.

ასე რომ, a 3-ისა და b 2-ის ჯამი არის 3 + b 2.
a 3 - b n და h 5 -d 4 ჯამი არის 3 - b n + h 5 - d 4.

შანსები ერთი და იგივე ცვლადების იგივე ძალაშეიძლება დაემატოს ან გამოკლდეს.

ასე რომ, 2a 2-ისა და 3a 2-ის ჯამი არის 5a 2.

ასევე აშკარაა, რომ თუ ავიღებთ ორ კვადრატს a, ან სამ კვადრატს a, ან ხუთ კვადრატს a.

მაგრამ გრადუსები სხვადასხვა ცვლადებიდა სხვადასხვა ხარისხით იდენტური ცვლადები, უნდა დაემატოს მათი ნიშნების დამატებით.

ასე რომ, 2-ისა და 3-ის ჯამი არის 2 + a 3-ის ჯამი.

აშკარაა, რომ a-ს კვადრატი და a-ს კუბი არ არის ორჯერ a-ს კვადრატი, არამედ ორჯერ მეტი a-ის კუბი.

a 3 b n და 3a 5 b 6 ჯამი არის 3 b n + 3a 5 b 6 .

გამოკლებაუფლებამოსილებები ხორციელდება ისევე, როგორც დამატება, გარდა იმისა, რომ სუბტრაჰენდის ნიშნები შესაბამისად უნდა შეიცვალოს.

ან:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3სთ 2 ბ 6 - 4 სთ 2 ბ 6 \u003d -სთ 2 ბ 6
5(ა - თ) 6 - 2(ა - თ) 6 = 3(ა - თ) 6

სიმძლავრის გამრავლება

სიმძლავრეების მქონე რიცხვები შეიძლება გამრავლდეს, როგორც სხვა სიდიდეები, ერთმანეთის მიყოლებით ჩაწერით, მათ შორის გამრავლების ნიშნით ან მის გარეშე.

ასე რომ, a 3-ის b2-ზე გამრავლების შედეგი არის 3 b 2 ან aaabb.

ან:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ბოლო მაგალითში შედეგი შეიძლება დალაგდეს იგივე ცვლადების დამატებით.
გამოთქმა მიიღებს ფორმას: a 5 b 5 y 3 .

რამდენიმე რიცხვის (ცვლადის) ძალებთან შედარებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ რომელიმე მათგანი მრავლდება, მაშინ შედეგი არის რიცხვი (ცვლადი), რომლის სიმძლავრე ტოლია. ჯამიტერმინების ხარისხები.

ასე რომ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

აქ 5 არის გამრავლების შედეგის სიმძლავრე, ტოლი 2 + 3, წევრთა ხარისხების ჯამი.

ასე რომ, a n .a m = a m+n.

a n-ისთვის a ფაქტორად მიიღება იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის n-ის სიმძლავრე;

და a m , მიიღება ფაქტორად იმდენჯერ, რამდენჯერაც m ხარისხი უდრის;

Ისე, იგივე ფუძეების მქონე სიმძლავრეები შეიძლება გამრავლდეს მაჩვენებლების დამატებით.

ასე რომ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8. და x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ან:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

გაამრავლეთ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
პასუხი: x 4 - y 4.
გაამრავლეთ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

ეს წესი ასევე ეხება რიცხვებს, რომელთა მაჩვენებლებია − უარყოფითი.

1. ასე რომ, a -2 .a -3 = a -5 . ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n.

თუ a + b გამრავლებულია a - b-ზე, შედეგი იქნება 2 - b 2: ანუ

ორი რიცხვის ჯამის ან სხვაობის გამრავლების შედეგი უდრის მათი კვადრატების ჯამს ან განსხვავებას.

თუ ორი რიცხვის ჯამი და სხვაობა გაიზარდა კვადრატი, შედეგი იქნება ამ რიცხვების ჯამის ან სხვაობის ტოლი მეოთხეხარისხი.

ასე რომ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

უფლებამოსილებების დაყოფა

ძალაუფლების მქონე რიცხვები შეიძლება დაიყოს სხვა რიცხვების მსგავსად გამყოფისგან გამოკლებით, ან წილადის სახით მოთავსებით.

ასე რომ, a 3 b 2 გაყოფილი b 2-ზე არის 3.

5-ის დაწერა სამზე გაყოფილი ჰგავს $\frac-ს $. მაგრამ ეს უდრის 2-ს. რიცხვების სერიაში
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს მეორეზე და მაჩვენებელი ტოლი იქნება განსხვავებაგამყოფი რიცხვების ინდიკატორები.

ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას, მათი მაჩვენებლები გამოკლებულია..

ასე რომ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . ანუ $\frac = y$.

და a n+1:a = a n+1-1 = a n. ანუ $\frac = a^n$.

ან:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

წესი ასევე მოქმედებს ნომრებზე უარყოფითიხარისხის ღირებულებები.
-5-ის -3-ზე გაყოფის შედეგი არის -2.
ასევე, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ან $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

ძალთა გამრავლებისა და გაყოფის კარგად დაუფლება აუცილებელია, ვინაიდან ასეთი მოქმედებები ძალიან ფართოდ გამოიყენება ალგებრაში.

წილადების მაგალითების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით

1. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac $-ში პასუხი: $\frac $.

2. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac$-ში. პასუხი: $\frac $ ან 2x.

3. შეამცირეთ a 2 / a 3 და a -3 / a -4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
a 2 .a -4 არის -2 პირველი მრიცხველი.
a 3 .a -3 არის 0 = 1, მეორე მრიცხველი.
a 3 .a -4 არის -1, საერთო მრიცხველი.
გამარტივების შემდეგ: a -2 /a -1 და 1/a -1 .

4. შეამცირეთ 2a 4 /5a 3 და 2 /a 4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
პასუხი: 2a 3 / 5a 7 და 5a 5 / 5a 7 ან 2a 3 / 5a 2 და 5/5a 2.

5. გაამრავლე (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3-ზე.

6. გაამრავლეთ (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. გავამრავლოთ b 4 /a -2 h -3 /x-ზე და a n /y -3-ზე.

8. გაყავით 4 /y 3 3 /y 2-ზე. პასუხი: ა/წ.

ხარისხის თვისებები

შეგახსენებთ, რომ ამ გაკვეთილში ჩვენ გვესმის ხარისხის თვისებებიბუნებრივი მაჩვენებლებით და ნულით. რაციონალური ინდიკატორების ხარისხები და მათი თვისებები განხილული იქნება მე-8 კლასის გაკვეთილებზე.

ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე მაჩვენებელს აქვს რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება, რაც საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ გამოთვლები მაჩვენებლის მაგალითებში.

ქონება #1
ძალაუფლების პროდუქტი

ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეზე გამრავლებისას ფუძე უცვლელი რჩება და ემატება მაჩვენებლები.

a m a n \u003d a m + n, სადაც "a" არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო "m", "n" არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

ძალაუფლების ეს თვისება ასევე მოქმედებს სამი ან მეტი სიმძლავრის ნამრავლზე.

• გამოხატვის გამარტივება.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• წარადგინე როგორც ხარისხი.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• წარადგინე როგორც ხარისხი.
  (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მითითებულ თვისებაში საუბარი იყო მხოლოდ ძალაუფლების გამრავლებაზე იმავე ფუძეებით.. ეს არ ეხება მათ დამატებას.

თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ ჯამი (3 3 + 3 2) 3 5-ით. ეს გასაგებია თუ
გამოთვალეთ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 და 3 5 = 243

ქონება #2
კერძო დიპლომები

ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას ფუძე უცვლელი რჩება და გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს.

• დაწერეთ კოეფიციენტი ხარისხად
  (2ბ) 5: (2ბ) 3 = (2ბ) 5 − 3 = (2ბ) 2
• გამოთვალეთ.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. ჩვენ ვიყენებთ ნაწილობრივი ხარისხის თვისებებს.
3 8: t = 3 4

პასუხი: t = 3 4 = 81

No1 და No2 თვისებების გამოყენებით შეგიძლიათ მარტივად გაამარტივოთ გამონათქვამები და შეასრულოთ გამოთვლები.

მაგალითი. გამოხატვის გამარტივება.
4 5 მ + 6 4 მ + 2: 4 4 მ + 3 = 4 5 მ + 6 + მ + 2: 4 4 მ + 3 = 4 6 მ + 8 − 4 მ − 3 = 4 2 მ + 5

მაგალითი. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ხარისხის თვისებების გამოყენებით.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ საკუთრება 2 ეხებოდა მხოლოდ უფლებამოსილებების დაყოფას იმავე საფუძვლებით.

თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ განსხვავება (4 3 −4 2) 4 1-ით. ეს გასაგებია, თუ გამოთვლით (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 და 4 1 = 4

ქონება #3
ექსპონენტაცია

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, სიმძლავრის საფუძველი უცვლელი რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება.

(a n) m \u003d a n m, სადაც "a" არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო "m", "n" არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.

შეგახსენებთ, რომ კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ამიტომ, წილადის სიმძლავრემდე აწევის თემაზე უფრო დეტალურად შევჩერდებით შემდეგ გვერდზე.

როგორ გავამრავლოთ ძალები

როგორ გავამრავლოთ ძალები? რომელი ძალა შეიძლება გამრავლდეს და რომელი არა? როგორ გავამრავლოთ რიცხვი ხარისხზე?

ალგებრაში შეგიძლიათ იპოვოთ ძალაუფლების ნამრავლი ორ შემთხვევაში:

1) თუ ხარისხებს აქვთ იგივე საფუძველი;

2) თუ ხარისხებს აქვთ იგივე მაჩვენებლები.

ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას, ფუძე იგივე უნდა დარჩეს და მაჩვენებლები უნდა დაემატოს:

იმავე ინდიკატორებთან ხარისხების გამრავლებისას, მთლიანი მაჩვენებელი შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილებიდან:

განვიხილოთ, როგორ გავამრავლოთ ძალაუფლება, კონკრეტული მაგალითებით.

მაჩვენებლის ერთეული არ იწერება, მაგრამ გრადუსების გამრავლებისას ისინი ითვალისწინებენ:

გამრავლებისას, გრადუსების რაოდენობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი. უნდა გვახსოვდეს, რომ არ შეიძლება გამრავლების ნიშანი ასოზე ადრე დაწეროთ:

გამონათქვამებში პირველ რიგში სრულდება ექსპონენტაცია.

თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხარისხზე გამრავლება, ჯერ უნდა შეასრულოთ სიმძლავრე და მხოლოდ ამის შემდეგ - გამრავლება:

ძალაუფლების გამრავლება იმავე ფუძით

ეს ვიდეო გაკვეთილი ხელმისაწვდომია გამოწერით

უკვე გაქვთ გამოწერა? Შემოსვლა

ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ გავამრავლოთ ძალაუფლება იმავე ფუძით. პირველ რიგში გავიხსენებთ ხარისხის განსაზღვრებას და ვაყალიბებთ თეორემას თანასწორობის მართებულობის შესახებ . შემდეგ ვაძლევთ მისი გამოყენების მაგალითებს კონკრეტულ რიცხვებზე და ვამტკიცებთ. ჩვენ ასევე გამოვიყენებთ თეორემას სხვადასხვა ამოცანების გადასაჭრელად.

თემა: ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით და მისი თვისებები

გაკვეთილი: ძალაუფლების გამრავლება იმავე ფუძეებით (ფორმულა)

1. ძირითადი განმარტებები

ძირითადი განმარტებები:

ნ- ექსპონენტი,

— ნ- რიცხვის ხარისხში.

2. თეორემა 1-ის დებულება

თეორემა 1.ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ნებისმიერი ბუნებრივი ნდა კთანასწორობა მართალია:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: თუ ა- ნებისმიერი ნომერი; ნდა კბუნებრივი რიცხვები, მაშინ:

აქედან გამომდინარე, წესი 1:

3. ამოცანების ახსნა

დასკვნა:თეორემა No1-ის სისწორე განსაკუთრებულმა შემთხვევებმა დაადასტურა. მოდით დავამტკიცოთ ეს ზოგად შემთხვევაში, ანუ ნებისმიერისთვის ადა ნებისმიერი ბუნებრივი ნდა კ.

4. თეორემა 1-ის დადასტურება

მოცემული ნომერი ა- ნებისმიერი; ნომრები ნდა კ-ბუნებრივი. დაამტკიცე:

მტკიცებულება ეფუძნება ხარისხის განსაზღვრას.

5. მაგალითების ამოხსნა თეორემა 1-ის გამოყენებით

მაგალითი 1:წარადგინე როგორც ხარისხი.

შემდეგი მაგალითების ამოსახსნელად ვიყენებთ თეორემა 1-ს.

ზ)

6. თეორემა 1-ის განზოგადება

აქ არის განზოგადება:

7. მაგალითების ამოხსნა თეორემა 1-ის განზოგადების გამოყენებით

8. სხვადასხვა ამოცანების ამოხსნა თეორემა 1-ის გამოყენებით

მაგალითი 2:გამოთვალეთ (შეგიძლიათ გამოიყენოთ ძირითადი ხარისხების ცხრილი).

ა) (ცხრილის მიხედვით)

ბ)

მაგალითი 3:ჩაწერეთ ძალაუფლების სახით 2 ფუძით.

ა)

მაგალითი 4:განსაზღვრეთ რიცხვის ნიშანი:

, ა -უარყოფითი, რადგან -13-ის მაჩვენებელი უცნაურია.

მაგალითი 5:ჩაანაცვლეთ ( ) ბაზის სიმძლავრით r:

გვაქვს , ანუ .

9. შეჯამება

1. დოროფეევი გ.ვ., სუვოროვა ს.ბ., ბუნიმოვიჩი ე.ა. და სხვები ალგებრა 7. მე-6 გამოცემა. მ.: განმანათლებლობა. 2010 წელი

1. სკოლის თანაშემწე (წყარო).

1. გამოხატეთ ხარისხით:

ა ბ ც დ ე)

3. ჩაწერეთ ხარისხად 2 ფუძით:

4. დაადგინეთ რიცხვის ნიშანი:

ა)

5. ჩაანაცვლეთ ( ) რიცხვის სიმძლავრით ფუძით r:

ა) r 4 ( ) = r 15 ; ბ) ( ) r 5 = r 6

ძალაუფლების გამრავლება და გაყოფა ერთნაირი მაჩვენებლებით

ამ გაკვეთილზე ჩვენ შევისწავლით ძალაუფლების გამრავლებას იმავე მაჩვენებლებით. პირველ რიგში, გავიხსენოთ ძირითადი განმარტებები და თეორემები ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის შესახებ ერთიდაიგივე ფუძეებით და სიმძლავრის ხარისხზე აყვანის შესახებ. შემდეგ ვაყალიბებთ და ვამტკიცებთ თეორემებს ხარისხების გამრავლებისა და გაყოფის შესახებ ერთი და იგივე მაჩვენებლებით. შემდეგ კი მათი დახმარებით ჩვენ მოვაგვარებთ უამრავ ტიპურ პრობლემას.

ძირითადი განმარტებებისა და თეორემების შეხსენება

Აქ ა- ხარისხის საფუძველი

— ნ- რიცხვის ხარისხში.

თეორემა 1.ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ნებისმიერი ბუნებრივი ნდა კთანასწორობა მართალია:

ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას ემატება მაჩვენებლები, ფუძე უცვლელი რჩება.

თეორემა 2.ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ნებისმიერი ბუნებრივი ნდა კ,ისეთივე როგორც ნ > კთანასწორობა მართალია:

ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მაჩვენებლები კლებულობს და ფუძე უცვლელი რჩება.

თეორემა 3.ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ნებისმიერი ბუნებრივი ნდა კთანასწორობა მართალია:

ყველა ზემოაღნიშნული თეორემა ეხებოდა ერთნაირი ძალების შესახებ საფუძველი, ეს გაკვეთილი განიხილავს ხარისხებს იგივე ინდიკატორები.

ძალაუფლების გამრავლების მაგალითები იმავე მაჩვენებლებით

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითები:

ჩამოვწეროთ გამოთქმები ხარისხის დასადგენად.

დასკვნა:მაგალითებიდან ხედავთ ამას , მაგრამ ეს ჯერ კიდევ დასამტკიცებელია. ჩვენ ვაყალიბებთ თეორემას და ვამტკიცებთ მას ზოგად შემთხვევაში, ანუ ნებისმიერისთვის ადა ბდა ნებისმიერი ბუნებრივი ნ.

თეორემა 4-ის განცხადება და დადასტურება

ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ბდა ნებისმიერი ბუნებრივი ნთანასწორობა მართალია:

მტკიცებულებათეორემა 4 .

ხარისხის განმარტებით:

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ ეს .

ერთი და იგივე მაჩვენებლით ძალების გასამრავლებლად საკმარისია ფუძეების გამრავლება და მაჩვენებლის უცვლელი დატოვება.

მე-5 თეორემას დებულება და დადასტურება

ჩვენ ვაყალიბებთ თეორემას ძალაუფლების ერთნაირი მაჩვენებლებით გაყოფისთვის.

ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ბ() და ნებისმიერი ბუნებრივი ნთანასწორობა მართალია:

მტკიცებულებათეორემა 5 .

მოდით ჩამოვწეროთ და ხარისხის განმარტებით:

თეორემების გამოთქმა სიტყვებით

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ ეს.

ერთი და იგივე მაჩვენებლებით ხარისხების ერთმანეთში გასაყოფად საკმარისია ერთი ფუძე გავყოთ მეორეზე და დატოვოთ მაჩვენებლის უცვლელი.

ტიპიური ამოცანების ამოხსნა მე-4 თეორემის გამოყენებით

მაგალითი 1:გამოხატეთ როგორც ძალაუფლების პროდუქტი.

შემდეგი მაგალითების ამოსახსნელად ვიყენებთ თეორემა 4-ს.

შემდეგი მაგალითის გადასაჭრელად, გაიხსენეთ ფორმულები:

მე-4 თეორემის განზოგადება

თეორემა 4-ის განზოგადება:

მაგალითების ამოხსნა განზოგადებული თეორემის გამოყენებით 4

განაგრძო ტიპიური პრობლემების გადაჭრა

მაგალითი 2:დაწერეთ როგორც პროდუქტის ხარისხი.

მაგალითი 3:ჩაწერეთ ხარისხად 2-ის მაჩვენებლით.

გაანგარიშების მაგალითები

მაგალითი 4:გამოთვალეთ ყველაზე რაციონალურად.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ალგებრა 7. მ.: VENTANA-GRAF

3. კოლიაგინი იუ.მ., ტკაჩევა მ.ვ., ფედოროვა ნ.ე. და სხვა.ალგებრა 7 .მ .: განათლება. 2006წ

2. სკოლის თანაშემწე (წყარო).

1. წარმოადგინეთ როგორც ძალაუფლების პროდუქტი:

ა) ; ბ) ; in) ; გ) ;

2. ჩაწერეთ პროდუქტის ხარისხი:

3. ხარისხის სახით ჩაწერეთ 2-ის მაჩვენებლით:

4. გამოთვალეთ ყველაზე რაციონალურად.

მათემატიკის გაკვეთილი თემაზე "ძალათა გამრავლება და გაყოფა"

სექციები:მათემატიკა

პედაგოგიური მიზანი:

მოსწავლე ისწავლისგამრავლებისა და ძალების ბუნებრივი მაჩვენებლით გაყოფის თვისებების გარჩევა; გამოიყენოს ეს თვისებები ერთი და იგივე ფუძის შემთხვევაში;

სტუდენტს ექნება შესაძლებლობაშეეძლოს გრადუსების გარდაქმნების შესრულება სხვადასხვა ფუძით და შეეძლოს გარდაქმნების შესრულება კომბინირებულ ამოცანებში.

Დავალებები:

მოსწავლეთა მუშაობის ორგანიზება ადრე შესწავლილი მასალის გამეორებით;

უზრუნველყოს რეპროდუქციის დონე სხვადასხვა ტიპის სავარჯიშოების შესრულებით;

მოსწავლეთა თვითშეფასების ორგანიზება ტესტირების გზით.

დოქტრინის აქტივობის ერთეულები:ხარისხის განსაზღვრა ბუნებრივი მაჩვენებლით; ხარისხის კომპონენტები; კერძოს განმარტება; გამრავლების ასოციაციური კანონი.

I. მოსწავლეთა მიერ არსებული ცოდნის ათვისების დემონსტრირების ორგანიზება. (ნაბიჯი 1)

ა) ცოდნის განახლება:

2) ჩამოაყალიბეთ ხარისხის განსაზღვრება ბუნებრივი მაჩვენებლით.

a n \u003d a a a a ... a (n ჯერ)

b k \u003d b b b b a ... b (k ჯერ) დაასაბუთეთ თქვენი პასუხი.

II. მსმენელის თვითშეფასების ორგანიზაცია შესაბამისი გამოცდილების ფლობის ხარისხით. (ნაბიჯი 2)

ტესტი თვითშემოწმებისთვის: (ინდივიდუალური სამუშაო ორი ვერსიით.)

A1) გამოთქვით ნამრავლი 7 7 7 7 x x x სიმძლავრის სახით:

A2) ნამრავლის სახით გამოხატეთ ხარისხი (-3) 3 x 2

ა3) გამოთვალეთ: -2 3 2 + 4 5 3

ტესტში დავალებების რაოდენობას ვირჩევ კლასის დონის მომზადების შესაბამისად.

ტესტისთვის მე ვაძლევ გასაღებს თვითშემოწმებისთვის. კრიტერიუმები: გავლა-ჩავარდნა.

III. სასწავლო და პრაქტიკული დავალება (საფეხური 3) + ნაბიჯი 4. (მოსწავლეები თავად ჩამოაყალიბებენ თვისებებს)

გამოთვალეთ: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

გამარტივება: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

1) და 2 ამოცანების ამოხსნისას მოსწავლეები გვთავაზობენ გამოსავალს, მე კი, როგორც მასწავლებელი, ვაწყობ კლასს, რათა ვიპოვო გზა გამარტივდეს ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეებზე გამრავლებისას.

მასწავლებელი: მოიძიეთ გზა, რათა გაამარტივოთ ძალაუფლება იმავე ფუძით გამრავლებისას.

კლასტერზე ჩნდება ჩანაწერი:

ჩამოყალიბებულია გაკვეთილის თემა. ძალაუფლების გამრავლება.

მასწავლებელი: შეიმუშავეთ ხარისხების გაყოფის წესი იმავე ფუძეებით.

მსჯელობა: რა ქმედება ამოწმებს დაყოფას? a 5: a 3 = ? რომ a 2 a 3 = a 5

ვუბრუნდები სქემას - მტევანი და ვავსებ ჩანაწერს - ..გაყოფისას ვაკლებ და ვამატებ გაკვეთილის თემას. ...და ხარისხების დაყოფა.

IV. ცოდნის საზღვრების (მინიმუმ და მაქსიმუმ) მოსწავლეებთან კომუნიკაცია.

მასწავლებელი: დღევანდელი გაკვეთილისთვის მინიმუმის ამოცანაა ისწავლოს როგორ გამოვიყენოთ გამრავლებისა და ხარისხების გაყოფის თვისებები ერთიდაიგივე ფუძეებით, ხოლო მაქსიმუმი: გამრავლებისა და გაყოფის ერთად გამოყენება.

Დაწერე დაფაზე : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n

V. ახალი მასალის შესწავლის ორგანიზაცია. (ნაბიჯი 5)

ა) სახელმძღვანელოს მიხედვით: No403 (ა, გ, ე) დავალებები განსხვავებული ფორმულირებით

No404 (ა, ე, ვ) დამოუკიდებელ მუშაობას, შემდეგ ვაწყობ ორმხრივ შემოწმებას, ვაძლევ გასაღებს.

ბ) m-ის რა მნიშვნელობისთვის მოქმედებს ტოლობა? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

ამოცანა: მოიყვანეთ მსგავსი მაგალითები გაყოფისთვის.

გ) No417(a), No418(a) ხაფანგები სტუდენტებისთვის: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. შესწავლილის შეჯამება, დიაგნოსტიკური სამუშაოს ჩატარება (რაც მოუწოდებს მოსწავლეებს და არა მასწავლებლებს, შეისწავლონ ეს თემა) (ნაბიჯი 6)

დიაგნოსტიკური სამუშაო.

ტესტი(განათავსეთ გასაღებები ტესტის უკანა მხარეს).

დავალების ვარიანტები: ხარისხის სახით წარმოადგინეთ კოეფიციენტი x 15: x 3; სიმძლავრის სახით წარმოადგინე ნამრავლი (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; რომლისთვისაც m არის ტოლობა a 16 a m = a 32 true; იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა h 0: h 2 h = 0.2-ით; გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (5 2 5 0) : 5 2 .

გაკვეთილის შეჯამება. ანარეკლი.კლასს ვყოფ ორ ჯგუფად.

იპოვეთ I ჯგუფის არგუმენტები: ხარისხის თვისებების ცოდნის სასარგებლოდ, ხოლო II ჯგუფი - არგუმენტები, რომლებიც იტყვიან, რომ თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ თვისებების გარეშე. ჩვენ ვუსმენთ ყველა პასუხს, ვაკეთებთ დასკვნებს. მომდევნო გაკვეთილებზე შეგიძლიათ შემოგთავაზოთ სტატისტიკური მონაცემები და დაასახელოთ რუბრიკა "ჩემს თავში არ ჯდება!"

სიცოცხლის განმავლობაში საშუალოდ ადამიანი ჭამს 32 10 2 კგ კიტრს.

ვოსფს შეუძლია უწყვეტი ფრენა 3,2 10 2 კმ.

როდესაც მინა იბზარება, ბზარი ვრცელდება დაახლოებით 5 10 3 კმ/სთ სიჩქარით.

ბაყაყი თავისი სიცოცხლის განმავლობაში ჭამს 3 ტონაზე მეტ კოღოს. ხარისხის გამოყენებით ჩაწერეთ კგ-ში.

ყველაზე ნაყოფიერია ოკეანის თევზი - მთვარე (Mola mola), რომელიც ერთ ქვირითობაში დებს 300 000 000-მდე კვერცხს დიამეტრით დაახლოებით 1,3 მმ. ჩაწერეთ ეს რიცხვი ხარისხის გამოყენებით.

VII. Საშინაო დავალება.

ისტორიის მინიშნება. რომელ რიცხვებს უწოდებენ ფერმას რიცხვებს.

გვ.19. #403, #408, #417

გამოყენებული წიგნები:

სახელმძღვანელო "ალგებრა-7", ავტორები იუ.ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ. მინდიუკი და სხვები.

დიდაქტიკური მასალა 7 კლასისთვის, L.V. კუზნეცოვა, ლ.ი. ზვავიჩი, ს.ბ. სუვოროვი.

მათემატიკის ენციკლოპედია.

ჟურნალი „კვანტი“.

ხარისხების თვისებები, ფორმულირებები, მტკიცებულებები, მაგალითები.

რიცხვის ხარისხის დადგენის შემდეგ ლოგიკურია საუბარი ხარისხის თვისებები. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ რიცხვის ხარისხის ძირითად თვისებებს, ხოლო შეხებით ყველა შესაძლო მაჩვენებელს. აქ ჩვენ მივცემთ მტკიცებულებებს ხარისხის ყველა თვისების შესახებ და ასევე ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება ეს თვისებები მაგალითების ამოხსნისას.

გვერდის ნავიგაცია.

ხარისხების თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლებით

ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის განმარტებით, n-ის სიმძლავრე არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ამ განმარტებაზე დაყრდნობით და გამოყენებით რეალური რიცხვების გამრავლების თვისებები, შეგვიძლია მივიღოთ და დავასაბუთოთ შემდეგი ხარისხის თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით:

a m ·a n =a m+n ხარისხის ძირითადი თვისება, მისი განზოგადება a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

ერთი და იგივე ფუძის მქონე ნაწილობრივი სიძლიერის თვისება a m:a n =a m−n ;

პროდუქტის ხარისხის თვისება (a b) n =a n b n, მისი გაფართოება (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n;

კოეფიციენტური თვისება ნატურით (a:b) n =a n:b n ;

ექსპონენტაცია (a m) n =a m n, მისი განზოგადება (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

ხარისხის შედარება ნულთან:

• თუ a>0, მაშინ a n >0 ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის;
• თუ a=0, მაშინ a n =0;
• თუ a 2 m >0 , თუ a 2 m−1 n ;
• თუ m და n ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ m>n, მაშინ 0m n-სთვის და a>0-ისთვის უტოლობა a m >a n მართალია.

ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ყველა წერილობითი თანასწორობა არის იდენტურიმითითებულ პირობებში და მათი მარჯვენა და მარცხენა ნაწილების შეცვლა შესაძლებელია. მაგალითად, a m a n = a m + n წილადის მთავარი თვისება გამოთქმების გამარტივებახშირად გამოიყენება m+n = a m a n სახით.

ახლა მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი დეტალურად.

დავიწყოთ ერთი და იგივე ფუძის მქონე ორი სიმძლავრის ნამრავლის თვისებით, რომელსაც ე.წ ხარისხის მთავარი თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, ტოლობა a m ·a n =a m+n მართალია.

მოდით დავამტკიცოთ ხარისხის ძირითადი თვისება. ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით, a m a n ფორმის იგივე საფუძვლების მქონე ძალების ნამრავლი შეიძლება ჩაიწეროს როგორც ნამრავლი. . გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე, მიღებული გამოხატულება შეიძლება დაიწეროს როგორც და ეს ნამრავლი არის a-ს სიმძლავრე m+n ბუნებრივი მაჩვენებლით, ანუ m+n. ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

მოვიყვანოთ მაგალითი, რომელიც ადასტურებს ხარისხის ძირითად თვისებას. ავიღოთ გრადუსები იგივე საფუძვლებით 2 და ბუნებრივი ხარისხებით 2 და 3, ხარისხის ძირითადი თვისების მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . მოდით შევამოწმოთ მისი ვალიდობა, რისთვისაც გამოვთვალოთ 2 2 · 2 3 და 2 5 გამონათქვამების მნიშვნელობები. სიმძლავრის შესრულებისას გვაქვს 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 და 2 5 =2 2 2 2 2=32 , რადგან ვიღებთ ტოლ მნიშვნელობებს, მაშინ ტოლობა 2 2 2 3 = 2 5 მართალია და ის ადასტურებს ხარისხის ძირითად თვისებას.

გამრავლების თვისებებზე დაფუძნებული ხარისხის ძირითადი თვისება შეიძლება განზოგადდეს სამი ან მეტი სიმძლავრის ნამრავლზე ერთი და იგივე ფუძეებით და ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ამრიგად, n 1 , n 2 , …, n k ნატურალური რიცხვების ნებისმიერი k რიცხვისთვის მართებულია a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ტოლობა.

მაგალითად, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

შეგიძლიათ გადახვიდეთ გრადუსების შემდეგ თვისებაზე ბუნებრივი მაჩვენებლით - იგივე საფუძვლების ნაწილობრივი უფლებამოსილებების საკუთრება: ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვისთვის და თვითნებური ნატურალური რიცხვებისთვის m და n, რომლებიც აკმაყოფილებს m>n პირობას, ტოლობა a m:a n =a m−n არის ჭეშმარიტი.

სანამ ამ თვისების მტკიცებულებას მივცემთ, მოდით განვიხილოთ ფორმულირებაში დამატებითი პირობების მნიშვნელობა. პირობა a≠0 აუცილებელია, რათა თავიდან ავიცილოთ გაყოფა ნულზე, რადგან 0 n =0, და როცა გავეცანით გაყოფას, შევთანხმდით, რომ შეუძლებელია ნულზე გაყოფა. პირობა m>n შემოტანილია ისე, რომ ბუნებრივ მაჩვენებლებს არ გავცდეთ. მართლაც, m>n-ისთვის, a m−n მაჩვენებელი ნატურალური რიცხვია, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის იქნება ან ნული (რაც ხდება m−n-ის დროს) ან უარყოფითი რიცხვი (რაც ხდება, როდესაც m m−n a n =a (m−n) + n = a m მიღებული ტოლობიდან a m−n a n = a m და გაყოფით გამრავლების მიმართებიდან გამომდინარეობს, რომ m−n არის m და a n-ის ნაწილობრივი ხარისხები, ეს ადასტურებს ერთი და იგივე ფუძის მქონე ნაწილობრივი ხარისხების თვისებას.

ავიღოთ მაგალითი. ავიღოთ ორი გრადუსი ერთი და იგივე ფუძეებით π და ბუნებრივი მაჩვენებლებით 5 და 2, ხარისხის განხილული თვისება შეესაბამება π 5 ტოლობას: π 2 = π 5−3 = π 3.

ახლა განიხილეთ პროდუქტის ხარისხის თვისება: ნებისმიერი ორი რეალური რიცხვის ნამრავლის n ბუნებრივი ხარისხი a და b უდრის a n და b n გრადუსების ნამრავლს, ანუ (a b) n =a n b n .

მართლაც, ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით, ჩვენ გვაქვს . ბოლო პროდუქტი, გამრავლების თვისებებზე დაყრდნობით, შეიძლება გადაიწეროს როგორც , რომელიც უდრის a n b n-ს.

აი მაგალითი: .

ეს თვისება ვრცელდება სამი ან მეტი ფაქტორის პროდუქტის ხარისხზე. ანუ k ფაქტორების ნამრავლის ბუნებრივი ხარისხის თვისება n იწერება როგორც (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ამ თვისებას მაგალითით. სამი ფაქტორის ნამრავლისთვის 7-ის ხარისხზე გვაქვს .

შემდეგი ქონება არის ბუნებრივი საკუთრება: a და b , b≠0 რეალური რიცხვების კოეფიციენტი n ნატურალურ ხარისხზე უდრის a n და b n ხარისხების კოეფიციენტს, ანუ (a:b) n =a n:b n .

მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს წინა ქონების გამოყენებით. ასე რომ (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , და (a:b) n b n =a n ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ (a:b) n არის a n-ის კოეფიციენტი b n-მდე.

მოდით დავწეროთ ეს თვისება კონკრეტული რიცხვების მაგალითის გამოყენებით: .

ახლა მოდით ხმა ექსპონენტაციის თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, a m-ის სიმძლავრე n-ის ხარისხზე უდრის a-ის ხარისხს m·n მაჩვენებლით, ანუ (a m) n =a m·n .

მაგალითად, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6.

სიმძლავრის თვისების მტკიცებულება ხარისხით არის ტოლობების შემდეგი ჯაჭვი: .

განხილული ქონება შეიძლება გაფართოვდეს ხარისხამდე ხარისხის ფარგლებში და ა.შ. მაგალითად, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის p, q, r და s, ტოლობა . მეტი სიცხადისთვის მოვიყვანოთ მაგალითი კონკრეტული რიცხვებით: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

რჩება შეჩერება ხარისხების ბუნებრივ მაჩვენებელთან შედარების თვისებებზე.

ჩვენ ვიწყებთ ნულისა და სიმძლავრის შედარების თვისების დამტკიცებით ბუნებრივი მაჩვენებლით.

ჯერ გავამართლოთ, რომ a n >0 ნებისმიერი a>0-სთვის.

ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, როგორც ჩანს გამრავლების განმარტებიდან. ეს ფაქტი და გამრავლების თვისებები გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ დადებითი რიცხვების ნებისმიერი რაოდენობის გამრავლების შედეგიც დადებითი რიცხვი იქნება. ხოლო a-ს სიმძლავრე n-ის ბუნებრივი მაჩვენებლით, განსაზღვრებით, არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს არგუმენტები საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი ფუძისთვის a n-ის ხარისხი დადებითი რიცხვია. დადასტურებული თვისების ძალით 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 და .

სავსებით აშკარაა, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის a=0-ით a n-ის ხარისხი არის ნული. მართლაც, 0 n =0·0·…·0=0 . მაგალითად, 0 3 =0 და 0 762 =0.

გადავიდეთ უარყოფით საფუძვლებზე.

დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია, აღვნიშნოთ ის 2 m , სადაც m არის ნატურალური რიცხვი. მერე . უარყოფითი რიცხვების გამრავლების წესის მიხედვით, a ფორმის თითოეული ნამრავლი უდრის a და a რიცხვების მოდულების ნამრავლს, რაც ნიშნავს, რომ ის დადებითი რიცხვია. შესაბამისად, პროდუქტიც დადებითი იქნება. და ხარისხი 2 მ. აი მაგალითები: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 და .

და ბოლოს, როდესაც a-ს ფუძე უარყოფითი რიცხვია და მაჩვენებელი კენტი რიცხვია 2 m−1, მაშინ . ყველა ნამრავლი a·a დადებითი რიცხვია, ამ დადებითი რიცხვების ნამრავლი ასევე დადებითია და მისი გამრავლება დარჩენილ უარყოფით რიცხვზე a იწვევს უარყოფით რიცხვს. ამ თვისების წყალობით, (−5) 3 17 n n არის n ჭეშმარიტი უტოლობების a მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ნამრავლი. უტოლობების თვისებები, დადასტურებული უტოლობა არის a n n ფორმის. მაგალითად, ამ თვისების გამო, უტოლობები 3 7 7 და .

რჩება ძალაუფლების ჩამოთვლილი თვისებების ბოლო დამტკიცება ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ჩამოვაყალიბოთ. ორი გრადუსიდან ბუნებრივი მაჩვენებლებით და იგივე დადებითი ბაზებით, ერთზე ნაკლები, ხარისხი მეტია, რომლის მაჩვენებელიც ნაკლებია; ხოლო ორი ხარისხის ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთზე მეტი ერთი და იგივე ფუძეებით, ხარისხი უფრო დიდია, რომლის მაჩვენებელიც მეტია. ჩვენ მივმართავთ ამ ქონების მტკიცებულებას.

დავამტკიცოთ, რომ m>n და 0m n . ამისთვის ვწერთ განსხვავებას a m − a n და ვადარებთ ნულს. წერითი სხვაობა ფრჩხილებიდან n-ის ამოღების შემდეგ მიიღებს a n ·(a m−n −1) ფორმას. შედეგად მიღებული ნამრავლი უარყოფითია, როგორც a n დადებითი რიცხვის ნამრავლი და უარყოფითი რიცხვი a m−n −1 (a n დადებითია, როგორც დადებითი რიცხვის ბუნებრივი ძალა, ხოლო სხვაობა a m−n −1 არის უარყოფითი, რადგან m−n >0 m>n საწყისი პირობის გამო, აქედან გამომდინარეობს, რომ 0m−n-ისთვის ის ერთზე ნაკლებია). მაშასადამე, a m − a n m n, რაც დასამტკიცებელი იყო. მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ სწორ უტოლობას.

რჩება ქონების მეორე ნაწილის დამტკიცება. დავამტკიცოთ, რომ m>n და a>1-ისთვის a m >a n მართალია. სხვაობა a m −a n ფრჩხილებიდან n-ის ამოღების შემდეგ იღებს a n ·(a m−n −1) ფორმას. ეს ნამრავლი დადებითია, რადგან a>1-სთვის a n-ის ხარისხი დადებითი რიცხვია, ხოლო სხვაობა a m−n −1 დადებითი რიცხვია, ვინაიდან m−n>0 საწყისი პირობის გამო, ხოლო a>1-ისთვის, m−n-ის ხარისხი ერთზე მეტია. მაშასადამე, a m − a n >0 და a m >a n, რაც დასამტკიცებელი იყო. ეს თვისება ილუსტრირებულია უტოლობით 3 7 >3 2 .

გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით

ვინაიდან დადებითი მთელი რიცხვები ნატურალური რიცხვებია, მაშინ დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლების მქონე ხარისხების ყველა თვისება ზუსტად ემთხვევა წინა აბზაცში ჩამოთვლილ და დადასტურებულ ნატურალური მაჩვენებლების ხარისხების თვისებებს.

ჩვენ განვსაზღვრეთ ხარისხი უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ისევე როგორც ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით, ასე რომ ტოლობებით გამოხატული ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე გრადუსების ყველა თვისება ძალაში რჩება. მაშასადამე, ყველა ეს თვისება მოქმედებს როგორც ნულოვანი, ასევე უარყოფითი მაჩვენებლებისთვის, მაშინ როცა, რა თქმა უნდა, გრადუსების საფუძვლები არ არის ნულოვანი.

ასე რომ, ნებისმიერი რეალური და არანულოვანი რიცხვებისთვის a და b, ისევე როგორც ნებისმიერი მთელი რიცხვი m და n, შემდეგი ჭეშმარიტია გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n;
• (ა ბ) n = a n b n;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n;
• თუ n დადებითი მთელი რიცხვია, a და b დადებითი რიცხვებია და a n n და a−n>b−n ;
• თუ m და n მთელი რიცხვებია, და m>n, მაშინ 0m n-სთვის და a>1-ისთვის, უტოლობა a m >a n დაკმაყოფილებულია.

a=0-სთვის, a m და a n ხარისხებს აქვთ აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც m და n დადებითი მთელი რიცხვებია, ანუ ნატურალური რიცხვები. ამრიგად, ახლად დაწერილი თვისებები ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც a=0 და რიცხვები m და n დადებითი მთელი რიცხვებია.

თითოეული ამ თვისების დამტკიცება არ არის რთული, ამისათვის საკმარისია გამოვიყენოთ ხარისხის განსაზღვრებები ბუნებრივი და მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ასევე რეალური რიცხვებით მოქმედებების თვისებები. მაგალითად, დავამტკიცოთ, რომ სიმძლავრის თვისება მოქმედებს როგორც დადებით, ასევე არაპოზიტიურ რიცხვებზე. ამისათვის ჩვენ უნდა ვაჩვენოთ, რომ თუ p არის ნული ან ნატურალური რიცხვი და q არის ნული ან ნატურალური რიცხვი, მაშინ ტოლობები (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) და (a −p) −q =a (−p) (−q) . Მოდი გავაკეთოთ ეს.

დადებითი p და q, ტოლობა (a p) q =a p·q დადასტურდა წინა ქვეთავში. თუ p=0, მაშინ გვაქვს (a 0) q =1 q =1 და a 0 q =a 0 =1, საიდანაც (a 0) q =a 0 q . ანალოგიურად, თუ q=0, მაშინ (a p) 0 =1 და a p 0 =a 0 =1, საიდანაც (a p) 0 =a p 0. თუ ორივე p=0 და q=0 , მაშინ (a 0) 0 =1 0 =1 და a 0 0 =a 0 =1, საიდანაც (a 0) 0 =a 0 0 .

ახლა დავამტკიცოთ, რომ (a −p) q =a (−p) q . უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განმარტებით, მაშინ . ხარისხში კოეფიციენტის თვისებით გვაქვს . ვინაიდან 1 p =1·1·…·1=1 და , მაშინ . ბოლო გამოთქმა, განსაზღვრებით, არის a −(p q) ფორმის ხარისხში, რომელიც გამრავლების წესების მიხედვით შეიძლება დაიწეროს როგორც (−p) q.

ანალოგიურად .

და .

იმავე პრინციპით, ხარისხის ყველა სხვა თვისების დამტკიცება შეიძლება ტოლობის სახით დაწერილი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.

ჩაწერილი თვისებებიდან წინაბოლოში ღირს შეჩერება a −n >b −n უტოლობის მტკიცებულებაზე, რომელიც მართალია ნებისმიერი უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის −n და ნებისმიერი დადებითი a და b, რომლისთვისაც არის a პირობა. . ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით განსხვავებას ამ უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს შორის: . ვინაიდან პირობით ა n n , შესაბამისად, b n − a n >0 . a n ·b n ნამრავლი ასევე დადებითია, როგორც a n და b n დადებითი რიცხვების ნამრავლი. მაშინ მიღებული წილადი დადებითია როგორც b n − a n და a n b n დადებითი რიცხვების კოეფიციენტი. მაშასადამე, საიდანაც a −n >b −n, რომელიც დასამტკიცებელი იყო.

გრადუსების უკანასკნელი თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით დასტურდება ისევე, როგორც გრადუსების ანალოგიური თვისება ბუნებრივ მაჩვენებლებთან.

ძალაუფლების თვისებები რაციონალური მაჩვენებლებით

ჩვენ განვსაზღვრეთ ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, მასზე მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების გაფართოებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადის მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს აქვთ იგივე თვისებები, რაც ხარისხებს მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით. კერძოდ:

1. იგივე ფუძის მქონე ძალაუფლების პროდუქტის თვისება a>0-სთვის და თუ და, მაშინ a≥0-სთვის;
2. ნაწილობრივი უფლებამოსილების საკუთრება იგივე საფუძვლებით a>0-სთვის;
3. ფრაქციული პროდუქტის თვისება a>0 და b>0 , და თუ და , მაშინ a≥0 და (ან) b≥0 ;
4. კოეფიციენტური თვისება წილადის ხარისხზე a>0 და b>0 , და თუ , მაშინ a≥0 და b>0 ;
5. ხარისხის საკუთრება ხარისხში a>0-სთვის და თუ და, მაშინ a≥0-სთვის;
6. თანაბარი რაციონალური მაჩვენებლებით ძალების შედარების თვისება: a და b ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის, a. 0 უტოლობა a p p მართებულია და p p >b p ;
7. რაციონალურ მაჩვენებლებთან და ტოლ ფუძეებთან ძალების შედარების თვისება: რაციონალური რიცხვებისთვის p და q, p>q 0p q-სთვის, ხოლო a>0-სთვის, უტოლობა a p >a q .

გრადუსების თვისებების დადასტურება წილადის მაჩვენებლებით ემყარება ხარისხის განსაზღვრას წილადის მაჩვენებლით, n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვის თვისებებზე და მთელი რიცხვის მაჩვენებლით ხარისხის თვისებებზე. მოდი მტკიცებულება მივცეთ.

ხარისხის განსაზღვრებით წილადის მაჩვენებლით და , მაშინ . არითმეტიკული ფესვის თვისებები საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ შემდეგი ტოლობები. გარდა ამისა, მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისების გამოყენებით, ვიღებთ , ხოლო მიღებული ხარისხის მაჩვენებლის გარდაქმნა შესაძლებელია შემდეგნაირად: . ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

წილადი მაჩვენებლების მქონე ძალაუფლების მეორე თვისება ზუსტად ასეა დადასტურებული:


დანარჩენი თანასწორობა დასტურდება მსგავსი პრინციპებით:


ჩვენ მივმართავთ შემდეგი ქონების მტკიცებულებას. დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი a და b , a 0 უტოლობა a p p მართებულია და p p >b p . რაციონალურ რიცხვს p ვწერთ, როგორც m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. პირობები p 0 ამ შემთხვევაში იქნება m 0 პირობების ექვივალენტი, შესაბამისად. იყიდება m>0 და am m . ამ უტოლობადან, ფესვების თვისებით, გვაქვს , და რადგან a და b დადებითი რიცხვებია, მაშინ, წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრის საფუძველზე, შედეგად მიღებული უტოლობა შეიძლება გადაიწეროს როგორც , ანუ p p .

ანალოგიურად, როდესაც m m >b m , საიდან , ანუ და a p >b p .

რჩება ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. დავამტკიცოთ, რომ რაციონალური რიცხვებისთვის p და q , p>q 0p q , ხოლო a>0 უტოლობა a p >a q . ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია რაციონალური რიცხვები p და q შევამციროთ საერთო მნიშვნელამდე, მივიღოთ ჩვეულებრივი წილადები და , სადაც m 1 და m 2 არის მთელი რიცხვები, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. ამ შემთხვევაში პირობა p>q შეესატყვისება m 1 >m 2 პირობას, რომელიც გამომდინარეობს ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე ჩვეულებრივი წილადების შედარების წესიდან. შემდეგ, იგივე ფუძეებთან და ბუნებრივ მაჩვენებლებთან ძალების შედარების თვისებით, 0m 1 m 2-სთვის და a>1-ისთვის, უტოლობა a m 1 >a m 2. ეს უტოლობები ფესვების თვისებების თვალსაზრისით შეიძლება გადაიწეროს, შესაბამისად, როგორც და . და რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრა საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ უტოლობებზე და, შესაბამისად. აქედან გამოვიტანთ საბოლოო დასკვნას: p>q და 0p q , ხოლო a>0-სთვის, უტოლობა a p >a q .

გრადუსების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით

იმის მიხედვით, თუ როგორ არის განსაზღვრული ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მას აქვს რაციონალური მაჩვენებლების მქონე გრადუსების ყველა თვისება. ასე რომ, ნებისმიერი a>0, b>0 და ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q სწორია გრადუსების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით:

1. a p a q = a p + q;
2. a p:a q = a p−q;
3. (ა ბ) p = a p b p;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q;
6. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b , a 0 უტოლობა a p p მართებულია და p p >b p ;
7. ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q , p>q 0p q , ხოლო a>0 უტოლობისთვის a p >a q .

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ p და q ნებისმიერი რეალური მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს a>0 აქვთ იგივე თვისებები.

• ალგებრა - მე-10 კლასი. ტრიგონომეტრიული განტოლებები გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა" დამატებითი მასალები ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა […]
• გაიხსნა კონკურსი "გამყიდველი - კონსულტანტი" თანამდებობაზე: პასუხისმგებლობები: მობილური ტელეფონებისა და აქსესუარების გაყიდვა მობილური კავშირგაბმულობის სერვისისთვის Beeline, Tele2, MTS აბონენტებისთვის სატარიფო გეგმების და ბილაინის და Tele2, MTS […]
• პარალელეპიპედი ფორმულის პარალელეპიპედი არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს 6 სახე, რომელთაგან თითოეული არის პარალელოგრამი. კუბოიდი არის კუბოიდი, რომლის თითოეული სახე არის მართკუთხედი. ნებისმიერ პარალელეპიპედს ახასიათებს 3 […]
• Н და НН მართლწერა მეტყველების სხვადასხვა ნაწილში 2. დაასახელეთ ამ წესების გამონაკლისები. 3. როგორ განვასხვავოთ სიტყვიერი ზედსართავი სახელი -n- სუფიქსით […]
• ბრაიანსკის ოლქის გოსტეხნაძორის ინსპექტირება სახელმწიფო გადასახადის გადახდის ქვითარი (ჩამოტვირთვა-12.2 kb) განაცხადები ფიზიკურ პირთა რეგისტრაციაზე (ჩამოტვირთვა-12 kb) განაცხადი იურიდიული პირების რეგისტრაციაზე (ჩამოტვირთვა-11.4 kb) 1. ახალი მანქანის რეგისტრაციისას. 1. განაცხადი 2. პასპორტი […]
• მომხმარებელთა უფლებების დაცვის საზოგადოება ასტანა იმისათვის, რომ მიიღოთ პინ-კოდი ამ დოკუმენტზე წვდომისთვის ჩვენს ვებსაიტზე, გაგზავნეთ SMS შეტყობინება ტექსტით zan GSM ოპერატორების აბონენტების ნომერზე (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) ოთახში SMS-ის გაგზავნით, […]
• მიიღეთ კანონი საოჯახო მეურნეობის შესახებ. მიიღეთ ფედერალური კანონი უსასყიდლოდ განაწილების შესახებ ყველა მსურველი მოქალაქისთვის რუსეთის ფედერაციაან მიწის ნაკვეთის მოქალაქეთა ოჯახი მასზე საგვარეულო სახლის მოსაწყობად შემდეგი პირობებით: 1. ნაკვეთი გამოყოფილია […]
• პივოევი ვ.მ. მეცნიერების ფილოსოფია და მეთოდოლოგია: სახელმძღვანელო მაგისტრებისა და კურსდამთავრებულებისთვის პეტროზავოდსკი: პეტრსუს გამომცემლობა, 2013 წ. - 320 გვ. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb [...]

გაკვეთილი თემაზე: "ერთნაირი და განსხვავებული მაჩვენებლებით ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის წესები. მაგალითები"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები. ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-7 კლასისთვის
სახელმძღვანელო სახელმძღვანელოსთვის Yu.N. მაკარიჩევას სახელმძღვანელო სახელმძღვანელოსთვის A.G. მორდკოვიჩი

გაკვეთილის მიზანი: ისწავლეთ როგორ შეასრულოთ მოქმედებები რიცხვის ხარისხებით.

დასაწყისისთვის, გავიხსენოთ კონცეფცია "რიცხვის ძალა". ისეთი გამოხატულება, როგორიცაა $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც $a^n$.

საპირისპირო ასევე მართალია: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

ამ თანასწორობას ეწოდება "ხარისხის აღრიცხვა, როგორც პროდუქტი". ის დაგვეხმარება იმის გარკვევაში, თუ როგორ გავამრავლოთ და გავყოთ ძალები.
გახსოვდეთ:
ა- ხარისხის საფუძველი.
ნ- ექსპონენტი.
Თუ n=1, რაც ნიშნავს რიცხვს ამიღებული ერთხელ და შესაბამისად: $a^n= 1$.
Თუ n=0, შემდეგ $a^0= 1$.

რატომ ხდება ასე, შეგვიძლია გავარკვიოთ, როცა გავეცნობით ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის წესებს.

გამრავლების წესები

ა) თუ ერთი და იგივე ფუძის მქონე სიმძლავრეები გამრავლებულია.
$a^n * a^m$-ზე, ჩვენ ვწერთ სიმძლავრეებს, როგორც ნამრავლი: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (მ)$.
ნახაზი აჩვენებს, რომ რიცხვი ააიღეს n+mჯერ, შემდეგ $a^n * a^m = a^(n + m)$.

მაგალითი.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

ეს თვისება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად სამუშაოს გასამარტივებლად, როდესაც რიცხვი დიდ სიმძლავრეზე აწევთ.
მაგალითი.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ბ) თუ სიმძლავრეები მრავლდება სხვადასხვა ფუძეზე, მაგრამ იგივე მაჩვენებლით.
$a^n * b^n$-ზე, ჩვენ ვწერთ სიმძლავრეებს, როგორც ნამრავლი: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (მ)$.
თუ გავცვლით ფაქტორებს და დავთვლით მიღებულ წყვილებს, მივიღებთ: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

ასე რომ, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

მაგალითი.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

გაყოფის წესები

ა) ხარისხის საფუძველი ერთი და იგივეა, მაჩვენებლები განსხვავებული.
განვიხილოთ გრადუსის უფრო დიდი მაჩვენებლით გაყოფა გრადუსის უფრო მცირე მაჩვენებელზე გაყოფით.

ასე რომ, აუცილებელია $\frac(a^n)(a^m)$, სად n>მ.

ჩვენ ვწერთ გრადუსებს წილადად:

$\frac(\ underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

მოხერხებულობისთვის ჩვენ ვწერთ გაყოფას მარტივ წილადად.

ახლა შევამციროთ წილადი.

გამოდის: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
ნიშნავს, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

ეს თვისება დაგეხმარებათ ახსნათ სიტუაცია რიცხვის ნულამდე აწევით. დავუშვათ, რომ n=m, შემდეგ $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

მაგალითები.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

ბ) ხარისხის საფუძვლები განსხვავებულია, მაჩვენებლები ერთი და იგივე.
ვთქვათ, გჭირდებათ $\frac(a^n)(b^n)$. რიცხვების ხარისხებს წილადად ვწერთ:

$\frac(\ underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\ underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$.

მოხერხებულობისთვის წარმოვიდგინოთ.

წილადების თვისების გამოყენებით დიდ წილადს ვყოფთ პატარების ნამრავლად, მივიღებთ.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b))_(n)$.
შესაბამისად: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

მაგალითი.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

პირველი დონე

ხარისხი და მისი თვისებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

რატომ არის საჭირო ხარისხები? სად გჭირდებათ ისინი? რატომ გჭირდებათ დროის დახარჯვა მათ შესწავლაზე?

იმისათვის, რომ გაიგოთ ყველაფერი ხარისხების შესახებ, რისთვის არიან ისინი, როგორ გამოიყენოთ თქვენი ცოდნა ყოველდღიურ ცხოვრებაში, წაიკითხეთ ეს სტატია.

და, რა თქმა უნდა, ხარისხების ცოდნა მოგაახლოებთ OGE ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებასა და თქვენი ოცნების უნივერსიტეტში შესვლას.

მოდი წავიდეთ... (წავიდეთ!)

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი! თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ სისულელეს, გაასუფთავეთ თქვენი ქეში. ამისათვის დააჭირეთ CTRL+F5 (Windows-ზე) ან Cmd+R (Mac-ზე).

პირველი დონე

გაძლიერება არის იგივე მათემატიკური ოპერაცია, როგორც შეკრება, გამოკლება, გამრავლება ან გაყოფა.

ახლა ყველაფერს ადამიანურ ენაზე ავხსნი ძალიან მარტივი მაგალითებით. Ყურადღებით. მაგალითები ელემენტარულია, მაგრამ ახსნით მნიშვნელოვან საკითხებს.

დავიწყოთ დამატებით.

აქ ასახსნელი არაფერია. თქვენ უკვე ყველაფერი იცით: ჩვენ რვა ვართ. თითოეულს აქვს ორი ბოთლი კოლა. რამდენი კოლა? მართალია - 16 ბოთლი.

ახლა გამრავლება.

იგივე მაგალითი კოლასთან შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს: . მათემატიკოსები ცბიერი და ზარმაცი ხალხია. ისინი ჯერ ამჩნევენ ზოგიერთ შაბლონს, შემდეგ კი იგონებენ მათ უფრო სწრაფად „დათვლას“. ჩვენს შემთხვევაში, მათ შენიშნეს, რომ რვა ადამიანიდან თითოეულს ჰქონდა იგივე რაოდენობის ბოთლი კოლას და გამოიგონეს ტექნიკა, რომელსაც გამრავლება ჰქვია. ვეთანხმები, ითვლება უფრო ადვილი და სწრაფი ვიდრე.

ასე რომ, უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე დათვლა, უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ გამრავლების ცხრილი. რა თქმა უნდა, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ყველაფერი ნელა, რთულად და შეცდომებით! მაგრამ…

აქ არის გამრავლების ცხრილი. გაიმეორეთ.

და კიდევ ერთი, უფრო ლამაზი:

და რა სხვა სახიფათო ხრიკები მოიგონეს ზარმაცი მათემატიკოსებმა? სწორად - რიცხვის ძალამდე აყვანა.

რიცხვის ძლიერებამდე აწევა

თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხუთჯერ გამრავლება, მაშინ მათემატიკოსები ამბობენ, რომ ეს რიცხვი მეხუთე ხარისხამდე უნდა აწიოთ. Მაგალითად, . მათემატიკოსებს ახსოვთ, რომ ორი მეხუთე ხარისხამდე არის. და ისინი გონებაში წყვეტენ ასეთ პრობლემებს - უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე.

ამისათვის საჭიროა მხოლოდ დაიმახსოვრე რა არის ხაზგასმული ფერით რიცხვების ხარისხების ცხრილში. დამიჯერე, ეს ბევრად გაგიადვილებს ცხოვრებას.

სხვათა შორის, რატომ ჰქვია მეორე ხარისხს კვადრატინომრები და მესამე კუბი? Რას ნიშნავს? ძალიან კარგი კითხვა. ახლა გექნებათ კვადრატებიც და კუბებიც.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #1

დავიწყოთ რიცხვის კვადრატით ან მეორე ხარისხით.

წარმოიდგინეთ კვადრატული აუზი, რომელიც ზომავს მეტრებს. აუზი თქვენს ეზოშია. ცხელა და ძალიან მინდა ბანაობა. მაგრამ ... აუზი ფსკერის გარეშე! აუზის ფსკერის დაფარვა აუცილებელია ფილებით. რამდენი ფილა გჭირდებათ? ამის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ აუზის ფსკერის ფართობი.

თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ თითის დაჭერით დათვალოთ, რომ აუზის ფსკერი მეტრი მეტრზე კუბურებისგან შედგება. თუ თქვენი ფილები მეტრზე მეტრია, დაგჭირდებათ ნაჭრები. ადვილია... მაგრამ სად ნახე ასეთი ფილა? კრამიტი უფრო სმ-სმ იქნება, მერე კი „თითით დათვლა“ დაგატანჯავთ. მაშინ უნდა გაამრავლო. ასე რომ, აუზის ფსკერის ერთ მხარეს მოვათავსებთ ფილებს (ნაჭრებს), ხოლო მეორეზე ასევე ფილებს. გამრავლებით, თქვენ მიიღებთ ფილებს ().

შენიშნეთ, რომ ერთი და იგივე რიცხვი თავისთავად გავამრავლეთ აუზის ფსკერის ფართობის დასადგენად? Რას ნიშნავს? ვინაიდან ერთი და იგივე რიცხვი მრავლდება, შეგვიძლია გამოვიყენოთ გაძლიერების ტექნიკა. (რა თქმა უნდა, როდესაც თქვენ გაქვთ მხოლოდ ორი რიცხვი, თქვენ მაინც გჭირდებათ მათი გამრავლება ან ხარისხზე აწევა. მაგრამ თუ ბევრი გაქვთ, მაშინ ხარისხზე აწევა ბევრად უფრო ადვილია და ასევე ნაკლებია შეცდომები გამოთვლებში. გამოცდისთვის ეს ძალიან მნიშვნელოვანია).
ასე რომ, ოცდაათი მეორე ხარისხი იქნება (). ან შეიძლება ითქვას, რომ ოცდაათი კვადრატი იქნება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვის მეორე ხარისხი ყოველთვის შეიძლება იყოს კვადრატის სახით. და პირიქით, თუ ხედავთ კვადრატს, ის ყოველთვის არის რომელიმე რიცხვის მეორე ხარისხში. კვადრატი არის რიცხვის მეორე ხარისხის გამოსახულება.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #2

აქ არის დავალება თქვენთვის, დათვალეთ რამდენი კვადრატია ჭადრაკის დაფაზე რიცხვის კვადრატის გამოყენებით ... უჯრედების ერთ მხარეს და მეორეზეც. მათი რიცხვის დასათვლელად საჭიროა რვა გაამრავლოთ რვაზე, ან ... თუ შეამჩნევთ, რომ ჭადრაკის დაფა არის კვადრატი გვერდით, მაშინ შეგიძლიათ რვა კვადრატში. მიიღეთ უჯრედები. () Ისე?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #3

ახლა კუბი ან რიცხვის მესამე ხარისხი. იგივე აუზი. მაგრამ ახლა თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი წყალი უნდა ჩაასხათ ამ აუზში. თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოცულობა. (მოცულობები და სითხეები, სხვათა შორის, იზომება კუბ. აუზი.

უბრალოდ აწიეთ თითი და დაითვალეთ! ერთი, ორი, სამი, ოთხი… ოცდაორი, ოცდასამი… რამდენი გამოვიდა? არ დაიკარგა? რთულია თითით დათვლა? Ამიტომ! აიღეთ მაგალითი მათემატიკოსებისგან. ისინი ზარმაცები არიან, ამიტომ შენიშნეს, რომ აუზის მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა მისი სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ერთმანეთზე გაამრავლოთ. ჩვენს შემთხვევაში აუზის მოცულობა კუბების ტოლი იქნება... უფრო ადვილია, არა?

ახლა წარმოიდგინეთ, რა ზარმაცი და ეშმაკნი არიან მათემატიკოსები, თუ ამას ძალიან აადვილებენ. ყველაფერი ერთ მოქმედებამდე შეამცირა. მათ შენიშნეს, რომ სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ტოლია და ერთი და იგივე რიცხვი თავისთავად მრავლდება... და რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხარისხი. ასე რომ, რასაც ერთხელ თითით დათვალეთ, ისინი აკეთებენ ერთ მოქმედებას: კუბში სამი ტოლია. ასე წერია:

რჩება მხოლოდ დაიმახსოვრეთ გრადუსების ცხრილი. თუ, რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებივით ზარმაცი და მზაკვარი არ ხართ. თუ გიყვართ შრომა და შეცდომების დაშვება, შეგიძლიათ თითით დათვლა განაგრძოთ.

ისე, იმისთვის, რომ საბოლოოდ დაგარწმუნოთ, რომ ხარისხები ლოფერებმა და ეშმაკმა ადამიანებმა გამოიგონეს, რომ გადაჭრან თავიანთი ცხოვრებისეული პრობლემები და არა პრობლემები შეგიქმნან, აი, კიდევ ორიოდე მაგალითი ცხოვრებიდან.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #4

თქვენ გაქვთ მილიონი რუბლი. ყოველი წლის დასაწყისში ყოველ მილიონზე კიდევ მილიონს გამოიმუშავებთ. ანუ, ყოველი თქვენი მილიონი ყოველი წლის დასაწყისში გაორმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წლების განმავლობაში? თუ ახლა ზიხარ და "თითით ითვლი", მაშინ ძალიან შრომისმოყვარე და... სულელი ხარ. მაგრამ დიდი ალბათობით რამდენიმე წამში გაგცემთ პასუხს, რადგან ჭკვიანი ხართ! ასე რომ, პირველ წელს - ორჯერ ორი ... მეორე წელს - რა მოხდა, კიდევ ორი, მესამე წელს ... გაჩერდი! თქვენ შენიშნეთ, რომ რიცხვი თავისთავად მრავლდება ერთხელ. ასე რომ, ორი მეხუთე ხარისხამდე არის მილიონი! ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ კონკურსი და ვინც უფრო სწრაფად ითვლის, მიიღებს ამ მილიონებს... ღირს თუ არა დაიმახსოვროთ რიცხვების ხარისხი, რას ფიქრობთ?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #5

მილიონი გაქვს. ყოველი წლის დასაწყისში ყოველ მილიონზე ორს გამოიმუშავებთ. მშვენიერია არა? ყოველი მილიონი გასამმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წელიწადში? დავთვალოთ. პირველი წელი - გაამრავლე, მერე შედეგი მეორეზე... ეს უკვე მოსაწყენია, რადგან უკვე ყველაფერი გაიგე: სამი თავისთავად მრავლდება ჯერ. ასე რომ, მეოთხე ძალა არის მილიონი. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ სამიდან მეოთხე ხარისხში არის ან.

ახლა თქვენ იცით, რომ რიცხვის ძლიერებამდე აყვანით, ბევრად გაგიადვილებთ ცხოვრებას. მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ, რა შეგიძლიათ გააკეთოთ ხარისხებით და რა უნდა იცოდეთ მათ შესახებ.

ტერმინები და ცნებები... ისე რომ არ აგერიოთ

ასე რომ, პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ცნებები. Რას ფიქრობ, რა არის მაჩვენებელი? ეს ძალიან მარტივია – ეს ის რიცხვია, რომელიც რიცხვის სიმძლავრის „ზედაზეა“. არა მეცნიერული, მაგრამ გასაგები და ადვილად დასამახსოვრებელი ...

აბა, ამავდროულად, რა ხარისხის ასეთი ბაზა? კიდევ უფრო მარტივია რიცხვი, რომელიც არის ბოლოში, ძირში.

აი სურათი რომ დარწმუნდეთ.

ისე, ზოგადად, იმისათვის, რომ განვაზოგადოთ და უკეთ დავიმახსოვროთ ... ხარისხი ფუძით "" და ინდიკატორი "" იკითხება როგორც "ხარისხში" და იწერება შემდეგნაირად:

რიცხვის სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით

თქვენ ალბათ უკვე მიხვდით: რადგან მაჩვენებელი ნატურალური რიცხვია. კი მაგრამ რა არის ბუნებრივი რიცხვი? ელემენტარული! ნატურალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება დათვლაში ერთეულების ჩამოთვლისას: ერთი, ორი, სამი... როდესაც ვითვლით ერთეულებს, არ ვამბობთ: „მინუს ხუთი“, „მინუს ექვსი“, „მინუს შვიდი“. არც „ერთ მესამედს“ და არც „ნულ ქულას ხუთი მეათედი“ არ ვამბობთ. ეს არ არის ბუნებრივი რიცხვები. როგორ ფიქრობთ, რა არის ეს რიცხვები?

რიცხვები, როგორიცაა "მინუს ხუთი", "მინუს ექვსი", "მინუს შვიდი" ეხება მთელი რიცხვები.ზოგადად, მთელი რიცხვები მოიცავს ყველა ნატურალურ რიცხვს, ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვებს (ანუ აღებული მინუს ნიშნით) და რიცხვს. ნული ადვილი გასაგებია - ეს მაშინ, როცა არაფერია. და რას ნიშნავს უარყოფითი ("მინუს") რიცხვები? მაგრამ ისინი გამოიგონეს, პირველ რიგში, ვალების აღსანიშნავად: თუ თქვენს ტელეფონზე ბალანსი რუბლებში გაქვთ, ეს ნიშნავს, რომ ოპერატორის რუბლები გაქვთ.

ყველა წილადი რაციონალური რიცხვია. როგორ გაჩნდნენ, როგორ ფიქრობთ? Ძალიან მარტივი. რამდენიმე ათასი წლის წინ ჩვენმა წინაპრებმა აღმოაჩინეს, რომ მათ არ ჰქონდათ საკმარისი ბუნებრივი რიცხვები სიგრძის, წონის, ფართობის გასაზომად და ა.შ. და გამოვიდნენ რაციონალური რიცხვი... საინტერესოა, არა?

არის ირაციონალური რიცხვებიც. რა არის ეს რიცხვები? მოკლედ, უსასრულო ათობითი წილადი. მაგალითად, თუ წრის გარშემოწერილობას გაყოფთ მის დიამეტრზე, მაშინ მიიღებთ ირაციონალურ რიცხვს.

Შემაჯამებელი:

განვსაზღვროთ ხარისხის ცნება, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).

1. ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს:
2. რიცხვის კვადრატში გაყვანა ნიშნავს მის თავის თავზე გამრავლებას:
3. რიცხვის კუბირება ნიშნავს მის სამჯერ გამრავლებას:

განმარტება.რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:
.

ხარისხის თვისებები

საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? ახლავე გაჩვენებ.

ვნახოთ რა არის და ?

ა-პრიორიტეტი:

რამდენი მულტიპლიკატორია სულ?

ეს ძალიან მარტივია: ჩვენ ფაქტორებს დავამატეთ ფაქტორები და შედეგი არის ფაქტორები.

მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხი მაჩვენებლით, ანუ: , რომელიც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.

მაგალითი: გამოხატვის გამარტივება.

გადაწყვეტილება:

მაგალითი:გამოხატვის გამარტივება.

გადაწყვეტილება:მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე მიზეზი უნდა იყოს!
მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:

მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დაწეროთ ეს.

2. ანუ - რიცხვის ხარისხში

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის მე-თე ხარისხი:

სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა?

მაგრამ ეს ასე არ არის, ნამდვილად.

ხარისხი უარყოფითი ბაზით

ამ მომენტამდე ჩვენ მხოლოდ განვიხილეთ, თუ რა უნდა იყოს მაჩვენებელი.

მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი?

გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელისაფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი. მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი.

მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ? პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთში, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ გამოდის.

თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

მოახერხე?

აი პასუხები: პირველ ოთხ მაგალითში იმედი მაქვს ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

მაგალით 5-ში, ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი არის თანაბარი, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება.

კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) ასე მარტივი აღარ არის!

6 პრაქტიკის მაგალითი

ამოხსნის ანალიზი 6 მაგალითი

თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა! ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი გაცვლიან, ეს წესი შეიძლება მოქმედებდეს.

მაგრამ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.

ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები.

მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

მთლიანივასახელებთ ნატურალურ რიცხვებს, მათ საპირისპიროებს (ანუ აღებულს "" ნიშნით) და რიცხვს.

დადებითი მთელი რიცხვიდა ის არაფრით განსხვავდება ბუნებრივისგან, მაშინ ყველაფერი ზუსტად ისე გამოიყურება, როგორც წინა განყოფილებაში.

ახლა მოდით შევხედოთ ახალ შემთხვევებს. დავიწყოთ ტოლი ინდიკატორით.

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის:

როგორც ყოველთვის, საკუთარ თავს ვეკითხებით: რატომ არის ასე?

განვიხილოთ გარკვეული ძალა ბაზით. აიღეთ, მაგალითად, და გაამრავლეთ:

ასე რომ, ჩვენ გავამრავლეთ რიცხვი და მივიღეთ იგივე, რაც იყო -. რა რიცხვზე უნდა გავამრავლოთ, რომ არაფერი შეიცვალოს? მართალია, ჩართულია. ნიშნავს.

იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ თვითნებური რიცხვით:

გავიმეოროთ წესი:

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.

მაგრამ არსებობს გამონაკლისები მრავალი წესისგან. და აქ არის ისიც - ეს არის რიცხვი (როგორც საფუძველი).

ერთის მხრივ, ის უნდა იყოს ნებისმიერი ხარისხის ტოლი - რაც არ უნდა გაამრავლო ნული თავის თავზე, მაინც მიიღებ ნულს, ეს გასაგებია. მაგრამ მეორეს მხრივ, როგორც ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი ხარისხით, ის უნდა იყოს ტოლი. მაშ, რა არის ამის სიმართლე? მათემატიკოსებმა გადაწყვიტეს არ ჩაერთონ და უარი განაცხადეს ნულის ნულოვან ხარისხზე აყვანაზე. ანუ, ახლა ჩვენ შეგვიძლია არა მარტო გავყოთ ნულზე, არამედ ავიყვანოთ ის ნულოვან სიმძლავრემდე.

მოდით წავიდეთ უფრო შორს. ნატურალური რიცხვებისა და რიცხვების გარდა, მთელ რიცხვებში შედის უარყოფითი რიცხვები. იმის გასაგებად, თუ რა არის უარყოფითი ხარისხი, მოდით გავაკეთოთ იგივე, რაც წინა ჯერზე: ჩვენ გავამრავლებთ ზოგიერთ ნორმალურ რიცხვს იმავეზე უარყოფით ხარისხში:

აქედან უკვე ადვილია სასურველის გამოხატვა:

ახლა ჩვენ ვაფართოებთ შედეგად წესს თვითნებურ ხარისხზე:

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ წესი:

რიცხვი უარყოფით ხარისხზე არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხზე. Მაგრამ ამავდროულად ბაზა არ შეიძლება იყოს ნულოვანი:(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).

შევაჯამოთ:

I. გამოთქმა არ არის განსაზღვრული შემთხვევაში. თუ, მაშინ.

II. ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის: .

III. რიცხვი, რომელიც არ უდრის ნულის უარყოფით ხარისხს, არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხი: .

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ისე, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მაგალითები:

ამოცანების ანალიზი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ვიცი, ვიცი, ციფრები საშინელია, მაგრამ გამოცდაზე ყველაფრისთვის მზად უნდა იყო! ამოხსენით ეს მაგალითები ან გააანალიზეთ მათი ამოხსნა, თუ ვერ ამოხსნით და გაიგებთ, თუ როგორ მარტივად გაუმკლავდეთ მათ გამოცდაზე!

მოდით გავაგრძელოთ მაჩვენებლის სახით „შესაფერისი“ რიცხვების დიაპაზონის გაფართოება.

ახლა განიხილეთ რაციონალური რიცხვი.რომელ რიცხვებს ეწოდება რაციონალური?

პასუხი: ყველაფერი, რაც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები, უფრო მეტიც.

რომ გავიგოთ რა არის "ფრაქციული ხარისხი"განვიხილოთ წილადი:

მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე ხარისხზე:

ახლა დაიმახსოვრე წესი "ხარისხიდან ხარისხამდე":

რა რიცხვი უნდა გაიზარდოს სიმძლავრის მისაღებად?

ეს ფორმულირება არის მე-6 ხარისხის ფესვის განმარტება.

შეგახსენებთ: რიცხვის () მეათე ხარისხის ფესვი არის რიცხვი, რომელიც ხარისხზე აყვანისას ტოლია.

ანუ, th ხარისხის ფესვი არის შებრუნებული მოქმედების სიძლიერე: .

თურმე. ცხადია, ეს განსაკუთრებული შემთხვევა შეიძლება გაგრძელდეს: .

ახლა დაამატეთ მრიცხველი: რა არის ეს? პასუხის მიღება მარტივია ძალაუფლება-ძალაში წესით:

მაგრამ შეიძლება თუ არა საფუძველი იყოს ნებისმიერი რიცხვი? ყოველივე ამის შემდეგ, ფესვის ამოღება შეუძლებელია ყველა რიცხვიდან.

არცერთი!

დაიმახსოვრე წესი: ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ლუწი ხარისხზეა გაზრდილი, დადებითი რიცხვია. ანუ უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ხარისხის ფესვების ამოღება შეუძლებელია!

და ეს ნიშნავს, რომ ასეთი რიცხვები არ შეიძლება გაიზარდოს წილადის ხარისხამდე ლუწი მნიშვნელით, ანუ გამოხატვას აზრი არ აქვს.

რაც შეეხება გამოხატვას?

მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა.

რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა, შემცირებული წილადების სახით, მაგალითად, ან.

და გამოდის, რომ ის არსებობს, მაგრამ არ არსებობს, და ეს არის მხოლოდ ორი განსხვავებული ჩანაწერი ერთი და იგივე ნომრით.

ან კიდევ ერთი მაგალითი: ერთხელ, მაშინ შეგიძლია ჩაწერო. მაგრამ როგორც კი ინდიკატორს სხვანაირად ვწერთ, ისევ გვიჭირს: (ანუ მივიღეთ სრულიად განსხვავებული შედეგი!).

ასეთი პარადოქსების თავიდან ასაცილებლად, გაითვალისწინეთ მხოლოდ დადებითი ბაზის მაჩვენებლები წილადის მაჩვენებლით.

ასე რომ, თუ:

• - ნატურალური რიცხვი;
• არის მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ძალები ძალიან სასარგებლოა ფესვებით გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, მაგალითად:

5 პრაქტიკის მაგალითი

ტრენინგის 5 მაგალითის ანალიზი

კარგი, ახლა - ყველაზე რთული. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.

გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხებისთვის, გარდა

მართლაც, განმარტებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ, ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).

ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური ინდიკატორით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით.

მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე;

...ნულოვანი სიმძლავრე- ეს არის, თითქოს, თავისთავად ერთხელ გამრავლებული რიცხვი, ანუ ის ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული ”მომზადება ნომერი“, კერძოდ ნომერი;

...უარყოფითი მთელი რიცხვი- თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

სხვათა შორის, მეცნიერებაში ხშირად გამოიყენება კომპლექსური მაჩვენებლის მქონე ხარისხი, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის.

მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

სადაც ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ წახვალ! (თუ ისწავლით ასეთი მაგალითების ამოხსნას :))

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

გადაწყვეტილებების ანალიზი:

1. დავიწყოთ ხარისხზე ამაღლების უკვე ჩვეულებრივი წესით:

ახლა შეხედე ქულას. ის რამეს გახსენებს? გავიხსენებთ კვადრატების სხვაობის შემოკლებული გამრავლების ფორმულას:

AT ამ საქმეს,

გამოდის, რომ:

პასუხი: .

2. წილადები მაჩვენებლებში ერთსა და იმავე ფორმაზე მივყავართ: ორივე ათწილადი ან ორივე ჩვეულებრივი. ჩვენ ვიღებთ, მაგალითად:

პასუხი: 16

3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

გაფართოებული დონე

ხარისხის განსაზღვრა

ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

• — ხარისხის საფუძველი;
• - ექსპონენტი.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით (n = 1, 2, 3,...)

რიცხვის აწევა ბუნებრივ ხარისხამდე n ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:

სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (0, ±1, ±2,...)

თუ მაჩვენებელი არის დადებითი მთელი რიცხვინომერი:

ერექცია ნულოვანი სიმძლავრისკენ:

გამოთქმა განუსაზღვრელია, რადგან, ერთის მხრივ, ნებისმიერი ხარისხით არის ეს, ხოლო მეორე მხრივ, ნებისმიერი რიცხვი მე-ე ხარისხის არის ეს.

თუ მაჩვენებელი არის მთელი უარყოფითინომერი:

(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).

კიდევ ერთხელ ნულის შესახებ: გამოთქმა არ არის განსაზღვრული საქმეში. თუ, მაშინ.

მაგალითები:

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით

• - ნატურალური რიცხვი;
• არის მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

ხარისხის თვისებები

პრობლემების გადაჭრის გასაადვილებლად, შევეცადოთ გავიგოთ: საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? მოდით დავამტკიცოთ ისინი.

ვნახოთ: რა არის და?

ა-პრიორიტეტი:

ამრიგად, ამ გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს მიიღება შემდეგი პროდუქტი:

მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხობრივი მაჩვენებელი, ანუ:

ქ.ე.დ.

მაგალითი : გამოხატვის გამარტივება.

გადაწყვეტილება : .

მაგალითი : გამოხატვის გამარტივება.

გადაწყვეტილება : მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე საფუძველი უნდა ჰქონდეს. მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ეს წესი - მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დავწერო ეს.

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

მოდით გადავაწყოთ ასე:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის --ე ხარისხი:

სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:!

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა? მაგრამ ეს ასე არ არის, ნამდვილად.

ძალა უარყოფითი ბაზისით.

ამ დრომდე ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ ის, რაც უნდა იყოს მაჩვენებელიხარისხი. მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი? გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი .

მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი. მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ?

პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთში, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ (), მივიღებთ -.

და ასე შემდეგ უსასრულოდ: ყოველი მომდევნო გამრავლებით, ნიშანი შეიცვლება. თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ ეს მარტივი წესები:

1. თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
2. უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
3. ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
4. ნებისმიერი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.

თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

მოახერხე? აქ არის პასუხები:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

პირველ ოთხ მაგალითში, იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

მაგალით 5-ში, ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი არის თანაბარი, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება. კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) აღარ არის ასე მარტივი. აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელია ნაკლები: ან? თუ გახსოვთ, ირკვევა, რომ ეს ნიშნავს, რომ ბაზა ნულზე ნაკლებია. ანუ ვიყენებთ მე-2 წესს: შედეგი უარყოფითი იქნება.

და კვლავ ვიყენებთ ხარისხის განმარტებას:

ყველაფერი ჩვეულებრივად არის - ჩვენ ვწერთ ხარისხების განმარტებას და ვყოფთ მათ ერთმანეთში, ვყოფთ წყვილებად და ვიღებთ:

სანამ ბოლო წესს გავაანალიზებთ, გადავწყვიტოთ რამდენიმე მაგალითი.

გამოთვალეთ გამონათქვამების მნიშვნელობები:

გადაწყვეტილებები :

თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა!

ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი შეცვლილი იქნებოდა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას წესი 3. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.

თუ გაამრავლებ, არაფერი იცვლება, არა? მაგრამ ახლა ასე გამოიყურება:

ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები. მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!მისი შეცვლა შეუძლებელია ჩვენთვის მხოლოდ ერთი უსიამოვნო მინუსის შეცვლით!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

ახლა ბოლო წესი:

როგორ ვაპირებთ ამის დამტკიცებას? რა თქმა უნდა, როგორც ყოველთვის: მოდით გავაფართოვოთ ხარისხის კონცეფცია და გავამარტივოთ:

აბა, ახლა გავხსნათ ფრჩხილები. რამდენი ასო იქნება? ჯერ გამრავლებით - როგორ გამოიყურება? ეს სხვა არაფერია, თუ არა ოპერაციის განმარტება გამრავლება: სულ იყო მულტიპლიკატორები. ანუ, ეს არის, განსაზღვრებით, რიცხვის ძალა მაჩვენებლით:

მაგალითი:

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

საშუალო დონის ხარისხების შესახებ ინფორმაციის გარდა, ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხს ირაციონალური მაჩვენებლით. გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისი - ბოლოს და ბოლოს, განსაზღვრებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).

ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური ინდიკატორით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით. მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე; რიცხვი ნულოვანი ხარისხით არის, თითქოს, ერთჯერადად გამრავლებული რიცხვი, ანუ ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული „რიცხვის მომზადება“, კერძოდ რიცხვი; ხარისხი უარყოფითი მთელი რიცხვით - თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ იყოფა.

უკიდურესად რთულია ხარისხის წარმოდგენა ირაციონალური მაჩვენებლით (ისევე, როგორც რთულია 4 განზომილებიანი სივრცის წარმოდგენა). პირიქით, ეს არის წმინდა მათემატიკური ობიექტი, რომელიც მათემატიკოსებმა შექმნეს, რათა გააფართოვონ გრადუსის კონცეფცია რიცხვების მთელ სივრცეში.

სხვათა შორის, მეცნიერებაში ხშირად გამოიყენება კომპლექსური მაჩვენებლის მქონე ხარისხი, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის. მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

რა ვქნათ, თუ ირაციონალურ მაჩვენებელს დავინახავთ? ყველანაირად ვცდილობთ თავი დავაღწიოთ! :)

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

1)

2)

3)

პასუხები:

1. გახსოვდეთ კვადრატების ფორმულის განსხვავება. პასუხი:.
2. წილადებს მივყავართ ერთი და იგივე ფორმამდე: ან ორივე ათწილადი, ან ორივე ჩვეულებრივი. ვიღებთ, მაგალითად: .
3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

ნაწილის შეჯამება და ძირითადი ფორმულა

ხარისხიეწოდება ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი რიცხვი და დადებითი).

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უარყოფითი და წილადი რიცხვები.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

მაჩვენებელი, რომლის მაჩვენებელია უსასრულო ათობითი წილადი ან ფესვი.

ხარისხის თვისებები

ხარისხების მახასიათებლები.

• უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
• უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
• ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
• ნული უდრის ნებისმიერ ძალას.
• ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია.

ახლა შენ გაქვს სიტყვა...

როგორ მოგწონთ სტატია? შემატყობინეთ ქვემოთ მოცემულ კომენტარებში, მოგეწონათ თუ არა.

გვითხარით თქვენი გამოცდილების შესახებ დენის თვისებებთან დაკავშირებით.

ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.

დაწერეთ კომენტარებში.

და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებში!