ჩვენ არ ვირჩევთ მათემატიკასმისი პროფესია და ის ირჩევს ჩვენ.

რუსი მათემატიკოსი იუ.ი. მანინი

მოდულის განტოლებები

სასკოლო მათემატიკაში ყველაზე რთული ამოსახსნელი ამოცანებია მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი განტოლებები. ასეთი განტოლებების წარმატებით გადასაჭრელად აუცილებელია იცოდეთ მოდულის განმარტება და ძირითადი თვისებები. ბუნებრივია, მოსწავლეებს უნდა ჰქონდეთ ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის უნარები.

ძირითადი ცნებები და თვისებები

რეალური რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა).აღინიშნა და განისაზღვრება შემდეგნაირად:

მოდულის მარტივი თვისებები მოიცავს შემდეგ ურთიერთობებს:

Შენიშვნა, რომ ბოლო ორი თვისება მოქმედებს ნებისმიერი ლუწი ხარისხისთვის.

ასევე, თუ სად, მაშინ და

უფრო რთული მოდულის თვისებები, რომელიც შეიძლება ეფექტურად იქნას გამოყენებული მოდულებით განტოლებების ამოხსნისას, ჩამოყალიბებულია შემდეგი თეორემების საშუალებით:

თეორემა 1.ნებისმიერი ანალიტიკური ფუნქციისთვისდა უთანასწორობა

თეორემა 2.თანასწორობა იგივეა, რაც უთანასწორობა.

თეორემა 3.Თანასწორობა უდრის უტოლობას.

განვიხილოთ ამოცანების ამოხსნის ტიპიური მაგალითები თემაზე „განტოლებები, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი.

განტოლებების ამოხსნა მოდულით

მოდულით განტოლებების ამოხსნის ყველაზე გავრცელებული მეთოდი სასკოლო მათემატიკაში არის მეთოდი, მოდულის გაფართოების საფუძველზე. ეს მეთოდი ზოგადია, თუმცა, ზოგადად, მისმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ძალიან რთული გამოთვლები. ამასთან დაკავშირებით, სტუდენტებმა ასევე უნდა იცოდნენ სხვა, ასეთი განტოლებების ამოხსნის უფრო ეფექტური მეთოდები და ტექნიკა. Კერძოდ, უნდა ჰქონდეს თეორემების გამოყენების უნარები, მოცემულ სტატიაში.

მაგალითი 1ამოხსენით განტოლება. (ერთი)

გადაწყვეტილება. განტოლება (1) ამოიხსნება „კლასიკური“ მეთოდით – მოდულის გაფართოების მეთოდით. ამისათვის ჩვენ ვარღვევთ რიცხვით ღერძსწერტილები და ინტერვალით და განიხილეთ სამი შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ , , და განტოლება (1) იღებს ფორმას. აქედან გამომდინარეობს. თუმცა, აქ, ასე რომ ნაპოვნი მნიშვნელობა არ არის (1) განტოლების ფესვი.

2. თუ, შემდეგ (1) განტოლებიდან ვიღებთან .

Მას შემდეგ (1) განტოლების ფესვი.

3. თუ, შემდეგ განტოლება (1) იღებს ფორმასან . Გაითვალისწინე .

პასუხი: ,.

შემდეგი განტოლებების მოდულით ამოხსნისას ჩვენ აქტიურად გამოვიყენებთ მოდულების თვისებებს, რათა გავზარდოთ ასეთი განტოლებების ამოხსნის ეფექტურობა.

მაგალითი 2განტოლების ამოხსნა.

გადაწყვეტილება.მას შემდეგ, რაც და მაშინ გამოდის განტოლებიდან. Ამ მხრივ, , , და განტოლება ხდება. აქედან ვიღებთ. თუმცა, ასე რომ, თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პასუხი: არ არის ფესვები.

მაგალითი 3განტოლების ამოხსნა.

გადაწყვეტილება.Მას შემდეგ . თუ, მაშინ, და განტოლება ხდება.

აქედან ვიღებთ.

მაგალითი 4განტოლების ამოხსნა.

გადაწყვეტილება.მოდით გადავწეროთ განტოლება ექვივალენტური ფორმით. (2)

მიღებული განტოლება მიეკუთვნება ტიპის განტოლებებს.

თეორემა 2-ის გათვალისწინებით, შეგვიძლია განვაცხადოთ, რომ განტოლება (2) უდრის უტოლობას. აქედან ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 5ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება. ამ განტოლებას აქვს ფორმა. Ისე , თეორემა 3-ის მიხედვით, აქ გვაქვს უთანასწორობაან .

მაგალითი 6განტოლების ამოხსნა.

გადაწყვეტილება.დავუშვათ, რომ. როგორც , მაშინ მოცემული განტოლება იღებს კვადრატული განტოლების ფორმას, (3)

სადაც . ვინაიდან განტოლებას (3) აქვს ერთი დადებითი ფესვიდა მერე . აქედან ვიღებთ ორიგინალური განტოლების ორ ფესვს:და .

მაგალითი 7 განტოლების ამოხსნა. (4)

გადაწყვეტილება. განტოლებიდან გამომდინარეუდრის ორი განტოლების კომბინაციას:და მაშინ (4) განტოლების ამოხსნისას აუცილებელია ორი შემთხვევის გათვალისწინება.

1. თუ , მაშინ ან .

აქედან ვიღებთ და .

2. თუ , მაშინ ან .

Მას შემდეგ .

პასუხი: , , , .

მაგალითი 8განტოლების ამოხსნა . (5)

გადაწყვეტილება.მას შემდეგ რაც და მერე. აქედან და (5) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ და ე.ი. აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

თუმცა, ეს განტოლებათა სისტემა არათანმიმდევრულია.

პასუხი: არ არის ფესვები.

მაგალითი 9 განტოლების ამოხსნა. (6)

გადაწყვეტილება.თუ დავნიშნავთ და (6) განტოლებიდან ვიღებთ

ან . (7)

ვინაიდან განტოლებას (7) აქვს ფორმა, ეს განტოლება უდრის უტოლობას. აქედან ვიღებთ. მას შემდეგ ან .

პასუხი:.

მაგალითი 10განტოლების ამოხსნა. (8)

გადაწყვეტილება.თეორემა 1-ის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

(9)

განტოლების (8) გათვალისწინებით, ვასკვნით, რომ ორივე უტოლობა (9) გადაიქცევა ტოლებად, ე.ი. არსებობს განტოლებათა სისტემა

თუმცა, თეორემა 3-ით, განტოლებათა ზემოაღნიშნული სისტემა უტოლდება უტოლობათა სისტემას.

(10)

უტოლობების სისტემის ამოხსნით (10) ვიღებთ . ვინაიდან უტოლობების სისტემა (10) უდრის განტოლებას (8), თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:.

მაგალითი 11. განტოლების ამოხსნა. (11)

გადაწყვეტილება.მოდით და, მაშინ განტოლება (11) გულისხმობს ტოლობას.

აქედან გამომდინარეობს, რომ და . ამრიგად, აქ გვაქვს უთანასწორობის სისტემა

ამ უთანასწორობის სისტემის გამოსავალი არისდა .

პასუხი: ,.

მაგალითი 12.განტოლების ამოხსნა. (12)

გადაწყვეტილება. განტოლება (12) ამოიხსნება მოდულების თანმიმდევრული გაფართოების მეთოდით. ამისათვის განიხილეთ რამდენიმე შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ .

1.1. თუ , მაშინ და , .

1.2. თუ , მაშინ . თუმცა, ასე რომ შიგნით ამ საქმესგანტოლებას (12) არ აქვს ფესვები.

2. თუ , მაშინ .

2.1. თუ , მაშინ და , .

2.2. თუ , მაშინ და .

პასუხი: , , , , .

მაგალითი 13განტოლების ამოხსნა. (13)

გადაწყვეტილება.ვინაიდან (13) განტოლების მარცხენა მხარე არაუარყოფითია, მაშინ და . ამასთან დაკავშირებით, და განტოლება (13)

იღებს ფორმას ან.

ცნობილია, რომ განტოლება უდრის ორი განტოლების ერთობლიობასდა რომლის ამოხსნაც მივიღებთ, . როგორც , მაშინ განტოლებას (13) აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:.

მაგალითი 14 განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (14)

გადაწყვეტილება.მას შემდეგ, რაც და, შემდეგ და. ამრიგად, განტოლებათა სისტემიდან (14) ვიღებთ განტოლებათა ოთხ სისტემას:

ზემოაღნიშნული განტოლებათა სისტემების ფესვები არის განტოლებათა სისტემის ფესვები (14).

პასუხი: ,, , , , , , .

მაგალითი 15 განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (15)

გადაწყვეტილება.Მას შემდეგ . ამასთან დაკავშირებით განტოლებათა სისტემიდან (15) ვიღებთ განტოლებათა ორ სისტემას

განტოლებათა პირველი სისტემის ფესვებია და , ხოლო განტოლებათა მეორე სისტემიდან ვიღებთ და .

პასუხი: , , , .

მაგალითი 16 განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (16)

გადაწყვეტილება.სისტემის (16) პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ .

Მას შემდეგ . განვიხილოთ სისტემის მეორე განტოლება. Იმდენად, რამდენადაც, მაშინ და განტოლება ხდება, , ან .

თუ ჩვენ შევცვლით მნიშვნელობასსისტემის პირველ განტოლებაში (16)შემდეგ , ან .

პასუხი: ,.

პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, განტოლებათა ამოხსნასთან დაკავშირებული, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი, შეგიძლიათ ურჩიოთ გაკვეთილები რეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.

1. დავალებების კრებული მათემატიკაში ტექნიკური უნივერსიტეტების აპლიკანტებისთვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - M .: სამყარო და განათლება, 2013. - 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: გაზრდილი სირთულის ამოცანები. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200გვ.

3. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: ამოცანების გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდები. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296გვ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ტოჩილკინა ჯულია

ნაშრომში წარმოდგენილია განტოლებების მოდულით ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება

„59-ე საშუალო სკოლა“

მოდულის განტოლებები

აბსტრაქტული ნამუშევარი

Შესრულებული მე-9 კლასის მოსწავლე

MBOU "Secondary School No. 59", ბარნაული

ტოჩილკინა ჯულია

ზედამხედველი

ზახაროვა ლუდმილა ვლადიმეროვნა,

მათემატიკის მასწავლებელი

MBOU "Secondary School No. 59", ბარნაული

ბარნაული 2015 წ

შესავალი

მეცხრე კლასში ვარ. ამ სასწავლო წელს საბაზო სკოლის კურსის დასკვნითი ატესტაცია უნდა გავიარო. გამოცდისთვის მოსამზადებლად შევიძინეთ დ.ა. მალცევის მათემატიკის კოლექცია. მე-9 კლასი კრებულის დათვალიერებისას აღმოვაჩინე განტოლებები, რომლებიც შეიცავს არა მხოლოდ ერთ, არამედ რამდენიმე მოდულს. მასწავლებელმა მე და ჩემს კლასელებს ამიხსნა, რომ ასეთ განტოლებებს ჰქვია "ბუდე მოდულების" განტოლებები. ეს სახელი ჩვენთვის უჩვეულო ჩანდა და გამოსავალი ერთი შეხედვით საკმაოდ რთული. ასე გაჩნდა ჩემი ნამუშევრის თემა „განტოლებები მოდულით“. გადავწყვიტე უფრო ღრმად შემესწავლა ეს თემა, მითუმეტეს, რომ სასწავლო წლის ბოლოს გამოცდების ჩაბარებისას გამომადგება და ვფიქრობ, რომ მე-10 და მე-11 კლასებში დამჭირდება. ყოველივე ზემოთქმული განსაზღვრავს ჩემს მიერ არჩეული თემის აქტუალურობას.

მიზანი:

1. განვიხილოთ განტოლებების მოდულით ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი.
2. ისწავლეთ აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი განტოლებების ამოხსნა სხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით

თემაზე სამუშაოდ ჩამოყალიბდა შემდეგი ამოცანები:

Დავალებები:

1. თეორიული მასალის შესწავლა თემაზე „ნამდვილი რიცხვის მოდული“.
2. განვიხილოთ განტოლებების ამოხსნის მეთოდები და ამოცანების ამოხსნით მიღებული ცოდნის კონსოლიდაცია.
3. მიღებული ცოდნის გამოყენება საშუალო სკოლაში მოდულის ნიშნის შემცველი სხვადასხვა განტოლების ამოხსნისას

კვლევის ობიექტი:მოდულით განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

კვლევის საგანი:მოდულის განტოლებები

Კვლევის მეთოდები:

თეორიული : ლიტერატურის შესწავლა საკვლევ თემაზე;

ინტერნეტი - ინფორმაცია.

ანალიზი ლიტერატურის შესწავლისას მიღებული ინფორმაცია; მიღებული შედეგები მოდულით განტოლებების ამოხსნით სხვადასხვა გზით.

შედარება განტოლებების ამოხსნის გზები, მოდულით სხვადასხვა განტოლების ამოხსნისას მათი გამოყენების რაციონალურობის საგანი.

”ჩვენ ვიწყებთ ფიქრს, როდესაც რაღაცას ვაწყდებით.” პოლ ვალერი.

1. ცნებები და განმარტებები.

„მოდულის“ ცნება ფართოდ გამოიყენება სასკოლო მათემატიკის კურსის ბევრ განყოფილებაში, მაგალითად, სავარაუდო რიცხვის აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომების შესწავლისას; გეომეტრიასა და ფიზიკაში შესწავლილია ვექტორის ცნებები და მისი სიგრძე (ვექტორული მოდული). მოდულის ცნება გამოიყენება უმაღლეს სასწავლებლებში შესწავლილ უმაღლეს მათემატიკის, ფიზიკისა და ტექნიკური მეცნიერებების კურსებში.

სიტყვა "მოდული" მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან "modulus", რაც თარგმანში ნიშნავს "ზომას". ამ სიტყვას მრავალი მნიშვნელობა აქვს და გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, ფიზიკასა და ტექნოლოგიაში, არამედ არქიტექტურაში, პროგრამირებაში და სხვა ზუსტ მეცნიერებებში.

ითვლება, რომ ტერმინის გამოყენება შესთავაზა კოტსმა, ნიუტონის სტუდენტმა. მოდულის ნიშანი მე-19 საუკუნეში ვეიერშტრასმა შემოიღო.

არქიტექტურაში მოდული არის გაზომვის საწყისი ერთეული, რომელიც დადგენილია მოცემული არქიტექტურული სტრუქტურისთვის.

ინჟინერიაში ეს არის ტერმინი, რომელიც გამოიყენება ტექნოლოგიის სხვადასხვა დარგში, რომელიც ემსახურება სხვადასხვა კოეფიციენტებისა და რაოდენობის აღნიშვნას, მაგალითად, ელასტიურობის მოდულს, ჩართულობის მოდულს ...

მათემატიკაში მოდულს რამდენიმე მნიშვნელობა აქვს, მაგრამ მე მას განვიხილავ როგორც რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას.

განმარტება 1: რეალური რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა).ა თავად ნომერი იწოდება თუა ≥0, ან საპირისპირო რიცხვი -და თუ ა ნულის მოდული არის ნული.

მოდულით განტოლებების ამოხსნისას მოსახერხებელია მოდულის თვისებების გამოყენება.

განვიხილოთ 5,6,7 თვისებების მტკიცებულებები.

განცხადება 5. თანასწორობა │ მართალია, თუ av ≥ 0.

მტკიცებულება. მართლაც, ამ ტოლობის ორივე ნაწილის კვადრატში გამოყვანის შემდეგ მივიღებთ │ a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ │²-მდე,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av │ + b², საიდანაც │ av │ = av

და ბოლო თანასწორობა იქნება ჭეშმარიტი av ≥0.

დებულება 6. ტოლობა │ a-c │=│ a │+│ c │ მართალია, როდესაც av ≤0.

მტკიცებულება. ამის დასამტკიცებლად საკმარისია თანასწორობა

│ a + in │=│ a │+│ in │ ჩანაცვლება - in-ით, შემდეგ a (- in) ≥0, საიდანაც av ≤0.

განცხადება 7. ტოლობა │ a │+│ in │= a + in შესრულდა a ≥0 და b ≥0.

მტკიცებულება . ოთხი შემთხვევის გათვალისწინებით a ≥0 და b ≥0; a ≥0 და b ა ≥0-ზე; ა in a ≥0 და b ≥0.

(a-c) ≥0-ში.

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია

|ა| არის მანძილი კოორდინატთა წრფეზე კოორდინატიანი წერტილიდანა , კოორდინატების წარმოშობამდე.

|-ა| |ა|

A 0 a x

მნიშვნელობის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია |ა| ნათლად ადასტურებს, რომ |-a|=|a|

Თუ 0, მაშინ კოორდინატთა წრფეზე არის ორი წერტილი a და -a, ნულიდან თანაბარ მანძილზე, რომელთა მოდულები ტოლია.

თუ a=0, მაშინ კოორდინატთა ხაზზე |a| წარმოდგენილია 0 წერტილით.

განმარტება 2: მოდულის მქონე განტოლება არის განტოლება, რომელიც შეიცავს ცვლადს აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის ქვეშ (მოდულის ნიშნის ქვეშ). მაგალითად: |x +3|=1

განმარტება 3: განტოლების ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ფესვის პოვნას, ან იმის მტკიცებას, რომ ფესვები არ არსებობს.

2. გადაწყვეტის მეთოდები

მოდულის განმარტებიდან და თვისებებიდან გამომდინარეობს მოდულით განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები:

1. მოდულის "გაფართოება" (ანუ განმარტების გამოყენება);
2. მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობის გამოყენება (საკუთრება 2);
3. გრაფიკული ამოხსნის მეთოდი;
4. ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენება (თვისებები 4.6);
5. ცვლადის ჩანაცვლება (ეს იყენებს თვისებას 5).
6. ინტერვალის მეთოდი.

მე გადავწყვიტე მაგალითების საკმაოდ დიდი რაოდენობა, მაგრამ ჩემს ნამუშევარში თქვენს ყურადღებას წარმოგიდგენთ მხოლოდ რამდენიმე, ჩემი აზრით, ტიპურ მაგალითებს, რომლებიც ამოხსნილია სხვადასხვა გზით, რადგან დანარჩენი დუბლირებს ერთმანეთს და იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლებები მოდული, არ არის საჭირო ყველა ამოხსნილი მაგალითის განხილვა.

განტოლების ამოხსნა | f(x)| =ა

განვიხილოთ განტოლება | f(x)| =ა და რ

ამ ტიპის განტოლება შეიძლება ამოიხსნას მოდულის განსაზღვრით:

Თუ ა მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

თუ a= 0, მაშინ განტოლება უდრის f(x)=0-ს.

თუ a>0, მაშინ განტოლება სიმრავლის ტოლფასია

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება |3x+2|=4.

გადაწყვეტილება.

|3x+2|=4, შემდეგ 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

პასუხი: -2;2/3.

განტოლების ამოხსნა მოდულის გეომეტრიული თვისებების გამოყენებით.

მაგალითი 1 ამოხსენით განტოლება /x-1/+/x-3/=6.

გადაწყვეტილება.

ამ განტოლების ამოხსნა ნიშნავს Ox-ის რიცხვით ღერძზე ყველა ასეთი წერტილის პოვნას, რომელთაგან თითოეულისთვის მანძილების ჯამი მისგან 1 და 3 კოორდინატების მქონე წერტილებამდე უდრის 6-ს.

არცერთი წერტილი სეგმენტზეარ აკმაყოფილებს ამ პირობას, რადგან მითითებული მანძილების ჯამი არის 2. ამ სეგმენტის გარეთ არის ორი წერტილი: 5 და -1.

1 1 3 5

პასუხი: -1;5

მაგალითი 2 განტოლების ამოხსნა |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

გადაწყვეტილება.

აღნიშნეთ x 2 + x-5 \u003d a, შემდეგ / a / + / a-4 /=10. ვიპოვოთ x ღერძზე ისეთი წერტილები, რომ თითოეული მათგანისთვის 0 და 4 კოორდინატების მქონე წერტილებამდე მანძილების ჯამი 10-ის ტოლია. ამ პირობას აკმაყოფილებს -4 და 7.

3 0 4 7

ასე რომ, x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 \u003d 3 პასუხი: -4; -2; ერთი; 3.

განტოლების ამოხსნა | f(x)| = | g(x)|.

1. წლიდან | a |=|b |, თუ a=b, შემდეგ ფორმის განტოლება | f(x)| = | გ(x )| უდრის აგრეგატს

მაგალითი 1.

განტოლების ამოხსნა | x–2| = |3 - x |.

გადაწყვეტილება.

ეს განტოლება უდრის ორ განტოლებას:

x - 2 \u003d 3 - x (1) და x - 2 \u003d -3 + x (2)

2 x = 5 -2 = -3 - არასწორია

X = 2.5 განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

პასუხი: 2.5.

მაგალითი 2

განტოლების ამოხსნა |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან განტოლების ორივე მხარე არაუარყოფითია, მაშინკვადრატი არის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x2 -18)=0,

6x-22=0 ან 2x 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

პასუხი: -3; 3; 11/3.

ხედის განტოლების ამოხსნა | f(x)| = g(x).

განსხვავება ამ განტოლებებს შორის და| f(x)| = ა იმით, რომ მარჯვენა მხარე ასევე ცვლადია. და ეს შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი. ამიტომ, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ ის არაუარყოფითია, რადგან მოდული არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი (თვისება№1 )

1 გზა

განტოლების ამოხსნა | f(x)| = გ(x ) მცირდება განტოლებათა ამონახსნების სიმრავლემდედა უთანასწორობის მართებულობის შემოწმებაგ(x )>0 უცნობის ნაპოვნი მნიშვნელობებისთვის.

2 გზა (მოდულის განმარტებით)

წლიდან | f(x)| = g (x) თუ f (x) = 0; | f(x)| = - f(x) თუ f(x)

მაგალითი.

განტოლების ამოხსნა |3 x –10| = x - 2.

გადაწყვეტილება.

ეს განტოლება უდრის ორი სისტემის კომბინაციას:

O t e t: 3; 4.

ფორმის განტოლების ამოხსნა |ვ 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნა ეფუძნება მოდულის განმარტებას. თითოეული ფუნქციისთვის f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) აუცილებელია ვიპოვოთ განსაზღვრების დომენი, მისი ნულები და უწყვეტობის წერტილები, რომლებიც ყოფენ განმარტების ზოგად დომენს ინტერვალებად, რომელთაგან თითოეულში არის f ფუნქციები. 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) შეინარჩუნეთ მათი ნიშანი. გარდა ამისა, მოდულის განმარტების გამოყენებით, თითოეული ნაპოვნი ფართობისთვის ვიღებთ განტოლებას, რომელიც უნდა გადაწყდეს მოცემულ ინტერვალზე. ამ მეთოდს ე.წ.ინტერვალის მეთოდი»

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება |x-2|-3|x+4|=1.

გადაწყვეტილება.

ვიპოვოთ წერტილები, სადაც ქვემოდულის გამონათქვამები ნულის ტოლია

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

დავყოთ რიცხვითი წრფე x ინტერვალებად

განტოლების ამოხსნა მცირდება სამი სისტემის ამოხსნამდე:

პასუხი: -15, -1.8.

შემცველი განტოლებების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდიმოდულის ნიშანი.

განტოლებების ამოხსნის გრაფიკული ხერხი მიახლოებითია, ვინაიდან სიზუსტე დამოკიდებულია არჩეულ ერთეულ სეგმენტზე, ფანქრის სისქეზე, ხაზების გადაკვეთის კუთხეებზე და ა.შ. მაგრამ ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ რამდენი ამონახსნები აქვს კონკრეტულ განტოლებას.

მაგალითი. გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

გადაწყვეტილება. მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები ერთ კოორდინატულ სისტემაში

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| და y=9.

გრაფიკის ასაგებად აუცილებელია ამ ფუნქციის გათვალისწინება თითოეულ ინტერვალზე (-∞; 2); [3/2; ∞)

პასუხი: (- ∞ ; 4/3] [3/2 ; ∞ )

ჩვენ ასევე გამოვიყენეთ ეკვივალენტური გარდაქმნების მეთოდი განტოლებების ამოხსნისას | f(x)| = | g(x)|.

განტოლებები "კომპლექსური მოდულით"

განტოლებების კიდევ ერთი ტიპია განტოლებები "კომპლექსური" მოდულით. ასეთი განტოლებები მოიცავს განტოლებებს, რომლებშიც არის „მოდულები მოდულში“. ამ ტიპის განტოლებები შეიძლება ამოხსნას სხვადასხვა მეთოდით.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლება ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

გადაწყვეტილება.

მოდულის განმარტებით, ჩვენ გვაქვს:

მოდით ამოხსნათ პირველი განტოლება.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

ამოხსნათ მეორე განტოლება.

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 და | x | = 1,

x = 3; x = 1.

O n e t: 1; 3; 7.

მაგალითი 2

ამოხსენით განტოლება |2 – |x + 1|| = 3.

გადაწყვეტილება.

განტოლება გადავწყვიტოთ ახალი ცვლადის შემოღებით.

მოდით | x + 1| = y , შემდეგ |2 – y | = 3, შესაბამისად

მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება:

(1) | x + 1| = -1 - გადაწყვეტილებების გარეშე.

(2) | x + 1| = 5

A n e t: -6; 4.

მაგალითი 3.

რამდენ ფესვს შეიცავს განტოლება | 2 | x | -6 | = 5 - x?

გადაწყვეტილება. მოდი, განტოლება ამოვხსნათ ეკვივალენტობის სქემების გამოყენებით.

განტოლება | 2 | x | -6 | = 5 -x არის სისტემის ექვივალენტური:

მოდული არის გამოხატვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. მოდულის გარკვეულწილად განსაზღვრისთვის, ჩვეულებრივია გამოიყენოთ სწორი ფრჩხილები. მნიშვნელობა, რომელიც ჩასმულია ლუწი ფრჩხილებში, არის მნიშვნელობა, რომელიც აღებულია მოდულით. ნებისმიერი მოდულის ამოხსნის პროცესი შედგება იმავე პირდაპირი ფრჩხილების გახსნაში, რომლებსაც მათემატიკური ენაზე მოდულურ ფრჩხილებს უწოდებენ. მათი გამჟღავნება ხდება გარკვეული წესების მიხედვით. ასევე, მოდულების ამოხსნის თანმიმდევრობით, ასევე არის იმ გამონათქვამების მნიშვნელობების ნაკრები, რომლებიც მოდულის ფრჩხილებში იყო. უმეტეს შემთხვევაში, მოდული გაფართოვდება ისე, რომ გამონათქვამი, რომელიც იყო ქვემოდული, იღებს როგორც დადებით, ასევე უარყოფით მნიშვნელობებს, ნულის მნიშვნელობის ჩათვლით. თუ მოდულის დადგენილი თვისებებიდან დავიწყებთ, მაშინ ამ პროცესში შედგენილია თავდაპირველი გამოსახულებიდან სხვადასხვა განტოლებები ან უტოლობა, რომლებიც შემდეგ უნდა ამოხსნას. მოდით გავარკვიოთ, როგორ გადავჭრათ მოდულები.

გადაწყვეტის პროცესი

მოდულის ამოხსნა იწყება მოდულით ორიგინალური განტოლების ჩაწერით. იმისათვის, რომ უპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლებები მოდულით, თქვენ უნდა გახსნათ იგი მთლიანად. ასეთი განტოლების ამოსახსნელად მოდული გაფართოვდა. გასათვალისწინებელია ყველა მოდულარული გამონათქვამი. აუცილებელია განისაზღვროს მის შემადგენლობაში შემავალი უცნობი რაოდენობების რა მნიშვნელობებით ქრება ფრჩხილებში მოდულური გამოხატულება. ამისათვის საკმარისია გამოთქმა მოდულურ ფრჩხილებში გავაიგივოთ ნულამდე, შემდეგ კი გამოვთვალოთ მიღებული განტოლების ამოხსნა. ნაპოვნი მნიშვნელობები უნდა ჩაიწეროს. ანალოგიურად, ასევე აუცილებელია ამ განტოლებაში ყველა უცნობი ცვლადის მნიშვნელობის დადგენა ყველა მოდულისთვის. შემდეგი, აუცილებელია გავითვალისწინოთ გამონათქვამებში ცვლადების არსებობის ყველა შემთხვევის განსაზღვრა და განხილვა, როდესაც ისინი განსხვავდებიან ნულიდან. ამისათვის თქვენ უნდა ჩამოწეროთ უტოლობების ზოგიერთი სისტემა, რომელიც შეესაბამება ყველა მოდულს თავდაპირველ უტოლობაში. უტოლობები უნდა იყოს შედგენილი ისე, რომ ისინი მოიცავს ცვლადის ყველა არსებულ და შესაძლო მნიშვნელობას, რომელიც გვხვდება რიცხვთა ხაზში. შემდეგ თქვენ უნდა დახაზოთ ვიზუალიზაციისთვის ეს იგივე რიცხვითი ხაზი, რომელზედაც განთავსდება ყველა მიღებული მნიშვნელობა მომავალში.

ახლა თითქმის ყველაფრის გაკეთება შესაძლებელია ონლაინ. მოდული არ არის გამონაკლისი წესებიდან. თქვენ შეგიძლიათ მისი გადაჭრა ონლაინ რეჟიმში, ერთ-ერთ მრავალ თანამედროვე რესურსზე. ცვლადის ყველა ის მნიშვნელობა, რომელიც არის ნულოვან მოდულში, იქნება სპეციალური შეზღუდვა, რომელიც გამოყენებული იქნება მოდულური განტოლების ამოხსნის პროცესში. თავდაპირველ განტოლებაში საჭიროა ყველა ხელმისაწვდომი მოდულური ფრჩხილის გაფართოება, გამოხატვის ნიშნის შეცვლასთან ერთად ისე, რომ სასურველი ცვლადის მნიშვნელობები ემთხვეოდეს იმ მნიშვნელობებს, რომლებიც ჩანს რიცხვითი ხაზში. შედეგად მიღებული განტოლება უნდა გადაწყდეს. ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც მიიღება განტოლების ამოხსნისას, უნდა შემოწმდეს იმ შეზღუდვის წინააღმდეგ, რომელიც დაწესებულია თავად მოდულის მიერ. თუ ცვლადის მნიშვნელობა სრულად აკმაყოფილებს პირობას, მაშინ ის სწორია. ყველა ფესვი, რომელიც მიიღება განტოლების ამოხსნის დროს, მაგრამ არ შეესაბამება შეზღუდვებს, უნდა განადგურდეს.

ეს ონლაინ მათემატიკის კალკულატორი დაგეხმარებათ განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა მოდულებით. პროგრამა ამისთვის განტოლებების და უტოლობების ამოხსნა მოდულებითარა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ იწვევს დეტალური გადაწყვეტა განმარტებებით, ე.ი. აჩვენებს შედეგის მიღების პროცესს.

ეს პროგრამა შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ, მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.

ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და თქვენი უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში გაიზრდება.

|x| ან abs(x) - მოდული x

შეიყვანეთ განტოლება ან უტოლობა მოდულით

ამოხსენით განტოლება ან უტოლობა

აღმოჩნდა, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და შესაძლოა პროგრამამ არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

თქვენს ბრაუზერში JavaScript გამორთული გაქვთ.
გამოსავლის გამოსაჩენად ჩართული უნდა იყოს JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ ბევრია პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალშიამის შესახებ შეგიძლიათ დაწეროთ უკუკავშირის ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

განტოლებები და უტოლობა მოდულებით

საბაზისო სკოლის ალგებრის კურსში შეგიძლიათ შეხვდეთ უმარტივეს განტოლებებს და უტოლობას მოდულებით. მათ გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ გეომეტრიული მეთოდი, რომელიც ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ \(|x-a| \) არის მანძილი რიცხვით წრფეზე x და a წერტილებს შორის: \(|x-a| = \rho (x;\; a) ) \). მაგალითად, \(|x-3|=2 \) განტოლების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვით წრფეზე პუნქტები, რომლებიც არიან 2-ის დაშორებით მე-3 წერტილიდან. არსებობს ორი ასეთი წერტილი: \(x_1=1 \) და \(x_2=5 \) .

უტოლობის ამოხსნა \(|2x+7|

მაგრამ მოდულებით განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მთავარი გზა დაკავშირებულია ეგრეთ წოდებულ „მოდულის გაფართოებასთან განსაზღვრებით“:
თუ \(a \geq 0 \), მაშინ \(|a|=a \);
თუ \(a როგორც წესი, განტოლება (უტოლობა) მოდულებთან მცირდება განტოლებათა სიმრავლემდე (უტოლობა), რომელიც არ შეიცავს მოდულის ნიშანს.

ზემოაღნიშნული განმარტების გარდა, გამოიყენება შემდეგი მტკიცებულებები:
1) თუ \(c > 0 \), მაშინ განტოლება \(|f(x)|=c \) ტოლია განტოლებათა სიმრავლის: \(\left[\begin(მასივი)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(მასივი)\მარჯვნივ.\)
2) თუ \(c > 0 \), მაშინ უტოლობა \(|f(x)| 3) თუ \(c \geq 0 \), მაშინ უტოლობა \(|f(x)| > c \) არის უტოლობების სიმრავლის ექვივალენტი: \(\left[\begin(მასივი)(l) f(x) c \end(მასივი)\right. \)
4) თუ \(f(x) უტოლობის ორივე ნაწილი მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

თუ \(x-1 \geq 0 \), მაშინ \(|x-1| = x-1 \) და მოცემული განტოლება ხდება
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \მარჯვენა ისარი x^2 +2x -8 = 0 \).
თუ \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \მარჯვენა ისარი x^2 -2x -4 = 0 \).
ამგვარად, მოცემული განტოლება ცალ-ცალკე უნდა განიხილებოდეს ორივე მითითებულ შემთხვევაში.
1) მოდით \(x-1 \geq 0 \), ე.ი. \(x \geq 1 \). განტოლებიდან \(x^2 +2x -8 = 0 \) ვპოულობთ \(x_1=2, \; x_2=-4\). პირობა \(x \geq 1 \) აკმაყოფილებს მხოლოდ \(x_1=2\) მნიშვნელობით.
2) მოდით \(x-1 პასუხი: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

პირველი გზა(მოდულის გაფართოება განსაზღვრებით).
როგორც მაგალითში 1-ში არგუმენტირებული, ჩვენ ვასკვნით, რომ მოცემული განტოლება ცალკე უნდა იქნას განხილული ორი პირობით: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ან \(x^2-6x+7

1) თუ \(x^2-6x+7 \geq 0 \), მაშინ \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) და მოცემული განტოლება ხდება \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \მარჯვენა ისარი 3x^2-23x+30=0 \). ამ კვადრატული განტოლების ამოხსნით მივიღებთ: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
მოდით გავარკვიოთ, მნიშვნელობა \(x_1=6 \) აკმაყოფილებს თუ არა პირობას \(x^2-6x+7 \geq 0 \). ამისათვის ჩვენ ვცვლით მითითებულ მნიშვნელობას კვადრატულ უტოლობაში. ვიღებთ: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), ე.ი. \(7 \geq 0 \) არის სწორი უტოლობა. აქედან გამომდინარე, \(x_1=6 \) არის მოცემული განტოლების ფესვი.
მოდით გავარკვიოთ, მნიშვნელობა \(x_2=\frac(5)(3) \) აკმაყოფილებს თუ არა პირობას \(x^2-6x+7 \geq 0 \). ამისათვის ჩვენ ვცვლით მითითებულ მნიშვნელობას კვადრატულ უტოლობაში. ვიღებთ: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), ე.ი. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) არის არასწორი უტოლობა. ასე რომ, \(x_2=\frac(5)(3) \) არ არის მოცემული განტოლების ფესვი.

2) თუ \(x^2-6x+7 მნიშვნელობა \(x_3=3\) აკმაყოფილებს პირობას \(x^2-6x+7 მნიშვნელობა \(x_4=\frac(4)(3) \) აკმაყოფილებს არ აკმაყოფილებს პირობას \ (x^2-6x+7 ასე რომ, მოცემულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: \(x=6, \; x=3 \).

მეორე გზა.მოცემულია განტოლება \(|f(x)| = h(x) \), შემდეგ \(h(x) \(\left[\begin(მასივი)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(მასივი)\მარჯვნივ. \)
ორივე ეს განტოლება ამოხსნილია ზემოთ (მოცემული განტოლების ამოხსნის პირველი მეთოდით), მათი ფესვები ასეთია: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3) \). ამ ოთხი მნიშვნელობის პირობა \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) აკმაყოფილებს მხოლოდ ორი: 6 და 3. შესაბამისად, მოცემულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: \(x=6, \; x=3 \ ).

მესამე გზა(გრაფიკული).
1) დავხატოთ ფუნქცია \(y = |x^2-6x+7| \). ჯერ ავაშენებთ პარაბოლას \(y = x^2-6x+7\). გვაქვს \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). \(y = (x-3)^2-2 \) ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება მივიღოთ \(y = x^2 \) ფუნქციის გრაფიკიდან 3 მასშტაბის ერთეულით მარჯვნივ გადაადგილებით ( x-ღერძი) და 2 მასშტაბის ერთეული ქვემოთ (y-ღერძის გასწვრივ). სწორი ხაზი x=3 არის პარაბოლის ღერძი, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს. როგორც საკონტროლო წერტილები უფრო ზუსტი შედგენისთვის, მოსახერხებელია ავიღოთ წერტილი (3; -2) - პარაბოლის ზევით, წერტილი (0; 7) და წერტილი (6; 7) მის მიმართ სიმეტრიულია ღერძთან მიმართებაში. პარაბოლას.
ახლა \(y = |x^2-6x+7| \" ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად, თქვენ უნდა დატოვოთ უცვლელი კონსტრუირებული პარაბოლის ის ნაწილები, რომლებიც მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ და ასახოთ ღერძის ნაწილი. პარაბოლა, რომელიც მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ x ღერძის გარშემო.
2) დავხატოთ წრფივი ფუნქცია \(y = \frac(5x-9)(3) \). მოსახერხებელია ქულების (0; -3) და (3; 2) აღება საკონტროლო პუნქტებად.

აუცილებელია, რომ სწორი ხაზის აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილი x = 1.8 მდებარეობს პარაბოლის მარცხენა გადაკვეთის წერტილიდან მარჯვნივ აბსცისის ღერძთან - ეს არის წერტილი \(x=3-\sqrt. (2) \) (რადგან \(3-\sqrt(2) 3) ნახატის მიხედვით თუ ვიმსჯელებთ, გრაფიკები იკვეთება ორ წერტილზე - A (3; 2) და B (6; 7). ამ წერტილების აბსცისების შეცვლა. x \u003d 3 და x \u003d 6 მოცემულ განტოლებაში, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ორივე სხვა მნიშვნელობა იძლევა სწორ რიცხვობრივ თანასწორობას. ამრიგად, ჩვენი ჰიპოთეზა დადასტურდა - განტოლებას აქვს ორი ფესვი: x \u003d 3 და x \u003d 6. პასუხი: 3; 6.

კომენტარი. გრაფიკული მეთოდი, მთელი თავისი ელეგანტურობით, არ არის ძალიან საიმედო. განხილულ მაგალითში ის მუშაობდა მხოლოდ იმიტომ, რომ განტოლების ფესვები მთელი რიცხვებია.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

პირველი გზა
გამოხატულება 2x–4 ხდება 0 x = 2 წერტილში, ხოლო გამოხატულება x + 3 x = –3 წერტილში. ეს ორი წერტილი ყოფს რიცხვთა წრფეს სამ ინტერვალად: \(x

განვიხილოთ პირველი ინტერვალი: \((-\infty; \; -3) \).
თუ x განვიხილოთ მეორე ინტერვალი: \([-3; \; 2) \).
თუ \(-3 \leq x განვიხილოთ მესამე ინტერვალი: \( პასუხი: უფსკრულის სიგრძეა 6.№3 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი რიცხვების ამონახსნები: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] პასუხი: 4 მთლიანი ხსნარი.№4 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ყველაზე დიდი ფესვი:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1.2 \u003d
≈ 1,4

პასუხი: x = 3.

Სავარჯიშოები: №12. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი ფესვი: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი რიცხვების ამონახსნები: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი რიცხვი, რომელიც არ არის განტოლების ფესვი:

ნაწილი 5. │F(x)│= │G(x)│ ფორმის განტოლებები

ვინაიდან განტოლების ორივე მხარე არაუარყოფითია, გამოსავალი მოიცავს ორი შემთხვევის განხილვას: სუბმოდულური გამონათქვამები ტოლია ან საპირისპირო ნიშნით. მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლება უდრის ორი განტოლების კომბინაციას: │ ფ(x)│= │ გ(x)│
მაგალითები: №1. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი ფესვი: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
პასუხი: მთელი ძირი x = 4.№2. ამოხსენით განტოლება: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
პასუხი: x = 2.№3 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ნამრავლი:




განტოლების ფესვები 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4 პასუხი: ფესვების ნამრავლია 0,25. Სავარჯიშოები: №15 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ მთელი ამონახსნი: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ უფრო მცირე ფესვი: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში ჩაწერეთ ფესვების ჯამი:

ნაწილი 6. არასტანდარტული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

ამ განყოფილებაში განვიხილავთ არასტანდარტული განტოლებების მაგალითებს, რომელთა ამოხსნაში გამოხატვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ვლინდება განმარტებით. მაგალითები:

№1. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ჯამი: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
პასუხი: ფესვების ჯამი არის 1 №2. . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ უფრო პატარა ფესვი: x 2 - 4x
- 5 = 0
პასუხი: უფრო პატარა ფესვი x = - 5. №3. ამოხსენით განტოლება:

პასუხი: x = -1. Სავარჯიშოები: №18. ამოხსენით განტოლება და დაწერეთ ფესვების ჯამი: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. ამოხსენით განტოლება: x 2 - 3x \u003d

№20. ამოხსენით განტოლება:

ნაწილი 7. │F(x)│+│G(x)│=0 ფორმის განტოლებები

ადვილი დასანახია, რომ ამ ტიპის განტოლების მარცხენა მხარეს არის არაუარყოფითი სიდიდეების ჯამი. მაშასადამე, თავდაპირველ განტოლებას აქვს გამოსავალი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ორივე წევრი ერთდროულად ნულის ტოლია. განტოლება უტოლდება განტოლებათა სისტემას: │ ფ(x)│+│ გ(x)│=0
მაგალითები: №1 . ამოხსენით განტოლება:
პასუხი: x = 2. №2. ამოხსენით განტოლება: პასუხი: x = 1. Სავარჯიშოები: №21. ამოხსენით განტოლება: №22 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში ჩაწერეთ ფესვების ჯამი: №23 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ამონახსნების რაოდენობა:

ნაწილი 8. ფორმის განტოლებები

ამ ტიპის განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება ინტერვალების მეთოდი. თუ ის მოგვარებულია მოდულების თანმიმდევრული გაფართოებით, მაშინ მივიღებთ ნსისტემების ნაკრები, რაც ძალიან შრომატევადი და მოუხერხებელია. განვიხილოთ ინტერვალის მეთოდის ალგორითმი: 1). იპოვეთ ცვლადი მნიშვნელობები X, რომლისთვისაც თითოეული მოდული ნულის ტოლია (ქვემოდულის გამონათქვამების ნულები):
2). ნაპოვნი მნიშვნელობები აღინიშნება რიცხვით ხაზზე, რომელიც იყოფა ინტერვალებად (ინტერვალების რაოდენობა, შესაბამისად, უდრის ნ+1 ) 3). დაადგინეთ, რა ნიშნით ვლინდება თითოეული მოდული თითოეულ მიღებულ ინტერვალზე (ამოხსნის მიღებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ რიცხვითი ხაზი, მასზე ნიშნების მონიშვნა) 4). თავდაპირველი განტოლება სიმრავლის ტოლფასია ნ+1 სისტემები, რომელთაგან თითოეულში მითითებულია ცვლადის წევრობა Xერთ-ერთი ინტერვალი. მაგალითები: №1 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ყველაზე დიდი ფესვი:
ერთი). ვიპოვოთ ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები: x = 2; x = -3 2). ჩვენ აღვნიშნავთ ნაპოვნი მნიშვნელობებს რიცხვით ხაზზე და განვსაზღვრავთ, რა ნიშნით ვლინდება თითოეული მოდული მიღებულ ინტერვალებზე:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- ამონახსნების გარეშე განტოლებას ორი ფესვი აქვს. პასუხი: ყველაზე დიდი ფესვი არის x = 2. №2. ამოხსენით განტოლება, ჩაწერეთ მთელი ფესვი პასუხში:
ერთი). ვიპოვოთ ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები: x = 1,5; x = - 1 2). ჩვენ აღვნიშნავთ ნაპოვნი მნიშვნელობებს რიცხვით ხაზზე და განვსაზღვრავთ, რა ნიშნით ვლინდება თითოეული მოდული მიღებულ ინტერვალებზე: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
ბოლო სისტემას არ აქვს ამონახსნები, შესაბამისად, განტოლებას ორი ფესვი აქვს. განტოლების ამოხსნისას ყურადღება უნდა მიაქციოთ „-“ ნიშანს მეორე მოდულის წინ. პასუხი: მთელი რიცხვი ფესვი x = 7. №3. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ჯამი: 1). ვიპოვოთ ქვემოდულის გამონათქვამების ნულები: x = 5; x = 1; x = - 2 2). ჩვენ აღვნიშნავთ აღმოჩენილ მნიშვნელობებს რიცხვით ხაზზე და ვადგენთ, რა ნიშნით ვლინდება თითოეული მოდული მიღებულ ინტერვალებზე: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
განტოლებას აქვს ორი ფესვი x = 0 და 2. პასუხი: ფესვების ჯამი არის 2. №4 . ამოხსენით განტოლება: 1). ვიპოვოთ ქვემოდულის გამონათქვამების ნულები: x = 1; x = 2; x = 3. 2). განვსაზღვროთ ნიშანი, რომლითაც თითოეული მოდული გაფართოებულია მიღებულ ინტერვალებზე. 3).
ჩვენ ვაერთიანებთ პირველი სამი სისტემის გადაწყვეტილებებს. პასუხი: ; x = 5.
Სავარჯიშოები: №24. ამოხსენით განტოლება:
№25. ამოხსენით განტოლება, პასუხში ჩაწერეთ ფესვების ჯამი: №26. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ პატარა ფესვი: №27. ამოხსენით განტოლება, მიეცით უფრო დიდი ფესვი თქვენს პასუხში:

ნაწილი 9. განტოლებები, რომლებიც შეიცავს მრავალ მოდულს

განტოლებები, რომლებიც შეიცავს მრავალ მოდულს, ვარაუდობენ აბსოლუტური მნიშვნელობების არსებობას ქვემოდულის გამოსახულებებში. ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის ძირითადი პრინციპია მოდულების თანმიმდევრული გამჟღავნება, დაწყებული „გარედან“. ამოხსნის პროცესში გამოიყენება No1, No3 სექციებში განხილული ტექნიკა.

მაგალითები: №1. ამოხსენით განტოლება:
პასუხი: x = 1; - თერთმეტი. №2. ამოხსენით განტოლება:
პასუხი: x = 0; 4; - 4. №3. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ნამრავლი:
პასუხი: ფესვების ნამრავლია 8. №4. ამოხსენით განტოლება:
აღნიშნეთ მოსახლეობის განტოლებები (1) და (2) და განიხილეთ თითოეული მათგანის გადაწყვეტა ცალკე დიზაინის მოხერხებულობისთვის. ვინაიდან ორივე განტოლება შეიცავს ერთზე მეტ მოდულს, უფრო მოსახერხებელია ექვივალენტური გადასვლის განხორციელება სისტემების სიმრავლეზე. (1)

(2)


პასუხი:
Სავარჯიშოები: №36. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ჯამი: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. ამოხსენით განტოლება, თუ ერთზე მეტი ფესვია, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ჯამი: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. ამოხსენით განტოლება: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების რაოდენობა: 2 │ sin x │ = √2 №40 . ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების რაოდენობა:

ნაწილი 3. ლოგარითმული განტოლებები.

შემდეგი განტოლებების ამოხსნამდე აუცილებელია ლოგარითმების თვისებების და ლოგარითმული ფუნქციის განხილვა. მაგალითები: №1. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ნამრავლი: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

შემთხვევა 1: თუ x ≥ - 1, მაშინ log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – აკმაყოფილებს პირობას x ≥ - 1 2 შემთხვევა: თუ x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 ჟურნალი 2 (-(x+1) 3) = ჟურნალი 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – აკმაყოფილებს x - 1 მდგომარეობას
პასუხი: ფესვების ნამრავლია 15.
№2. ამოხსენით განტოლება, პასუხში მიუთითეთ ფესვების ჯამი: lg
ო.დ.ზ.

პასუხი: ფესვების ჯამი არის 0,5.
№3. ამოხსენით განტოლება: log 5
ო.დ.ზ.

პასუხი: x = 9. №4. ამოხსენით განტოლება: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 გამოვიყენოთ ფორმულა სხვა ბაზაზე გადასასვლელად. │2 - ჟურნალი 5 x│+ 3 = │1 + ჟურნალი 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 ვიპოვოთ ქვემოდულის გამოსახულებების ნულები: x = 25; x \u003d ეს რიცხვები ყოფს დასაშვები მნიშვნელობების ფართობს სამ ინტერვალად, ასე რომ განტოლება უდრის სამი სისტემის მთლიანობას.
პასუხი :)