ვიდა წ= ვ(x), xო ნ, სადაც ნარის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე (ან ნატურალური არგუმენტის ფუნქცია), აღინიშნება წ=ვ(ნ) ან წ 1 ,წ 2 ,…, y n,…. ღირებულებები წ 1 ,წ 2 ,წ 3 ,… ეძახიან შესაბამისად პირველ, მეორე, მესამე, ... მიმდევრობის წევრებს.

მაგალითად, ფუნქციისთვის წ= ნ 2 შეიძლება დაიწეროს:

წ 1 = 1 2 = 1;

წ 2 = 2 2 = 4;

წ 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

მიმდევრობის დაყენების მეთოდები.თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით, რომელთა შორის სამი განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია: ანალიტიკური, აღწერითი და განმეორებადი.

1. მიმდევრობა მოცემულია ანალიზურად, თუ მოცემულია მისი ფორმულა ნ-ე წევრი:

y n=ვ(ნ).

მაგალითი. y n= 2n- 1 – კენტი რიცხვების თანმიმდევრობა: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. აღწერითი რიცხვითი მიმდევრობის მითითების გზა არის ის, რომ ის განმარტავს, თუ რა ელემენტებისგან არის აგებული მიმდევრობა.

მაგალითი 1. "მიმდევრობის ყველა წევრი უდრის 1." ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ სტაციონარულ მიმდევრობაზე 1, 1, 1, ..., 1, ....

მაგალითი 2. "მიმდევრობა შედგება ყველა მარტივი რიცხვისაგან ზრდადი მიმდევრობით." ამრიგად, მოცემულია თანმიმდევრობა 2, 3, 5, 7, 11, .... ამ მაგალითში მიმდევრობის დაზუსტების ამ გზით, ძნელია პასუხის გაცემა, ვთქვათ, რის ტოლია მიმდევრობის მე-1000 ელემენტი.

3. თანმიმდევრობის დაზუსტების განმეორებადი გზა არის ის, რომ მითითებულია წესი, რომელიც საშუალებას აძლევს ადამიანს გამოთვალოს ნ-მიმდევრობის მე-1 წევრი, თუ ცნობილია მისი წინა წევრები. სახელწოდება მორეციდივე მეთოდი ლათინური სიტყვიდან მოდის განმეორებადი- დაბრუნდი. ყველაზე ხშირად, ასეთ შემთხვევებში, მითითებულია ფორმულა, რომელიც საშუალებას იძლევა გამოხატოს ნმიმდევრობის მე-1 წევრი წინაზე და მიუთითეთ მიმდევრობის 1-2 საწყისი წევრი.

მაგალითი 1 წ 1 = 3; y n = y n–1 + 4 თუ ნ = 2, 3, 4,….

Აქ წ 1 = 3; წ 2 = 3 + 4 = 7;წ 3 = 7 + 4 = 11; ….

ჩანს, რომ ამ მაგალითში მიღებული თანმიმდევრობა ასევე შეიძლება დაზუსტდეს ანალიტიკურად: y n= 4n- 1.

მაგალითი 2 წ 1 = 1; წ 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 თუ ნ = 3, 4,….

Აქ: წ 1 = 1; წ 2 = 1; წ 3 = 1 + 1 = 2; წ 4 = 1 + 2 = 3; წ 5 = 2 + 3 = 5; წ 6 = 3 + 5 = 8;

ამ მაგალითში შედგენილი თანმიმდევრობა სპეციალურად არის შესწავლილი მათემატიკაში, რადგან მას აქვს მრავალი საინტერესო თვისება და გამოყენება. მას ფიბონაჩის მიმდევრობას უწოდებენ - მე-13 საუკუნის იტალიელი მათემატიკოსის მიხედვით. ფიბონაჩის მიმდევრობის რეკურსიულად განსაზღვრა ძალიან მარტივია, მაგრამ ანალიტიკურად ძალიან რთული. ნფიბონაჩის რიცხვი გამოიხატება მისი რიგითი რიცხვის მიხედვით შემდეგი ფორმულით.

ერთი შეხედვით, ფორმულა ნფიბონაჩის რიცხვი წარმოუდგენლად გამოიყურება, რადგან ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს მხოლოდ ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობას, შეიცავს კვადრატულ ფესვებს, მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ ამ ფორმულის მართებულობა პირველი რამდენიმესთვის "ხელით". ნ.

რიცხვითი მიმდევრობების თვისებები.

რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა, ამიტომ ფუნქციების მთელი რიგი თვისებები ასევე განიხილება მიმდევრობებისთვის.

განმარტება . შემდგომი ( y n} ეწოდება მზარდი, თუ მისი თითოეული წევრი (გარდა პირველისა) მეტია წინაზე:

წ 1 y 2 y 3 y n y n +1

განმარტება.მიმდევრობა ( y n} კლებადი ეწოდება, თუ მისი ყოველი პირობა (პირველის გარდა) წინაზე ნაკლებია:

წ 1 > წ 2 > წ 3 > … > y n> y n +1 > … .

მზარდი და კლებადი მიმდევრობები გაერთიანებულია საერთო ტერმინით - მონოტონური მიმდევრობები.

მაგალითი 1 წ 1 = 1; y n= ნ 2 არის მზარდი თანმიმდევრობა.

ამრიგად, შემდეგი თეორემა მართალია (არითმეტიკული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება). რიცხვითი მიმდევრობა არის არითმეტიკული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი თითოეული წევრი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი სასრული მიმდევრობის შემთხვევაში), უდრის წინა და მომდევნო წევრების საშუალო არითმეტიკულს.

მაგალითი. რა ღირებულებით xნომრები 3 x + 2, 5x- 4 და 11 x+ 12 ქმნიან სასრულ არითმეტიკულ პროგრესიას?

დამახასიათებელი თვისების მიხედვით მოცემული გამონათქვამები უნდა აკმაყოფილებდეს მიმართებას

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

ამ განტოლების ამოხსნა იძლევა x= –5,5. ამ ღირებულებით xმოცემული გამონათქვამები 3 x + 2, 5x- 4 და 11 x+ 12 იღებს, შესაბამისად, მნიშვნელობებს -14.5, –31,5, –48,5. ეს არის არითმეტიკული პროგრესია, მისი სხვაობა არის -17.

გეომეტრიული პროგრესია.

რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის ყველა წევრი არ არის ნულოვანი და რომლის თითოეული წევრი მეორედან დაწყებული, მიღებულია წინა წევრისგან იმავე რიცხვზე გამრავლებით. ქ, ეწოდება გეომეტრიულ პროგრესიას და რიცხვს ქ- გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

ამრიგად, გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი მიმდევრობა ( ბ ნ) რეკურსიულად მოცემულია მიმართებებით

ბ 1 = ბ, ბ ნ = ბ ნ –1 ქ (ნ = 2, 3, 4…).

(ბდა q-მოცემული ნომრები, ბ ≠ 0, ქ ≠ 0).

მაგალითი 1. 2, 6, 18, 54, ... - გეომეტრიული პროგრესიის გაზრდა ბ = 2, ქ = 3.

მაგალითი 2. 2, -2, 2, -2, ... – გეომეტრიული პროგრესია ბ= 2,ქ= –1.

მაგალითი 3. 8, 8, 8, 8,… – გეომეტრიული პროგრესია ბ= 8, ქ= 1.

გეომეტრიული პროგრესია არის მზარდი თანმიმდევრობა, თუ ბ 1 > 0, ქ> 1 და მცირდება თუ ბ 1 > 0, 0 ქ

გეომეტრიული პროგრესიის ერთ-ერთი აშკარა თვისება ის არის, რომ თუ მიმდევრობა გეომეტრიული პროგრესიაა, მაშინ კვადრატების მიმდევრობა, ე.ი.

ბ 1 2 , ბ 2 2 , ბ 3 2 , …, ბ ნ 2,… არის გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის ბ 1 2 და მნიშვნელი არის ქ 2 .

ფორმულა n-გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინს აქვს ფორმა

ბ ნ= ბ 1 q n– 1 .

შეგიძლიათ მიიღოთ სასრული გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულა.

დაე, იყოს სასრული გეომეტრიული პროგრესია

ბ 1 ,ბ 2 ,ბ 3 , …, ბ ნ

იყოს S n -მისი წევრების ჯამი, ე.ი.

S n= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + … +ბ ნ.

მიღებულია რომ ქ No 1. რათა დადგინდეს S nგამოიყენება ხელოვნური ხრიკი: შესრულებულია გამოხატვის ზოგიერთი გეომეტრიული გარდაქმნა S n q.

S n q = (ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + … + ბ ნ –1 + ბ ნ)ქ = ბ 2 + ბ 3 + ბ 4 + …+ ბ ნ+ ბ ნ ქ = S n+ ბ ნ ქ– ბ 1 .

ამრიგად, S n q= S n +b n q – ბ 1 და აქედან გამომდინარე

ეს არის ფორმულა umma n გეომეტრიული პროგრესიის წევრებიიმ შემთხვევისთვის, როცა ქ≠ 1.

ზე ქ= 1 ფორმულის ცალ-ცალკე გამოყვანა შეუძლებელია, აშკარაა, რომ ამ შემთხვევაში S n= ა 1 ნ.

მას გეომეტრიულ პროგრესიას უწოდებენ, რადგან მასში ყოველი წევრი, გარდა პირველისა, უდრის წინა და შემდგომი ტერმინების გეომეტრიულ საშუალოს. მართლაც, მას შემდეგ

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

აქედან გამომდინარე, ბ ნ 2= b n– 1 bn+ 1 და შემდეგი თეორემა მართალია (გეომეტრიული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება):

რიცხვითი მიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი თითოეული წევრის კვადრატი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი სასრული მიმდევრობის შემთხვევაში), უდრის წინა და შემდგომი პუნქტების ნამრავლს.

თანმიმდევრობის ლიმიტი.

იყოს თანმიმდევრობა ( c n} = {1/ნ}. ამ თანმიმდევრობას ჰქვია ჰარმონიული, რადგან მისი თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, არის ჰარმონიული საშუალო წინა და მომდევნო წევრებს შორის. რიცხვების გეომეტრიული საშუალო ადა ბარის ნომერი

წინააღმდეგ შემთხვევაში, თანმიმდევრობას ეწოდება განსხვავებული.

ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარე, შეიძლება, მაგალითად, დაამტკიცოს ლიმიტის არსებობა A=0ჰარმონიული თანმიმდევრობისთვის ( c n} = {1/ნ). მოდით, ε იყოს თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვი. ჩვენ განვიხილავთ განსხვავებას

არსებობს ასეთი ნრომ ყველასთვის n≥ ნუთანასწორობა 1 /N? თუ მიიღება როგორც ნნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი, რომელიც აღემატება 1/ε , მაშინ ყველასთვის n ≥ Nუთანასწორობა 1 /n ≤ 1/N ε , ქ.ე.დ.

ზოგჯერ ძალიან რთულია კონკრეტული თანმიმდევრობის ლიმიტის არსებობის დამტკიცება. ყველაზე გავრცელებული თანმიმდევრობები კარგად არის შესწავლილი და ჩამოთვლილია საცნობარო წიგნებში. არსებობს მნიშვნელოვანი თეორემები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის დავასკვნათ, რომ მოცემულ მიმდევრობას აქვს ლიმიტი (და მისი გამოთვლაც კი) უკვე შესწავლილი მიმდევრობების საფუძველზე.

თეორემა 1. თუ მიმდევრობას აქვს ზღვარი, მაშინ ის შემოსაზღვრულია.

თეორემა 2. თუ მიმდევრობა არის ერთფეროვანი და შემოსაზღვრული, მაშინ მას აქვს ზღვარი.

თეორემა 3. თუ მიმდევრობა ( a n} აქვს ლიმიტი ა, შემდეგ მიმდევრობები ( დაახლოებით ნ}, {a n+ გ) და (| a n|} აქვს საზღვრები cA, ა +გ, |ა| შესაბამისად (აქ გარის თვითნებური რიცხვი).

თეორემა 4. თუ მიმდევრობები ( a n} და ( ბ ნ) აქვს ტოლი ლიმიტები ადა ბ pa n + qb n) აქვს ლიმიტი pA+ qB.

თეორემა 5. თუ მიმდევრობები ( a n) და ( ბ ნ) აქვს ტოლი ლიმიტები ადა ბშესაბამისად, შემდეგ თანმიმდევრობა ( a n b n) აქვს ლიმიტი AB.

თეორემა 6. თუ მიმდევრობები ( a n} და ( ბ ნ) აქვს ტოლი ლიმიტები ადა ბშესაბამისად და დამატებით b n ≠ 0 და B≠ 0, შემდეგ თანმიმდევრობა ( a n / b n) აქვს ლიმიტი A/B.

ანა ჩუგაინოვა

სანამ გადაწყვეტილების მიღებას დავიწყებთ არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები, განვიხილოთ რა არის რიცხვითი მიმდევრობა, რადგან არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის განსაკუთრებული შემთხვევა.

რიცხვითი თანმიმდევრობა არის რიცხვითი ნაკრები, რომლის თითოეულ ელემენტს აქვს საკუთარი სერიული ნომერი. ამ ნაკრების ელემენტებს უწოდებენ მიმდევრობის წევრებს. მიმდევრობის ელემენტის რიგითი ნომერი მითითებულია ინდექსით:

მიმდევრობის პირველი ელემენტი;

მიმდევრობის მეხუთე ელემენტი;

- თანმიმდევრობის "nth" ელემენტი, ე.ი. ელემენტი "მდგომი რიგში" ნომერზე n.

არსებობს დამოკიდებულება მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობასა და მის რიგით რიცხვს შორის. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მიმდევრობა, როგორც ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის მიმდევრობის ელემენტის რიგითი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეიძლება ითქვას თანმიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია:

თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს სამი გზით:

1 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის გამოყენებით.ამ შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ ვაყენებთ მიმდევრობის თითოეული წევრის მნიშვნელობას.

მაგალითად, ვიღაცამ გადაწყვიტა გაეკეთებინა დროის პირადი მენეჯმენტი და, დასაწყისისთვის, გამოეთვალა რამდენ დროს ატარებს VKontakte-ზე კვირის განმავლობაში. დროის ცხრილში ჩაწერით, ის მიიღებს შვიდი ელემენტისგან შემდგარ თანმიმდევრობას:

ცხრილის პირველი სტრიქონი შეიცავს კვირის დღის რაოდენობას, მეორე - დროს წუთებში. ჩვენ ვხედავთ, რომ, ანუ ორშაბათს ვიღაცამ დახარჯა 125 წუთი VKontakte-ზე, ანუ ხუთშაბათს - 248 წუთი და, ანუ პარასკევს, მხოლოდ 15.

2 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს n-ე წევრის ფორმულით.

ამ შემთხვევაში, მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიცხვზე გამოიხატება პირდაპირ ფორმულის სახით.

მაგალითად, თუ, მაშინ

მოცემული რიცხვით მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის საპოვნელად, ელემენტის ნომერი ჩავანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულაში.

ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ, თუ გვჭირდება ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა, თუ არგუმენტის მნიშვნელობა ცნობილია. ჩვენ ვცვლით არგუმენტის მნიშვნელობას ფუნქციის განტოლებაში:

თუ, მაგალითად, , მაშინ

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავ, რომ თანმიმდევრობით, თვითნებური რიცხვითი ფუნქციისგან განსხვავებით, მხოლოდ ნატურალური რიცხვი შეიძლება იყოს არგუმენტი.

3 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულის გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს n რიცხვით მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობის დამოკიდებულებას წინა წევრების მნიშვნელობაზე. ამ შემთხვევაში ჩვენთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ მიმდევრობის წევრის რიცხვის ცოდნა, რათა ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა. ჩვენ უნდა მივუთითოთ მიმდევრობის პირველი წევრი ან პირველი რამდენიმე წევრი.

მაგალითად, განიხილეთ თანმიმდევრობა ,

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მიმდევრობის წევრების მნიშვნელობები თანმიმდევრობითმესამედან დაწყებული:

ანუ, ყოველ ჯერზე, რათა ვიპოვოთ მიმდევრობის n-ე წევრის მნიშვნელობა, ვუბრუნდებით წინა ორს. თანმიმდევრობის ამ ხერხს ე.წ განმეორებადი, ლათინური სიტყვიდან განმეორებითი- დაბრუნდი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი მიმდევრობის მარტივი სპეციალური შემთხვევა.

არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება რიცხვითი მიმდევრობა, რომლის ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, დამატებული იგივე რიცხვით.

ნომერზე იწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნული.

If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} იზრდება.

მაგალითად, 2; 5; რვა; თერთმეტი;...

თუ , მაშინ არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი წინაზე ნაკლებია და პროგრესია არის მცირდება.

მაგალითად, 2; - ერთი; -4; -7;...

თუ , მაშინ პროგრესიის ყველა წევრი ტოლია ერთი და იგივე რიცხვისა და პროგრესია არის სტაციონარული.

მაგალითად, 2;2;2;2;...

არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისება:

მოდით შევხედოთ სურათს.

ჩვენ ამას ვხედავთ

, და ამავე დროს

ამ ორი ტოლობის დამატება მივიღებთ:

.

გაყავით განტოლების ორივე მხარე 2-ზე:

ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის ორი მეზობელი არითმეტიკული საშუალოს:

უფრო მეტიც, მას შემდეგ

, და ამავე დროს

, მაშინ

, და აქედან გამომდინარე

არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, რომელიც იწყება title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

წევრის ფორმულა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ არითმეტიკული პროგრესიის წევრებისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:

და ბოლოს

Მივიღეთ n-ე ტერმინის ფორმულა.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გამოისახოს და. იცოდეთ პირველი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი რომელიმე წევრი.

არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამი.

თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიის დროს, უკიდურესებისგან თანაბრად დაშორებული ტერმინების ჯამები ერთმანეთის ტოლია:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესია n წევრით. მოდით ამ პროგრესიის n წევრის ჯამი იყოს ტოლი.

დაალაგეთ პროგრესიის ტერმინები ჯერ რიცხვების ზრდადი, შემდეგ კი კლების მიხედვით:

მოდით დავაწყვილოთ იგი:

თითოეულ ფრჩხილში ჯამი არის , წყვილების რაოდენობა არის n.

ჩვენ ვიღებთ:

Ისე, არითმეტიკული პროგრესიის n წევრის ჯამი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:

განიხილეთ არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების ამოხსნა.

1 . თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით: . დაამტკიცეთ, რომ ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

დავამტკიცოთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მეზობელ წევრს შორის ერთი და იგივე რიცხვის ტოლია.

მივიღეთ, რომ მიმდევრობის ორი მიმდებარე წევრის სხვაობა არ არის დამოკიდებული მათ რიცხვზე და არის მუდმივი. ამიტომ, განსაზღვრებით, ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

2 . მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია -31; -27;...

ა) იპოვეთ პროგრესიის 31 წევრი.

ბ) დაადგინეთ, შედის თუ არა რიცხვი 41 ამ პროგრესიაში.

ა)ჩვენ ვხედავთ, რომ;

მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენი პროგრესირების n-ე წევრის ფორმულა.

Ზოგადად

ჩვენს შემთხვევაში , Ამიტომაც

ჩვენ ვიღებთ:

ბ)დავუშვათ, რიცხვი 41 არის მიმდევრობის წევრი. მოდი ვიპოვოთ მისი ნომერი. ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

მივიღეთ n-ის ბუნებრივი მნიშვნელობა, შესაბამისად, დიახ, რიცხვი 41 არის პროგრესიის წევრი. თუ n-ის ნაპოვნი მნიშვნელობა არ იქნებოდა ნატურალური რიცხვი, მაშინ ჩვენ ვუპასუხებდით, რომ რიცხვი 41 არ არის პროგრესიის წევრი.

3 . ა) 2 და 8 რიცხვებს შორის ჩასვით 4 რიცხვი ისე, რომ მოცემულ რიცხვებთან ერთად შექმნან არითმეტიკული პროგრესია.

ბ) იპოვეთ მიღებული პროგრესიის წევრთა ჯამი.

ა)მოდით ჩავსვათ ოთხი რიცხვი 2 და 8 რიცხვებს შორის:

მივიღეთ არითმეტიკული პროგრესია, რომელშიც არის 6 წევრი.

მოდი ვიპოვოთ ამ პროგრესის განსხვავება. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ n-ე ტერმინის ფორმულას:

ახლა ადვილია რიცხვების მნიშვნელობების პოვნა:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

ბ)

პასუხი: ა) დიახ; ბ) 30

4. სატვირთო მანქანა გადააქვს 240 ტონა წონით დატეხილი ქვის პარტიას, რაც ყოველდღიურად ზრდის ტრანსპორტირების სიჩქარეს იმავე რაოდენობის ტონებით. ცნობილია, რომ პირველ დღეს 2 ტონა ნაგავი გადმოიტანეს. დაადგინეთ რამდენი ტონა დატეხილი ქვა გადაიტანეს მეთორმეტე დღეს, თუ ყველა სამუშაო დასრულდა 15 დღეში.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, დაქუცმაცებული ქვის რაოდენობა, რომელსაც სატვირთო მანქანა გადააქვს, ყოველდღიურად ერთი და იგივე რაოდენობით იზრდება. აქედან გამომდინარე, საქმე გვაქვს არითმეტიკულ პროგრესირებასთან.

ჩვენ ამ პრობლემას ვაყალიბებთ არითმეტიკული პროგრესიის მიხედვით.

პირველი დღის განმავლობაში გადაიტანეს 2 ტონა ნატეხი: a_1=2.

ყველა სამუშაო დასრულდა 15 დღეში: .

სატვირთო მანქანა 240 ტონას იწონის დატეხილი ქვის პარტიას:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ.

პირველი, მოდით ვიპოვოთ პროგრესის განსხვავება. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა პროგრესიის n წევრის ჯამისთვის.

ჩვენს შემთხვევაში:

რიცხვითი თანმიმდევრობა.
Როგორ ?

ამ გაკვეთილზე ჩვენ ბევრ საინტერესოს ვისწავლით დიდი საზოგადოების წევრების ცხოვრებიდან, სახელწოდებით Vkontakte რიცხვების თანმიმდევრობა. განსახილველი თემა ეხება არა მხოლოდ მათემატიკური ანალიზის კურსს, არამედ ეხება საფუძვლებს დისკრეტული მათემატიკა. გარდა ამისა, მასალა საჭირო იქნება კოშკის სხვა მონაკვეთების განვითარებისთვის, კერძოდ, შესწავლის დროს რიცხვების სერიადა ფუნქციური რიგები. თქვენ შეგიძლიათ თქვათ, რომ ეს მნიშვნელოვანია, შეგიძლიათ დამამშვიდებლად თქვათ, რომ ეს მარტივია, შეგიძლიათ თქვათ კიდევ ბევრი მორიგე ფრაზა, მაგრამ დღეს პირველი, უჩვეულოდ ზარმაცი სასწავლო კვირაა, ამიტომ საშინლად დამწყდება პირველი აბზაცის დაწერა = ) ფაილი უკვე გულში შევინახე და დასაძინებლად მოვემზადე, უცებ... გულახდილი აღსარების იდეამ გაანათა თავი, რამაც წარმოუდგენლად ამშვიდა სული და აიძულა კლავიატურაზე თითების შემდგომი დაკვრა.

მოდით გადავიდეთ ზაფხულის მოგონებებიდან და გადავხედოთ ახალი სოციალური ქსელის ამ მომხიბლავ და პოზიტიურ სამყაროს:

რიცხვითი მიმდევრობის კონცეფცია

პირველ რიგში, მოდით ვიფიქროთ თავად სიტყვაზე: რა არის თანმიმდევრობა? თანმიმდევრულობა არის, როდესაც რაღაც მდებარეობს რაღაცის უკან. მაგალითად, მოქმედებების თანმიმდევრობა, სეზონების თანმიმდევრობა. ან როცა ვიღაც ვიღაცის უკან მდებარეობს. მაგალითად, რიგში მყოფი ადამიანების თანმიმდევრობა, სპილოების თანმიმდევრობა სარწყავი ხვრელისკენ მიმავალ გზაზე.

მოდით დაუყოვნებლივ განვმარტოთ თანმიმდევრობის დამახასიათებელი ნიშნები. Პირველ რიგში, მიმდევრობის წევრებიმდებარეობენ მკაცრად გარკვეული თანმიმდევრობით. ასე რომ, თუ რიგში მყოფი ორი ადამიანი გაცვალეს, ეს უკვე იქნება სხვაშემდგომი მიმდევრობა. მეორეც, თითოეულს მიმდევრობის წევრიშეგიძლიათ მიანიჭოთ სერიული ნომერი:

იგივეა ციფრებთან დაკავშირებით. დაე იყოს თითოეულბუნებრივი ღირებულება რაღაც წესის მიხედვითშედგენილი რეალურ რიცხვზე. შემდეგ ჩვენ ვამბობთ, რომ მოცემულია რიცხვითი თანმიმდევრობა.

დიახ, მათემატიკურ ამოცანებში, ცხოვრებისეული სიტუაციებისგან განსხვავებით, თანმიმდევრობა თითქმის ყოველთვის შეიცავს უსასრულოდ ბევრინომრები.

სადაც:
დაურეკა პირველი წევრიმიმდევრობები;
– მეორე წევრიმიმდევრობები;
– მესამე წევრიმიმდევრობები;
…
– მე-2ან საერთო წევრიმიმდევრობები;
…

პრაქტიკაში, თანმიმდევრობა ჩვეულებრივ მოცემულია საერთო ტერმინის ფორმულა, Მაგალითად:
არის დადებითი ლუწი რიცხვების თანმიმდევრობა:

ამრიგად, ჩანაწერი ცალსახად განსაზღვრავს მიმდევრობის ყველა წევრს - ეს არის წესი (ფორმულა), რომლის მიხედვითაც ბუნებრივი მნიშვნელობები რიცხვები ემთხვევა. ამიტომ, თანმიმდევრობა ხშირად მოკლედ აღინიშნება საერთო წევრით და სხვა ლათინური ასოები შეიძლება გამოყენებულ იქნას "x"-ის ნაცვლად, მაგალითად:

დადებითი კენტი რიცხვების თანმიმდევრობა:

კიდევ ერთი საერთო თანმიმდევრობა:

როგორც, ალბათ, ბევრმა შენიშნა, ცვლადი "en" ერთგვარი მრიცხველის როლს ასრულებს.

ფაქტობრივად, ჩვენ განვიხილეთ რიცხვითი თანმიმდევრობები ჯერ კიდევ საშუალო სკოლაში. გავიხსენოთ არითმეტიკული პროგრესია. განმარტებას არ გადავწერ, კონკრეტულ მაგალითს შევეხოთ არსს. იყოს პირველი ვადა და ნაბიჯიარითმეტიკული პროგრესია. შემდეგ:
არის ამ პროგრესის მეორე ტერმინი;
არის ამ პროგრესის მესამე წევრი;
- მეოთხე;
- მეხუთე;
…
და, ცხადია, მე-n წევრი იკითხება განმეორებადიფორმულა

შენიშვნა : რეკურსიულ ფორმულაში ყოველი შემდეგი ტერმინი გამოიხატება წინა ტერმინის ან თუნდაც წინა ტერმინების მთელი ნაკრების მიხედვით.

მიღებული ფორმულა პრაქტიკაში ნაკლებად გამოსადეგია - იმისათვის, რომ მიიღოთ, ვთქვათ, მდე, თქვენ უნდა გაიაროთ ყველა წინა ტერმინი. და მათემატიკაში, არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის უფრო მოსახერხებელი გამოხატულება მიღებულია: . ჩვენს შემთხვევაში:

ჩაანაცვლეთ ნატურალური რიცხვები ფორმულაში და შეამოწმეთ ზემოთ აგებული რიცხვითი მიმდევრობის სისწორე.

მსგავსი გამოთვლები შეიძლება გაკეთდეს გეომეტრიული პროგრესია, რომლის n-ე წევრი მოცემულია ფორმულით სად არის პირველი წევრი და არის მნიშვნელიპროგრესიები. მატანის დავალებაში პირველი ტერმინი ხშირად ერთის ტოლია.

პროგრესი ადგენს თანმიმდევრობას ;
პროგრესირება ადგენს თანმიმდევრობას;
პროგრესირება ადგენს თანმიმდევრობას ;
პროგრესირება ადგენს თანმიმდევრობას .

იმედი მაქვს, ყველამ იცის, რომ -1 კენტ ხარისხში არის -1, ხოლო ლუწი ხარისხში არის ერთი.

პროგრესია ე.წ უსასრულოდ მცირდება, თუ (ბოლო ორი შემთხვევა).

მოდით, ჩვენს სიას დავამატოთ ორი ახალი მეგობარი, რომელთაგან ერთმა ახლახან დაარტყა მონიტორის მატრიცას:

მათემატიკური ჟარგონის თანმიმდევრობას ეწოდება "ფლეშერი":

ამრიგად, თანმიმდევრობის წევრები შეიძლება განმეორდეს. ასე რომ, განხილულ მაგალითში, თანმიმდევრობა შედგება ორი უსასრულოდ მონაცვლეობითი რიცხვისაგან.

ხდება თუ არა, რომ თანმიმდევრობა ერთი და იგივე რიცხვებისგან შედგება? Რა თქმა უნდა. მაგალითად, ის ადგენს უსასრულო რაოდენობის „სამეულებს“. ესთეტებისთვის არის შემთხვევა, როდესაც "en" ჯერ კიდევ ფორმალურად ჩნდება ფორმულაში:

მოვიწვიოთ უბრალო შეყვარებული საცეკვაოდ:

რა ხდება, როდესაც "en" იზრდება უსასრულობამდე? ცხადია, თანმიმდევრობის პირობები იქნება უსასრულოდ ახლოსმიახლოება ნულთან. ეს არის ამ თანმიმდევრობის ზღვარი, რომელიც დაწერილია შემდეგნაირად:

თუ მიმდევრობის ზღვარი ნულია, მაშინ მას უწოდებენ უსასრულოდ მცირე.

მათემატიკური ანალიზის თეორიაში მოცემულია თანმიმდევრობის ლიმიტის მკაცრი განსაზღვრაე.წ ეპსილონის სამეზობლოს გავლით. შემდეგი სტატია დაეთმობა ამ განმარტებას, მაგრამ ახლა გავაანალიზოთ მისი მნიშვნელობა:

მოდით გამოვსახოთ მიმდევრობის ტერმინები და სიმეტრიული სიმეტრიული ნულის (ლიმიტის) მიმართ რეალურ ხაზზე:


ახლა დაიჭირეთ ლურჯი სამეზობლო თქვენი ხელის კიდეებით და დაიწყეთ მისი შემცირება, მიიყვანეთ ზღვრამდე (წითელი წერტილი). რიცხვი არის მიმდევრობის ლიმიტი, თუ წინასწარ შერჩეული ნებისმიერი უბნისთვის (თვითნებურად მცირე)შიგნით იქნება უსასრულოდ ბევრიმიმდევრობის წევრები და მის გარეთ - მხოლოდ საბოლოოწევრების რაოდენობა (ან საერთოდ არცერთი). ანუ, ეპსილონის სამეზობლო შეიძლება იყოს მიკროსკოპული, და კიდევ უფრო ნაკლები, მაგრამ მიმდევრობის "უსასრულო კუდი" ადრე თუ გვიან უნდა იყოს სრულადშედით ამ სფეროში.

თანმიმდევრობა ასევე უსასრულოდ მცირეა: იმ განსხვავებით, რომ მისი წევრები არ ხტებიან წინ და უკან, არამედ უახლოვდებიან ზღვარს ექსკლუზიურად მარჯვნიდან.

ბუნებრივია, ზღვარი შეიძლება იყოს ნებისმიერი სხვა სასრული რიცხვის ტოლი, ელემენტარული მაგალითი:

აქ წილადი ნულისკენ მიისწრაფვის და, შესაბამისად, ზღვარი უდრის „ორის“.

თუ თანმიმდევრობა არის სასრული ზღვარი, მაშინ ე.წ თანხვედრა(კერძოდ, უსასრულოდ მცირეზე). წინააღმდეგ შემთხვევაში - განსხვავებული, მაშინ როცა შესაძლებელია ორი ვარიანტი: ან ლიმიტი საერთოდ არ არსებობს, ან უსასრულოა. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, თანმიმდევრობა ეწოდება უსასრულოდ დიდი. მოდით გავეცნოთ პირველი აბზაცის მაგალითებს:

მიმდევრობები არიან უსასრულოდ დიდი, რადგან მათი წევრები სტაბილურად მოძრაობენ „პლუს უსასრულობისკენ“:

არითმეტიკული პროგრესია პირველი წევრით და ნაბიჯით ასევე უსასრულოდ დიდია:

სხვათა შორის, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესია ასევე განსხვავდება, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც არის ნულოვანი ნაბიჯი - როდესაც უსასრულოდ ემატება კონკრეტულ რიცხვს. ასეთი თანმიმდევრობის ზღვარი არსებობს და ემთხვევა პირველ ტერმინს.

თანმიმდევრობებს აქვთ მსგავსი ბედი:

ნებისმიერი უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, როგორც სახელი გულისხმობს, უსასრულოდ პატარა:

თუ მნიშვნელი არის გეომეტრიული პროგრესია, მაშინ მიმდევრობა უსასრულოდ დიდია A:

თუ, მაგალითად, , მაშინ საერთოდ არ არსებობს ლიმიტი, რადგან წევრები დაუღალავად ხტებიან ან "პლუს უსასრულობაზე", შემდეგ "მინუს უსასრულობაზე". და საღი აზრი და მატანის თეორემები ვარაუდობენ, რომ თუ რაიმე მიისწრაფვის სადმე, მაშინ ეს სანუკვარი ადგილი უნიკალურია.

მცირე გამოცხადების შემდეგ ირკვევა, რომ ფლაშერი არის დამნაშავე თავშეუკავებელი სროლისთვის, რომელიც, სხვათა შორის, თავისთავად განსხვავდება.
მართლაც, თანმიმდევრობისთვის ადვილია აირჩიოთ -მეზობლობა, რომელიც, ვთქვათ, ამაგრებს მხოლოდ რიცხვს -1. შედეგად, მიმდევრობის წევრების უსასრულო რაოდენობა („პლუს ერთი“) დარჩება მოცემული უბნის გარეთ. მაგრამ განსაზღვრებით, მიმდევრობის "უსასრულო კუდი" გარკვეული მომენტიდან (ბუნებრივი რიცხვი) უნდა სრულადშეიყვანეთ მისი ლიმიტის ნებისმიერი უბანი. დასკვნა: არ არსებობს ლიმიტი.

ფაქტორული არის უსასრულოდ დიდითანმიმდევრობა:

უფრო მეტიც, ის იზრდება ნახტომებით და საზღვრებით, ამიტომ არის რიცხვი, რომელსაც აქვს 100 ციფრზე მეტი (ციფრი)! რატომ ზუსტად 70? წყალობას ითხოვს ჩემი საინჟინრო კალკულატორი.

საკონტროლო გასროლით ყველაფერი ცოტა უფრო რთულია და ჩვენ ახლახან მივედით ლექციის პრაქტიკულ ნაწილამდე, რომელშიც გავაანალიზებთ საბრძოლო მაგალითებს:

მაგრამ ახლა აუცილებელია ფუნქციების საზღვრების ამოხსნა, სულ მცირე, ორი ძირითადი გაკვეთილის დონეზე: ლიმიტები. გადაწყვეტის მაგალითებიდა ღირსშესანიშნავი საზღვრები. რადგან გადაწყვეტის მრავალი მეთოდი მსგავსი იქნება. მაგრამ, პირველ რიგში, მოდით გავაანალიზოთ ფუნდამენტური განსხვავებები მიმდევრობის ზღვარსა და ფუნქციის ზღვარს შორის:

მიმდევრობის ლიმიტში, "დინამიური" ცვლადი "en" შეიძლება მიდრეკილი იყოს მხოლოდ "პლუს უსასრულობამდე"– ნატურალური რიცხვების გაზრდის მიმართულებით .
ფუნქციის ლიმიტში "x" შეიძლება მიმართული იყოს სადმე - "პლუს/მინუს უსასრულობაზე" ან თვითნებურ რეალურ რიცხვზე.

ქვემიმდევრობა დისკრეტული(შეწყვეტილი), ანუ შედგება ცალკეული იზოლირებული წევრებისაგან. ერთი, ორი, სამი, ოთხი, ხუთი, ბაჭია სასეირნოდ გავიდა. ფუნქციის არგუმენტი ხასიათდება უწყვეტობით, ანუ „x“ შეუფერხებლად, ინციდენტის გარეშე, მიდრეკილია ამა თუ იმ მნიშვნელობისკენ. და, შესაბამისად, ფუნქციის მნიშვნელობები ასევე მუდმივად მიუახლოვდება მათ ლიმიტს.

იმის გამო დისკრეტულობათანმიმდევრობებში არის საკუთარი ბრენდირებული ნივთები, როგორიცაა ფაქტორები, ფლეშერები, პროგრესიები და ა.შ. ახლა კი შევეცდები გავაანალიზო ის საზღვრები, რომლებიც დამახასიათებელია მიმდევრობებისთვის.

დავიწყოთ პროგრესიით:

მაგალითი 1

იპოვეთ მიმდევრობის ზღვარი

გადაწყვეტილება: რაღაც უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის მსგავსია, მაგრამ მართლა? სიცხადისთვის, ჩვენ ვწერთ პირველ რამდენიმე ტერმინს:

მას შემდეგ, ჩვენ ვსაუბრობთ ჯამიუსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრები, რომელიც გამოითვლება ფორმულით.

გადაწყვეტილების მიღება:

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამისთვის: . AT ამ საქმეს: - პირველი წევრი, - პროგრესიის მნიშვნელი.

მაგალითი 2

დაწერეთ მიმდევრობის პირველი ოთხი წევრი და იპოვეთ მისი ზღვარი

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. მრიცხველში გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა:
, სადაც არის პროგრესიის პირველი და მე-n წევრი.

ვინაიდან მიმდევრობებში "en" ყოველთვის მიდრეკილია "პლუს უსასრულობისკენ", გასაკვირი არ არის, რომ განუსაზღვრელობა ერთ-ერთი ყველაზე პოპულარულია.
და მრავალი მაგალითი წყდება ზუსტად ისე, როგორც ფუნქციების საზღვრები!

ან იქნებ რაღაც უფრო რთული, როგორიცაა ? იხილეთ სტატიის მაგალითი #3 ლიმიტის ამოხსნის მეთოდები.

ფორმალური თვალსაზრისით, განსხვავება იქნება მხოლოდ ერთ ასოში - არის "x" და აქ "en".
მიღება იგივეა - მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა გაიყოს "en"-ზე უმაღლესი ხარისხით.

ასევე, მიმდევრობებში, გაურკვევლობა საკმაოდ ხშირია. როგორ გადავჭრათ ლიმიტები, როგორიცაა შეგიძლიათ იხილოთ ამავე მუხლის მაგალითებში No11-13.

ლიმიტთან გამკლავებისთვის იხილეთ გაკვეთილის მაგალითი #7 ღირსშესანიშნავი საზღვრები(მეორე საყურადღებო ზღვარი ასევე მოქმედებს დისკრეტული შემთხვევისთვის). გამოსავალი კვლავ წააგავს ნახშირბადის ასლს, განსხვავება ერთ ასოში.

შემდეგი ოთხი მაგალითი (No3-6) ასევე „ორსახიანია“, მაგრამ პრაქტიკაში, რატომღაც, უფრო დამახასიათებელია მიმდევრობის საზღვრებისთვის, ვიდრე ფუნქციების საზღვრებისთვის:

მაგალითი 3

იპოვეთ მიმდევრობის ზღვარი

გადაწყვეტილება: ჯერ სრული გამოსავალი, შემდეგ ნაბიჯ-ნაბიჯ კომენტარები:

(1) მრიცხველში ვიყენებთ ფორმულას ორჯერ.

(2) ჩვენ ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს მრიცხველში.

(3) გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს და მნიშვნელს ("en" უმაღლესი ხარისხით).

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული.

მაგალითი 4

იპოვეთ მიმდევრობის ზღვარი

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის, შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიშველა.

ფარგლებში ს დემონსტრაციულიმიმდევრობები იყენებენ მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფის მსგავს მეთოდს:

მაგალითი 5

იპოვეთ მიმდევრობის ზღვარი

გადაწყვეტილებამოდი ასე მოვიქცეთ:

მსგავსი თეორემა ასევე მართალია, სხვათა შორის, ფუნქციებისთვისაც: უსასრულოდ მცირე ფუნქციით შემოსაზღვრული ფუნქციის ნამრავლი არის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია.

მაგალითი 9

იპოვეთ მიმდევრობის ზღვარი

იოჰანისიან ევა

რიცხვითი მიმდევრობები. Აბსტრაქტული.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება
„31-ე საშუალო სკოლა“
ქალაქი ბარნაული

რიცხვების მიმდევრობები

აბსტრაქტული

დასრულებული სამუშაო:
ოგანესიანი ევა,
მე-8 კლასის მოსწავლე MBOU "31 საშუალო სკოლა"
ხელმძღვანელი:
პოლევა ირინა ალექსანდროვნა,
მათემატიკის მასწავლებელი MBOU "Secondary School No. 31"

ბარნაული - 2014 წ

შესავალი …………………………………………………………………………………… 2

რიცხვითი მიმდევრობები………………………………………………...3

რიცხვითი მიმდევრობების დაყენების გზები………………………………4

პროგრესირების დოქტრინის შემუშავება…………………………………………………..5

რიცხვითი მიმდევრობის თვისებები…………………………………………7

არითმეტიკული პროგრესია……………………………………………………………. ..............9

გეომეტრიული პროგრესია…………………………………………….10

დასკვნა …………………………………………………………………… 11

ლიტერატურა………………………………………………………………………………………………………………………………

შესავალი

ამ აბსტრაქტის მიზანი– რიცხვითი მიმდევრობასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებების შესწავლა, მათი გამოყენება პრაქტიკაში.
Დავალებები:

1. პროგრესირების დოქტრინის განვითარების ისტორიული ასპექტების შესწავლა;
2. განვიხილოთ რიცხვითი მიმდევრობების დაყენების გზები და თვისებები;
3. შეიტყვეთ არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიების შესახებ.

ამჟამად რიცხვითი მიმდევრობები განიხილება, როგორც ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევები. რიცხვითი მიმდევრობა ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქციაა. რიცხვითი მიმდევრობის კონცეფცია წარმოიშვა და განვითარდა ფუნქციის თეორიის შექმნამდე დიდი ხნით ადრე. აქ მოცემულია ანტიკურში ცნობილი უსასრულო რიცხვების მიმდევრობის მაგალითები:

1, 2, 3, 4, 5, ... - ნატურალური რიცხვების მიმდევრობა.

2, 4, 6, 8, 10,… - ლუწი რიცხვების თანმიმდევრობა.

1, 3, 5, 7, 9,... - კენტი რიცხვების თანმიმდევრობა.

1, 4, 9, 16, 25,… - ნატურალური რიცხვების კვადრატების მიმდევრობა.

2, 3, 5, 7, 11… - მარტივი რიცხვების თანმიმდევრობა.

1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - ნატურალური რიცხვების საპასუხო მიმდევრობა.

თითოეული ამ სერიის წევრების რაოდენობა უსასრულოა; პირველი ხუთი თანმიმდევრობა მონოტონურად იზრდება, ბოლო კი მონოტონურად კლებულობს. ყველა ჩამოთვლილი მიმდევრობა, გარდა მე-5-ისა, მოცემულია იმის გამო, რომ თითოეული მათგანისთვის ცნობილია საერთო ტერმინი, ანუ ნებისმიერი რიცხვით ტერმინის მიღების წესი. მარტივი რიცხვების მიმდევრობისთვის, საერთო ტერმინი უცნობია, მაგრამ ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში. ძვ.წ ე. ალექსანდრიელმა მეცნიერმა ერატოსთენესმა მიუთითა მეთოდი (თუმცა ძალიან რთული) მისი n-ე წევრის მისაღებად. ამ მეთოდს ეწოდა "ერატოსთენეს საცერი".

პროგრესიები - რიცხვითი მიმდევრობების ცალკეული ტიპები - გვხვდება ძვ.წ. II ათასწლეულის ძეგლებში. ე.

რიცხვების მიმდევრობები

რიცხვების თანმიმდევრობის სხვადასხვა განმარტება არსებობს.

რიცხვითი თანმიმდევრობა – ეს არის რიცხვითი სივრცის ელემენტების თანმიმდევრობა (ვიკიპედია).

რიცხვითი თანმიმდევრობა – ეს არის დანომრილი რიცხვების ნაკრები.

y = f (x), x ფორმის ფუნქციაეწოდება ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია ანრიცხვითი თანმიმდევრობადა აღვნიშნავთ y = f(n) ან

, , , …, აღნიშვნა ().

დადებით ლუწი რიცხვებს გამოვწერთ ზრდადი თანმიმდევრობით. პირველი ასეთი რიცხვია 2, მეორე არის 4, მესამე არის 6, მეოთხე არის 8 და ა.შ., ასე რომ მივიღებთ მიმდევრობას: 2; 4; 6; რვა; ათი….

ცხადია, ამ მიმდევრობაში მეხუთე ადგილი იქნება რიცხვი 10, მეათე - 20, მეასე - 200. ზოგადად, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n, შეგიძლიათ მიუთითოთ შესაბამისი დადებითი ლუწი რიცხვი; ის უდრის 2n-ს.

მოდით შევხედოთ სხვა თანმიმდევრობას. ჩვენ კლებადობით ჩავწერთ წილადებს 1-ის ტოლი მრიცხველით:

; ; ; ; ; … .

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n შეგვიძლია მივუთითოთ შესაბამისი წილადი; ის უდრის. ასე რომ, მეექვსე ადგილზე უნდა იყოს წილადიოცდაათზე - , მეათასედზე - წილადი .

რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან მიმდევრობას, ეწოდებათ შესაბამისად პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. თანმიმდევრობის წევრები. მიმდევრობის წევრები, როგორც წესი, აღინიშნება ასოებით, რომლებიც მიუთითებენ წევრის რიგით რიცხვს. Მაგალითად:, , და ა.შ. ზოგადად, მიმდევრობის ტერმინი n ნომრით, ან, როგორც ამბობენ, მიმდევრობის n-ე წევრი, აღინიშნება.. თანმიმდევრობა თავისთავად აღინიშნება (). მიმდევრობა შეიძლება შეიცავდეს წევრთა უსასრულო რაოდენობასაც და სასრულსაც. ამ შემთხვევაში მას საბოლოო ეწოდება. მაგ: ორნიშნა რიცხვების მიმდევრობა.10; თერთმეტი; 12; ცამეტი; …; 98; 99

რიცხვითი მიმდევრობების დაზუსტების მეთოდები

თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს რამდენიმე გზით.

ჩვეულებრივ, თანმიმდევრობა უფრო შესაფერისია დასაყენებლადმისი საერთო n-ე ტერმინის ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი მისი ნომრის ცოდნით. ამ შემთხვევაში ნათქვამია, რომ თანმიმდევრობა მოცემულიაანალიტიკურად. მაგალითად: დადებითი ლუწი ტერმინების თანმიმდევრობა=2ნ.

ამოცანა: იპოვეთ მიმდევრობის საერთო ტერმინის ფორმულა (:

6; 20; 56; 144; 352;…

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ თანმიმდევრობის თითოეულ ტერმინს შემდეგი ფორმით:

n=1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

როგორც ხედავთ, მიმდევრობის პირობები არის ორის ხარისხზე გამრავლებული თანმიმდევრული კენტი რიცხვებით, და ორი ამაღლებულია ხარისხამდე, რომელიც უდრის მოცემული ელემენტის რაოდენობას. ამრიგად, ჩვენ ვასკვნით, რომ

პასუხი: საერთო ტერმინის ფორმულა:

მიმდევრობის დაზუსტების კიდევ ერთი გზა არის მიმდევრობის მითითება გამოყენებითგანმეორებადი ურთიერთობა. ფორმულა, რომელიც გამოხატავს მიმდევრობის რომელიმე წევრს, დაწყებული ზოგიერთიდან წინამდე (ერთი ან მეტი), ე.წ.განმეორებადი (ლათინური სიტყვიდან recurro - დაბრუნება).

ამ შემთხვევაში მითითებულია მიმდევრობის ერთი ან რამდენიმე პირველი ელემენტი, დანარჩენი კი გარკვეული წესის მიხედვით განისაზღვრება.

რეკურსიულად მოცემული მიმდევრობის მაგალითია ფიბონაჩის რიცხვების მიმდევრობა - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , რომელშიც ყოველი მომდევნო რიცხვი, მესამედან დაწყებული, არის წინა ორის ჯამი. პირობა: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 და ასე შემდეგ. ეს თანმიმდევრობა შეიძლება მიცემული იყოს რეკურსიულად:

N N, = 1.

ამოცანა: შემდგომი მიმდევრობარეციდივის მიმართებით მოცემული+ n N, = 4. ჩამოწერეთ ამ თანმიმდევრობის პირველი რამდენიმე წევრი.

გადაწყვეტილება. ვიპოვოთ მოცემული მიმდევრობის მესამე წევრი:

+ =

და ა.შ.

როდესაც თანმიმდევრობები განმეორებით არის მითითებული, გამოთვლები ძალიან რთულია, რადგან დიდი რიცხვების მქონე ელემენტების საპოვნელად აუცილებელია მითითებული მიმდევრობის ყველა წინა წევრის პოვნა, მაგალითად,ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველა წინა 499 ტერმინი.

აღწერითი გზარიცხვითი მიმდევრობის მინიჭება გულისხმობს იმის ახსნას, თუ რა ელემენტებისგან არის აგებული მიმდევრობა.

მაგალითი 1. "მიმდევრობის ყველა წევრი არის 1." ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ სტაციონარულ მიმდევრობაზე 1, 1, 1, ..., 1, ....

მაგალითი 2. "მიმდევრობა შედგება ყველა მარტივი რიცხვისაგან ზრდადი მიმდევრობით." ამრიგად, მოცემულია თანმიმდევრობა 2, 3, 5, 7, 11, .... ამ მაგალითში მიმდევრობის დაზუსტების ამ გზით, ძნელია პასუხის გაცემა, ვთქვათ, რის ტოლია მიმდევრობის მე-1000 ელემენტი.

ასევე, რიცხვითი თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს მარტივიმისი წევრების ჩამონათვალში.

პროგრესირების დოქტრინის შემუშავება

სიტყვა პროგრესი ლათინური წარმოშობისაა (პროგრესიო), სიტყვასიტყვით ნიშნავს „წინსვლას“ (როგორც სიტყვა „პროგრესი“) და პირველად რომაელ ავტორ ბოეთიუსს შეხვდა (V-VI სს.) გააგრძელეთ განუსაზღვრელი ვადით ერთი მიმართულებით, მაგალითად. , ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა, მათი კვადრატები და კუბები. შუა საუკუნეების ბოლოს და თანამედროვეობის დასაწყისში ეს ტერმინი წყვეტს ჩვეულებრივ გამოყენებას. მე-17 საუკუნეში, მაგალითად, ჯ. გრიგორი პროგრესიის ნაცვლად იყენებდა ტერმინს „სერიები“, ხოლო კიდევ ერთი გამოჩენილი ინგლისელი მათემატიკოსი ჯ.უოლისი უსასრულო სერიებისთვის იყენებდა ტერმინს „უსასრულო პროგრესიები“.

ამჟამად პროგრესებს განვიხილავთ, როგორც რიცხვითი მიმდევრობის განსაკუთრებულ შემთხვევებს.

პროგრესირებასთან დაკავშირებული თეორიული ინფორმაცია პირველად გვხვდება ძველი საბერძნეთის ჩვენამდე მოღწეულ დოკუმენტებში.

ფსამიტში არქიმედეს პირველად ადარებს არითმეტიკულ და გეომეტრიულ პროგრესირებას:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

პროგრესიები განიხილებოდა პროპორციების გაგრძელებად, რის გამოც ეპითეტები არითმეტიკული და გეომეტრიული პროპორციებიდან პროგრესირებაზე გადავიდა.

პროგრესების ეს შეხედულება შეინარჩუნა მე-17 და მე-18 საუკუნეების ბევრმა მათემატიკოსმა. ასე უნდა აიხსნას ის ფაქტი, რომ ბაროუში აღმოჩენილმა სიმბოლომ, შემდეგ კი იმდროინდელ სხვა ინგლისელ მეცნიერებში, უწყვეტი გეომეტრიული პროპორციის აღსანიშნავად, დაიწყო გეომეტრიული პროგრესიის აღნიშვნა მე-18 საუკუნის ინგლისურ და ფრანგულ სახელმძღვანელოებში. ანალოგიით, მათ დაიწყეს არითმეტიკული პროგრესიის დანიშვნა.

არქიმედეს ერთ-ერთი მტკიცებულება, რომელიც მოყვანილია მის ნაშრომში „პარაბოლის კვადრატი“, არსებითად მთავრდება უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამამდე.

გეომეტრიისა და მექანიკის ზოგიერთი ამოცანის გადასაჭრელად არქიმედესმა გამოიტანა ნატურალური რიცხვების კვადრატების ჯამის ფორმულა, თუმცა მასზე ადრე გამოიყენებოდა.

1/6n(n+1)(2n+1)

პროგრესირებასთან დაკავშირებული ზოგიერთი ფორმულა ცნობილი იყო ჩინელი და ინდოელი მეცნიერებისთვის. ასე რომ, არიაბჰატამ (V საუკუნე) იცოდა საერთო ტერმინის ფორმულები, არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი და ა.შ., მაგავირამ (IX საუკუნე) გამოიყენა ფორმულა: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) და სხვა უფრო რთული სერიები. თუმცა, თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინთა ჯამის პოვნის წესი პირველად გვხვდება ლეონარდო პიზას წიგნში აბაკუსი (1202). რიცხვების მეცნიერებაში (1484) ნ. შუკე, არქიმედესის მსგავსად, ადარებს არითმეტიკულ პროგრესიას გეომეტრიულს და იძლევა ზოგად წესს ნებისმიერი უსასრულოდ მცირე კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის შეჯამებისთვის. უსაზღვროდ კლებადი პროგრესიის შეჯამების ფორმულა ცნობილი იყო პ.ფერმატისა და მე-17 საუკუნის სხვა მათემატიკოსებისთვის.

არითმეტიკული (და გეომეტრიული) პროგრესირების ამოცანები ასევე გვხვდება ძველ ჩინურ ტრაქტატში "მათემატიკა ცხრა წიგნში", რომელიც, თუმცა, არ შეიცავს რაიმე შემაჯამებელი ფორმულის გამოყენების ინსტრუქციას.

პირველი პროგრესირების პრობლემები, რომლებიც ჩვენამდე მოვიდა, დაკავშირებულია ეკონომიკური ცხოვრებისა და სოციალური პრაქტიკის მოთხოვნებთან, როგორიცაა პროდუქციის განაწილება, მემკვიდრეობის დაყოფა და ა.შ.

ერთი ლურსმული ფირფიტიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მთვარეზე ახალი მთვარედან სავსემთვარეობამდე დაკვირვებით, ბაბილონელები მივიდნენ შემდეგ დასკვნამდე: ახალი მთვარის დაწყებიდან პირველ ხუთ დღეში, მთვარის დისკის განათების ზრდა ხდება შესაბამისად. გეომეტრიული პროგრესიის კანონი მნიშვნელით 2. სხვა გვიანდელ ტაბლეტში საუბარია შემაჯამებელ გეომეტრიულ პროგრესიაზე:

1+2+ +…+ . ამოხსნა და პასუხი S=512+(512-1), ფირფიტაში მოცემული მონაცემები ვარაუდობს, რომ ავტორმა გამოიყენა ფორმულა.

Sn= +( -1), მაგრამ არავინ იცის, როგორ მიაღწია მას.

გეომეტრიული პროგრესიების შეჯამება და შესაბამისი ამოცანების შედგენა, რომლებიც ყოველთვის არ აკმაყოფილებენ პრაქტიკულ მოთხოვნილებებს, მათემატიკის მრავალი მოყვარული პრაქტიკაში გამოიყენებოდა ძველ და შუა საუკუნეებში.

რიცხვების მიმდევრობის თვისებები

რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა და ამიტომ ფუნქციების ზოგიერთი თვისება (შეზღუდულობა, ერთფეროვნება) ასევე განიხილება მიმდევრობებისთვის.

შეზღუდული თანმიმდევრობა

შემდგომი () ეწოდება ზემოდან შემოსაზღვრული, რომ ნებისმიერი n რიცხვისთვის,მ.

შემდგომი () ეწოდება ქვემოდან შემოსაზღვრული, თუ არის ასეთი რიცხვი m, რომ ნებისმიერი n რიცხვისთვის,მ.

შემდგომი () ეწოდება შემოსაზღვრული თუ ზემოდან შემოსაზღვრულია და ქვემოდან შემოსაზღვრული, ანუ არსებობს ასეთი რიცხვი M0, რომელიც ნებისმიერი n რიცხვისთვის,მ.

შემდგომი () ეწოდება შეუზღუდავი თუ არსებობს ასეთი რიცხვი M0 რომ არსებობს რიცხვი n ისეთი, რომ,მ.

ამოცანა: შეისწავლეთ თანმიმდევრობა = შეზღუდვამდე.

გადაწყვეტილება. მოცემული მიმდევრობა შეზღუდულია, რადგან ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

0 1,

ანუ თანმიმდევრობა ქვემოდან შემოსაზღვრულია ნულით და ამავდროულად ზემოდან შემოსაზღვრულია ერთით და შესაბამისად, ისიც შემოსაზღვრულია.

პასუხი: თანმიმდევრობა შეზღუდულია - ქვემოდან ნულით, ზემოდან კი ერთით.

მზარდი და დაღმავალი მიმდევრობები

შემდგომი () მზარდი ეწოდება , თუ თითოეული წევრი წინაზე მეტია:

მაგალითად, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... არის მზარდი მიმდევრობა.

შემდგომი () კლებადი ეწოდება თუ თითოეული ტერმინი წინაზე ნაკლებია:

მაგალითად, 1; არის დაღმავალი მიმდევრობა.

მზარდი და კლებადი თანმიმდევრობები გაერთიანებულია საერთო ტერმინით -მონოტონური მიმდევრობები. ავიღოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი.

1; - ეს თანმიმდევრობა არც მზარდია და არც კლებადი (არამონოტონური თანმიმდევრობა).

2n. ჩვენ ვსაუბრობთ მიმდევრობაზე 2, 4, 8, 16, 32, ... - მზარდი მიმდევრობა.

ზოგადად, თუ a > 1, მაშინ თანმიმდევრობა= იზრდება;

თუ 0 = მცირდება.

არითმეტიკული პროგრესია

რიცხვითი მიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი მეორიდან დაწყებული უდრის წინა წევრის ჯამს და იგივე რიცხვი d, ე.წ.არითმეტიკული პროგრესიადა რიცხვი d არის არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

ამრიგად, არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა

X, == + d, (n = 2, 3, 4, ...; a და d მოცემულია რიცხვები).

მაგალითი 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... არის მზარდი არითმეტიკული პროგრესია, რომელშიც= 1, d = 2.

მაგალითი 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - კლებადი არითმეტიკული პროგრესია, რომელშიც= 20, d = –3.

მაგალითი 3. განვიხილოთ ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა, რომლებსაც ოთხზე გაყოფისას აქვთ ნაშთი 1:1; 5; ცხრა; ცამეტი; 17; 21…

მისი ყოველი წევრი მეორიდან დაწყებული, მიიღება წინა წევრზე 4-ის მიმატებით.ეს მიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითი.

მარტივია გამოკვეთილი (ფორმულის) გამოხატვის პოვნამეშვეობით n. შემდეგი ელემენტის მნიშვნელობა წინასთან შედარებით იზრდება d-ით, ამდენად, n ელემენტის მნიშვნელობა არითმეტიკული პროგრესიის პირველ წევრთან შედარებით გაიზრდება (n - 1)d-ით, ე.ი.

= + d (n – 1). ეს არის არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა.

ეს არის ჯამის ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის n წევრი.

არითმეტიკული პროგრესია დასახელებულია იმიტომ, რომ მასში ყოველი ტერმინი, გარდა პირველისა, უდრის მის მიმდებარე ორის საშუალო არითმეტიკულს - წინა და მომდევნო, მართლაც,

გეომეტრიული პროგრესია

რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის ყველა წევრი არ არის ნულოვანი და რომლის თითოეული წევრი მეორედან დაწყებული, მიღებულია წინა წევრისგან იმავე რიცხვზე q გამრავლებით, ე.წ.გეომეტრიული პროგრესიადა რიცხვი q არის გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი. ამრიგად, გეომეტრიული პროგრესია არის რიცხვითი მიმდევრობა (რეკურსიულად მოცემულია ურთიერთობებით

B, = q (n = 2, 3, 4…; b და q მოცემულია რიცხვები).

მაგალითი 1. 2, 6, 18, 54, ... - გეომეტრიული პროგრესიის გაზრდა

2, q = 3.

მაგალითი 2. 2, -2, 2, -2, ... არის გეომეტრიული პროგრესია= 2, q = –1.

გეომეტრიული პროგრესიის ერთ-ერთი აშკარა თვისება ის არის, რომ თუ მიმდევრობა გეომეტრიული პროგრესიაა, მაშინ კვადრატების მიმდევრობა, ე.ი.; ;…-

არის გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის, და მნიშვნელი არის.

გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა არის:

გეომეტრიული პროგრესიის n წევრის ჯამის ფორმულა:

დამახასიათებელი თვისებაგეომეტრიული პროგრესია: რიცხვითი თანმიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი თითოეული წევრის კვადრატი, გარდა პირველისა (და უკანასკნელი სასრული მიმდევრობის შემთხვევაში), უდრის წინა და შემდგომი წევრების ნამრავლს.

დასკვნა

რიცხვითი თანმიმდევრობები მრავალი საუკუნის განმავლობაში შეისწავლა მრავალი მეცნიერის მიერ.პირველი პროგრესირების პრობლემები, რომლებიც ჩვენამდე მოვიდა, დაკავშირებულია ეკონომიკური ცხოვრებისა და სოციალური პრაქტიკის მოთხოვნებთან, როგორიცაა პროდუქციის განაწილება, მემკვიდრეობის დაყოფა და ა.შ. ისინი მათემატიკის ერთ-ერთი მთავარი ცნებაა. ჩემს ნამუშევარში შევეცადე ასახულიყო რიცხვითი მიმდევრობასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებები, მათი დაყენება, თვისებები და განვიხილე ზოგიერთი მათგანი. ცალკე განიხილებოდა პროგრესიები (არითმეტიკული და გეომეტრიული) და აღწერილი იყო მათთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებები.

ბიბლიოგრაფია

1. ა.გ. მორდკოვიჩი, ალგებრა, მე-10 კლასი, სახელმძღვანელო, 2012 წ
2. ა.გ. მორდკოვიჩი, ალგებრა, მე-9 კლასი, სახელმძღვანელო, 2012 წ
3. შესანიშნავი სტუდენტური სახელმძღვანელო. მოსკოვი, "დროფა", 2001 წ
4. გ.ი. გლეიზერი, მათემატიკის ისტორია სკოლაში,

მ.: განმანათლებლობა, 1964 წ.

1. „მათემატიკა სკოლაში“, ჟურნალი, 2002 წ.
2. საგანმანათლებლო ონლაინ სერვისები Webmath.ru
3. უნივერსალური პოპულარული სამეცნიერო ონლაინ ენციკლოპედია "კრუგოსვეტი"

აკვანი. საფენები. Ტირილი.
სიტყვა. ნაბიჯი. Ცივი. ექიმი.
გარშემო სირბილი. სათამაშოები. ძმაო.
ეზო. საქანელა. საბავშვო ბაღი.
სკოლა. დეუსი. ტროიკა. ხუთი.
ბურთი. ნაბიჯი. თაბაშირი. Საწოლი.
ბრძოლა. სისხლი. გატეხილი ცხვირი.
ეზო. Მეგობრები. წვეულება. ძალის.
ინსტიტუტი. გაზაფხული. ბუჩქები.
ზაფხული. სესია. კუდები.
ლუდი. არაყი. ცივი ჯინი.
ყავა. სესია. Დიპლომი.
რომანტიზმი. სიყვარული. ვარსკვლავი.
იარაღი. ტუჩები. ღამე ძილის გარეშე.
ქორწილი. Სიდედრი. მამამთილი. ხაფანგი.
არგუმენტი. Კლუბი. Მეგობრები. თასი.
სახლი. Სამუშაო. სახლი. ოჯახი.
Მზე. ზაფხული. თოვლი. ზამთარი.
შვილო. საფენები. აკვანი.
Სტრესი. ბედია. Საწოლი.
ბიზნესი. ფული. Გეგმა. ავრალი.
Ტელევიზორი. სერიალი.
Აგარაკი. ალუბალი. ყაბაყი.
Ნაცრისფერი თმა. შაკიკი. Სათვალე.
შვილიშვილი. საფენები. აკვანი.
Სტრესი. წნევა. Საწოლი.
Გული. თირკმლები. ძვლები. ექიმი.
გამოსვლები. კუბო. დამშვიდობება. Ტირილი.

ცხოვრების თანმიმდევრობა

SEQUENCE - (მიმდევრობა), ორგანიზებულად დალაგებული რიცხვები ან ელემენტები. მიმდევრობები შეიძლება იყოს სასრული (შეზღუდული რაოდენობის ელემენტებით) ან უსასრულო, როგორც 1, 2, 3, 4 ნატურალური რიცხვების სრული მიმდევრობა………

სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი

განმარტება:რიცხვითი თანმიმდევრობაეწოდება რიცხვითი, რომელიც მოცემულია ნატურალური რიცხვების N სიმრავლეზე. რიცხვითი მიმდევრებისთვის, როგორც წესი, ნაცვლად f(n)დაწერე a n და აღნიშნეთ თანმიმდევრობა ასე: a n ). ნომრები ა 1 , ა 2 , …, ნ,… დაურეკა თანმიმდევრობის ელემენტები.

ჩვეულებრივ, რიცხვითი თანმიმდევრობა განისაზღვრება პარამეტრით ნ-ე ელემენტი ან რეკურსიული ფორმულა, რომლის მიხედვითაც ყოველი შემდეგი ელემენტი განისაზღვრება წინას მეშვეობით. ასევე შესაძლებელია რიცხვითი მიმდევრობის დაზუსტების აღწერითი გზა. Მაგალითად:

• მიმდევრობის ყველა წევრი არის "1". ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ სტაციონარულ მიმდევრობაზე 1, 1, 1, ..., 1, ....

• თანმიმდევრობა შედგება ყველა მარტივი რიცხვისაგან ზრდადი მიმდევრობით.ამრიგად, მოცემულია თანმიმდევრობა 2, 3, 5, 7, 11, .... ამ მაგალითში მიმდევრობის დაზუსტების ამ გზით, ძნელია პასუხის გაცემა, ვთქვათ, რის ტოლია მიმდევრობის მე-1000 ელემენტი.

განმეორებითი მეთოდით, მითითებულია ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ნმიმდევრობის მე-1 წევრი წინაზე და მიუთითეთ მიმდევრობის 1-2 საწყისი წევრი.

• წ 1 = 3; y n =წ n-1 + 4 , თუ ნ = 2, 3, 4,…

Აქ წ 1 = 3; წ 2 = 3 + 4 = 7;წ 3 = 7 + 4 = 11; ….

• წ 1 = 1; წ 2 = 1; y n =წ n-2 + წ n-1 , თუ ნ = 3, 4,…

Აქ: წ 1 = 1; წ 2 = 1; წ 3 = 1 + 1 = 2; წ 4 = 1 + 2 = 3; წ 5 = 2 + 3 = 5; წ 6 = 3 + 5 = 8;

რეკურსიული ფორმულით გამოხატული თანმიმდევრობა y n =წ n-1 + 4 ასევე შეიძლება იყოს ანალიტიკური: y n= y 1 +4*(n-1)

შეამოწმეთ: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

აქ n-ე ელემენტის გამოსათვლელად არ გვჭირდება რიცხვითი მიმდევრობის წინა წევრის ცოდნა, საკმარისია მხოლოდ მისი რიცხვის და პირველი ელემენტის მნიშვნელობის დაყენება.

როგორც ვხედავთ, რიცხვითი მიმდევრობის დაზუსტების ეს გზა ძალიან ჰგავს ფუნქციების დაზუსტების ანალიტიკურ ხერხს. სინამდვილეში, რიცხვითი მიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქციის განსაკუთრებული სახეობა, ამიტომ ფუნქციების მთელი რიგი თვისებები შეიძლება ჩაითვალოს მიმდევრობებისთვისაც.

რიცხვების თანმიმდევრობა ძალიან საინტერესო და ინფორმაციული თემაა. ეს თემა გვხვდება გაზრდილი სირთულის ამოცანებში, რომლებსაც სტუდენტებს სთავაზობენ დიდაქტიკური მასალების ავტორები, მათემატიკური ოლიმპიადების ამოცანებში, უმაღლეს სასწავლებლებში მისაღებ გამოცდებში და სხვა.და თუ გსურთ გაიგოთ მეტი სხვადასხვა ტიპის რიცხვების მიმდევრობის შესახებ, დააწკაპუნეთ აქ. კარგად, თუ ყველაფერი გასაგები და მარტივია თქვენთვის, მაგრამ შეეცადეთ უპასუხოთ.