ვიდეოგაკვეთილი „რიცხობრივი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები“ არის ვიზუალური მასალა გაკვეთილზე თემის ახსნისას სიცხადის უზრუნველსაყოფად. დემონსტრირებისას განიხილება რიცხვიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობის ფორმირების პრინციპი, აღწერილია არაერთი მაგალითი, რომელიც ასწავლის როგორ გამოვთვალოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები რიცხვიდან. ამ სახელმძღვანელოს დახმარებით უფრო ადვილია შესაბამისი პრობლემების გადაჭრის უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება, მასალის დამახსოვრების მიღწევა. სახელმძღვანელოს გამოყენება ზრდის გაკვეთილის ეფექტურობას, ხელს უწყობს სასწავლო მიზნების სწრაფ მიღწევას.

თემის სათაური ნაჩვენებია გაკვეთილის დასაწყისში. შემდეგ ამოცანაა იპოვოთ რაიმე რიცხვითი არგუმენტის შესაბამისი კოსინუსი. აღნიშნულია, რომ ეს პრობლემა უბრალოდ მოგვარებულია და ამის ნათლად დემონსტრირება შესაძლებელია. ეკრანზე გამოჩნდება ერთეული წრე, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე. ამავდროულად, დაფიქსირდა, რომ წრის გადაკვეთის წერტილი აბსცისის ღერძის დადებით ნახევარღერძთან მდებარეობს A წერტილში (1; 0). მოცემულია M წერტილის მაგალითი, რომელიც წარმოადგენს არგუმენტს t=π/3. ეს წერტილი აღინიშნება ერთეულ წრეზე და მისგან ჩამოდის აბსცისის ღერძის პერპენდიკულარული. წერტილის ნაპოვნი აბსციზა არის კოსინუსი cos t. AT ამ საქმესწერტილის აბსციზა იქნება x=1/2. ამიტომ cos t=1/2.

განხილული ფაქტების შეჯამებისას აღნიშნულია, რომ აზრი აქვს ვისაუბროთ s=cos t ფუნქციაზე. აღსანიშნავია, რომ სტუდენტებს უკვე აქვთ გარკვეული ცოდნა ამ ფუნქციის შესახებ. გამოითვლება კოსინუსის ზოგიერთი მნიშვნელობა cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. ასევე ამ ფუნქციასთან დაკავშირებულია ფუნქციები s=sin t, s=tg t, s=ctg t. აღინიშნება, რომ მათ აქვთ საერთო სახელი ყველასთვის - ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

ნაჩვენებია მნიშვნელოვანი მიმართებები, რომლებიც გამოიყენება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ამოცანების ამოხსნისას: ძირითადი იდენტობა sin 2 t+ cos 2 t=1, ტანგენსის და კოტანგენსის გამოხატულება სინუსში და კოსინუსში tg t=sin t/cos t, სადაც t≠ π/2+πk kϵZ-სთვის, ctg t= cos t/sin t, სადაც t≠πk kϵZ-სთვის, ასევე ტანგენსისა და კოტანგენსის თანაფარდობა tg t ctg t=1 სადაც t≠πk/2 kϵZ-სთვის.

გარდა ამისა, შემოთავაზებულია განიხილოს 1+ tan 2 t=1/ cos 2 t მიმართების მტკიცებულება, t≠π/2+πk kϵZ-სთვის. იდენტობის დასადასტურებლად აუცილებელია tg 2 t წარმოდგენა სინუსისა და კოსინუსის თანაფარდობის სახით და შემდეგ მივიყვანოთ ტერმინები მარცხენა მხარეს საერთო მნიშვნელზე 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით, მრიცხველში ვიღებთ 1-ს, ანუ საბოლოო გამოსახულებას 1/ cos 2 t. ქ.ე.დ.

იდენტურობა 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t დადასტურებულია ანალოგიურად, t≠πk kϵZ-ისთვის. ისევე როგორც წინა მტკიცებულებაში, კოტანგენსი შეიცვალა კოსინუსისა და სინუსის შესაბამისი თანაფარდობით და მარცხენა მხარეს ორივე წევრი მცირდება საერთო მნიშვნელამდე 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin2t. ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მრიცხველზე გამოყენების შემდეგ მივიღებთ 1/ sin 2 ტ. ეს არის სასურველი გამოხატულება.

განიხილება მაგალითების გადაწყვეტა, რომელშიც გამოყენებულია მიღებული ცოდნა. პირველ ამოცანაში თქვენ უნდა იპოვოთ ღირებულების მნიშვნელობები, tgt, ctgt, თუ ცნობილია sint=4/5 რიცხვის სინუსი და t ეკუთვნის π/2 ინტერვალს.< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

შემდეგ განვიხილავთ მსგავსი ამოცანის ამოხსნას, რომელშიც ცნობილია ტანგენსი tgt=-8/15 და არგუმენტი შემოიფარგლება 3π/2 მნიშვნელობებით.

სინუსის მნიშვნელობის საპოვნელად ვიყენებთ ტანგენტის tgt = sint / cost განმარტებას. მისგან ვხვდებით sint= tgt ღირებულება=(-8/15)(15/17)=-8/17. იმის ცოდნა, რომ კოტანგენსი არის ტანგენსის შებრუნებული ფუნქცია, ვპოულობთ ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

სკოლაში მათემატიკის გაკვეთილის ეფექტურობის ასამაღლებლად გამოიყენება ვიდეოგაკვეთილი „რიცხობრივი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები“. დისტანციური სწავლების მსვლელობისას ეს მასალა შეიძლება გამოვიყენოთ როგორც ვიზუალური დახმარება პრობლემის გადაჭრის უნარების ფორმირებისთვის, სადაც არის რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ამ უნარების შესაძენად, სტუდენტს შეიძლება ურჩიოს ვიზუალური მასალის დამოუკიდებლად განხილვა.

ტექსტის ინტერპრეტაცია:

გაკვეთილის თემაა „რიცხობრივი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები“.

ნებისმიერი რეალური რიცხვი t შეიძლება ასოცირებული იყოს ცალსახად განსაზღვრულ რიცხვთან cos t. ამისათვის თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ნაბიჯები:

1) კოორდინატთა სიბრტყეზე განათავსეთ რიცხვითი წრე ისე, რომ წრის ცენტრი ემთხვეოდეს კოორდინატების საწყისს და წრის საწყისი წერტილი A მოხვდეს წერტილში (1; 0);

2) იპოვნეთ წრეზე წერტილი, რომელიც შეესაბამება t რიცხვს;

3) იპოვეთ ამ წერტილის აბსციზა. ეს არის ღირებულება ტ.

მაშასადამე, ჩვენ ვისაუბრებთ s \u003d cos t ფუნქციაზე (es უდრის te-ის კოსინუსს), სადაც t არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ჩვენ უკვე გვაქვს გარკვეული წარმოდგენა ამ ფუნქციის შესახებ:

• ვისწავლეთ როგორ გამოვთვალოთ რამდენიმე მნიშვნელობა, მაგალითად, cos 0=1, cos = 0, cos = და ა.შ. სამი უდრის ერთ წამს და ასე შემდეგ).
• და რადგან სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები ურთიერთდაკავშირებულია, ჩვენ მივიღეთ წარმოდგენა კიდევ სამი ფუნქციის შესახებ: s= sint; s=tgt; s=ctgt. (es უდრის te-ს სინუსს, es უდრის te-ს ტანგენტს, es უდრის te-ს კოტანგენტს)

ყველა ამ ფუნქციას ეწოდება t რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებებიდან გამომდინარეობს რამდენიმე მიმართება:

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (სინუს კვადრატში te პლუს კოსინუს კვადრატში te უდრის ერთს)

2) tgt = t ≠ + πk, kϵZ

3) ctgt = t ≠ πk, kϵZ-ზე (te-ის კოტანგენსი ტოლია te-ს კოსინუსის შეფარდებას te-ს სინუსთან, როდესაც te არ არის ტოლი ka-ს პიკის, რომელიც ეკუთვნის z-ს).

4)tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ , kϵZ

ჩვენ ვამტკიცებთ კიდევ ორ მნიშვნელოვან ფორმულას:

ერთს პლუს ტე-ს ტანგენტის კვადრატი უდრის ერთის შეფარდებას ტე-ს კოსინუს კვადრატთან, როდესაც te არ არის პიის ტოლი ორი პლუს pi.

მტკიცებულება. გამოხატვის ერთეულს პლუს ტანგენტის კვადრატი te, ჩვენ შევამცირებთ საერთო მნიშვნელის კოსინუს კვადრატს te. მრიცხველში ვიღებთ ტე-სა და ტე-ს კოსინუსის კვადრატების ჯამს, რომელიც უდრის ერთს. და მნიშვნელი რჩება კოსინუსის კვადრატი ტე.

ერთიანობის ჯამი და ტე კოტანგენტის კვადრატი უდრის ერთობის შეფარდებას ტე-ს სინუს კვადრატთან, როცა te არ არის პიკის ტოლი.

მტკიცებულება. გამოთქმა ერთიანობა პლუს კოტანგენსი კვადრატში te, ანალოგიურად, ვამცირებთ საერთო მნიშვნელამდე და ვიყენებთ პირველ მიმართებას.

განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითი 1. იპოვეთ ღირებულება, tgt, ctgt თუ sint = და< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

გამოსავალი. პირველი მიმართებიდან ვპოულობთ კოსინუს კვადრატს te ტოლია ერთის გამოკლებული სინუს კვადრატი te: cos 2 t \u003d 1 - sin 2 t.

ასე რომ, cos 2 t = 1 -() 2 = (te-ის კვადრატის კოსინუსი უდრის ცხრა ოცდამეხუთედს), ანუ ღირებულება = (te-ის კოსინუსი უდრის სამ მეხუთედს) ან ღირებულება = - ( ტე-ს კოსინუსი უდრის მინუს სამ მეხუთედს). პირობით, არგუმენტი t ეკუთვნის მეორე კვარტალს და მასში არის t< 0 (косинус тэ отрицательный).

ასე რომ, კოსინუსი te უდრის მინუს სამ მეხუთედს, ღირებულება = - .

გამოთვალეთ ტანგენსი te:

tgt = = ׃ (-)= - ;(te-ს ტანგენსი ტოლია te-ს სინუსს ტე-ს კოსინუსთან შეფარდება, რაც ნიშნავს ოთხ მეხუთედს მინუს სამ მეხუთედს და უდრის მინუს ოთხ მესამედს)

შესაბამისად, ჩვენ ვიანგარიშებთ (ტე რიცხვის კოტანგენსი, ვინაიდან te-ის კოტანგენსი უდრის te-ის კოსინუსს ტე-ს სინუსთან შეფარდებას,) ctgt = = - .

(ტე-ს კოტანგენსი არის მინუს სამი მეოთხედი).

პასუხი: ღირებულება = - , tgt= - ; ctgt = - . (პასუხი შეივსება როგორც თქვენ გადაწყვეტთ)

მაგალითი 2. ცნობილია, რომ tgt = - და< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

გამოსავალი. ჩვენ ვიყენებთ ამ თანაფარდობას, ამ ფორმულის მნიშვნელობის ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

1 + (-) 2 \u003d (ერთი te-ის კოსინუს კვადრატზე უდრის ერთის ჯამს და კვადრატს გამოკლებული რვა მეთხუთმეტე). აქედან ვპოულობთ cos 2 t =

(ტე-ის კოსინუსის კვადრატი არის ორას ოცდახუთი ორას ოთხმოცდამეცხრე). ასე რომ ღირებულება = (კოსინუსი ტე უდრის თხუთმეტ მეჩვიდმეტეს) ან

ღირებულება =. პირობით, არგუმენტი t ეკუთვნის მეოთხე კვარტალს, სადაც ღირებულება>0. მაშასადამე, ღირებულება = .(cosenus te არის თხუთმეტი მეჩვიდმეტე)

იპოვეთ არგუმენტის მნიშვნელობა sinus te. ვინაიდან თანაფარდობიდან (აჩვენეთ თანაფარდობა tgt = at t ≠ + πk, kϵZ) te-ის სინუსი ტოლია te-ის ტანგენსის ნამრავლს te-ს კოსინუსზე, მაშინ ჩანაცვლება არგუმენტის te..ტანგენტის მნიშვნელობით. ტე-ს უდრის მინუს რვა მეთხუთმეტე .. პირობით, ხოლო ტე-ს კოსინუსი უდრის ადრე ამოხსნილს, მივიღებთ

sint = tgt ∙ ღირებულება = (-) ∙ = - , (ტე-ს სინუსი უდრის მინუს რვა მეჩვიდმეტეს)

ctgt == - . (რადგან ტე-ს კოტანგენსი არის ტანგენსის ორმხრივი, ეს ნიშნავს, რომ te-ის კოტანგენსი არის მინუს თხუთმეტი მეთვრამეტე)

რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიტფორმის ფუნქციებია წ= cos t,
წ= სინტი, წ= tg t, წ=ctgt.

ამ ფორმულების გამოყენებით, ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ცნობილი მნიშვნელობის საშუალებით, შეგიძლიათ იპოვოთ სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უცნობი მნიშვნელობები.

ახსნა-განმარტებები.

1) აიღეთ ფორმულა cos 2 t + sin 2 t = 1 და გამოიყენეთ იგი ახალი ფორმულის მისაღებად.

ამისათვის ჩვენ ვყოფთ ფორმულის ორივე ნაწილს cos 2 ტ-ზე (t ≠ 0-ისთვის, ანუ t ≠ π/2 + π კ). Ისე:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

პირველი წევრი უდრის 1-ს. ჩვენ ვიცით, რომ სინუსის შეფარდება კონისუსთან არის ტანგენსი, რაც ნიშნავს, რომ მეორე წევრი ტოლია tg 2 t. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ახალ (და თქვენთვის უკვე ცნობილ) ფორმულას:

2) ახლა ჩვენ ვყოფთ cos 2 t + sin 2 t = 1 sin 2 t-ზე (t ≠ π კ):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, სადაც t ≠ π კ + π კ, კ- მთელი რიცხვი
ცოდვა 2 თ ცოდვა 2 ტ ცოდვა 2 ტ

კოსინუსის შეფარდება სინუსთან არის კოტანგენსი. ნიშნავს:

მათემატიკის ელემენტარული საფუძვლების ცოდნა და ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულების შესწავლის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გამოიღოთ სხვა ტრიგონომეტრიული იდენტობების უმეტესობა დამოუკიდებლად. და ეს კიდევ უკეთესია, ვიდრე უბრალოდ მათი დამახსოვრება: ის, რაც ზეპირად ისწავლა, სწრაფად ივიწყება და რაც გაიგო, დიდხანს ახსოვს, თუ არა სამუდამოდ. მაგალითად, არ არის აუცილებელი დაიმახსოვროთ რა არის ერთის ჯამი და ტანგენსის კვადრატი. დავიწყებული - ადვილად დაიმახსოვრებთ, თუ იცით უმარტივესი რამ: ტანგენტი არის სინუსისა და კოსინუსების შეფარდება. გარდა ამისა, გამოიყენეთ მარტივი წესი სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად - და მიიღეთ შედეგი:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

ისეთივე ადვილია ერთიანობის ჯამის და კოტანგენტის კვადრატის, ისევე როგორც მრავალი სხვა იდენტობის პოვნა.

კუთხოვანი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

ფუნქციებშიზე = cosტ, ზე = ცოდვატ, ზე = ტგტ, ზე = ctgტცვლადიt შეიძლება იყოს მეტი, ვიდრე უბრალოდ რიცხვითი არგუმენტი. ის ასევე შეიძლება ჩაითვალოს კუთხის საზომად - ანუ კუთხური არგუმენტი.

რიცხვითი წრის და კოორდინატთა სისტემის დახმარებით შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ნებისმიერი კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი. ამისთვის ორი მნიშვნელოვანი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს:
1) კუთხის წვერო უნდა იყოს წრის ცენტრი, რომელიც ასევე არის კოორდინატთა ღერძის ცენტრი;

2) კუთხის ერთ-ერთი მხარე უნდა იყოს დადებითი ღერძის სხივი x.

ამ შემთხვევაში, იმ წერტილის ორდინატი, რომელზეც წრე და კუთხის მეორე გვერდი იკვეთება, არის ამ კუთხის სინუსი, ხოლო ამ წერტილის აბსცისა არის მოცემული კუთხის კოსინუსი.

ახსნა. დავხატოთ კუთხე, რომლის ერთი მხარე არის ღერძის დადებითი სხივი x, ხოლო მეორე მხარე გამოდის კოორდინატთა ღერძის საწყისიდან (და წრის ცენტრიდან) 30º კუთხით (იხ. სურათი). მაშინ მეორე მხარის წრესთან გადაკვეთის წერტილი შეესაბამება π/6. ჩვენ ვიცით ამ პუნქტის ორდინატი და აბსციზა. ისინი ჩვენი კუთხის კოსინუსი და სინუსია:

√3 1
--; --
2 2

კუთხის სინუსისა და კოსინუსის ცოდნით, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი ტანგენსი და კოტანგენსი.

ამრიგად, რიცხვითი წრე, რომელიც მდებარეობს კოორდინატთა სისტემაში, არის მოსახერხებელი გზა კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის ან კოტანგენსის მოსაძებნად.

მაგრამ არსებობს უფრო მარტივი გზა. შესაძლებელია არ დავხატოთ წრე და კოორდინატთა სისტემა. შეგიძლიათ გამოიყენოთ მარტივი და მოსახერხებელი ფორმულები:

მაგალითი: იპოვეთ 60º ტოლი კუთხის სინუსი და კოსინუსი.

გამოსავალი:

π 60 π √3
ცოდვა 60º = ცოდვა --- = ცოდვა -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

ახსნა: ჩვენ გავარკვიეთ, რომ 60º კუთხის სინუსი და კოსინუსი შეესაბამება π / 3 წრის წერტილის მნიშვნელობებს. გარდა ამისა, ჩვენ უბრალოდ ვპოულობთ ამ წერტილის მნიშვნელობებს ცხრილში - და ამით ვხსნით ჩვენს მაგალითს. რიცხვითი წრის ძირითადი წერტილების სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილი მოცემულია წინა განყოფილებაში და "ცხრილების" გვერდზე.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „რიცხობრივი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, განსაზღვრება, იდენტობები“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები. ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-10 კლასისთვის
ალგებრული ამოცანები პარამეტრებთან, 9–11 კლასები
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"

რას შევისწავლით:
1. რიცხვითი არგუმენტის განმარტება.
2. ძირითადი ფორმულები.
3. ტრიგონომეტრიული იდენტობები.
4. მაგალითები და ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის განსაზღვრა

ბიჭებო, ჩვენ ვიცით რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.
ვნახოთ, შესაძლებელია თუ არა სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების პოვნა ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობებით?
განვსაზღვროთ რიცხვითი ელემენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, როგორც: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.

გავიხსენოთ ძირითადი ფორმულები:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. სხვათა შორის, რა ჰქვია ამ ფორმულას?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, $t≠\frac(π)(2)+πk$-ისთვის.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, $t≠πk$-ისთვის.

მოდით გამოვიტანოთ ახალი ფორმულები.

ტრიგონომეტრიული იდენტობები

ჩვენ ვიცით ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
ბიჭებო, მოდით გავყოთ იდენტობის ორივე მხარე $cos^2(t)$-ზე.
ვიღებთ: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (ტ)) დოლარი.
გადავცვალოთ: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
ჩვენ ვიღებთ იდენტურობას: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, $t≠\frac(π)(2)+πk$.

ახლა ჩვენ ვყოფთ იდენტობის ორივე მხარეს $sin^2(t)$-ზე.
ვიღებთ: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (ტ)) დოლარი.
მოდით გარდავქმნათ: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
ჩვენ ვიღებთ ახალ იდენტობას, რომლის დამახსოვრებაც ღირს:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, $t≠πk$-ისთვის.

ჩვენ მოვახერხეთ ორი ახალი ფორმულის მიღება. დაიმახსოვრე ისინი.
ეს ფორმულები გამოიყენება, თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ზოგიერთი ცნობილი მნიშვნელობით საჭიროა სხვა ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა.

რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მაგალითების ამოხსნა

მაგალითი 1

$cos(t) =\frac(5)(7)$, იპოვე $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ ყველა t.

გამოსავალი:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
შემდეგ $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

მაგალითი 2

$tg(t) = \frac(5)(12)$, იპოვე $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, ყველა $0-ისთვის

გამოსავალი:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
შემდეგ $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
ჩვენ ვიღებთ $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
შემდეგ $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, მაგრამ $0 კოსინუსი პირველ კვადრატში დადებითია. შემდეგ $cos(t)=\frac(12)(13)$.
ვიღებთ: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, იპოვე $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, ყველა $\frac(π)(2) 2. $сtg(t) =\frac(3)(4)$, იპოვე $sin(t)$; $cos(t)$; $tg(t)$, ყველა $π 3. $sin(t) = \frac(5)(7)$, იპოვეთ $cos(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ ყველა $t$-ისთვის.
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, იპოვე $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ ყველა $t$-ისთვის.

ამ გაკვეთილზე გავეცნობით რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს. ჯერ გავიხსენოთ ფუნქციის განმარტება ზოგადად და რიცხვთა წრეზე. შემდეგი, გაიხსენეთ რა არის სინუსების ხაზი, კოსინუსების ხაზი, ტანგენტების ხაზი და კოტანგენტების ხაზი. ჩვენ ვიღებთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის ფორმულას და სხვა ძირითად ფორმულებს, რომლებიც აკავშირებენ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ერთმანეთთან. შემდეგ განვიხილავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ზოგიერთ თვისებას: ფუნქციების ნიშნებს მეოთხედებში და ლუწი და კენტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებებს.

თემა: ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

გაკვეთილი: რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

1. გაკვეთილის თემა, შესავალი

ჩვენ განვიხილავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

2. შეხსენება: ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრა

ნებისმიერი ფუნქცია არის კანონი, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება დამოკიდებული ცვლადის ერთ მნიშვნელობას - ფუნქციას.

ჩვენ დავაყენეთ რიცხვი, რომელიც შეესაბამება მას მიუთითეთ წრეზეორი კოორდინატით - წერტილი (სურ. 1).

სეგმენტს x ღერძზე -1-დან 1-მდე ეწოდება კოსინუსების წრფე.

y ღერძზე სეგმენტს -1-დან 1-მდე ეწოდება სინუსების წრფე.

აქედან მიჰყევით სინუსის და კოსინუსის თვისებებს:

ტანგენტების ხაზი პარალელურია y ღერძისა და გადის წერტილში

ხაზი კოტანგენტებიარის x ღერძის პარალელურად და გადის წერტილში

3. ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულები

განვიხილოთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები.

წრის ერთეული განტოლება.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა.

ურთიერთობა ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის.

მოდით გამოვიტანოთ ფორმულა, რომელიც ეხება ტანგენტსა და კოსინუსს.

მსგავსი ფორმულა არსებობს კოტანგენტისა და სინუსისთვის.

4. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პარიტეტი

ჩვენ ვსწავლობთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს პარიტეტისათვის.

ფუნქცია უცნაურია.

ფუნქცია თანაბარია.

მოდით ილუსტრირებათ ეს თვისებები რიცხვით წრეზე:

მაგალითი 1. იპოვე

გამოსავალი (ნახ. 2).

მოდით დავამტკიცოთ მსგავსი თვისებები ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის:

ტანგენტი კენტი ფუნქციაა.

დაამტკიცეთ თავი.

5. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნები მეოთხედებში

განვიხილოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნები მეოთხედებში:

სინუსის და კოსინუსის ნიშნები (სურ. 3).

თუმცა ამ ფიგურების გარეშე შესაძლებელია სინუსისა და კოსინუსის ნიშნების დადგენა.

მაგალითად, თქვენ უნდა განსაზღვროთ ნიშანი.ვადგენთ რომელ კვარტალში მდებარეობს კუთხე მეორეში. სინუსი არის პროექცია y-ღერძზე, მეორე კვადრატში, რაც ნიშნავს

კოსინუსების მსგავსად. განვსაზღვროთ ნიშანი კუთხე არის მესამე მეოთხედში, კოსინუსი არის პროექცია x-ღერძზე, მესამე მეოთხედში, ასე რომ.

ტანგენტისა და კოტანგენტის ნიშნები (სურ. 4).

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ ფუნქციების ნიშნები სხვადასხვა კვარტალში ტანგენტებისა და კოტანგენტების ხაზის გასწვრივ. მაგალითად, აიღეთ კუთხე, რომელიც მდებარეობს მესამე მეოთხედში. დახაზეთ სწორი ხაზი წრეზე ამ კუთხის და საწყისის შესაბამისი წერტილის გავლით, სანამ ის არ გადაიკვეთება ტანგენტის ღერძთან. ტანგენტის მნიშვნელობა ასეთი კუთხისთვის, ისევე როგორც პირველი მეოთხედის კუთხისთვის, დადებითი იქნება. ანალოგიურად, მეორე და მეოთხე მეოთხედის კუთხეებისთვის ტანგენსი უარყოფითი იქნება (ნახ. 5).

6. დასკვნა, დასკვნა

ჩვენ განვიხილეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, გავიხსენეთ მათი განმარტებები, გავიხსენეთ, რომ ისინი აკმაყოფილებენ უნიკალურობის მოთხოვნებს და მივიღეთ ძირითადი იდენტობები და თვისებები. შემდეგ გაკვეთილზე გადავწყვეტთ რიგ პრობლემას.

ბიბლიოგრაფია

1. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის (პროფილის დონე), რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2009 წ.

2. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). დავალების წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე), რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2007 წ.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზი 10 კლასისთვის (სახელმძღვანელო სკოლებისა და კლასების სტუდენტებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით). - M .: განათლება, 1996 წ.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. ალგებრის ღრმა შესწავლა და მათემატიკური ანალიზი.-M.: განათლება, 1997 წ.

5. მათემატიკაში დავალებების კრებული ტექნიკური უნივერსიტეტების აპლიკანტებისთვის (მ.ი.სკანავის რედაქტორობით).-მ.: უმაღლესი სკოლა, 1992 წ.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. ალგებრული სიმულატორი.-K.: A. S. K., 1997 წ.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. ამოცანები ალგებრაში და ანალიზის დასაწყისი (სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასების სტუდენტებისთვის). - M .: განათლება, 2003 წ.

8. A. P. Karp, ამოცანების კრებული ალგებრაში და ანალიზის პრინციპები: პროკ. შემწეობა 10-11 უჯრედისთვის. ღრმასთან ერთად სწავლა მათემატიკა.-მ.: განათლება, 2006 წ.

Საშინაო დავალება

ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). დავალების წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე), რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2007 წ.

№№ 14.1 - 14.5, 14.8.

დამატებითი ვებ რესურსები

1. მათემატიკა.

2. ინტერნეტპორტალის პრობლემები. ru.

3. საგანმანათლებლო პორტალი გამოცდის მომზადებისთვის.

როგორიც არ უნდა იყოს აღებული რეალური რიცხვი t, მას შეიძლება მიენიჭოს ცალსახად განსაზღვრული რიცხვი sin t. მართალია, კორესპონდენციის წესი საკმაოდ რთულია; როგორც ზემოთ ვნახეთ, ის შედგება შემდეგში.

sin t-ის მნიშვნელობის საპოვნელად t რიცხვით დაგჭირდებათ:

1) მოათავსეთ რიცხვითი წრე კოორდინატულ სიბრტყეში ისე, რომ წრის ცენტრი ემთხვეოდეს კოორდინატების საწყისს და წრის საწყისი წერტილი A მოხვდეს წერტილში (1; 0);

2) t რიცხვის შესაბამისი წერტილის პოვნა წრეზე;

3) იპოვეთ ამ პუნქტის ორდინატი.

ეს ორდინატი არის ცოდვა თ.

სინამდვილეში, ჩვენ ვსაუბრობთ ფუნქციაზე u = sin t, სადაც t არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

ყველა ეს ფუნქცია ე.წ თ რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

Იქ არის მთელი ხაზიურთიერთობები, რომლებიც დაკავშირებულია სხვადასხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებთან, ჩვენ უკვე მივიღეთ ამ კავშირებიდან რამდენიმე:

sin 2 t + cos 2 t = 1

ბოლო ორი ფორმულიდან ადვილია tg t და ctg t დამაკავშირებელი მიმართების მიღება:

ყველა ეს ფორმულა გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობის ცოდნა, საჭიროა დარჩენილი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლა.

ტერმინები "სინუსი", "კოსინუსი", "ტანგენსი" და "კოტანგენსი" ფაქტობრივად ნაცნობი იყო, თუმცა, ისინი მაინც გამოიყენებოდა ოდნავ განსხვავებული ინტერპრეტაციით: გეომეტრიასა და ფიზიკაში ისინი განიხილავდნენ სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს. გ ლ ა(მაგრამ არა

ნომრები, როგორც ეს იყო წინა აბზაცებში).

გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ მახვილი კუთხის სინუსი (კოსინუსი) არის მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის თანაფარდობა მის ჰიპოტენუზასთან, ხოლო კუთხის ტანგენსი (კოტანგენსი) არის მართკუთხა სამკუთხედის ფეხების თანაფარდობა. წინა აბზაცებში განვითარდა განსხვავებული მიდგომა სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის ცნებების მიმართ. სინამდვილეში, ეს მიდგომები ურთიერთდაკავშირებულია.

ავიღოთ კუთხე b o გრადუსის საზომით და მოვაწყოთ მოდელი „რიცხვითი წრე ოთხკუთხა კოორდინატულ სისტემაში“, როგორც ნაჩვენებია ნახ. თოთხმეტი

კუთხის ზედა თავსებადი ცენტრთან

წრეები (კოორდინატთა სისტემის წარმოშობით),

და კუთხის ერთი მხარე თავსებადია

x-ღერძის დადებითი სხივი. წერტილი

კუთხის მეორე მხარის გადაკვეთა

წრე აღინიშნება ასო M. Ordina-

ნახაზი 14 b o და ამ წერტილის აბსციზა არის b o კუთხის კოსინუსი.

b o კუთხის სინუსის ან კოსინუსის საპოვნელად სულაც არ არის საჭირო ყოველ ჯერზე ამ ძალიან რთული კონსტრუქციების გაკეთება.

საკმარისია აღინიშნოს, რომ რკალი AM არის რიცხვითი წრის სიგრძის იგივე ნაწილი, როგორც კუთხე b o არის 360° კუთხიდან. თუ AM რკალის სიგრძე აღინიშნება t ასოთი, მაშინ მივიღებთ:

Ამგვარად,

Მაგალითად,

ითვლება, რომ 30 ° არის კუთხის გრადუსიანი ზომა და არის იგივე კუთხის რადიანის ზომა: 30 ° = რად. ზოგადად:

კერძოდ, მიხარია, საიდან ვიღებთ, თავის მხრივ.

რა არის 1 რადიანი? არსებობს სეგმენტების სიგრძის სხვადასხვა საზომი: სანტიმეტრი, მეტრი, ეზოები და ა.შ. ასევე არსებობს სხვადასხვა ზომები კუთხეების სიდიდის აღსანიშნავად. განვიხილავთ ერთეული წრის ცენტრალურ კუთხეებს. 1° კუთხე არის ცენტრალური კუთხე, რომელიც დაფუძნებულია რკალზე, რომელიც წრის ნაწილია. 1 რადიანის კუთხე არის ცენტრალური კუთხე, რომელიც დაფუძნებულია 1 სიგრძის რკალზე, ე.ი. რკალზე, რომლის სიგრძე წრის რადიუსის ტოლია. ფორმულიდან ვიღებთ, რომ 1 რად \u003d 57.3 °.

ფუნქციის u = sin t (ან ნებისმიერი სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის) გათვალისწინებით, შეგვიძლია დამოუკიდებელი ცვლადი t განვიხილოთ, როგორც რიცხვითი არგუმენტი, როგორც ეს იყო წინა აბზაცებში, მაგრამ ეს ცვლადი ასევე შეგვიძლია მივიჩნიოთ კუთხის საზომად. ე.ი. კუთხოვანი არგუმენტი. მაშასადამე, ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე საუბრისას, გარკვეული გაგებით გულგრილია მისი მიჩნევა რიცხვითი ან კუთხური არგუმენტის ფუნქციად.