ჰიპერბოლის ზოგადი ხედი. ჰიპერბოლა და მისი კანონიკური განტოლება

Კლასი 10 . მეორე რიგის მრუდები.

10.1. ელიფსი. კანონიკური განტოლება. ნახევარი ლილვები, ექსცენტრიულობა, გრაფიკი.

10.2. ჰიპერბოლა. კანონიკური განტოლება. ნახევარღერძები, ექსცენტრიულობა, ასიმპტოტები, გრაფიკი.

10.3. პარაბოლა. კანონიკური განტოლება. პარაბოლის პარამეტრი, გრაფიკი.

სიბრტყეში მეორე რიგის მოსახვევებს ეწოდება ხაზები, რომელთა იმპლიციურ დაზუსტებას აქვს ფორმა:

სადაც
- მოცემულია რეალური რიცხვები,
- მრუდის წერტილების კოორდინატები. მეორე რიგის მრუდებს შორის ყველაზე მნიშვნელოვანი ხაზებია ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა.

10.1. ელიფსი. კანონიკური განტოლება. ნახევარი ლილვები, ექსცენტრიულობა, გრაფიკი.

ელიფსის განმარტება.ელიფსი არის სიბრტყე მრუდი, რომლის ჯამია ორი ფიქსირებული წერტილიდან
თვითმფრინავი ნებისმიერ წერტილში

(იმ.). ქულები
ელიფსის კერებს უწოდებენ.

ელიფსის კანონიკური განტოლება:
. (2)

(ან ღერძი
) გადის კერებში
, და წარმოშობა არის წერტილი - მდებარეობს სეგმენტის ცენტრში
(ნახ. 1). ელიფსი (2) სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძებისა და საწყისის მიმართ (ელიფსის ცენტრი). Მუდმივი
,
დაურეკა ელიფსის ნახევრად ღერძი.

თუ ელიფსი მოცემულია (2) განტოლებით, მაშინ ელიფსის ფოკუსები გვხვდება შემდეგნაირად.

1) პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ სად დევს კერები: კერები დევს კოორდინატთა ღერძზე, რომელზეც განლაგებულია ძირითადი ნახევარღერძები.

2) შემდეგ გამოითვლება ფოკუსური მანძილი (მანძილი კერებიდან წარმოშობამდე).

ზე
ფოკუსი დევს ღერძზე
;
;
.

ექსცენტრიულობაელიფსს ეწოდება მნიშვნელობა: (ზე
);(ზე
).

Ellipse ყოველთვის აქვს
. ექსცენტრიულობა ელიფსის შეკუმშვის მახასიათებელია.

თუ ელიფსი (2) გადაადგილდება ისე, რომ ელიფსის ცენტრი იყოს წერტილში

,
, მაშინ მიღებული ელიფსის განტოლებას აქვს ფორმა

ჰიპერბოლის განმარტება.ჰიპერბოლა არის სიბრტყე მრუდი, რომელშიც ორი ფიქსირებული წერტილიდან მანძილების სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობაა
თვითმფრინავი ნებისმიერ წერტილში
ეს მრუდი წერტილისგან დამოუკიდებელი მუდმივია
(იმ.). ქულები
ჰიპერბოლის კერებს უწოდებენ.

ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება:
ან
. (3)

ასეთი განტოლება მიიღება თუ კოორდინატთა ღერძი
(ან ღერძი
) გადის კერებში
, და წარმოშობა არის წერტილი - მდებარეობს სეგმენტის ცენტრში
. ჰიპერბოლები (3) სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძებისა და საწყისის მიმართ. Მუდმივი
,
დაურეკა ჰიპერბოლის ნახევარღერძები.

ჰიპერბოლის კერები გვხვდება შემდეგნაირად.

ჰიპერბოლაზე
ფოკუსი დევს ღერძზე
:
(ნახ. 2.ა).

ჰიპერბოლაზე
ფოკუსი დევს ღერძზე
:
(ნახ. 2.ბ)

Აქ - ფოკუსური მანძილი (მანძილი კერებიდან საწყისამდე). იგი გამოითვლება ფორმულით:
.

ექსცენტრიულობაჰიპერბოლას ეწოდება მნიშვნელობა:

(ამისთვის
);(ამისთვის
).

ჰიპერბოლა ყოველთვის აქვს
.

ჰიპერბოლების ასიმპტოტები(3) არის ორი სწორი ხაზი:
. ჰიპერბოლის ორივე განშტოება ასიმპტოტებს განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება როგორც .

ჰიპერბოლის გრაფიკის აგება უნდა განხორციელდეს შემდეგნაირად: პირველი, ნახევარღერძების გასწვრივ
ვაშენებთ დამხმარე მართკუთხედს კოორდინატთა ღერძების პარალელურად გვერდებით; შემდეგ ამ მართკუთხედის საპირისპირო წვეროებზე ვხაზავთ სწორ ხაზებს, ეს არის ჰიპერბოლის ასიმპტოტები; ბოლოს გამოვსახავთ ჰიპერბოლის ტოტებს, ისინი ეხებიან დამხმარე მართკუთხედის შესაბამისი გვერდების შუა წერტილებს და უახლოვდებიან ზრდას. ასიმპტოტებამდე (სურ. 2).

თუ ჰიპერბოლები (3) გადაადგილდებიან ისე, რომ მათი ცენტრი მოხვდება წერტილზე
, ხოლო ნახევარღერძები ღერძების პარალელურად დარჩება
,
, მაშინ მიღებული ჰიპერბოლების განტოლება შეიძლება დაიწეროს ფორმით

,
.

10.3. პარაბოლა. კანონიკური განტოლება. პარაბოლის პარამეტრი, გრაფიკი.

პარაბოლას განმარტება.პარაბოლა არის სიბრტყე მრუდი, რომელშიც არის ნებისმიერი წერტილი
ეს მრუდი არის მანძილი
ფიქსირებულ წერტილამდე სიბრტყე (ე.წ. პარაბოლის ფოკუსი) უდრის მანძილს
თვითმფრინავის ფიქსირებულ ხაზამდე(ე.წ. პარაბოლის მიმართულება) .

პარაბოლის კანონიკური განტოლება:
, (4)

სადაც არის მუდმივი ე.წ პარამეტრიპარაბოლები.

Წერტილი
პარაბოლას (4) ეწოდება პარაბოლის წვერო. ღერძი
არის სიმეტრიის ღერძი. პარაბოლის (4) ფოკუსი არის წერტილში
, მიმართულების განტოლება
. პარაბოლას ნაკვეთები (4) მნიშვნელობებით
და
ნაჩვენებია ნახ. 3.a და 3.b, შესაბამისად.

განტოლება
ასევე განსაზღვრავს პარაბოლას სიბრტყეში
, რომელსაც პარაბოლასთან შედარებით (4) აქვს ცულები
,
შეცვალეს ადგილები.

თუ პარაბოლა (4) გადაადგილდება ისე, რომ მისი წვერო მოხვდება წერტილში
, ხოლო სიმეტრიის ღერძი ღერძის პარალელურად დარჩება
, მაშინ მიღებული პარაბოლის განტოლებას აქვს ფორმა

მოდით გადავიდეთ მაგალითებზე.

მაგალითი 1. მეორე რიგის მრუდი მოცემულია განტოლებით
. მიეცით სახელი ამ მრუდს. იპოვეთ მისი კერები და ექსცენტრიულობა. დახაზეთ მრუდი და მისი კერები სიბრტყეში
.

გადაწყვეტილება. ეს მრუდი არის ელიფსი, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე
და ღერძების ლილვები
. ამის მარტივად დამოწმება შესაძლებელია ჩანაცვლებით
. ეს ტრანსფორმაცია ნიშნავს გადაადგილებას მოცემული დეკარტის კოორდინატთა სისტემიდან
ახალ დეკარტის კოორდინატთა სისტემას
, რომლის ცულები
ცულების პარალელურად
,
. ამ კოორდინატთა ტრანსფორმაციას სისტემის ცვლა ეწოდება.
ზუსტად . ახალ კოორდინატთა სისტემაში
მრუდის განტოლება გარდაიქმნება ელიფსის კანონიკურ განტოლებაში
, მისი გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 4.

მოდი ვიპოვოთ ხრიკები.
, ასე რომ ხრიკები
ღერძზე მდებარე ელიფსი
.. კოორდინატთა სისტემაში
:
. იმიტომ რომ
, ძველ კოორდინატულ სისტემაში
ფოკუსებს აქვთ კოორდინატები.

მაგალითი 2. მიეცით მეორე რიგის მრუდის სახელი და მიეცით მისი გრაფიკი.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატებს ცვლადების შემცველი ტერმინებით და .

ახლა მრუდის განტოლება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

მაშასადამე, მოცემული მრუდი არის ელიფსი, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე
და ღერძების ლილვები
. მიღებული ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დავხატოთ მისი გრაფიკი.

მაგალითი 3. დაასახელეთ სახელი და დახაზეთ ხაზოვანი დიაგრამა
.

გადაწყვეტილება. . ეს არის წერტილზე ორიენტირებული ელიფსის კანონიკური განტოლება
და ღერძების ლილვები
.

Იმდენად, რამდენადაც,
, ვასკვნით: მოცემული განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეზე
ელიფსის ქვედა ნახევარი (სურ. 5).

მაგალითი 4. მიეცით მეორე რიგის მრუდის სახელი
. იპოვნეთ მისი ხრიკები, ექსცენტრიულობა. მიეცით ამ მრუდის გრაფიკი.

- ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება ნახევარღერძებით
.

ფოკუსური მანძილი.

მინუს ნიშანი არის ტერმინის წინ with , ასე რომ ხრიკები
ღერძზე დევს ჰიპერბოლები
:. ჰიპერბოლის ტოტები განლაგებულია ღერძის ზემოთ და ქვემოთ
.

არის ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა.

ჰიპერბოლის ასიმპტოტები: .

ამ ჰიპერბოლის გრაფიკის აგება ხორციელდება ზემოაღნიშნული პროცედურის მიხედვით: ვაშენებთ დამხმარე ოთხკუთხედს, ვხატავთ ჰიპერბოლის ასიმპტოტებს, ვხატავთ ჰიპერბოლის ტოტებს (იხ. სურ. 2.ბ).

მაგალითი 5. გაარკვიეთ განტოლებით მოცემული მრუდის ფორმა
და შეადგინე იგი.

- ჰიპერბოლა ორიენტირებულია წერტილზე
და ნახევარი ლილვები.

იმიტომ რომ , დავასკვნათ: მოცემული განტოლება განსაზღვრავს ჰიპერბოლის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს წრფის მარჯვნივ.
. უმჯობესია დახატოთ ჰიპერბოლა დამხმარე კოორდინატულ სისტემაში
მიღებული კოორდინატთა სისტემიდან
ცვლა
და შემდეგ სქელი ხაზით აირჩიეთ ჰიპერბოლის სასურველი ნაწილი

მაგალითი 6. გაარკვიეთ მრუდის ტიპი და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

გადაწყვეტილება. აირჩიეთ სრული კვადრატი ცვლადის ტერმინებით :

გადავიწეროთ მრუდის განტოლება.

ეს არის პარაბოლის განტოლება წერტილში წვეროსთან
. ცვლის გარდაქმნით პარაბოლის განტოლება მცირდება კანონიკურ ფორმამდე
, საიდანაც ჩანს, რომ პარაბოლის პარამეტრია. ფოკუსირება პარაბოლები სისტემაში
აქვს კოორდინატები
, და სისტემაში
(ცვლის ტრანსფორმაციის მიხედვით). პარაბოლის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 7.

Საშინაო დავალება.

1. დახაზეთ ელიფსები, რომლებიც მოცემულია განტოლებებით:
იპოვეთ მათი ნახევარღერძი, ფოკუსური მანძილი, ექსცენტრიულობა და მიუთითეთ ელიფსის გრაფიკებზე მათი კერების მდებარეობა.

2. დახაზეთ ჰიპერბოლები, რომლებიც მოცემულია განტოლებებით:
იპოვეთ მათი ნახევრადღერძები, ფოკუსური მანძილი, ექსცენტრიულობა და მიუთითეთ ჰიპერბოლების გრაფიკებზე მათი კერების მდებარეობა. დაწერეთ მოცემული ჰიპერბოლების ასიმპტოტების განტოლებები.

3. დახაზეთ ტოლობებით მოცემული პარაბოლები:
. იპოვეთ მათი პარამეტრი, ფოკუსური მანძილი და მიუთითეთ ფოკუსის მდებარეობა პარაბოლის გრაფიკებზე.

4. განტოლება
განსაზღვრავს მე-2 რიგის მრუდის ნაწილს. იპოვეთ ამ მრუდის კანონიკური განტოლება, ჩაწერეთ მისი სახელი, შექმენით მისი გრაფიკი და მონიშნეთ მრუდის ის ნაწილი, რომელიც შეესაბამება თავდაპირველ განტოლებას.

ჰიპერბოლა არის წერტილების ლოკუსი სიბრტყეში, რომელთაგან დაშორების სხვაობის მოდული თითოეულიდან ორ მოცემულ წერტილამდე F_1 და F_2 არის მუდმივი მნიშვნელობა (2a), ნაკლებია ვიდრე მანძილი (2c) მოცემულ წერტილებს შორის (ნახ. 3.40, ა). ეს გეომეტრიული განსაზღვრება გამოხატავს ჰიპერბოლის ფოკუსური თვისება.

ჰიპერბოლის ფოკუსური თვისება

წერტილებს F_1 და F_2 ეწოდება ჰიპერბოლის კერები, მათ შორის მანძილი 2c=F_1F_2 არის ფოკუსური მანძილი, F_1F_2 სეგმენტის შუა წერტილი არის ჰიპერბოლის ცენტრი, რიცხვი 2a არის რეალური ღერძის სიგრძე. ჰიპერბოლა (შესაბამისად, a არის ჰიპერბოლის რეალური ნახევრადღერძი). ჰიპერბოლის თვითნებური M წერტილის მის კერებთან დამაკავშირებელ F_1M და F_2M სეგმენტებს M წერტილის კეროვანი რადიუსი ეწოდება. ხაზის სეგმენტს, რომელიც აკავშირებს ჰიპერბოლის ორ წერტილს, ეწოდება ჰიპერბოლის აკორდი.

მიმართება e=\frac(c)(a) , სადაც c=\sqrt(a^2+b^2) , ე.წ. ჰიპერბოლური ექსცენტრიულობა. განმარტებიდან (2a<2c) следует, что e>1 .

ჰიპერბოლის გეომეტრიული განმარტება, რომელიც გამოხატავს მის ფოკუსურ თვისებას, უდრის მის ანალიტიკურ განმარტებას - ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლებით მოცემული ხაზი:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.

მართლაც, შემოვიღოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა (ნახ. 3.40, ბ). კოორდინატთა სისტემის საწყისად ჰიპერბოლის O ცენტრს ვიღებთ; ფოკუსში გამავალ სწორ ხაზს (ფოკალური ღერძი), ავიღებთ აბსცისის ღერძად (მასზე დადებით მიმართულებას F_1 წერტილიდან F_2 წერტილამდე); აბსცისის ღერძზე პერპენდიკულარული და ჰიპერბოლის ცენტრში გამავალი სწორი ხაზი მიიღება ორდინატთა ღერძად (მიმართულება ორდინატთა ღერძზე არჩეულია ისე, რომ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy სწორია).

მოდით დავწეროთ ჰიპერბოლის განტოლება კეროვანი თვისების გამომხატველი გეომეტრიული განსაზღვრების გამოყენებით. შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში ვადგენთ F_1(-c,0) და F_2(c,0) კერების კოორდინატებს. თვითნებური M(x,y) წერტილისთვის, რომელიც ეკუთვნის ჰიპერბოლას, გვაქვს:

\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.

ამ განტოლების კოორდინატის სახით ჩაწერისას მივიღებთ:

\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.

ელიფსის განტოლების წარმოქმნისას გამოყენებული გარდაქმნების შესრულებით (ანუ ირაციონალურობისგან თავის დაღწევა), მივდივართ ჰიპერბოლის კანონიკურ განტოლებამდე:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,

სადაც b=\sqrt(c^2-a^2) , ე.ი. არჩეული კოორდინატთა სისტემა კანონიკურია.

უკუღმა მსჯელობით შეიძლება აჩვენოს, რომ ყველა წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (3.50) და მხოლოდ ისინი მიეკუთვნება წერტილების ადგილს, რომელსაც ჰიპერბოლა ეწოდება. ამრიგად, ჰიპერბოლის ანალიტიკური განმარტება მისი გეომეტრიული განმარტების ექვივალენტურია.

დირექტორია ჰიპერბოლის თვისება

ჰიპერბოლის მიმართულებებს ეწოდება ორი სწორი ხაზი, რომელიც გადის კანონიკური კოორდინატთა სისტემის y ღერძის პარალელურად იმავე მანძილზე. a^2\!\!\not(\phantom(|))\,cმისგან (სურ. 3.41, ა). a=0-სთვის, როდესაც ჰიპერბოლა გადაგვარდება გადამკვეთ ხაზებად, მიმართულებები ემთხვევა ერთმანეთს.

ჰიპერბოლა ექსცენტრიულობით e=1 შეიძლება განისაზღვროს, როგორც სიბრტყის წერტილების ლოკუსი, რომელთაგან თითოეულისთვის მანძილის თანაფარდობა მოცემულ წერტილამდე F (ფოკუსი) მანძილს მოცემულ სწორ წრამდე d (მიმართულები) მოცემულ წერტილში არ გავლილი არის მუდმივი და ტოლია ექსცენტრიულობის e ( დირექტორია ჰიპერბოლის საკუთრება). აქ F და d არის ჰიპერბოლის ერთ-ერთი კერა და მისი ერთ-ერთი მიმართულება, რომელიც მდებარეობს კანონიკური კოორდინატთა სისტემის y ღერძის ერთსა და იმავე მხარეს.

მართლაც, მაგალითად, ფოკუსისთვის F_2 და მიმართულებისთვის d_2 (ნახ. 3.41, ა) მდგომარეობა \frac(r_2)(\rho_2)=eშეიძლება ჩაიწეროს კოორდინატის სახით:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\მარჯვნივ)

ირაციონალურობისგან თავის დაღწევა და ჩანაცვლება e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, მივდივართ ჰიპერბოლის კანონიკურ განტოლებამდე (3.50). მსგავსი მსჯელობა შეიძლება განხორციელდეს ფოკუსისთვის F_1 და d_1 მიმართულებისთვის:

\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \მარჯვნივ ).

ჰიპერბოლის განტოლება პოლარულ კოორდინატებში

ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტის განტოლებას პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში F_2r\varphi (ნახ. 3.41, ბ) აქვს ფორმა.

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), სადაც p=\frac(p^2)(a) - ჰიპერბოლის ფოკალური პარამეტრი.

მართლაც, ავირჩიოთ ჰიპერბოლის სწორი ფოკუსი F_2, როგორც პოლარული კოორდინატთა სისტემის პოლუსი, და სხივი საწყისი წერტილით F_2, რომელიც ეკუთვნის F_1F_2 წრფეს, მაგრამ არ შეიცავს F_1 წერტილს (ნახ. 3.41, ბ) როგორც პოლარული ღერძი. მაშინ ჰიპერბოლის მარჯვენა შტოს კუთვნილი M(r,\varphi) თვითნებური წერტილისთვის, ჰიპერბოლის გეომეტრიული განმარტების (ფოკალური თვისების) მიხედვით გვაქვს F_1M-r=2a . ჩვენ გამოვხატავთ მანძილს M(r,\varphi) და F_1(2c,\pi) წერტილებს შორის (იხ. 2.8 შენიშვნების მე-2 პუნქტი):

F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).

ამიტომ, კოორდინატულ ფორმაში, ჰიპერბოლის განტოლებას აქვს ფორმა

\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.

ჩვენ გამოვყოფთ რადიკალს, კვადრატში განტოლების ორივე მხარეს, ვყოფთ 4-ზე და ვაძლევთ მსგავს წევრებს:

r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ მარჯვენა)r=c^2-a^2.

გამოვხატავთ პოლარული რადიუსს r და ვაკეთებთ ჩანაცვლებებს e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi )) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),

ქ.ე.დ. გაითვალისწინეთ, რომ პოლარულ კოორდინატებში ჰიპერბოლისა და ელიფსის განტოლებები ერთმანეთს ემთხვევა, მაგრამ აღწერს განსხვავებულ ხაზებს, რადგან ისინი განსხვავდებიან ექსცენტრიულობით (e>1 ჰიპერბოლისთვის, 0\leqslant e<1 для эллипса).

კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა ჰიპერბოლის განტოლებაში

ვიპოვოთ ჰიპერბოლის (ნახ. 3.42, ა) გადაკვეთის წერტილები აბსცისის ღერძთან (ჰიპერბოლის წვეროები). y=0 განტოლებაში ჩანაცვლებით ვპოულობთ გადაკვეთის წერტილების აბსცისებს: x=\pm a . მაშასადამე, წვეროებს აქვთ კოორდინატები (-a,0),\,(a,0) . წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძეა 2a. ამ სეგმენტს ჰიპერბოლის რეალური ღერძი ეწოდება, ხოლო რიცხვი a არის ჰიპერბოლის რეალური ნახევარღერძი. x=0-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ y=\pm ib. (0,-b),\,(0,b) წერტილების დამაკავშირებელი y ღერძის მონაკვეთის სიგრძე უდრის 2b-ს. ამ სეგმენტს ჰიპერბოლის წარმოსახვითი ღერძი ეწოდება, ხოლო b რიცხვს ჰიპერბოლის წარმოსახვითი ნახევარღერძი. ჰიპერბოლა კვეთს რეალური ღერძის შემცველ წრფეს და არ კვეთს წარმოსახვითი ღერძის შემცველ წრფეს.

შენიშვნები 3.10.

1. წრფეები x=\pm a,~y=\pm b ზღუდავს მთავარ ოთხკუთხედს კოორდინატულ სიბრტყეზე, რომლის გარეთაც მდებარეობს ჰიპერბოლა (ნახ. 3.42, ა).

2. სწორ ხაზებს, რომლებიც შეიცავს მთავარი მართკუთხედის დიაგონალებს, ჰიპერბოლის ასიმპტოტები ეწოდება (ნახ. 3.42, ა).

ამისთვის ტოლგვერდა ჰიპერბოლა, რომელიც აღწერილია განტოლებით (ანუ a=b-ით), მთავარი მართკუთხედი არის კვადრატი, რომლის დიაგონალები პერპენდიკულარულია. მაშასადამე, ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ასიმპტოტებიც პერპენდიკულარულია და ისინი შეიძლება მივიღოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის Ox"y" კოორდინატულ ღერძებად (ნახ. 3.42, ბ). ამ კოორდინატულ სისტემაში ჰიპერბოლის განტოლებას აქვს ფორმა y"=\frac(a^2)(2x")(ჰიპერბოლა ემთხვევა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკს, რომელიც გამოხატავს უკუპროპორციულ ურთიერთობას).

მართლაც, მოდით დავატრიალოთ კანონიკური კოორდინატთა სისტემა კუთხით \varphi=-\frac(\pi)(4)(ნახ. 3.42, ბ). ამ შემთხვევაში ძველ და ახალ კოორდინატულ სისტემებში წერტილის კოორდინატები დაკავშირებულია ტოლობებით

\მარცხნივ\(\!\დაწყება(გასწორებული)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(გასწორებული)\მარჯვნივ. \quad \მარცხნივ მარჯვენა ისარი \quad \ მარცხენა\(\!\ დასაწყისი (გასწორებული)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \cdot(y"-x")\end (გასწორებული)\მარჯვნივ.

ამ გამონათქვამების ჩანაცვლება განტოლებაში \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1ტოლგვერდა ჰიპერბოლას და მსგავსი ტერმინების მოყვანით ვიღებთ

\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \მარცხნივ ისარი \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").

3. კოორდინატთა ღერძები (კანონიკური კოორდინატთა სისტემის) არის ჰიპერბოლის სიმეტრიის ღერძი (ე.წ. ჰიპერბოლის მთავარ ღერძებს), ხოლო მისი ცენტრი არის სიმეტრიის ცენტრი.

მართლაც, თუ წერტილი M(x,y) ეკუთვნის ჰიპერბოლას. მაშინ M"(x,y) და M""(-x,y) წერტილები, რომლებიც სიმეტრიულია M წერტილის კოორდინატთა ღერძების მიმართ, ასევე მიეკუთვნება იმავე ჰიპერბოლას.

სიმეტრიის ღერძი, რომელზედაც განლაგებულია ჰიპერბოლის კერები, არის კეროვანი ღერძი.

4. ჰიპერბოლის განტოლებიდან პოლარულ კოორდინატებში r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(იხ. სურ. 3.41, ბ) დაზუსტებულია ფოკალური პარამეტრის გეომეტრიული მნიშვნელობა - ეს არის ჰიპერბოლის აკორდის სიგრძის ნახევარი, რომელიც გადის მის ფოკუსზე პერპენდიკულარულად კეროვანი ღერძის მიმართ (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. ექსცენტრიულობა e ახასიათებს ჰიპერბოლის ფორმას. რაც მეტია e, მით უფრო განიერია ჰიპერბოლის ტოტები და რაც უფრო ახლოს არის e ერთთან, მით უფრო ვიწროა ჰიპერბოლის ტოტები (ნახ. 3.43, ა).

მართლაც, მისი ტოტის შემცველი ჰიპერბოლის ასიმპტოტებს შორის კუთხის მნიშვნელობა \გამა განისაზღვრება მთავარი მართკუთხედის გვერდების თანაფარდობით: \ოპერატორის სახელი(tg)\frac(\გამა)(2)=\frac(b)(2). იმის გათვალისწინებით, რომ e=\frac(c)(a) და c^2=a^2+b^2, მივიღებთ

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\მარჯვნივ )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}

რაც უფრო დიდია e, მით უფრო დიდია \გამა კუთხე. ტოლგვერდა ჰიპერბოლისთვის (a=b) გვაქვს e=\sqrt(2) და \გამა=\frac(\pi)(2). e>\sqrt(2)-ისთვის კუთხე \გამა ბლაგვია, მაგრამ 1-ისთვის

6. განტოლებებით განსაზღვრული ორი ჰიპერბოლა ერთსა და იმავე კოორდინატულ სისტემაში \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1და ეძახიან ერთმანეთთან დაკავშირებული. კონიუგატ ჰიპერბოლებს აქვთ იგივე ასიმპტოტები (ნახ. 3.43, ბ). კონიუგატური ჰიპერბოლის განტოლება -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1კოორდინატთა ღერძების (3.38) სახელის გადარქმევით მცირდება კანონიკურზე.

7. განტოლება \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1განსაზღვრავს ჰიპერბოლას, რომელიც ორიენტირებულია O წერტილში "(x_0, y_0) , რომლის ღერძები პარალელურია კოორდინატთა ღერძებთან (ნახ. 3.43, გ). -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1განსაზღვრავს კონიუგატ ჰიპერბოლას, რომელიც ორიენტირებულია O"(x_0,y_0) წერტილში.

ჰიპერბოლის პარამეტრული განტოლება

ჰიპერბოლის პარამეტრულ განტოლებას კანონიკურ კოორდინატულ სისტემაში აქვს ფორმა

\begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R),

სადაც \ოპერატორის სახელი(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- ჰიპერბოლური კოსინუსი, ა \ოპერატორის სახელი(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2)ჰიპერბოლური სინუსი.

მართლაც, კოორდინატთა გამოსახულებების ჩანაცვლებით განტოლებაში (3.50), მივდივართ მთავარ ჰიპერბოლურ იდენტობამდე. \ოპერატორის სახელი(ჩ)^2t-\ოპერატორის სახელი(შ)^2t=1.

მაგალითი 3.21.დახაზეთ ჰიპერბოლა \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1კანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში Oxy. იპოვეთ ნახევარღერძები, ფოკუსური მანძილი, ექსცენტრიულობა, ფოკალური პარამეტრი, ასიმპტოტების და მიმართულებების განტოლებები.

გადაწყვეტილება.მოცემული განტოლების კანონიკურთან შედარებისას ვადგენთ ნახევარღერძებს: a=2 - რეალური ნახევარღერძი, b=3 - ჰიპერბოლის წარმოსახვითი ნახევარღერძი. მთავარ მართკუთხედს ვაშენებთ 2a=4,~2b=6 გვერდებით საწყისზე (სურ.3.44). ჩვენ ვხატავთ ასიმპტოტებს მთავარი მართკუთხედის დიაგონალების გაფართოებით. ჩვენ ვაშენებთ ჰიპერბოლას კოორდინატთა ღერძების მიმართ მისი სიმეტრიის გათვალისწინებით. საჭიროების შემთხვევაში, ჩვენ განვსაზღვრავთ ჰიპერბოლის ზოგიერთი წერტილის კოორდინატებს. მაგალითად, x=4 ჰიპერბოლის განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

\frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad y^2=27 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad y=\pm3\sqrt (3).

მაშასადამე, წერტილები კოორდინატებით (4;3\sqrt(3)) და (4;-3\sqrt(3)) ჰიპერბოლას ეკუთვნის. ფოკუსური სიგრძის გაანგარიშება

2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13)

ექსცენტრიულობა e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); ფოკალური პარამეტრი p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. ჩვენ ვადგენთ ასიმპტოტების განტოლებებს y=\pm\frac(b)(a)\,x, ე.ი y=\pm\frac(3)(2)\,xდა პირდაპირი განტოლებები: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)).

დანარჩენ მკითხველს ვთავაზობ მნიშვნელოვნად შეავსონ სკოლის ცოდნა პარაბოლისა და ჰიპერბოლის შესახებ. ჰიპერბოლა და პარაბოლა - მარტივია? ... ნუ დაელოდები =)

ჰიპერბოლა და მისი კანონიკური განტოლება

მასალის პრეზენტაციის ზოგადი სტრუქტურა წააგავს წინა პარაგრაფს. დავიწყოთ ჰიპერბოლის ზოგადი კონცეფციით და მისი აგების პრობლემით.

ჰიპერბოლის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც დადებითი რეალური რიცხვებია. გაითვალისწინეთ, რომ განსხვავებით ელიფსი, პირობა აქ არ არის დაწესებული, ანუ „ა“-ს მნიშვნელობა შეიძლება იყოს „იყავის“ მნიშვნელობაზე ნაკლები.

უნდა ითქვას, სრულიად მოულოდნელად... „სასკოლო“ ჰიპერბოლის განტოლება არც კი ჰგავს კანონიკურ ჩანაწერს. მაგრამ ამ გამოცანას მაინც მოგვიწევს ლოდინი, მაგრამ ახლა მოდით, ზურგი დავიკაფოთ და გავიხსენოთ, რა დამახასიათებელი ნიშნები აქვს განხილულ მრუდს? გავავრცელოთ ის ჩვენი ფანტაზიის ეკრანზე ფუნქციის გრაფიკი ….

ჰიპერბოლას აქვს ორი სიმეტრიული ტოტი.

კარგი პროგრესი! ნებისმიერ ჰიპერბოლას აქვს ეს თვისებები და ახლა ჩვენ გულწრფელი აღტაცებით შევხედავთ ამ ხაზის ყელს:

მაგალითი 4

ააგეთ განტოლებით მოცემული ჰიპერბოლა

გადაწყვეტილება: პირველ ეტაპზე ამ განტოლებას მივყავართ კანონიკურ ფორმამდე. გთხოვთ დაიმახსოვროთ ტიპიური პროცედურა. მარჯვნივ, თქვენ უნდა მიიღოთ "ერთი", ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ ორიგინალური განტოლების ორივე ნაწილს 20-ზე:

აქ შეგიძლიათ ორივე წილადის შემცირება, მაგრამ უფრო ოპტიმალურია თითოეული მათგანის გაკეთება სამსართულიანი:

და მხოლოდ ამის შემდეგ განხორციელდება შემცირება:

ჩვენ ვირჩევთ კვადრატებს მნიშვნელებში:

რატომ არის უკეთესი ტრანსფორმაციების განხორციელება ამ გზით? ყოველივე ამის შემდეგ, მარცხენა მხარის ფრაქციები შეიძლება დაუყოვნებლივ შემცირდეს და მიიღოთ. ფაქტია, რომ განსახილველ მაგალითში ცოტა გაგვიმართლა: რიცხვი 20 იყოფა 4-ზეც და 5-ზეც. ზოგადად, ასეთი რიცხვი არ მუშაობს. განვიხილოთ, მაგალითად, განტოლება. აქ, გაყოფით, ყველაფერი უფრო სევდიანია და გარეშე სამსართულიანი წილადებიაღარაა საჭირო:

მაშ ასე, გამოვიყენოთ ჩვენი შრომის ნაყოფი - კანონიკური განტოლება:

როგორ ავაშენოთ ჰიპერბოლა?

ჰიპერბოლის აგების ორი მიდგომა არსებობს - გეომეტრიული და ალგებრული.
პრაქტიკული თვალსაზრისით, კომპასით დახატვა... მე ვიტყოდი, უტოპიურიც კი, ასე რომ ბევრად უფრო მომგებიანია ისევ მარტივი გამოთვლების მოტანა სამაშველოში.

მიზანშეწონილია დაიცვან შემდეგი ალგორითმი, ჯერ დასრულებული ნახაზი, შემდეგ კომენტარები:

პრაქტიკაში ხშირად გვხვდება ბრუნვის კომბინაცია თვითნებური კუთხით და ჰიპერბოლის პარალელური ტრანსლაცია. ეს სიტუაცია განიხილება გაკვეთილზე. მე-2 რიგის წრფის განტოლების შემცირება კანონიკურ ფორმამდე.

პარაბოლა და მისი კანონიკური განტოლება

Შესრულებულია! ის არის ყველაზე. მზად არის ბევრი საიდუმლოს გასამხილებლად. პარაბოლის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც არის რეალური რიცხვი. ადვილი მისახვედრია, რომ მის სტანდარტულ მდგომარეობაში პარაბოლა „წევს გვერდზე“ და მისი წვერო სათავეშია. ამ შემთხვევაში, ფუნქცია ადგენს ამ ხაზის ზედა განშტოებას, ხოლო ფუნქცია ადგენს ქვედა განშტოებას. ცხადია, პარაბოლა სიმეტრიულია ღერძის მიმართ. სინამდვილეში, რა უნდა დაიბანოთ:

მაგალითი 6

ააგეთ პარაბოლა

გადაწყვეტილება: წვერო ცნობილია, ვიპოვოთ დამატებითი წერტილები. განტოლება განსაზღვრავს პარაბოლის ზედა რკალს, განტოლება განსაზღვრავს ქვედა რკალს.

ჩანაწერის შესამცირებლად, ჩვენ განვახორციელებთ გამოთვლებს "იგივე ფუნჯის ქვეშ":

კომპაქტური ნოტაციისთვის, შედეგები შეიძლება შეჯამდეს ცხრილში.

ელემენტარული წერტილოვანი ნახაზის შესრულებამდე ვაყალიბებთ მკაცრს

პარაბოლის განმარტება:

პარაბოლა არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან და მოცემული წრფე, რომელიც არ გადის წერტილს.

წერტილი ე.წ ფოკუსირებაპარაბოლები, სწორი ხაზი დირექტორი (იწერება ერთი "ეს"-ით)პარაბოლები. კანონიკური განტოლების მუდმივი „პე“ ეწოდება ფოკალური პარამეტრი, რომელიც უდრის მანძილს ფოკუსიდან მიმართულებამდე. AT ამ საქმეს. ამ შემთხვევაში, აქცენტს აქვს კოორდინატები, ხოლო მიმართულება მოცემულია განტოლებით.
ჩვენს მაგალითში:

პარაბოლის განმარტება კიდევ უფრო ადვილი გასაგებია, ვიდრე ელიფსის და ჰიპერბოლის განმარტებები. პარაბოლის ნებისმიერი წერტილისთვის, სეგმენტის სიგრძე (მანძილი ფოკუსიდან წერტილამდე) ტოლია პერპენდიკულარულის სიგრძეზე (მანძილი წერტილიდან მიმართულებამდე):

გილოცავ! ბევრმა თქვენგანმა დღეს ნამდვილი აღმოჩენა გააკეთა. გამოდის, რომ ჰიპერბოლა და პარაბოლა საერთოდ არ არის "ჩვეულებრივი" ფუნქციების გრაფიკები, მაგრამ აქვთ გამოხატული გეომეტრიული საწყისი.

ცხადია, ფოკუსური პარამეტრის მატებასთან ერთად, გრაფიკის ტოტები „გავრცელდება“ ზევით და ქვევით, უსასრულოდ ახლოს უახლოვდება ღერძს. „პეს“ მნიშვნელობის შემცირებით, ისინი დაიწყებენ შეკუმშვას და გაჭიმვას ღერძის გასწვრივ

ნებისმიერი პარაბოლის ექსცენტრიულობა უდრის ერთს:

პარაბოლას ბრუნვა და თარგმნა

პარაბოლა ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული ხაზია მათემატიკაში და მისი აწყობა ძალიან ხშირად მოგიწევთ. ამიტომ, გთხოვთ, განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციოთ გაკვეთილის ბოლო აბზაცს, სადაც გავაანალიზებ ამ მრუდის მდებარეობის ტიპურ ვარიანტებს.

! შენიშვნა : როგორც წინა მრუდების შემთხვევაში, უფრო სწორია საუბარი კოორდინატთა ღერძების ბრუნვაზე და პარალელურად თარგმნაზე, მაგრამ ავტორი შემოიფარგლება პრეზენტაციის გამარტივებული ვერსიით, რათა მკითხველს ელემენტარული წარმოდგენა ჰქონდეს. ეს გარდაქმნები.

განმარტება. ჰიპერბოლა არის წერტილების ლოკუსი y სიბრტყეში, თითოეული მათგანის მანძილების სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება კერა, y აქვს მუდმივი მნიშვნელობა, იმ პირობით, რომ ეს მნიშვნელობა არ არის ტოლი ნულოვანია და ნაკლებია კერებს შორის მანძილს.

კერებს შორის მანძილი ავღნიშნოთ, როგორც მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც ტოლია ჰიპერბოლის თითოეული წერტილიდან კერამდე მანძილების სხვაობის მოდულის ტოლი (პირობით ). როგორც ელიფსის შემთხვევაში, ჩვენ ვხატავთ აბსცისის ღერძს ფოკუსში, ხოლო საწყისად ვიღებთ სეგმენტის შუას (იხ. სურ. 44). ასეთ სისტემაში კერებს ექნებათ კოორდინატები. მოდით გამოვიტანოთ ჰიპერბოლის განტოლება არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში. ჰიპერბოლის განმარტებით, მისი რომელიმე წერტილისთვის გვაქვს ან

მაგრამ . ამიტომ, ჩვენ ვიღებთ

ელიფსის განტოლების გამოყვანისას მსგავსი გამარტივების შემდეგ მივიღებთ შემდეგ განტოლებას:

რაც (33) განტოლების შედეგია.

ადვილი მისახვედრია, რომ ეს განტოლება ემთხვევა ელიფსისთვის მიღებულ განტოლებას (27). თუმცა, განტოლებაში (34) განსხვავება , ვინაიდან ჰიპერბოლისთვის . ამიტომ, ჩვენ ვაყენებთ

შემდეგ განტოლება (34) მცირდება შემდეგ ფორმამდე:

ამ განტოლებას ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება ეწოდება. განტოლება (36), განტოლების (33) შედეგად დაკმაყოფილებულია ჰიპერბოლის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით. შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ წერტილების კოორდინატები, რომლებიც არ დევს ჰიპერბოლაზე, არ აკმაყოფილებს განტოლებას (36).

მოდით დავადგინოთ ჰიპერბოლის ფორმა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით. ეს განტოლება შეიცავს მხოლოდ მიმდინარე კოორდინატების ლუწი ძალებს. შესაბამისად, ჰიპერბოლას აქვს სიმეტრიის ორი ღერძი, ამ შემთხვევაში კოორდინატთა ღერძებს ემთხვევა. შემდეგში, ჰიპერბოლის სიმეტრიის ღერძებს ჰიპერბოლის ღერძები დაერქმევა, ხოლო მათი გადაკვეთის წერტილს ჰიპერბოლის ცენტრი. ჰიპერბოლის ღერძს, რომელზედაც განლაგებულია კერები, კეროვანი ღერძი ეწოდება. ჩვენ ვიკვლევთ ჰიპერბოლის ფორმას პირველ მეოთხედში, სადაც

აქ, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში y მიიღებდა წარმოსახვით მნიშვნელობებს. როგორც x იზრდება a-დან, ის იზრდება 0-დან ჰიპერბოლის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს პირველ მეოთხედში, იქნება რკალი, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 47.

ვინაიდან ჰიპერბოლა სიმეტრიულად მდებარეობს კოორდინატთა ღერძების მიმართ, ამ მრუდს აქვს ნახ. 47.

ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილებს ფოკუსურ ღერძთან ეწოდება მისი წვეროები. ჰიპერბოლის განტოლებაში ვივარაუდოთ მისი წვეროების აბსცისები: . ამრიგად, ჰიპერბოლას აქვს ორი წვერო: . ჰიპერბოლა არ კვეთს y ღერძს. სინამდვილეში, ჰიპერბოლის განტოლებაში ჩასვით, ჩვენ ვიღებთ წარმოსახვით მნიშვნელობებს y: . მაშასადამე, ჰიპერბოლის კეროვან ღერძს ეწოდება რეალური ღერძი, ხოლო სიმეტრიის ღერძს კეროვანი ღერძის პერპენდიკულარულს ეწოდება ჰიპერბოლის წარმოსახვითი ღერძი.

რეალურ ღერძს ასევე უწოდებენ ჰიპერბოლის წვეროების დამაკავშირებელ სეგმენტს და მისი სიგრძეა 2a. წერტილების დამაკავშირებელ სეგმენტს (იხ. სურ. 47), ისევე როგორც მის სიგრძეს, ჰიპერბოლის წარმოსახვითი ღერძი ეწოდება. a და b რიცხვებს შესაბამისად უწოდებენ ჰიპერბოლის რეალურ და წარმოსახვით ნახევარღერძებს.

ახლა განვიხილოთ ჰიპერბოლა, რომელიც მდებარეობს პირველ კვადრატში და რომელიც არის ფუნქციის გრაფიკი

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ამ გრაფიკის წერტილები, რომლებიც მდებარეობს საწყისიდან საკმარისად დიდ მანძილზე, თვითნებურად ახლოს არის სწორ ხაზთან.

საწყისზე გავლა და ფერდობის მქონე

ამ მიზნით, განიხილეთ ორი წერტილი, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე აბსციზა და დევს შესაბამისად მრუდზე (37) და სწორ ხაზზე (38) (ნახ. 48) და შეადგინეთ განსხვავება ამ წერტილების ორდინატებს შორის.

ამ წილადის მრიცხველი არის მუდმივი მნიშვნელობა, ხოლო მნიშვნელი განუსაზღვრელი დროით იზრდება შეუზღუდავი ზრდით. მაშასადამე, სხვაობა ნულისკენ მიისწრაფვის, ანუ M და N წერტილები განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება აბსცისის შეუზღუდავი ზრდით.

ჰიპერბოლის სიმეტრიიდან კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში გამოდის, რომ არის კიდევ ერთი სწორი ხაზი, რომელსაც ჰიპერბოლის წერტილები თვითნებურად ახლოსაა საწყისიდან შეუზღუდავი მანძილზე. პირდაპირი

ჰიპერბოლის ასიმპტოტებს უწოდებენ.

ნახ. 49 გვიჩვენებს ჰიპერბოლას და მის ასიმპტოტების ფარდობით პოზიციას. ეს ფიგურა ასევე გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა ავაშენოთ ჰიპერბოლის ასიმპტოტები.

ამისათვის ააგეთ მართკუთხედი, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე და გვერდებით ღერძების პარალელურად და, შესაბამისად, ტოლი . ამ მართკუთხედს მთავარ მართკუთხედს უწოდებენ. მისი თითოეული დიაგონალი, განუსაზღვრელი ვადით გაშლილი ორივე მიმართულებით, არის ჰიპერბოლის ასიმპტოტი. ჰიპერბოლის აგებამდე რეკომენდებულია მისი ასიმპტოტების აგება.

კერებს შორის მანძილის ნახევარის თანაფარდობას ჰიპერბოლის რეალურ ნახევარღერძამდე ეწოდება ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა და ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით:

ვინაიდან ჰიპერბოლისთვის, მაშინ ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა ერთზე მეტია: ექსცენტრიულობა ახასიათებს ჰიპერბოლის ფორმას.

მართლაც, ფორმულიდან (35) გამომდინარეობს, რომ . ეს აჩვენებს, რომ რაც უფრო მცირეა ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა,

რაც უფრო მცირეა მისი ნახევარღერძების შეფარდება. მაგრამ მიმართება - განსაზღვრავს ჰიპერბოლის მთავარი მართკუთხედის ფორმას და, შესაბამისად, თავად ჰიპერბოლის ფორმას. რაც უფრო მცირეა ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა, მით უფრო ფართოვდება მისი მთავარი ოთხკუთხედი (კეროვანი ღერძის მიმართულებით).

ჰიპერბოლა და პარაბოლა

გადავიდეთ სტატიის მეორე ნაწილზე. მეორე რიგის ხაზების შესახებ, ეძღვნება ორ სხვა საერთო მოსახვევს - ჰიპერბოლადა პარაბოლა. თუ ამ გვერდზე მოხვედით საძიებო სისტემიდან ან ჯერ არ გქონიათ დრო თემის ნავიგაციისთვის, მაშინ გირჩევთ, პირველ რიგში შეისწავლოთ გაკვეთილის პირველი ნაწილი, რომელშიც ჩვენ განვიხილეთ არა მხოლოდ ძირითადი თეორიული პუნქტები, არამედ გავეცანით თან ელიფსი. დანარჩენ მკითხველს ვთავაზობ მნიშვნელოვნად შეავსონ სკოლის ცოდნა პარაბოლისა და ჰიპერბოლის შესახებ. ჰიპერბოლა და პარაბოლა - მარტივია? ... ნუ დაელოდები =)

ჰიპერბოლა და მისი კანონიკური განტოლება

ჰიპერბოლას აქვს ორი სიმეტრიული ტოტი.

ჰიპერბოლას აქვს ორი ასიმპტოტები.

მაგალითი 4

ააგეთ განტოლებით მოცემული ჰიპერბოლა

და მხოლოდ ამის შემდეგ განხორციელდება შემცირება:

ჩვენ ვირჩევთ კვადრატებს მნიშვნელებში:

მაშ ასე, გამოვიყენოთ ჩვენი შრომის ნაყოფი - კანონიკური განტოლება:

როგორ ავაშენოთ ჰიპერბოლა?

1) პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ ასიმპტოტები. თუ ჰიპერბოლა მოცემულია კანონიკური განტოლებით, მაშინ მისი ასიმპტოტებია სწორი . ჩვენს შემთხვევაში: . ეს ელემენტი აუცილებელია!ეს ნახატის ფუნდამენტური მახასიათებელია და უხეში შეცდომა იქნება, თუ ჰიპერბოლის ტოტები „გამოიძვრება“ მათი ასიმპტოტების მიღმა.

2) ახლა ჩვენ ვიპოვით ჰიპერბოლის ორი წვერო, რომლებიც განლაგებულია x ღერძზე წერტილებში . იგი მომდინარეობს ელემენტარულად: თუ , მაშინ კანონიკური განტოლება იქცევა , საიდანაც გამომდინარეობს რომ . განხილულ ჰიპერბოლას აქვს წვეროები

3) ჩვენ ვეძებთ დამატებით ქულებს. ჩვეულებრივ 2-3 საკმარისია. კანონიკურ პოზიციაში ჰიპერბოლა სიმეტრიულია საწყისისა და ორივე კოორდინატული ღერძის მიმართ, ამიტომ საკმარისია გამოთვლების შესრულება 1 კოორდინატთა მეოთხედისთვის. ტექნიკა ზუსტად იგივეა, რაც მშენებლობისთვის ელიფსი. კანონპროექტის კანონიკური განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ:

განტოლება იყოფა ორ ფუნქციად:
- განსაზღვრავს ჰიპერბოლის ზედა რკალებს (რაც გვჭირდება);
- განსაზღვრავს ჰიპერბოლის ქვედა რკალებს.

ის გვთავაზობს წერტილების პოვნას აბსცისებით:

4) ნახაზზე დახაზეთ ასიმპტოტები , წვეროები , დამატებითი და სიმეტრიული წერტილები სხვა კოორდინატთა მეოთხედებში. ჩვენ ყურადღებით ვაკავშირებთ შესაბამის წერტილებს ჰიპერბოლის თითოეულ ტოტზე:

ტექნიკური სირთულე შეიძლება წარმოიშვას ირაციონალურთან ფერდობის ფაქტორი, მაგრამ ეს სრულიად გადაულახავი პრობლემაა.

ხაზის სეგმენტიდაურეკა რეალური ღერძიჰიპერბოლა,
მისი სიგრძე - მანძილი წვეროებს შორის;
ნომერი დაურეკა რეალური ნახევრადღერძიჰიპერბოლა;
ნომერი – წარმოსახვითი ღერძი.

ჩვენს მაგალითში: და, ცხადია, თუ მოცემული ჰიპერბოლა ბრუნავს სიმეტრიის ცენტრის გარშემო და/ან მოძრაობს, მაშინ ეს მნიშვნელობები არ შეიცვლება.

ჰიპერბოლის განმარტება. ფოკუსი და ექსცენტრიულობა

ჰიპერბოლაში, ისევე, როგორც ში ელიფსი, არის ორი ცალმხრივი წერტილი , რომლებიც ე.წ ხრიკები. მე არ მითქვამს, მაგრამ ყოველი შემთხვევისთვის, უცებ ვინმემ არასწორად გაიგოს: სიმეტრიის ცენტრი და ფოკუსის წერტილები, რა თქმა უნდა, არ მიეკუთვნება მოსახვევებს..

განმარტების ზოგადი კონცეფცია ასევე მსგავსია:

ჰიპერბოლაარის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, აბსოლუტური მნიშვნელობაგანსხვავება თითოეულ მათგანთან ორი მოცემული წერტილიდან არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც რიცხობრივად უდრის ამ ჰიპერბოლის წვეროებს შორის მანძილს: . ამ შემთხვევაში კერებს შორის მანძილი აჭარბებს რეალური ღერძის სიგრძეს: .

თუ ჰიპერბოლა მოცემულია კანონიკური განტოლებით, მაშინ მანძილი სიმეტრიის ცენტრიდან თითოეულ კერამდეგამოითვლება ფორმულით: .
და, შესაბამისად, ფოკუსებს აქვთ კოორდინატები .

შესწავლილი ჰიპერბოლისთვის:

მოდით გადავიდეთ განმარტებაზე. აღნიშნეთ მანძილები კერებიდან ჰიპერბოლის თვითნებურ წერტილამდე:

პირველ რიგში, გონებრივად გადაიტანეთ ლურჯი წერტილი ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტის გასწვრივ - სადაც არ უნდა ვიყოთ, მოდული(აბსოლუტური მნიშვნელობა) განსხვავება სეგმენტების სიგრძეებს შორის იგივე იქნება:

თუ წერტილი "გადააგდეს" მარცხენა ფილიალში და გადაინაცვლოს იქ, მაშინ ეს მნიშვნელობა უცვლელი დარჩება.

მოდულის ნიშანი საჭიროა იმ მიზეზით, რომ სიგრძის განსხვავება შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი. სხვათა შორის, მარჯვენა ტოტის ნებისმიერი წერტილისთვის (რადგან სეგმენტი უფრო მოკლეა ვიდრე სეგმენტი). მარცხენა შტოს ნებისმიერი წერტილისთვის სიტუაცია ზუსტად საპირისპიროა და .

უფრო მეტიც, მოდულის აშკარა თვისების გათვალისწინებით, არ აქვს მნიშვნელობა რა გამოვაკლოთ რას.

მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენს მაგალითში ამ განსხვავების მოდული ნამდვილად უდრის წვეროებს შორის მანძილს. გონებრივად მოათავსეთ წერტილი ჰიპერბოლის მარჯვენა წვეროზე. შემდეგ: , რომელიც შესამოწმებელი იყო.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი