პრობლემის განცხადება 2:

მოცემულია ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია და უწყვეტია გარკვეული ინტერვალით. საჭიროა ამ ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის პოვნა.

თეორიული საფუძველი.
თეორემა (ვაიერშტრასის მეორე თეორემა):

თუ ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია დახურულ ინტერვალში, მაშინ ის აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ამ ინტერვალში.

ფუნქციას შეუძლია მიაღწიოს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ინტერვალის შიდა წერტილებში ან მის საზღვრებში. მოდით ილუსტრაციით ყველა შესაძლო ვარიანტი.

ახსნა:
1) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარცხენა საზღვარზე, ხოლო მის მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე.
2) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მაქსიმალური წერტილი), ხოლო მის მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილის ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე.
3) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას ინტერვალის მარცხენა საზღვარზე წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მინიმალური წერტილი).
4) ფუნქცია მუდმივია ინტერვალზე, ე.ი. ის აღწევს თავის მინიმალურ და მაქსიმალურ მნიშვნელობებს ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში, ხოლო მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობები ერთმანეთის ტოლია.
5) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (მიუხედავად იმისა, რომ ფუნქციას აქვს როგორც მაქსიმუმი, ასევე მინიმალური ამ ინტერვალზე).
6) ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მაქსიმალური წერტილი), ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას წერტილში (ეს არის მინიმალური წერტილი).
კომენტარი:

"მაქსიმალური" და "მაქსიმალური ღირებულება" სხვადასხვა რამ არის. ეს გამომდინარეობს მაქსიმუმის განმარტებიდან და ფრაზის „მაქსიმალური მნიშვნელობის“ ინტუიციური გაგებით.

2 პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი.



4) მიღებული მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი (ყველაზე პატარა) და ჩაწერეთ პასუხი.

მაგალითი 4:

განსაზღვრეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.
გადაწყვეტილება:
1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

2) იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები (და წერტილები, რომლებიც საეჭვოა ექსტრემის მიმართ) განტოლების ამოხსნით. ყურადღება მიაქციეთ იმ წერტილებს, სადაც არ არის ორმხრივი სასრულ წარმოებული.

3) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სტაციონარულ წერტილებზე და ინტერვალის საზღვრებზე.

4) მიღებული მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი (ყველაზე პატარა) და ჩაწერეთ პასუხი.

ფუნქცია ამ სეგმენტზე აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას კოორდინატების მქონე წერტილში.

ფუნქცია ამ სეგმენტზე აღწევს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას კოორდინატების მქონე წერტილში.

თქვენ შეგიძლიათ გადაამოწმოთ გამოთვლების სისწორე შესასწავლი ფუნქციის გრაფიკის დათვალიერებით.


კომენტარი:ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას მაქსიმალურ წერტილში, ხოლო მინიმალურ მნიშვნელობას სეგმენტის საზღვარზე.

Განსაკუთრებული შემთხვევა.

დავუშვათ, რომ გსურთ იპოვოთ რაიმე ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობა სეგმენტზე. ალგორითმის პირველი აბზაცის შესრულების შემდეგ ე.ი. წარმოებულის გაანგარიშებით, ირკვევა, რომ, მაგალითად, იგი იღებს მხოლოდ უარყოფით მნიშვნელობებს მთელ განხილულ სეგმენტზე. გახსოვდეთ, რომ თუ წარმოებული უარყოფითია, მაშინ ფუნქცია მცირდება. ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქცია მცირდება მთელი ინტერვალით. ეს სიტუაცია ნაჩვენებია სტატიის დასაწყისში No1 დიაგრამაში.

ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე, ე.ი. მას არ აქვს ექსტრემალური წერტილები. სურათიდან ჩანს, რომ ფუნქცია მიიღებს უმცირეს მნიშვნელობას სეგმენტის მარჯვენა საზღვარზე, ხოლო ყველაზე დიდ მნიშვნელობას მარცხნივ. თუ წარმოებული ინტერვალზე ყველგან დადებითია, მაშინ ფუნქცია იზრდება. ყველაზე პატარა მნიშვნელობა არის სეგმენტის მარცხენა საზღვარზე, ყველაზე დიდი არის მარჯვნივ.

დაე, ფუნქცია $z=f(x,y)$ იყოს განსაზღვრული და უწყვეტი ზოგიერთ შეზღუდულ დახურულ დომენში $D$. მოდით მოცემულ ფუნქციას ჰქონდეს პირველი რიგის სასრული ნაწილობრივი წარმოებულები ამ რეგიონში (შესაძლოა გამონაკლისი პუნქტების რაოდენობა). მოცემულ დახურულ რეგიონში ორი ცვლადის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების საპოვნელად საჭიროა მარტივი ალგორითმის სამი ნაბიჯი.

$z=f(x,y)$ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ალგორითმი დახურულ დომენში $D$.

1. იპოვეთ $z=f(x,y)$ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები, რომლებიც ეკუთვნის $D$ რეგიონს. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში.
2. გამოიკვლიეთ $z=f(x,y)$ ფუნქციის ქცევა $D$ რეგიონის საზღვარზე შესაძლო მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობების წერტილების მოძიებით. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები მიღებულ წერტილებზე.
3. წინა ორ აბზაცში მიღებული ფუნქციის მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და პატარა.

რა არის კრიტიკული წერტილები? ჩვენება დამალვა

ქვეშ კრიტიკული წერტილებიგულისხმობს წერტილებს, სადაც ორივე პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებული ნულის ტოლია (ანუ $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ and $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ან მინიმუმ ერთი ნაწილობრივი წარმოებული არ არსებობს.

ხშირად უწოდებენ წერტილებს, რომლებშიც პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია სტაციონარული წერტილები. ამრიგად, სტაციონარული წერტილები არის კრიტიკული წერტილების ქვეჯგუფი.

მაგალითი #1

იპოვეთ $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები დახურულ რეგიონში, რომელიც შემოიფარგლება $x=3$, $y=0$ და $y=x ხაზებით. +1$.

მივყვებით ზემოხსენებულს, მაგრამ ჯერ შევეხებით მოცემული ფართობის ნახატს, რომელსაც აღვნიშნავთ ასო $D$-ით. ჩვენ მოცემულია სამი სწორი წრფის განტოლებები, რომლებიც ზღუდავს ამ ფართობს. $x=3$ სწორი ხაზი გადის $(3;0)$ y ღერძის (ღერძი Oy) პარალელურად. სწორი ხაზი $y=0$ არის აბსცისის ღერძის განტოლება (Ox ღერძი). კარგი, $y=x+1$ სწორი წრფის ასაგებად ვიპოვოთ ორი წერტილი, რომლითაც ვხაზავთ ამ სწორ ხაზს. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ შეცვალოთ რამდენიმე თვითნებური მნიშვნელობა $x$-ის ნაცვლად. მაგალითად, $x=10$-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ: $y=x+1=10+1=11$. ჩვენ ვიპოვეთ $(10;11)$ წერტილი, რომელიც მდებარეობს $y=x+1$ წრფეზე. თუმცა, უმჯობესია ვიპოვოთ ის წერტილები, სადაც $y=x+1$ წრფე იკვეთება $x=3$ და $y=0$ წრფეებთან. რატომ ჯობია? იმიტომ, რომ ერთ ქვასთან ერთად დავყრით რამდენიმე ჩიტს: მივიღებთ ორ ქულას $y=x+1$ სწორი ხაზის ასაგებად და ამავდროულად გავარკვევთ, რომელ წერტილში კვეთს ეს სწორი ხაზი სხვა ხაზებს, რომლებიც ზღუდავს მოცემულს. ფართობი. წრფე $y=x+1$ კვეთს $x=3$ წრფეს $(3;4)$ წერტილში, ხოლო $y=0$ წრფე - $(-1;0)$ წერტილში. იმისთვის, რომ ამოხსნის მსვლელობა დამხმარე ახსნა-განმარტებით არ გავაფუჭოთ, ამ ორი ქულის მოპოვების საკითხს ჩანაწერში დავდებ.

როგორ იქნა მიღებული $(3;4)$ და $(-1;0)$ ქულები? ჩვენება დამალვა

დავიწყოთ $y=x+1$ და $x=3$ წრფეების გადაკვეთის წერტილიდან. სასურველი წერტილის კოორდინატები ეკუთვნის როგორც პირველ, ასევე მეორე ხაზებს, ამიტომ უცნობი კოორდინატების მოსაძებნად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა:

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & y=x+1;\\ & x=3. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

ასეთი სისტემის ამონახსნი ტრივიალურია: $x=3$-ის ჩანაცვლებით პირველ განტოლებაში გვექნება: $y=3+1=4$. წერტილი $(3;4)$ არის $y=x+1$ და $x=3$ წრფეების სასურველი გადაკვეთის წერტილი.

ახლა ვიპოვოთ $y=x+1$ და $y=0$ წრფეების გადაკვეთის წერტილი. ჩვენ კვლავ ვადგენთ და ვხსნით განტოლებათა სისტემას:

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & y=x+1;\\ & y=0. \end (გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

$y=0$-ის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: $0=x+1$, $x=-1$. წერტილი $(-1;0)$ არის $y=x+1$ და $y=0$ (აბსცისის ღერძი) ხაზების სასურველი გადაკვეთის წერტილი.

ყველაფერი მზად არის ნახატის შესაქმნელად, რომელიც ასე გამოიყურება:

შენიშვნის საკითხი აშკარად ჩანს, რადგან ფიგურიდან ყველაფერი ჩანს. თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ ნახატი არ შეიძლება გახდეს მტკიცებულება. ფიგურა მხოლოდ ილუსტრაციაა სიცხადისთვის.

ჩვენი ფართობი შეიქმნა ხაზების განტოლებების გამოყენებით, რომლებიც ზღუდავენ მას. აშკარაა, რომ ეს ხაზები განსაზღვრავს სამკუთხედს, არა? თუ არც ისე აშკარაა? ან იქნებ გვეძლევა განსხვავებული ტერიტორია, რომელიც შემოიფარგლება იგივე ხაზებით:

რა თქმა უნდა, პირობა ამბობს, რომ ტერიტორია დახურულია, ამიტომ ნაჩვენები სურათი არასწორია. მაგრამ ასეთი ბუნდოვანების თავიდან ასაცილებლად, უმჯობესია რეგიონები განვსაზღვროთ უთანასწორობებით. ჩვენ გვაინტერესებს თვითმფრინავის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს $y=x+1$ ხაზის ქვეშ? კარგი, ასე რომ, $y ≤ x+1$. ჩვენი ტერიტორია უნდა იყოს $y=0$ ხაზის ზემოთ? შესანიშნავია, ამიტომ $y ≥ 0$. სხვათა შორის, ბოლო ორი უტოლობა ადვილად გაერთიანებულია ერთში: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

ეს უტოლობები განსაზღვრავს დომენს $D$ და განსაზღვრავს მას ცალსახად, ყოველგვარი გაურკვევლობის გარეშე. მაგრამ როგორ გვეხმარება ეს სქოლიოს დასაწყისში დასმულ კითხვაში? ასევე დაგვეხმარება :) უნდა შევამოწმოთ, $M_1(1;1)$ წერტილი ეკუთვნის თუ არა რეგიონს $D$. მოდით ჩავანაცვლოთ $x=1$ და $y=1$ უტოლობების სისტემაში, რომელიც განსაზღვრავს ამ რეგიონს. თუ ორივე უთანასწორობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ წერტილი რეგიონის შიგნითაა. თუ უთანასწორობიდან ერთი მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ წერტილი არ ეკუთვნის რეგიონს. Ისე:

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. \;\; \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ.$$

ორივე უტოლობა მართალია. წერტილი $M_1(1;1)$ ეკუთვნის $D$ რეგიონს.

ახლა ჯერია გამოვიკვლიოთ ფუნქციის ქცევა დომენის საზღვარზე, ე.ი. წადი. დავიწყოთ $y=0$ სწორი ხაზით.

სწორი ხაზი $y=0$ (აბსცისის ღერძი) ზღუდავს $D$ რეგიონს $-1 ≤ x ≤ 3$ პირობით. ჩაანაცვლეთ $y=0$ მოცემულ ფუნქციაში $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. ერთი $x$ ცვლადის შედეგად მიღებული ჩანაცვლების ფუნქცია აღინიშნა როგორც $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

ახლა $f_1(x)$ ფუნქციისთვის უნდა ვიპოვოთ უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $-1 ≤ x ≤ 3$ ინტერვალზე. იპოვეთ ამ ფუნქციის წარმოებული და გაუტოლეთ ნულს:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

ღირებულება $x=2$ ეკუთვნის სეგმენტს $-1 ≤ x ≤ 3$, ამიტომ ჩვენ ასევე ვამატებთ $M_2(2;0)$ ქულების სიას. გარდა ამისა, ჩვენ ვიანგარიშებთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში $-1 ≤ x ≤ 3$, ე.ი. $M_3(-1;0)$ და $M_4(3;0)$ წერტილებზე. სხვათა შორის, თუ წერტილი $M_2$ არ ეკუთვნოდა განსახილველ სეგმენტს, მაშინ, რა თქმა უნდა, არ იქნებოდა საჭირო მასში $z$ ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა.

მოდით გამოვთვალოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობები $M_2$, $M_3$, $M_4$ წერტილებში. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ შეცვალოთ ამ წერტილების კოორდინატები თავდაპირველ გამონათქვამში $z=x^2+2xy-y^2-4x$. მაგალითად, $M_2$ წერტილისთვის მივიღებთ:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

თუმცა, გამოთვლები შეიძლება ცოტათი გამარტივდეს. ამისათვის უნდა გვახსოვდეს, რომ $M_3M_4$ სეგმენტზე გვაქვს $z(x,y)=f_1(x)$. დეტალურად განვმარტავ:

\ დასაწყისი (გასწორებული) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (გასწორებული)

რა თქმა უნდა, როგორც წესი, არ არის საჭირო ასეთი დეტალური ჩანაწერები და მომავალში ჩვენ დავიწყებთ ყველა გაანგარიშების ჩამოწერას მოკლე გზით:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

ახლა მივმართოთ სწორ ხაზს $x=3$. ეს ხაზი ზღუდავს დომენს $D$ პირობით $0 ≤ y ≤ 4$. ჩაანაცვლეთ $x=3$ მოცემულ ფუნქციაში $z$. ასეთი ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ ფუნქციას $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ ფუნქციისთვის, თქვენ უნდა იპოვოთ უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $0 ≤ y ≤ 4$ ინტერვალზე. იპოვეთ ამ ფუნქციის წარმოებული და გაუტოლეთ ნულს:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

ღირებულება $y=3$ ეკუთვნის სეგმენტს $0 ≤ y ≤ 4$, ამიტომ ადრე ნაპოვნი წერტილებს ვამატებთ $M_5(3;3)$. გარდა ამისა, საჭიროა გამოვთვალოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებში $0 ≤ y ≤ 4$, ე.ი. $M_4(3;0)$ და $M_6(3;4)$ წერტილებზე. $M_4(3;0)$ წერტილში ჩვენ უკვე გამოვთვალეთ $z$-ის მნიშვნელობა. მოდით გამოვთვალოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობა $M_5$ და $M_6$ წერტილებში. შეგახსენებთ, რომ $M_4M_6$ სეგმენტზე გვაქვს $z(x,y)=f_2(y)$, შესაბამისად:

\begin(გასწორებული) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (გასწორებული)

და ბოლოს, განიხილეთ $D$-ის ბოლო ზღვარი, ე.ი. ხაზი $y=x+1$. ეს ხაზი ზღუდავს $D$ რეგიონს $-1 ≤ x ≤ 3$ პირობით. $y=x+1$ ჩანაცვლებით $z$ ფუნქციაში, გვექნება:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

კიდევ ერთხელ გვაქვს $x$ ერთი ცვლადის ფუნქცია. და ისევ, თქვენ უნდა იპოვოთ ამ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე $-1 ≤ x ≤ 3$. იპოვეთ $f_(3)(x)$ ფუნქციის წარმოებული და გაუტოლეთ ნულს:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

ღირებულება $x=1$ ეკუთვნის $-1 ≤ x ≤ 3$ ინტერვალს. თუ $x=1$, მაშინ $y=x+1=2$. მოდით დავამატოთ $M_7(1;2)$ პუნქტების სიას და გავარკვიოთ, რა არის ამ ეტაპზე $z$ ფუნქციის მნიშვნელობა. წერტილები სეგმენტის ბოლოებზე $-1 ≤ x ≤ 3$, ე.ი. ადრე განიხილებოდა $M_3(-1;0)$ და $M_6(3;4)$ წერტილები, მათში უკვე ვიპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

გადაწყვეტის მეორე ეტაპი დასრულებულია. ჩვენ მივიღეთ შვიდი მნიშვნელობა:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

მივმართოთ. მესამე აბზაცში მიღებული რიცხვებიდან ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების არჩევისას გვექნება:

$$z_(წთ)=-4; \; z_(max)=6.$$

პრობლემა მოგვარებულია, რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.

უპასუხე: $z_(წთ)=-4; \; z_(max)=6$.

მაგალითი #2

იპოვეთ $z=x^2+y^2-12x+16y$ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $x^2+y^2 ≤ 25$.

ჯერ ავაშენოთ ნახატი. განტოლება $x^2+y^2=25$ (ეს არის მოცემული ფართობის სასაზღვრო ხაზი) ​​განსაზღვრავს წრეს, რომლის ცენტრი სათავეშია (ანუ $(0;0)$ წერტილში) და რადიუსი 5. უტოლობა $x^2 +y^2 ≤ 25$ აკმაყოფილებს ყველა წერტილს აღნიშნულ წრეზე და მის შიგნით.

ჩვენ ვიმოქმედებთ. ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები და გავარკვიოთ კრიტიკული წერტილები.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

არ არსებობს წერტილები, სადაც ნაპოვნი ნაწილობრივი წარმოებულები არ არსებობს. მოდით გავარკვიოთ, რომელ წერტილებშია ორივე ნაწილობრივი წარმოებული ერთდროულად ნულის ტოლი, ე.ი. იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები.

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. \;\; \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & x =6;\\ & y=-8.\end(გასწორებული) \მარჯვნივ.$$

მივიღეთ სტაციონარული წერტილი $(6;-8)$. თუმცა, ნაპოვნი წერტილი არ ეკუთვნის $D$ რეგიონს. ამის ჩვენება ადვილია ნახატის გამოყენების გარეშეც კი. მოდით შევამოწმოთ, მოქმედებს თუ არა უტოლობა $x^2+y^2 ≤ 25$, რომელიც განსაზღვრავს ჩვენს დომენს $D$. თუ $x=6$, $y=-8$, მაშინ $x^2+y^2=36+64=100$, ე.ი. უტოლობა $x^2+y^2 ≤ 25$ არ არის დაკმაყოფილებული. დასკვნა: წერტილი $(6;-8)$ არ ეკუთვნის $D$ რეგიონს.

ამრიგად, $D$-ში არ არის კრიტიკული წერტილები. მოდით გადავიდეთ, რათა. უნდა გამოვიკვლიოთ ფუნქციის ქცევა მოცემული ფართობის საზღვარზე, ე.ი. წრეზე $x^2+y^2=25$. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გამოხატოთ $y$ $x$-ით და შემდეგ შეცვალოთ მიღებული გამონათქვამი ჩვენს ფუნქციაში $z$. წრის განტოლებიდან ვიღებთ: $y=\sqrt(25-x^2)$ ან $y=-\sqrt(25-x^2)$. მაგალითად, $y=\sqrt(25-x^2)$ მოცემულ ფუნქციაში ჩანაცვლებით, გვექნება:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

შემდგომი გადაწყვეტა სრულიად იდენტური იქნება წინა No1 მაგალითში რეგიონის საზღვარზე ფუნქციის ქცევის შესწავლისა. თუმცა, ამ სიტუაციაში უფრო გონივრული მეჩვენება ლაგრანგის მეთოდის გამოყენება. ჩვენ გვაინტერესებს ამ მეთოდის მხოლოდ პირველი ნაწილი. ლაგრანგის მეთოდის პირველი ნაწილის გამოყენების შემდეგ მივიღებთ წერტილებს, რომლებშიც და შევისწავლით $z$ ფუნქციას მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობებისთვის.

ჩვენ ვადგენთ ლაგრანგის ფუნქციას:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

ვპოულობთ ლაგრანგის ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს და ვადგენთ განტოლებათა შესაბამის სისტემას:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\ლამბდა x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\ლამბდა y.\\ \მარცხნივ \( \დაწყება (გასწორებული) & 2x-12+2\ლამბდა x=0;\\ & 2y+16+2\ლამბდა y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\ბოლო(გასწორებული) \ მარჯვნივ. \;\; \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & x+\ ლამბდა x=6;\\ & y+\ლამბდა y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \ბოლო( გასწორებული)\მარჯვნივ.$$

ამ სისტემის გადასაჭრელად დაუყოვნებლივ მივუთითოთ, რომ $\lambda\neq -1$. რატომ $\lambda\neq -1$? შევეცადოთ ჩავანაცვლოთ $\lambda=-1$ პირველ განტოლებაში:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა $0=6$ ამბობს, რომ მნიშვნელობა $\lambda=-1$ არასწორია. გამომავალი: $\lambda\neq -1$. მოდით გამოვხატოთ $x$ და $y$ $\lambda$-ით:

\begin(გასწორებული) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ლამბდა)=6;\; x=\frac(6)(1+\ლამბდა). \\ & y+\ლამბდა y=-8;\; y(1+\ლამბდა)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\ლამბდა). \end (გასწორებული)

მე მჯერა, რომ აქ აშკარა ხდება, თუ რატომ დავაწესეთ $\lambda\neq -1$ პირობა. ეს გაკეთდა იმისთვის, რომ გამონათქვამი $1+\lambda$ მნიშვნელებში ჩარევის გარეშე მოერგოს. ანუ დარწმუნებული უნდა იყოს, რომ მნიშვნელი არის $1+\lambda\neq 0$.

მიღებული გამონათქვამები შევცვალოთ $x$ და $y$ სისტემის მესამე განტოლებაში, ე.ი. $x^2+y^2=25$-ში:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \მარჯვნივ)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\ლამბდა)^2)+\frac(64)((1+\ლამბდა)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\ლამბდა)^2)=25 ; \; (1+\ლამბდა)^2=4. $$

მიღებული თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ $1+\lambda=2$ ან $1+\lambda=-2$. აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს $\lambda$ პარამეტრის ორი მნიშვნელობა, კერძოდ: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. შესაბამისად, ჩვენ ვიღებთ მნიშვნელობების ორ წყვილს $x$ და $y$:

\begin(გასწორებული) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (გასწორებული)

ამრიგად, მივიღეთ შესაძლო პირობითი ექსტრემის ორი ქულა, ე.ი. $M_1(3;-4)$ და $M_2(-3;4)$. იპოვეთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობები $M_1$ და $M_2$ წერტილებში:

\begin(გასწორებული) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (გასწორებული)

ჩვენ უნდა ავირჩიოთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები მათგან, რაც მივიღეთ პირველ და მეორე საფეხურზე. მაგრამ შიგნით ამ საქმესარჩევანი მცირეა :) გვაქვს:

$$z_(წთ)=-75; \; z_(max)=125. $$

უპასუხე: $z_(წთ)=-75; \; z_(max)=125$.

სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების პოვნის პროცესი მოგვაგონებს მომხიბლავ ფრენას ობიექტის ირგვლივ (ფუნქციის გრაფიკი) ვერტმფრენზე შორი მანძილის ქვემეხიდან სროლით გარკვეულ წერტილებზე და არჩევით. ეს წერტილები ძალიან სპეციალური წერტილებია საკონტროლო დარტყმებისთვის. ქულები შეირჩევა გარკვეული წესით და გარკვეული წესებით. რა წესებით? ამაზე შემდგომში ვისაუბრებთ.

თუ ფუნქცია წ = ვ(x) უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ] , შემდეგ ის აღწევს ამ სეგმენტზე სულ მცირე და უმაღლესი ღირებულებები . ეს შეიძლება მოხდეს შიგნით ექსტრემალური წერტილებიან სეგმენტის ბოლოებში. ამიტომ, რომ იპოვოთ სულ მცირე და ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობები , უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ], თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი მნიშვნელობები ყველაში კრიტიკული წერტილებიდა სეგმენტის ბოლოებში, შემდეგ კი აირჩიეთ მათგან ყველაზე პატარა და უდიდესი.

მოდით, მაგალითად, საჭიროა ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობის განსაზღვრა ვ(x) სეგმენტზე [ ა, ბ] . ამისათვის იპოვნეთ მისი ყველა კრიტიკული წერტილი, რომელიც მდებარეობს [ ა, ბ] .

კრიტიკული წერტილი ეწოდება წერტილი, სადაც ფუნქცია განსაზღვრულია, და ის წარმოებულიარის ნული ან არ არსებობს. შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში. და ბოლოს, უნდა შევადაროთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში ( ვ(ა) და ვ(ბ) ). ამ რიცხვებიდან ყველაზე დიდი იქნება სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [ა, ბ] .

პოვნის პრობლემა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობები .

ჩვენ ერთად ვეძებთ ფუნქციის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობებს

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე [-1, 2] .

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს. გაუტოლეთ წარმოებული ნულს () და მიიღეთ ორი კრიტიკული წერტილი: და . მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, საკმარისია გამოვთვალოთ მისი მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში და წერტილში, რადგან წერტილი არ ეკუთვნის სეგმენტს [-1, 2] . ეს ფუნქციის მნიშვნელობები შემდეგია: , , . Აქედან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა(ქვემოთ გრაფიკზე მონიშნულია წითლად), -7-ის ტოლი, მიიღწევა სეგმენტის მარჯვენა ბოლოში - წერტილში, და უდიდესი(ასევე წითელი გრაფიკზე), უდრის 9-ს, - კრიტიკულ წერტილში.

თუ ფუნქცია უწყვეტია გარკვეულ ინტერვალში და ეს ინტერვალი არ არის სეგმენტი (მაგრამ არის, მაგალითად, ინტერვალი; განსხვავება ინტერვალსა და სეგმენტს შორის: ინტერვალის სასაზღვრო წერტილები არ შედის ინტერვალში, მაგრამ სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები შედის სეგმენტში), მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის შეიძლება არ იყოს ყველაზე პატარა და უდიდესი. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულ სურათზე გამოსახული ფუნქცია უწყვეტია ]-∞, +∞[-ზე და არ აქვს უდიდესი მნიშვნელობა.

თუმცა, ნებისმიერი ინტერვალისთვის (დახურული, ღია ან უსასრულო) მოქმედებს უწყვეტი ფუნქციების შემდეგი თვისება.

მაგალითი 4. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე [-1, 3] .

გადაწყვეტილება. ამ ფუნქციის წარმოებულს ვპოულობთ, როგორც კოეფიციენტის წარმოებულს:

.

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს, რაც გვაძლევს ერთ კრიტიკულ წერტილს: . ის ეკუთვნის [-1, 3] ინტერვალს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

მოდით შევადაროთ ეს ღირებულებები. დასკვნა: -5/13-ის ტოლია, წერტილში და უდიდესი ღირებულებაუდრის 1 წერტილში.

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების ძიებას

არიან მასწავლებლები, რომლებიც ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების პოვნის თემაზე არ აძლევენ მოსწავლეებს უფრო რთულ მაგალითებს, ვიდრე ახლახან განვიხილეთ, ანუ ისეთები, რომლებშიც ფუნქცია არის მრავალწევრი ან წილადი, მრიცხველი. და რომლის მნიშვნელიც არის მრავალწევრები. მაგრამ ჩვენ არ შემოვიფარგლებით ასეთი მაგალითებით, რადგან მასწავლებელთა შორის არიან სტუდენტების სრულად დაფიქრების მოყვარულები (წარმოებულების ცხრილი). ამიტომ გამოყენებული იქნება ლოგარითმი და ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

მაგალითი 6. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე .

გადაწყვეტილება. ამ ფუნქციის წარმოებულს ვპოულობთ როგორც პროდუქტის წარმოებული :

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს, რომელიც იძლევა ერთ კრიტიკულ წერტილს: . ის ეკუთვნის სეგმენტს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

ყველა მოქმედების შედეგი: ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას 0-ის ტოლი, წერტილში და წერტილში და უდიდესი ღირებულებატოლია ე² , წერტილში .

მაგალითი 7. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე .

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს:

წარმოებულის გაუტოლება ნულს:

ერთადერთი კრიტიკული წერტილი ეკუთვნის სეგმენტს. მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ ვპოულობთ მის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილში:

დასკვნა: ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას, ტოლია , წერტილში და უდიდესი ღირებულება, ტოლია , წერტილში .

გამოყენებული ექსტრემალური პრობლემების დროს უმცირესი (ყველაზე დიდი) ფუნქციის მნიშვნელობების პოვნა, როგორც წესი, მცირდება მინიმალურის (მაქსიმუმის) პოვნამდე. მაგრამ უფრო დიდი პრაქტიკული ინტერესი არ არის თავად მინიმუმი ან მაქსიმუმი, არამედ არგუმენტის ღირებულებები, რომლითაც ისინი მიიღწევა. გამოყენებული პრობლემების გადაჭრისას წარმოიქმნება დამატებითი სირთულე - ფუნქციების შედგენა, რომლებიც აღწერს განსახილველ ფენომენს ან პროცესს.

მაგალითი 8 4 ცალი ტევადობის ავზი, რომელსაც აქვს კვადრატული ფუძის მქონე პარალელეპიპედის ფორმა და ზემოდან ღია, უნდა იყოს დაკონსერვებული. როგორი უნდა იყოს ავზის ზომები, რომ დაფაროს იგი მინიმალური რაოდენობით?

გადაწყვეტილება. დაე იყოს x- ბაზის მხარე თ- ავზის სიმაღლე, ს- მისი ზედაპირის ფართობი საფარის გარეშე, ვ- მისი მოცულობა. ავზის ზედაპირის ფართობი გამოიხატება ფორმულით, ე.ი. არის ორი ცვლადის ფუნქცია. გამოხატოს სერთი ცვლადის ფუნქციად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ , საიდან . ნაპოვნი გამონათქვამის ჩანაცვლება თფორმულაში შევიდა ს:

მოდით განვიხილოთ ეს ფუნქცია ექსტრემისთვის. ის ყველგან არის განსაზღვრული და დიფერენცირებადი ]0, +∞[ და

.

წარმოებულს ვატოლებთ ნულს () და ვპოულობთ კრიტიკულ წერტილს. გარდა ამისა, at , წარმოებული არ არსებობს, მაგრამ ეს მნიშვნელობა არ შედის განმარტების დომენში და, შესაბამისად, არ შეიძლება იყოს ექსტრემალური წერტილი. ასე რომ, - ერთადერთი კრიტიკული წერტილი. მოდით შევამოწმოთ ის ექსტრემის არსებობაზე მეორე საკმარისი კრიტერიუმის გამოყენებით. ვიპოვოთ მეორე წარმოებული. როდესაც მეორე წარმოებული მეტია ნულზე (). ეს ნიშნავს, რომ როდესაც ფუნქცია მიაღწევს მინიმუმს . რადგან ეს მინიმალური - ამ ფუნქციის ერთადერთი ექსტრემი, ეს არის მისი ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. ასე რომ, ავზის ძირის მხარე უნდა იყოს 2 მ, ხოლო მისი სიმაღლე.

მაგალითი 9აბზაციდან ა, მდებარეობს რკინიგზის ხაზზე, წერტილ თან, მისგან დაშორებით ლ, საქონლის ტრანსპორტირება უნდა მოხდეს. წონის ერთეულის ტრანსპორტირების ღირებულება ერთეულ მანძილზე რკინიგზით უდრის, ხოლო გზატკეცილი უდრის. რომელ წერტილამდე მრკინიგზის ხაზი უნდა იყოს მაგისტრალი ტვირთების გადასაზიდად მაგრამ in თანყველაზე ეკონომიური იყო ABვარაუდობენ, რომ რკინიგზა სწორია)?

ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა არის ორდინატის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მიღებული მნიშვნელობა განხილულ ინტერვალში.

ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა:

1. შეამოწმეთ რომელი სტაციონარული წერტილები შედის მოცემულ სეგმენტში.
2. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებზე და სტაციონარულ წერტილებზე მე-3 საფეხურიდან
3. მიღებული შედეგებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი ან უმცირესი მნიშვნელობა.

მაქსიმალური ან მინიმალური ქულების მოსაძებნად საჭიროა:

1. იპოვეთ $f"(x)$ ფუნქციის წარმოებული
2. იპოვეთ სტაციონარული წერტილები $f"(x)=0$ განტოლების ამოხსნით
3. ფუნქციის წარმოებულის ფაქტორიზაცია.
4. დახაზეთ კოორდინატთა ხაზი, მოათავსეთ მასზე სტაციონარული წერტილები და მიღებულ ინტერვალებში დაადგინეთ წარმოებულის ნიშნები მე-3 პუნქტის აღნიშვნით.
5. იპოვეთ მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები წესის მიხედვით: თუ ერთ წერტილში წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, მაშინ ეს იქნება მაქსიმალური წერტილი (თუ მინუსდან პლუსზე, მაშინ ეს იქნება მინიმალური წერტილი). პრაქტიკაში მოსახერხებელია ისრების გამოსახულების გამოყენება ინტერვალებზე: იმ ინტერვალზე, სადაც წარმოებული დადებითია, ისარი დახატულია ზემოთ და პირიქით.

ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებულების ცხრილი:

ფუნქცია	წარმოებული
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

დიფერენცირების ძირითადი წესები

1. ჯამისა და სხვაობის წარმოებული უდრის თითოეული წევრის წარმოებულს

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

იპოვეთ $f(x) = 3x^5 ფუნქციის წარმოებული - cosx + (1)/(x)$

ჯამისა და სხვაობის წარმოებული უდრის თითოეული წევრის წარმოებულს

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+(1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. პროდუქტის წარმოებული.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

იპოვეთ წარმოებული $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. კოეფიციენტის წარმოებული

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

იპოვეთ წარმოებული $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია გარეგანი ფუნქციის წარმოებულისა და შინაგანი ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის.

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

იპოვეთ $y=2x-ln⁡(x+11)+4$ ფუნქციის მინიმალური წერტილი

1. იპოვეთ ფუნქციის ODZ: $x+11>0; x> -11$

2. იპოვეთ $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ ფუნქციის წარმოებული.

3. იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები წარმოებულის ნულის ტოლობით

$(2x+21)/(x+11)=0$

წილადი არის ნული, თუ მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული

$2x+21=0; x≠-11$

4. დახაზეთ კოორდინატთა ხაზი, მოათავსეთ მასზე სტაციონარული წერტილები და განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ ინტერვალებში. ამისთვის, ჩვენ წარმოებულში ვცვლით ნებისმიერ რიცხვს უკიდურესი მარჯვენა რეგიონიდან, მაგალითად, ნული.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. მინიმალურ წერტილში წარმოებული იცვლება ნიშანი მინუსდან პლუსზე, შესაბამისად, $-10.5$ წერტილი არის მინიმალური წერტილი.

პასუხი: -10,5$

იპოვეთ $y=6x^5-90x^3-5$ ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა $[-5;1]$ სეგმენტზე

1. იპოვეთ $y′=30x^4-270x^2$ ფუნქციის წარმოებული

2. გაატოლეთ წარმოებული ნულთან და იპოვეთ სტაციონარული წერტილები

$30x^4-270x^2=0$

ავიღოთ საერთო ფაქტორი $30x^2$ ფრჩხილებიდან

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

დააყენეთ თითოეული ფაქტორი ნულის ტოლი

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. აირჩიეთ სტაციონარული წერტილები, რომლებიც მიეკუთვნება მოცემულ სეგმენტს $[-5;1]$

ჩვენთვის შესაფერისია სტაციონარული ქულები $x=0$ და $x=-3$

4. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებზე და 3 პუნქტიდან სტაციონალურ წერტილებზე

ამ სერვისით შეგიძლიათ იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობაერთი ცვლადი f(x) Word-ში ამოხსნის დიზაინით. თუ ფუნქცია f(x,y) არის მოცემული, მაშასადამე, აუცილებელია ვიპოვოთ ორი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესი. ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები.

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

y=

სეგმენტზე [ ;]

ჩართეთ თეორია

ფუნქციის შესვლის წესები:

ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელი პირობა

განტოლება f "0 (x *) \u003d 0 არის აუცილებელი პირობა ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობისთვის, ანუ x * წერტილში ფუნქციის პირველი წარმოებული უნდა გაქრეს. ის ირჩევს სტაციონარულ წერტილებს x c, რომლებზეც ფუნქცია. არ იზრდება და არ მცირდება.

საკმარისი პირობა ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობისთვის

მოდით f 0 (x) ორჯერ დიფერენცირებადი იყოს x-ის მიმართ, რომელიც მიეკუთვნება D სიმრავლეს. თუ x * წერტილში პირობა დაკმაყოფილებულია:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

მაშინ წერტილი x * არის ფუნქციის ლოკალური (გლობალური) მინიმუმის წერტილი.

თუ x * წერტილში პირობა დაკმაყოფილებულია:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

ეს წერტილი x * არის ადგილობრივი (გლობალური) მაქსიმუმი.

მაგალითი #1. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები: სეგმენტზე.
გადაწყვეტილება.

კრიტიკული წერტილი არის ერთი x 1 = 2 (f'(x)=0). ეს წერტილი მიეკუთვნება სეგმენტს. (პუნქტი x=0 არ არის კრიტიკული, რადგან 0∉).
ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და კრიტიკულ წერტილში.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
პასუხი: f min = 5 / 2 x=2-ისთვის; f max =9 x=1-ზე

მაგალითი #2. უმაღლესი რიგის წარმოებულების გამოყენებით იპოვეთ y=x-2sin(x) ფუნქციის უკიდურესი.
გადაწყვეტილება.
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული: y’=1-2cos(x) . ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. ვპოულობთ y''=2sin(x), გამოვთვალოთ , ამიტომ x= π / 3 +2πk, k∈Z არის ფუნქციის მინიმალური წერტილები; , ამიტომ x=- π / 3 +2πk, k∈Z არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილები.

მაგალითი #3. გამოიკვლიეთ ექსტრემალური ფუნქცია x=0 წერტილის სიახლოვეს.
გადაწყვეტილება. აქ აუცილებელია ფუნქციის ექსტრემის პოვნა. თუ უკიდურესი x=0, მაშინ გაარკვიეთ მისი ტიპი (მინიმუმი ან მაქსიმალური). თუ აღმოჩენილ წერტილებს შორის არ არის x = 0, მაშინ გამოთვალეთ f(x=0) ფუნქციის მნიშვნელობა.
უნდა აღინიშნოს, რომ როდესაც მოცემული წერტილის თითოეულ მხარეს წარმოებული არ ცვლის თავის ნიშანს, შესაძლო სიტუაციები არ ამოიწურება დიფერენცირებადი ფუნქციებისთვისაც კი: შეიძლება მოხდეს თვითნებურად მცირე უბნისთვის x 0 წერტილის ერთ მხარეს ან ორივე მხარეს წარმოებული ცვლის ნიშანს. ამ მომენტებში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სხვა მეთოდები ექსტრემის ფუნქციების შესასწავლად.