ჩვენ ვაგრძელებთ წრფივი განტოლებების სისტემებს. ჯერჯერობით განვიხილეთ სისტემები, რომლებსაც აქვთ უნიკალური გადაწყვეტა. ასეთი სისტემები შეიძლება გადაწყდეს ნებისმიერი გზით: ჩანაცვლების მეთოდი("სკოლა") კრამერის ფორმულებით, მატრიცული მეთოდით, გაუსის მეთოდი. თუმცა, პრაქტიკაში კიდევ ორი ​​შემთხვევაა გავრცელებული, როდესაც:

1) სისტემა არათანმიმდევრულია (არ აქვს გადაწყვეტილებები);

2) სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

ამ სისტემებისთვის გამოიყენება გადაწყვეტის ყველა მეთოდიდან ყველაზე უნივერსალური - გაუსის მეთოდი. ფაქტობრივად, „სკოლის“ მეთოდიც მიგვიყვანს პასუხამდე, მაგრამ უმაღლეს მათემატიკაში ჩვეულებრივია უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის გაუსის მეთოდის გამოყენება. ვინც არ იცნობს გაუსის მეთოდის ალგორითმს, გთხოვთ, ჯერ ისწავლოთ გაკვეთილი გაუსის მეთოდი

თავად ელემენტარული მატრიცის გარდაქმნები ზუსტად იგივეა, განსხვავება იქნება ამოხსნის ბოლოს. პირველი, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითი, სადაც სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები (არათანმიმდევრული).

მაგალითი 1

რა იპყრობს თქვენს თვალს ამ სისტემაში? განტოლებების რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია. არსებობს თეორემა, რომელიც ამბობს: „თუ სისტემაში განტოლებათა რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია, მაშინ სისტემა ან არათანმიმდევრულია ან აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.და ეს რჩება მხოლოდ გასარკვევად.

ამოხსნის დასაწყისი საკმაოდ ჩვეულებრივია - ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას ეტაპობრივ ფორმამდე:

(ერთი). მარცხენა ზედა საფეხურზე უნდა მივიღოთ (+1) ან (-1). პირველ სვეტში ასეთი რიცხვები არ არის, ამიტომ რიგების გადაწყობა არ იმუშავებს. დანაყოფი დამოუკიდებლად უნდა იყოს ორგანიზებული და ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. ჩვენ ასე მოვიქეცით. პირველ სტრიქონს ვამატებთ მესამე სტრიქონს, გამრავლებული (-1-ზე).

(2). ახლა ჩვენ ვიღებთ ორ ნულს პირველ სვეტში. მეორე სტრიქონს დაუმატეთ პირველი სტრიქონი, გამრავლებული 3-ზე, მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი, გამრავლებული 5-ზე.

(3). ტრანსფორმაციის დასრულების შემდეგ, ყოველთვის მიზანშეწონილია ნახოთ, შესაძლებელია თუ არა მიღებული სიმების გამარტივება? შეუძლია. მეორე ხაზს ვყოფთ 2-ზე, ამავდროულად მეორე საფეხურზე ვიღებთ სასურველს (-1). მესამე ხაზი გავყოთ (-3-ზე).

(ოთხი). დაამატეთ მეორე ხაზი მესამე ხაზს. ალბათ, ყველამ ყურადღება მიაქცია ცუდ ხაზს, რომელიც ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად აღმოჩნდა:

. გასაგებია, რომ ასე არ შეიძლება.

მართლაც, ჩვენ ხელახლა ვწერთ მიღებულ მატრიცას

დაუბრუნდით წრფივი განტოლებების სისტემას:

თუ ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად ფორმის სტრიქონი , სადλ არის არანულოვანი რიცხვი, მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია (არ აქვს ამონახსნები).

როგორ ჩავწეროთ დავალების დასასრული? თქვენ უნდა დაწეროთ ფრაზა:

„ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ფორმის სტრიქონი, სადაც λ ≠ 0 ". პასუხი: "სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები (არათანმიმდევრული)."

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ამ შემთხვევაში არ არსებობს გაუსის ალგორითმის საპირისპირო მოძრაობა, არ არსებობს გადაწყვეტილებები და უბრალოდ არაფერია მოსაძებნი.

მაგალითი 2

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ თქვენი გადაწყვეტის პროცესი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩვენი ამოხსნის პროცესისგან, გაუსის მეთოდი არ ადგენს ცალსახა ალგორითმს, თქვენ თავად უნდა გამოიცნოთ პროცედურა და მოქმედებები თითოეულ შემთხვევაში.

გადაწყვეტის კიდევ ერთი ტექნიკური მახასიათებელი: ელემენტარული გარდაქმნები შეიძლება შეჩერდეს ერთბაშად, როგორც კი ხაზი მოსწონს , სად λ ≠ 0 . განვიხილოთ პირობითი მაგალითი: დავუშვათ, რომ პირველი ტრანსფორმაციის შემდეგ მივიღებთ მატრიცას

.

ეს მატრიცა ჯერ კიდევ არ არის დაყვანილი საფეხურზე, მაგრამ არ არის საჭირო დამატებითი ელემენტარული გარდაქმნები, რადგან გაჩნდა ფორმის ხაზი, სადაც λ ≠ 0 . დაუყოვნებლივ უნდა უპასუხოს, რომ სისტემა შეუთავსებელია.

როდესაც წრფივი განტოლებათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები, ეს თითქმის საჩუქარია სტუდენტისთვის, რადგან მიიღება მოკლე ამონახსნები, ზოგჯერ ფაქტიურად 2-3 ნაბიჯში. მაგრამ ამ სამყაროში ყველაფერი დაბალანსებულია და პრობლემა, რომელშიც სისტემას უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი აქვს, უფრო გრძელია.

მაგალითი 3:

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

არსებობს 4 განტოლება და 4 უცნობი, ასე რომ სისტემას შეიძლება ჰქონდეს ერთი ამონახსნები, ან არ ჰქონდეს ამონახსნები, ან ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები. რაც არ უნდა იყო, მაგრამ გაუსის მეთოდი ნებისმიერ შემთხვევაში მიგვიყვანს პასუხამდე. ეს არის მისი მრავალფეროვნება.

დასაწყისი ისევ სტანდარტულია. ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

სულ ესაა და გეშინოდა.

(ერთი). გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პირველი სვეტის ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე, ასე რომ, ზედა მარცხენა საფეხურზე ჩვენ ასევე ვკმაყოფილდებით დუისით. მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული (-4-ზე). მესამე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული (-2-ზე). მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული (-1-ზე).

ყურადღება!ბევრი შეიძლება იყოს ცდუნება მეოთხე ხაზიდან გამოკლებაპირველი ხაზი. ეს შეიძლება გაკეთდეს, მაგრამ არ არის აუცილებელი, გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ გამოთვლებში შეცდომის ალბათობა რამდენჯერმე იზრდება. ჩვენ უბრალოდ ვამატებთ: მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული (-1) - ზუსტად!

(2). ბოლო სამი ხაზი პროპორციულია, ორი მათგანი შეიძლება წაიშალოს. აქ კიდევ ერთხელ აუცილებელია ჩვენება გაზრდილი ყურადღება, მაგრამ ხაზები ნამდვილად პროპორციულია? გადაზღვევისთვის ზედმეტი არ იქნება მეორე რიგის (-1-ზე) გამრავლება და მეოთხე რიგის 2-ზე გაყოფა, რის შედეგადაც სამი იდენტური მწკრივი იქნება. და მხოლოდ ამის შემდეგ ამოიღეთ ორი მათგანი. ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად, სისტემის გაფართოებული მატრიცა მცირდება საფეხურზე:

რვეულში დავალების შესრულებისას სასურველია იგივე ჩანაწერების გაკეთება ფანქრით სიცხადისთვის.

ჩვენ ვწერთ განტოლებათა შესაბამის სისტემას:

სისტემის "ჩვეულებრივი" ერთადერთი გამოსავალი აქ სუნი არ დგას. ცუდი ხაზი სად λ ≠ 0, ასევე არა. აქედან გამომდინარე, ეს არის მესამე დარჩენილი შემთხვევა - სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

სისტემის ამონახსნების უსასრულო ნაკრები მოკლედ იწერება ე.წ ზოგადი სისტემის გადაწყვეტა.

ჩვენ ვიპოვით სისტემის ზოგად ამოხსნას გაუსის მეთოდის საპირისპირო მოძრაობის გამოყენებით. უსასრულო ამონახსნების მქონე განტოლებათა სისტემებისთვის ახალი ცნებები ჩნდება: "ძირითადი ცვლადები"და "თავისუფალი ცვლადები". პირველი, მოდით განვსაზღვროთ რა ცვლადები გვაქვს ძირითადიდა რა ცვლადები - უფასო. არ არის საჭირო წრფივი ალგებრის ტერმინების დეტალური ახსნა, საკმარისია გვახსოვდეს, რომ არსებობს ასეთი საბაზისო ცვლადებიდა უფასო ცვლადები.

ძირითადი ცვლადები ყოველთვის "სხედან" მკაცრად მატრიცის საფეხურებზე. ამ მაგალითში საბაზისო ცვლადებია x 1 და x 3 .

უფასო ცვლადები ყველაფერია დარჩენილიცვლადები, რომლებმაც არ მიიღეს ნაბიჯი. ჩვენს შემთხვევაში ორია: x 2 და x 4 - უფასო ცვლადები.

ახლა თქვენ გჭირდებათ ყველასაბაზისო ცვლადებიგამოხატოს მხოლოდ მეშვეობითუფასო ცვლადები. გაუსის ალგორითმის საპირისპირო მოძრაობა ტრადიციულად მუშაობს ქვემოდან ზევით. სისტემის მეორე განტოლებიდან გამოვხატავთ ძირითად ცვლადს x 3:

ახლა შეხედეთ პირველ განტოლებას: . პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით მასში ნაპოვნი გამონათქვამს:

რჩება ძირითადი ცვლადის გამოხატვა x 1 უფასო ცვლადების მეშვეობით x 2 და x 4:

შედეგი არის ის, რაც გჭირდებათ - ყველასაბაზისო ცვლადები ( x 1 და x 3) გამოხატული მხოლოდ მეშვეობითუფასო ცვლადები ( x 2 და x 4):

სინამდვილეში, ზოგადი გამოსავალი მზად არის:

.

როგორ დავწეროთ ზოგადი გამოსავალი? უპირველეს ყოვლისა, უფასო ცვლადები იწერება ზოგად გადაწყვეტაში "თავისთავად" და მკაცრად მათ ადგილებზე. ამ შემთხვევაში, უფასო ცვლადები x 2 და x 4 უნდა დაიწეროს მეორე და მეოთხე პოზიციებზე:

.

მიღებული გამონათქვამები ძირითადი ცვლადებისთვის და აშკარად უნდა დაიწეროს პირველ და მესამე პოზიციებზე:

სისტემის ზოგადი გადაწყვეტიდან შეიძლება უსაზღვროდ ბევრი იპოვოთ პირადი გადაწყვეტილებები. ძალიან მარტივია. უფასო ცვლადები x 2 და x 4 ეწოდება ასე, რადგან მათი მიცემა შესაძლებელია ნებისმიერი საბოლოო მნიშვნელობა. ყველაზე პოპულარული მნიშვნელობები არის ნულოვანი მნიშვნელობები, რადგან ეს არის უმარტივესი გზა კონკრეტული გადაწყვეტის მისაღებად.

ჩანაცვლება ( x 2 = 0; x 4 = 0) ზოგად ამოხსნაში ვიღებთ ერთ-ერთ კონკრეტულ ამონახსანს:

, ან არის კონკრეტული გადაწყვეტა, რომელიც შეესაბამება თავისუფალ ცვლადებს მნიშვნელობებით ( x 2 = 0; x 4 = 0).

ესენი კიდევ ერთი საყვარელი წყვილია, მოდით შევცვალოთ ( x 2 = 1 და x 4 = 1) ზოგად გადაწყვეტაში:

, ანუ (-1; 1; 1; 1) არის კიდევ ერთი კონკრეტული გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ განტოლებათა სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალივინაიდან ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ უფასო ცვლადები ნებისმიერიღირებულებები.

თითოეულიკონკრეტული გამოსავალი უნდა აკმაყოფილებდეს თითოეულსისტემის განტოლება. ეს არის გადაწყვეტის სისწორის "სწრაფი" შემოწმების საფუძველი. აიღეთ, მაგალითად, კონკრეტული ამონახსნი (-1; 1; 1; 1) და ჩაანაცვლეთ იგი თავდაპირველ სისტემაში თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს:

ყველაფერი ერთად უნდა შედგეს. და ნებისმიერი კონკრეტული გადაწყვეტით, რაც თქვენ მიიღებთ, ყველაფერი ასევე უნდა ემთხვეოდეს.

მკაცრად რომ ვთქვათ, კონკრეტული გადაწყვეტის გადამოწმება ზოგჯერ ატყუებს, ე.ი. ზოგიერთი კონკრეტული ამონახსნი შეიძლება აკმაყოფილებდეს სისტემის თითოეულ განტოლებას და თავად ზოგადი ამონახსნები რეალურად არასწორად არის ნაპოვნი. ამიტომ, უპირველეს ყოვლისა, ზოგადი გადაწყვეტის გადამოწმება უფრო საფუძვლიანი და საიმედოა.

როგორ შევამოწმოთ მიღებული ზოგადი გამოსავალი ?

ეს არ არის რთული, მაგრამ საკმაოდ დიდ ტრანსფორმაციას მოითხოვს. ჩვენ უნდა მივიღოთ გამონათქვამები ძირითადიცვლადები, ამ შემთხვევაში და , და ჩაანაცვლეთ ისინი სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს.

სისტემის პირველი განტოლების მარცხენა მხარეს:

მიღებულია სისტემის თავდაპირველი პირველი განტოლების მარჯვენა მხარე.

სისტემის მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს:

მიღებულია სისტემის თავდაპირველი მეორე განტოლების მარჯვენა მხარე.

და შემდგომ - სისტემის მესამე და მეოთხე განტოლებების მარცხნივ. ეს შემოწმება უფრო გრძელია, მაგრამ ის უზრუნველყოფს მთლიანი გადაწყვეტის 100% სისწორეს. გარდა ამისა, ზოგიერთ ამოცანაში საჭიროა ზოგადი გადაწყვეტის შემოწმება.

მაგალითი 4:

ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით. იპოვეთ ზოგადი და ორი პირადი გამოსავალი. შეამოწმეთ საერთო გამოსავალი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. აქ, სხვათა შორის, ისევ განტოლებათა რიცხვი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ მაშინვე ცხადია, რომ სისტემა ან არათანმიმდევრული იქნება, ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა ექნება.

მაგალითი 5:

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა. თუ სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი, იპოვნეთ ორი კონკრეტული გამოსავალი და შეამოწმეთ ზოგადი ამოხსნა

გამოსავალი:მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით მივიყვანოთ იგი საფეხურზე:

(ერთი). დაამატეთ პირველი ხაზი მეორე ხაზს. მესამე სტრიქონს ვამატებთ 2-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ 3-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.

(2). მესამე სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული (-5-ზე). მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული (-7-ზე).

(3). მესამე და მეოთხე სტრიქონები იგივეა, ერთ-ერთ მათგანს ვშლით. აი ასეთი სილამაზე:

საბაზისო ცვლადები ზის საფეხურებზე, ამიტომ ისინი საბაზისო ცვლადებია.

არის მხოლოდ ერთი თავისუფალი ცვლადი, რომელსაც ნაბიჯი არ მიუღია: .

(ოთხი). საპირისპირო მოძრაობა. ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს თავისუფალი ცვლადის მიხედვით:

მესამე განტოლებიდან:

განვიხილოთ მეორე განტოლება და ჩაანაცვლეთ მასში ნაპოვნი გამონათქვამი:

, , ,

განვიხილოთ პირველი განტოლება და ჩაანაცვლეთ ნაპოვნი გამონათქვამები და მასში:

ამრიგად, ზოგადი გადაწყვეტა ერთი თავისუფალი ცვლადით x 4:

კიდევ ერთხელ, როგორ მოხდა ეს? უფასო ცვლადი x 4 მარტო ზის თავის კანონიერ მეოთხე ადგილზე. ძირითადი ცვლადების , , მიღებული გამონათქვამები ასევე თავის ადგილზეა.

მოდით დაუყოვნებლივ შევამოწმოთ ზოგადი გადაწყვეტა.

ჩვენ ვცვლით ძირითად ცვლადებს, , სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს:

მიღებულია განტოლებების შესაბამისი მარჯვენა მხარეები, რითაც იპოვება სწორი ზოგადი ამონახსნები.

ახლა ნაპოვნი ზოგადი გადაწყვეტიდან ჩვენ ვიღებთ ორ კონკრეტულ გადაწყვეტას. აქ ყველა ცვლადი გამოხატულია ერთის საშუალებით უფასო ცვლადი xოთხი . არ გჭირდება თავის გატეხვა.

დაე x 4 = 0, მაშინ არის პირველი კონკრეტული გამოსავალი.

დაე x 4 = 1, მაშინ არის კიდევ ერთი კონკრეტული გამოსავალი.

პასუხი:საერთო გადაწყვეტილება: . პირადი გადაწყვეტილებები:

და .

მაგალითი 6:

იპოვეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნი.

ჩვენ უკვე შევამოწმეთ ზოგადი გადაწყვეტა, პასუხი შეიძლება სანდო იყოს. თქვენი მოქმედების კურსი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩვენი მოქმედებისგან. მთავარია, რომ ზოგადი გადაწყვეტილებები ემთხვევა. ალბათ ბევრმა შეამჩნია უსიამოვნო მომენტი ამონახსნებში: ძალიან ხშირად, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსის დროს, ჩვეულებრივ წილადებთან გვიწევდა ჩხუბი. პრაქტიკაში, ეს ასეა, შემთხვევები, როდესაც არ არსებობს წილადები, გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია. მოემზადეთ გონებრივად და რაც მთავარია ტექნიკურად.

მოდით ვისაუბროთ ამოხსნის იმ მახასიათებლებზე, რომლებიც არ მოიძებნა ამოხსნილ მაგალითებში. სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა ზოგჯერ შეიძლება შეიცავდეს მუდმივ (ან მუდმივებს).

მაგალითად, ზოგადი გამოსავალი: . აქ ერთ-ერთი ძირითადი ცვლადი უდრის მუდმივ რიცხვს: . ამაში ეგზოტიკური არაფერია, ეს ხდება. ცხადია, ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი კონკრეტული გამოსავალი შეიცავს ხუთეულს პირველ პოზიციაზე.

იშვიათად, მაგრამ არის სისტემები, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე მეტია. თუმცა, გაუსის მეთოდი მუშაობს ყველაზე მძიმე პირობებში. თქვენ მშვიდად უნდა მიიყვანოთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა საფეხურზე სტანდარტული ალგორითმის მიხედვით. ასეთი სისტემა შეიძლება იყოს არათანმიმდევრული, შეიძლება ჰქონდეს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი და, უცნაურად საკმარისი, შეიძლება ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა.

ჩვენ ვიმეორებთ ჩვენს რჩევას - იმისათვის, რომ თავი კომფორტულად იგრძნოთ გაუსის მეთოდით სისტემის ამოხსნისას, უნდა აავსოთ ხელი და ამოხსნათ მინიმუმ ათეული სისტემა.

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2:

გამოსავალი:მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი საფეხურზე.

შეასრულა ელემენტარული გარდაქმნები:

(1) პირველი და მესამე სტრიქონები შეიცვალა.

(2) პირველი ხაზი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული (-6). პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული (-7).

(3) მეორე სტრიქონი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული (-1).

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად ფორმის სტრიქონი, სად λ ≠ 0 .ასე რომ, სისტემა არათანმიმდევრულია.პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები.

მაგალითი 4:

გამოსავალი:ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

შესრულებული კონვერტაციები:

(ერთი). მეორე სტრიქონს დაემატა 2-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი, მესამე სტრიქონს დაემატა 3-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი.

მეორე საფეხურისთვის ერთეული არ არის , ხოლო ტრანსფორმაცია (2) მიმართულია მის მიღებაზე.

(2). მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -3-ზე.

(3). მეორე და მესამე რიგები შეიცვალა (მიღებული -1 გადავიდა მეორე საფეხურზე)

(ოთხი). მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 3-ზე.

(5). პირველი ორი ხაზის ნიშანი შეიცვალა (გამრავლებული -1-ზე), მესამე ხაზი გაიყო 14-ზე.

საპირისპირო მოძრაობა:

(ერთი). Აქ არის ძირითადი ცვლადები (რომლებიც ნაბიჯებზეა) და არის უფასო ცვლადები (რომლებიც ვერ მიიღეს ნაბიჯი).

(2). ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს თავისუფალი ცვლადების თვალსაზრისით:

მესამე განტოლებიდან: .

(3). განვიხილოთ მეორე განტოლება:კონკრეტული გადაწყვეტილებები:

პასუხი: საერთო გადაწყვეტილება:

რთული რიცხვები

ამ ნაწილში ჩვენ გავაცნობთ კონცეფციას რთული რიცხვი, განიხილეთ ალგებრული, ტრიგონომეტრიულიდა ჩვენების ფორმართული რიცხვი. და ასევე ისწავლეთ როგორ შეასრულოთ ოპერაციები რთული რიცხვებით: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, გაძლიერება და ფესვის ამოღება.

რთული რიცხვების დასაუფლებლად, თქვენ არ გჭირდებათ რაიმე სპეციალური ცოდნა უმაღლესი მათემატიკის კურსიდან და მასალა ხელმისაწვდომია სკოლის მოსწავლისთვისაც კი. საკმარისია ალგებრული მოქმედებების შესრულება „ჩვეულებრივი“ რიცხვებით და ტრიგონომეტრიის დამახსოვრება.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ "ჩვეულებრივი" ნომრები. მათემატიკაში მათ ეძახიან რეალური რიცხვების ნაკრებიდა აღინიშნება ასოთი R,ან R (სქელი). ყველა რეალური რიცხვი ზის ნაცნობ რიცხვთა ხაზზე:

რეალური რიცხვების კომპანია ძალიან ფერადია - აქ არის მთელი რიცხვები, წილადები და ირაციონალური რიცხვები. ამ შემთხვევაში, რიცხვითი ღერძის თითოეული წერტილი აუცილებლად შეესაბამება გარკვეულ რეალურ რიცხვს.

განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ ინდუსტრიაში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისას. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლების სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის დარგში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, პოპულაციის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ტერმინი ორი ან მეტი განტოლებისთვის რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც აუცილებელია საერთო ამოხსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი გრაფიკის გამოსახულებით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივესი არის ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს ისეთი მნიშვნელობების პოვნას (x, y), რომლებისთვისაც სისტემა ხდება ნამდვილი თანასწორობა, ან იმის დადგენა, რომ არ არსებობს x და y შესაფერისი მნიშვნელობები.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს გამოსავალი, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ "თანაბრის" ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა არ არის ერთგვაროვანი.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემების წინაშე სკოლის მოსწავლეები ვარაუდობენ, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. სისტემაში განტოლებების რაოდენობა არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური გზა არ არსებობს, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლების მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური გადაწყვეტის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

ზოგადსაგანმანათლებლო სასკოლო პროგრამის მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია და დეტალურად არის ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების პირველ კურსებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მეშვეობით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ იგი მცირდება ერთ ცვლადის ფორმამდე. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოვიყვანოთ მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითი ჩანაცვლების მეთოდით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოისახა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, შემცვლელი გადაწყვეტა ასევე არაპრაქტიკულია.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

შეკრების მეთოდით სისტემების ამოხსნის ძიებისას ხორციელდება ტერმინით შეკრება და განტოლებების გამრავლება სხვადასხვა რიცხვებზე. მათემატიკური მოქმედებების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთი ცვლადით.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. ადვილი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდის გამოყენებით ცვლადების 3 ან მეტი რაოდენობით. ალგებრული შეკრება სასარგებლოა, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათობითი რიცხვებს.

ამოხსნის მოქმედების ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე რომელიმე რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოხატულება ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

შესაძლებელია ახალი ცვლადის შემოღება, თუ სისტემას სჭირდება ამოხსნის პოვნა არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის, ასევე უცნობის რაოდენობა უნდა იყოს არაუმეტეს ორი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება წყდება შეყვანილი უცნობის მიმართ და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითიდან ჩანს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის მამრავლები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, მაშინ არის მხოლოდ ერთი ამონახსნი: x= -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდი შედგება სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების გამოსახვაში კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი ამოხსნა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მრავალი ნიუანსი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალური გზით ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, ნაპოვნია y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით მონიშნული იყო გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგ მაგალითში თქვენ უნდა იპოვოთ წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამონახსნი: 0.5x-y+2=0 და 0.5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

მაგალითებიდან 2 და 3 სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - რიგები და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთსვეტიანი მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთეულებით ერთ-ერთი დიაგონალის და სხვა ნულოვანი ელემენტების გასწვრივ იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, რომლითაც გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან დაკავშირებით, განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივს ეწოდება არანულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| - მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, საჭიროა მხოლოდ ელემენტების ერთმანეთზე დიაგონალზე გამრავლება. "სამი სამზე" ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ ელემენტების სვეტები და მწკრივები არ განმეორდეს პროდუქტში.

წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის პოვნის მატრიცული მეთოდი შესაძლებელს ხდის უხერხული ჩანაწერების შემცირებას ცვლადების და განტოლებების დიდი რაოდენობით სისტემების ამოხსნისას.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად შეისწავლება გაუსის მეთოდი, ხოლო სისტემების ამოხსნის ძიების პროცესს ეწოდება გაუს-კრამერის ამოხსნის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობის მქონე სისტემების ცვლადების მოსაძებნად.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ჩანაცვლებისა და ალგებრული დამატების ამონახსნებს, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის ამონახსნი გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის მიყვანა ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებითა და ჩანაცვლებით, ერთი ცვლადის მნიშვნელობა გვხვდება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით და 3 და 4 - შესაბამისად 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ ერთ-ერთი ცვლადი x n.

მე-5 თეორემა, რომელიც ნახსენებია ტექსტში, ამბობს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი რთული გასაგებია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მაგრამ ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამაში სწავლის მქონე ბავშვების გამომგონებლობის გასავითარებლად.

გამოთვლების ჩაწერის გამარტივებისთვის, ჩვეულებრივ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

განტოლების კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვენა მხრიდან. რომაული ციფრები აღნიშნავს სისტემაში განტოლებების რაოდენობას.

ჯერ წერენ მატრიცას, რომლითაც უნდა იმუშაონ, შემდეგ კი ყველა მოქმედებას, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და განაგრძობს საჭირო ალგებრული ოპერაციების შესრულებას შედეგის მიღწევამდე.

შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი არის 1, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების გაკეთება განტოლების ორივე მხარის რიცხვებით.

ეს აღნიშვნა ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლებით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი გზა უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი არსებობს სწავლის მიზნით.

თუმცა, პრაქტიკაში კიდევ ორი ​​შემთხვევაა გავრცელებული:

– სისტემა არათანმიმდევრულია (არ აქვს გადაწყვეტილებები);
სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

შენიშვნა : ტერმინი „თანმიმდევრულობა“ გულისხმობს, რომ სისტემას აქვს გარკვეული გამოსავალი მაინც. რიგი ამოცანების დროს საჭიროა წინასწარ შეისწავლოს სისტემა თავსებადობისთვის, როგორ გავაკეთოთ ეს - იხილეთ სტატია მატრიცული რანგი.

ამ სისტემებისთვის გამოიყენება გადაწყვეტის ყველა მეთოდიდან ყველაზე უნივერსალური - გაუსის მეთოდი. ფაქტობრივად, „სკოლის“ მეთოდიც მიგვიყვანს პასუხამდე, მაგრამ უმაღლეს მათემატიკაში ჩვეულებრივია უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის გაუსის მეთოდის გამოყენება. ვინც არ იცნობს გაუსის მეთოდის ალგორითმს, გთხოვთ, ჯერ ისწავლოთ გაკვეთილი გაუსის მეთოდი დუმებისთვის.

თავად ელემენტარული მატრიცის გარდაქმნები ზუსტად იგივეა, განსხვავება იქნება ამოხსნის ბოლოს. პირველი, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითი, სადაც სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები (არათანმიმდევრული).

მაგალითი 1

რა იპყრობს თქვენს თვალს ამ სისტემაში? განტოლებების რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია. თუ განტოლებათა რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია, მაშინვე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სისტემა ან არათანმიმდევრულია, ან აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. და ეს რჩება მხოლოდ გასარკვევად.

ამოხსნის დასაწყისი საკმაოდ ჩვეულებრივია - ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას ეტაპობრივ ფორმამდე:

(1) ზედა მარცხენა საფეხურზე უნდა მივიღოთ +1 ან -1. პირველ სვეტში ასეთი რიცხვები არ არის, ამიტომ რიგების გადაწყობა არ იმუშავებს. დანაყოფი დამოუკიდებლად უნდა იყოს ორგანიზებული და ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მე ასე გავაკეთე: პირველ სტრიქონს დავუმატოთ მესამე სტრიქონი, გამრავლებული -1-ზე.

(2) ახლა ჩვენ ვიღებთ ორ ნულს პირველ სვეტში. მეორე სტრიქონს ვამატებთ 3-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.მესამე სტრიქონს ვამატებთ 5-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.

(3) ტრანსფორმაციის დასრულების შემდეგ, ყოველთვის მიზანშეწონილია ნახოთ, შესაძლებელია თუ არა მიღებული სიმების გამარტივება? შეუძლია. მეორე ხაზს ვყოფთ 2-ზე, ამავდროულად მეორე საფეხურზე ვიღებთ სასურველ -1-ს. მესამე ხაზი გავყოთ -3-ზე.

(4) დაამატეთ მეორე ხაზი მესამე ხაზს.

ალბათ, ყველამ ყურადღება მიაქცია ცუდ ხაზს, რომელიც ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად აღმოჩნდა: . გასაგებია, რომ ასე არ შეიძლება. მართლაც, ჩვენ ხელახლა ვწერთ მიღებულ მატრიცას დაუბრუნდით წრფივი განტოლებების სისტემას:

თუ ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ფორმის სტრიქონი, სადაც არის არანულოვანი რიცხვი, მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია (არ აქვს ამონახსნები).

როგორ ჩავწეროთ დავალების დასასრული? თეთრი ცარცით დავხატოთ: „ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ფორმის ხაზი, სად“ და მივცეთ პასუხი: სისტემას ამონახსნები არ აქვს (არათანმიმდევრული).

თუ, პირობის მიხედვით, საჭიროა სისტემის შესწავლა თავსებადობისთვის, მაშინ აუცილებელია გადაწყვეტის გამოცემა უფრო მყარი სტილით, რომელიც მოიცავს კონცეფციას. მატრიცული რანგი და კრონეკერ-კაპელის თეორემა.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ აქ გაუსის ალგორითმის საპირისპირო მოძრაობა არ არის - არ არსებობს გადაწყვეტილებები და უბრალოდ არაფერია მოსაძებნი.

მაგალითი 2

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ თქვენი ამოხსნის გზა შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩემი გადაწყვეტილების გზისგან, გაუსის ალგორითმს არ აქვს ძლიერი „სიმტკიცე“.

გადაწყვეტის კიდევ ერთი ტექნიკური მახასიათებელი: ელემენტარული გარდაქმნები შეიძლება შეჩერდეს ერთბაშად, როგორც კი ხაზი მოსწონს , სადაც . განვიხილოთ პირობითი მაგალითი: დავუშვათ, რომ პირველი ტრანსფორმაციის შემდეგ მივიღებთ მატრიცას . მატრიცა ჯერ არ არის დაყვანილი საფეხურზე, მაგრამ არ არის საჭირო შემდგომი ელემენტარული გარდაქმნები, რადგან გაჩნდა ფორმის ხაზი, სადაც . დაუყოვნებლივ უნდა უპასუხოს, რომ სისტემა შეუთავსებელია.

როდესაც წრფივი განტოლებების სისტემას არ აქვს ამონახსნები, ეს თითქმის საჩუქარია, რადგან მიიღება მოკლე ამონახსნები, ზოგჯერ ფაქტიურად 2-3 ნაბიჯში.

მაგრამ ამ სამყაროში ყველაფერი დაბალანსებულია და პრობლემა, რომელშიც სისტემას უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი აქვს, უფრო გრძელია.

მაგალითი 3

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

არსებობს 4 განტოლება და 4 უცნობი, ასე რომ სისტემას შეიძლება ჰქონდეს ერთი ამონახსნები, ან არ ჰქონდეს ამონახსნები, ან ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები. რაც არ უნდა იყო, მაგრამ გაუსის მეთოდი ნებისმიერ შემთხვევაში მიგვიყვანს პასუხამდე. ამაში მდგომარეობს მისი მრავალფეროვნება.

დასაწყისი ისევ სტანდარტულია. ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

სულ ესაა და გეშინოდა.

(1) გაითვალისწინეთ, რომ პირველი სვეტის ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე, ამიტომ 2 კარგია ზედა მარცხენა საფეხურზე. მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული -4-ზე. მესამე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული -2-ზე. მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე.

ყურადღება!ბევრი შეიძლება იყოს ცდუნება მეოთხე ხაზიდან გამოკლებაპირველი ხაზი. ეს შეიძლება გაკეთდეს, მაგრამ არ არის აუცილებელი, გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ გამოთვლებში შეცდომის ალბათობა რამდენჯერმე იზრდება. უბრალოდ შეაგროვეთ: მეოთხე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი, გამრავლებული -1-ზე - ზუსტად!

(2) ბოლო სამი ხაზი პროპორციულია, ორი მათგანი შეიძლება წაიშალოს.

აქ კიდევ ერთხელ აუცილებელია ჩვენება გაზრდილი ყურადღება, მაგრამ ხაზები ნამდვილად პროპორციულია? გადაზღვევისთვის (განსაკუთრებით ჩაიდანისთვის) ზედმეტი არ იქნება მეორე რიგის -1-ზე გამრავლება და მეოთხე რიგის 2-ზე გაყოფა, შედეგად სამი იდენტური მწკრივი იქნება. და მხოლოდ ამის შემდეგ ამოიღეთ ორი მათგანი.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად, სისტემის გაფართოებული მატრიცა მცირდება საფეხურზე:

რვეულში დავალების შესრულებისას სასურველია იგივე ჩანაწერების გაკეთება ფანქრით სიცხადისთვის.

ჩვენ ვწერთ განტოლებათა შესაბამის სისტემას:

სისტემის "ჩვეულებრივი" ერთადერთი გამოსავალი აქ სუნი არ დგას. არც ცუდი ხაზია. ეს ნიშნავს, რომ ეს არის მესამე დარჩენილი შემთხვევა - სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. ზოგჯერ, პირობით, აუცილებელია სისტემის თავსებადობის გამოკვლევა (ანუ იმის დასამტკიცებლად, რომ გამოსავალი საერთოდ არსებობს), ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიის ბოლო პუნქტში. როგორ მოვძებნოთ მატრიცის წოდება?მაგრამ ახლა მოდით ჩამოვყოთ საფუძვლები:

სისტემის ამონახსნების უსასრულო ნაკრები მოკლედ იწერება ე.წ ზოგადი სისტემის გადაწყვეტა .

ჩვენ ვიპოვით სისტემის ზოგად ამოხსნას გაუსის მეთოდის საპირისპირო მოძრაობის გამოყენებით.

ჯერ უნდა განვსაზღვროთ რა ცვლადები გვაქვს ძირითადიდა რომელი ცვლადები უფასო. არ არის საჭირო წრფივი ალგებრის ტერმინებით შეწუხება, საკმარისია გვახსოვდეს, რომ არსებობს ასეთი საბაზისო ცვლადებიდა უფასო ცვლადები.

ძირითადი ცვლადები ყოველთვის "სხედან" მკაცრად მატრიცის საფეხურებზე.
ამ მაგალითში ძირითადი ცვლადებია და

უფასო ცვლადები ყველაფერია დარჩენილიცვლადები, რომლებმაც არ მიიღეს ნაბიჯი. ჩვენს შემთხვევაში ორი მათგანია: - თავისუფალი ცვლადები.

ახლა თქვენ გჭირდებათ ყველა საბაზისო ცვლადებიგამოხატოს მხოლოდ მეშვეობით უფასო ცვლადები.

გაუსის ალგორითმის საპირისპირო მოძრაობა ტრადიციულად მუშაობს ქვემოდან ზევით.
სისტემის მეორე განტოლებიდან გამოვხატავთ ძირითად ცვლადს:

ახლა შეხედეთ პირველ განტოლებას: . პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით მასში ნაპოვნი გამონათქვამს:

რჩება ძირითადი ცვლადის გამოხატვა თავისუფალი ცვლადების თვალსაზრისით:

შედეგი არის ის, რაც გჭირდებათ - ყველაგამოსახულია საბაზისო ცვლადები ( და ). მხოლოდ მეშვეობითუფასო ცვლადები:

სინამდვილეში, ზოგადი გამოსავალი მზად არის:

როგორ დავწეროთ ზოგადი გამოსავალი?
უფასო ცვლადები იწერება ზოგად გადაწყვეტაში "თავისთავად" და მკაცრად მათ ადგილებზე. ამ შემთხვევაში თავისუფალი ცვლადები უნდა დაიწეროს მეორე და მეოთხე პოზიციებზე:
.

მიღებული გამონათქვამები ძირითადი ცვლადებისთვის და აშკარად უნდა დაიწეროს პირველ და მესამე პოზიციებზე:

უფასო ცვლადების მიცემა თვითნებური მნიშვნელობები, უსასრულოდ ბევრია პირადი გადაწყვეტილებები. ყველაზე პოპულარული მნიშვნელობები არის ნულები, რადგან კონკრეტული გადაწყვეტა ყველაზე მარტივი მოსაპოვებელია. ჩანაცვლება ზოგად ხსნარში:

პირადი გადაწყვეტილებაა.

ისინი კიდევ ერთი ტკბილი წყვილია, მოდით ჩავანაცვლოთ ზოგადი გადაწყვეტა:

არის კიდევ ერთი კონკრეტული გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ განტოლებათა სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი(რადგან ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ უფასო ცვლადები ნებისმიერიღირებულებები)

თითოეულიკონკრეტული გამოსავალი უნდა აკმაყოფილებდეს თითოეულსისტემის განტოლება. ეს არის გადაწყვეტის სისწორის "სწრაფი" შემოწმების საფუძველი. აიღეთ, მაგალითად, კონკრეტული ამონახსნი და ჩაანაცვლეთ იგი ორიგინალური სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს:

ყველაფერი ერთად უნდა შედგეს. და ნებისმიერი კონკრეტული გადაწყვეტით, რაც თქვენ მიიღებთ, ყველაფერი ასევე უნდა ემთხვეოდეს.

მაგრამ, მკაცრად რომ ვთქვათ, კონკრეტული გადაწყვეტის გადამოწმება ზოგჯერ ატყუებს; ზოგიერთი კონკრეტული ამონახსნი შეიძლება აკმაყოფილებდეს სისტემის თითოეულ განტოლებას და თავად ზოგადი ამონახსნები რეალურად არასწორად არის ნაპოვნი.

ამიტომ, ზოგადი გადაწყვეტის შემოწმება უფრო საფუძვლიანი და საიმედოა. როგორ შევამოწმოთ მიღებული ზოგადი გამოსავალი ?

ადვილია, მაგრამ საკმაოდ დამღლელი. ჩვენ უნდა მივიღოთ გამონათქვამები ძირითადიცვლადები, ამ შემთხვევაში და , და ჩაანაცვლეთ ისინი სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს.

სისტემის პირველი განტოლების მარცხენა მხარეს:

სისტემის მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს:


მიღებულია ორიგინალური განტოლების მარჯვენა მხარე.

მაგალითი 4

ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით. იპოვეთ ზოგადი და ორი პირადი გამოსავალი. შეამოწმეთ საერთო გამოსავალი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. აქ, სხვათა შორის, ისევ განტოლებათა რიცხვი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ მაშინვე ცხადია, რომ სისტემა ან არათანმიმდევრული იქნება, ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა ექნება. რა არის მნიშვნელოვანი თავად გადაწყვეტილების პროცესში? ყურადღება და ისევ ყურადღება. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

და კიდევ რამდენიმე მაგალითი მასალის გასაძლიერებლად

მაგალითი 5

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა. თუ სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი, იპოვნეთ ორი კონკრეტული გამოსავალი და შეამოწმეთ ზოგადი ამოხსნა

გამოსავალი: დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით მივიყვანოთ საფეხურზე:

(1) დაამატეთ პირველი ხაზი მეორე სტრიქონს. მესამე სტრიქონს ვამატებთ 2-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ 3-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს.
(2) მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -5-ზე. მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -7-ზე.
(3) მესამე და მეოთხე სტრიქონები იგივეა, ჩვენ ვშლით ერთ-ერთ მათგანს.

აი ასეთი სილამაზე:

საბაზისო ცვლადები ზის საფეხურებზე, ამიტომ ისინი საბაზისო ცვლადებია.
არსებობს მხოლოდ ერთი უფასო ცვლადი, რომელსაც ნაბიჯი არ მიუღია:

საპირისპირო მოძრაობა:
ჩვენ გამოვხატავთ ძირითად ცვლადებს თავისუფალი ცვლადის მიხედვით:
მესამე განტოლებიდან:

განვიხილოთ მეორე განტოლება და ჩაანაცვლეთ მასში ნაპოვნი გამონათქვამი:

განვიხილოთ პირველი განტოლება და ჩაანაცვლეთ ნაპოვნი გამონათქვამები და მასში:

დიახ, კალკულატორი, რომელიც ითვლის ჩვეულებრივ წილადებს, მაინც მოსახერხებელია.

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის:

კიდევ ერთხელ, როგორ მოხდა ეს? თავისუფალი ცვლადი მარტო ზის თავის კანონიერ მეოთხე ადგილზე. ძირითადი ცვლადების მიღებულმა გამონათქვამებმა ასევე დაიკავეს რიგითი ადგილები.

მოდით დაუყოვნებლივ შევამოწმოთ ზოგადი გადაწყვეტა. იმუშავე შავკანიანებზე, მაგრამ მე უკვე გავაკეთე, ასე რომ დაიჭირე =)

ჩვენ ვცვლით სამ გმირს , სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს:

მიღებულია განტოლებების შესაბამისი მარჯვენა მხარეები, ამიტომ ზოგადი ამონახსნები სწორად არის ნაპოვნი.

ახლა ნაპოვნი ზოგადი გადაწყვეტიდან ჩვენ ვიღებთ ორ კონკრეტულ გადაწყვეტას. აქ შეფ-მზარეული ერთადერთი უფასო ცვლადია. არ გჭირდება თავის გატეხვა.

დაე მერე პირადი გადაწყვეტილებაა.
დაე მერე არის კიდევ ერთი კონკრეტული გამოსავალი.

უპასუხე: საერთო გადაწყვეტილება: კონკრეტული გადაწყვეტილებები: , .

აქ არ უნდა მახსოვდეს შავკანიანების შესახებ... ... რადგან თავში ყველანაირი სადისტური მოტივი გამახსენდა და გამახსენდა კარგად ცნობილი ფოტოჟაბა, რომელშიც თეთრ სპეცტანსაცმელში გამოწყობილი კუ კლუქს კლანსმენები შავი ფეხბურთის შემდეგ მოედანზე დარბიან. მოთამაშე. ვჯდები და ჩუმად ვიღიმი. თქვენ იცით, როგორ აშორებს ყურადღებას….

ბევრი მათემატიკა საზიანოა, ამიტომ მსგავსი საბოლოო მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის.

მაგალითი 6

იპოვეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნი.

მე უკვე შევამოწმე ზოგადი გამოსავალი, პასუხი შეიძლება სანდო იყოს. თქვენი გამოსავალი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩემი გადაწყვეტილებისგან, მთავარია, რომ ზოგადი გადაწყვეტილებები ემთხვეოდეს.

ალბათ ბევრმა შეამჩნია უსიამოვნო მომენტი ამონახსნებში: ძალიან ხშირად, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსის დროს, ჩვეულებრივ წილადებთან გვიწევდა ჩხუბი. პრაქტიკაში, ეს ასეა, შემთხვევები, როდესაც არ არსებობს წილადები, გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია. მოემზადეთ გონებრივად და რაც მთავარია ტექნიკურად.

მე შევჩერდები ამოხსნის ზოგიერთ მახასიათებელზე, რომელიც ამოხსნილ მაგალითებში ვერ მოიძებნა.

სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა ზოგჯერ შეიძლება შეიცავდეს მუდმივას (ან მუდმივებს), მაგალითად: . აქ ერთ-ერთი ძირითადი ცვლადი უდრის მუდმივ რიცხვს: . ამაში ეგზოტიკური არაფერია, ეს ხდება. ცხადია, ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი კონკრეტული გამოსავალი შეიცავს ხუთეულს პირველ პოზიციაზე.

იშვიათად, მაგრამ არის სისტემები, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე მეტია. გაუსის მეთოდი მუშაობს ყველაზე მძიმე პირობებში, მშვიდად უნდა მივიყვანოთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა საფეხურზე სტანდარტული ალგორითმის მიხედვით. ასეთი სისტემა შეიძლება იყოს არათანმიმდევრული, შეიძლება ჰქონდეს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი და, უცნაურად საკმარისი, შეიძლება ჰქონდეს უნიკალური გადაწყვეტა.

• სისტემები მწრფივი განტოლებები ნუცნობი.
  წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნაარის ასეთი რიცხვების ნაკრები ( x 1, x 2, ..., x n), რომლის ჩანაცვლებით სისტემის თითოეულ განტოლებაში მიიღება სწორი ტოლობა.
  სადაც a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, nარის სისტემის კოეფიციენტები;
  b i, i = 1, …, m- თავისუფალი წევრები;
  x j, j = 1, …, n- უცნობი.
  ზემოაღნიშნული სისტემა შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით: A X = B,
  
  
  
  
  სად ( ა|ბ) არის სისტემის მთავარი მატრიცა;
  ა- სისტემის გაფართოებული მატრიცა;
  X- უცნობის სვეტი;
  ბარის თავისუფალი წევრების სვეტი.
  თუ მატრიცა ბარ არის ნულოვანი მატრიცა ∅, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას უწოდებენ არაჰომოგენურს.
  თუ მატრიცა ბ= ∅, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას ერთგვაროვანი ეწოდება. ერთგვაროვან სისტემას ყოველთვის აქვს ნულოვანი (ტრივიალური) გამოსავალი: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  წრფივი განტოლებათა ერთობლივი სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს ამონახსნი.
  წრფივი განტოლებათა არათანმიმდევრული სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც არ აქვს ამონახსნი.
  წრფივი განტოლებათა გარკვეული სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს უნიკალური ამონახსნები.
  წრფივი განტოლებათა განუსაზღვრელი სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
• n წრფივი განტოლების სისტემები n უცნობით
  თუ უცნობის რაოდენობა უდრის განტოლებათა რაოდენობას, მაშინ მატრიცა არის კვადრატი. მატრიცის განმსაზღვრელს ეწოდება წრფივი განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი და აღინიშნება სიმბოლო Δ.
  კრამერის მეთოდისისტემების გადასაჭრელად ნწრფივი განტოლებები ნუცნობი.
  კრამერის წესი.
  თუ წრფივი განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ სისტემა თანმიმდევრული და განსაზღვრულია და ერთადერთი გამოსავალი გამოითვლება კრამერის ფორმულების გამოყენებით:
  სადაც Δ i არის დეტერმინანტები, რომლებიც მიიღება Δ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელიდან შეცვლით მეე სვეტი თავისუფალი წევრების სვეტამდე. .
• m წრფივი განტოლებების სისტემები n უცნობით
  კრონეკერ-კაპელის თეორემა.
  
  
  იმისათვის, რომ წრფივი განტოლებების ეს სისტემა იყოს თანმიმდევრული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის მატრიცის რანგი ტოლი იყოს სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგის, წოდება (Α) = წოდება (Α|B).
  Თუ რანგი(Α) ≠ რანგი(Α|B), მაშინ სისტემას აშკარად არ აქვს გადაწყვეტილებები.
  თუ წოდება (Α) = წოდება (Α|B), მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა:
  1) rang(Α) = n(უცნობების რაოდენობამდე) - გამოსავალი უნიკალურია და მისი მიღება შესაძლებელია კრამერის ფორმულებით;
  2) წოდება (Α)< n − უსასრულოდ ბევრი გამოსავალია.
• გაუსის მეთოდიწრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისთვის
  
  
  მოდით შევადგინოთ გაძლიერებული მატრიცა ( ა|ბ) კოეფიციენტების მოცემული სისტემის უცნობი და მარჯვენა მხარეს.
  გაუსის მეთოდი ან უცნობების აღმოფხვრის მეთოდი მოიცავს გაზრდილი მატრიცის შემცირებას ( ა|ბ) მის მწკრივებზე ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით დიაგონალურ ფორმამდე (ზედა სამკუთხედის ფორმამდე). განტოლებათა სისტემას რომ დავუბრუნდეთ, ყველა უცნობი განისაზღვრება.
  სიმებიანი ელემენტარული გარდაქმნები მოიცავს შემდეგს:
  1) ორი ხაზის შეცვლა;
  2) სტრიქონის გამრავლება 0-ის გარდა სხვა რიცხვზე;
  3) სტრიქონში სხვა სტრიქონის დამატება თვითნებური რიცხვით გამრავლებული;
  4) ნულოვანი სტრიქონის გაუქმება.
  დიაგონალურ ფორმამდე დაყვანილი გაფართოებული მატრიცა შეესაბამება მოცემულის ექვივალენტურ წრფივ სისტემას, რომლის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს. .
• ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებათა სისტემა.
  ერთგვაროვან სისტემას აქვს ფორმა:
  
  იგი შეესაბამება მატრიცის განტოლებას A X = 0.
  1) ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ვინაიდან r(A) = r(A|B), ყოველთვის არის ნულოვანი ამონახსნი (0, 0, ..., 0).
  2) იმისთვის, რომ ერთგვაროვან სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია r = r(A)< n , რომელიც უდრის Δ = 0-ს.
  3) თუ რ< n , შემდეგ Δ = 0, მაშინ არის თავისუფალი უცნობი c 1 , c 2 , ..., c n-r, სისტემას აქვს არატრივიალური გადაწყვეტილებები და მათგან უსაზღვროდ ბევრია.
  4) ზოგადი გადაწყვეტა Xზე რ< n შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით შემდეგნაირად:
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  სად არის გადაწყვეტილებები X 1 , X 2 , …, X n-rქმნიან გადაწყვეტილებების ფუნდამენტურ სისტემას.
  5) ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შეიძლება მივიღოთ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნით:
  
  ,
  თუ თანმიმდევრულად მივიღებთ პარამეტრების მნიშვნელობებს (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1).
  ზოგადი ამონახსნის დაშლა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის თვალსაზრისითარის ზოგადი ამონახსნის ჩანაწერი, როგორც ფუნდამენტური სისტემის კუთვნილი ამონახსნების წრფივი კომბინაცია.
  თეორემა. წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას რომ ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია Δ ≠ 0.
  ასე რომ, თუ განმსაზღვრელი არის Δ ≠ 0, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი.
  თუ Δ ≠ 0, მაშინ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
  თეორემა. იმისათვის, რომ ერთგვაროვან სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, ეს აუცილებელია და საკმარისია r(A)< n .
  მტკიცებულება:
  1) რმეტი არ შეიძლება ნ(მატრიცის რანგი არ აღემატება სვეტების ან მწკრივების რაოდენობას);
  2) რ< n , იმიტომ თუ r=n, შემდეგ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი Δ ≠ 0 და, კრამერის ფორმულების მიხედვით, არსებობს უნიკალური ტრივიალური ამოხსნა. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, რაც ეწინააღმდეგება პირობას. ნიშნავს, r(A)< n .
  შედეგი. ერთგვაროვანი სისტემის შესაქმნელად ნწრფივი განტოლებები ნუცნობებს აქვს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ Δ = 0.

გამოსავალი. A= . იპოვეთ r(A). იმიტომ რომ მატრიცა A-ს აქვს რიგი 3x4, მაშინ მინორების უმაღლესი რიგი არის 3. უფრო მეტიც, მესამე რიგის ყველა მინორი ნულის ტოლია (თქვენ თვითონ შეამოწმეთ). ნიშნავს, r(A)< 3. Возьмем главный ძირითადი მცირე = -5-4 = -9 ≠ 0. აქედან r(A) =2.

განვიხილოთ მატრიცა FROM = .

მცირე მესამე შეკვეთა ≠ 0. აქედან გამომდინარე, r(C) = 3.

მას შემდეგ, რაც r(A) ≠ r(C) , მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია.

მაგალითი 2განტოლებათა სისტემის თავსებადობის განსაზღვრა

გადაჭრით ეს სისტემა, თუ ის თანმიმდევრულია.

გამოსავალი.

A =, C = . ცხადია, r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. ვინაიდან detC = 0, მაშინ r(C)< 4. განვიხილოთ მცირეწლოვანი მესამე შეკვეთა, მდებარეობს A და C მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში: = -23 ≠ 0. აქედან გამომდინარე, r(A) = r(C) = 3.

ნომერი უცნობი სისტემაში n=3. ასე რომ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ამ შემთხვევაში, მეოთხე განტოლება არის პირველი სამის ჯამი და მისი იგნორირება შესაძლებელია.

კრამერის ფორმულების მიხედვითვიღებთ x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. მატრიცული მეთოდი. გაუსის მეთოდი

სისტემა ნწრფივი განტოლებებითან ნუცნობის ამოხსნა შესაძლებელია მატრიცული მეთოდიფორმულის მიხედვით X \u003d A -1 B (Δ ≠ 0), რომელიც მიიღება (2)-დან ორივე ნაწილის A -1-ზე გამრავლებით.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

მატრიცული მეთოდით (თავში 2.2 ეს სისტემა ამოხსნილია კრამერის ფორმულების გამოყენებით)

გამოსავალი. Δ=10 ≠ 0 A = - არაინგულარული მატრიცა.

= (დაამოწმეთ ეს თქვენთვის საჭირო გამოთვლების გაკეთებით).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x=.

უპასუხე: .

პრაქტიკული თვალსაზრისითმატრიცული მეთოდი და ფორმულები კრამერიასოცირდება დიდი რაოდენობით გამოთვლებთან, ამიტომ უპირატესობა ენიჭება გაუსის მეთოდი, რომელიც შედგება უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრაში. ამისათვის განტოლებათა სისტემა მცირდება ეკვივალენტურ სისტემამდე სამკუთხა გაზრდილი მატრიცით (მთავარი დიაგონალის ქვემოთ ყველა ელემენტი ნულის ტოლია). ამ მოქმედებებს პირდაპირ მოძრაობას უწოდებენ. შედეგად მიღებული სამკუთხა სისტემიდან, ცვლადები გვხვდება თანმიმდევრული ჩანაცვლების გამოყენებით (უკან).

მაგალითი 2. ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით

(ეს სისტემა ზემოთ მოგვარდა კრამერის ფორმულისა და მატრიცის მეთოდის გამოყენებით).

გამოსავალი.

პირდაპირი მოძრაობა. ჩვენ ვწერთ გაძლიერებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ სამკუთხა ფორმამდე:

~ ~ ~ ~ .

მიიღეთ სისტემა

საპირისპირო მოძრაობა.ბოლო განტოლებიდან ვხვდებით X 3 = -6 და ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა მეორე განტოლებაში:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

უპასუხე: .

2.5. წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამოხსნა

მოდით, მოცემულია წრფივი განტოლებათა სისტემა = ბ ი(მე=). ვთქვათ r(A) = r(C) = r, ე.ი. სისტემა თანამშრომლობითია. r რიგის ნებისმიერი არანულოვანი მინორი არის ძირითადი მცირე.ზოგადობის დაკარგვის გარეშე, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ძირითადი მინორი მდებარეობს A მატრიცის პირველ r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) სტრიქონებსა და სვეტებში. სისტემის ბოლო m-r განტოლებების უგულებელყოფით, ვწერთ შემოკლებულს. სისტემა:

რომელიც ორიგინალის ტოლფასია. მოდით დავასახელოთ უცნობი x 1,….x rძირითადი და x r +1 ,…, x rგაათავისუფლეთ და გადაიტანეთ თავისუფალი უცნობის შემცველი ტერმინები შეკვეცილი სისტემის განტოლებათა მარჯვენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ სისტემას ძირითად უცნობებთან მიმართებაში:

რომელიც თავისუფალი უცნობი მნიშვნელობების თითოეული ნაკრებისთვის x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-rაქვს ერთადერთი გამოსავალი x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r),ნაპოვნია კრამერის წესით.

შესაბამისი ხსნარიშემცირდა და, შესაბამისად, თავდაპირველ სისტემას აქვს ფორმა:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

თუ ზოგად ამოხსნაში თავისუფალ უცნობებს მიენიჭებათ გარკვეული რიცხვითი მნიშვნელობები, მაშინ მივიღებთ წრფივი სისტემის ამოხსნას, რომელსაც ეწოდება კერძო.

მაგალითი. დაამყარეთ თავსებადობა და იპოვნეთ სისტემის საერთო გადაწყვეტა

გამოსავალი. A = , С = .

Ისე როგორ r(A)= r(C) = 2 (იხილეთ თქვენთვის), მაშინ ორიგინალური სისტემა თავსებადია და აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა (რადგან r< 4).