ტრიგონომეტრიული იდენტობებიარის ტოლობები, რომლებიც ამყარებენ ურთიერთობას ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის, რაც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რომელიმე ამ ფუნქციიდან, იმ პირობით, რომ რომელიმე სხვა ცნობილია.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

ეს იდენტურობა ამბობს, რომ ერთი კუთხის სინუსის კვადრატისა და ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატის ჯამი უდრის ერთს, რაც პრაქტიკაში შესაძლებელს ხდის ერთი კუთხის სინუსის გამოთვლას, როდესაც ცნობილია მისი კოსინუსი და პირიქით. .

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციისას ძალიან ხშირად გამოიყენება ეს იდენტურობა, რაც საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ერთი კუთხის კოსინუსის და სინუსის კვადრატების ჯამი ერთით და ასევე შეასრულოთ ჩანაცვლების ოპერაცია საპირისპირო მიზნით.

ტანგენტისა და კოტანგენტის პოვნა სინუსისა და კოსინუსის მეშვეობით

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ეს იდენტობები ჩამოყალიბებულია სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებებიდან. ბოლოს და ბოლოს, თუ დააკვირდებით, მაშინ განსაზღვრებით, y-ის ორდინატი არის სინუსი, ხოლო x-ის აბსცისა არის კოსინუსი. მაშინ ტანგენსი თანაფარდობის ტოლი იქნება \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)და თანაფარდობა \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- იქნება კოტანგენსი.

დავამატებთ, რომ მხოლოდ ისეთ კუთხეებს \ალფა, რომლებისთვისაც მათში შემავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აზრიანია, იდენტობები განხორციელდება, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Მაგალითად: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)მოქმედებს \alpha კუთხეებისთვის, რომლებიც განსხვავდება \frac(\pi)(2)+\pi z, ა ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ის გარდა \alpha კუთხისთვის, z არის მთელი რიცხვი.

კავშირი ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ეს იდენტურობა მოქმედებს მხოლოდ \alpha კუთხებისთვის, რომლებიც განსხვავდება \frac(\pi)(2) z. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არც კოტანგენსი და არც ტანგენსი არ განისაზღვრება.

ზემოთ მოყვანილი პუნქტებიდან გამომდინარე, ჩვენ ამას მივიღებთ tg \alpha = \frac(y)(x), ა ctg\alpha=\frac(x)(y). აქედან გამომდინარეობს, რომ tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ამრიგად, ერთი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი, რომლითაც ისინი აზრს იძენენ, ორმხრივი რიცხვებია.

კავშირი ტანგენტსა და კოსინუსს, კოტანგენტსა და სინუსს შორის

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)— კუთხის \ალფას და 1-ის ტანგენსის კვადრატის ჯამი უდრის ამ კუთხის კოსინუსის შებრუნებულ კვადრატს. ეს იდენტიფიკაცია მოქმედებს ყველა \alpha-სთვის, გარდა \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1-ისა და კუთხის \ალფა კოტანგენსის კვადრატის ჯამი უდრის მოცემული კუთხის სინუსის შებრუნებულ კვადრატს. ეს იდენტიფიკაცია მოქმედებს ნებისმიერი \alpha-სთვის, გარდა \pi z.

მაგალითები პრობლემების გადაწყვეტით ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით

მაგალითი 1

იპოვეთ \sin \alpha და tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12და \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

გადაწყვეტის ჩვენება

გამოსავალი

ფუნქციები \sin \alpha და \cos \alpha დაკავშირებულია ფორმულით \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. ჩანაცვლება ამ ფორმულაში \cos \alpha = -\frac12, ვიღებთ:

\sin^(2)\alpha + \მარცხნივ (-\frac12 \მარჯვნივ)^2 = 1

ამ განტოლებას აქვს 2 ამონახსნი:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

პირობით \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . მეორე კვარტალში სინუსი დადებითია, ასე რომ \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha-ს საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

მაგალითი 2

იპოვეთ \cos \alpha და ctg \alpha თუ და \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

გადაწყვეტის ჩვენება

გამოსავალი

ჩანაცვლება ფორმულაში \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1პირობითი ნომერი \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), ვიღებთ \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. ამ განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

პირობით \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . მეორე კვარტალში კოსინუსი უარყოფითია, ასე რომ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ctg \alpha, ვიყენებთ ფორმულას ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). ჩვენ ვიცით შესაბამისი მნიშვნელობები.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ ყოვლისმომცველ მიმოხილვას. ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები არის ტოლობები, რომლებიც ამყარებენ ურთიერთობას ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის და საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რომელიმე ამ ტრიგონომეტრიული ფუნქციიდან ცნობილი მეორის მეშვეობით.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ჩამოვთვლით მთავარ ტრიგონომეტრიულ იდენტობებს, რომლებსაც ამ სტატიაში გავაანალიზებთ. ჩვენ მათ ვწერთ ცხრილში, ქვემოთ კი ვაძლევთ ამ ფორმულების წარმოშობას და ვაძლევთ საჭირო განმარტებებს.

გვერდის ნავიგაცია.

კავშირი ერთი კუთხის სინუსსა და კოსინუსს შორის

ზოგჯერ ისინი საუბრობენ არა ზემოთ ცხრილში ჩამოთვლილ მთავარ ტრიგონომეტრიულ იდენტობებზე, არამედ ერთ სინგლზე ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობაკეთილი . ამ ფაქტის ახსნა საკმაოდ მარტივია: ტოლობები მიიღება ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობიდან, მისი ორივე ნაწილის და, შესაბამისად, და ტოლობების გაყოფის შემდეგ. და დაიცავით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის და კოტანგენტის განმარტებებიდან. ამაზე უფრო დეტალურად განვიხილავთ შემდეგ აბზაცებში.

ეს არის ის თანასწორობა, რომელიც განსაკუთრებულ ინტერესს იწვევს, რომელსაც მიენიჭა მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტობის სახელი.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის დამტკიცებამდე მის ფორმულირებას ვაძლევთ: ერთი კუთხის სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი იდენტურად უდრის ერთს. ახლა დავამტკიცოთ.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა ძალიან ხშირად გამოიყენება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების ტრანსფორმაცია. ის საშუალებას აძლევს ერთი კუთხის სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი შეიცვალოს ერთით. არანაკლებ ხშირად, ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით: ერთეული იცვლება ნებისმიერი კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამით.

ტანგენსი და კოტანგენსი სინუსის და კოსინუსის მეშვეობით

იდენტობები, რომლებიც აკავშირებს ტანგენტსა და კოტანგენტს ფორმის ერთი კუთხის სინუსთან და კოსინუსთან და დაუყოვნებლივ დაიცავით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებებიდან. მართლაც, განმარტებით, სინუსი არის y-ის ორდინატი, კოსინუსი არის x-ის აბსცისა, ტანგენსი არის ორდინატისა და აბსცისის შეფარდება, ანუ, და კოტანგენსი არის აბსცისის შეფარდება ორდინატთან, ანუ, .

იდენტობათა ამ აშკარაობის გამო და ხშირად ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებები მოცემულია არა აბსცისა და ორდინატის თანაფარდობით, არამედ სინუსისა და კოსინუსის თანაფარდობით. ასე რომ, კუთხის ტანგენსი არის სინუსის შეფარდება ამ კუთხის კოსინუსთან, ხოლო კოტანგენსი არის კოსინუსის შეფარდება სინუსთან.

ამ განყოფილების დასასრულებლად უნდა აღინიშნოს, რომ ვინაობა და გამართავს ყველა იმ კუთხეს, რომლისთვისაც მათში შემავალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აზრი აქვს. ასე რომ, ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერ სხვაზე, გარდა (თორემ მნიშვნელი იქნება ნული, და ჩვენ არ განვსაზღვრეთ გაყოფა ნულზე) და ფორმულა - ყველასთვის, განსხვავებული, სადაც z არის ნებისმიერი.

კავშირი ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის

კიდევ უფრო აშკარა ტრიგონომეტრიული იდენტურობა, ვიდრე ორი წინა, არის იდენტობა, რომელიც აკავშირებს ფორმის ერთი კუთხის ტანგენტსა და კოტანგენტს. . ცხადია, რომ ის ადგილი აქვს ნებისმიერ სხვა კუთხისთვის, თორემ ტანგენსი ან კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული.

ფორმულის დადასტურება ძალიან მარტივი. განმარტებით და საიდან . მტკიცებულება შეიძლებოდა განხორციელებულიყო ოდნავ განსხვავებული გზით. მას შემდეგ, რაც და , მაშინ .

მაშასადამე, ერთი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი, რომლითაც ისინი აზრიანია, არის.

ამ სტატიაში ჩვენ ვისაუბრებთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება. იგი მოიცავს ნებისმიერი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის გამოხატვას ნახევარკუთხის ტანგენტის მეშვეობით. უფრო მეტიც, ასეთი ჩანაცვლება ხორციელდება რაციონალურად, ანუ ფესვების გარეშე.

პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ ფორმულებს, რომლებიც გამოხატავს სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს ნახევარი კუთხის ტანგენტის მიხედვით. შემდეგი, ჩვენ ვაჩვენებთ ამ ფორმულების წარმოშობას. დასასრულს, მოდით შევხედოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ნახევარი კუთხის ტანგენსით

პირველ რიგში, მოდით ჩამოვწეროთ ოთხი ფორმულა, რომლებიც გამოხატავს კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს ნახევარკუთხის ტანგენტის მიხედვით.

ეს ფორმულები მოქმედებს ყველა კუთხისთვის, რომლითაც განისაზღვრება მათში შემავალი ტანგენტები და კოტანგენტები:

ფორმულების წარმოშობა

მოდით გავაანალიზოთ ფორმულების წარმოშობა, რომლებიც გამოხატავენ კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს ნახევარკუთხის ტანგენსით. დავიწყოთ სინუსის და კოსინუსების ფორმულებით.

ჩვენ წარმოვადგენთ სინუსს და კოსინუსს ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით, როგორც და შესაბამისად. ახლა გამონათქვამები და ჩაწერეთ წილადები 1-ით მნიშვნელით და . გარდა ამისა, ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის საფუძველზე, ჩვენ ვცვლით ერთეულებს მნიშვნელში სინუსისა და კოსინუსის კვადრატების ჯამით, რის შემდეგაც ვიღებთ და . და ბოლოს, ჩვენ ვყოფთ მიღებული წილადების მრიცხველსა და მნიშვნელს (მისი მნიშვნელობა განსხვავდება ნულიდან, იმ პირობით, რომ ). შედეგად, მოქმედებების მთელი ჯაჭვი ასე გამოიყურება:


და

ეს ასრულებს ფორმულების წარმოქმნას, რომლებიც გამოხატავს სინუსსა და კოსინუსს ნახევარკუთხის ტანგენტის მეშვეობით.

რჩება ტანგენტისა და კოტანგენსის ფორმულების გამოყვანა. ახლა, ზემოთ მიღებული ფორმულების გათვალისწინებით და ფორმულები და , ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიღებთ ფორმულებს, რომლებიც გამოხატავენ ტანგენტს და კოტანგენტს ნახევარი კუთხის ტანგენტის მეშვეობით:

ამრიგად, ჩვენ გამოვიყვანეთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ყველა ფორმულა.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენების მაგალითები

პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენების მაგალითი გამონათქვამების კონვერტაციისას.

მაგალითი.

მიეცით გამოხატულება გამოსახულებას, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას.

გამოსავალი.

პასუხი:

.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:პროკ. 9 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა / იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განმანათლებლობა, 1990.- 272 გვ.: ill.- isbn 5-09-002727-7
• ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.
• Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

ინსტრუქცია

გამოიყენე შენი ცოდნა პლანიმეტრიის გამოსახატავად სინუსითანა სინუსი. Განმარტებით, სინუსიომი კუთხის მართკუთხა სამკუთხედის სიგრძის საპირისპირო და სინუსი om - ჰიპოტენუზის მიმდებარე ფეხი. პითაგორას თეორემის ცოდნაც კი საშუალებას მოგცემთ სწრაფად იპოვოთ სასურველი ტრანსფორმაცია ზოგიერთ შემთხვევაში.

გამოხატოს სინუსითანა სინუსი, უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით, რომლის მიხედვითაც ამ სიდიდეების კვადრატების ჯამი იძლევა ერთიანობას. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ დავალების სწორად შესრულება შეგიძლიათ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იცით, რომ სასურველი კუთხე არის მეოთხედში, წინააღმდეგ შემთხვევაში მიიღებთ ორ შესაძლო შედეგს - დადებითი და ნიშანი.

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

არის სამკუთხედი, რომლის გვერდები a, b, c უდრის, შესაბამისად, 3, 4, 5 მმ.

იპოვე კოსინუსიდიდ გვერდებს შორის დახურული კუთხე.

მოდი ავღნიშნოთ a გვერდის მოპირდაპირე კუთხე ?-ზე, შემდეგ ზემოთ მიღებული ფორმულის მიხედვით გვაქვს:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

პასუხი: 0.8.

თუ სამკუთხედი მართკუთხა სამკუთხედია, მაშინ იპოვეთ კოსინუსიდა საკმარისია ვიცოდეთ კუთხის ნებისმიერი ორი მხარის სიგრძე ( კოსინუსიმართი კუთხე არის 0).

იყოს მართკუთხა სამკუთხედი a, b, c გვერდებით, სადაც c არის ჰიპოტენუზა.

განიხილეთ ყველა ვარიანტი:

იპოვეთ cos?, თუ ცნობილია a და b (სამკუთხედის) გვერდების სიგრძეები

დამატებით გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*ბ?)/(2*ბ*ვ(ბ?+ა?))=ბ/ვ(ბ?+ა?)

შედეგად მიღებული ფორმულის სისწორის მიზნით, ჩვენ მასში ვცვლით მაგალითს 1, ე.ი.

ელემენტარული გამოთვლების გაკეთების შემდეგ მივიღებთ:

ანალოგიურად, არსებობს კოსინუსიმართკუთხაში სამკუთხედისხვა შემთხვევებში:

ცნობილია a და c (ჰიპოტენუზა და საპირისპირო ფეხი), იპოვეთ cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

მაგალითიდან a=3 და c=5 მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

b და c ცნობილია (ჰიპოტენუზა და მიმდებარე ფეხი).

იპოვე სოსი?

მსგავსი გარდაქმნების განხორციელების შემდეგ (ნაჩვენებია მაგალითებში 2 და 3), ჩვენ ვიღებთ ამას ამ შემთხვევაში კოსინუსი in სამკუთხედიგამოითვლება ძალიან მარტივი ფორმულით:

მიღებული ფორმულის სიმარტივე ახსნილია ელემენტარული გზით: სინამდვილეში, კუთხის მიმდებარედ? ფეხი არის ჰიპოტენუზის პროექცია, მისი სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძეს გამრავლებული cos?.

პირველი მაგალითიდან b=4 და c=5 მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ:

ასე რომ, ყველა ჩვენი ფორმულა სწორია.

იმისათვის, რომ მივიღოთ ფორმულა დაკავშირებული სინუსიდა თანა სინუსიკუთხით, აუცილებელია გარკვეული განმარტებების მიცემა ან გახსენება. Ისე, სინუსიკუთხე არის მართკუთხა სამკუთხედის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა (გაყოფის კოეფიციენტი) ჰიპოტენუზასთან. Co. სინუსიკუთხე არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

ინსტრუქცია

სასარგებლო რჩევა

ნებისმიერი კუთხის სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს 1-ზე მეტი.

სინუსიდა კოსინუსი- ეს არის პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, რომელთათვისაც არსებობს რამდენიმე განმარტება - წრის მეშვეობით დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში, დიფერენციალური განტოლების ამონახსნების მეშვეობით, მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხით. თითოეული ეს განმარტება საშუალებას გაძლევთ გამოიტანოთ კავშირი ამ ორ ფუნქციას შორის. ქვემოთ მოცემულია, ალბათ, გამოხატვის ყველაზე მარტივი გზა კოსინუსისინუსის გავლით - მათი განმარტებებით მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხისთვის.

ინსტრუქცია

გამოხატეთ მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის სინუსი ამ ფიგურის გვერდების სიგრძით. განმარტების მიხედვით, კუთხის (α) სინუსი უნდა იყოს მის მოპირდაპირე მხარეს (a) სიგრძის თანაფარდობა - ფეხი - გვერდის სიგრძეზე (c) სწორი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს - ჰიპოტენუზა: sin. (α) = a / c.

იპოვეთ მსგავსი ფორმულა კოსინუსიმაგრამ იგივე კუთხე. განმარტებით, ეს მნიშვნელობა უნდა გამოიხატოს, როგორც ამ კუთხის მიმდებარე გვერდის (ბ) სიგრძის თანაფარდობა (მეორე ფეხი) გვერდის სიგრძესთან (c), რომელიც მდებარეობს მარჯვენა კუთხის საპირისპიროდ: cos (a) \u003d a/c.

გადაწერეთ პითაგორას თეორემიდან გამომდინარე განტოლება ისე, რომ გამოიყენოს წინა ორ საფეხურზე წარმოქმნილი მიმართებები ფეხებსა და ჰიპოტენუზას შორის. ამისათვის ჯერ ამ თეორემის ორივე ორიგინალი (a² + b² = c²) გაყავით ჰიპოტენუზის კვადრატზე (a² / c² + b² / c² = 1) და შემდეგ გადაწერეთ მიღებული ტოლობა ამ ფორმით: (a / გ)² + (ბ / გ)² = 1.

გამოსახულებაში ჩაანაცვლეთ ფეხებისა და ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით, პირველი და მეორე საფეხურის ფორმულების საფუძველზე: sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. გამოხატეთ კოსინუსიმიღებული ტოლობიდან: cos(a) = √(1 - sin²(a)). ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს ზოგადი გზით.

თუ ზოგადის გარდა, თქვენ უნდა მიიღოთ რიცხვითი შედეგი, გამოიყენეთ, მაგალითად, Windows ოპერაციულ სისტემაში ჩაშენებული კალკულატორი. მისი გაშვების ბმული OS მენიუს "ყველა პროგრამის" განყოფილების "სტანდარტული" ქვეგანყოფილებაში. ეს ბმული მოკლედ არის ჩამოყალიბებული - "კალკულატორი". იმისათვის, რომ შეძლოთ ამ პროგრამიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოთვლა, ჩართეთ მისი "საინჟინრო" ინტერფეისი - დააჭირეთ კლავიშთა კომბინაციას Alt + 2.

შეიყვანეთ კუთხის სინუსის მნიშვნელობა პირობებში და დააწკაპუნეთ ინტერფეისის ღილაკზე აღნიშვნით x² - ეს იქნება კვადრატული საწყისი მნიშვნელობა. შემდეგ კლავიატურაზე აკრიფეთ *-1, დააჭირეთ Enter, აკრიფეთ +1 და კვლავ დააჭირეთ Enter - ამ გზით თქვენ გამოაკლებთ სინუსის კვადრატს ერთეულს. დააწკაპუნეთ რადიკალურ ხატულაზე კვადრატის ამოსაღებად და საბოლოო შედეგის მისაღებად.

ზუსტი მეცნიერებების ერთ-ერთი ფუნდამენტური საფუძველია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კონცეფცია. ისინი განსაზღვრავენ მარტივ მიმართებებს მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. სინუსი ამ ფუნქციების ოჯახს ეკუთვნის. მისი პოვნა, კუთხის ცოდნა შეიძლება გაკეთდეს მრავალი გზით, მათ შორის ექსპერიმენტული, გამოთვლითი მეთოდებით, ასევე საცნობარო ინფორმაციის გამოყენებით.

დაგჭირდებათ

• - კალკულატორი;
• - კომპიუტერი;
• - ცხრილები;
• - ბრედის მაგიდები;
• - ქაღალდი;
• - ფანქარი.

ინსტრუქცია

გამოიყენეთ სინუს ფუნქციით სასურველი მნიშვნელობების მისაღებად კუთხის ცოდნის საფუძველზე. დღეს უმარტივესებსაც კი აქვთ მსგავსი ფუნქციონირება. ამ შემთხვევაში, გამოთვლები კეთდება ძალიან მაღალი სიზუსტით (ჩვეულებრივ, რვა ან მეტი ათობითი ნიშნით).

მიმართეთ პროგრამული უზრუნველყოფა, რომელიც გაშვებული ელცხრილის გარემოა პერსონალური კომპიუტერი. ასეთი აპლიკაციების მაგალითებია Microsoft Office Excel და OpenOffice.org Calc. შეიყვანეთ ნებისმიერ უჯრედში ფორმულა, რომელიც შედგება სინუსური ფუნქციის გამოძახებისგან სასურველი არგუმენტით. დააჭირეთ Enter. სასურველი მნიშვნელობა გამოჩნდება უჯრედში. ცხრილების უპირატესობა არის არგუმენტების დიდი ნაკრებისთვის ფუნქციის მნიშვნელობების სწრაფად გამოთვლა.

შეიტყვეთ კუთხის სინუსის სავარაუდო მნიშვნელობა ბრედისის ცხრილებიდან, თუ ეს შესაძლებელია. მათი მინუსი არის მნიშვნელობების სიზუსტე, რომელიც შემოიფარგლება ოთხი ათობითი ადგილით.

იპოვეთ კუთხის სინუსის სავარაუდო მნიშვნელობა გეომეტრიული კონსტრუქციების შედგენით. დახაზეთ ხაზი ფურცელზე. პროტრაქტორის გამოყენებით, მისგან განზე გამოყავით ის კუთხე, რომლის სინუსიც გსურთ იპოვოთ. დახაზეთ კიდევ ერთი ხაზი, რომელიც კვეთს პირველს რაღაც მომენტში. პირველი სეგმენტის პერპენდიკულურად დახაზეთ სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს ორ არსებულ სეგმენტს. თქვენ მიიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს. გაზომეთ მისი ჰიპოტენუზის სიგრძე და პროტრაქტორით აგებული კუთხის მოპირდაპირე ფეხი. გაყავით მეორე მნიშვნელობა პირველზე. ეს იქნება სასურველი მნიშვნელობა.

გამოთვალეთ კუთხის სინუსი ტეილორის სერიის გაფართოების გამოყენებით. თუ კუთხის მნიშვნელობა არის გრადუსებში, გადააქციეთ ის რადიანებად. გამოიყენეთ ასეთი ფორმულა: sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! - ... გამოთვლების სიჩქარის გასაზრდელად ჩაწერეთ სერიის ბოლო წევრის მრიცხველისა და მნიშვნელის მიმდინარე მნიშვნელობა, გამოთვალეთ შემდეგი მნიშვნელობა წინაზე დაყრდნობით. გაზარდეთ მწკრივის სიგრძე უფრო ზუსტი მნიშვნელობისთვის.

ასე შემოვიდა სინუსისა და კოსინუსის ცნებები. მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, ხოლო კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

კოსინუსებისა და სინუსების თეორემები

მაგრამ კოსინუსები და სინუსები შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედებში. ბლაგვი ან მახვილი კუთხის, ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდის მნიშვნელობის საპოვნელად საკმარისია კოსინუსის და სინუსების თეორემის გამოყენება.

კოსინუსების თეორემა საკმაოდ მარტივია: „სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამის გამოკლებით ამ გვერდების ორჯერ ნამრავლს მათ შორის კუთხის კოსინუსზე“.

სინუსების თეორემის ორი ინტერპრეტაცია არსებობს: მცირე და გაფართოებული. მცირეს მიხედვით: „სამკუთხედში კუთხეები მოპირდაპირე გვერდების პროპორციულია“. ეს თეორემა ხშირად ვრცელდება სამკუთხედის წრეწირის თვისების გამო: „სამკუთხედში კუთხეები მოპირდაპირე გვერდების პროპორციულია და მათი თანაფარდობა უდრის შემოხაზული წრის დიამეტრს“.

წარმოებულები

წარმოებული არის მათემატიკური ინსტრუმენტი, რომელიც აჩვენებს, თუ რამდენად სწრაფად იცვლება ფუნქცია მისი არგუმენტის ცვლილების მიმართ. წარმოებულები გამოიყენება გეომეტრიაში და რიგ ტექნიკურ დისციპლინაში.

პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების ტაბულური მნიშვნელობები: სინუსი და კოსინუსი. სინუსის წარმოებული არის კოსინუსი, ხოლო კოსინუსის წარმოებული არის სინუსი, მაგრამ მინუს ნიშნით.

გამოყენება მათემატიკაში

განსაკუთრებით ხშირად, სინუსები და კოსინუსები გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედების და მათთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას.

სინუსებისა და კოსინუსების მოხერხებულობა აისახება ტექნოლოგიაშიც. კუთხეების და გვერდების შეფასება ადვილი იყო კოსინუსებისა და სინუსების თეორემების გამოყენებით, რთული ფორმებისა და ობიექტების დაშლა "მარტივ" სამკუთხედებად. ინჟინრები და, რომლებიც ხშირად მუშაობდნენ ასპექტის თანაფარდობისა და ხარისხის ზომების გამოთვლებთან, დიდ დროს და ძალისხმევას ხარჯავდნენ არა-ცხრილი კუთხეების კოსინუსებისა და სინუსების გამოსათვლელად.

შემდეგ ბრადისის ცხრილები მოვიდა სამაშველოში, რომელიც შეიცავს სხვადასხვა კუთხის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ათასობით მნიშვნელობას. საბჭოთა პერიოდში ზოგიერთი მასწავლებელი აიძულებდა თავის პალატებს დაეზეპირებინათ ბრედისის ცხრილების გვერდები.

რადიანი - რკალის კუთხოვანი მნიშვნელობა, სიგრძის გასწვრივ რადიუსის ტოლი ან 57,295779513 ° გრადუსი.

ხარისხი (გეომეტრიაში) - წრის 1/360 ან მართი კუთხის 1/90.

π = 3.141592653589793238462… (pi-ს მიახლოებითი მნიშვნელობა).

კოსინუსების ცხრილი კუთხეებისთვის: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

კუთხე x (გრადულებში)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
კუთხე x (რადანებში)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

მე არ დაგარწმუნებთ, რომ არ დაწეროთ თაღლითური ფურცლები. დაწერე! მოტყუების ფურცლების ჩათვლით ტრიგონომეტრიაზე. მოგვიანებით ვაპირებ ახსნას, თუ რატომ არის საჭირო ჩეთ ფურცლები და რამდენად სასარგებლოა ჩეთ ფურცლები. და აქ - ინფორმაცია იმის შესახებ, თუ როგორ არ უნდა ვისწავლოთ, არამედ გახსოვდეთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფორმულა. ასე რომ - ტრიგონომეტრია თაღლითობის გარეშე! დასამახსოვრებლად ვიყენებთ ასოციაციებს.

1. დამატების ფორმულები:

კოსინუსები ყოველთვის „წყვილად მიდიან“: კოსინუს-კოსინუსი, სინუს-სინუსი. და კიდევ ერთი რამ: კოსინუსები "არაადეკვატურია". ისინი „ყველაფერი არასწორია“, ამიტომ ცვლიან ნიშნებს: „-“ „+“-ზე და პირიქით.

სინუსები - "ნარევი": სინუს-კოსინუსი, კოსინუს-სინუსი.

2. ჯამისა და სხვაობის ფორმულები:

კოსინუსები ყოველთვის "წყვილად მიდიან". ორი კოსინუსის - "ფუნთუშების" დამატების შემდეგ ვიღებთ წყვილ კოსინუსს - "კოლობოკებს". და გამოკლებით, ჩვენ ნამდვილად არ მივიღებთ კოლობოკებს. ჩვენ ვიღებთ რამდენიმე სინუსს. ჯერ კიდევ წინ არის მინუსი.

სინუსები - "ნარევი" :

3. პროდუქტის ჯამად და სხვაობად გარდაქმნის ფორმულები.

როდის ვიღებთ კოსინუსების წყვილს? კოსინუსების დამატებისას. Ამიტომაც

როდის ვიღებთ სინუსების წყვილს? კოსინუსების გამოკლებისას. აქედან:

„შერევა“ მიიღება როგორც სინუსების შეკრებით, ასევე გამოკლებით. რომელია უფრო სახალისო: შეკრება თუ გამოკლება? მართალია, დაკეცეთ. და ფორმულისთვის აიღეთ დამატება:

პირველ და მესამე ფორმულებში ფრჩხილებში - რაოდენობა. ვადების ადგილების გადალაგებიდან თანხა არ იცვლება. შეკვეთა მნიშვნელოვანია მხოლოდ მეორე ფორმულისთვის. მაგრამ იმისათვის, რომ არ დავიბნეოთ, დასამახსოვრებლად მარტივად, პირველ ფრჩხილებში სამივე ფორმულაში ვიღებთ განსხვავებას

და მეორე, ჯამი

ჯიბეში საწოლის ფურცლები სიმშვიდეს იძლევა: თუ ფორმულა დაგავიწყდათ, შეგიძლიათ ჩამოწეროთ იგი. და ისინი იძლევიან თავდაჯერებულობას: თუ თქვენ ვერ იყენებთ თაღლითობის ფურცელს, ფორმულები ადვილად დაიმახსოვრებთ.