პირდაპირი და შებრუნებული კოსინუსის ტრანსფორმაცია. ფურიეს ტრანსფორმაცია ფურიეს ინტეგრალი ფურიეს ინტეგრალური ტრანსფორმაციის რთული ფორმა კოსინუსი და სინუსური გარდაქმნები ამპლიტუდა და ფაზური სპექტრები გამოყენების თვისებები

I. ფურიეს გარდაქმნები.

განმარტება 1.ფუნქცია

დაურეკა ფურიეს ტრანსფორმაციაფუნქციები.

ინტეგრალი აქ გაგებულია ძირითადი მნიშვნელობის გაგებით

და ითვლება, რომ არსებობს.

თუ არის აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ფუნქცია ℝ-ზე, მაშინ, ვინაიდან for , ფურიეს ტრანსფორმაცია (1) აზრი აქვს ნებისმიერი ასეთი ფუნქციისთვის, ხოლო ინტეგრალი (1) აბსოლუტურად და თანაბრად ემთხვევა მთელ წრფეს ℝ.

განმარტება 2. Თუ არის ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია
, შემდეგ ასოცირებული ინტეგრალი

ძირითადი მნიშვნელობის გაგებით, ე.წ ფუნქციის ფურიეს ინტეგრალი .

მაგალითი 1იპოვეთ ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია

მოცემული ფუნქცია აბსოლუტურად ინტეგრირებადია, მართლაც,

განმარტება 3.გაგებული ინტეგრალების ძირითადი მნიშვნელობის გაგებით

შესაბამისად დასახელდა კოსინუსი -და სინუს ფურიეს გარდაქმნის ფუნქციები .

ვარაუდით , , , ნაწილობრივ ვიღებთ ჩვენთვის უკვე ნაცნობ მიმართებას ფურიეს სერიიდან

როგორც ჩანს ურთიერთობებიდან (3), (4),

ფორმულები (5), (6) გვიჩვენებს, რომ ფურიეს გარდაქმნები სრულად არის განსაზღვრული მთელ ხაზზე, თუ ისინი ცნობილია მხოლოდ არგუმენტის არაუარყოფითი მნიშვნელობებით.

მაგალითი 2იპოვეთ ფუნქციის კოსინუსი - და სინუსი - ფურიეს გარდაქმნა

როგორც მაგალით 1-შია ნაჩვენები, მოცემული ფუნქცია აბსოლუტურად ინტეგრირებულია .

ვიპოვოთ მისი კოსინუსი - ფურიეს გარდაქმნა ფორმულის მიხედვით (3):

ანალოგიურად, რთული არ არის ფუნქციის სინუს - ფურიეს ტრანსფორმაციის პოვნა ვ(x) ფორმულით (4):

1 და 2 მაგალითების გამოყენებით, ადვილია ამის შემოწმება პირდაპირი ჩანაცვლებით ვ(x) მიმართება (5) დაკმაყოფილებულია.

თუ ფუნქცია რეალურია, მაშინ ფორმულები (5), (6) ამ შემთხვევაში გულისხმობს

ვინაიდან ამ შემთხვევაში და არის რეალური ფუნქციები R-ზე, რაც აშკარაა მათი განმარტებებიდან (3), (4). თუმცა, თანასწორობა (7) პირობით ასევე მიიღება უშუალოდ ფურიეს გარდაქმნის განსაზღვრებიდან (1), თუ გავითვალისწინებთ, რომ უღლების ნიშანი შეიძლება განთავსდეს ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ. ბოლო დაკვირვება საშუალებას გვაძლევს დავასკვნათ, რომ ნებისმიერი ფუნქცია აკმაყოფილებს თანასწორობას

ასევე სასარგებლოა აღინიშნოს, რომ თუ არის რეალური და თანაბარი ფუნქცია, ე.ი. , მაშინ

თუ არის რეალური და უცნაური ფუნქცია, ე.ი. , მაშინ

ხოლო თუ არის წმინდა წარმოსახვითი ფუნქცია, ე.ი. . , მაშინ

გაითვალისწინეთ, რომ თუ არის რეალური ღირებულების ფუნქცია, მაშინ ფურიეს ინტეგრალი ასევე შეიძლება დაიწეროს ფორმით

სად

მაგალითი 3
(ვარაუდით )

რადგან ვიცით დირიხლეს ინტეგრალის მნიშვნელობა

მაგალითში განხილული ფუნქცია არ არის აბსოლუტურად ინტეგრირებადი და მის ფურიეს ტრანსფორმაციას აქვს უწყვეტობა. ის ფაქტი, რომ აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ფუნქციების ფურიეს ტრანსფორმაციას არ აქვს უწყვეტობა, ნაჩვენებია შემდეგში.

ლემა 1. თუ ფუნქცია ლოკალურად ინტეგრირებადი და აბსოლუტურად ინტეგრირებადი on , მაშინ

ა) მისი ფურიეს ტრანსფორმაცია განსაზღვრულია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის

ბ)

შეგახსენებთ, რომ თუარის რეალური ან რთული მნიშვნელობის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ღია კომპლექტზე, შემდეგ ფუნქცია დაურეკა ლოკალურად ინტეგრირებადი, თუ რომელიმე წერტილიაქვს სამეზობლო, რომელშიც ფუნქცია ინტეგრირებულია. კერძოდ, თუ , ფუნქციის ლოკალური ინტეგრალობის პირობა აშკარად ექვივალენტურია იმ ფაქტის ნებისმიერი სეგმენტისთვის.

მაგალითი 4იპოვეთ ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია :

ბოლო ინტეგრალის დიფერენცირება პარამეტრთან მიმართებაში და შემდეგ ნაწილების მიხედვით ინტეგრირება, ჩვენ ვხვდებით, რომ

ან

ნიშნავს, სად არის მუდმივი, რომელსაც ეილერ-პუასონის ინტეგრალის გამოყენებით ვპოულობთ მიმართებიდან

ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ და ამავე დროს ვაჩვენეთ, რომ და .

განმარტება 4.ამბობენ, რომ ფუნქცია , განსაზღვრული წერტილის პუნქციურ მიდამოში , აკმაყოფილებს დინის პირობებს იმ წერტილში , თუ

ა) ორივე ცალმხრივი ზღვარი არსებობს წერტილში

ბ) ორივე ინტეგრალი

აბსოლუტურად ვეთანხმები.

ინტეგრალის აბსოლუტური კონვერგენცია ნიშნავს ინტეგრალის აბსოლუტურ კონვერგენციას მაინც გარკვეული მნიშვნელობისთვის.

საკმარისი პირობები ფურიეს ინტეგრალის მიერ ფუნქციის წარმოდგენისთვის.

თეორემა 1.თუ აბსოლუტურად ინტეგრირებადია და ადგილობრივად ცალმხრივი უწყვეტი ფუნქცია აკმაყოფილებს წერტილში დინი მდგომარეობს, მაშინ მისი ფურიეს ინტეგრალი უახლოვდება ამ წერტილს და მნიშვნელობას

უდრის ამ ეტაპზე ფუნქციის მნიშვნელობების მარცხენა და მარჯვენა ზღვრების ჯამის ნახევარს.

შედეგი 1.თუ ფუნქცია უწყვეტი, აქვს ყველა წერტილში სასრული ცალმხრივი წარმოებულები და აბსოლუტურად ინტეგრირებადი , მაშინ გამოჩნდება როგორც თავისი ფურიეს ინტეგრალით

სადაც ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია .

ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალით შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

კომენტარი.თეორემა 1-ში და დასკვნა 1-ში ჩამოყალიბებული ფუნქციის პირობები საკმარისია, მაგრამ არა აუცილებელი ასეთი წარმოდგენის შესაძლებლობისთვის.

მაგალითი 5ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით თუ

ეს ფუნქცია კენტი და უწყვეტია ℝ-ზე, გარდა წერტილებისა , , .

ფუნქციის უცნაურობისა და სინამდვილის გამო გვაქვს:

ხოლო (5) და (10) ტოლობებიდან გამომდინარეობს, რომ

ფუნქციის უწყვეტობის წერტილებში გვაქვს:

მაგრამ ფუნქცია უცნაურია, ასე რომ

ვინაიდან ინტეგრალი გამოითვლება ძირითადი მნიშვნელობის გაგებით.

ფუნქცია თანაბარია, ასე რომ

თუ , . თანასწორობისთვის

ვივარაუდოთ, აქედან ვპოულობთ

თუ ბოლო გამოთქმას ჩავსვამთ , მაშინ

აქ ვივარაუდოთ, ჩვენ ვპოულობთ

თუ რეალური მნიშვნელობის ფუნქცია ცალ-ცალკე უწყვეტია რეალური ხაზის ნებისმიერ სეგმენტზე, აბსოლუტურად ინტეგრირებადია და აქვს სასრული ცალმხრივი წარმოებულები თითოეულ წერტილში, მაშინ ფუნქციის უწყვეტობის წერტილებში იგი წარმოდგენილია როგორც ფურიეს ინტეგრალი.

ხოლო ფუნქციის უწყვეტობის წერტილებში ტოლობის (1) მარცხენა მხარე უნდა შეიცვალოს

თუ უწყვეტ აბსოლუტურად ინტეგრირებულ ფუნქციას თითოეულ წერტილზე აქვს სასრული ცალმხრივი წარმოებულები თითოეულ წერტილში, მაშინ იმ შემთხვევაში, როდესაც ეს ფუნქცია ლუწია, ტოლობა

ხოლო იმ შემთხვევაში, როდესაც არის კენტი ფუნქცია, ტოლობა

მაგალითი 5'. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით, თუ:

ვინაიდან არის უწყვეტი ლუწი ფუნქცია, მაშინ, ფორმულების გამოყენებით (13.2), (13.2'), გვაქვს

სიმბოლოთი აღვნიშნავთ ძირითად მნიშვნელობის გაგებით ინტეგრალს

შედეგი 2.ნებისმიერი ფუნქციისთვის დასკვნის 1-ის პირობებს აკმაყოფილებს, არის ყველა ტრანსფორმაცია , , , და არის თანასწორობა

ამ ურთიერთობების გათვალისწინებით, ტრანსფორმაციას (14) ხშირად უწოდებენ შებრუნებული ფურიეს ტრანსფორმაციადა ნაცვლად ჩაწერეთ , და ტოლობები (15) თავად ეწოდება ფურიეს ტრანსფორმაციის ინვერსიის ფორმულა.

მაგალითი 6დაე და

გაითვალისწინეთ, რომ თუ , შემდეგ ნებისმიერი ფუნქციისთვის

ახლა ავიღოთ ფუნქცია. მერე

თუ ავიღებთ ფუნქციას, რომელიც ფუნქციის კენტი გაგრძელებაა , მთელ რიცხვით ღერძზე, მაშინ

თეორემა 1-ის გამოყენებით მივიღებთ ამას

ყველა ინტეგრალი აქ გასაგებია ძირითადი მნიშვნელობის გაგებით,

ბოლო ორ ინტეგრალში რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გამოყოფით ვპოულობთ ლაპლასის ინტეგრალებს

განმარტება . ფუნქცია

დაერქმევა ნორმალიზებული ფურიეს ტრანსფორმაციას.

განმარტება . თუ არის ფუნქციის ნორმალიზებული ფურიეს ტრანსფორმაცია, მაშინ ასოცირებული ინტეგრალი

ჩვენ ვუწოდებთ ფუნქციის ნორმალიზებულ ფურიეს ინტეგრალს.

განვიხილავთ ნორმალიზებულ ფურიეს ტრანსფორმაციას (16).

მოხერხებულობისთვის წარმოგიდგენთ შემდეგ აღნიშვნას:

(ისინი. ).

წინა აღნიშვნასთან შედარებით, ეს მხოლოდ ხელახალი ნორმალიზაციაა: აქედან გამომდინარე, კერძოდ, ურთიერთობები (15) საშუალებას გვაძლევს დავასკვნათ, რომ

ან უფრო მოკლე აღნიშვნით,

განმარტება 5.ოპერატორს დაერქმევა ნორმალიზებული ფურიეს ტრანსფორმაცია, ხოლო ოპერატორს - ინვერსიული ნორმალიზებული ფურიეს ტრანსფორმაცია.

ლემა 1-ში ჩვენ აღვნიშნეთ, რომ ნებისმიერი აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია უსასრულობაში ნულისკენ მიისწრაფვის. შემდეგი ორი დებულება წერს, რომ ფურიეს კოეფიციენტების მსგავსად, ფურიეს ტრანსფორმაცია მიდრეკილია ნულისკენ უფრო სწრაფად, რაც უფრო გლუვია ფუნქცია, საიდანაც იგი აღებულია (პირველ დებულებაში); ამის საპასუხო ფაქტი იქნება ის, რომ რაც უფრო სწრაფია ფუნქცია, საიდანაც აღებულია ფურიეს ტრანსფორმაცია ნულისკენ მიისწრაფვის, მით უფრო გლუვია მისი ფურიეს ტრანსფორმაცია (მეორე განცხადება).

განცხადება 1(ფუნქციის სიგლუვესა და მისი ფურიეს ტრანსფორმაციის შემცირების სიჩქარეს შორის კავშირის შესახებ). Თუ და ყველა მახასიათებელი აბსოლუტურად ინტეგრირებადი , მაშინ:

ა) ნებისმიერისთვის

ბ)

განცხადება 2(ფუნქციის დაშლის სიჩქარესა და მისი ფურიეს ტრანსფორმაციის სიგლუვეს შორის ურთიერთობის შესახებ). თუ ლოკალურად ინტეგრირებადი ფუნქცია : არის ისეთი, რომ ფუნქცია აბსოლუტურად ინტეგრირებადია , მაშინ:

ა) ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია ეკუთვნის კლასს

ბ) არის უთანასწორობა

წარმოგიდგენთ ფურიეს ტრანსფორმაციის ძირითად აპარატურულ თვისებებს.

ლემა 2.მოდით იყოს ფურიეს გარდაქმნა ფუნქციებისთვის და (შესაბამისად, შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნისთვის), მაშინ, როგორიც არ უნდა იყოს რიცხვები და , არის ფურიეს გარდაქმნა (შესაბამისად, შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა) და ფუნქციისთვის. , და

(შესაბამისად).

ამ თვისებას ეწოდება ფურიეს გარდაქმნის წრფივობა (შესაბამისად, შებრუნებული ფურიეს ტრანსფორმაცია).

შედეგი. .

ლემა 3.ფურიეს გარდაქმნა, ისევე როგორც შებრუნებული ტრანსფორმაცია, არის ერთი-ერთზე ტრანსფორმაცია მთელ ღერძზე უწყვეტი აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ფუნქციების სიმრავლეზე, რომლებსაც აქვთ ცალმხრივი წარმოებულები თითოეულ წერტილში.

ეს ნიშნავს, რომ თუ და არის მითითებული ტიპის ორი ფუნქცია და თუ (შესაბამისად, თუ ), შემდეგ მთელ ღერძზე.

ლემა 1-ის მტკიცებიდან შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი ლემა.

ლემა 4.თუ აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ფუნქციების თანმიმდევრობა და აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ფუნქცია ისეთია, რომ

მაშინ მთელ ღერძზე თანმიმდევრობა ერთნაირად გადადის ფუნქციასთან.

ახლა შევისწავლოთ ორი ფუნქციის კონვოლუციის ფურიეს ტრანსფორმაცია. მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ვცვლით კონვოლუციის განმარტებას დამატებითი ფაქტორის დამატებით

თეორემა 2.მოდით, ფუნქციები იყოს შემოსაზღვრული, უწყვეტი და აბსოლუტურად ინტეგრირებადი რეალურ ღერძზე, მაშინ

იმათ. ორი ფუნქციის კონვოლუციის ფურიეს გარდაქმნა ტოლია ამ ფუნქციების ფურიეს გარდაქმნების ნამრავლის.

შევადგინოთ ნორმალიზებული ფურიეს ტრანსფორმაციის თვისებების შემაჯამებელი ცხრილი No1, სასარგებლო ქვემოთ მოცემული ამოცანების გადასაჭრელად.

ცხრილი #1

ფუნქცია	ნორმალიზებული ფურიეს ტრანსფორმაცია

1-4 და 6 თვისებების გამოყენებით ვიღებთ

მაგალითი 7იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული ფურიეს ტრანსფორმაცია

მე-4 მაგალითმა აჩვენა, რომ

თითქოს

თვის 3-ის მიხედვით გვაქვს:

ანალოგიურად, შეგიძლიათ შეადგინოთ ცხრილი No2 ნორმალიზებული ინვერსიული ფურიეს ტრანსფორმაციისთვის:

ცხრილი ნომერი 2

ფუნქცია	ნორმალიზებული ინვერსიული ფურიეს ტრანსფორმაცია

როგორც ადრე, 1-4 და 6 თვისებების გამოყენებით მივიღებთ ამას

მაგალითი 8იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული ინვერსიული ფურიეს ტრანსფორმაცია

როგორც მე-6 მაგალითიდან ჩანს

როცა გვაქვს:

ფუნქციის სახით წარმოდგენა

გამოიყენე თვისება 6 როდესაც

ამოცანების ვარიანტები ანგარიშსწორებისა და გრაფიკული სამუშაოებისთვის

1. იპოვეთ ფუნქციის სინუსი - ფურიეს გარდაქმნა

2. იპოვეთ ფუნქციის სინუსი - ფურიეს გარდაქმნა

3. იპოვეთ კოსინუსი - ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა

4. იპოვეთ ფუნქციის კოსინუსი - ფურიეს გარდაქმნა

5. იპოვეთ ფუნქციის სინუსი - ფურიეს გარდაქმნა

6.იპოვეთ კოსინუსი - ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა

7. იპოვეთ ფუნქციის სინუსი - ფურიეს გარდაქმნა

8. იპოვეთ კოსინუსი - ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა

9. იპოვეთ კოსინუსი - ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა

10. იპოვეთ ფუნქციის სინუსი - ფურიეს გარდაქმნა

11. იპოვეთ ფუნქციის სინუსი - ფურიეს გარდაქმნა

12. იპოვე სინუს - ფუნქციის ტრანსფორმაცია

13. იპოვე სინუს - ფუნქციის ტრანსფორმაცია

14. იპოვეთ კოსინუსი - ფუნქციის გარდაქმნა

15. იპოვეთ კოსინუსი - ფუნქციის ტრანსფორმაცია

16. იპოვეთ ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა, თუ:

17. იპოვეთ ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა, თუ:

18. იპოვეთ ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა, თუ:

19. იპოვეთ ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა, თუ:

20. იპოვეთ ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა, თუ:

21. იპოვეთ ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა, თუ:

22. იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა

ფორმულის გამოყენებით

24. იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა

ფორმულის გამოყენებით

26. იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა

ფორმულის გამოყენებით

28. იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა

ფორმულის გამოყენებით

30. იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა

ფორმულის გამოყენებით

23. იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა

ფორმულის გამოყენებით

25. იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა

ფორმულის გამოყენებით

27. იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა

ფორმულის გამოყენებით

29. იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა

ფორმულის გამოყენებით

31. იპოვეთ ფუნქციის ნორმალიზებული შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა

ფორმულის გამოყენებით

32. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

33. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

34. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

35. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

36. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

37. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

38. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

39. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

40. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

41. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

42. ფუნქციის წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალის სახით

43. წარმოადგინეთ ფუნქცია ფურიეს ინტეგრალის სახით, გააფართოვეთ იგი უცნაური გზით ინტერვალამდე, თუ:

44. ფუნქციის წარმოდგენა, როგორც ფურიეს ინტეგრალი, გააგრძელე ის კენტი გზით ინტერვალამდე if.

მათემატიკური ფიზიკის ამოცანების შესწავლის ერთ-ერთი მძლავრი საშუალებაა ინტეგრალური გარდაქმნების მეთოდი. დაე, ფუნქცია f(x) განისაზღვროს ინტერვალზე (a, 6), სასრული ან უსასრულო. f (x) ფუნქციის ინტეგრალური ტრანსფორმაცია არის ფუნქცია, სადაც K (x, w) არის მოცემული ტრანსფორმაციისთვის დაფიქსირებული ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება ტრანსფორმაციის ბირთვი (ვარაუდობენ, რომ ინტეგრალი (*) არსებობს მისი სწორი ან არასწორი გაგებით. ). §ერთი. ფურიეს ინტეგრალი ნებისმიერი ფუნქცია f(x), რომელიც [-f, I] სეგმენტზე აკმაყოფილებს გაფართოების პირობებს ფურიეს სერიაში, ამ სეგმენტზე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ტრიგონომეტრიული სერიით. კოსინუსისა და სინუსის გარდაქმნები ამპლიტუდა და ფაზური სპექტრები გამოყენების თვისებები (1) განტოლების მარჯვენა მხარეს სერიები შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმით. ამ მიზნით, მასში შევიყვანთ ფორმულებიდან (2) a» და op კოეფიციენტების მნიშვნელობებს, ვაკლებთ ინტეგრალების cos ^ x და sin x ნიშნებს (რაც შესაძლებელია, რადგან ინტეგრაციის ცვლადი არის m) ო) და გამოიყენეთ სხვაობის კოსინუსის ფორმულა. გვექნება თუ ფუნქცია /(x) თავდაპირველად განისაზღვრა რიცხვითი ღერძის ინტერვალზე, რომელიც აღემატება [-1,1] ინტერვალს (მაგალითად, მთელ ღერძზე), მაშინ გაფართოება (3) ამრავლებს მნიშვნელობებს . ამ ფუნქციის მხოლოდ [-1, 1] ინტერვალზე და გაგრძელდება მთელ რეალურ ღერძზე, როგორც პერიოდული ფუნქცია 21-იანი პერიოდით (ნახ. 1). მაშასადამე, თუ ფუნქცია f(x) (ზოგადად რომ ვთქვათ, არაპერიოდული) განისაზღვრება მთელ რეალურ ღერძზე, ფორმულაში (3) შეიძლება სცადოთ ზღვრამდე გადასვლა, როგორც I + oo. ამ შემთხვევაში ბუნებრივია შემდეგი პირობების დაკმაყოფილების მოთხოვნა: 1. f(x) აკმაყოფილებს გაფართოების პირობებს ფურიეს სერიაში xx\ ღერძის 2-ის ნებისმიერ სასრულ სეგმენტზე. ფუნქცია f(x) აბსოლუტურად არის. ინტეგრირებადი მთელ რეალურ ღერძზე.(3) მიდრეკილია ნულისკენ, როგორც I -* + oo. მართლაც, მოდით შევეცადოთ დავადგინოთ, თუ რამდენამდე წავა ჯამი (3)-ის მარჯვენა მხარეს ლიმიტში, როგორც I + oo. დავუშვათ, რომ მაშინ ჯამი (3)-ის მარჯვენა მხარეს მიიღებს ფორმას ინტეგრალის აბსოლუტური კონვერგენციის გამო, ეს ჯამი I დიდისთვის ცოტათი განსხვავდება იმ გამონათქვამისგან, რომელიც წააგავს ფუნქციის ინტეგრალურ ჯამს. ცვლადი £ შედგენილია ცვლილების (0, + oo) ინტერვალისთვის. ამიტომ, ბუნებრივია იმის მოლოდინი, რომ , ჯამი (5) გადადის С ინტეგრალზე, მეორეს მხრივ, ფიქსირებულისთვის ეს გამომდინარეობს ფორმულიდან (3). ) რომ ასევე მივიღოთ ტოლობა (7) ფორმულის მართებულობის საკმარისი პირობა გამოიხატება შემდეგი თეორემით. თეორემა 1. თუ ფუნქცია f(x) აბსოლუტურად ინტეგრირებადია მთელ რეალურ ღერძზე და მის წარმოებულთან ერთად აქვს პირველი ტიპის უწყვეტობის წერტილების სასრული რაოდენობა ნებისმიერ სეგმენტზე [a, 6], მაშინ მე-ე სახის. /(x) ფუნქციის, ინტეგრალის (7) მარჯვენა მხარეს ტოლია ფორმულა (7) ეწოდება ფურიეს ინტეგრალური ფორმულა, ხოლო მის მარჯვენა მხარეს ინტეგრალი ეწოდება ფურიეს ინტეგრალი. თუ გამოვიყენებთ სხვაობის კოსინუსის დღის ფორმულას, მაშინ ფორმულა (7) შეიძლება დაიწეროს როგორც ფუნქციები a(t), b(t) არის 2n-პერიოდულის შესაბამისი ფურიეს კოეფიციენტების an და bn ანალოგები. ფუნქცია, მაგრამ ეს უკანასკნელი განსაზღვრულია n-ის დისკრეტული მნიშვნელობებისთვის, ხოლო a(0> HO განისაზღვრება G(-oo, +oo) უწყვეტი მნიშვნელობებისთვის. ფურიეს ინტეგრალის რთული ფორმა, თუ ვივარაუდებთ f(x) რომ იყოს აბსოლუტურად ინტეგრირებადი მთელ x ღერძზე, ჩვენ განვიხილავთ ინტეგრალს, აშკარად კენტ ფუნქციას, მაგრამ შემდეგ მეორე მხრივ, ინტეგრალი არის ცვლადის ლუწი ფუნქცია, ასე რომ, ფურიეს ინტეგრალური ფორმულა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად. : გავამრავლოთ ტოლობა წარმოსახვით i ერთეულზე და დავუმატოთ ტოლობას (10) ეს არის ფურიეს ინტეგრალის რთული ფორმა.აქ გარე ინტეგრაცია t-ზე გაგებულია კოშის ძირითადი მნიშვნელობის გაგებით: § 2. ფურიეს გარდაქმნა კოსინუსისა და სინუსის ფურიეს გარდაქმნები მოდით ფუნქციონირება წრფე f(x) ნაწილებად გლუვია x ღერძის ნებისმიერ სასრულ სეგმენტზე და აბსოლუტურად ინტეგრირებადია მთელ ღერძზე. განმარტება. ფუნქციას, საიდანაც ეილერის ფორმულის მიხედვით გვექნება, ეწოდება f(r) ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია (სპექტრული ფუნქცია). ეს არის ფუნქციის ინტეგრალური ტრანსფორმაცია / (r) ინტერვალზე (-oo, + oo) ბირთვით. ფურიეს ინტეგრალური ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ ეს არის ე.წ. შებრუნებული ფურიეს ტრანსფორმაცია, რომელიც იძლევა გადასვლას F-დან. (t) to / (x). ზოგჯერ პირდაპირი ფურიეს ტრანსფორმაცია მოცემულია შემდეგნაირად: მაშინ ინვერსიული ფურიეს გარდაქმნა განისაზღვრება ფორმულით f(x) ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა ასევე განისაზღვრება შემდეგნაირად: ფურიეს ტრანსფორმაცია ფურიეს ინტეგრალური ინტეგრალური ფურიეს გარდაქმნის კომპლექსური ფორმა კოსინუსი და სინუსი. გარდაქმნის ამპლიტუდის და ფაზის სპექტრის გამოყენების თვისებები შემდეგ, თავის მხრივ, ამ შემთხვევაში, ^ ფაქტორის პოზიცია საკმაოდ თვითნებურია: მას შეუძლია შეიყვანოს ფორმულა (1") ან ფორმულა (2"). მაგალითი 1. იპოვეთ -4 ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია ჩვენ გვაქვს ეს ტოლობა იძლევა დიფერენცირებას £-სთან მიმართებაში ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ (დიფერენციაციის შემდეგ მიღებული ინტეგრალი ერთნაირად იყრის თავს, როცა ( მიეკუთვნება რომელიმე სასრულ სეგმენტს): ნაწილების მიხედვით ინტეგრირება გვექნება ტერმინი ინტეგრალის გარეთ ქრება და ჩვენ ვიღებთ საიდან (C არის ინტეგრაციის მუდმივი). დააყენეთ £ = 0 (4-ში), ჩვენ ვპოულობთ С = F(0). (3)-ის ძალით ჩვენ გვაქვს ცნობილია, რომ კერძოდ, for) ვიღებთ იმას განვიხილოთ ფუნქცია 4. F(t) ფუნქციის oyu სპექტრისთვის ვიღებთ აქედან (ნახ. 2). f(x) ფუნქციის აბსოლუტური ინტეგრადობის პირობა მთელ რეალურ ღერძზე ძალიან მკაცრია. ის გამორიცხავს, მაგალითად, ისეთ ელემენტარულ ფუნქციებს, როგორიცაა f(x) = e1, რომლისთვისაც ფურიეს ტრანსფორმაცია (აქ განხილული კლასიკური ფორმით) არ არსებობს. მხოლოდ იმ ფუნქციებს აქვთ ფურიეს ტრანსფორმაცია, რომლებიც საკმარისად სწრაფად ნულისკენ მიდიან |x|-ისთვის -+ +oo (როგორც მაგალითებში 1 და 2). 2.1. კოსინუსისა და სინუსის ფურიეს გარდაქმნები კოსინუსის ფორმულის გამოყენებით, განსხვავება, გადავწერთ ფურიეს ინტეგრალურ ფორმულას შემდეგი სახით: ვთქვათ f(x) ლუწი ფუნქციაა. შემდეგ, ისე, რომ (5) ტოლობიდან გვაქვს კენტი f(x) შემთხვევაში, ანალოგიურად ვიღებთ თუ f(x) მოცემულია მხოლოდ (0, -foo-ზე), მაშინ ფორმულა (6) ვრცელდება f(x) მთელ Ox ღერძს ლუწი სახით და ფორმულა (7) - კენტი. (7) განმარტება. ფუნქციას ეწოდება f(x) ფუნქციის კოსინუსური ფურიეს ტრანსფორმაცია. (6)-დან გამომდინარეობს, რომ ლუწი ფუნქციისთვის f(x) ეს ნიშნავს, რომ f(x), თავის მხრივ, არის კოსინუსური ტრანსფორმაცია Fc(t-ისთვის). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქციები / და Fc არის ურთიერთ კოსინუსური გარდაქმნები. განმარტება. ფუნქციას ეწოდება f(x) ფუნქციის სინუს ფურიეს გარდაქმნა. (7)-დან ვიღებთ, რომ კენტი ფუნქციისთვის f(x), ე.ი. f და Fs არის ორმხრივი სინუსური გარდაქმნები. მაგალითი 3 (მართკუთხა პულსი). მოდით f(t) იყოს ლუწი ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად: (ნახ. 3). მიღებული შედეგი გამოვიყენოთ ინტეგრალის გამოსათვლელად (9) ფორმულის ძალით გვაქვს ნახ.3 0 0 t = 0 წერტილში f(t) ფუნქცია უწყვეტია და უდრის ერთს. მაშასადამე, (12")-დან ვიღებთ 2.2 ფურიეს ინტეგრალის ამპლიტუდისა და ფაზური სპექტრები. მოდით გავფართოვდეთ ფუნქცია f(x) პერიოდული პერიოდით 2m ფურიეს სერიად.ეს ტოლობა შეიძლება ჩაიწეროს ისე, როგორც მივედით კონცეფციამდე პერიოდული ფუნქციის ამპლიტუდისა და ფაზური სპექტრების არაპერიოდული ფუნქციისთვის f(x) მოცემული (-oo, +oo), გარკვეულ პირობებში, შესაძლებელია მისი წარმოდგენა ფურიეს ინტეგრალით, რომელიც ფართოვდება. ეს ფუნქცია ყველა სიხშირეზე (გაფართოება უწყვეტი სიხშირის სპექტრში განმარტება სპექტრული ფუნქცია ან ფურიეს ინტეგრალის სპექტრული სიმკვრივე არის გამოხატულება (f ფუნქციის პირდაპირ ფურიეს ტრანსფორმაციას ეწოდება ამპლიტუდის სპექტრი, ხოლო ფუნქცია Ф ") = -argSfc) - ფუნქციის ფაზური სპექტრი / ("). ამპლიტუდის სპექტრი A(t) ემსახურება t სიხშირის წვლილის საზომს /(x) ფუნქციაში. მაგალითი 4. იპოვეთ ფუნქციის ამპლიტუდა და ფაზური სპექტრები 4 იპოვეთ სპექტრული ფუნქცია აქედან ამ ფუნქციების გრაფიკები ნაჩვენებია ნახ. 4. §3. ფურიეს გარდაქმნის თვისებები 1. წრფივობა. თუ და G(0 არის f(x) და g(x) ფუნქციების ფურიეს გარდაქმნები, მაშინ ნებისმიერი მუდმივი a და p ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა f(x) + p g(x) იქნება ფუნქცია. a ინტეგრალის წრფივობის თვისების გამოყენებით მივიღებთ ამგვარად, ფურიეს ტრანსფორმაცია არის წრფივი ოპერატორი, რომლის აღნიშვნაც ჩვენ დავწერთ. ღერძი, მაშინ F(t) შემოსაზღვრულია ყველასთვის. მოდით, ფუნქცია f(x) იყოს აბსოლუტურად ინტეგრირებადი მთელ ღერძზე - f (x) ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა. შემდეგ 3 "flts J. F (x) იყოს. ფუნქცია, რომლის ტოლერანტობა არის ფურიეს ტრანსფორმაცია, L არის თვისებების რაოდენობა. ფუნქციას fh (x) \u003d f (z-h) ეწოდება ფუნდიუმის ცვლა f(x). ფურიეს ტრანსფორმაციის განმარტების გამოყენებით. აჩვენეთ, რომ ამოცანა. მოდით, f(z) ფუნქციას ჰქონდეს ფურიეს ტრანსფორმაცია F(0> h არის რეალური რიცხვი. აჩვენეთ, რომ 3. ფურიეს გარდაქმნა და დიფერენციაციის ოოერეზი. მოდით, აბსოლუტურად ინტეგრირებად ფუნქციას f (x) ჰქონდეს წარმოებული f ". (x), რომელიც ასევე აბსოლუტურად ინტეგრირებადია მთელ ღერძზე ოჰ, ასე რომ /(n) მიდრეკილია ნულისკენ, როგორც |x| -» +ოო. ვივარაუდოთ, რომ f"(x) არის გლუვი ფუნქცია, ჩვენ ვწერთ ინტეგრირება ნაწილებით, გვაქვს ტერმინი ინტეგრალის გარეთ ქრება (რადგან და მივიღებთ ამრიგად, ფუნქციის / (x) დიფერენციაცია შეესაბამება მისი ფურიეს გამრავლებას. სურათი ^ P /] ფაქტორზე თუ f (x) ფუნქციას აქვს გლუვი აბსოლუტურად შეუსაბამო წარმოებულები m-ის ჩათვლით, და ყველა მათგანი, ისევე როგორც თავად f(x) ფუნქცია, მიდრეკილია ნულისკენ და შემდეგ, ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. საჭირო რაოდენობის ჯერ, ჩვენ მივიღებთ ფურიეს ტრანსფორმაციას ძალიან სასარგებლო ზუსტად იმიტომ, რომ ის ცვლის დიფერენციაციის ოპერაციას მნიშვნელობით გამრავლების ოპერაციით და ამით ამარტივებს გარკვეული ტიპის დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრაციის პრობლემას. მას შემდეგ, რაც ფურიეს ტრანსფორმაცია აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ფუნქცია f^k\x) არის (თვისება 2) შემოსაზღვრული ფუნქცია, (2) მიმართებიდან ვიღებთ შემდეგ შეფასებას: ფურიეს ტრანსფორმაციის ფურიეს ინტეგრალური რთული ინტეგრალური ფორმის ფურიეს ტრანსფორმაცია კოსინუსისა და სინუსური გარდაქმნები ამპლიტუდა და ფაზური სპექტრები გამოყენების თვისებები ამ შეფასებასთან ერთად შემდეგნაირად: რაც უფრო მეტია f(x) ფუნქციას აქვს აბსოლუტურად ინტეგრირებადი წარმოებულები, მით უფრო სწრაფია მისი ფურიეს ტრანსფორმაცია ნულისკენ. კომენტარი. მდგომარეობა საკმაოდ ბუნებრივია, რადგან ფურიეს ინტეგრალების ჩვეულებრივი თეორია ეხება პროცესებს, რომლებსაც, ამა თუ იმ გაგებით, აქვთ დასაწყისი და დასასრული, მაგრამ განუსაზღვრელი ვადით არ გრძელდება დაახლოებით იგივე ინტენსივობით. 4. კავშირი f(x) ფუნქციის დაშლის სიჩქარეს შორის |z|-ისთვის -» -f oo და მისი Fourm გარდაქმნის სიგლუვეს. დავუშვათ, რომ არა მხოლოდ /(x), არამედ მისი ნამრავლი xf(x) არის აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ფუნქცია მთელ x ღერძზე. მაშინ ფურიეს ტრანსფორმაცია) იქნება დიფერენცირებადი ფუნქცია. მართლაც, ფორმალური დიფერენციაცია ინტეგრანის £ პარამეტრთან მიმართებაში იწვევს ინტეგრალს, რომელიც აბსოლუტურად და ერთნაირად კონვერგენტულია პარამეტრთან მიმართებაში. თუ f(x) ფუნქციასთან ერთად ფუნქციები აბსოლუტურად ინტეგრირებადია მთელ Ox ღერძზე, მაშინ დიფერენციაციის პროცესი შეიძლება გაგრძელდეს. ვიღებთ, რომ ფუნქციას აქვს წარმოებულები მდე რიგის m ჩათვლით, და ამდენად, რაც უფრო სწრაფად მცირდება ფუნქცია f(x), მით უფრო გლუვი გამოდის ფუნქცია. თეორემა 2 (ბურღის შესახებ). მოდით იყოს /,(x) და f2(x) ფუნქციების ფურიეს გარდაქმნები. მაშინ ორმაგი ინტეგრალი მარჯვენა მხარეს აბსოლუტურად იყრის თავს. დავდოთ x. მაშინ გვექნება ან, ინტეგრაციის რიგის შეცვლით, ფუნქციას ეწოდება ფუნქციების კონვოლუცია და აღინიშნა სიმბოლოთი ფორმულა (1) ახლა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: აქედან ირკვევა, რომ ფურიეს გარდაქმნა ფუნქციები f \ დასაკეცი ფუნქციების ფურიეს გარდაქმნების ნამრავლი, შენიშვნა. კონვოლუციის შემდეგი თვისებების დადგენა ადვილია: 1) წრფივობა: 2) კომუტატიულობა: §4. ფურიეს გარდაქმნის გამოყენება 1. ვთქვათ Р(^) არის m რიგის წრფივი დიფერენციალური ოპერატორი მუდმივი კოეფიციენტებით y(x) აქვს ფურიეს ტრანსფორმაცია y (O. და ფუნქცია f(x) აქვს ტრანსფორმაცია /(t) ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოყენებით (1) განტოლებაზე ვიღებთ დიფერენციალურ ალგებრულ განტოლებას ღერძზე საიდან მიმართებაში ისე, რომ ფორმალურად იქ, სადაც სიმბოლო აღნიშნავს შებრუნებულ ფურიეს ტრანსფორმაციას, ამ მეთოდის გამოყენების ძირითადი შეზღუდვა დაკავშირებულია შემდეგთან. ფაქტი: ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი მუდმივი კოეფიციენტებით შეიცავს ფორმის ფუნქციებს< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

რომლებიც უკვე საკმაოდ მობეზრებულები არიან. და მე ვგრძნობ, რომ დადგა მომენტი, როდესაც დროა ახალი კონსერვის გამოტანა თეორიის სტრატეგიული მარაგებიდან. შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის სერიის გაფართოება სხვა გზით? მაგალითად, გამოვხატოთ სწორი ხაზის სეგმენტი სინუსებით და კოსინუსებით? როგორც ჩანს წარმოუდგენელია, მაგრამ ასეთი ერთი შეხედვით შორეული ფუნქციები თავს იჩენს
"გაერთიანება". თეორიასა და პრაქტიკაში ნაცნობი ხარისხების გარდა, არსებობს სხვა მიდგომები ფუნქციის სერიებად გაფართოებისთვის.

ამ გაკვეთილზე გავეცნობით ტრიგონომეტრიულ ფურიეს სერიებს, შევეხებით მისი თანხვედრისა და ჯამის საკითხს და, რა თქმა უნდა, გავაანალიზებთ უამრავ მაგალითს ფურიეს სერიებში ფუნქციების გაფართოებისთვის. მე გულწრფელად მინდოდა დამერქვა სტატია "ფურიეს სერია დუმებისთვის", მაგრამ ეს მზაკვრული იქნებოდა, რადგან პრობლემების გადაჭრა მოითხოვს მათემატიკური ანალიზის სხვა სექციების ცოდნას და გარკვეულ პრაქტიკულ გამოცდილებას. მაშასადამე, პრეამბულა ასტრონავტების მომზადებას წააგავს =)

პირველ რიგში, გვერდის მასალების შესწავლას უნდა მივუდგეთ შესანიშნავ ფორმაში. მძინარე, დასვენებული და ფხიზელი. ძლიერი ემოციების გარეშე ზაზუნის გატეხილი თათის და აკვარიუმის თევზის ცხოვრების გაჭირვებაზე აკვიატებული ფიქრების გარეშე. ფურიეს სერია არ არის რთული გაგების თვალსაზრისით, თუმცა, პრაქტიკული ამოცანები უბრალოდ მოითხოვს ყურადღების კონცენტრაციას - იდეალურ შემთხვევაში, თქვენ მთლიანად უნდა მიატოვოთ გარე სტიმული. სიტუაციას ისიც ამძიმებს, რომ გამოსავლისა და პასუხის შესამოწმებლად მარტივი გზა არ არსებობს. ამრიგად, თუ თქვენი ჯანმრთელობა საშუალოზე დაბალია, მაშინ ჯობია რაიმე უფრო მარტივი გააკეთოთ. სიმართლე.

მეორეც, კოსმოსში გაფრენამდე აუცილებელია კოსმოსური ხომალდის ინსტრუმენტთა პანელის შესწავლა. დავიწყოთ იმ ფუნქციების მნიშვნელობებით, რომლებიც უნდა დააწკაპუნოთ მანქანაზე:

ნებისმიერი ბუნებრივი ღირებულებისთვის:

ერთი). სინამდვილეში, სინუსოიდი "ანათებს" x ღერძს თითოეული "pi"-ს მეშვეობით:
. არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების შემთხვევაში, შედეგი, რა თქმა უნდა, იგივე იქნება: .

2). მაგრამ ეს ყველამ არ იცოდა. კოსინუსი "პი ენ" არის "მოციმციმე შუქის" ტოლფასი:

უარყოფითი არგუმენტი საქმეს არ ცვლის: .

ალბათ საკმარისია.

და მესამე, ძვირფასო კოსმონავტთა კორპუსი, თქვენ უნდა შეძლოთ ... ინტეგრირება.
კერძოდ, რა თქმა უნდა მოიტანეთ ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ, ნაწილების მიხედვით ინტეგრირებადა კარგი ურთიერთობა გქონდეთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. დავიწყოთ ფრენისწინა მნიშვნელოვანი ვარჯიშები. მე კატეგორიულად არ გირჩევთ მის გამოტოვებას, რათა მოგვიანებით ნულოვანი სიმძიმით არ გაბრტყელდეთ:

მაგალითი 1

განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა

სადაც ბუნებრივი ფასეულობებია.

გამოსავალი: ინტეგრაცია ხორციელდება "x" ცვლადზე და ამ ეტაპზე დისკრეტული ცვლადი "en" განიხილება მუდმივად. ყველა ინტეგრალში მოიტანეთ ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

გადაწყვეტის მოკლე ვერსია, რომლის გადაღებაც კარგი იქნებოდა, ასე გამოიყურება:

Მიჩვევა:

დარჩენილი ოთხი ქულა თავისთავად არის. ეცადეთ, კეთილსინდისიერად მოეპყროთ დავალებას და მოკლედ მოაწყოთ ინტეგრალები. ამოხსნის ნიმუშები გაკვეთილის ბოლოს.

QUALITY ვარჯიშის შემდეგ ჩავიცვით კოსმოსური კოსტუმი
და ემზადები დასაწყებად!

ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში ინტერვალზე

განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულიყოველ შემთხვევაში, ინტერვალზე (და, შესაძლოა, უფრო დიდ ინტერვალზე). თუ ეს ფუნქცია ინტეგრირებადია სეგმენტზე, მაშინ ის შეიძლება გაფართოვდეს ტრიგონომეტრიულად ფურიეს სერია:
, სადაც არიან ე.წ ფურიეს კოეფიციენტები.

ამ შემთხვევაში, ნომერი იწოდება დაშლის პერიოდიდა ნომერი არის ნახევარგამოყოფის დაშლა.

ცხადია, ზოგად შემთხვევაში, ფურიეს სერია შედგება სინუსებისა და კოსინუსებისგან:

მართლაც, დაწვრილებით დავწეროთ:

სერიის ნულოვანი წევრი ჩვეულებრივ იწერება როგორც .

ფურიეს კოეფიციენტები გამოითვლება შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

მშვენივრად მესმის, რომ ახალი ტერმინები ჯერ კიდევ ბუნდოვანია დამწყებთათვის თემის შესასწავლად: დაშლის პერიოდი, ნახევარი ციკლი, ფურიეს კოეფიციენტებიდა სხვები.. ნუ შეგეშინდებათ, ეს არ არის შედარებული კოსმოსური გასეირნების წინ აღფრთოვანებასთან. მოდით გავარკვიოთ ყველაფერი უახლოეს მაგალითში, რომლის შესრულებამდე ლოგიკურია დაუსვათ აქტუალური პრაქტიკული კითხვები:

რა უნდა გააკეთოთ შემდეგ ამოცანებში?

გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში. გარდა ამისა, ხშირად საჭიროა ფუნქციის გრაფიკის დახატვა, რიგის ჯამის გრაფიკი, ნაწილობრივი ჯამი და დახვეწილი პროფესორული ფანტაზიების შემთხვევაში, სხვა რამის გაკეთება.

როგორ გავაფართოვოთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში?

არსებითად, თქვენ უნდა იპოვოთ ფურიეს კოეფიციენტები, ანუ შეადგინეთ და გამოთვალეთ სამი განსაზღვრული ინტეგრალები.

გთხოვთ დააკოპიროთ ფურიეს სერიის ზოგადი ფორმა და სამი სამუშაო ფორმულა თქვენს ნოუთბუქში. ძალიან მიხარია, რომ საიტის ზოგიერთ ვიზიტორს აქვს ბავშვობის ოცნება, გახდეს ასტრონავტი ჩემს თვალწინ =)

მაგალითი 2

გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიად ინტერვალზე. შექმენით გრაფიკი, სერიის ჯამის გრაფიკი და ნაწილობრივი ჯამი.

გამოსავალი: დავალების პირველი ნაწილი არის ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში.

დასაწყისი სტანდარტულია, აუცილებლად დაწერეთ ეს:

ამ პრობლემაში გაფართოების პერიოდი, ნახევარპერიოდი.

ჩვენ ვაფართოებთ ფუნქციას ფურიეს სერიაში ინტერვალზე:

შესაბამისი ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ ფურიეს კოეფიციენტები. ახლა ჩვენ უნდა შევადგინოთ და გამოვთვალოთ სამი განსაზღვრული ინტეგრალები. მოხერხებულობისთვის დავთვლი ქულებს:

1) პირველი ინტეგრალი უმარტივესია, თუმცა მას უკვე თვალი და თვალი სჭირდება:

2) ჩვენ ვიყენებთ მეორე ფორმულას:

ეს ინტეგრალი ცნობილია და ის ნაწილ-ნაწილ იღებს:

როდესაც იპოვეს გამოყენებული ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანის მეთოდი.

განსახილველ ამოცანაში უფრო მოსახერხებელია დაუყოვნებლივ გამოყენება ნაწილების მიერ განსაზღვრულ ინტეგრალში ინტეგრაციის ფორმულა :

რამდენიმე ტექნიკური შენიშვნა. პირველ რიგში, ფორმულის გამოყენების შემდეგ მთელი გამონათქვამი უნდა იყოს ჩასმული დიდ ფრჩხილებში, ვინაიდან თავდაპირველი ინტეგრალის წინ არის მუდმივი. ნუ დავკარგავთ! ფრჩხილების გახსნა შესაძლებელია ნებისმიერ შემდგომ ეტაპზე, მე ეს გავაკეთე ბოლო მოხვევაზე. პირველ "ნაჭერში" ჩვენ ვაჩვენებთ უკიდურეს სიზუსტეს ჩანაცვლებაში, როგორც ხედავთ, მუდმივი გამორთულია და ინტეგრაციის საზღვრები ჩანაცვლებულია პროდუქტში. ეს მოქმედება აღინიშნება კვადრატული ფრჩხილებით. ისე, ფორმულის მეორე "ნაწილის" ინტეგრალი თქვენთვის კარგად არის ცნობილი სავარჯიშო ამოცანიდან ;-)

და რაც მთავარია - ყურადღების საბოლოო კონცენტრაცია!

3) ჩვენ ვეძებთ მესამე ფურიეს კოეფიციენტს:

მიღებულია წინა ინტეგრალის ნათესავი, რომელიც ასევე ნაწილებით ინტეგრირებული:

ეს მაგალითი ცოტა უფრო რთულია, მე კომენტარს გავაკეთებ შემდგომ ნაბიჯებზე ეტაპობრივად:

(1) მთელი გამოხატულება ჩასმულია დიდ ფრჩხილებში.. არ მინდოდა მოწყენილად მეჩვენებოდა, ისინი ძალიან ხშირად კარგავენ მუდმივობას.

(2) ამ შემთხვევაში, მე მაშინვე გავაფართოვე ეს დიდი ფრჩხილები. Განსაკუთრებული ყურადღებაჩვენ ვუძღვნით პირველ „ნაწილს“: მუდმივი ეწევა გვერდით და არ მონაწილეობს პროდუქტში ინტეგრაციის (და) საზღვრების ჩანაცვლებაში. ჩანაწერის არეულობის გათვალისწინებით, კვლავ მიზანშეწონილია ამ მოქმედების ხაზგასმა კვადრატულ ფრჩხილებში. მეორე "ნაჭერით" ყველაფერი უფრო მარტივია: აქ წილადი გამოჩნდა დიდი ფრჩხილების გახსნის შემდეგ, ხოლო მუდმივი - ნაცნობი ინტეგრალის ინტეგრირების შედეგად ;-)

(3) კვადრატულ ფრჩხილებში ვახორციელებთ გარდაქმნებს, ხოლო მარჯვენა ინტეგრალში ვცვლით ინტეგრაციის საზღვრებს.

(4) კვადრატული ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ „ფლეშერს“: , რის შემდეგაც ვხსნით შიდა ფრჩხილებს: .

(5) ჩვენ ვაუქმებთ 1 და -1 ფრჩხილებში და ვაკეთებთ საბოლოო გამარტივებებს.

საბოლოოდ ვიპოვნეთ ფურიეს სამივე კოეფიციენტი:

ჩაანაცვლეთ ისინი ფორმულაში :

არ დაგავიწყდეთ შუაზე გაყოფა. ბოლო საფეხურზე ჯამიდან ამოღებულია მუდმივი ("მინუს ორი"), რომელიც არ არის დამოკიდებული "en"-ზე.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში ინტერვალზე:

მოდით შევისწავლოთ ფურიეს სერიის კონვერგენციის საკითხი. მე კონკრეტულად ავხსნი თეორიას დირიხლეს თეორემა, სიტყვასიტყვით "თითებზე", ასე რომ, თუ მკაცრი ფორმულირებები გჭირდებათ, გთხოვთ, მიმართოთ კალკულუსის სახელმძღვანელოს (მაგალითად, ბოჰანის მე-2 ტომი; ან ფიხტენჰოლცის მე-3 ტომი, მაგრამ მასში უფრო რთულია).

დავალების მეორე ნაწილში საჭიროა გრაფიკის, სერიის ჯამის და ნაწილობრივი ჯამის გრაფიკის დახატვა.

ფუნქციის გრაფიკი ჩვეულებრივია სწორი ხაზი თვითმფრინავზე, რომელიც დახატულია შავი წერტილოვანი ხაზით:

საქმე გვაქვს სერიის ჯამთან. მოგეხსენებათ, ფუნქციონალური სერიები ფუნქციებს ემთხვევა. ჩვენს შემთხვევაში, აგებული ფურიეს სერია "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვისემთხვევა წითლად გამოსახულ ფუნქციას. ეს ფუნქცია ექვემდებარება პირველი სახის შესვენებებიწერტილებში, მაგრამ ასევე განსაზღვრულია მათში (წითელი წერტილები ნახატზე)

Ამგვარად: . ადვილი მისახვედრია, რომ ის მკვეთრად განსხვავდება ორიგინალური ფუნქციისგან, რის გამოც ნოტაციაში ტოლი ნიშნის ნაცვლად გამოიყენება ტილდი.

მოდით შევისწავლოთ ალგორითმი, რომლითაც მოსახერხებელია სერიის ჯამის აგება.

ცენტრალურ ინტერვალზე, ფურიეს სერია თავსდება ფუნქციასთან (ცენტრალური წითელი სეგმენტი ემთხვევა ხაზოვანი ფუნქციის შავ წერტილოვან ხაზს).

ახლა მოდით ცოტა ვისაუბროთ განხილული ტრიგონომეტრიული გაფართოების ბუნებაზე. ფურიეს სერია მოიცავს მხოლოდ პერიოდულ ფუნქციებს (მუდმივი, სინუსები და კოსინუსები), ასე რომ, რიგის ჯამი ასევე პერიოდული ფუნქციაა.

რას ნიშნავს ეს ჩვენს კონკრეტულ მაგალითში? და ეს ნიშნავს, რომ სერიის ჯამი –აუცილებლად პერიოდულიდა შუალედის წითელი სეგმენტი უსასრულოდ უნდა განმეორდეს მარცხნივ და მარჯვნივ.

ვფიქრობ, ახლა საბოლოოდ გაირკვა ფრაზის „დაშლის პერიოდის“ მნიშვნელობა. მარტივად რომ ვთქვათ, ყოველ ჯერზე სიტუაცია მეორდება ისევ და ისევ.

პრაქტიკაში, როგორც წესი, საკმარისია სამი დაშლის პერიოდის გამოსახვა, როგორც ეს კეთდება ნახატზე. კარგად, და მეზობელი პერიოდების მეტი "ნაკბენები" - ნათლად რომ ვთქვათ, რომ სქემა გრძელდება.

განსაკუთრებით საინტერესოა პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილები. ასეთ წერტილებში ფურიეს სერიები იყრის თავს იზოლირებულ მნიშვნელობებს, რომლებიც განლაგებულია ზუსტად წყვეტის „ნახტომის“ შუაში (ნახაზზე წითელი წერტილები). როგორ მოვძებნოთ ამ წერტილების ორდინატი? ჯერ ვიპოვოთ „ზედა სართულის“ ორდინატი: ამისთვის ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობას ცენტრალური გაფართოების პერიოდის ყველაზე მარჯვენა წერტილში: . „ქვედა სართულის“ ორდინატის გამოსათვლელად უმარტივესი გზაა იმავე პერიოდის მარცხენა მნიშვნელობის აღება: . საშუალო მნიშვნელობის ორდინატი არის "ზედა და ქვედა" ჯამის საშუალო არითმეტიკული: . სასიამოვნოა ის ფაქტი, რომ ნახატის აგებისას, მაშინვე დაინახავთ, სწორად არის თუ არა გათვლილი შუა.

მოდით ავაშენოთ სერიის ნაწილობრივი ჯამი და ამავდროულად გავიმეოროთ ტერმინი „კონვერგენცია“. მოტივი ცნობილია გაკვეთილიდან რიცხვთა სერიის ჯამი. მოდით დეტალურად აღვწეროთ ჩვენი სიმდიდრე:

ნაწილობრივი ჯამის შესაქმნელად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ სერიის ნული + კიდევ ორი წევრი. ანუ

ნახაზზე ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია მწვანედ და, როგორც ხედავთ, საკმაოდ მჭიდროდ „ახვევს“ მთლიან ჯამს. თუ გავითვალისწინებთ სერიის ხუთი წევრის ნაწილობრივ ჯამს, მაშინ ამ ფუნქციის გრაფიკი კიდევ უფრო ზუსტად მიაახლოებს წითელ ხაზებს, თუ ასი წევრია, მაშინ "მწვანე გველი" რეალურად მთლიანად შეერწყმის წითელ სეგმენტებს. და ა.შ. ამრიგად, ფურიეს სერიები ემთხვევა მის ჯამს.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ნებისმიერი ნაწილობრივი ჯამი არის უწყვეტი ფუნქცია, მაგრამ სერიის მთლიანი ჯამი კვლავ შეწყვეტილია.

პრაქტიკაში იშვიათი არაა ნაწილობრივი ჯამის გრაფიკის აგება. Როგორ გავაკეთო ეს? ჩვენს შემთხვევაში, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ფუნქცია სეგმენტზე, გამოვთვალოთ მისი მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში და შუალედურ წერტილებში (რაც მეტ ქულას განიხილავთ, მით უფრო ზუსტი იქნება გრაფიკი). შემდეგ თქვენ უნდა მონიშნოთ ეს წერტილები ნახაზზე და ყურადღებით დახაზოთ გრაფიკი პერიოდზე, შემდეგ კი „გაიმეოროთ“ ის მიმდებარე ინტერვალებით. სხვა როგორ? ბოლოს და ბოლოს, მიახლოებაც პერიოდული ფუნქციაა ... ... მისი გრაფიკი რაღაცნაირად მაგონებს გულის თანაბარ რიტმს სამედიცინო მოწყობილობის ეკრანზე.

რა თქმა უნდა, არ არის ძალიან მოსახერხებელი კონსტრუქციის განხორციელება, რადგან თქვენ უნდა იყოთ უკიდურესად ფრთხილად, შეინარჩუნოთ სიზუსტე არანაკლებ ნახევარი მილიმეტრით. თუმცა, სიამოვნებით გავახარებ მკითხველებს, რომლებიც ეწინააღმდეგებიან ნახატს - "რეალურ" ამოცანაში, ყოველთვის არ არის საჭირო ნახატის შესრულება, სადღაც 50% შემთხვევაში საჭიროა ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში და ეს არის ის.

ნახაზის დასრულების შემდეგ ვასრულებთ დავალებას:

უპასუხე:

ბევრ ამოცანაში ფუნქცია ზარალდება 1-ლი სახის რღვევაპირდაპირ დაშლის პერიოდში:

მაგალითი 3

გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში ინტერვალზე მოცემული ფუნქცია. დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი და სერიების ჯამი.

შემოთავაზებული ფუნქცია მოცემულია ცალ-ცალკე (და გაითვალისწინეთ, მხოლოდ სეგმენტზე)და გაუძლო 1-ლი სახის რღვევაწერტილში. შესაძლებელია თუ არა ფურიეს კოეფიციენტების გამოთვლა? Არაა პრობლემა. ფუნქციის ორივე მარცხენა და მარჯვენა ნაწილი ინტეგრირებადია მათი ინტერვალებით, ამიტომ სამივე ფორმულიდან თითოეულში ინტეგრალები უნდა იყოს წარმოდგენილი ორი ინტეგრალის ჯამად. ვნახოთ, მაგალითად, როგორ კეთდება ეს ნულოვანი კოეფიციენტისთვის:

მეორე ინტეგრალი ნულის ტოლი აღმოჩნდა, რამაც შეამცირა სამუშაო, მაგრამ ეს ყოველთვის ასე არ არის.

ორი სხვა ფურიეს კოეფიციენტი იწერება ანალოგიურად.

როგორ აჩვენოთ სერიის ჯამი? მარცხენა ინტერვალზე ვხატავთ სწორი ხაზის სეგმენტს, ხოლო ინტერვალზე - სწორი ხაზის სეგმენტს (ღერძის მონაკვეთი მონიშნეთ თამამად). ანუ გაფართოების ინტერვალზე სერიის ჯამი ყველგან ემთხვევა ფუნქციას, გარდა სამი „ცუდი“ წერტილისა. ფუნქციის შეწყვეტის წერტილში, ფურიეს სერიები იყრის თავს იზოლირებულ მნიშვნელობამდე, რომელიც მდებარეობს ზუსტად წყვეტის „ნახტომის“ შუაში. ზეპირად დანახვა არ არის რთული: მარცხენა ლიმიტი:, მარჯვენა ლიმიტი: და, ცხადია, შუა წერტილის ორდინატი არის 0,5.

ჯამის პერიოდულობის გამო სურათი უნდა „გამრავლდეს“ მეზობელ პერიოდებში, კერძოდ, ერთი და იგივე გამოსახოს ინტერვალებზე და . ამ შემთხვევაში, წერტილებში, ფურიეს სერია გადადის მედიანურ მნიშვნელობებთან.

ფაქტობრივად, აქ ახალი არაფერია.

შეეცადეთ მოაგვაროთ ეს პრობლემა დამოუკიდებლად. ჯარიმა დიზაინისა და ნახატის სავარაუდო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.

ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში თვითნებურ პერიოდზე

თვითნებური გაფართოების პერიოდისთვის, სადაც "el" არის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, ფურიეს სერიის და ფურიეს კოეფიციენტების ფორმულები განსხვავდება ოდნავ უფრო რთული სინუსისა და კოსინუსების არგუმენტით:

თუ , მაშინ ვიღებთ ფორმულებს იმ ინტერვალისთვის, რომლითაც დავიწყეთ.

პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი და პრინციპები მთლიანად არის დაცული, მაგრამ გათვლების ტექნიკური სირთულე იზრდება:

მაგალითი 4

გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიებად და დახაზეთ ჯამი.

გამოსავალი: ფაქტობრივად, N3 მაგალითის ანალოგი 1-ლი სახის რღვევაწერტილში. ამ პრობლემაში გაფართოების პერიოდი, ნახევარპერიოდი. ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ ნახევარ ინტერვალზე, მაგრამ ეს არ ცვლის რამეს - მნიშვნელოვანია, რომ ფუნქციის ორივე ნაწილი ინტეგრირებული იყოს.

მოდით გავაფართოვოთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში:

ვინაიდან ფუნქცია სათავეში წყვეტილია, ფურიეს თითოეული კოეფიციენტი აშკარად უნდა დაიწეროს, როგორც ორი ინტეგრალის ჯამი:

1) მე დავწერ პირველ ინტეგრალს რაც შეიძლება დეტალურად:

2) ფრთხილად შეხედეთ მთვარის ზედაპირს:

მეორე ინტეგრალი ნაწილებად აღება:

რას უნდა მიაქციოთ დიდი ყურადღება მას შემდეგ, რაც ხსნარის გაგრძელებას ვარსკვლავით გავხსნით?

პირველი, ჩვენ არ ვკარგავთ პირველ ინტეგრალს , სადაც მაშინვე ვასრულებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანა. მეორეც, არ დაივიწყოთ უბედური მუდმივი დიდი ფრჩხილების წინ და არ დაიბნეთ ნიშნებიფორმულის გამოყენებისას . დიდი ფრჩხილები, ბოლოს და ბოლოს, უფრო მოსახერხებელია დაუყოვნებლივ გახსნა შემდეგ ეტაპზე.

დანარჩენი ტექნიკის საკითხია, მხოლოდ ინტეგრალების ამოხსნის არასაკმარისმა გამოცდილებამ შეიძლება გამოიწვიოს სირთულეები.

დიახ, უშედეგოდ არ იყო აღშფოთებული ფრანგი მათემატიკოსის ფურიეს გამოჩენილი კოლეგები - როგორ გაბედა მან ფუნქციების დაშლა ტრიგონომეტრიულ სერიებად ?! =) სხვათა შორის, ალბათ ყველას აინტერესებს მოცემული ამოცანის პრაქტიკული მნიშვნელობა. თავად ფურიე მუშაობდა სითბოს გამტარობის მათემატიკურ მოდელზე და შემდგომში მისი სახელობის სერიების გამოყენება დაიწყო მრავალი პერიოდული პროცესის შესასწავლად, რომლებიც აშკარად უხილავია გარე სამყაროში. ახლა, სხვათა შორის, ჩემი თავი იმ ფიქრში დავიჭირე, რომ შემთხვევითი არ იყო, რომ მეორე მაგალითის გრაფიკი პერიოდულ გულის რიტმს შევადარე. მსურველებს შეუძლიათ გაეცნონ პრაქტიკულ აპლიკაციას ფურიეს გარდაქმნებიმესამე მხარის წყაროებიდან. ... თუმცა ჯობია არ იყოს - ის დაიმახსოვრდება როგორც პირველი სიყვარული =)

3) არაერთხელ ნახსენები სუსტი რგოლებიდან გამომდინარე, საქმე გვაქვს მესამე კოეფიციენტთან:

ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი ფურიეს კოეფიციენტებს ფორმულაში ნუ დაგავიწყდებათ ნულოვანი კოეფიციენტის ნახევარზე გაყოფა:

მოდით გამოვსახოთ სერიის ჯამი. მოკლედ გავიმეოროთ პროცედურა: ინტერვალზე ვაშენებთ ხაზს, ხოლო ინტერვალზე - ხაზს. "x"-ის ნულოვანი მნიშვნელობით, ჩვენ ვათავსებთ წერტილს უფსკრულის "ნახტომის" შუაში და "ვიმეორებთ" სქემას მეზობელი პერიოდებისთვის:

პერიოდების „შეერთებისას“ ჯამი ასევე ტოლი იქნება უფსკრულის „ნახტომის“ შუა წერტილების.

მზადაა. შეგახსენებთ, რომ თავად ფუნქცია პირობითად არის განსაზღვრული მხოლოდ ნახევარინტერვალზე და, ცხადია, ემთხვევა სერიების ჯამს ინტერვალებზე.

უპასუხე:

ზოგჯერ ცალ-ცალკე მოცემული ფუნქცია ასევე უწყვეტია გაფართოების პერიოდში. უმარტივესი მაგალითი: . გამოსავალი (იხილეთ ბოჰანის ტომი 2)იგივეა, რაც ორ წინა მაგალითში: მიუხედავად ფუნქციის უწყვეტობაწერტილში, თითოეული ფურიეს კოეფიციენტი გამოიხატება როგორც ორი ინტეგრალის ჯამი.

დაშლის ინტერვალში პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილებიდა/ან გრაფიკის „შეერთების“ წერტილები შეიძლება იყოს მეტი (ორი, სამი და ზოგადად ნებისმიერი საბოლოოთანხა). თუ ფუნქცია ინტეგრირებადია ყველა ნაწილზე, მაშინ ის ასევე გაფართოვდება ფურიეს სერიაში. მაგრამ პრაქტიკული გამოცდილებიდან არ მახსოვს ასეთი კალა. მიუხედავად ამისა, არსებობს უფრო რთული ამოცანები, ვიდრე ახლა განვიხილეთ და სტატიის ბოლოს ყველასთვის არის ბმულები გაზრდილი სირთულის ფურიეს სერიასთან.

ამასობაში მოდი დავისვენოთ, სკამებს ვეყრდნობით და ვიფიქროთ ვარსკვლავების გაუთავებელ სივრცეებზე:

მაგალითი 5

გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიად ინტერვალზე და დახაზეთ სერიების ჯამი.

ამ ამოცანაში ფუნქცია უწყვეტიდაშლის ნახევარინტერვალზე, რაც ამარტივებს ხსნარს. ყველაფერი ძალიან ჰგავს მაგალითს No2. კოსმოსური ხომალდიდან გაქცევა არ არის - უნდა გადაწყვიტო =) გაკვეთილის ბოლოს დიზაინის სავარაუდო ნიმუში, განრიგი თან ერთვის.

ლუწი და კენტი ფუნქციების ფურიეს სერიის გაფართოება

ლუწი და კენტი ფუნქციებით, პრობლემის გადაჭრის პროცესი შესამჩნევად გამარტივებულია. და ამიტომ. დავუბრუნდეთ ფუნქციის გაფართოებას ფურიეს სერიაში "ორი პი" პერიოდის განმავლობაში. და თვითნებური პერიოდი "ორი ალები" .

დავუშვათ, რომ ჩვენი ფუნქცია ლუწია. სერიის ზოგადი ტერმინი, როგორც ხედავთ, შეიცავს ლუწი კოსინუსებს და კენტ სინუსებს. და თუ ლუწი ფუნქციას დავშლით, მაშინ რატომ გვჭირდება კენტი სინუსები?! გადავაყენოთ არასაჭირო კოეფიციენტი: .

Ამგვარად, ლუწი ფუნქცია ფართოვდება ფურიეს სერიაში მხოლოდ კოსინუსებში:

Იმიტომ რომ ლუწი ფუნქციების ინტეგრალებიინტეგრაციის სეგმენტზე სიმეტრიული ნულის მიმართ შეიძლება გაორმაგდეს, შემდეგ ფურიეს დანარჩენი კოეფიციენტებიც გამარტივებულია.

ხანგრძლივობისთვის:

თვითნებური ინტერვალისთვის:

სახელმძღვანელოების მაგალითები, რომლებიც გვხვდება გაანგარიშების თითქმის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში, მოიცავს ლუწი ფუნქციების გაფართოებებს . გარდა ამისა, ისინი არაერთხელ შეხვდნენ ჩემს პირად პრაქტიკაში:

მაგალითი 6

მოცემული ფუნქცია. საჭირო:

1) გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში წერტილით, სადაც არის თვითნებური დადებითი რიცხვი;

2) ჩაწერეთ გაფართოება ინტერვალზე, შექმენით ფუნქცია და გამოიტანეთ სერიის ჯამი.

გამოსავალი: პირველ პუნქტში შემოთავაზებულია პრობლემის გადაჭრა ზოგადი გზით და ეს ძალიან მოსახერხებელია! საჭირო იქნება - უბრალოდ შეცვალეთ თქვენი ღირებულება.

1) ამ პრობლემაში გაფართოების პერიოდი, ნახევარპერიოდი. შემდგომი მოქმედებების დროს, განსაკუთრებით ინტეგრაციის დროს, „ელ“ განიხილება მუდმივად

ფუნქცია ლუწია, რაც ნიშნავს, რომ ის ფურიეს სერიებად ვრცელდება მხოლოდ კოსინუსებში: .

ფურიეს კოეფიციენტები იძებნება ფორმულებით . ყურადღება მიაქციეთ მათ აბსოლუტურ უპირატესობებს. პირველ რიგში, ინტეგრაცია ხორციელდება გაფართოების პოზიტიურ სეგმენტზე, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უსაფრთხოდ მოვიშორებთ მოდულს. ორი ნაწილიდან მხოლოდ "x"-ს გათვალისწინებით. და მეორეც, ინტეგრაცია შესამჩნევად გამარტივებულია.