პირველ ნაწილში განვიხილეთ რამდენიმე თეორიული მასალა, ჩანაცვლების მეთოდი, ასევე სისტემური განტოლებების ტერმინებით შეკრების მეთოდი. ყველას, ვინც ამ გვერდის საშუალებით შემოვიდა საიტზე, გირჩევთ წაიკითხოთ პირველი ნაწილი. შესაძლოა, ზოგიერთმა ვიზიტორმა მასალა ზედმეტად მარტივი აღმოაჩინოს, მაგრამ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას მე გავაკეთე არაერთი ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა და დასკვნა ზოგადად მათემატიკური ამოცანების ამოხსნის შესახებ.

ახლა კი გავაანალიზებთ კრამერის წესს, ასევე წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნას შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით (მატრიცის მეთოდი). ყველა მასალა წარმოდგენილია მარტივად, დეტალურად და ნათლად, თითქმის ყველა მკითხველს შეეძლება ისწავლოს სისტემების ამოხსნა ზემოაღნიშნული მეთოდების გამოყენებით.

ჩვენ ჯერ დეტალურად განვიხილავთ კრამერის წესს ორ უცნობში ორი წრფივი განტოლების სისტემისთვის. Რისთვის? „ყველაზე მარტივი სისტემის გადაწყვეტა ხომ სასკოლო მეთოდით, ტერმინით ვადიანი მიმატებით შეიძლება!

ფაქტია, რომ თუნდაც ზოგჯერ, მაგრამ არსებობს ასეთი ამოცანა - ამოხსნას ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი უცნობით კრამერის ფორმულების გამოყენებით. მეორეც, უფრო მარტივი მაგალითი დაგეხმარებათ გაიგოთ, თუ როგორ გამოიყენოთ კრამერის წესი უფრო რთული შემთხვევისთვის - სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით.

გარდა ამისა, არსებობს წრფივი განტოლებების სისტემები ორი ცვლადით, რომელთა ამოხსნაც მიზანშეწონილია ზუსტად კრამერის წესით!

განვიხილოთ განტოლებათა სისტემა

პირველ ეტაპზე ჩვენ ვიანგარიშებთ განმსაზღვრელს, მას ე.წ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი.

გაუსის მეთოდი.

თუ , მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა და ფესვების მოსაძებნად, უნდა გამოვთვალოთ კიდევ ორი ​​განმსაზღვრელი:
და

პრაქტიკაში, ზემოაღნიშნული კვალიფიკატორები ასევე შეიძლება აღინიშნოს ლათინური ასოებით.

განტოლების ფესვები გვხვდება ფორმულებით:
,

მაგალითი 7

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

გამოსავალი: ვხედავთ, რომ განტოლების კოეფიციენტები საკმაოდ დიდია, მარჯვენა მხარეს არის ათობითი წილადები მძიმით. მძიმით საკმაოდ იშვიათი სტუმარია მათემატიკაში პრაქტიკულ ამოცანებში; ეს სისტემა ავიღე ეკონომეტრიული პრობლემისგან.

როგორ მოვაგვაროთ ასეთი სისტემა? თქვენ შეგიძლიათ სცადოთ ერთი ცვლადის გამოხატვა მეორის თვალსაზრისით, მაგრამ ამ შემთხვევაში, თქვენ აუცილებლად მიიღებთ საშინელ ფანტასტიკურ წილადებს, რომლებთანაც მუშაობა უკიდურესად მოუხერხებელია და გადაწყვეტის დიზაინი უბრალოდ საშინლად გამოიყურება. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ მეორე განტოლება 6-ზე და გამოაკლოთ წევრი ნაწილს, მაგრამ აქ გამოჩნდება იგივე წილადები.

Რა უნდა ვქნა? ასეთ შემთხვევებში კრამერის ფორმულები სამაშველოში მოდის.

;

;

უპასუხე: ,

ორივე ფესვს აქვს უსასრულო კუდები და გვხვდება დაახლოებით, რაც საკმაოდ მისაღებია (და ჩვეულებრივიც კი) ეკონომეტრიული პრობლემებისთვის.

აქ კომენტარები არ არის საჭირო, რადგან ამოცანა მოგვარებულია მზა ფორმულების მიხედვით, თუმცა არის ერთი სიფრთხილე. ამ მეთოდის გამოყენებისას, სავალდებულოდავალების დიზაინის ფრაგმენტი არის შემდეგი ფრაგმენტი: "ასე რომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა". წინააღმდეგ შემთხვევაში, რეცენზენტმა შეიძლება დაგსაჯოს კრამერის თეორემის უპატივცემულობისთვის.

ზედმეტი არ იქნება შემოწმება, რაც მოსახერხებელია კალკულატორზე შესასრულებლად: ჩვენ ვცვლით მიახლოებით მნიშვნელობებს სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს. შედეგად, მცირე შეცდომით, უნდა მივიღოთ რიცხვები, რომლებიც მარჯვენა მხარეს არის.

მაგალითი 8

გამოხატეთ თქვენი პასუხი ჩვეულებრივი არასწორი წილადებით. გააკეთეთ შემოწმება.

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის (კარგი დიზაინის მაგალითი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

ჩვენ მივმართავთ კრამერის წესის განხილვას სამი განტოლების სისტემისთვის სამი უცნობით:

ჩვენ ვპოულობთ სისტემის მთავარ განმსაზღვრელს:

თუ , მაშინ სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია (არ აქვს გადაწყვეტილებები). ამ შემთხვევაში კრამერის წესი არ გამოგადგებათ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ გაუსის მეთოდი.

თუ , მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გამოსავალი და ფესვების მოსაძებნად, უნდა გამოვთვალოთ კიდევ სამი განმსაზღვრელი:
, ,

და ბოლოს, პასუხი გამოითვლება ფორმულებით:

როგორც ხედავთ, "სამი სამზე" შემთხვევა ძირეულად არ განსხვავდება "ორი ორზე" შემთხვევისგან, თავისუფალი ტერმინების სვეტი თანმიმდევრულად "დადის" მარცხნიდან მარჯვნივ მთავარი განმსაზღვრელი სვეტების გასწვრივ.

მაგალითი 9

ამოხსენით სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

გამოსავალი: მოდით გადავჭრათ სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

ასე რომ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

უპასუხე: .

ფაქტობრივად, აქ კიდევ არაფერია განსაკუთრებული კომენტარის გაკეთება, იმის გათვალისწინებით, რომ გადაწყვეტილება მიღებულია მზა ფორმულების მიხედვით. მაგრამ არის რამდენიმე შენიშვნა.

ხდება ისე, რომ გამოთვლების შედეგად მიიღება „ცუდი“ შეუქცევადი წილადები, მაგალითად: .
მე გირჩევთ შემდეგ „მკურნალობის“ ალგორითმს. თუ ხელთ არ არის კომპიუტერი, ჩვენ ვაკეთებთ შემდეგს:

1) შეიძლება იყოს შეცდომა გამოთვლებში. როგორც კი შეხვდებით "ცუდ" გასროლას, დაუყოვნებლივ უნდა შეამოწმოთ თუ არა მდგომარეობა სწორად არის გადაწერილი. თუ პირობა გადაწერილია შეცდომების გარეშე, მაშინ თქვენ უნდა გამოთვალოთ დეტერმინანტები გაფართოების გამოყენებით სხვა რიგში (სვეტი).

2) თუ შემოწმების შედეგად არ იქნა ნაპოვნი შეცდომები, მაშინ დიდი ალბათობით დაშვებული იყო ბეჭდვითი შეცდომა დავალების პირობებში. ამ შემთხვევაში მშვიდად და ფრთხილად გადაწყვიტეთ დავალება ბოლომდე და შემდეგ დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთდა შეადგინეთ იგი სუფთა ასლზე გადაწყვეტილების მიღების შემდეგ. რა თქმა უნდა, წილადი პასუხის შემოწმება არასასიამოვნო დავალებაა, მაგრამ ეს იქნება განიარაღებული არგუმენტი მასწავლებლისთვის, რომელსაც ძალიან მოსწონს მინუსის დადება ნებისმიერი ცუდისთვის. როგორ მოვიქცეთ წილადებთან, დეტალურად არის აღწერილი მე-8 მაგალითის პასუხში.

თუ ხელთ გაქვთ კომპიუტერი, მაშინ გამოიყენეთ ავტომატური პროგრამა მის შესამოწმებლად, რომელიც შეგიძლიათ უფასოდ გადმოწეროთ გაკვეთილის დასაწყისშივე. სხვათა შორის, ყველაზე ხელსაყრელია პროგრამის დაუყოვნებლივ გამოყენება (თუნდაც გადაწყვეტის დაწყებამდე), მაშინვე დაინახავთ შუალედურ საფეხურს, რომელშიც შეცდომა დაუშვით! იგივე კალკულატორი ავტომატურად ითვლის სისტემის ამოხსნას მატრიცის მეთოდით.

მეორე შენიშვნა. დროდადრო არის სისტემები, რომელთა განტოლებებში აკლია ზოგიერთი ცვლადი, მაგალითად:

აქ პირველ განტოლებაში არ არის ცვლადი, მეორეში არ არის ცვლადი. ასეთ შემთხვევებში ძალიან მნიშვნელოვანია ძირითადი განმსაზღვრელი სწორად და ყურადღებით ჩაწეროთ:
- ნულები იდება დაკარგული ცვლადების ნაცვლად.
სხვათა შორის, რაციონალურია განმსაზღვრელების გახსნა ნულებით იმ მწკრივში (სვეტაში), რომელშიც მდებარეობს ნული, რადგან შესამჩნევად ნაკლები გამოთვლებია.

მაგალითი 10

ამოხსენით სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (საბოლოო ნიმუში და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

4 განტოლების სისტემის შემთხვევაში 4 უცნობით, კრამერის ფორმულები იწერება მსგავსი პრინციპების მიხედვით. ცოცხალი მაგალითის ნახვა შეგიძლიათ განმსაზღვრელი თვისებების გაკვეთილზე. დეტერმინანტის რიგის შემცირება - მე-4 რიგის ხუთი განმსაზღვრელი საკმაოდ ამოსახსნელია. მიუხედავად იმისა, რომ დავალება უკვე ძალიან მოგვაგონებს პროფესორის ფეხსაცმელს იღბლიანი სტუდენტის მკერდზე.

სისტემის ამოხსნა ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით

ინვერსიული მატრიცის მეთოდი არსებითად განსაკუთრებული შემთხვევაა მატრიცული განტოლება(იხ. მითითებული გაკვეთილის მაგალითი No3).

ამ განყოფილების შესასწავლად თქვენ უნდა შეძლოთ დეტერმინანტების გაფართოება, შებრუნებული მატრიცის პოვნა და მატრიცის გამრავლების შესრულება. ახსნა-განმარტების წინსვლისას მოგეცემათ შესაბამისი ბმულები.

მაგალითი 11

ამოხსენით სისტემა მატრიცული მეთოდით

გამოსავალი: ჩვენ ვწერთ სისტემას მატრიცის სახით:
, სად

გთხოვთ გადახედოთ განტოლებების სისტემას და მატრიცებს. რა პრინციპით ვწერთ ელემენტებს მატრიცებში, მგონი ყველას ესმის. ერთადერთი კომენტარი: თუ რამდენიმე ცვლადი აკლდა განტოლებებს, მაშინ მატრიცის შესაბამის ადგილებზე ნულები უნდა ჩასვათ.

ინვერსიულ მატრიცას ვპოულობთ ფორმულით:
, სადაც არის მატრიცის შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატების ტრანსპონირებული მატრიცა .

პირველ რიგში, მოდით გაუმკლავდეთ განმსაზღვრელს:

აქ განმსაზღვრელი გაფართოვებულია პირველი ხაზით.

ყურადღება! თუ , მაშინ შებრუნებული მატრიცა არ არსებობს და შეუძლებელია სისტემის ამოხსნა მატრიცული მეთოდით. ამ შემთხვევაში სისტემა წყდება უცნობების აღმოფხვრით (გაუსის მეთოდი).

ახლა თქვენ უნდა გამოთვალოთ 9 არასრულწლოვანი და ჩაწეროთ ისინი არასრულწლოვანთა მატრიცაში

მითითება:სასარგებლოა წრფივი ალგებრაში ორმაგი ხელმოწერების მნიშვნელობის ცოდნა. პირველი ციფრი არის ხაზის ნომერი, რომელშიც ელემენტი მდებარეობს. მეორე ციფრი არის სვეტის ნომერი, რომელშიც ელემენტი მდებარეობს:

ანუ, ორმაგი ხელმოწერა მიუთითებს, რომ ელემენტი არის პირველ რიგში, მესამე სვეტში, ხოლო, მაგალითად, ელემენტი არის მე-3 რიგში, მე-2 სვეტში.

ამ აბზაცის ათვისებისთვის უნდა შეძლოთ კვალიფიკაციის გახსნა „ორი ორზე“ და „სამი სამზე“. თუ კვალიფიკაცია ცუდია, გთხოვთ ისწავლოთ გაკვეთილი როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

ჩვენ ჯერ დეტალურად განვიხილავთ კრამერის წესს ორ უცნობში ორი წრფივი განტოლების სისტემისთვის. Რისთვის? „ყველაზე მარტივი სისტემის გადაწყვეტა ხომ სასკოლო მეთოდით, ტერმინით ვადიანი მიმატებით შეიძლება!

ფაქტია, რომ თუნდაც ზოგჯერ, მაგრამ არსებობს ასეთი ამოცანა - ამოხსნას ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი უცნობით კრამერის ფორმულების გამოყენებით. მეორეც, უფრო მარტივი მაგალითი დაგეხმარებათ გაიგოთ, თუ როგორ გამოიყენოთ კრამერის წესი უფრო რთული შემთხვევისთვის - სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით.

გარდა ამისა, არსებობს წრფივი განტოლებების სისტემები ორი ცვლადით, რომელთა ამოხსნაც მიზანშეწონილია ზუსტად კრამერის წესით!

განვიხილოთ განტოლებათა სისტემა

პირველ ეტაპზე ჩვენ ვიანგარიშებთ განმსაზღვრელს, მას ე.წ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი.

გაუსის მეთოდი.

თუ , მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა და ფესვების მოსაძებნად, უნდა გამოვთვალოთ კიდევ ორი ​​განმსაზღვრელი:
და

პრაქტიკაში, ზემოაღნიშნული კვალიფიკატორები ასევე შეიძლება აღინიშნოს ლათინური ასოებით.

განტოლების ფესვები გვხვდება ფორმულებით:
,

მაგალითი 7

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა

გამოსავალი: ვხედავთ, რომ განტოლების კოეფიციენტები საკმაოდ დიდია, მარჯვენა მხარეს არის ათობითი წილადები მძიმით. მძიმით საკმაოდ იშვიათი სტუმარია მათემატიკაში პრაქტიკულ ამოცანებში; ეს სისტემა ავიღე ეკონომეტრიული პრობლემისგან.

როგორ მოვაგვაროთ ასეთი სისტემა? თქვენ შეგიძლიათ სცადოთ ერთი ცვლადის გამოხატვა მეორის თვალსაზრისით, მაგრამ ამ შემთხვევაში, თქვენ აუცილებლად მიიღებთ საშინელ ფანტასტიკურ წილადებს, რომლებთანაც მუშაობა უკიდურესად მოუხერხებელია და გადაწყვეტის დიზაინი უბრალოდ საშინლად გამოიყურება. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ მეორე განტოლება 6-ზე და გამოაკლოთ წევრი ნაწილს, მაგრამ აქ გამოჩნდება იგივე წილადები.

Რა უნდა ვქნა? ასეთ შემთხვევებში კრამერის ფორმულები სამაშველოში მოდის.

;

;

უპასუხე: ,

ორივე ფესვს აქვს უსასრულო კუდები და გვხვდება დაახლოებით, რაც საკმაოდ მისაღებია (და ჩვეულებრივიც კი) ეკონომეტრიული პრობლემებისთვის.

აქ კომენტარები არ არის საჭირო, რადგან ამოცანა მოგვარებულია მზა ფორმულების მიხედვით, თუმცა არის ერთი სიფრთხილე. ამ მეთოდის გამოყენებისას, სავალდებულოდავალების დიზაინის ფრაგმენტი არის შემდეგი ფრაგმენტი: "ასე რომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა". წინააღმდეგ შემთხვევაში, რეცენზენტმა შეიძლება დაგსაჯოს კრამერის თეორემის უპატივცემულობისთვის.

ზედმეტი არ იქნება შემოწმება, რაც მოსახერხებელია კალკულატორზე შესასრულებლად: ჩვენ ვცვლით მიახლოებით მნიშვნელობებს სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს. შედეგად, მცირე შეცდომით, უნდა მივიღოთ რიცხვები, რომლებიც მარჯვენა მხარეს არის.

მაგალითი 8

გამოხატეთ თქვენი პასუხი ჩვეულებრივი არასწორი წილადებით. გააკეთეთ შემოწმება.

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის (კარგი დიზაინის მაგალითი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

ჩვენ მივმართავთ კრამერის წესის განხილვას სამი განტოლების სისტემისთვის სამი უცნობით:

ჩვენ ვპოულობთ სისტემის მთავარ განმსაზღვრელს:

თუ , მაშინ სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია (არ აქვს გადაწყვეტილებები). ამ შემთხვევაში კრამერის წესი არ გამოგადგებათ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ გაუსის მეთოდი.

თუ , მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გამოსავალი და ფესვების მოსაძებნად, უნდა გამოვთვალოთ კიდევ სამი განმსაზღვრელი:
, ,

და ბოლოს, პასუხი გამოითვლება ფორმულებით:

როგორც ხედავთ, "სამი სამზე" შემთხვევა ძირეულად არ განსხვავდება "ორი ორზე" შემთხვევისგან, თავისუფალი ტერმინების სვეტი თანმიმდევრულად "დადის" მარცხნიდან მარჯვნივ მთავარი განმსაზღვრელი სვეტების გასწვრივ.

მაგალითი 9

ამოხსენით სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

გამოსავალი: მოდით გადავჭრათ სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

ასე რომ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

უპასუხე: .

ფაქტობრივად, აქ კიდევ არაფერია განსაკუთრებული კომენტარის გაკეთება, იმის გათვალისწინებით, რომ გადაწყვეტილება მიღებულია მზა ფორმულების მიხედვით. მაგრამ არის რამდენიმე შენიშვნა.

ხდება ისე, რომ გამოთვლების შედეგად მიიღება „ცუდი“ შეუქცევადი წილადები, მაგალითად: .
მე გირჩევთ შემდეგ „მკურნალობის“ ალგორითმს. თუ ხელთ არ არის კომპიუტერი, ჩვენ ვაკეთებთ შემდეგს:

1) შეიძლება იყოს შეცდომა გამოთვლებში. როგორც კი შეხვდებით "ცუდ" გასროლას, დაუყოვნებლივ უნდა შეამოწმოთ თუ არა მდგომარეობა სწორად არის გადაწერილი. თუ პირობა გადაწერილია შეცდომების გარეშე, მაშინ თქვენ უნდა გამოთვალოთ დეტერმინანტები გაფართოების გამოყენებით სხვა რიგში (სვეტი).

2) თუ შემოწმების შედეგად არ იქნა ნაპოვნი შეცდომები, მაშინ დიდი ალბათობით დაშვებული იყო ბეჭდვითი შეცდომა დავალების პირობებში. ამ შემთხვევაში მშვიდად და ფრთხილად გადაწყვიტეთ დავალება ბოლომდე და შემდეგ დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთდა შეადგინეთ იგი სუფთა ასლზე გადაწყვეტილების მიღების შემდეგ. რა თქმა უნდა, წილადი პასუხის შემოწმება არასასიამოვნო დავალებაა, მაგრამ ეს იქნება განიარაღებული არგუმენტი მასწავლებლისთვის, რომელსაც ძალიან მოსწონს მინუსის დადება ნებისმიერი ცუდისთვის. როგორ მოვიქცეთ წილადებთან, დეტალურად არის აღწერილი მე-8 მაგალითის პასუხში.

თუ ხელთ გაქვთ კომპიუტერი, მაშინ გამოიყენეთ ავტომატური პროგრამა მის შესამოწმებლად, რომელიც შეგიძლიათ უფასოდ გადმოწეროთ გაკვეთილის დასაწყისშივე. სხვათა შორის, ყველაზე ხელსაყრელია პროგრამის დაუყოვნებლივ გამოყენება (თუნდაც გადაწყვეტის დაწყებამდე), მაშინვე დაინახავთ შუალედურ საფეხურს, რომელშიც შეცდომა დაუშვით! იგივე კალკულატორი ავტომატურად ითვლის სისტემის ამოხსნას მატრიცის მეთოდით.

მეორე შენიშვნა. დროდადრო არის სისტემები, რომელთა განტოლებებში აკლია ზოგიერთი ცვლადი, მაგალითად:

აქ პირველ განტოლებაში არ არის ცვლადი, მეორეში არ არის ცვლადი. ასეთ შემთხვევებში ძალიან მნიშვნელოვანია ძირითადი განმსაზღვრელი სწორად და ყურადღებით ჩაწეროთ:
- ნულები იდება დაკარგული ცვლადების ნაცვლად.
სხვათა შორის, რაციონალურია განმსაზღვრელების გახსნა ნულებით იმ მწკრივში (სვეტაში), რომელშიც მდებარეობს ნული, რადგან შესამჩნევად ნაკლები გამოთვლებია.

მაგალითი 10

ამოხსენით სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით.

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის (საბოლოო ნიმუში და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

4 განტოლების სისტემის შემთხვევაში 4 უცნობით, კრამერის ფორმულები იწერება მსგავსი პრინციპების მიხედვით. ცოცხალი მაგალითის ნახვა შეგიძლიათ განმსაზღვრელი თვისებების გაკვეთილზე. დეტერმინანტის რიგის შემცირება - მე-4 რიგის ხუთი განმსაზღვრელი საკმაოდ ამოსახსნელია. მიუხედავად იმისა, რომ დავალება უკვე ძალიან მოგვაგონებს პროფესორის ფეხსაცმელს იღბლიანი სტუდენტის მკერდზე.

სისტემის ამოხსნა ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით

ინვერსიული მატრიცის მეთოდი არსებითად განსაკუთრებული შემთხვევაა მატრიცული განტოლება(იხ. მითითებული გაკვეთილის მაგალითი No3).

ამ განყოფილების შესასწავლად თქვენ უნდა შეძლოთ დეტერმინანტების გაფართოება, შებრუნებული მატრიცის პოვნა და მატრიცის გამრავლების შესრულება. ახსნა-განმარტების წინსვლისას მოგეცემათ შესაბამისი ბმულები.

მაგალითი 11

ამოხსენით სისტემა მატრიცული მეთოდით

გამოსავალი: ჩვენ ვწერთ სისტემას მატრიცის სახით:
, სად

გთხოვთ გადახედოთ განტოლებების სისტემას და მატრიცებს. რა პრინციპით ვწერთ ელემენტებს მატრიცებში, მგონი ყველას ესმის. ერთადერთი კომენტარი: თუ რამდენიმე ცვლადი აკლდა განტოლებებს, მაშინ მატრიცის შესაბამის ადგილებზე ნულები უნდა ჩასვათ.

ინვერსიულ მატრიცას ვპოულობთ ფორმულით:
, სადაც არის მატრიცის შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატების ტრანსპონირებული მატრიცა .

პირველ რიგში, მოდით გაუმკლავდეთ განმსაზღვრელს:

აქ განმსაზღვრელი გაფართოვებულია პირველი ხაზით.

ყურადღება! თუ , მაშინ შებრუნებული მატრიცა არ არსებობს და შეუძლებელია სისტემის ამოხსნა მატრიცული მეთოდით. ამ შემთხვევაში სისტემა წყდება უცნობების აღმოფხვრით (გაუსის მეთოდი).

ახლა თქვენ უნდა გამოთვალოთ 9 არასრულწლოვანი და ჩაწეროთ ისინი არასრულწლოვანთა მატრიცაში

მითითება:სასარგებლოა წრფივი ალგებრაში ორმაგი ხელმოწერების მნიშვნელობის ცოდნა. პირველი ციფრი არის ხაზის ნომერი, რომელშიც ელემენტი მდებარეობს. მეორე ციფრი არის სვეტის ნომერი, რომელშიც ელემენტი მდებარეობს:

ანუ, ორმაგი ხელმოწერა მიუთითებს, რომ ელემენტი არის პირველ რიგში, მესამე სვეტში, ხოლო, მაგალითად, ელემენტი არის მე-3 რიგში, მე-2 სვეტში.

ამოხსნისას უმჯობესია არასრულწლოვანთა გამოთვლა დეტალურად აღვწეროთ, თუმცა, გარკვეული გამოცდილებით, მათი კორექტირება შესაძლებელია შეცდომების ზეპირად დათვლაზე.

კრამერის მეთოდი ეფუძნება დეტერმინანტების გამოყენებას წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას. ეს მნიშვნელოვნად აჩქარებს გადაწყვეტის პროცესს.

კრამერის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმდენი წრფივი განტოლების სისტემის ამოსახსნელად, რამდენიც უცნობია თითოეულ განტოლებაში. თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ გამოსავალში შეიძლება გამოვიყენოთ კრამერის მეთოდი, თუ ის ნულის ტოლია, მაშინ არ შეიძლება. გარდა ამისა, კრამერის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად, რომლებსაც აქვთ უნიკალური ამონახსნები.

განმარტება. უცნობის კოეფიციენტებისგან შედგენილ განმსაზღვრელს სისტემის განმსაზღვრელი ეწოდება და აღინიშნება (დელტათი).

განმსაზღვრელი

მიღებულია კოეფიციენტების შეცვლით შესაბამის უცნობებზე თავისუფალი ტერმინებით:

;

.

კრამერის თეორემა. თუ სისტემის განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი, ხოლო უცნობი უდრის დეტერმინანტთა თანაფარდობას. მნიშვნელი შეიცავს სისტემის განმსაზღვრელს, ხოლო მრიცხველი შეიცავს სისტემის განმსაზღვრელისაგან მიღებულ განმსაზღვრელს კოეფიციენტების შეცვლით უცნობით თავისუფალი წევრებით. ეს თეორემა მოქმედებს ნებისმიერი რიგის წრფივი განტოლებათა სისტემაზე.

მაგალითი 1ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა:

Მიხედვით კრამერის თეორემაჩვენ გვაქვს:

ასე რომ, სისტემის ამოხსნა (2):

ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

სამი შემთხვევა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას

როგორც ჩანს კრამერის თეორემებიწრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნისას შეიძლება მოხდეს სამი შემთხვევა:

პირველი შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი

(სისტემა არის თანმიმდევრული და გარკვეული)

მეორე შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა

(სისტემა არის თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი)

** ,

იმათ. უცნობთა და თავისუფალი წევრთა კოეფიციენტები პროპორციულია.

მესამე შემთხვევა: წრფივი განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს

(სისტემა არათანმიმდევრულია)

ასე რომ სისტემა მწრფივი განტოლებები ნცვლადები ეწოდება შეუთავსებელითუ მას არ აქვს გადაწყვეტილებები და ერთობლივითუ მას აქვს ერთი გამოსავალი მაინც. განტოლებათა ერთობლივ სისტემას, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი, ეწოდება გარკვეულიდა ერთზე მეტი გაურკვეველი.

კრემერის მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მაგალითები

მიეცით სისტემა

.

კრამერის თეორემაზე დაყრდნობით

………….
,

სადაც
-

სისტემის იდენტიფიკატორი. დარჩენილი დეტერმინანტები მიიღება სვეტის ჩანაცვლებით შესაბამისი ცვლადის (უცნობი) კოეფიციენტებით თავისუფალი წევრებით:

მაგალითი 2

.

ამიტომ, სისტემა გარკვეულია. მისი ამოხსნის საპოვნელად ვიანგარიშებთ დეტერმინანტებს

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

ასე რომ, (1; 0; -1) არის სისტემის ერთადერთი გამოსავალი.

3 X 3 და 4 X 4 განტოლებების სისტემების ამონახსნების შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

თუ წრფივი განტოლების სისტემაში არ არის ცვლადები ერთ ან რამდენიმე განტოლებაში, მაშინ განმსაზღვრელში მათ შესაბამისი ელემენტები ნულის ტოლია! ეს არის შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 3ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

.

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

ყურადღებით დააკვირდით განტოლებათა სისტემას და სისტემის განმსაზღვრელს და გაიმეორეთ პასუხი კითხვაზე, რომელ შემთხვევაშია დეტერმინანტის ერთი ან რამდენიმე ელემენტი ნულის ტოლი. ასე რომ, დეტერმინანტი არ არის ნულის ტოლი, შესაბამისად, სისტემა განსაზღვრულია. მისი ამოხსნის საპოვნელად ვიანგარიშებთ უცნობის განმსაზღვრელებს

კრამერის ფორმულებით ვხვდებით:

ასე რომ, სისტემის ამონახსნი არის (2; -1; 1).

3 X 3 და 4 X 4 განტოლებების სისტემების ამონახსნების შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

გვერდის ზედა

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ სისტემების გადაჭრას კრამერის მეთოდით

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, თუ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, ხოლო უცნობის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, სისტემა არათანმიმდევრულია, ანუ მას არ აქვს ამონახსნები. მოდი ილუსტრაციით ვაჩვენოთ შემდეგი მაგალითი.

მაგალითი 6ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, შესაბამისად, წრფივი განტოლებათა სისტემა ან არათანმიმდევრული და განსაზღვრულია, ან არათანმიმდევრული, ანუ არ აქვს ამონახსნები. გასარკვევად, ჩვენ ვიანგარიშებთ განმსაზღვრელებს უცნობისთვის

უცნობის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, შესაბამისად, სისტემა არათანმიმდევრულია, ანუ არ აქვს ამონახსნები.

3 X 3 და 4 X 4 განტოლებების სისტემების ამონახსნების შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი, კრამერის ამოხსნის მეთოდი.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოცანებში არის ისეთებიც, სადაც ცვლადის აღმნიშვნელი ასოების გარდა არის სხვა ასოებიც. ეს ასოები ნიშნავს რაღაც რიცხვს, ყველაზე ხშირად რეალურ რიცხვს. პრაქტიკაში, ასეთი განტოლებები და განტოლებათა სისტემები იწვევს პრობლემებს ნებისმიერი ფენომენისა და ობიექტის ზოგადი თვისებების პოვნაში. ანუ თქვენ გამოიგონეთ ახალი მასალა ან მოწყობილობა და მისი თვისებების აღსაწერად, რომლებიც საერთოა ასლების ზომისა და რაოდენობის მიუხედავად, თქვენ უნდა ამოხსნათ წრფივი განტოლებების სისტემა, სადაც ცვლადების ზოგიერთი კოეფიციენტის ნაცვლად არის ასოები. თქვენ არ გჭირდებათ შორს ეძებოთ მაგალითები.

შემდეგი მაგალითი არის მსგავსი პრობლემისთვის, იზრდება მხოლოდ განტოლებების, ცვლადებისა და ასოების რაოდენობა, რომლებიც აღნიშნავენ რეალურ რიცხვს.

მაგალითი 8ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა კრამერის მეთოდით:

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის განმსაზღვრელს:

უცნობების განმსაზღვრელთა პოვნა