នៅក្នុងអត្ថបទនេះ អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ដោយប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល។ ជាលើកដំបូងដែលយើងជួបប្រទះនឹងការបង្កើតបញ្ហាបែបនេះនៅក្នុងវិទ្យាល័យ នៅពេលដែលការសិក្សាអំពីអាំងតេក្រាលមួយចំនួនទើបតែត្រូវបានបញ្ចប់ ហើយវាជាពេលវេលាដើម្បីចាប់ផ្តើមការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំណេះដឹងដែលទទួលបានក្នុងការអនុវត្ត។
ដូច្នេះ អ្វីដែលតម្រូវឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាដោយជោគជ័យក្នុងការស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាល៖
- សមត្ថភាពក្នុងការគូរគំនូរឱ្យបានត្រឹមត្រូវ;
- សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្ត ញូតុន-លីបនីហ្ស ដ៏ល្បីល្បាញ;
- សមត្ថភាពក្នុងការ "មើលឃើញ" ដំណោះស្រាយដែលរកប្រាក់ចំណេញកាន់តែច្រើន - i.e. ដើម្បីយល់ពីរបៀបក្នុងរឿងនេះ ឬករណីនោះ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការរួមបញ្ចូល? តាមអ័ក្ស x (OX) ឬអ័ក្ស y (OY)?
- ជាការប្រសើរណាស់, ដែលជាកន្លែងដែលដោយគ្មានការគណនាត្រឹមត្រូវ?) នេះរួមបញ្ចូលទាំងការយល់ដឹងពីរបៀបដើម្បីដោះស្រាយប្រភេទផ្សេងទៀតនៃអាំងតេក្រាលនិងការគណនាលេខត្រឹមត្រូវ។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖
1. យើងបង្កើតគំនូរ។ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើបែបនេះនៅលើក្រដាសមួយនៅក្នុងទ្រុងមួយនៅលើខ្នាតធំ។ យើងចុះហត្ថលេខាដោយខ្មៅដៃនៅពីលើក្រាហ្វនីមួយៗឈ្មោះនៃមុខងារនេះ។ ហត្ថលេខានៃក្រាហ្វត្រូវបានធ្វើឡើងដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការគណនាបន្ថែមទៀត។ ដោយបានទទួលក្រាហ្វនៃតួលេខដែលចង់បាន ក្នុងករណីភាគច្រើនវានឹងច្បាស់ភ្លាមៗថាតើដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលណាមួយនឹងត្រូវប្រើ។ ដូច្នេះយើងដោះស្រាយបញ្ហាជាក្រាហ្វិក។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាកើតឡើងថាតម្លៃនៃដែនកំណត់គឺប្រភាគឬមិនសមហេតុផល។ ដូច្នេះអ្នកអាចធ្វើការគណនាបន្ថែម សូមចូលទៅកាន់ជំហានទីពីរ។
2. ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលមិនត្រូវបានកំណត់ច្បាស់លាស់ទេនោះ យើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយគ្នា ហើយមើលថាតើដំណោះស្រាយក្រាហ្វិករបស់យើងស្របគ្នានឹងការវិភាគដែរឬទេ។
3. បន្ទាប់អ្នកត្រូវវិភាគគំនូរ។ អាស្រ័យលើរបៀបដែលក្រាហ្វនៃមុខងារស្ថិតនៅ មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នាក្នុងការស្វែងរកតំបន់នៃតួរលេខ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ផ្សេងៗនៃការស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាល។
3.1. កំណែបុរាណនិងសាមញ្ញបំផុតនៃបញ្ហាគឺនៅពេលដែលអ្នកត្រូវការស្វែងរកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ។ តើអ្វីទៅជា curvilinear trapezoid? នេះជារូបរាងសំប៉ែតដែលចងដោយអ័ក្ស x (y=0), ត្រង់ x = a, x = bនិងខ្សែកោងណាមួយបន្តនៅលើចន្លោះពេលពី កមុន ខ. ទន្ទឹមនឹងនេះតួលេខនេះគឺមិនអវិជ្ជមានហើយមានទីតាំងនៅមិនទាបជាងអ័ក្ស x ទេ។ ក្នុងករណីនេះ តំបន់នៃ curvilinear trapezoid មានចំនួនស្មើនឹងអាំងតេក្រាលកំណត់ដែលបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz៖
ឧទាហរណ៍ ១ y = x2 − 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
តើបន្ទាត់អ្វីដែលកំណត់រូប? យើងមានប៉ារ៉ាបូឡា y = x2 − 3x + 3ដែលមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស អូវាមិនអវិជ្ជមានទេព្រោះ ចំណុចទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាបូឡានេះគឺវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់ ផ្តល់បន្ទាត់ត្រង់ x = ១និង x = ៣ដែលរត់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូគឺជាបន្ទាត់ព្រំដែននៃតួលេខនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ។ អញ្ចឹង y = 0នាងគឺជាអ័ក្ស x ដែលកំណត់រូបភាពពីខាងក្រោម។ តួលេខលទ្ធផលត្រូវបានដាក់ស្រមោលដូចឃើញក្នុងរូបនៅខាងឆ្វេង។ ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហាភ្លាមៗ។ មុនពេលយើងគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយនៃ curvilinear trapezoid ដែលបន្ទាប់មកយើងដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ។
3.2. នៅក្នុងកថាខណ្ឌ 3.1 មុន ករណីនេះត្រូវបានវិភាគនៅពេលដែល curvilinear trapezoid ស្ថិតនៅខាងលើអ័ក្ស x ។ ឥឡូវពិចារណាករណីនៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺដូចគ្នា លើកលែងតែមុខងារស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស x ។ ដកមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅរូបមន្តស្តង់ដារ Newton-Leibniz ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះយើងនឹងពិចារណាបន្ថែមទៀត។
ឧទាហរណ៍ ២ . គណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងមានប៉ារ៉ាបូឡា y=x2+6x+2ដែលមានប្រភពមកពីក្រោមអ័ក្ស អូ, ត្រង់ x=-4, x=-1, y=0. នៅទីនេះ y = 0កំណត់តួលេខដែលចង់បានពីខាងលើ។ ផ្ទាល់ x = −4និង x = −1ទាំងនេះគឺជាព្រំដែនដែលអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នឹងត្រូវបានគណនា។ គោលការណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខស្ទើរតែទាំងស្រុងស្របគ្នានឹងឧទាហរណ៍លេខ 1។ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺមិនវិជ្ជមានទេ ហើយអ្វីៗក៏បន្តនៅចន្លោះពេលផងដែរ។ [-4; -1] . អ្វីដែលមិនមានន័យវិជ្ជមាន? ដូចដែលអាចមើលឃើញពីតួលេខ តួលេខដែលស្ថិតនៅក្នុង x ដែលបានផ្តល់ឱ្យមានកូអរដោនេ "អវិជ្ជមាន" ទាំងស្រុង ដែលជាអ្វីដែលយើងត្រូវមើល និងចងចាំនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។ យើងកំពុងស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ដោយគ្រាន់តែមានសញ្ញាដកនៅដើមដំបូងប៉ុណ្ណោះ។
អត្ថបទមិនត្រូវបានបញ្ចប់ទេ។
នៅក្នុងអត្ថបទនេះ អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ដោយប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល។ ជាលើកដំបូងដែលយើងជួបប្រទះនឹងការបង្កើតបញ្ហាបែបនេះនៅក្នុងវិទ្យាល័យ នៅពេលដែលការសិក្សាអំពីអាំងតេក្រាលមួយចំនួនទើបតែត្រូវបានបញ្ចប់ ហើយវាជាពេលវេលាដើម្បីចាប់ផ្តើមការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំណេះដឹងដែលទទួលបានក្នុងការអនុវត្ត។
ដូច្នេះ អ្វីដែលតម្រូវឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាដោយជោគជ័យក្នុងការស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាល៖
- សមត្ថភាពក្នុងការគូរគំនូរឱ្យបានត្រឹមត្រូវ;
- សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្ត ញូតុន-លីបនីហ្ស ដ៏ល្បីល្បាញ;
- សមត្ថភាពក្នុងការ "មើលឃើញ" ដំណោះស្រាយដែលរកប្រាក់ចំណេញកាន់តែច្រើន - i.e. ដើម្បីយល់ពីរបៀបក្នុងរឿងនេះ ឬករណីនោះ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការរួមបញ្ចូល? តាមអ័ក្ស x (OX) ឬអ័ក្ស y (OY)?
- ជាការប្រសើរណាស់, ដែលជាកន្លែងដែលដោយគ្មានការគណនាត្រឹមត្រូវ?) នេះរួមបញ្ចូលទាំងការយល់ដឹងពីរបៀបដើម្បីដោះស្រាយប្រភេទផ្សេងទៀតនៃអាំងតេក្រាលនិងការគណនាលេខត្រឹមត្រូវ។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖
1. យើងបង្កើតគំនូរ។ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើបែបនេះនៅលើក្រដាសមួយនៅក្នុងទ្រុងមួយនៅលើខ្នាតធំ។ យើងចុះហត្ថលេខាដោយខ្មៅដៃនៅពីលើក្រាហ្វនីមួយៗឈ្មោះនៃមុខងារនេះ។ ហត្ថលេខានៃក្រាហ្វត្រូវបានធ្វើឡើងដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការគណនាបន្ថែមទៀត។ ដោយបានទទួលក្រាហ្វនៃតួលេខដែលចង់បាន ក្នុងករណីភាគច្រើនវានឹងច្បាស់ភ្លាមៗថាតើដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលណាមួយនឹងត្រូវប្រើ។ ដូច្នេះយើងដោះស្រាយបញ្ហាជាក្រាហ្វិក។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាកើតឡើងថាតម្លៃនៃដែនកំណត់គឺប្រភាគឬមិនសមហេតុផល។ ដូច្នេះអ្នកអាចធ្វើការគណនាបន្ថែម សូមចូលទៅកាន់ជំហានទីពីរ។
2. ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលមិនត្រូវបានកំណត់ច្បាស់លាស់ទេនោះ យើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយគ្នា ហើយមើលថាតើដំណោះស្រាយក្រាហ្វិករបស់យើងស្របគ្នានឹងការវិភាគដែរឬទេ។
3. បន្ទាប់អ្នកត្រូវវិភាគគំនូរ។ អាស្រ័យលើរបៀបដែលក្រាហ្វនៃមុខងារស្ថិតនៅ មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នាក្នុងការស្វែងរកតំបន់នៃតួរលេខ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ផ្សេងៗនៃការស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាល។
3.1. កំណែបុរាណនិងសាមញ្ញបំផុតនៃបញ្ហាគឺនៅពេលដែលអ្នកត្រូវការស្វែងរកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ។ តើអ្វីទៅជា curvilinear trapezoid? នេះជារូបរាងសំប៉ែតដែលចងដោយអ័ក្ស x (y=0), ត្រង់ x = a, x = bនិងខ្សែកោងណាមួយបន្តនៅលើចន្លោះពេលពី កមុន ខ. ទន្ទឹមនឹងនេះតួលេខនេះគឺមិនអវិជ្ជមានហើយមានទីតាំងនៅមិនទាបជាងអ័ក្ស x ទេ។ ក្នុងករណីនេះ តំបន់នៃ curvilinear trapezoid មានចំនួនស្មើនឹងអាំងតេក្រាលកំណត់ដែលបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz៖
ឧទាហរណ៍ ១ y = x2 − 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
តើបន្ទាត់អ្វីដែលកំណត់រូប? យើងមានប៉ារ៉ាបូឡា y = x2 − 3x + 3ដែលមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស អូវាមិនអវិជ្ជមានទេព្រោះ ចំណុចទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាបូឡានេះគឺវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់ ផ្តល់បន្ទាត់ត្រង់ x = ១និង x = ៣ដែលរត់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូគឺជាបន្ទាត់ព្រំដែននៃតួលេខនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ។ អញ្ចឹង y = 0នាងគឺជាអ័ក្ស x ដែលកំណត់រូបភាពពីខាងក្រោម។ តួលេខលទ្ធផលត្រូវបានដាក់ស្រមោលដូចឃើញក្នុងរូបនៅខាងឆ្វេង។ ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហាភ្លាមៗ។ មុនពេលយើងគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយនៃ curvilinear trapezoid ដែលបន្ទាប់មកយើងដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ។
3.2. នៅក្នុងកថាខណ្ឌ 3.1 មុន ករណីនេះត្រូវបានវិភាគនៅពេលដែល curvilinear trapezoid ស្ថិតនៅខាងលើអ័ក្ស x ។ ឥឡូវពិចារណាករណីនៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺដូចគ្នា លើកលែងតែមុខងារស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស x ។ ដកមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅរូបមន្តស្តង់ដារ Newton-Leibniz ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះយើងនឹងពិចារណាបន្ថែមទៀត។
ឧទាហរណ៍ ២ . គណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងមានប៉ារ៉ាបូឡា y=x2+6x+2ដែលមានប្រភពមកពីក្រោមអ័ក្ស អូ, ត្រង់ x=-4, x=-1, y=0. នៅទីនេះ y = 0កំណត់តួលេខដែលចង់បានពីខាងលើ។ ផ្ទាល់ x = −4និង x = −1ទាំងនេះគឺជាព្រំដែនដែលអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នឹងត្រូវបានគណនា។ គោលការណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខស្ទើរតែទាំងស្រុងស្របគ្នានឹងឧទាហរណ៍លេខ 1។ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺមិនវិជ្ជមានទេ ហើយអ្វីៗក៏បន្តនៅចន្លោះពេលផងដែរ។ [-4; -1] . អ្វីដែលមិនមានន័យវិជ្ជមាន? ដូចដែលអាចមើលឃើញពីតួលេខ តួលេខដែលស្ថិតនៅក្នុង x ដែលបានផ្តល់ឱ្យមានកូអរដោនេ "អវិជ្ជមាន" ទាំងស្រុង ដែលជាអ្វីដែលយើងត្រូវមើល និងចងចាំនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។ យើងកំពុងស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ដោយគ្រាន់តែមានសញ្ញាដកនៅដើមដំបូងប៉ុណ្ណោះ។
អត្ថបទមិនត្រូវបានបញ្ចប់ទេ។
លេខកិច្ចការ 3. បង្កើតគំនូរមួយ ហើយគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់
ការអនុវត្តអាំងតេក្រាលក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត
ការគណនាតំបន់
អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍មិនអវិជ្ជមានបន្ត f(x) គឺស្មើនឹងលេខតំបន់នៃរាងចតុកោណកែងដែលចងដោយខ្សែកោង y \u003d f (x) អ័ក្ស O x និងបន្ទាត់ត្រង់ x \u003d a និង x \u003d ខ។ អាស្រ័យហេតុនេះ រូបមន្តតំបន់ត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖
ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការគណនាតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះ។
លេខកិច្ចការ 1. គណនាផ្ទៃដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d ២.
ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងបង្កើតតួលេខមួយ ផ្ទៃដីដែលយើងនឹងត្រូវគណនា។
y \u003d x 2 + 1 គឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលសាខារបស់វាតម្រង់ទៅខាងលើ ហើយប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរឡើងលើដោយឯកតាមួយទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស O y (រូបភាពទី 1) ។
រូបភាពទី 1. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x 2 + 1
លេខកិច្ចការ 2. គណនាផ្ទៃដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 ក្នុងចន្លោះពី 0 ដល់ 1 ។
 |
ដំណោះស្រាយ។ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡានៃសាខាដែលត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ ហើយប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរចុះក្រោមដោយឯកតាមួយទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស O y (រូបភាពទី 2) ។
រូបភាពទី 2. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d x 2 - 1
លេខកិច្ចការ 3. បង្កើតគំនូរមួយ ហើយគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់
y = 8 + 2x − x 2 និង y = 2x − 4 ។
ដំណោះស្រាយ។ទីមួយនៃបន្ទាត់ទាំងពីរនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានសាខាចង្អុលចុះក្រោម ចាប់តាំងពីមេគុណនៅ x 2 គឺអវិជ្ជមាន ហើយបន្ទាត់ទីពីរគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់អ័ក្សកូអរដោនេទាំងពីរ។
ដើម្បីសង់ប៉ារ៉ាបូឡា ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលរបស់វា៖ y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vertex abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ជាការចាត់តាំងរបស់វា N(1;9) គឺជាចំនុចកំពូលរបស់វា។
ឥឡូវនេះយើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា និងបន្ទាត់ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
សមីការផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដែលផ្នែកខាងឆ្វេងស្មើគ្នា។
យើងទទួលបាន 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ឬ x 2 - 12 \u003d 0 ពីកន្លែងណា 
.
ដូច្នេះចំនុចគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡានិងបន្ទាត់ត្រង់ (រូបភាពទី 1) ។
រូបភាពទី 3 ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 8 + 2x – x 2 និង y = 2x – 4
ចូរយើងបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់មួយ y = 2x − 4. វាឆ្លងកាត់ចំនុច (0; -4), (2; 0) នៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។
ដើម្បីបង្កើតប៉ារ៉ាបូឡា អ្នកក៏អាចមានចំនុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងអ័ក្ស 0x នោះគឺឫសនៃសមីការ 8 + 2x - x 2 = 0 ឬ x 2 - 2x - 8 = 0 ។ ដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta វាគឺជា ងាយស្រួលរកឫសរបស់វា៖ x 1 = 2, x 2 = បួន។
រូបភាពទី 3 បង្ហាញពីតួរលេខ (ផ្នែកប៉ារ៉ាបូល M 1 N M 2) ដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ទាំងនេះ។
ផ្នែកទីពីរនៃបញ្ហាគឺស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខនេះ។ តំបន់របស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្ត 
.
ទាក់ទងនឹងលក្ខខណ្ឌនេះ យើងទទួលបានអាំងតេក្រាល៖ 
2 ការគណនាបរិមាណនៃតួនៃបដិវត្តន៍
បរិមាណនៃរាងកាយដែលទទួលបានពីការបង្វិលនៃខ្សែកោង y \u003d f (x) ជុំវិញអ័ក្ស O x ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
នៅពេលបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស O y រូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖
លេខកិច្ចការ 4 ។ កំណត់បរិមាណនៃរាងកាយដែលទទួលបានពីការបង្វិលនៃរាងចតុកោណកែងដែលចងដោយបន្ទាត់ត្រង់ x \u003d 0 x \u003d 3 និងខ្សែកោង y \u003d ជុំវិញអ័ក្ស O x ។
ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងបង្កើតគំនូរមួយ (រូបភាពទី 4) ។
រូបភាពទី 4. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y =
បរិមាណដែលចង់បានគឺស្មើនឹង 
លេខកិច្ចការ 5 ។ គណនាបរិមាណនៃរាងកាយដែលទទួលបានពីការបង្វិលនៃ curvilinear trapezoid ចងដោយខ្សែកោង y = x 2 និងបន្ទាត់ត្រង់ y = 0 និង y = 4 ជុំវិញអ័ក្ស O y ។
ដំណោះស្រាយ។យើងមាន:
ពិនិត្យមើលសំណួរ
ក)
ដំណោះស្រាយ។
គ្រាដំបូងនិងសំខាន់បំផុតនៃការសម្រេចចិត្តគឺការសាងសង់គំនូរ.
តោះធ្វើគំនូរ៖
សមីការ y=0 កំណត់អ័ក្ស x;
- x=-2 និង x=1 - ត្រង់, ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អ៊ូ;
- y \u003d x 2 +2 - ប៉ារ៉ាបូឡាដែលមែកត្រូវបានតម្រង់ឡើងលើដោយមានចំណុចកំពូលនៅចំណុច (0;2) ។
មតិយោបល់។ដើម្បីបង្កើតប៉ារ៉ាបូឡា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកចំណុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ i.e. ដាក់ x=0 ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស អូ និងដោះស្រាយសមីការ quadratic ដែលត្រូវគ្នា រកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស អូ .
ចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖ 
អ្នកអាចគូរបន្ទាត់និងចង្អុលដោយចំណុច។
នៅចន្លោះពេល [-2;1] ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=x 2 +2 ដែលមានទីតាំងនៅ លើអ័ក្ស គោ , នោះហើយជាមូលហេតុដែល:
ចម្លើយ៖ ស \u003d 9 យូនីតការ៉េ
បន្ទាប់ពីកិច្ចការត្រូវបានបញ្ចប់ វាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការមើលគំនូរ និងស្វែងយល់ថាតើចម្លើយគឺពិតឬអត់។ ក្នុងករណីនេះ "ដោយភ្នែក" យើងរាប់ចំនួនក្រឡានៅក្នុងគំនូរ - ល្អប្រហែល 9 នឹងត្រូវបានវាយវាហាក់ដូចជាការពិត។ វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងមាន, និយាយថា, ចម្លើយ: 20 ឯកតាការ៉េ, បន្ទាប់មក, ជាក់ស្តែង, កំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងនៅកន្លែងណាមួយ - កោសិកាចំនួន 20 យ៉ាងច្បាស់មិនសមនឹងតួរលេខនៅក្នុងសំណួរ, យ៉ាងហោចណាស់រាប់សិប។ ប្រសិនបើចម្លើយប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន នោះកិច្ចការក៏ត្រូវបានដោះស្រាយមិនត្រឹមត្រូវដែរ។
អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើ curvilinear trapezoid មានទីតាំងនៅ នៅក្រោមអ័ក្ស អូ?
ខ)គណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y=-e x , x=1 និងសម្របសម្រួលអ័ក្ស។
ដំណោះស្រាយ។
តោះធ្វើគំនូរ។
ប្រសិនបើរាងពងក្រពើ curvilinear ទាំងស្រុងនៅក្រោមអ័ក្ស អូ , បន្ទាប់មកតំបន់របស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
ចម្លើយ៖ S=(e-1) sq. unit" 1.72 sq. unit
យកចិត្តទុកដាក់! កុំច្រឡំកិច្ចការពីរប្រភេទ:
1) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរឱ្យដោះស្រាយគ្រាន់តែជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយគ្មានអត្ថន័យធរណីមាត្រ នោះវាអាចជាអវិជ្ជមាន។
2) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរឱ្យស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នោះ តំបន់គឺតែងតែវិជ្ជមាន! នោះហើយជាមូលហេតុដែលដកលេចឡើងនៅក្នុងរូបមន្តដែលទើបតែពិចារណា។
នៅក្នុងការអនុវត្ត ភាគច្រើនជាញឹកញាប់តួលេខនេះមានទីតាំងនៅលើយន្តហោះពាក់កណ្តាលខាងលើ និងខាងក្រោម។
ជាមួយ)ស្វែងរកតំបន់នៃតួយន្តហោះដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x ។
ដំណោះស្រាយ។
ដំបូងអ្នកត្រូវធ្វើគំនូរ។ និយាយជាទូទៅនៅពេលសាងសង់គំនូរនៅក្នុងបញ្ហាតំបន់យើងចាប់អារម្មណ៍បំផុតចំពោះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។ ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា 
និងដោយផ្ទាល់ 
នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមពីរវិធី។ វិធីទីមួយគឺការវិភាគ។
យើងដោះស្រាយសមីការ៖
ដូច្នេះដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូល a=0 ដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល b=3 .
|
យើងបង្កើតបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: 1. Parabola - vertex នៅចំណុច (1; 1); ចំនុចប្រសព្វអ័ក្ស អូ -ពិន្ទុ (0; 0) និង (0; 2) ។ 2. បន្ទាត់ត្រង់ - bisector នៃមុំកូអរដោនេទី 2 និងទី 4 ។ ហើយឥឡូវនេះយកចិត្តទុកដាក់! ប្រសិនបើនៅចន្លោះពេល [ ក; ខ] មុខងារបន្តមួយចំនួន f(x)ធំជាង ឬស្មើនឹងមុខងារបន្តមួយចំនួន g(x)បន្ទាប់មកតំបន់នៃតួលេខដែលត្រូវគ្នាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ ហើយវាមិនមានបញ្ហាថាតើតួលេខស្ថិតនៅត្រង់ណាទេ - ខាងលើអ័ក្ស ឬខាងក្រោមអ័ក្ស ប៉ុន្តែវាជាការសំខាន់ណាស់ដែលតារាងមួយណាខ្ពស់ជាង (ទាក់ទងទៅនឹងតារាងមួយទៀត) ហើយមួយណានៅខាងក្រោម។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា វាច្បាស់ណាស់ថានៅលើផ្នែក ប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ ហើយដូច្នេះវាចាំបាច់ដើម្បីដកពី |
.វាអាចទៅរួចក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់ដោយចំណុចខណៈពេលដែលដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានរកឃើញថា "ដោយខ្លួនឯង" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រវិភាគក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់នៅតែត្រូវប្រើពេលខ្លះ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ ក្រាហ្វមានទំហំធំល្មម ឬការសាងសង់ខ្សែស្រឡាយមិនបានបង្ហាញពីដែនកំណត់នៃការធ្វើសមាហរណកម្ម (វាអាចជាប្រភាគ ឬមិនសមហេតុផល)។
តួលេខដែលចង់បានត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡាពីខាងលើ និងបន្ទាត់ត្រង់ពីខាងក្រោម។
នៅលើផ្នែក 
យោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖
ចម្លើយ៖ ស \u003d 4.5 sq. យូនីត
កិច្ចការទី 1(នៅលើការគណនានៃតំបន់នៃ curvilinear trapezoid មួយ) ។
នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian xOy តួលេខមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (សូមមើលរូប) ដែលត្រូវបានចងដោយអ័ក្ស x បន្ទាត់ត្រង់ x \u003d a, x \u003d b (រាងចតុកោណកែងកោង។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃ U200B \ U200bthe curvilinear curvilinear ។
ដំណោះស្រាយ។ធរណីមាត្រផ្តល់ឱ្យយើងនូវរូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃពហុកោណ និងផ្នែកខ្លះនៃរង្វង់មួយ (ផ្នែក, ផ្នែក)។ ដោយប្រើការពិចារណាធរណីមាត្រ យើងនឹងអាចស្វែងរកបានតែតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃផ្ទៃដែលត្រូវការដោយប្រកែកដូចខាងក្រោម។
ចូរបំបែកផ្នែក [a; b] (មូលដ្ឋាននៃ curvilinear trapezoid) ចូលទៅក្នុងផ្នែកស្មើគ្នា n; ភាគថាសនេះគឺអាចធ្វើទៅបានដោយមានជំនួយពីចំណុច x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 ។ ចូរយើងគូសបន្ទាត់តាមចំណុចទាំងនេះស្របនឹងអ័ក្ស y ។ បន្ទាប់មក trapezoid curvilinear ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងត្រូវបានបែងចែកជា n ផ្នែកទៅជាជួរឈរតូចចង្អៀត។ តំបន់នៃ trapezoid ទាំងមូលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃតំបន់នៃជួរឈរ។
ពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានូវជួរឈរ k-th, i.e. curvilinear trapezoid, មូលដ្ឋាននៃការដែលជាផ្នែកមួយ។ ចូរជំនួសវាដោយចតុកោណកែងដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងកម្ពស់ស្មើនឹង f(x k) (សូមមើលរូប)។ ផ្ទៃចតុកោណគឺ \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \) ដែល \(\Delta x_k \) ជាប្រវែងនៃផ្នែក។ វាជាធម្មជាតិក្នុងការពិចារណាផលិតផលដែលបានចងក្រងជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃផ្ទៃនៃជួរឈរ kth ។ 
ប្រសិនបើឥឡូវនេះយើងធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងជួរឈរផ្សេងទៀតទាំងអស់ នោះយើងទៅដល់លទ្ធផលដូចខាងក្រោម៖ តំបន់ S នៃរាងចតុកោណកែងដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺប្រហែលស្មើនឹងផ្ទៃដី S n នៃតួលេខជំហានដែលបង្កើតឡើងដោយចតុកោណ n (សូមមើលរូប):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \\)
នៅទីនេះ ដើម្បីជាប្រយោជន៍នៃឯកសណ្ឋាននៃការសម្គាល់ យើងពិចារណាថា a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - ប្រវែងចម្រៀក , \(\Delta x_1 \) - ប្រវែងចម្រៀក ។ល។ ខណៈពេលដែល ដូចដែលយើងបានព្រមព្រៀងខាងលើ \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
ដូច្នេះ \(S \approx S_n \) ហើយសមភាពប្រហាក់ប្រហែលនេះគឺត្រឹមត្រូវជាង ធំជាង n ។
តាមនិយមន័យវាត្រូវបានសន្មត់ថាតំបន់ដែលចង់បាននៃ curvilinear trapezoid គឺស្មើនឹងដែនកំណត់នៃលំដាប់ (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
កិច្ចការទី 2(អំពីការផ្លាស់ប្តូរចំណុចមួយ)
ចំណុចសម្ភារៈផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ការពឹងផ្អែកនៃល្បឿនតាមពេលវេលាត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត v = v(t) ។ ស្វែងរកការផ្លាស់ទីលំនៅនៃចំណុចមួយក្នុងចន្លោះពេល [a; ខ]។
ដំណោះស្រាយ។ប្រសិនបើចលនាមានឯកសណ្ឋាន នោះបញ្ហានឹងត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ៖ s = vt, i.e. s = v (b-a) ។ សម្រាប់ចលនាមិនស្មើគ្នា មនុស្សម្នាក់ត្រូវប្រើគំនិតដូចគ្នា ដែលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាមុនត្រូវបានផ្អែកលើ។
1) បែងចែកចន្លោះពេល [a; b] ទៅជា n ផ្នែកស្មើគ្នា។
2) ពិចារណាចន្លោះពេលមួយ ហើយសន្មតថាក្នុងអំឡុងពេលចន្លោះពេលនេះ ល្បឿនគឺថេរ ដូចជានៅពេល t k ។ ដូច្នេះយើងសន្មតថា v = v (t k) ។
3) ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃការផ្លាស់ទីលំនៅចំណុចក្នុងចន្លោះពេល តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនេះនឹងត្រូវបានតាងដោយ s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃការផ្លាស់ទីលំនៅ s:
\(s \approx S_n \) កន្លែងណា
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) ការផ្លាស់ទីលំនៅដែលត្រូវការគឺស្មើនឹងដែនកំណត់នៃលំដាប់ (S n):
$$s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
ចូរយើងសង្ខេប។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាផ្សេងៗត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាគំរូគណិតវិទ្យាដូចគ្នា។ បញ្ហាជាច្រើនពីវិស័យផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យានាំទៅរកគំរូដូចគ្នាក្នុងដំណើរការនៃដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះគំរូគណិតវិទ្យានេះគួរតែត្រូវបានសិក្សាជាពិសេស។
គំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់
អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យានៃគំរូដែលត្រូវបានសាងសង់ក្នុងបញ្ហាបីដែលត្រូវបានពិចារណាសម្រាប់មុខងារ y = f (x) ដែលជាបន្ត (ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់មិនអវិជ្ជមានដូចដែលត្រូវបានសន្មតនៅក្នុងបញ្ហាដែលបានពិចារណា) នៅលើផ្នែក [ ក; ខ]៖
1) បំបែកផ្នែក [a; b] ចូលទៅក្នុងផ្នែកស្មើគ្នា n;
2) ផលបូក $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) គណនា $$ \lim_(n \ to \infty) S_n $$
នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា វាត្រូវបានបង្ហាញថាដែនកំណត់នេះមាននៅក្នុងករណីនៃមុខងារបន្ត (ឬបន្តបន្ទាប់គ្នា)។ គាត់ត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍ y = f(x) លើផ្នែក [a; ខ]ហើយត្រូវបានតំណាងដូចនេះ៖
\(\int\limits_a^b f(x)dx\)
លេខ a និង b ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល (ទាបជាង និងខាងលើ រៀងគ្នា)។
ចូរយើងត្រលប់ទៅកិច្ចការដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ និយមន័យនៃតំបន់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងបញ្ហាទី 1 ឥឡូវនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \\)
នៅទីនេះ S គឺជាតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងលើ។ នេះគឺជាអ្វីដែល អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។
និយមន័យនៃការផ្លាស់ទីលំនៅ s នៃចំណុចដែលផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលមានល្បឿន v = v (t) ក្នុងរយៈពេលពី t = a ដល់ t = b ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងបញ្ហាទី 2 អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម:
ញូតុន - រូបមន្ត Leibniz
ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងឆ្លើយសំណួរ៖ តើអ្វីជាទំនាក់ទំនងរវាងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងអង្គបដិប្រាណ?
ចម្លើយអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបញ្ហា 2. នៅលើដៃមួយ ការផ្លាស់ទីលំនៅ s នៃចំណុចមួយដែលផ្លាស់ទីតាមបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលមានល្បឿន v = v(t) ក្នុងរយៈពេលមួយពី t = a ទៅ t = b ហើយត្រូវបានគណនាដោយ រូបមន្ត
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \\)
ម៉្យាងទៀត កូអរដោណេនៃចំណុចរំកិល គឺជាអង់ទីករសម្រាប់ល្បឿន - ចូរសម្គាល់វា s(t); ដូច្នេះការផ្លាស់ទីលំនៅ s ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត s = s (b) - s (a) ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \\)
ដែល s(t) គឺជាអង់ទីករសម្រាប់ v(t)។
ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។
ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) បន្តនៅលើផ្នែក [a; b] បន្ទាប់មករូបមន្ត
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \\)
ដែល F(x) គឺជាអង់ទីករសម្រាប់ f(x)។
រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថាជាធម្មតា រូបមន្ត Newton-Leibnizជាកិត្តិយសដល់រូបវិទូអង់គ្លេស អ៊ីសាក់ ញូតុន (១៦៤៣-១៧២៧) និងទស្សនវិទូអាឡឺម៉ង់ Gottfried Leibniz (១៦៤៦-១៧១៦) ដែលបានទទួលវាដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក និងស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នា។
នៅក្នុងការអនុវត្ត ជំនួសឱ្យការសរសេរ F(b) - F(a) ពួកគេប្រើសញ្ញាណ \(\left. F(x)\right|_a^b\) (ពេលខ្លះវាត្រូវបានគេហៅថា ការជំនួសពីរដង) ហើយយោងទៅតាមរូបមន្ត Newton-Leibniz សរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់នេះ៖
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx=\left. F(x)\right|_a^b \)
ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ជាដំបូងស្វែងរកអង្គបដិប្រាណ ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តការជំនួសទ្វេ។
ដោយផ្អែកលើរូបមន្ត Newton-Leibniz មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានលក្ខណៈសម្បត្តិពីរនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។
ទ្រព្យ ១.អាំងតេក្រាលនៃផលបូកនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាល៖
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \\)
ទ្រព្យ ២.កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖
\(\int\limits_a^b kf(x)dx=k \int\limits_a^b f(x)dx \)
ការគណនាតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់
ដោយប្រើអាំងតេក្រាល អ្នកអាចគណនាផ្ទៃមិនត្រឹមតែនៃរាងចតុកោណកែងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានតួរលេខនៃប្រភេទស្មុគ្រស្មាញផងដែរ ដូចជារូបភាពដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប។ តួលេខ P ត្រូវបានចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ x = a, x = b និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បន្ត y = f(x), y = g(x) និងនៅលើផ្នែក [a; b] វិសមភាព \(g(x) \leq f(x) \) រក្សា។ ដើម្បីគណនាផ្ទៃ S នៃតួលេខបែបនេះ យើងនឹងបន្តដូចខាងក្រោម៖
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \\)
ដូច្នេះផ្ទៃ S នៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ត្រង់ x = a, x = b និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x), y = g(x) បន្តលើផ្នែក និងសម្រាប់ x ណាមួយពី ផ្នែក [a; b] វិសមភាព \(g(x) \leq f(x) \\) ពេញចិត្ត ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \\)
