គោលគំនិត និងពាក្យមួយចំនួនត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងតឹងរ៉ឹងក្នុងដែនកំណត់តូចចង្អៀត។ និយមន័យផ្សេងទៀតត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងផ្នែកដែលត្រូវបានជំទាស់យ៉ាងខ្លាំង។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ គោលគំនិតនៃ "ជម្រាល" ត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយអ្នករូបវិទ្យា និងគណិតវិទូ និងអ្នកជំនាញខាង manicure ឬ "Photoshop"។ តើអ្វីជាជម្រាលជាគោលគំនិត? ចូរយើងដោះស្រាយវា។

តើវចនានុក្រមនិយាយអ្វីខ្លះ?

តើអ្វីទៅជាវចនានុក្រមប្រធានបទពិសេស "ជម្រាល" បកស្រាយទាក់ទងនឹងភាពជាក់លាក់របស់វា។ បកប្រែពីឡាតាំងពាក្យនេះមានន័យថា - "មួយដែលទៅ, រីកលូតលាស់" ។ ហើយ "វិគីភីឌា" កំណត់គំនិតនេះថាជា "វ៉ិចទ័រដែលបង្ហាញពីទិសដៅនៃការកើនឡើងរ៉ិចទ័រ"។ នៅក្នុងវចនានុក្រមពន្យល់ យើងឃើញអត្ថន័យនៃពាក្យនេះថាជា "ការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃណាមួយដោយតម្លៃមួយ"។ គំនិតអាចអនុវត្តបានទាំងអត្ថន័យបរិមាណ និងគុណភាព។

សរុបមក វាគឺជាការផ្លាស់ប្តូរបន្តិចម្តងៗដោយរលូននៃតម្លៃណាមួយដោយតម្លៃមួយ ការផ្លាស់ប្តូរជាលំដាប់ និងបន្តក្នុងបរិមាណ ឬទិសដៅ។ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគណនាដោយគណិតវិទូ អ្នកឧតុនិយម។ គំនិតនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងវិស័យតារាសាស្ត្រ វេជ្ជសាស្ត្រ សិល្បៈ ក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ នៅក្រោមពាក្យស្រដៀងគ្នានេះ ប្រភេទសកម្មភាពខុសគ្នាទាំងស្រុងត្រូវបានកំណត់។

មុខងារគណិតវិទ្យា

តើជម្រាលនៃមុខងារនៅក្នុងគណិតវិទ្យាគឺជាអ្វី? នេះ​ជា​ការ​បង្ហាញ​ពី​ទិសដៅ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​នៃ​អនុគមន៍​ក្នុង​វាល​មាត្រដ្ឋាន​ពី​តម្លៃ​មួយ​ទៅ​តម្លៃ​មួយ​ទៀត។ ទំហំនៃជម្រាលត្រូវបានគណនាដោយប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេដោយផ្នែក។ ដើម្បីស្វែងយល់ពីទិសដៅលឿនបំផុតនៃការលូតលាស់នៃមុខងារនៅលើក្រាហ្វ ចំណុចពីរត្រូវបានជ្រើសរើស។ ពួកគេកំណត់ការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ។ អត្រាដែលតម្លៃកើនឡើងពីចំណុចមួយទៅចំណុចមួយទៀតគឺទំហំនៃជម្រាល។ អនុគមន៍គណិតវិទ្យាដោយផ្អែកលើការគណនានៃសូចនាករនេះត្រូវបានប្រើនៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រវ៉ិចទ័រ វត្ថុដែលជារូបភាពក្រាហ្វិកនៃវត្ថុគណិតវិទ្យា។

តើជម្រាលនៅក្នុងរូបវិទ្យាគឺជាអ្វី?

គោលគំនិតនៃជម្រាលគឺជារឿងធម្មតានៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃរូបវិទ្យា៖ ជម្រាលនៃអុបទិក សីតុណ្ហភាព ល្បឿន សម្ពាធ។ល។ នៅក្នុងឧស្សាហកម្មនេះ គោលគំនិតបង្ហាញពីរង្វាស់នៃការកើនឡើង ឬការថយចុះនៃតម្លៃក្នុងមួយឯកតា។ វាត្រូវបានគណនាជាភាពខុសគ្នារវាងសូចនាករទាំងពីរ។ ចូរយើងពិចារណាអំពីបរិមាណមួយចំនួនឱ្យកាន់តែលម្អិត។

តើជម្រាលដែលមានសក្តានុពលគឺជាអ្វី? ក្នុងការធ្វើការជាមួយវាលអេឡិចត្រូស្តាតលក្ខណៈពីរត្រូវបានកំណត់: ភាពតានតឹង (ថាមពល) និងសក្តានុពល (ថាមពល) ។ បរិមាណ​ខុស​គ្នា​នេះ​ទាក់ទង​នឹង​បរិស្ថាន។ ហើយទោះបីជាពួកគេកំណត់លក្ខណៈខុសគ្នាក៏ដោយក៏ពួកគេនៅតែមានទំនាក់ទំនងគ្នាទៅវិញទៅមក។

ដើម្បីកំណត់កម្លាំងនៃវាលកម្លាំង ជម្រាលសក្តានុពលត្រូវបានប្រើ - តម្លៃដែលកំណត់អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរសក្តានុពលក្នុងទិសដៅនៃបន្ទាត់វាល។ តើត្រូវគណនាយ៉ាងដូចម្តេច? ភាពខុសគ្នាសក្តានុពលនៃចំនុចពីរនៃវាលអគ្គីសនីត្រូវបានគណនាពីវ៉ុលដែលគេស្គាល់ដោយប្រើវ៉ិចទ័រអាំងតង់ស៊ីតេដែលស្មើនឹងជម្រាលសក្តានុពល។

លក្ខខណ្ឌនៃអ្នកឧតុនិយម និងអ្នកភូមិសាស្ត្រ

ជាលើកដំបូង គំនិតនៃជម្រាលមួយត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយអ្នកឧតុនិយមដើម្បីកំណត់ពីការផ្លាស់ប្តូរទំហំ និងទិសដៅនៃសូចនាករឧតុនិយមផ្សេងៗ៖ សីតុណ្ហភាព សម្ពាធ ល្បឿនខ្យល់ និងកម្លាំង។ វាគឺជារង្វាស់នៃការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណនៃបរិមាណផ្សេងៗ។ Maxwell បាន​ណែនាំ​ពាក្យ​នេះ​ទៅក្នុង​គណិតវិទ្យា​ច្រើន​ក្រោយមក។ នៅក្នុងនិយមន័យនៃលក្ខខណ្ឌអាកាសធាតុ មានគោលគំនិតនៃជម្រាលបញ្ឈរ និងផ្ដេក។ ចូរយើងពិចារណាពួកវាឱ្យកាន់តែលម្អិត។

តើជម្រាលសីតុណ្ហភាពបញ្ឈរគឺជាអ្វី? នេះគឺជាតម្លៃដែលបង្ហាញពីការផ្លាស់ប្តូរក្នុងការអនុវត្ត គណនានៅកម្ពស់ 100 ម៉ែត្រ វាអាចជាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន ផ្ទុយពីផ្ដេកដែលតែងតែវិជ្ជមាន។

ជម្រាលបង្ហាញពីទំហំ ឬមុំនៃជម្រាលនៅលើដី។ វាត្រូវបានគណនាជាសមាមាត្រនៃកម្ពស់ទៅនឹងប្រវែងនៃការព្យាករផ្លូវនៅលើផ្នែកជាក់លាក់មួយ។ បង្ហាញជាភាគរយ។

សូចនាករវេជ្ជសាស្ត្រ

និយមន័យនៃ "ជម្រាលសីតុណ្ហភាព" ក៏អាចត្រូវបានរកឃើញក្នុងចំណោមពាក្យវេជ្ជសាស្រ្តផងដែរ។ វាបង្ហាញពីភាពខុសគ្នានៃសូចនាករដែលត្រូវគ្នានៃសរីរាង្គខាងក្នុងនិងផ្ទៃនៃរាងកាយ។ នៅក្នុងជីវវិទ្យា ជម្រាលសរីរវិទ្យាជួសជុលការផ្លាស់ប្តូរសរីរវិទ្យានៃសរីរាង្គ ឬសារពាង្គកាយទាំងមូលនៅដំណាក់កាលណាមួយនៃការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា។ នៅក្នុងឱសថសូចនាករមេតាប៉ូលីសគឺអាំងតង់ស៊ីតេនៃការរំលាយអាហារ។

មិន​ត្រឹម​តែ​រូបវិទ្យា​ប៉ុណ្ណោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​ក៏​គ្រូពេទ្យ​ក៏​ប្រើ​ពាក្យ​នេះ​ក្នុង​ការងារ​របស់​ខ្លួន​ដែរ។ តើជម្រាលសម្ពាធនៅក្នុងជំងឺបេះដូងគឺជាអ្វី? គំនិតនេះកំណត់ភាពខុសគ្នានៃសម្ពាធឈាមនៅក្នុងផ្នែកដែលទាក់ទងគ្នានៃប្រព័ន្ធសរសៃឈាមបេះដូង។

ការថយចុះនៃជម្រាលនៃភាពស្វ័យភាពគឺជាសូចនាករនៃការថយចុះនៃភាពញឹកញាប់នៃការរំភើបនៃបេះដូងក្នុងទិសដៅពីមូលដ្ឋានរបស់វាទៅកំពូលដែលកើតឡើងដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ លើសពីនេះទៀត គ្រូពេទ្យជំនាញបេះដូងកំណត់ទីតាំងនៃការខូចខាតសរសៃឈាម និងកម្រិតរបស់វាដោយគ្រប់គ្រងភាពខុសគ្នានៃទំហំនៃរលកស៊ីស្តូលីក។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ការប្រើជម្រាលទំហំនៃជីពចរ។

តើជម្រាលល្បឿនគឺជាអ្វី?

នៅពេលដែលមនុស្សម្នាក់និយាយអំពីអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃបរិមាណជាក់លាក់មួយមានន័យថាដោយនេះអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងពេលវេលានិងចន្លោះ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ជម្រាលល្បឿនកំណត់ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងកូអរដោនេនៃលំហដែលទាក់ទងទៅនឹងសូចនាករបណ្តោះអាសន្ន។ សូចនាករនេះត្រូវបានគណនាដោយអ្នកឧតុនិយម តារាវិទូ អ្នកគីមីវិទ្យា។ ជម្រាលអត្រាកាត់នៃស្រទាប់អង្គធាតុរាវត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងឧស្សាហកម្មប្រេង និងឧស្ម័ន ដើម្បីគណនាអត្រាដែលអង្គធាតុរាវឡើងតាមបំពង់។ សូចនាករ​នៃ​ការ​ធ្វើ​ចលនា​របស់​ផែនដី​គឺជា​តំបន់​នៃ​ការ​គណនា​ដោយ​អ្នក​រញ្ជួយ​ដី។

មុខងារសេដ្ឋកិច្ច

ដើម្បីបញ្ជាក់ពីការសន្និដ្ឋានទ្រឹស្តីសំខាន់ៗ គំនិតនៃជម្រាលត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយដោយអ្នកសេដ្ឋកិច្ច។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាអ្នកប្រើប្រាស់ មុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់ត្រូវបានប្រើ ដែលជួយតំណាងឱ្យចំណូលចិត្តពីសំណុំនៃជម្រើសផ្សេងៗ។ "មុខងារកម្រិតថវិកា" គឺជាពាក្យដែលប្រើដើម្បីសំដៅលើសំណុំនៃកញ្ចប់អ្នកប្រើប្រាស់។ ជម្រាលនៅក្នុងតំបន់នេះត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាការប្រើប្រាស់ល្អបំផុត។

ជម្រាលពណ៌

ពាក្យ "ជម្រាល" គឺស៊ាំទៅនឹងមនុស្សដែលមានគំនិតច្នៃប្រឌិត។ ទោះបីជាពួកគេនៅឆ្ងាយពីវិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដក៏ដោយ។ តើជម្រាលសម្រាប់អ្នករចនាគឺជាអ្វី? ដោយសារនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដ វាគឺជាការកើនឡើងបន្តិចម្តងៗនៃតម្លៃមួយ ដូច្នេះនៅក្នុងពណ៌ សូចនាករនេះបង្ហាញពីការផ្លាស់ប្តូររលូន និងលាតសន្ធឹងនៃស្រមោលនៃពណ៌ដូចគ្នាពីស្រាលទៅងងឹត ឬផ្ទុយមកវិញ។ វិចិត្រករហៅដំណើរការនេះថា "ការលាតត្រដាង"។ វាក៏អាចប្តូរទៅជាពណ៌ដែលភ្ជាប់មកជាមួយផ្សេងៗគ្នាក្នុងជួរដូចគ្នា។

ការលាតសន្ធឹងនៃស្រមោលនៅក្នុងពណ៌នៃបន្ទប់បានយកទីតាំងដ៏រឹងមាំក្នុងចំណោមបច្ចេកទេសរចនា។ រចនាប័ទ្ម ombre ថ្មី - លំហូររលោងនៃម្លប់ពីពន្លឺទៅងងឹតពីភ្លឺទៅស្លេក - ផ្លាស់ប្តូរបន្ទប់ណាមួយនៅក្នុងផ្ទះនិងការិយាល័យប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព។

គ្រូពេទ្យភ្នែកប្រើកែវពិសេសនៅក្នុងវ៉ែនតារបស់ពួកគេ។ តើជម្រាលនៅក្នុងវ៉ែនតាគឺជាអ្វី? នេះ​ជា​ការ​ផលិត​កញ្ចក់​ក្នុង​វិធី​ពិសេស​មួយ​ ដែល​ពណ៌​ពី​កំពូល​ទៅ​ក្រោម​ប្រែ​ពណ៌​ពី​ងងឹត​ទៅ​ជា​ម្លប់​ស្រាល​ជាង។ ផលិតផលដែលផលិតដោយប្រើបច្ចេកវិទ្យានេះការពារភ្នែកពីកាំរស្មីព្រះអាទិត្យ និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមើលវត្ថុសូម្បីតែនៅក្នុងពន្លឺភ្លឺខ្លាំង។

ពណ៌នៅក្នុងការរចនាគេហទំព័រ

អ្នកទាំងឡាយណាដែលចូលរួមក្នុងការរចនាគេហទំព័រ និងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រដឹងយ៉ាងច្បាស់អំពីឧបករណ៍សកល "ជម្រាល" ដែលឥទ្ធិពលផ្សេងៗជាច្រើនត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ការផ្លាស់ប្តូរពណ៌ត្រូវបានបំប្លែងទៅជាគំនួសពណ៌ ផ្ទៃខាងក្រោយដ៏ប្រណិត បីវិមាត្រ។ ឧបាយកលពណ៌លាំៗ ការបង្កើតពន្លឺ និងស្រមោលបន្ថែមកម្រិតសំឡេងទៅវត្ថុវ៉ិចទ័រ។ ចំពោះគោលបំណងនេះ ប្រភេទជាច្រើននៃជម្រាលត្រូវបានប្រើ៖

• លីនេអ៊ែរ។
• រ៉ាឌីកាល់។
• រាងសាជី។
• កញ្ចក់។
• រ៉ូម៉ាំង។
• ជម្រាលសំលេងរំខាន។

សម្រស់ជម្រាល

សម្រាប់អ្នកទស្សនាហាងកែសម្ផស្សសំណួរនៃអ្វីដែលជាជម្រាលនឹងមិនកើតឡើងជាការភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេ។ ជាការពិត ក្នុងករណីនេះ ចំណេះដឹងអំពីច្បាប់គណិតវិទ្យា និងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃរូបវិទ្យា គឺមិនចាំបាច់ទេ។ វាទាំងអស់អំពីការផ្លាស់ប្តូរពណ៌។ សក់និងក្រចកក្លាយជាវត្ថុនៃជម្រាល។ បច្ចេកទេស ombre ដែលមានន័យថា "សម្លេង" ជាភាសាបារាំងបានចូលជាម៉ូដពីអ្នកចូលចិត្តកីឡាលើផ្ទៃទឹក និងសកម្មភាពឆ្នេរផ្សេងទៀត។ សក់ឆេះ និងដុះឡើងវិញតាមធម្មជាតិ បានក្លាយជាការពេញនិយម។ ស្ត្រីនៃម៉ូដបានចាប់ផ្តើមលាបពណ៌សក់របស់ពួកគេជាពិសេសជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរស្រមោលដែលគួរឱ្យកត់សម្គាល់។

បច្ចេកទេស ombre មិនបានឆ្លងកាត់ដោយហាងក្រចកទេ។ ជម្រាលនៅលើក្រចកបង្កើតពណ៌ជាមួយនឹងការបំភ្លឺបន្តិចម្តង ៗ នៃចានពីឫសទៅគែម។ ថ្នាក់អនុបណ្ឌិតផ្តល់ជូន ផ្ដេក បញ្ឈរ ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរ និងពូជផ្សេងៗទៀត។

ម្ជុលដេរ

គំនិតនៃ "ជម្រាល" គឺស៊ាំទៅនឹងស្ត្រីដែលត្រូវការជំនួយពីម្ខាងទៀត។ បច្ចេកទេសនៃប្រភេទនេះត្រូវបានប្រើក្នុងការបង្កើតវត្ថុធ្វើដោយដៃនៅក្នុងរចនាប័ទ្ម decoupage ។ តាមរបៀបនេះ វត្ថុបុរាណថ្មីត្រូវបានបង្កើតឡើង ឬរបស់ចាស់ត្រូវបានស្ដារឡើងវិញ៖ ប្រអប់ថត កៅអី ទ្រូងជាដើម។ Decoupage ពាក់ព័ន្ធនឹងការអនុវត្តលំនាំដោយប្រើ stencil ដែលផ្អែកលើជម្រាលពណ៌ជាផ្ទៃខាងក្រោយ។

វិចិត្រករក្រណាត់បានទទួលយកការជ្រលក់ពណ៌តាមរបៀបនេះសម្រាប់ម៉ូដែលថ្មី។ រ៉ូបដែលមានពណ៌ជម្រាលបានយកឈ្នះលើការដើរកម្សាន្ត។ ម៉ូដត្រូវបានជ្រើសរើសដោយស្ត្រីម្ជុលដេរ - ជាងដេរ។ Knitwear ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរពណ៌រលូនគឺជាជោគជ័យ។

ការសង្ខេបនិយមន័យនៃ "ជម្រាល" យើងអាចនិយាយអំពីតំបន់ទូលំទូលាយនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្សដែលពាក្យនេះមានកន្លែង។ ការជំនួសដោយសទិសន័យ "វ៉ិចទ័រ" គឺមិនតែងតែសមរម្យទេ ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រគឺជាគំនិតលំហដែលមានមុខងារ។ អ្វី​ដែល​កំណត់​ភាព​ទូទៅ​នៃ​គោល​គំនិត​គឺ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​បន្តិច​ម្ដងៗ​ក្នុង​បរិមាណ សារធាតុ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​រូបវន្ត​ក្នុង​មួយ​ឯកតា​ក្នុង​រយៈ​ពេល​ជាក់លាក់​មួយ។ នៅក្នុងពណ៌នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូររលូននៃសម្លេង។

អនុញ្ញាតឱ្យ Z= ច(ម) គឺជាមុខងារដែលបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច M(y; x);អិល={ Cos; Cos} – វ៉ិចទ័រឯកតា (ក្នុងរូបទី 33 1=  , 2= ); អិលគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ម; M1(x1; y1) ដែល x1=x+x និង y1=y+y- ចំណុចនៅលើបន្ទាត់មួយ។ អិល;  អិល- ទំហំនៃផ្នែក MM1;  Z= ច(x+x, y+y)-ច(X, យ) - ការបង្កើនមុខងារ ច(ម) នៅចំណុច M(x; y) ។

និយមន័យ។ ដែនកំណត់នៃទំនាក់ទំនងប្រសិនបើវាមានត្រូវបានគេហៅថា មុខងារដេរីវេ Z = ច ( ម ) នៅចំណុច ម ( X ; យ ) ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ អិល .

ការកំណត់។

ប្រសិនបើមុខងារ ច(ម) ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ។ M(x; y)បន្ទាប់មកនៅចំណុច M(x; y)មានដេរីវេក្នុងទិសដៅណាមួយ។ អិលមកពី ម; វាត្រូវបានគណនាតាមរូបមន្ត៖

(8)

កន្លែងណា Cos និង Cos- កូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ អិល.

ឧទាហរណ៍ 46 ។ គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ Z= X2 + យ2 Xនៅចំណុច M(1; 2)ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ MM1កន្លែងណា ម១- ចំណុចជាមួយកូអរដោនេ (3; 0).

. ចូរយើងស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតា អិល, មានទិសដៅនេះ៖

កន្លែងណា Cos= ; Cos=- .

យើងគណនាដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍នៅចំណុច M(1; 2):

តាមរូបមន្ត (8) យើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ 47 ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ យូ = xy2 Z3 នៅចំណុច M(3; 2; 1)ក្នុងទិសដៅវ៉ិចទ័រ MNកន្លែងណា ន(5; 4; 2) .

. ចូរស្វែងរកវ៉ិចទ័រ និងកូស៊ីនុសទិសរបស់វា៖

គណនាតម្លៃនៃនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកនៅចំណុច ម:

អាស្រ័យហេតុនេះ

និយមន័យ។ ជម្រាល មុខងារZ= ច(ម) នៅចំនុច M(x; y) គឺជាវ៉ិចទ័រដែលកូអរដោនេគឺស្មើនឹងដេរីវេផ្នែកដែលត្រូវគ្នាដែលអ្នកបានយកនៅចំណុច M(x; y) ។

ការកំណត់។

ឧទាហរណ៍ 48 ។ ស្វែងរកជម្រាលនៃមុខងារ Z= X2 +2 យ2 -5 នៅចំណុច M(2; -1).

ដំណោះស្រាយ. យើងរកឃើញដេរីវេដោយផ្នែក៖ និងតម្លៃរបស់ពួកគេនៅចំណុច M(2; -1):

ឧទាហរណ៍ 49 ។ ស្វែងរកទំហំ និងទិសដៅនៃជម្រាលនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក ហើយគណនាតម្លៃរបស់វានៅចំណុច M៖

អាស្រ័យហេតុនេះ

ដេរីវេទិសដៅសម្រាប់មុខងារនៃអថេរបីត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា យូ= ច(X, យ, Z) , រូបមន្ត​ត្រូវ​បាន​ចេញ​មក​

គំនិតនៃជម្រាលត្រូវបានណែនាំ

យើងសង្កត់ធ្ងន់លើវា។ លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍ជម្រាល សំខាន់ជាងសម្រាប់ការវិភាគនៃការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពសេដ្ឋកិច្ច: ក្នុងទិសដៅនៃជម្រាល, មុខងារកើនឡើង។ នៅក្នុងបញ្ហាសេដ្ឋកិច្ច លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមនៃជម្រាលត្រូវបានប្រើ៖

1) អនុញ្ញាតឱ្យមានមុខងារមួយ។ Z= ច(X, យ) ដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យ។ ពិចារណាចំណុចមួយចំនួន M0(x0, y0)ពីដែននៃនិយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចនេះ។ ច(X0 , យ0 ) . ពិចារណាក្រាហ្វិកមុខងារ។ តាមរយៈចំណុច (X0 , យ0 , ច(X0 , យ0 )) លំហបីវិមាត្រ យើងគូរប្លង់តង់សង់ទៅផ្ទៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។ បន្ទាប់មកជម្រាលនៃអនុគមន៍ដែលបានគណនានៅចំណុច (x0, y0)ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាធរណីមាត្រជាវ៉ិចទ័រដែលភ្ជាប់ទៅនឹងចំណុចមួយ។ (X0 , យ0 , ច(X0 , យ0 )) នឹងកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះតង់សង់។ រូបភាពធរណីមាត្រត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ ៣៤.

2) មុខងារជម្រាល ច(X, យ) នៅចំណុច M0(x0, y0)បង្ហាញពីទិសដៅនៃការកើនឡើងលឿនបំផុតនៃមុខងារនៅចំណុច ម០. លើសពីនេះទៀតទិសដៅណាមួយដែលធ្វើឱ្យមុំស្រួចជាមួយជម្រាលគឺជាទិសដៅនៃការលូតលាស់នៃមុខងារនៅចំណុច ម០. នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ចលនាតូចមួយពីចំណុចមួយ។ (x0, y0)នៅក្នុងទិសដៅនៃជម្រាលនៃមុខងារនៅចំណុចនេះនាំឱ្យមានការកើនឡើងនៃមុខងារនិងដល់វិសាលភាពធំបំផុត។

ពិចារណាវ៉ិចទ័រដែលផ្ទុយទៅនឹងជម្រាល។ វា​ហៅថា ប្រឆាំងនឹងជម្រាល . កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនេះគឺ៖

មុខងារប្រឆាំងនឹងជម្រាល ច(X, យ) នៅចំណុច M0(x0, y0)បង្ហាញពីទិសដៅនៃការថយចុះលឿនបំផុតនៃមុខងារនៅចំណុច ម០. ទិសដៅណាមួយដែលបង្កើតជាមុំស្រួចជាមួយ antigradient គឺជាទិសដៅដែលមុខងារកំពុងថយចុះនៅចំណុចនោះ។

3) នៅពេលសិក្សាមុខងារមួយ វាច្រើនតែចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកគូបែបនេះ (x, y)ពីវិសាលភាពនៃអនុគមន៍ ដែលអនុគមន៍យកតម្លៃដូចគ្នា។ ពិចារណាលើសំណុំនៃចំណុច (X, យ) ចេញពីវិសាលភាពមុខងារ ច(X, យ) , បែបនោះ។ ច(X, យ)= Constតើការចូលនៅឯណា “ Const” មានន័យថាតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវបានជួសជុល និងស្មើនឹងចំនួនមួយចំនួនពីជួរនៃអនុគមន៍។

និយមន័យ។ ជួរមុខងារ យូ = ច ( X , យ ) ហៅថាបន្ទាត់ច(X, យ) = ស៊ីនៅលើយន្តហោះXOyនៅចំណុចដែលមុខងារនៅតែថេរយូ= គ.

បន្ទាត់កម្រិតត្រូវបានបង្ហាញតាមធរណីមាត្រនៅលើប្លង់នៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរឯករាជ្យក្នុងទម្រង់ជាបន្ទាត់កោង។ ការទទួលបានបន្ទាត់កម្រិតអាចត្រូវបានស្រមៃដូចខាងក្រោម។ ពិចារណាសំណុំ ពីដែល​មាន​ចំណុច​ក្នុង​លំហ​បី​វិមាត្រ​ជាមួយ​កូអរដោណេ (X, យ, ច(X, យ)= Const), ដែល, នៅលើដៃមួយ, ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ Z= ច(X, យ), ម៉្យាងទៀតពួកគេដេកនៅក្នុងយន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោណេ របៀបហើយបំបែកចេញពីវាដោយតម្លៃស្មើនឹងថេរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មក ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់កម្រិត វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីប្រសព្វផ្ទៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ជាមួយនឹងយន្តហោះ។ Z= Constហើយគូរបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វលើយន្តហោះ របៀប. ហេតុផលខាងលើគឺជាហេតុផលសម្រាប់លទ្ធភាពនៃការសាងសង់បន្ទាត់កម្រិតដោយផ្ទាល់នៅលើយន្តហោះ របៀប.

និយមន័យ។ សំណុំនៃបន្ទាត់កម្រិតត្រូវបានគេហៅថា ផែនទីកម្រិត.

ឧទាហរណ៍ល្បីនៃបន្ទាត់កម្រិតគឺជាកម្រិតនៃកម្ពស់ដូចគ្នានៅលើផែនទីសណ្ឋានដី និងបន្ទាត់នៃសម្ពាធ barometric ដូចគ្នានៅលើផែនទីអាកាសធាតុ។

និយមន័យ។ ទិសដៅដែលអត្រានៃការកើនឡើងមុខងារអតិបរមាត្រូវបានគេហៅថា ទិសដៅ "ពេញចិត្ត", ឬ ទិសដៅនៃកំណើនលឿនបំផុត។.

ទិសដៅ "ពេញចិត្ត" ត្រូវបានផ្តល់ដោយវ៉ិចទ័រជម្រាលនៃអនុគមន៍។ នៅលើរូបភព។ 35 បង្ហាញចំណុចអតិបរមា អប្បបរមា និង កួរ នៅក្នុងបញ្ហានៃការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពមុខងារនៃអថេរពីរនៅក្នុងការអវត្ដមាននៃការរឹតបន្តឹង។ ផ្នែកខាងក្រោមនៃតួលេខបង្ហាញពីបន្ទាត់កម្រិត និងទិសដៅនៃកំណើនលឿនបំផុត។

ឧទាហរណ៍ 50 ។ ស្វែងរកបន្ទាត់កម្រិតមុខងារ យូ= X2 + យ2 .

ដំណោះស្រាយ។សមីការនៃគ្រួសារនៃបន្ទាត់កម្រិតមានទម្រង់ X2 + យ2 = គ (គ>0) . ការផ្តល់ ពីតម្លៃពិតខុសគ្នា យើងទទួលបានរង្វង់មូលដែលផ្តោតលើប្រភពដើម។

ការសាងសង់បន្ទាត់កម្រិត។ ការវិភាគរបស់ពួកគេត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងបញ្ហាសេដ្ឋកិច្ចនៅកម្រិតមីក្រូ និងម៉ាក្រូ ទ្រឹស្តីនៃលំនឹង និងដំណោះស្រាយប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព។ Isocosts, isoquants, ខ្សែកោងព្រងើយកណ្តើយ - ទាំងនេះគឺជាបន្ទាត់កម្រិតទាំងអស់ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់មុខងារសេដ្ឋកិច្ចផ្សេងៗគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 51 ។ ពិចារណាស្ថានភាពសេដ្ឋកិច្ចខាងក្រោម។ សូមឱ្យការផលិតផលិតផលត្រូវបានពិពណ៌នា មុខងារ Cobb-Douglas ច(X, យ)=10x1/3y2/3កន្លែងណា X- ចំនួនពលកម្ម នៅ- ចំនួនដើមទុន។ 30 ដុល្លារត្រូវបានបែងចែកសម្រាប់ការទទួលបានធនធាន។ ឯកតាតម្លៃពលកម្មគឺ 5 c.u. ឯកតា, ដើមទុន - 10 c.u. ឯកតា អនុញ្ញាតឱ្យយើងសួរខ្លួនឯងនូវសំណួរ: តើអ្វីជាទិន្នផលធំបំផុតដែលអាចទទួលបាននៅក្រោមលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ? នៅទីនេះ "លក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ" សំដៅលើបច្ចេកវិទ្យាដែលបានផ្តល់ឱ្យ តម្លៃធនធាន និងប្រភេទនៃមុខងារផលិតកម្ម។ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយមុខងារ Cobb-Douglasការកើនឡើងឯកតានៅក្នុងអថេរនីមួយៗ ពោលគឺការកើនឡើងនៃប្រភេទធនធាននីមួយៗនាំទៅរកការកើនឡើងនៃទិន្នផល។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ វាច្បាស់ណាស់ថាអាចបង្កើនការទទួលបានធនធានដរាបណាមានប្រាក់គ្រប់គ្រាន់។ កញ្ចប់ធនធានដែលមានតម្លៃ 30 c.u. គ្រឿង, បំពេញលក្ខខណ្ឌ:

5x + 10y = 30,

នោះគឺពួកគេកំណត់បន្ទាត់កម្រិតមុខងារ៖

ជី(X, យ) = 5x + 10y ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ដោយមានជំនួយពីបន្ទាត់កម្រិត មុខងារ Cobb-Douglas (រូបភព ៣៦) វាអាចបង្ហាញពីការកើនឡើងនៃមុខងារ៖ នៅចំណុចណាមួយនៃបន្ទាត់កម្រិត ទិសដៅនៃជម្រាលគឺជាទិសដៅនៃការកើនឡើងដ៏ធំបំផុត ហើយដើម្បីបង្កើតជម្រាលនៅចំណុចមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការ គូរតង់សង់ទៅបន្ទាត់កម្រិតនៅចំណុចនេះ គូរកាត់កែងទៅតង់ហ្សង់ និងចង្អុលបង្ហាញទិសដៅនៃជម្រាល។ ពីរូបភព។ 36 វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាចលនានៃបន្ទាត់កម្រិតនៃមុខងារ Cobb-Douglas តាមបណ្តោយជម្រាលគួរតែត្រូវបានអនុវត្តរហូតដល់វាក្លាយជាតង់សង់ទៅបន្ទាត់កម្រិត។ 5x + 10y = 30. ដូច្នេះដោយប្រើគោលគំនិតនៃបន្ទាត់កម្រិត ជម្រាល លក្ខណៈសម្បត្តិជម្រាល វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអភិវឌ្ឍវិធីសាស្រ្តក្នុងការប្រើប្រាស់ធនធានដ៏ល្អបំផុតទាក់ទងនឹងការបង្កើនបរិមាណនៃទិន្នផល។

និយមន័យ។ ផ្ទៃកម្រិតមុខងារ យូ = ច ( X , យ , Z ) ហៅថាផ្ទៃច(X, យ, Z)=С នៅចំណុចដែលមុខងារនៅតែថេរយូ= គ.

ឧទាហរណ៍ 52 ។ ស្វែងរកផ្ទៃកម្រិតមុខងារ យូ= X2 + Z2 - យ2 .

ដំណោះស្រាយ។សមីការនៃគ្រួសារនៃផ្ទៃកម្រិតមានទម្រង់ X2 + Z2 - យ2 = គ. ប្រសិនបើ ក C=0បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន X2 + Z2 - យ2 =0 - កោណ; ប្រសិនបើ គ<0 បន្ទាប់មក X2 + Z2 - យ2 =C -ក្រុមគ្រួសារនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក។

ប្រសិនបើនៅចំណុចនីមួយៗក្នុងលំហ ឬផ្នែកនៃលំហ តម្លៃនៃបរិមាណជាក់លាក់មួយត្រូវបានកំណត់ នោះវាត្រូវបានគេនិយាយថាវាលនៃបរិមាណនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាលត្រូវបានគេហៅថា scalar ប្រសិនបើតម្លៃដែលបានពិចារណាគឺ scalar, i.e. កំណត់បានយ៉ាងល្អដោយតម្លៃលេខរបស់វា។ ឧទាហរណ៍វាលសីតុណ្ហភាព។ វាលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយអនុគមន៍មាត្រដ្ឋាននៃចំណុច u = / (M) ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ត្រូវបានណែនាំនៅក្នុងលំហ នោះមានមុខងារនៃអថេរចំនួនបី x, yt z - កូអរដោនេនៃចំនុច M: និយមន័យ។ ផ្ទៃកម្រិតនៃវាលមាត្រដ្ឋានគឺជាសំណុំនៃចំណុចដែលអនុគមន៍ f(M) យកតម្លៃដូចគ្នា។ កម្រិតនៃសមីការផ្ទៃឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកកម្រិតផ្ទៃនៃវាលមាត្រដ្ឋាន ការវិភាគវ៉ិចទ័រ ការធ្វើមាត្រដ្ឋាន កម្រិតផ្ទៃវាល និងបន្ទាត់កម្រិតទិសដៅ ដេរីវេទីវ័រ ជម្រាលនៃវាលមាត្រដ្ឋាន លក្ខណៈសម្បត្តិជម្រាលមូលដ្ឋាន និយមន័យវិចារណញាណនៃច្បាប់ជម្រាលសម្រាប់ការគណនាកម្រិតជម្រាល -4 តាមនិយមន័យ សមីការផ្ទៃនឹងមាន។ នេះគឺជាសមីការនៃស្វ៊ែរ (ជាមួយ Ф 0) ដែលផ្តោតលើប្រភពដើម។ វាលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថារាបស្មើ ប្រសិនបើវាលដូចគ្នានៅក្នុងយន្តហោះទាំងអស់ស្របនឹងយន្តហោះខ្លះ។ ប្រសិនបើយន្តហោះដែលបានចង្អុលបង្ហាញត្រូវបានយកជាយន្តហោះ xOy នោះមុខងារវាលនឹងមិនអាស្រ័យលើកូអរដោនេ z ទេ ពោលគឺវានឹងជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ x និង y និងអត្ថន័យផងដែរ។ សមីការបន្ទាត់កម្រិត - ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរកបន្ទាត់កម្រិតនៃវាលមាត្រដ្ឋាន បន្ទាត់កម្រិតត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៅ c = 0 យើងទទួលបានបន្ទាត់គូ យើងទទួលបានគ្រួសារនៃអ៊ីពែបូឡា (រូបភាពទី 1) ។ ១.១. ដេរីវេតាមទិស អនុញ្ញាតឱ្យមានវាលមាត្រដ្ឋានដែលកំណត់ដោយអនុគមន៍មាត្រដ្ឋាន u = /(Af) ។ ចូរយកចំនុច Afo ហើយជ្រើសរើសទិសដៅដែលកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រ I. ចូរយកចំនុច M មួយទៀតដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រ M0M ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ 1 (រូបភាព 2)។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ MoM ដោយ A/ និងការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ /(Af) - /(Afo) ដែលត្រូវនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅ D1 ដោយ Di ។ សមាមាត្រកំណត់អត្រាជាមធ្យមនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃវាលមាត្រដ្ឋានក្នុងមួយឯកតាប្រវែងទៅទិសដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សូមឥឡូវនេះទំនោរទៅសូន្យ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ М0М នៅតែស្របគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ I គ្រប់ពេលវេលា។ និយមន័យ។ ប្រសិនបើសម្រាប់ D/O មានដែនកំណត់ជាក់លាក់នៃទំនាក់ទំនង (5) នោះវាត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Afo ទៅទិសដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យ I ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា zr!^ ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យ និយមន័យនេះមិនទាក់ទងនឹងជម្រើសនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេទេ ពោលគឺវាមានតួអក្សរ **វ៉ារ្យ៉ង់។ ចូរយើងស្វែងរកកន្សោមសម្រាប់ដេរីវេដោយគោរពតាមទិសដៅនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ / មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុចមួយ។ ពិចារណាតម្លៃ / (Af) នៅចំណុចមួយ។ បន្ទាប់មកការបង្កើនសរុបនៃអនុគមន៍អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោម: កន្លែងណា និងនិមិត្តសញ្ញាមានន័យថា និស្សន្ទវត្ថុផ្នែកត្រូវបានគណនានៅចំណុច Afo ។ ដូច្នេះនៅទីនេះ បរិមាណ jfi ^ គឺជាកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ។ ដោយសារវ៉ិចទ័រ MoM និង I ត្រូវបានដឹកនាំរួមគ្នា នោះកូស៊ីនុសទិសរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នា៖ ដេរីវេទីវ គឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ និងតាមទិសនៃអ័ក្សកូអរដោនេជាមួយ nno- ខាងក្រៅ ឧទាហរណ៍ 3. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ឆ្ពោះទៅរកចំណុច វ៉ិចទ័រមានប្រវែង។ កូស៊ីនុសទិសរបស់វា៖ តាមរូបមន្ត (៩) យើងនឹងមានការពិតដែលថា មានន័យថាវាលមាត្រដ្ឋាននៅចំណុចមួយក្នុងទិសដៅនៃអាយុ- សម្រាប់វាលរាបស្មើ ដេរីវេក្នុងទិសដៅ I នៅចំណុចមួយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត ដែល a គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ I ជាមួយអ័ក្ស Oh ។ Zmmchmm 2. រូបមន្ត (9) សម្រាប់ការគណនាដេរីវេតាមទិស I នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Afo នៅតែមានកម្លាំង ទោះបីជាចំនុច M ទំនោរទៅចំណុច Mo តាមខ្សែកោងដែលវ៉ិចទ័រ I ជាតង់សង់នៅចំណុច PrISp 4. គណនា ដេរីវេនៃវាលមាត្រដ្ឋាននៅចំណុច Afo(l, 1) ។ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ប៉ារ៉ាបូឡាក្នុងទិសដៅនៃខ្សែកោងនេះ (ក្នុងទិសដៅនៃការកើនឡើង abscissa) ។ ទិស] នៃប៉ារ៉ាបូឡានៅចំណុចមួយ គឺជាទិសដៅនៃតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡានៅចំណុចនេះ (រូបភាពទី 3)។ អនុញ្ញាតឱ្យតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡានៅចំណុច Afo បង្កើតមុំ o ជាមួយអ័ក្សអុក។ បន្ទាប់មកពេលណាដែលដឹកនាំ cosines នៃតង់សង់ ចូរយើងគណនាតម្លៃ និងក្នុងចំនុចមួយ។ យើងមានឥឡូវនេះតាមរូបមន្ត (10) យើងទទួលបាន។ ស្វែងរកដេរីវេនៃវាលមាត្រដ្ឋាននៅចំណុចមួយក្នុងទិសដៅនៃរង្វង់ សមីការវ៉ិចទ័រនៃរង្វង់មានទម្រង់។ យើងរកឃើញឯកតាវ៉ិចទ័រ m នៃតង់សង់ទៅរង្វង់។ ចំណុចត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ Scalar Field Gradient អនុញ្ញាតឱ្យវាលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានកំណត់ដោយអនុគមន៍ scalar ដែលសន្មតថាអាចខុសគ្នា។ និយមន័យ។ ជម្រាលនៃវាលមាត្រដ្ឋាន » នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M គឺជាវ៉ិចទ័រដែលតំណាងដោយសញ្ញា grad និងកំណត់ដោយសមភាព វាច្បាស់ណាស់ថាវ៉ិចទ័រនេះអាស្រ័យលើមុខងារ / និងនៅលើចំណុច M ដែលដេរីវេរបស់វាត្រូវបានគណនា។ ទុក 1 ជាវ៉ិចទ័រឯកតាក្នុងទិស បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេតាមទិសអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: . ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ u តាមទិសទី 1 គឺស្មើនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃជម្រាលនៃអនុគមន៍ u(M) និងឯកតាវ៉ិចទ័រ 1° នៃទិស I. 2.1 ។ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីបទជម្រាល 1. ជម្រាលវាលមាត្រដ្ឋានគឺកាត់កែងទៅនឹងផ្ទៃកម្រិត (ឬទៅបន្ទាត់កម្រិត ប្រសិនបើវាលរាបស្មើ)។ (2) អនុញ្ញាតឱ្យយើងគូរផ្ទៃកម្រិត u = const តាមរយៈចំណុចបំពាន M ហើយជ្រើសរើសខ្សែកោងរលោង L លើផ្ទៃនេះឆ្លងកាត់ចំណុច M (រូបភាព 4) ។ អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំជាវ៉ិចទ័រតង់សង់ទៅខ្សែកោង L ត្រង់ចំណុច M។ ចាប់តាំងពីនៅលើផ្ទៃកម្រិត u(M) = u(M|) សម្រាប់ចំណុចណាមួយ Mj ∈ L បន្ទាប់មកម៉្យាងវិញទៀត = (gradu, 1°) . នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល។ នេះមានន័យថា វ៉ិចទ័រ grad និង និង 1° គឺ orthogonal ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ grad និង ជា orthogonal ទៅ tangent ណាមួយ ទៅនឹងផ្ទៃកម្រិត នៅចំណុច M. ដូច្នេះ វា orthogonal ទៅផ្ទៃកម្រិតខ្លួនវាផ្ទាល់ នៅចំណុច M. Theorem 2 ជម្រាលត្រូវបានដឹកនាំក្នុងទិសដៅនៃការបង្កើនមុខងារវាល។ មុននេះ យើងបានបង្ហាញថាជម្រាលនៃវាលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានតម្រង់តាមបណ្តោយធម្មតាទៅផ្ទៃកម្រិត ដែលអាចត្រូវបានតម្រង់ទិសឆ្ពោះទៅរកការកើនឡើងនៃមុខងារ u(M) ឬឆ្ពោះទៅរកការថយចុះរបស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់ដោយ n ធម្មតានៃផ្ទៃកម្រិតដែលតម្រង់ទិសក្នុងទិសដៅនៃការបង្កើនមុខងារ ti (M) ហើយស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ u ក្នុងទិសដៅធម្មតានេះ (រូបភាពទី 5) ។ យើងមានតាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃរូបទី 5 ហើយដូច្នេះការវិភាគវ៉ិចទ័រ វាលមាត្រដ្ឋាន ផ្ទៃ និងបន្ទាត់កម្រិតដេរីវេតាមទិសដៅ ដេរីវេទីវ័រ ជម្រាលនៃវាលមាត្រដ្ឋាន លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃជម្រាល និយមន័យអថេរនៃជម្រាល ច្បាប់សម្រាប់គណនាជម្រាល វាធ្វើតាមកម្រិតនោះ និង ត្រូវបានដឹកនាំក្នុងទិសដៅដូចគ្នានឹងអ្វីដែលយើងបានជ្រើសរើស n ធម្មតា i.e. ក្នុងទិសដៅនៃការបង្កើនមុខងារ u(M)។ ទ្រឹស្តីបទ 3. ប្រវែងនៃជម្រាលគឺស្មើនឹងដេរីវេធំបំផុតដោយគោរពតាមទិសដៅនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃវាល (នៅទីនេះ អតិបរមា $ ត្រូវបានយកក្នុងទិសដៅដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M ដល់ចំណុច) ។ យើងមានមុំរវាងវ៉ិចទ័រ 1 និង grad n ។ ចាប់តាំងពីតម្លៃធំបំផុតគឺឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកទិសដៅនៃវាលមាត្រដ្ឋានធំបំផុត និងដាច់ខាតនៅចំណុច និងទំហំនៃការផ្លាស់ប្តូរដ៏ធំបំផុតនេះនៅចំណុចដែលបានបញ្ជាក់។ ទិសដៅនៃការផ្លាស់ប្តូរដ៏ធំបំផុតនៅក្នុងវាលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយវ៉ិចទ័រ។ យើងមានដូច្នេះវ៉ិចទ័រនេះកំណត់ទិសដៅនៃការកើនឡើងដ៏ធំបំផុតនៅក្នុងវាលទៅចំណុចមួយ។ តម្លៃនៃការផ្លាស់ប្តូរធំបំផុតនៅក្នុងវាលនៅចំណុចនេះគឺ 2.2 ។ និយមន័យអថេរនៃជម្រាល បរិមាណដែលកំណត់លក្ខណៈលក្ខណៈរបស់វត្ថុដែលកំពុងសិក្សា និងមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ត្រូវបានគេហៅថា invariants នៃវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រវែងនៃខ្សែកោងគឺជាអថេរនៃខ្សែកោងនេះ ប៉ុន្តែមុំនៃតង់ហ្សង់ទៅខ្សែកោងដែលមានអ័ក្ស x មិនមែនជាបំរែបំរួលទេ។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងបីនៃជម្រាលវាលមាត្រដ្ឋានដែលបានបង្ហាញខាងលើ យើងអាចផ្តល់និយមន័យអថេរខាងក្រោមនៃជម្រាល។ និយមន័យ។ ជម្រាលវាលមាត្រដ្ឋានគឺជាវ៉ិចទ័រដែលដឹកនាំតាមបណ្តោយធម្មតាទៅផ្ទៃកម្រិតក្នុងទិសដៅនៃការបង្កើនមុខងារវាល និងមានប្រវែងស្មើនឹងដេរីវេទិសដៅធំបំផុត (នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ)។ ទុកជាវ៉ិចទ័រធម្មតាឯកតាដែលដឹកនាំក្នុងទិសដៅនៃការកើនឡើងវាល។ បន្ទាប់មកឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរកជម្រាលចម្ងាយ - ចំណុចថេរមួយចំនួន និង M(x,y,z) - បច្ចុប្បន្ន។ 4 យើងមានកន្លែងដែលវ៉ិចទ័រទិសដៅឯកតា។ ច្បាប់សម្រាប់គណនាជម្រាលដែល c ជាចំនួនថេរ។ រូបមន្តខាងលើត្រូវបានទទួលដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃជម្រាល និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដេរីវេ។ ដោយច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល ភស្តុតាងគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ អនុញ្ញាតឱ្យ F(u) ជាមុខងារមាត្រដ្ឋានផ្សេងគ្នា។ បន្ទាប់មក 4 តាមនិយមន័យនៃជម្រាល យើងមានការអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញចំពោះពាក្យទាំងអស់នៅផ្នែកខាងស្តាំ។ យើងទទួលបានជាពិសេស រូបមន្ត (6) បន្តពីប្លង់រូបមន្តទៅចំណុចថេរពីរនៃយន្តហោះនេះ។ ពិចារណាលើរាងពងក្រពើតាមអំពើចិត្តជាមួយ foci Fj និង F] ហើយបង្ហាញថាកាំរស្មីពន្លឺណាមួយដែលផុសចេញពីការផ្តោតអារម្មណ៍មួយនៃរាងពងក្រពើ បន្ទាប់ពីការឆ្លុះបញ្ចាំងពីរាងពងក្រពើចូលទៅក្នុងការផ្តោតអារម្មណ៍ផ្សេងទៀតរបស់វា។ បន្ទាត់កម្រិតនៃអនុគមន៍ (7) គឺ VECTOR ANALYSIS វាលមាត្រដ្ឋាន ផ្ទៃនិងបន្ទាត់កម្រិតទិសដៅ ដេរីវេទីវ័រ មាត្រដ្ឋានជម្រាល លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃជម្រាល និយមន័យអថេរនៃជម្រាល ច្បាប់គណនាជម្រាល សមីការ (8) ពិពណ៌នាអំពីគ្រួសារនៃពងក្រពើដែលមាន foci នៅចំនុច F ) និង Fj ។ យោងតាមលទ្ធផលនៃឧទាហរណ៍ទី 2 យើងមាន និងវ៉ិចទ័រកាំ។ ទាញទៅចំណុច P(x, y) ពី foci F| និង Fj ដូច្នេះហើយស្ថិតនៅលើ bisector នៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រកាំទាំងនេះ (រូបភាព 6) ។ យោងតាម ​​Tooromo 1 ជម្រាល PQ គឺកាត់កែងទៅពងក្រពើ (8) នៅចំណុច។ ដូច្នេះ Fig.6 ។ ធម្មតា​ទៅ​រាង​អេលីប (8) នៅ​ចំណុច​ទី​មួយ​កាត់​មុំ​រវាង​វ៉ិចទ័រ​កាំ​ដែល​ទាញ​មក​ចំណុច​នេះ។ ពីទីនេះ និងពីការពិតដែលថាមុំនៃឧប្បត្តិហេតុស្មើនឹងមុំនៃការឆ្លុះបញ្ចាំង យើងទទួលបាន៖ កាំរស្មីនៃពន្លឺដែលចេញពីការផ្តោតអារម្មណ៍មួយនៃពងក្រពើ ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីវា ប្រាកដជានឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងការផ្តោតអារម្មណ៍ផ្សេងទៀតនៃពងក្រពើនេះ។

1 0 ជម្រាលត្រូវបានដឹកនាំតាមបណ្តោយធម្មតាទៅផ្ទៃកម្រិត (ឬទៅបន្ទាត់កម្រិត ប្រសិនបើវាលរាបស្មើ)។

2 0 ជម្រាលត្រូវបានដឹកនាំក្នុងទិសដៅនៃការបង្កើនមុខងារវាល។

3 0 ម៉ូឌុលជម្រាលគឺស្មើនឹងដេរីវេធំបំផុតក្នុងទិសដៅនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃវាល៖

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះផ្តល់នូវលក្ខណៈអថេរនៃជម្រាល។ ពួកគេនិយាយថាវ៉ិចទ័រ gradU បង្ហាញពីទិសដៅ និងទំហំនៃការផ្លាស់ប្តូរដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៅក្នុងវាលមាត្រដ្ឋាននៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណាំ 2.1 ។ប្រសិនបើអនុគមន៍ U(x,y) ជាអនុគមន៍នៃអថេរពីរ នោះវ៉ិចទ័រ

(2.3)

ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះអុកស៊ីដ។

អនុញ្ញាតឱ្យ U=U(x,y,z) និង V=V(x,y,z) មុខងារខុសគ្នាត្រង់ចំណុច М 0 (x,y,z)។ បន្ទាប់មកសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

a) grad()= ; ខ) grad(UV)=VgradU+UgradV;

គ) grad(U V)=gradU gradV; ឃ) ឃ) ថ្នាក់ទី = , វី ;

e) gradU(= gradU, ដែល , U=U() មានដេរីវេទាក់ទងនឹង .

ឧទាហរណ៍ 2.1 ។អនុគមន៍ U=x 2 +y 2 +z 2 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ កំណត់ជម្រាលនៃអនុគមន៍នៅចំណុច M (-2; 3; 4) ។

ដំណោះស្រាយ។យោងតាមរូបមន្ត (2.2) យើងមាន

.

ផ្ទៃកម្រិតនៃវាលមាត្រដ្ឋាននេះគឺជាគ្រួសារនៃស្វ៊ែរ x 2 + y 2 + z 2 វ៉ិចទ័រ gradU = (-4; 6; 8) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។

ឧទាហរណ៍ 2.2 ។ស្វែងរកជម្រាលនៃវាលមាត្រដ្ឋាន U=x-2y+3z ។

ដំណោះស្រាយ។យោងតាមរូបមន្ត (2.2) យើងមាន

ផ្ទៃកម្រិតនៃវាលមាត្រដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាយន្តហោះ

x-2y+3z=C; វ៉ិចទ័រ gradU=(1;-2;3) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះនៃគ្រួសារនេះ។

ឧទាហរណ៍ 2.3 ។ស្វែងរកជម្រាលដ៏ចោតបំផុតនៃផ្ទៃ U=x y នៅចំណុច M(2;2;4)។

ដំណោះស្រាយ។យើង​មាន:

ឧទាហរណ៍ 2.4 ។រកវ៉ិចទ័រធម្មតាឯកតាទៅផ្ទៃកម្រិតនៃវាលមាត្រដ្ឋាន U = x 2 + y 2 + z 2 ។

ដំណោះស្រាយ។ផ្ទៃកម្រិតនៃមាត្រដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ Field-sphere x 2 +y 2 +z 2 =C (C> 0) ។

ជម្រាលត្រូវបានដឹកនាំតាមបណ្តោយធម្មតាទៅផ្ទៃកម្រិតដូច្នេះ

កំណត់វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅផ្ទៃកម្រិតនៅចំណុច M(x,y,z)។ សម្រាប់ឯកតាវ៉ិចទ័រធម្មតា យើងទទួលបានកន្សោម

កន្លែងណា

.

ឧទាហរណ៍ 2.5 ។ស្វែងរកជម្រាលវាល U = ដែលនិងជាវ៉ិចទ័រថេរ r គឺជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច។

ដំណោះស្រាយ។អនុញ្ញាតឱ្យ

បន្ទាប់មក៖
. ដោយច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកត្តាកំណត់យើងទទួលបាន

អាស្រ័យហេតុនេះ

ឧទាហរណ៍ 2.6 ។ស្វែងរកជម្រាលចម្ងាយ ដែល P(x,y,z) គឺជាចំណុចនៃវាលដែលកំពុងសិក្សា P 0 (x 0,y 0,z 0) គឺជាចំណុចថេរមួយចំនួន។

ដំណោះស្រាយ។យើងមាន - វ៉ិចទ័រទិសដៅឯកតា។

ឧទាហរណ៍ 2.7 ។រកមុំរវាងជម្រាលនៃអនុគមន៍នៅចំណុច M 0 (1,1) ។

ដំណោះស្រាយ។យើងរកឃើញជម្រាលនៃមុខងារទាំងនេះនៅចំណុច M 0 (1,1) យើងមាន

; មុំរវាង gradU និង gradV នៅចំណុច M 0 ត្រូវបានកំណត់ពីសមភាព

ដូច្នេះ = 0 ។

ឧទាហរណ៍ 2.8 ។ស្វែងរកដេរីវេដោយគោរពតាមទិសដៅ វ៉ិចទ័រកាំគឺស្មើនឹង

(2.4)

ដំណោះស្រាយ។ស្វែងរកជម្រាលនៃមុខងារនេះ៖

ការជំនួស (2.5) ទៅជា (2.4) យើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ 2.9 ។ស្វែងរកនៅចំណុច M 0 (1; 1; 1) ទិសដៅនៃការផ្លាស់ប្តូរដ៏ធំបំផុតនៅក្នុងវាលមាត្រដ្ឋាន U = xy+yz+xz និងទំហំនៃការផ្លាស់ប្តូរដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៅចំណុចនេះ។

ដំណោះស្រាយ។ទិសដៅនៃការផ្លាស់ប្តូរដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៅក្នុងវាលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយវ៉ិចទ័រ grad U (M) ។ យើងរកឃើញវា៖

ហើយ​ដូច្នេះ, ។ វ៉ិចទ័រនេះកំណត់ទិសដៅនៃការកើនឡើងដ៏ធំបំផុតនៃវាលនេះនៅចំណុច M 0 (1;1;1) ។ តម្លៃនៃការផ្លាស់ប្តូរធំបំផុតនៅក្នុងវាលនៅចំណុចនេះគឺស្មើនឹង

.

ឧទាហរណ៍ 3.1 ។ស្វែងរកបន្ទាត់វ៉ិចទ័រនៃវាលវ៉ិចទ័រ តើវ៉ិចទ័រថេរនៅឯណា។

ដំណោះស្រាយ។យើងមានដូច្នេះ

(3.3)

គុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគទីមួយដោយ x, ទីពីរដោយ y, ទីបីដោយ z ហើយបន្ថែមវាតាមពាក្យ។ ដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិសមាមាត្រយើងទទួលបាន

ដូច្នេះ xdx+ydy+zdz=0 ដែលមានន័យថា

x 2 + y 2 +z 2 = A 1 , A 1 -const> 0 ។ ឥឡូវនេះការគុណភាគយកនិងភាគបែងនៃប្រភាគទីមួយ (3.3) ដោយ c 1 ទីពីរដោយ c 2 ទីបីដោយ c 3 ហើយបូកសរុបវាតាមពាក្យយើងទទួលបាន

ពីកន្លែងដែល c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

ដូច្នេះហើយ ដោយ 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 ។ A 2-const ។

សមីការដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់វ៉ិចទ័រ

សមីការទាំងនេះបង្ហាញថាបន្ទាត់វ៉ិចទ័រត្រូវបានទទួលជាលទ្ធផលនៃចំនុចប្រសព្វនៃស្វ៊ែរដែលមានចំណុចកណ្តាលទូទៅនៅដើមដែលមានប្លង់កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ . វាដូចខាងក្រោមថាបន្ទាត់វ៉ិចទ័រគឺជារង្វង់ដែលកណ្តាលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើមក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រគ។ ប្លង់នៃរង្វង់គឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ 3.2 ។ស្វែងរកបន្ទាត់វាលវ៉ិចទ័រ ឆ្លងកាត់ចំណុច (1,0,0) ។

ដំណោះស្រាយ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃបន្ទាត់វ៉ិចទ័រ

ដូច្នេះយើងមាន . ការដោះស្រាយសមីការទីមួយ។ ឬប្រសិនបើយើងណែនាំប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t នោះយើងនឹងមាន ក្នុងករណីនេះសមីការ យកទម្រង់ ឬ dz=bdt, whence z=bt+c 2 ។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលាថាវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះគឺជាផ្នែកដែលដឹកនាំ។ ការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់របស់វាមានកូអរដោនេពីរ។ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រត្រូវបានគណនាដោយដកកូអរដោណេចាប់ផ្តើមពីកូអរដោនេចុង។

គោលគំនិតនៃវ៉ិចទ័រក៏អាចត្រូវបានពង្រីកទៅលំហ n-dimensional (ជំនួសឱ្យកូអរដោនេពីរវានឹងមាន n កូអរដោណេ)។

ជម្រាលអនុគមន៍ gradz z=f(x 1 , x 2 , ... x n) គឺជាវ៉ិចទ័រនៃដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ i.e. វ៉ិចទ័រជាមួយកូអរដោនេ។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាជម្រាលនៃមុខងារកំណត់ទិសដៅនៃការលូតលាស់លឿនបំផុតនៃកម្រិតនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ z \u003d 2x 1 + x 2 (សូមមើលរូបភាព 5.8) ជម្រាលនៅចំណុចណាមួយនឹងមានកូអរដោនេ (2; 1) ។ វាអាចត្រូវបានសាងសង់នៅលើយន្តហោះតាមវិធីផ្សេងៗ ដោយយកចំណុចណាមួយជាការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចភ្ជាប់ចំណុច (0; 0) ទៅចំណុច (2; 1) ឬចំណុច (1; 0) ទៅចំណុច (3; 1) ឬចំណុច (0; 3) ទៅចំណុច (2; 4) ឬ t.P. (សូមមើលរូបភាព 5.8) ។ វ៉ិចទ័រទាំងអស់ដែលត្រូវបានសាងសង់តាមរបៀបនេះនឹងមានកូអរដោនេ (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1) ។

រូបភាព 5.8 បង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាកម្រិតនៃអនុគមន៍កើនឡើងក្នុងទិសដៅនៃជម្រាល ចាប់តាំងពីបន្ទាត់កម្រិតដែលបានសាងសង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃកម្រិត 4 > 3 > 2 ។

រូបភាព 5.8 - ជម្រាលនៃអនុគមន៍ z \u003d 2x 1 + x 2

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយទៀត - អនុគមន៍ z = 1/(x 1 x 2) ។ ជម្រាល​នៃ​អនុគមន៍​នេះ​នឹង​លែង​ដូចគ្នា​នៅ​ចំណុច​ផ្សេងៗ​ទៀត​ហើយ ព្រោះ​កូអរដោនេ​របស់​វា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​រូបមន្ត (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)) ។

រូបភាព 5.9 បង្ហាញបន្ទាត់កម្រិតនៃអនុគមន៍ z= 1/(x 1 x 2) សម្រាប់កម្រិត 2 និង 10 (បន្ទាត់ 1/(x 1 x 2) = 2 ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយបន្ទាត់ចំនុច ហើយបន្ទាត់ 1/( x 1 x 2) = 10 គឺជាបន្ទាត់រឹង)។

រូបភាព 5.9 - ជម្រាលនៃអនុគមន៍ z \u003d 1 / (x 1 x 2) នៅចំណុចផ្សេងៗ

ឧទាហរណ៍យកចំណុច (0.5; 1) ហើយគណនាជម្រាលនៅចំណុចនេះ: (-1 / (0.5 2 * 1); -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . ចំណាំថាចំណុច (0.5; 1) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់កម្រិត 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 ពីព្រោះ z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. ទៅ គូរវ៉ិចទ័រ (-4; -2) ក្នុងរូបភាព 5.9 ភ្ជាប់ចំណុច (0.5; 1) ជាមួយចំនុច (-3.5; -1) ព្រោះ (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -២).

ចូរយកចំណុចមួយទៀតនៅលើបន្ទាត់កម្រិតដូចគ្នា ឧទាហរណ៍ ចំណុច (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2)។ គណនាជម្រាលនៅចំណុចនេះ (-1/(1 2*0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4) ។ ដើម្បីពណ៌នាក្នុងរូបភាព 5.9 យើងភ្ជាប់ចំណុច (1; 0.5) ជាមួយចំណុច (-1; -3.5) ព្រោះ (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - បួន) ។

ចូរយកចំណុចមួយបន្ថែមទៀតនៅលើបន្ទាត់កម្រិតដូចគ្នា ប៉ុន្តែឥឡូវនេះមានតែនៅក្នុងត្រីមាសកូអរដោណេដែលមិនវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ឧទាហរណ៍ ចំណុច (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2) ។ ជម្រាលនៅចំណុចនេះនឹងមាន (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2) ។ ចូរយើងពណ៌នាក្នុងរូបទី 5.9 ដោយភ្ជាប់ចំនុច (-0.5; -1) ជាមួយចំនុច (3.5; 1) ព្រោះ (3.5 - (-0.5); 1 - (−1)) = (4; 2) ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅក្នុងករណីទាំងបីដែលបានពិចារណា ជម្រាលបង្ហាញទិសដៅនៃកំណើននៃកម្រិតនៃអនុគមន៍ (ឆ្ពោះទៅរកបន្ទាត់កម្រិត 1/(x 1 x 2) = 10 > 2) ។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាជម្រាលគឺតែងតែកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់កម្រិត (ផ្ទៃកម្រិត) ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

Extrema នៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

ចូរយើងកំណត់គំនិត ខ្លាំងសម្រាប់មុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

មុខងារនៃអថេរជាច្រើន f(X) មាននៅចំណុច X (0) អតិបរមា (អប្បបរមា),ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំណុចនេះ ដែលសម្រាប់ចំនុច X ទាំងអស់ពីសង្កាត់នេះ វិសមភាព f(X)f(X(0))() រក្សា។

បើ​វិសមភាព​ទាំង​នេះ​ត្រូវ​បាន​ពេញ​ចិត្ត​ដូច​ជា​តឹងរ៉ឹង នោះ​ឧត្តម​គេ​ហៅ​ថា ខ្លាំងហើយបើមិនអញ្ចឹងទេ។ ខ្សោយ.

ចំណាំថាជ្រុលដែលបានកំណត់តាមរបៀបនេះគឺ ក្នុងស្រុកតួអក្សរ ដោយសារវិសមភាពទាំងនេះមានសម្រាប់តែសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចខ្លាំងប៉ុណ្ណោះ។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អវយវៈមូលដ្ឋាននៃមុខងារផ្សេងគ្នា z=f(x 1, ..., x n) នៅចំណុចមួយគឺសមភាពទៅនឹងសូន្យនៃដេរីវេភាគផ្នែកលំដាប់ទីមួយទាំងអស់នៅចំណុចនេះ៖
.

ចំណុចដែលសមភាពទាំងនេះកាន់កាប់ត្រូវបានគេហៅថា ស្ថានី.

នៅក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀត លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពខ្លាំងអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម: នៅចំណុចខ្លាំង ជម្រាលគឺស្មើនឹងសូន្យ។ វាក៏អាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅបន្ថែមទៀត - នៅចំណុចខ្លាំង និស្សន្ទវត្ថុនៃមុខងារនៅគ្រប់ទិសទីបាត់។

ចំណុចស្ថានីគួរតែត្រូវបានសិក្សាបន្ថែម - ថាតើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃតំបន់ជ្រុលនិយមត្រូវបានពេញចិត្តឬអត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះកំណត់សញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ។ ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយដែលមិនស្របគ្នានឹងសូន្យ វាតែងតែអវិជ្ជមាន (វិជ្ជមាន) បន្ទាប់មកមុខងារមានអតិបរមា (អប្បបរមា)។ ប្រសិនបើវាអាចបាត់មិនត្រឹមតែសូន្យទេ នោះសំណួរនៃភាពជ្រុលនិយមនៅតែបើកចំហ។ ប្រសិនបើវាអាចយកទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន នោះវាមិនមានភាពជ្រុលនិយមនៅចំណុចស្ថានីនោះទេ។

ក្នុងករណីទូទៅ ការកំណត់សញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាបញ្ហាដ៏ស្មុគស្មាញមួយ ដែលយើងនឹងមិនពិចារណានៅទីនេះទេ។ សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ មួយអាចបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើនៅចំណុចស្ថានី
បន្ទាប់មកមានភាពជ្រុលនិយម។ ក្នុងករណីនេះសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរស្របគ្នានឹងសញ្ញា
, i.e. ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកនេះគឺជាអតិបរមា ហើយប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកនេះគឺជាអប្បបរមា។ ប្រសិនបើ ក
នោះគ្មានចំណុចខ្លាំងទេ ហើយប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកសំណួរនៃភាពជ្រុលនិយមនៅតែបើកចំហ។

ឧទាហរណ៍ ១. ស្វែងរកមុខងារខ្លាំងបំផុត។
.

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេដោយផ្នែកដោយវិធីសាស្រ្តនៃភាពខុសគ្នាលោការីត។

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

ស្រដៀងគ្នា
.

ចូរយើងស្វែងរកចំណុចស្ថានីពីប្រព័ន្ធសមីការ៖

ដូច្នេះ ចំណុចស្ថានីចំនួនបួន (1; 1), (1; -1), (-1; 1) និង (-1; -1) ត្រូវបានរកឃើញ។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ៖

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 − x 2) −2ln (1 + x 2)

ស្រដៀងគ្នា
;
.

ដោយសារតែ
, សញ្ញាបង្ហាញ
អាស្រ័យតែលើ
. ចំណាំថានៅក្នុងនិស្សន្ទវត្ថុទាំងពីរនេះ ភាគបែងគឺតែងតែវិជ្ជមាន ដូច្នេះអ្នកអាចពិចារណាតែសញ្ញានៃភាគយក ឬសូម្បីតែសញ្ញានៃកន្សោម x (x 2 - 3) និង y (y 2 - 3) ។ ចូរ​យើង​កំណត់​វា​នៅ​ចំណុច​សំខាន់​នីមួយៗ ហើយ​ពិនិត្យ​មើល​ការ​បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​ធ្ងន់ធ្ងរ​គ្រប់គ្រាន់។

សម្រាប់ចំណុច (1; 1) យើងទទួលបាន 1 * (1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0 និង
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

សម្រាប់ចំណុច (1; -1) យើងទទួលបាន 1 * (1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. ដោយសារតែ ផលិតផលនៃលេខទាំងនេះ
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

ចំពោះចំនុច (-1; -1) យើងទទួលបាន (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0 ។ ផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ
> 0 និង
> 0 នៅចំណុច (-1; -1) អ្នកអាចរកឃើញអប្បបរមា។ វាស្មើនឹង 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1)2)*(1 +(-1)) 2) ) = -8/4 = = -2 ។

ស្វែងរក សកលអតិបរមា ឬអប្បបរមា (តម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃមុខងារ) មានភាពស្មុគស្មាញជាងកម្រិតជ្រុលក្នុងមូលដ្ឋាន ដោយសារតម្លៃទាំងនេះអាចសម្រេចបានមិនត្រឹមតែនៅចំណុចស្ថានីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងនៅព្រំដែននៃដែននិយមន័យផងដែរ។ វាមិនតែងតែងាយស្រួលទេក្នុងការសិក្សាអំពីឥរិយាបថនៃមុខងារនៅលើព្រំដែននៃតំបន់នេះ។