លំដាប់លេខ VI

§ 144. ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

ពួកគេនិយាយថានៅពេលដែលគ្រូបង្រៀននៅសាលាបឋមសិក្សាដែលចង់កាន់កាប់ថ្នាក់រយៈពេលយូរជាមួយនឹងការងារឯករាជ្យបានផ្តល់ឱ្យកុមារនូវកិច្ចការ "ពិបាក" - ដើម្បីគណនាផលបូកនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពី 1 ដល់ 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

សិស្ស​ម្នាក់​បាន​ស្នើ​ដំណោះស្រាយ​ភ្លាមៗ។ វា​នៅ​ទីនេះ។:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 ដង

វាគឺជាលោក Carl Gauss ដែលក្រោយមកបានក្លាយជាគណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញបំផុតមួយរូបនៅក្នុងពិភពលោក*។

* ករណីស្រដៀងគ្នាជាមួយ Gauss ពិតជាបានកើតឡើង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅទីនេះវាត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញយ៉ាងខ្លាំង។ លេខដែលបានស្នើដោយគ្រូគឺប្រាំខ្ទង់ ហើយបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាបីខ្ទង់។

គំនិតនៃដំណោះស្រាយបែបនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធណាមួយ។

លេម៉ា។ផលបូកនៃពាក្យពីរនៃដំណើរការនព្វន្ធកំណត់មួយ ដែលសមមូលពីចុង គឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក្យខ្លាំង។

ឧទាហរណ៍ ក្នុងដំណើរការនព្វន្ធកំណត់

1, 2, 3.....98, 99, 100

លក្ខខណ្ឌទី 2 និង 99, 3 និង 98, 4 និង 97 ជាដើម គឺស្មើគ្នាពីចុងបញ្ចប់នៃដំណើរការនេះ។ ដូច្នេះផលបូករបស់ពួកគេ 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 គឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក្យខ្លាំង 1 + 100 ។

ភស្តុតាងនៃលេម៉ា។ អនុញ្ញាតឱ្យមានដំណើរការនព្វន្ធកំណត់

ក 1 , ក 2 , ..., ក ន - 1 , ក ន

សមាជិក​ណា​មួយ​ពីរ​នាក់​នៅ​ឆ្ងាយ​ពី​ចុង​ស្មើ​ៗ​គ្នា។ ចូរសន្មតថាមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺ k - ពាក្យ​ពី​ខាង​ឆ្វេង​គឺ​ ក k , និងផ្សេងទៀត - k ពាក្យទី ពីខាងស្តាំ ឧ។ ក ន -k+ មួយ។ បន្ទាប់មក

ក k + ក ន -k+ 1 =[ក 1 + (k - 1)ឃ ] + [ក 1 + (n - ក )ឃ ] = 2ក 1 + (ន - 1)ឃ .

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌខ្លាំងនៃវឌ្ឍនភាពនេះគឺស្មើនឹង

ក 1 + ក ន = ក 1 + [ក 1 + (ន - 1)ឃ ] = 2ក 1 + (ន - 1)ឃ .

ដោយវិធីនេះ

ក k + ក ន -k+ 1 = ក 1 + ក ន

Q.E.D.

ដោយ​ប្រើ​លេម៉ា​ទើប​តែ​បាន​បង្ហាញ វា​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ទទួល​បាន​រូបមន្ត​ទូទៅ​សម្រាប់​ផលបូក ទំ សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធណាមួយ។

ស ន = ក 1 +ក 2 + ...+ ក ន - 1 + ក ន

ស ន = ក ន + ក ន - 1 + ... + ក 2 + ក 1 .

ការបន្ថែមពាក្យសមភាពទាំងពីរនេះតាមពាក្យ យើងទទួលបាន៖

2 ស ន = (ក 1 +ក ន ) + (ក 2 +ក ន - 1)+...+(ក ន - 1 +ក 2) + (ក ន +ក 1)

ក 1 +ក ន = ក 2 +ក ន - 1 = ក 3 +ក ន - 2 =... .

2 ស ន = ន (ក 1 +ក ន ),

ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធកំណត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក់កណ្តាលនៃចំនួនសមាជិកខ្លាំង និងចំនួននៃសមាជិកទាំងអស់។

ជាពិសេស,

លំហាត់

971. រកផលបូកនៃលេខសេសទាំងបីខ្ទង់។

972. តើ​នាឡិកា​មួយ​នឹង​ធ្វើ​ឡើង​ប៉ុន្មាន​ដង​ក្នុង​មួយ​ថ្ងៃ បើ​វា​ប៉ះ​តែ​ចំនួន​ម៉ោង​ពេញ?

973. តើអ្វីជាផលបូកនៃទីមួយ ទំ លេខធម្មជាតិ?

974. ទាញយករូបមន្តសម្រាប់ប្រវែងនៃផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយរាងកាយក្នុងអំឡុងពេលចលនាបង្កើនល្បឿនស្មើគ្នា៖

កន្លែងណា v 0 - ល្បឿនដំបូងនៅក្នុង m/sec , ក - ការបង្កើនល្បឿននៅក្នុង m/sec 2 , t - ពេល​វេលា​ធ្វើ​ដំណើរ វិ.

975. រកផលបូកនៃប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបានទាំងអស់ជាមួយនឹងភាគបែងនៃ 3 រវាងចំនួនគត់វិជ្ជមាន t និង ទំ (t< п ).

976. កម្មកររក្សា 16 loos ដែលដំណើរការដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ ការសម្តែងក្នុងមួយម៉ាស៊ីន ក m/h. កម្មករបានបើកម៉ាស៊ីនទីមួយនៅម៉ោង ៧ ម៉ោងនិងបន្ទាប់គ្នាដោយ 5 នាទីយឺតជាងលើកមុន។ ស្វែងរកទិន្នផលគិតជាម៉ែត្រសម្រាប់ 2 ដំបូង ម៉ោងការងារ។

977. ដោះស្រាយសមីការ៖

ក) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

ខ) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. ចាប់ពីថ្ងៃទី 1 ខែកក្កដាដល់ថ្ងៃទី 12 ខែកក្កដា រួមបញ្ចូល សីតុណ្ហភាពខ្យល់បានកើនឡើងជារៀងរាល់ថ្ងៃជាមធ្យម 1/2 ដឺក្រេ។ ដោយដឹងថាសីតុណ្ហភាពជាមធ្យមក្នុងអំឡុងពេលនេះប្រែទៅជា 18 3/4 ដឺក្រេកំណត់ថាតើសីតុណ្ហភាពខ្យល់គឺជាអ្វីនៅថ្ងៃទី 1 ខែកក្កដា។

979. ស្វែងរកការវិវត្តនព្វន្ធដែលមានន័យថានព្វន្ធ ទំ លក្ខខណ្ឌដំបូងសម្រាប់ណាមួយ។ ទំ ស្មើនឹងចំនួនរបស់ពួកគេ។

980. រកផលបូកនៃពាក្យម្ភៃដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធដែលក្នុងនោះ

ក 6 + ក 9 + ក 12 + ក 15 = 20.

នៅពេលសិក្សាពិជគណិតនៅអនុវិទ្យាល័យ (ថ្នាក់ទី 9) ប្រធានបទសំខាន់មួយគឺការសិក្សាអំពីលំដាប់លេខ ដែលរួមមានវឌ្ឍនភាព - ធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ និងឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ។

តើការវិវត្តនព្វន្ធជាអ្វី?

ដើម្បីយល់ពីរឿងនេះ ចាំបាច់ត្រូវផ្តល់និយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពដែលកំពុងពិចារណា ក៏ដូចជាផ្តល់រូបមន្តមូលដ្ឋានដែលនឹងត្រូវបានប្រើបន្ថែមទៀតក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

ការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធ ឬពិជគណិតគឺជាសំណុំនៃលេខសនិទានកម្មតាមលំដាប់ ដែលសមាជិកនីមួយៗខុសគ្នាពីលេខមុនដោយចំនួនថេរមួយចំនួន។ តម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នា។ នោះគឺការដឹងពីសមាជិកណាមួយនៃស៊េរីលេខដែលបានបញ្ជាទិញ និងភាពខុសគ្នា អ្នកអាចស្ដារឡើងវិញនូវដំណើរការនព្វន្ធទាំងមូល។

សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។ លំដាប់បន្ទាប់នៃលេខនឹងជាដំណើរការនព្វន្ធៈ 4, 8, 12, 16, ... ចាប់តាំងពីភាពខុសគ្នាក្នុងករណីនេះគឺ 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) ។ ប៉ុន្តែសំណុំនៃលេខ 3, 5, 8, 12, 17 មិនអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈប្រភេទនៃការវិវត្តដែលកំពុងត្រូវបានពិចារណាទេព្រោះភាពខុសគ្នាសម្រាប់វាមិនមែនជាតម្លៃថេរ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ ១៧​-​១២)។

រូបមន្តសំខាន់ៗ

ឥឡូវ​នេះ យើង​ផ្តល់​រូបមន្ត​មូលដ្ឋាន​ដែល​នឹង​ត្រូវ​ការ​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ដោយ​ប្រើ​ដំណើរការ​នព្វន្ធ។ អនុញ្ញាតឱ្យ n តំណាងឱ្យសមាជិកទី n នៃលំដាប់ដែល n ជាចំនួនគត់។ ភាពខុសគ្នាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំង ឃ។ បន្ទាប់មកកន្សោមខាងក្រោមគឺពិត៖

1. ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃពាក្យទី n រូបមន្តគឺសមរម្យ: a n \u003d (n-1) * d + a 1 ។
2. ដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយ៖ S n = (a n + a 1) * n/2 ។

ដើម្បីយល់ពីឧទាហរណ៍ណាមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៅថ្នាក់ទី 9 វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចងចាំរូបមន្តទាំងពីរនេះ ចាប់តាំងពីបញ្ហាណាមួយនៃប្រភេទនៅក្នុងសំណួរត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើការប្រើប្រាស់របស់វា។ ដូចគ្នានេះផងដែរកុំភ្លេចថាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត: d = a n - a n-1 ។

ឧទាហរណ៍ទី 1៖ ស្វែងរកសមាជិកដែលមិនស្គាល់

យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ និងរូបមន្តដែលត្រូវប្រើដើម្បីដោះស្រាយ។

សូមឱ្យលំដាប់លេខ 10, 8, 6, 4, ... ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកពាក្យប្រាំនៅក្នុងវា។

វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលពាក្យ 4 ដំបូងត្រូវបានគេស្គាល់។ ទីប្រាំអាចត្រូវបានកំណត់តាមពីរវិធី:

1. ចូរយើងគណនាភាពខុសគ្នាជាមុនសិន។ យើងមានៈ d = 8 − 10 = −2 ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលយកលក្ខខណ្ឌពីរផ្សេងទៀតដែលឈរក្បែរគ្នា។ ឧទាហរណ៍ d = 4 − 6 = −2 ។ ដោយសារវាត្រូវបានគេដឹងថា d \u003d a n - a n-1 បន្ទាប់មក d \u003d a 5 - a 4 ពីកន្លែងដែលយើងទទួលបាន: a 5 \u003d a 4 + d ។ យើងជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់៖ a 5 = 4 + (-2) = 2 ។
2. វិធីសាស្រ្តទីពីរក៏តម្រូវឱ្យមានចំនេះដឹងនៃភាពខុសគ្នានៃការវិវត្តនៅក្នុងសំណួរដូច្នេះដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់វាដូចបានបង្ហាញខាងលើ (d = -2) ។ ដោយដឹងថាពាក្យទីមួយ a 1 = 10 យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់លេខ n នៃលំដាប់។ យើងមាន៖ a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n ។ ការជំនួស n = 5 ចូលទៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយយើងទទួលបាន: a 5 = 12-2 * 5 = 2 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដំណោះស្រាយទាំងពីរនាំឱ្យមានលទ្ធផលដូចគ្នា។ ចំណាំថាក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ភាពខុសគ្នា d នៃដំណើរការគឺអវិជ្ជមាន។ លំដាប់​បែប​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ការ​ថយ​ចុះ ព្រោះ​ពាក្យ​បន្ទាប់​នីមួយៗ​មាន​ចំនួន​តិច​ជាង​ពាក្យ​មុន។

ឧទាហរណ៍ទី ២៖ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​ស្មុគស្មាញ​ដល់​កិច្ចការ​បន្តិច សូម​ផ្តល់​ឧទាហរណ៍​មួយ​អំពី​របៀប

វាត្រូវបានគេដឹងថានៅក្នុងពាក្យទី 1 មួយចំនួនស្មើនឹង 6 ហើយពាក្យទី 7 ស្មើនឹង 18 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នានិងស្ដារលំដាប់នេះទៅជាពាក្យទី 7 ។

ចូរប្រើរូបមន្តដើម្បីកំណត់ពាក្យដែលមិនស្គាល់៖ a n = (n − 1) * d + a 1 ។ យើងជំនួសទិន្នន័យដែលគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌទៅក្នុងវា នោះគឺលេខ a 1 និង a 7 យើងមាន: 18 \u003d 6 + 6 * ឃ។ ពីកន្សោមនេះអ្នកអាចគណនាភាពខុសគ្នាយ៉ាងងាយស្រួល: d = (18 - 6) / 6 = 2. ដូច្នេះផ្នែកដំបូងនៃបញ្ហាត្រូវបានឆ្លើយ។

ដើម្បីស្តារលំដាប់ទៅសមាជិកទី 7 អ្នកគួរតែប្រើនិយមន័យនៃដំណើរការពិជគណិត នោះគឺ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ជាលទ្ធផលយើងស្តារលំដាប់ទាំងមូលឡើងវិញ៖ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 និង 7 = 18 ។

ឧទាហរណ៍ទី 3: ធ្វើឱ្យមានការរីកចម្រើន

អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើឱ្យស្ថានភាពនៃបញ្ហាកាន់តែស្មុគស្មាញ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកការវិវត្តនព្វន្ធ។ ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ លេខពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យឧទាហរណ៍ 4 និង 5 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឱ្យមានដំណើរការពិជគណិត ដូច្នេះពាក្យបីបន្ថែមទៀតត្រូវបានដាក់នៅចន្លោះទាំងនេះ។

មុនពេលចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហានេះ វាចាំបាច់ត្រូវយល់ពីកន្លែងដែលលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងកាន់កាប់នៅក្នុងការវិវត្តនាពេលអនាគត។ ដោយសារវានឹងមានពាក្យបីបន្ថែមទៀតរវាងពួកវា បន្ទាប់មក 1 \u003d -4 និង 5 \u003d 5។ ដោយបានបង្កើតវា យើងបន្តទៅកិច្ចការដែលស្រដៀងនឹងពាក្យមុននេះ។ ជាថ្មីម្តងទៀតសម្រាប់ពាក្យទី 9 យើងប្រើរូបមន្តយើងទទួលបាន: a 5 \u003d a 1 + 4 * ឃ។ ពី៖ ឃ \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25 ។ នៅទីនេះភាពខុសគ្នាមិនមែនជាតម្លៃចំនួនគត់ទេ ប៉ុន្តែវាជាលេខសមហេតុផល ដូច្នេះរូបមន្តសម្រាប់ដំណើរការពិជគណិតនៅតែដដែល។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្ថែមភាពខុសគ្នាដែលបានរកឃើញទៅ 1 និងស្ដារសមាជិកដែលបាត់នៃដំណើរការ។ យើងទទួលបាន៖ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u,0 ដែលស្របគ្នានឹងស្ថានភាពនៃបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍ទី 4៖ សមាជិកដំបូងនៃដំណើរការ

យើងបន្តផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយ។ នៅក្នុងបញ្ហាមុនទាំងអស់ លេខដំបូងនៃដំណើរការពិជគណិតត្រូវបានគេដឹង។ ឥឡូវនេះពិចារណាបញ្ហានៃប្រភេទផ្សេងគ្នា: អនុញ្ញាតឱ្យលេខពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែល 15 = 50 និង 43 = 37 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកពីលេខដែលលំដាប់នេះចាប់ផ្តើម។

រូបមន្ត​ដែល​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​រហូត​មក​ដល់​ពេល​នេះ​សន្មត​ថា​មាន​ចំណេះ​ដឹង​អំពី 1 និង ឃ។ គ្មានអ្វីត្រូវបានគេដឹងអំពីលេខទាំងនេះនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានោះទេ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ ចូរ​យើង​សរសេរ​កន្សោម​សម្រាប់​ពាក្យ​នីមួយៗ​ដែល​យើង​មាន​ព័ត៌មាន៖ a 15 = a 1 + 14 * d និង a 43 = a 1 + 42 * d ។ យើងទទួលបានសមីការពីរដែលក្នុងនោះមាន 2 មិនស្គាល់បរិមាណ (a 1 និង d) ។ នេះមានន័យថាបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រព័ន្ធដែលបានបញ្ជាក់គឺងាយស្រួលបំផុតដើម្បីដោះស្រាយ ប្រសិនបើអ្នកបង្ហាញ 1 ក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកប្រៀបធៀបកន្សោមលទ្ធផល។ សមីការទីមួយ៖ a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; សមីការទីពីរ៖ a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * ឃ។ ស្មើនឹងកន្សោមទាំងនេះយើងទទួលបាន៖ 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, ភាពខុសគ្នា d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (មានតែ 3 ខ្ទង់ទសភាគប៉ុណ្ណោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ) ។

ដោយដឹងថា d អ្នកអាចប្រើកន្សោមណាមួយនៃ 2 ខាងលើសម្រាប់ 1 ។ ឧទាហរណ៍ដំបូង៖ a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496 ។

ប្រសិនបើមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផលអ្នកអាចពិនិត្យមើលវាឧទាហរណ៍កំណត់សមាជិកទី 43 នៃការវិវត្តដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ យើងទទួលបាន៖ a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008 ។ កំហុសតូចមួយគឺដោយសារតែការពិតដែលថាការបង្គត់ទៅខ្ទង់ពាន់ត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា។

ឧទាហរណ៍ទី ៥៖ ផលបូក

ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

សូម​ឱ្យ​ការ​វិវត្ត​ជា​លេខ​នៃ​ទម្រង់​ខាង​ក្រោម​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ៖ 1, 2, 3, 4, ... , ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាផលបូកនៃ 100 នៃលេខទាំងនេះ?

សូមអរគុណដល់ការអភិវឌ្ឍន៍នៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ បញ្ហានេះអាចដោះស្រាយបាន ពោលគឺបញ្ចូលលេខទាំងអស់ជាបន្តបន្ទាប់ ដែលកុំព្យូទ័រនឹងធ្វើភ្លាមៗនៅពេលដែលមនុស្សម្នាក់ចុចគ្រាប់ចុចបញ្ចូល (Enter) ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយស្មារតី ប្រសិនបើអ្នកយកចិត្តទុកដាក់ថាស៊េរីលេខដែលបានបង្ហាញគឺជាការវិវត្តនៃពិជគណិត ហើយភាពខុសគ្នារបស់វាគឺ 1. ការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក យើងទទួលបាន៖ S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050 ។

វាជាការចង់ដឹងចង់ឃើញដែលបញ្ហានេះត្រូវបានគេហៅថា "Gaussian" ចាប់តាំងពីដើមសតវត្សទី 18 ជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីល្បាញដែលនៅអាយុត្រឹមតែ 10 ឆ្នាំអាចដោះស្រាយវាបាននៅក្នុងចិត្តរបស់គាត់ក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទី។ ក្មេងប្រុសមិនបានដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែគាត់បានកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមលេខគូដែលមានទីតាំងនៅគែមនៃលំដាប់ អ្នកតែងតែទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា នោះគឺ 1 + 100 = 2 + 99 ។ = 3 + 98 = ... ហើយចាប់តាំងពីផលបូកទាំងនេះនឹងពិតជា 50 (100 / 2) បន្ទាប់មកដើម្បីទទួលបានចម្លើយត្រឹមត្រូវ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណ 50 ដោយ 101 ។

ឧទាហរណ៍ទី ៦៖ ផលបូកនៃពាក្យពី n ដល់ m

ឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយទៀតនៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺដូចខាងក្រោម៖ ដែលបានផ្តល់ឱ្យស៊េរីនៃលេខ: 3, 7, 11, 15, ... អ្នកត្រូវស្វែងរកអ្វីដែលផលបូកនៃពាក្យរបស់វាពី 8 ទៅ 14 នឹងមាន។

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយតាមពីរវិធី។ ទីមួយនៃពួកគេពាក់ព័ន្ធនឹងការស្វែងរកពាក្យដែលមិនស្គាល់ពី 8 ទៅ 14 ហើយបន្ទាប់មកបូកសរុបវាតាមលំដាប់លំដោយ។ ដោយសារ​មាន​លក្ខខណ្ឌ​តិចតួច វិធីសាស្ត្រ​នេះ​មិន​ពិបាក​គ្រប់គ្រាន់​ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយវិធីសាស្រ្តទីពីរដែលជាសកលជាង។

គំនិតនេះគឺដើម្បីទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិតរវាងពាក្យ m និង n ដែល n > m ជាចំនួនគត់។ សម្រាប់ករណីទាំងពីរ យើងសរសេរកន្សោមពីរសម្រាប់ផលបូក៖

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2 ។
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2 ។

ចាប់តាំងពី n > m វាច្បាស់ណាស់ថាផលបូក 2 រួមបញ្ចូលលេខទីមួយ។ ការសន្និដ្ឋានចុងក្រោយមានន័យថាប្រសិនបើយើងយកភាពខុសគ្នារវាងផលបូកទាំងនេះហើយបន្ថែមពាក្យ a m ទៅវា (ក្នុងករណីយកភាពខុសគ្នាវាត្រូវបានដកចេញពីផលបូក S n) នោះយើងទទួលបានចម្លើយចាំបាច់ចំពោះបញ្ហា។ យើងមាន៖ S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ n និង m ទៅក្នុងកន្សោមនេះ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ S mn = a 1 * (n − m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n − m + 1) + d * n * (n − 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2 ។

រូបមន្តលទ្ធផលគឺពិបាកបន្តិច ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ផលបូក S mn អាស្រ័យតែលើ n, m, a 1 និង d ប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងករណីរបស់យើង a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ការជំនួសលេខទាំងនេះយើងទទួលបាន: S mn = 301 ។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីដំណោះស្រាយខាងលើ បញ្ហាទាំងអស់គឺផ្អែកលើចំណេះដឹងនៃការបញ្ចេញមតិសម្រាប់ពាក្យទី 1 និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសំណុំនៃពាក្យទីមួយ។ មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យអ្នកអានលក្ខខណ្ឌដោយប្រុងប្រយ័ត្ន យល់យ៉ាងច្បាស់អំពីអ្វីដែលអ្នកចង់ស្វែងរក ហើយមានតែបន្តដំណោះស្រាយប៉ុណ្ណោះ។

គន្លឹះមួយទៀតគឺត្រូវខិតខំឱ្យមានភាពសាមញ្ញ ពោលគឺប្រសិនបើអ្នកអាចឆ្លើយសំណួរដោយមិនប្រើការគណនាគណិតវិទ្យាស្មុគ្រស្មាញ នោះអ្នកត្រូវធ្វើដូច្នេះ ព្រោះក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្វើខុសគឺតិចជាង។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលេខ 6 មនុស្សម្នាក់អាចឈប់នៅរូបមន្ត S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ហើយបំបែកភារកិច្ចទូទៅទៅជាកិច្ចការរងដាច់ដោយឡែក (ក្នុងករណីនេះដំបូងរកពាក្យ a n និង a m) ។

ប្រសិនបើមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផល វាត្រូវបានណែនាំឱ្យពិនិត្យមើលវា ដូចដែលបានធ្វើនៅក្នុងឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ របៀបស្វែងរកការវិវត្តនព្វន្ធ, បានរកឃើញ។ ពេល​យល់​ឃើញ​ហើយ វា​មិន​ពិបាក​នោះ​ទេ។

ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺជារឿងសាមញ្ញ។ ទាំងក្នុងន័យ និងរូបមន្ត។ ប៉ុន្តែមានកិច្ចការគ្រប់ប្រភេទលើប្រធានបទនេះ។ ពីបឋមទៅរឹង។

ជាដំបូង ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងអត្ថន័យ និងរូបមន្តនៃផលបូក។ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ភាពរីករាយរបស់អ្នកផ្ទាល់។ ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបន្ថែមសមាជិកទាំងអស់របស់វាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងនេះមានតិចតួច អ្នកអាចបន្ថែមដោយគ្មានរូបមន្តណាមួយឡើយ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានច្រើនឬច្រើន ... ការបន្ថែមគឺរំខាន។) ក្នុងករណីនេះរូបមន្តរក្សាទុក។

រូបមន្តបូកគឺសាមញ្ញ៖

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើអក្សរប្រភេទណាដែលត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្ត។ នេះនឹងជម្រះបានច្រើន។

ស គឺជាផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ លទ្ធផលបន្ថែម ទាំងអស់។សមាជិក, ជាមួយ ដំបូងនៅលើ ចុងក្រោយ។វាមានសារៈសំខាន់ណាស់។ បន្ថែមយ៉ាងពិតប្រាកដ ទាំងអស់។សមាជិកជាប់ៗគ្នាដោយគ្មានចន្លោះ និងលោត។ ហើយពិតប្រាកដណាស់ ចាប់ផ្តើមពី ដំបូង។នៅក្នុងបញ្ហាដូចជាការស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យទីបី និងទីប្រាំបី ឬផលបូកនៃពាក្យ 5 ដល់ 20 ការអនុវត្តន៍រូបមន្តដោយផ្ទាល់នឹងមានការខកចិត្ត។)

ក ១ - ដំបូងសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់នៅទីនេះ វាសាមញ្ញ ដំបូងលេខជួរ។

មួយ n- ចុងក្រោយសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ លេខចុងក្រោយនៃជួរ។ មិន​មែន​ជា​ឈ្មោះ​ដែល​ធ្លាប់​ស្គាល់​នោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​នៅ​ពេល​ដែល​បាន​អនុវត្ត​ទៅ​នឹង​ចំនួន​នេះ​គឺ​សមរម្យ​ណាស់។ បន្ទាប់មកអ្នកនឹងឃើញដោយខ្លួនឯង។

ន គឺជាចំនួនសមាជិកចុងក្រោយ។ វាជាការសំខាន់ក្នុងការយល់ថានៅក្នុងរូបមន្តលេខនេះ។ ស្របពេលជាមួយនឹងចំនួនសមាជិកបន្ថែម។

ចូរយើងកំណត់គំនិត ចុងក្រោយសមាជិក មួយ n. ការបំពេញសំណួរ៖ តើសមាជិកប្រភេទណានឹង ចុងក្រោយ,ប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ គ្មានទីបញ្ចប់វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ?

សម្រាប់ចម្លើយដែលមានទំនុកចិត្ត អ្នកត្រូវយល់ពីអត្ថន័យបឋមនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ហើយ... អានកិច្ចការដោយប្រុងប្រយ័ត្ន!)

នៅក្នុងកិច្ចការស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ពាក្យចុងក្រោយតែងតែលេចឡើង (ដោយផ្ទាល់ ឬដោយប្រយោល)។ ដែលគួរតែត្រូវបានកំណត់។បើមិនដូច្នោះទេ ចំនួនកំណត់ជាក់លាក់ គ្រាន់តែមិនមាន។ចំពោះដំណោះស្រាយ វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទេ ដែលការវិវឌ្ឍន៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ កំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ វាមិនមានបញ្ហាថាតើវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរបៀបណាទេ: ដោយស៊េរីនៃលេខឬដោយរូបមន្តនៃសមាជិកទី n ។

អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺត្រូវយល់ថារូបមន្តដំណើរការពីពាក្យដំបូងនៃការវិវត្តទៅជាពាក្យដែលមានលេខ ន.តាមពិតឈ្មោះពេញនៃរូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖ ផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ចំនួននៃសមាជិកដំបូងបំផុតទាំងនេះ i.e. នត្រូវបានកំណត់ដោយភារកិច្ច។ នៅក្នុងភារកិច្ច ព័ត៌មានដ៏មានតម្លៃទាំងអស់នេះត្រូវបានអ៊ិនគ្រីបជាញឹកញាប់ បាទ... ប៉ុន្តែគ្មានអ្វីទេ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងនឹងបង្ហាញអាថ៌កំបាំងទាំងនេះ។ )

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ជាដំបូងព័ត៌មានមានប្រយោជន៍៖

ការលំបាកចម្បងក្នុងកិច្ចការសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ គឺការកំណត់ត្រឹមត្រូវនៃធាតុនៃរូបមន្ត។

អ្នកនិពន្ធនៃកិច្ចការបានអ៊ិនគ្រីបធាតុទាំងនេះជាមួយនឹងការស្រមើលស្រមៃគ្មានព្រំដែន។) រឿងសំខាន់នៅទីនេះគឺមិនត្រូវភ័យខ្លាចទេ។ ការស្វែងយល់ពីខ្លឹមសារនៃធាតុ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបកស្រាយពួកវា សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនលម្អិត។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងកិច្ចការដែលផ្អែកលើ GIA ពិតប្រាកដ។

1. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌ: a n = 2n-3.5 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃ 10 ពាក្យដំបូង។

ការងារ​ល្អ។ ងាយស្រួល) ដើម្បីកំណត់បរិមាណតាមរូបមន្ត តើយើងត្រូវដឹងអ្វីខ្លះ? សមាជិកដំបូង ក ១, អាណត្តិចុងក្រោយ មួយ nបាទចំនួននៃពាក្យចុងក្រោយ ន.

កន្លែងដែលត្រូវទទួលបានលេខសមាជិកចុងក្រោយ ន? បាទនៅកន្លែងដដែលក្នុងលក្ខខណ្ឌ! វានិយាយថារកផលបូក សមាជិក 10 នាក់ដំបូង។អញ្ចឹងតើវានឹងជាលេខអ្វី ចុងក្រោយ,សមាជិកទីដប់?) អ្នកនឹងមិនជឿទេ លេខរបស់គាត់គឺលេខដប់!) ដូច្នេះ ជំនួសឱ្យ មួយ nយើងនឹងជំនួសរូបមន្ត មួយ 10ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ ន- ដប់។ ជាថ្មីម្តងទៀត ចំនួនសមាជិកចុងក្រោយគឺដូចគ្នានឹងចំនួនសមាជិកដែរ។

វានៅតែត្រូវកំណត់ ក ១និង មួយ 10. នេះត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលដោយរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។ មិនដឹងធ្វើម៉េច? ទស្សនាមេរៀនមុនដោយគ្មាននេះ - គ្មានអ្វីសោះ។

ក ១= 2 1 − 3.5 = −1.5

មួយ 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

ស = ស ១០.

យើងបានរកឃើញអត្ថន័យនៃធាតុទាំងអស់នៃរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ វានៅសល់ដើម្បីជំនួសពួកគេហើយរាប់:

នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់ដែលមានចំពោះវា។ ចម្លើយ៖ ៧៥ ។

កិច្ចការមួយទៀតផ្អែកលើ GIA ។ ស្មុគស្មាញបន្តិច៖

2. ដែលបានផ្ដល់ឱ្យនូវវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ (a n) ភាពខុសគ្នាគឺ 3.7; a 1 \u003d 2.3 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃ 15 លក្ខខណ្ឌដំបូង។

យើងសរសេររូបមន្តបូកភ្លាមៗ៖

រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកណាមួយដោយលេខរបស់វា។ យើងកំពុងស្វែងរកការជំនួសដ៏សាមញ្ញមួយ៖

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

វានៅសល់ដើម្បីជំនួសធាតុទាំងអស់នៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ហើយគណនាចម្លើយ៖

ចម្លើយ៖ ៤២៣ ។

ដោយវិធីនេះប្រសិនបើនៅក្នុងរូបមន្តបូកជំនួសឱ្យ មួយ nគ្រាន់តែជំនួសរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 យើងទទួលបាន:

យើងផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបានរូបមន្តថ្មីសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញពាក្យទី 9 មិនត្រូវបានទាមទារនៅទីនេះទេ។ មួយ n. ក្នុង​កិច្ចការ​ខ្លះ រូបមន្ត​នេះ​ជួយ​ចេញ​បាន​ច្រើន បាទ... អ្នក​អាច​ចាំ​រូបមន្ត​នេះ​បាន។ ហើយ​អ្នក​អាច​ដក​វា​ចេញ​នៅ​ពេល​ត្រឹមត្រូវ ដូច​ជា​នៅ​ទីនេះ។ យ៉ាងណាមិញ រូបមន្ត​សម្រាប់​ផលបូក និង​រូបមន្ត​សម្រាប់​ពាក្យ​ទី​៩ ត្រូវ​តែ​ចងចាំ​តាម​គ្រប់​មធ្យោបាយ។)

ឥឡូវនេះភារកិច្ចនៅក្នុងទម្រង់នៃការអ៊ិនគ្រីបខ្លី):

3. រកផលបូកនៃលេខពីរខ្ទង់វិជ្ជមានទាំងអស់ដែលជាគុណនឹងបី។

ម៉េច! គ្មាន​សមាជិក​ដំបូង គ្មាន​ចុង​ក្រោយ គ្មាន​ការ​រីក​ចម្រើន​ទាល់​តែ​សោះ... រស់​យ៉ាង​ណា!?

អ្នកនឹងត្រូវគិតដោយក្បាលរបស់អ្នក ហើយដកធាតុទាំងអស់នៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធចេញពីលក្ខខណ្ឌ។ តើអ្វីទៅជាលេខពីរខ្ទង់ - យើងដឹង។ ពួកវាមានពីរលេខ។) តើលេខពីរខ្ទង់ណានឹង ដំបូង? 10 សន្មត។ ) រឿងចុងក្រោយលេខពីរខ្ទង់? 99 ពិតណាស់! លេខបីខ្ទង់នឹងតាមគាត់...

គុណនៃបី... ហ៊ឹម... ទាំងនេះគឺជាលេខដែលចែកស្មើៗគ្នាដោយបី នៅទីនេះ! ដប់មិនបែងចែកដោយបី 11 មិនបែងចែក ... 12 ... បែងចែក! ដូច្នេះ, អ្វីមួយកំពុងលេចឡើង។ អ្នកអាចសរសេរស៊េរីរួចហើយតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

តើ​ស៊េរី​នេះ​នឹង​ជា​ដំណើរការ​នព្វន្ធ​ដែរ​ឬ​ទេ? ពិតប្រាកដ​ណាស់! ពាក្យនីមួយៗខុសគ្នាពីពាក្យមុនយ៉ាងតឹងរ៉ឹងដោយបី។ ប្រសិនបើ 2 ឬ 4 ត្រូវបានបន្ថែមទៅពាក្យ និយាយថា លទ្ធផល i.e. លេខថ្មីនឹងលែងត្រូវចែកដោយ 3 ទៀតហើយ។ អ្នកអាចកំណត់ពីភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធទៅហបភ្លាមៗ៖ d = ៣.មានប្រយោជន៍!)

ដូច្នេះ យើងអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាពនូវប៉ារ៉ាម៉ែត្រវឌ្ឍនភាពមួយចំនួន៖

តើលេខនឹងជាអ្វី នសមាជិកចុងក្រោយ? នរណាម្នាក់ដែលគិតថា 99 គឺខុសធ្ងន់ធ្ងរ ... លេខ - ពួកគេតែងតែជាប់ៗគ្នា ហើយសមាជិករបស់យើងលោតពីលើកំពូលទាំងបី។ ពួកគេមិនត្រូវគ្នា។

មានដំណោះស្រាយពីរនៅទីនេះ។ មធ្យោបាយមួយគឺសម្រាប់ការឧស្សាហ៍ព្យាយាម។ អ្នកអាចលាបពណ៌វឌ្ឍនភាព ស៊េរីលេខទាំងមូល និងរាប់ចំនួនពាក្យដោយម្រាមដៃរបស់អ្នក។) វិធីទីពីរគឺសម្រាប់អ្នកគិត។ អ្នកត្រូវចាំរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0 ។ ប្រសិនបើរូបមន្តត្រូវបានអនុវត្តចំពោះបញ្ហារបស់យើង យើងទទួលបានថា 99 គឺជាសមាជិកទី 30 នៃវឌ្ឍនភាព។ ទាំងនោះ។ n = 30 ។

យើងមើលរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

យើងមើលហើយរីករាយ។) យើងបានដកអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដែលចាំបាច់សម្រាប់ការគណនាចំនួនពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖

ក ១= 12.

មួយ 30= 99.

ស = ស ៣០.

អ្វីដែលនៅសល់គឺលេខនព្វន្ធបឋម។ ជំនួសលេខក្នុងរូបមន្ត ហើយគណនា៖

ចម្លើយ៖ ១៦៦៥

ប្រភេទល្បែងផ្គុំរូបពេញនិយមមួយទៀត៖

4. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

រកផលបូកនៃពាក្យពីលេខម្ភៃដល់សាមសិបបួន។

យើងមើលរូបមន្តផលបូកហើយ...យើងអន់ចិត្ត។) រូបមន្តខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក គណនាផលបូក ពីដំបូងសមាជិក។ ហើយនៅក្នុងបញ្ហាអ្នកត្រូវគណនាផលបូក ចាប់តាំងពីទសវត្សរ៍ទី 20 ...រូបមន្តនឹងមិនដំណើរការទេ។

ជា​ការ​ពិត អ្នក​អាច​គូរ​ដំណើរ​ការ​ទាំង​មូល​ជាប់​គ្នា ហើយ​ដាក់​សមាជិក​ពី 20 ទៅ 34 នាក់​។ ប៉ុន្តែ… ដូចម្ដេច​ដែល​វា​ចេញ​ទៅ​ដោយ​ឆោត​ល្ងង់ និង​យូរ​ហើយ​មែន​ទេ?)

មានដំណោះស្រាយឆើតឆាយជាង។ ចូរបំបែកស៊េរីរបស់យើងជាពីរផ្នែក។ ផ្នែកទីមួយនឹង ចាប់ពីពាក្យទីមួយដល់ទីដប់ប្រាំបួន។ផ្នែកទីពីរ - ម្ភៃទៅសាមសិបបួន។វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងគណនាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃផ្នែកទីមួយ ស ១-១៩ចូរយើងបន្ថែមវាទៅផលបូកនៃសមាជិកនៃផ្នែកទីពីរ ស ២០-៣៤យើងទទួលបានផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពពីពាក្យទីមួយដល់សាមសិបបួន ស ១-៣៤. ដូចនេះ៖

ស ១-១៩ + ស ២០-៣៤ = ស ១-៣៤

នេះបង្ហាញថាដើម្បីរកផលបូក ស ២០-៣៤អាចត្រូវបានធ្វើដោយការដកសាមញ្ញ

ស ២០-៣៤ = ស ១-៣៤ - ស ១-១៩

ផលបូកទាំងពីរនៅខាងស្តាំត្រូវបានពិចារណា ពីដំបូងសមាជិក, i.e. រូបមន្តផលបូកស្តង់ដារគឺអាចអនុវត្តបានចំពោះពួកគេ។ តើយើងចាប់ផ្តើមទេ?

យើងទាញយកប៉ារ៉ាម៉ែត្រវឌ្ឍនភាពចេញពីលក្ខខណ្ឌការងារ៖

d = 1.5 ។

ក ១= -21,5.

ដើម្បីគណនាផលបូកនៃពាក្យ 19 និង 34 ដំបូង យើងនឹងត្រូវការពាក្យទី 19 និង 34 ។ យើង​រាប់​វា​តាម​រូបមន្ត​នៃ​ពាក្យ​ទី​៩ ដូច​ក្នុង​បញ្ហា​ទី​២៖

មួយ 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

មួយ 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

មិនមានអ្វីនៅសល់ទេ។ ដកផលបូកនៃ 19 ពីផលបូកនៃ 34 ឃ្លា៖

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

ចម្លើយ៖ ២៦២.៥

ចំណាំសំខាន់មួយ! មានមុខងារមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ជំនួសឱ្យការគណនាដោយផ្ទាល់ អ្វីដែលអ្នកត្រូវការ (ស ២០-៣៤)យើង​បាន​រាប់ អ្វីដែលវាហាក់ដូចជាមិនត្រូវការ - S 1-19 ។ហើយបន្ទាប់មកពួកគេបានកំណត់ ស ២០-៣៤បោះចោលអ្វីដែលមិនចាំបាច់ចេញពីលទ្ធផលពេញលេញ។ "ក្លែងបន្លំត្រចៀក" បែបនេះច្រើនតែរក្សាទុកក្នុងល្បែងផ្គុំរូបអាក្រក់។ )

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានពិនិត្យមើលបញ្ហាដែលវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តពីរបី។ )

ដំបូន្មានជាក់ស្តែង៖

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យសរសេរភ្លាមៗនូវរូបមន្តសំខាន់ៗពីរពីប្រធានបទនេះ។

រូបមន្តនៃពាក្យទី 9:

រូបមន្តទាំងនេះនឹងប្រាប់អ្នកភ្លាមៗពីអ្វីដែលត្រូវរកមើល តើត្រូវគិតក្នុងទិសដៅណា ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។ ជួយ

ហើយឥឡូវនេះភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

5. រកផលបូកនៃលេខពីរខ្ទង់ទាំងអស់ដែលមិនត្រូវបានបែងចែកដោយបី។

ឡូយ?) ព័ត៌មានជំនួយត្រូវបានលាក់នៅក្នុងកំណត់ចំណាំចំពោះបញ្ហា 4. ជាការប្រសើរណាស់ បញ្ហាទី 3 នឹងជួយ។

6. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌ: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃ 24 លក្ខខណ្ឌដំបូង។

មិនធម្មតា?) នេះគឺជារូបមន្តដែលកើតឡើងដដែលៗ។ អ្នកអាចអានអំពីវានៅក្នុងមេរៀនមុន។ កុំព្រងើយកន្តើយនឹងតំណភ្ជាប់នេះ ល្បែងផ្គុំរូបបែបនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុង GIA ។

7. Vasya សន្សំប្រាក់សម្រាប់ថ្ងៃឈប់សម្រាក។ ជាច្រើនដូចជា 4550 rubles! ហើយខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តផ្តល់ឱ្យមនុស្សជាទីស្រឡាញ់បំផុត (ខ្លួនឯង) ពីរបីថ្ងៃនៃសុភមង្គល) ។ រស់នៅស្អាតដោយមិនបដិសេធខ្លួនឯងអ្វីទាំងអស់។ ចំណាយ 500 រូប្លិនៅថ្ងៃដំបូងហើយចំណាយ 50 រូប្លិ៍បន្ថែមទៀតនៅថ្ងៃបន្តបន្ទាប់ជាងនៅថ្ងៃមុន! រហូតដល់លុយអស់។ តើ Vasya មានសុភមង្គលប៉ុន្មានថ្ងៃ?

តើវាពិបាកទេ?) រូបមន្តបន្ថែមពីកិច្ចការទី 2 នឹងជួយ។

ចំលើយ (ក្នុងភាពច្របូកច្របល់): 7, 3240, 6 ។

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ ការរៀន - ដោយចំណាប់អារម្មណ៍!

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

ប្រភេទមេរៀន៖រៀនសម្ភារៈថ្មី។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

• ការពង្រីក និងការធ្វើឱ្យស៊ីជម្រៅនៃគំនិតរបស់សិស្សអំពីកិច្ចការដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើការវិវត្តនព្វន្ធ។ រៀបចំសកម្មភាពស្វែងរករបស់សិស្សក្នុងការទាញយករូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ;
• ការអភិវឌ្ឍជំនាញដើម្បីទទួលបានចំណេះដឹងថ្មីៗដោយឯករាជ្យ ប្រើប្រាស់ចំណេះដឹងដែលទទួលបានរួចហើយ ដើម្បីសម្រេចបាននូវភារកិច្ច។
• ការអភិវឌ្ឍនៃបំណងប្រាថ្នានិងតម្រូវការដើម្បីធ្វើឱ្យទូទៅការពិតដែលទទួលបាន, ការអភិវឌ្ឍនៃឯករាជ្យភាព។

ភារកិច្ច:

• ធ្វើឱ្យទូទៅ និងរៀបចំប្រព័ន្ធចំណេះដឹងដែលមានស្រាប់លើប្រធានបទ "វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ";
• ទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ;
• បង្រៀនពីរបៀបអនុវត្តរូបមន្តដែលទទួលបានក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។
• ទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់សិស្សទៅនីតិវិធីសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមលេខ។

ឧបករណ៍៖

• កាតដែលមានភារកិច្ចសម្រាប់ការងារជាក្រុមនិងជាគូ;
• ក្រដាសវាយតម្លៃ;
• បទ​បង្ហាញ"វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ" ។

I. ការធ្វើឱ្យជាក់ស្តែងនៃចំណេះដឹងមូលដ្ឋាន។

1. ការងារឯករាជ្យជាគូ។

ជម្រើសទី១៖

កំណត់វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ សរសេររូបមន្តដដែលៗដែលកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ។ ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធ និងបង្ហាញពីភាពខុសគ្នារបស់វា។

ជម្រើសទី ២៖

សរសេររូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ស្វែងរកពាក្យទី 100 នៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ( មួយ n}: 2, 5, 8 …
នៅ​ពេល​នេះ សិស្ស​ពីរ​នាក់​នៅ​ខាង​ក្រោយ​នៃ​ក្ដារខៀន​កំពុង​រៀបចំ​ចម្លើយ​ចំពោះ​សំណួរ​ដូច​គ្នា។
សិស្សវាយតម្លៃការងាររបស់ដៃគូដោយប្រៀបធៀបវាជាមួយក្រុមប្រឹក្សាភិបាល។ (ខិត្តប័ណ្ណដែលមានចម្លើយត្រូវបានប្រគល់ជូន)។

2. ពេលលេងហ្គេម។

លំហាត់ 1 ។

គ្រូ។ខ្ញុំ​បាន​យល់​ឃើញ​ការ​វិវត្ត​នព្វន្ធ​ខ្លះ។ សួរខ្ញុំតែពីរសំណួរប៉ុណ្ណោះ ដូច្នេះបន្ទាប់ពីចម្លើយរួច អ្នកអាចដាក់ឈ្មោះសមាជិកទី 7 នៃវឌ្ឍនភាពនេះបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ (១, ៣, ៥, ៧, ៩, ១១, ១៣, ១៥… )

សំណួរពីសិស្ស។

1. តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​អវយវៈ​ទី​៦ នៃ​ការ​ចម្រើន​ឡើង និង​មាន​អ្វី​ខុស​គ្នា?
2. តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​អរិយ​សច្ចៈ​៨ ដូចម្តេច​ខ្លះ​ហើយ​តើ​ដូចម្តេច​ខ្លះ?

ប្រសិនបើមិនមានសំណួរបន្ថែមទេ នោះគ្រូអាចជំរុញពួកគេ - "ការហាមឃាត់" លើ ឃ (ភាពខុសគ្នា) នោះគឺវាមិនត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យសួរថាតើអ្វីជាភាពខុសគ្នានោះទេ។ អ្នក​អាច​សួរ​សំណួរ​ថា តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​អវយវៈ​ទី​៦ នៃ​ការ​ចម្រើន​លូតលាស់​អ្វី​?

កិច្ចការទី 2 ។

មាន 20 លេខសរសេរនៅលើក្តារ: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

គ្រូឈរបែរខ្នងទៅក្តារខៀន។ សិស្ស​និយាយ​ថា​លេខ​លេខ ហើយ​គ្រូ​ក៏​ហៅ​លេខ​នោះ​ភ្លាម។ ពន្យល់ពីរបៀបដែលខ្ញុំអាចធ្វើបាន?

គ្រូចងចាំរូបមន្តនៃពាក្យទី 0 a n \u003d 3n - 2ហើយការជំនួសតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃ n រកឃើញតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។ a n

II. សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃភារកិច្ចអប់រំ។

ខ្ញុំស្នើឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាចាស់ដែលមានអាយុកាលតាំងពីសហវត្សទី 2 មុនគ.ស ដែលរកឃើញនៅក្នុងក្រដាសអេហ្ស៊ីប។

កិច្ចការ៖"អនុញ្ញាតឱ្យវានិយាយទៅកាន់អ្នក: បែងចែក 10 រង្វាស់នៃ barley ក្នុងចំណោម 10 នាក់ភាពខុសគ្នារវាងមនុស្សម្នាក់ៗនិងអ្នកជិតខាងរបស់គាត់គឺ 1/8 នៃរង្វាស់។

• តើ​បញ្ហា​នេះ​ទាក់ទង​នឹង​ប្រធានបទ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​ដោយ​របៀប​ណា? (មនុស្សបន្ទាប់នីមួយៗទទួលបាន 1/8 រង្វាស់បន្ថែមទៀត ដូច្នេះភាពខុសគ្នាគឺ d=1/8 មនុស្ស 10 នាក់ ដូច្នេះ n=10។ )
• តើអ្នកគិតថាលេខ 10 មានន័យយ៉ាងណា? (ផលបូកនៃសមាជិកទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាព។ )
• តើអ្នកត្រូវដឹងអ្វីខ្លះទៀត ដើម្បីងាយស្រួល និងសាមញ្ញក្នុងការបែងចែក barley ទៅតាមស្ថានភាពនៃបញ្ហា? (ពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។ )

គោលបំណងនៃមេរៀន- ការទទួលបានភាពអាស្រ័យនៃផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពលើលេខរបស់ពួកគេ ពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា ហើយពិនិត្យមើលថាតើបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយត្រឹមត្រូវនៅសម័យបុរាណដែរឬទេ។

មុននឹងយករូបមន្តនេះ មកមើលពីរបៀបដែលជនជាតិអេស៊ីបបុរាណបានដោះស្រាយបញ្ហានោះ។

ហើយពួកគេបានដោះស្រាយវាដូចនេះ៖

1) 10 វិធានការ: 10 = 1 រង្វាស់ - ការចែករំលែកជាមធ្យម;
2) 1 រង្វាស់ ∙ = 2 រង្វាស់ - ទ្វេដង មធ្យមចែករំលែក។
កើនឡើងទ្វេដង មធ្យមភាគហ៊ុនគឺជាផលបូកនៃភាគហ៊ុនរបស់បុគ្គលទី 5 និងទី 6 ។
3) 2 រង្វាស់ - 1/8 រង្វាស់ = 1 7/8 រង្វាស់ - ពីរដងនៃចំណែករបស់មនុស្សទី 5 ។
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ចំណែកនៃទីប្រាំ; ហើយដូច្នេះនៅលើនោះ អ្នកអាចរកឃើញចំណែករបស់មនុស្សមុន និងបន្ទាប់នីមួយៗ។

យើងទទួលបានលំដាប់៖

III. ដំណោះស្រាយនៃភារកិច្ច។

1. ធ្វើការជាក្រុម

ក្រុមទី១៖ស្វែងរកផលបូកនៃលេខធម្មជាតិ 20 ជាប់គ្នា៖ ស 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210 ។

ជាទូទៅ

ក្រុម II៖ស្វែងរកផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ 100 (រឿងព្រេងរបស់ Little Gauss) ។

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖

ក្រុម III៖ស្វែងរកផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ 21 ។

ដំណោះស្រាយ៖ 1+21=2+20=3+19=4+18…

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖

ក្រុម IV៖ស្វែងរកផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ 101 ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖

វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានពិចារណាត្រូវបានគេហៅថា "វិធីសាស្ត្រ Gauss" ។

2. ក្រុមនីមួយៗបង្ហាញដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានៅលើក្តារខៀន។

3. ការធ្វើទូទៅនៃដំណោះស្រាយដែលបានស្នើឡើងសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធតាមអំពើចិត្ត៖

a 1 , a 2 , a 3 ,… , a n-2 , a n-1 , a n ។
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n ។

យើងរកឃើញផលបូកនេះដោយការប្រកែកស្រដៀងគ្នា៖

4. តើយើងបានដោះស្រាយភារកិច្ចហើយឬនៅ?(បាទ។ )

IV. ការយល់ដឹងបឋម និងការអនុវត្តរូបមន្តដែលទទួលបានក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

1. ការពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាចាស់ដោយរូបមន្ត។

2. ការអនុវត្តរូបមន្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។

3. លំហាត់សម្រាប់ការបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

ក) លេខ ៦១៣

បានផ្តល់ឱ្យ :( និង n) -វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ;

(a n): 1, 2, 3, ... , 1500

ស្វែងរក៖ ស ១៥០០

ដំណោះស្រាយ៖ , និង 1 = 1, និង 1500 = 1500,

ខ) ផ្តល់ឱ្យ៖ ( និង n) -វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ;
(និង n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

ស្វែងរក៖ ន
ដំណោះស្រាយ៖

V. ការងារឯករាជ្យជាមួយនឹងការផ្ទៀងផ្ទាត់គ្នាទៅវិញទៅមក។

Denis បានទៅធ្វើការជាអ្នកនាំសំបុត្រ។ នៅក្នុងខែដំបូងប្រាក់ខែរបស់គាត់គឺ 200 រូប្លិ៍ក្នុងខែបន្តបន្ទាប់នីមួយៗវាកើនឡើង 30 រូប្លិ៍។ តើគាត់រកបានប៉ុន្មានក្នុងមួយឆ្នាំ?

បានផ្តល់ឱ្យ :( និង n) -វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ;
a 1 = 200, d=30, n=12
ស្វែងរក៖ ស ១២
ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ Denis ទទួលបាន 4380 rubles សម្រាប់ឆ្នាំ។

VI. ការណែនាំអំពីកិច្ចការផ្ទះ។

1. ទំ.៤.៣ - រៀនពីប្រភពនៃរូបមន្ត។
2. №№ 585, 623 .
3. តែង​បញ្ហា​ដែល​នឹង​ត្រូវ​បាន​ដោះស្រាយ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​សម្រាប់​ផលបូក​នៃ​លក្ខខណ្ឌ n ទីមួយ​នៃ​ដំណើរការ​នព្វន្ធ។

VII. សង្ខេបមេរៀន។

1. សន្លឹកពិន្ទុ

2. បន្តប្រយោគ

• ថ្ងៃនេះខ្ញុំរៀនក្នុងថ្នាក់...
• រៀនរូបមន្ត...
• ខ្ញុំ​គិតថា …

3. តើអ្នកអាចរកផលបូកនៃលេខពី 1 ដល់ 500 បានទេ? តើអ្នកនឹងប្រើវិធីអ្វីដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ?

គន្ថនិទ្ទេស។

1. ពិជគណិតថ្នាក់ទី 9 ។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។ អេដ។ G.V. ដូរ៉ូហ្វីវ៉ា។ទីក្រុងម៉ូស្គូ៖ ការត្រាស់ដឹង, ឆ្នាំ ២០០៩ ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងទាញយករូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធកំណត់ និងដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួនដោយប្រើរូបមន្តនេះ។

ប្រធានបទ៖ វឌ្ឍនភាព

មេរៀន៖ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធកំណត់

1 ។ សេចក្ដីណែនាំ

ពិចារណាបញ្ហា៖ រកផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ 100 រួមបញ្ចូល។

ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 ។

ស្វែងរក៖ S100=1+2+3 … +98+99+100។

ដំណោះស្រាយ៖ S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050។

ចម្លើយ៖ ៥០៥០។

លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិ 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 គឺ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ៖ a1=1, d=1 ។

យើងបានរកឃើញផលបូកនៃលេខធម្មជាតិមួយរយដំបូង ពោលគឺផលបូកនៃលេខទីមួយ សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ដំណោះស្រាយដែលបានពិចារណាត្រូវបានស្នើឡើងដោយគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យ Carl Friedrich Gauss ដែលរស់នៅក្នុងសតវត្សទី 19 ។ បញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយគាត់នៅអាយុ 5 ឆ្នាំ។

ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ៖ Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) - គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ មេកានិច រូបវិទ្យា និងតារាវិទូ។ ចាត់​ទុក​ថា​ជា​អ្នក​គណិត​វិទ្យា​ដ៏​អស្ចារ្យ​បំផុត​គ្រប់​សម័យ​កាល​គឺ "ស្តេច​គណិត​វិទូ"។ ម្ចាស់មេដាយ Copley (1838) សមាជិកបរទេសនៃស៊ុយអែត (1821) និងរុស្ស៊ី (1824) Academies of Sciences នៃ English Royal Society។ យោងទៅតាមរឿងព្រេង គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅសាលាមួយរូប ដើម្បីឱ្យក្មេងៗរវល់ក្នុងរយៈពេលយូរ បានផ្តល់យោបល់ឱ្យពួកគេគណនាផលបូកនៃលេខពី 1 ដល់ 100 ។ Young Gauss បានកត់សម្គាល់ឃើញថា ផលបូកជាគូពីផ្ទុយទៅទល់មុខគឺដូចគ្នា: 1+100 =101, 2+99=101, ល ហើយភ្លាមៗទទួលបានលទ្ធផល៖ 101x50=5050។

2. ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

ពិចារណាបញ្ហាស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធតាមអំពើចិត្ត។

ស្វែងរក៖ ផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ចូរ​យើង​បង្ហាញ​ថា​កន្សោម​ទាំង​អស់​នៅ​ក្នុង​តង្កៀប​គឺ​ស្មើ​គ្នា​នឹង​គ្នា ពោល​គឺ​ចំពោះ​កន្សោម។ អនុញ្ញាតឱ្យ d ជាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ បន្ទាប់មក៖

ដូច្នេះហើយ យើងអាចសរសេរ៖

តើយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយនៅឯណា៖

.

3. ការដោះស្រាយបញ្ហាលើការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ

1. ដោះស្រាយបញ្ហានៃផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ 100 ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិក n ទីមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ៖

ដំណោះស្រាយ៖ a1=1, d=1, n=100 ។

រូបមន្តទូទៅ៖

.

ក្នុងករណីរបស់យើង៖ .

ចម្លើយ៖ ៥០៥០។

រូបមន្តទូទៅ៖

. ចូរយើងស្វែងរកដោយរូបមន្តនៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធ៖ .

ក្នុងករណីរបស់យើង៖ .

ដើម្បីស្វែងរក ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក។

នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើរូបមន្តទូទៅ ជាដំបូង អនុវត្តរូបមន្តនេះដើម្បីស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

i.e. . មធ្យោបាយ។

ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញ។

ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ

ចូរយើងស្វែងរក។

4. ដេរីវេនៃរូបមន្តទីពីរសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ទីមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ

យើងទទួលបានរូបមន្តទីពីរសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ទីមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ ពោលគឺ៖ យើងបង្ហាញថា .

ភស្តុតាង៖

នៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួសកន្សោមសម្រាប់ ពោលគឺ . យើងទទួលបាន: , i.e. . Q.E.D.

ចូរយើងវិភាគរូបមន្តដែលទទួលបាន។ សម្រាប់ការគណនាតាមរូបមន្តទីមួយ អ្នកត្រូវដឹងពីពាក្យទីមួយ ពាក្យចុងក្រោយ និង n ដោយរូបមន្តទីពីរ - អ្នកត្រូវដឹងពីពាក្យដំបូង ភាពខុសគ្នា និង n ។

ជាចុងក្រោយ សូមចំណាំថា ក្នុងករណីណាក៏ដោយ Sn គឺជាមុខងារ quadratic នៃ n ពីព្រោះ .

5. ការដោះស្រាយបញ្ហាលើការអនុវត្តរូបមន្តទីពីរសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ទីមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ

រូបមន្តទូទៅ៖

.

ក្នុងករណីរបស់យើង: ។

ចម្លើយ៖ ៤០៣ ។

2. រកផលបូកនៃលេខពីរខ្ទង់ទាំងអស់ដែលជាផលគុណនៃ 4 ។

(12; 16; 20; ...; 96) - សំណុំនៃលេខដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

ដូច្នេះយើងមានការវិវត្តនព្វន្ធ។

n រកពីរូបមន្តសម្រាប់៖ ។

i.e. . មធ្យោបាយ។

ដោយប្រើរូបមន្តទីពីរសម្រាប់ផលបូកនៃ n ទីមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ

ចូរយើងស្វែងរក។

វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ពីថ្ងៃទី 10 ដល់ថ្ងៃទី 25 រួមបញ្ចូល។

វិធីមួយដើម្បីដោះស្រាយវាមានដូចខាងក្រោម៖

ជាលទ្ធផល, ។

6. សង្ខេបមេរៀន

ដូច្នេះ យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធកំណត់។ រូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន។

នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

1. Makarychev Yu. N. et al. ពិជគណិតថ្នាក់ទី 9 (សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់អនុវិទ្យាល័យ)-M.: Education, 1992 ។

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N.G., Neshkov, K. I. Algebra សម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 ជាមួយនឹងការស៊ីជម្រៅ។ សិក្សា គណិតវិទ្យា.-M.: Mnemozina, 2003 ។

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N.G. ជំពូកបន្ថែមចំពោះសៀវភៅសិក្សារបស់សាលានៃពិជគណិតថ្នាក់ទី 9.-M.: Education, 2002 ។

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8-9 (សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សនៃសាលា និងថ្នាក់ដែលមានការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃគណិតវិទ្យា) - M.: Education, 1996 ។

5. Mordkovich A.G. ពិជគណិតថ្នាក់ទី៩ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់គ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ។ - M. : Mnemosyne, 2002 ។

6. Mordkovich A.G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra ថ្នាក់ទី 9 សៀវភៅបញ្ហាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។ - M. : Mnemosyne, 2002 ។

7. Glazer G. I. ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលា។ ថ្នាក់ទី 7-8 (មគ្គុទ្ទេសក៍សម្រាប់គ្រូបង្រៀន) - អិមៈការត្រាស់ដឹង, 1983 ។

1. ផ្នែកមហាវិទ្យាល័យ។ ru ក្នុងគណិតវិទ្យា។

2. វិបផតថលនៃវិទ្យាសាស្រ្តធម្មជាតិ។

3. អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ru គេហទំព័រគណិតវិទ្យាអប់រំ។

1. លេខ 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. et al. ពិជគណិតថ្នាក់ទី 9)។

2. លេខ 12.96 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8-9) ។