នៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា សិស្សានុសិស្ស និងសិស្សសាលាតែងតែជួបប្រទះនូវភារកិច្ចសម្រាប់បរិមាណវ៉ិចទ័រ និងសម្រាប់ប្រតិបត្តិការផ្សេងៗលើពួកគេ។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាងបរិមាណវ៉ិចទ័រ និងបរិមាណមាត្រដ្ឋានដែលធ្លាប់ស្គាល់យើង ដែលជាលក្ខណៈតែមួយគត់នៃតម្លៃជាលេខ? ដោយសារតែពួកគេមានទិសដៅ។

ការប្រើប្រាស់បរិមាណវ៉ិចទ័រត្រូវបានពន្យល់យ៉ាងច្បាស់បំផុតនៅក្នុងរូបវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតគឺ កម្លាំង (កម្លាំងកកិត កម្លាំងយឺត ទម្ងន់) ល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿន ដោយបន្ថែមពីលើតម្លៃលេខ ពួកគេក៏មានទិសដៅនៃសកម្មភាពផងដែរ។ សម្រាប់ការប្រៀបធៀប ចូរយើងយក ឧទាហរណ៍មាត្រដ្ឋាន៖ នេះអាចជាចំងាយរវាងចំនុចពីរ ឬម៉ាសនៃរាងកាយ។ ហេតុអ្វីចាំបាច់ធ្វើប្រតិបត្តិការលើបរិមាណវ៉ិចទ័រ ដូចជាការបូក ឬដក? នេះគឺចាំបាច់ដើម្បីអាចកំណត់លទ្ធផលនៃសកម្មភាពនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលមានធាតុ 2 ឬច្រើន។

និយមន័យនៃគណិតវិទ្យាវ៉ិចទ័រ

ចូរយើងណែនាំនិយមន័យសំខាន់ៗដែលប្រើនៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរ។

1. វ៉ិចទ័រគឺជាផ្នែកដែលដឹកនាំ (មានចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់) ។
2. ប្រវែង (ម៉ូឌុល) គឺជាប្រវែងនៃផ្នែកដែលដឹកនាំ។
3. វ៉ិចទ័រ Collinear គឺ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ពីរ​ដែល​ស្រប​នឹង​បន្ទាត់​ដូចគ្នា ឬ​ស្ថិត​នៅ​លើ​វា​ដំណាល​គ្នា។
4. វ៉ិចទ័រដែលដឹកនាំផ្ទុយត្រូវបានគេហៅថា collinear ហើយក្នុងពេលតែមួយដឹកនាំក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នា។ ប្រសិនបើទិសដៅរបស់ពួកគេស្របគ្នានោះ ពួកគេគឺជាទិសដៅរួមគ្នា។
5. វ៉ិចទ័រ​គឺ​ស្មើ​គ្នា​នៅ​ពេល​ដែល​ពួក​វា​មាន​ទិស​ codirectional និង​មាន​តម្លៃ​ដាច់ខាត​ដូច​គ្នា។
6. ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រពីរ កនិង ខគឺជាវ៉ិចទ័របែបនេះ គការចាប់ផ្តើមដែលស្របគ្នានឹងការចាប់ផ្តើមនៃទីមួយនិងចុងបញ្ចប់ - ជាមួយនឹងចុងបញ្ចប់នៃទីពីរបានផ្តល់ថា ខចាប់ផ្តើមនៅចំណុចដូចគ្នាដែលវាបញ្ចប់ ក.
7. ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ កនិង ខហៅទៅចំនួនទឹកប្រាក់ កនិង ( - ខ ), កន្លែងណា ( - ខ ) - ទល់មុខនឹងវ៉ិចទ័រ ខ. ដូចគ្នានេះផងដែរនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដូចខាងក្រោម: ដោយភាពខុសគ្នា គវ៉ិចទ័រគូ កនិង ខហៅទៅនេះ។ គដែលនៅពេលបន្ថែមទៅផ្នែករង ខបង្កើតជាការកាត់បន្ថយ ក.

វិធីសាស្រ្តវិភាគ

វិធីសាស្រ្តវិភាគពាក់ព័ន្ធនឹងការទទួលបានកូអរដោនេនៃភាពខុសគ្នាយោងទៅតាមរូបមន្តដោយគ្មានការសាងសង់។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តការគណនាសម្រាប់ផ្ទះល្វែងមួយ (ពីរវិមាត្រ) បរិមាណ (បីវិមាត្រ) ឬលំហ n វិមាត្រ។

សម្រាប់ទំហំពីរវិមាត្រ និង បរិមាណវ៉ិចទ័រ ក {a₁;a₂) និង ខ {b₁;b₂} ការគណនានឹងមើលទៅដូចនេះ៖ គ {គ₁; គ₂} = {a₁ – b₁; a₂–b₂}.

នៅក្នុងករណីនៃការបន្ថែមកូអរដោនេទីបីការគណនានឹងត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបស្រដៀងគ្នានិងសម្រាប់ ក {a₁;a₂; ក₃) និង ខ {b₁;b₂; b₃) កូអរដោនេនៃភាពខុសគ្នាក៏នឹងត្រូវបានទទួលដោយការដកជាគូ៖ គ {គ₁; c₂; គ₃} = {a₁ – b₁; a₂–b₂; a₃–b₃}.

ការគណនាភាពខុសគ្នាតាមក្រាហ្វិក

ដើម្បី​កំណត់​ភាព​ខុស​គ្នា​ជា​ក្រាហ្វិក អ្នក​គួរ​ប្រើ​ក្បួន​ត្រីកោណ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន អ្នកត្រូវតែអនុវត្តសកម្មភាពដូចខាងក្រោមៈ

1. សម្រាប់កូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ បង្កើតវ៉ិចទ័រដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកភាពខុសគ្នា។
2. ផ្សំចុងបញ្ចប់របស់ពួកគេ (ឧទាហរណ៍ បង្កើតផ្នែកដែលដឹកនាំពីរស្មើនឹងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលនឹងបញ្ចប់នៅចំណុចដូចគ្នា)។
3. ភ្ជាប់ការចាប់ផ្តើមនៃផ្នែកដឹកនាំទាំងពីរ និងចង្អុលបង្ហាញទិសដៅ; លទ្ធផលនឹងចាប់ផ្តើមនៅចំណុចដូចគ្នាដែលវ៉ិចទ័រត្រូវបានដកចេញ និងបញ្ចប់នៅចំនុចចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានដក។

លទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការដកត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម។.

វាក៏មានវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការសាងសង់ភាពខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចពីវិធីមុន។ ខ្លឹមសាររបស់វាស្ថិតនៅក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទលើភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ ដែលត្រូវបានរៀបចំដូចខាងក្រោម៖ ដើម្បីស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃផ្នែកដឹកនាំមួយគូ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃទីមួយនៃពួកវាជាមួយនឹងផ្នែកទល់មុខ។ ទៅទីពីរ។ ក្បួនដោះស្រាយសំណង់នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

1. បង្កើតផ្នែកដែលដឹកនាំដំបូង។
2. មួយ​ដែល​ជា subtrahend ត្រូវ​តែ​ត្រូវ​បាន​ឆ្លុះ​បញ្ចាំង, i.e., សាងសង់​ផ្នែក​ដែល​មាន​ទិសដៅ​ផ្ទុយ​និង​ស្មើ; បន្ទាប់មកផ្សំការចាប់ផ្តើមរបស់វាជាមួយនឹងការកាត់បន្ថយ។
3. បង្កើតផលបូក៖ ភ្ជាប់ការចាប់ផ្តើមនៃផ្នែកទីមួយជាមួយនឹងចុងបញ្ចប់នៃទីពីរ។

លទ្ធផលនៃការសម្រេចចិត្តនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប៖

ដោះស្រាយបញ្ហា

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមជំនាញ យើងនឹងវិភាគកិច្ចការជាច្រើនដែលវាតម្រូវឱ្យគណនាភាពខុសគ្នាដោយវិភាគ ឬក្រាហ្វិក។

កិច្ចការទី 1. មាន 4 ពិន្ទុនៅលើយន្តហោះ: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2) ។ កំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ q = AB - CD ហើយគណនាប្រវែងរបស់វាផងដែរ។

ដំណោះស្រាយ. ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកកូអរដោនេ ABនិង ស៊ីឌី. ដើម្បីធ្វើដូចនេះដកកូអរដោណេនៃចំណុចដំបូងចេញពីកូអរដោនេនៃចំណុចបញ្ចប់។ សម្រាប់ ABការចាប់ផ្តើមគឺ ក(1; -3) និងចុងបញ្ចប់ - ខ(០; ៤) ។ គណនាកូអរដោនេនៃផ្នែកដែលដឹកនាំ៖

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

ការគណនាស្រដៀងគ្នាត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ ស៊ីឌី:

ស៊ីឌី {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

ឥឡូវនេះដោយដឹងពីកូអរដោនេ អ្នកអាចរកឃើញភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ។ រូបមន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយវិភាគនៃបញ្ហាយន្តហោះត្រូវបានគេពិចារណាមុននេះ៖ សម្រាប់ គ = ក- ខកូអរដោនេមើលទៅដូច ( គ₁; គ₂} = {a₁ – b₁; a₂–b₂) សម្រាប់ករណីជាក់លាក់មួយ អ្នកអាចសរសេរ៖

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

ដើម្បីស្វែងរកប្រវែង q, យើងប្រើរូបមន្ត | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9.06 ។

កិច្ចការទី 2. តួលេខបង្ហាញពីវ៉ិចទ័រ m, n និង p ។

វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតភាពខុសគ្នាសម្រាប់ពួកគេ: ទំ- ន; ម- ន; ម-n- ទំ។ ស្វែងយល់ថាតើមួយណាមានម៉ូឌុលតូចជាងគេ។

ដំណោះស្រាយ. ភារកិច្ចតម្រូវឱ្យមានសំណង់បី។ សូមក្រឡេកមើលផ្នែកនីមួយៗនៃភារកិច្ចឱ្យកាន់តែលម្អិត។

ផ្នែកទី 1 ។ដើម្បីពណ៌នា ទំ-n,ចូរយើងប្រើច្បាប់ត្រីកោណ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដោយប្រើការបកប្រែស្របគ្នា យើងភ្ជាប់ផ្នែកដើម្បីឱ្យចំណុចបញ្ចប់របស់វាស្របគ្នា។ ឥឡូវនេះសូមភ្ជាប់ចំណុចចាប់ផ្តើមនិងកំណត់ទិសដៅ។ ក្នុងករណីរបស់យើង វ៉ិចទ័រភាពខុសគ្នាចាប់ផ្តើមនៅកន្លែងតែមួយជាមួយដកមួយ។ ន.

ផ្នែកទី 2 ។ចូរយើងបង្ហាញ m-n. ឥឡូវនេះសម្រាប់ដំណោះស្រាយយើងប្រើទ្រឹស្តីបទលើភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបង្កើតវ៉ិចទ័រទល់មុខ nហើយបន្ទាប់មករកផលបូករបស់វាជាមួយ មលទ្ធផលនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ផ្នែកទី 3ដើម្បីស្វែងរកភាពខុសគ្នា m-n-p,បំបែកកន្សោមជាពីរជំហាន។ ដោយសារច្បាប់ស្រដៀងនឹងច្បាប់នព្វន្ធអនុវត្តក្នុងពិជគណិតវ៉ិចទ័រ ជម្រើសខាងក្រោមគឺអាចធ្វើទៅបាន៖

• m-(n+p)៖ ក្នុងករណីនេះ ផលបូកត្រូវបានបង្កើតជាមុនសិន n + ទំដែលត្រូវបានដកចេញពី ម;
• (m-n) - ទំ៖ ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក m-nហើយបន្ទាប់មកដកពីភាពខុសគ្នានេះ។ ទំ;
• (m-p)-n៖ សកម្មភាពទីមួយត្រូវបានកំណត់ m-pបន្ទាប់ពីនោះពីលទ្ធផលអ្នកត្រូវដក ន.

ចាប់តាំងពីនៅក្នុងផ្នែកមុននៃបញ្ហាយើងបានរកឃើញភាពខុសគ្នារួចហើយ m-nយើងអាចដកបានតែពីវា។ ទំ. ចូរយើងបង្កើតភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរដោយប្រើទ្រឹស្តីបទភាពខុសគ្នា។ ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោម (ពណ៌ក្រហមបង្ហាញពីលទ្ធផលកម្រិតមធ្យម ហើយពណ៌បៃតងបង្ហាញពីលទ្ធផលចុងក្រោយ)។

វានៅសល់ដើម្បីកំណត់ថាតើផ្នែកណាដែលមានម៉ូឌុលតូចជាងគេ។ សូមចាំថា គោលគំនិតនៃប្រវែង និងម៉ូឌុលក្នុងគណិតវិទ្យាវ៉ិចទ័រគឺដូចគ្នាបេះបិទ។ ប៉ាន់ស្មានប្រវែងដោយមើលឃើញ ទំ- ន, ម-nនិង ម-n- ទំ. ជាក់ស្តែង ចម្លើយនៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយនៃបញ្ហាគឺខ្លីបំផុត និងមានម៉ូឌុលតូចបំផុតគឺ ម-n- ទំ.

ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ។ មិត្តជាទីរាប់អាន មានក្រុមកិច្ចការដែលមានវ៉ិចទ័រក្នុងប្រភេទនៃការប្រឡងខាងក្រោយ។ ភារកិច្ចនៃជួរធំទូលាយដោយស្មើភាព (វាជាការសំខាន់ដើម្បីដឹងពីមូលដ្ឋានគ្រឹះទ្រឹស្តី) ។ ភាគច្រើនត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្ទាល់មាត់។ សំណួរទាក់ទងនឹងការស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ ផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃវ៉ិចទ័រ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។ វាក៏មានភារកិច្ចជាច្រើនផងដែរនៅក្នុងដំណោះស្រាយដែលវាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តសកម្មភាពជាមួយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ។

ទ្រឹស្ដីនៅពីក្រោយវ៉ិចទ័រគឺសាមញ្ញ ហើយគួរយល់ឱ្យបានច្បាស់។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងវិភាគកិច្ចការដែលទាក់ទងនឹងការស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ ក៏ដូចជាផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃវ៉ិចទ័រ។ ចំណុចទ្រឹស្តីមួយចំនួន៖

គំនិតវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រគឺជាផ្នែកបន្ទាត់ដែលដឹកនាំ។

វ៉ិចទ័រទាំងអស់ដែលមានទិសដូចគ្នា និងមានប្រវែងស្មើគ្នា។

* វ៉ិចទ័រទាំងបួនខាងលើគឺស្មើគ្នា!

នោះគឺប្រសិនបើយើងប្រើការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលដើម្បីផ្លាស់ទីវ៉ិចទ័រដែលផ្តល់ឱ្យយើងនោះយើងនឹងតែងតែទទួលបានវ៉ិចទ័រស្មើនឹងមួយដើម។ ដូច្នេះ វា​អាច​មាន​ចំនួន​មិន​កំណត់​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ស្មើគ្នា។

ការសម្គាល់វ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំងឧទាហរណ៍៖

ជាមួយនឹងទម្រង់នៃការសម្គាល់នេះ អក្សរដែលបង្ហាញពីការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានសរសេរដំបូង បន្ទាប់មកអក្សរដែលបង្ហាញពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ។

វ៉ិចទ័រមួយទៀតត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរមួយនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង (រាជធានី)៖

ការកំណត់ដោយគ្មានព្រួញក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ៖

ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រពីរ AB និង BC នឹងជាវ៉ិចទ័រ AC ។

វាត្រូវបានសរសេរជា AB + BC \u003d AC ។

ច្បាប់នេះត្រូវបានគេហៅថា - ច្បាប់ត្រីកោណ.

នោះគឺប្រសិនបើយើងមានវ៉ិចទ័រពីរ - ចូរហៅពួកវាតាមលក្ខខណ្ឌ (1) និង (2) ហើយចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ (1) ស្របគ្នានឹងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ (2) នោះផលបូកនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះនឹងជា វ៉ិចទ័រដែលការចាប់ផ្តើមស្របគ្នានឹងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ (1) ហើយចុងបញ្ចប់ត្រូវគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ (2) ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ប្រសិនបើយើងមានវ៉ិចទ័រពីរនៅលើយន្តហោះ យើងតែងតែអាចរកផលបូករបស់វា។ ដោយប្រើការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល អ្នកអាចផ្លាស់ទីវ៉ិចទ័រណាមួយទាំងនេះ ហើយភ្ជាប់ការចាប់ផ្តើមរបស់វាទៅចុងបញ្ចប់នៃមួយទៀត។ ឧទាហរណ៍:

តោះផ្លាស់ទីវ៉ិចទ័រ ខឬតាមរបៀបផ្សេងទៀត - យើងនឹងសាងសង់ស្មើនឹងវា៖

តើផលបូកនៃវ៉ិចទ័រជាច្រើនត្រូវបានរកឃើញដោយរបៀបណា? តាមគោលការណ៍ដូចគ្នា៖

* * *

ក្បួនតម្រៀប

ច្បាប់​នេះ​គឺ​ជា​លទ្ធផល​នៃ​ការ​ខាង​លើ។

សម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលមានប្រភពដើមរួម ផលបូករបស់ពួកវាត្រូវបានតំណាងដោយអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

ចូរយើងសង់វ៉ិចទ័រស្មើនឹងវ៉ិចទ័រ ខដូច្នេះការចាប់ផ្តើមរបស់វាស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ កហើយយើងអាចបង្កើតវ៉ិចទ័រដែលនឹងជាផលបូករបស់ពួកគេ៖

ព័ត៌មានសំខាន់ៗមួយចំនួនទៀតដែលត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។

វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ប្រវែង​ស្មើ​នឹង​អក្សរ​ដើម ប៉ុន្តែ​មាន​ទិស​ផ្ទុយ​ក៏​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដែរ ប៉ុន្តែ​មាន​សញ្ញា​ផ្ទុយ​គ្នា៖

ព័ត៌មាននេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលមានសំណួរនៃការស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រគឺជាផលបូកដូចគ្នានៅក្នុងទម្រង់ដែលបានកែប្រែ។

សូមឱ្យវ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ស្វែងរកភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេ៖

យើងបង្កើតវ៉ិចទ័រទល់មុខវ៉ិចទ័រ ខ ហើយរកឃើញភាពខុសគ្នា។

កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ

ដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេវ៉ិចទ័រ អ្នកត្រូវដកកូអរដោណេចាប់ផ្តើមដែលត្រូវគ្នាចេញពីកូអរដោនេចុង៖

នោះគឺកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រគឺជាលេខគូ។

ប្រសិនបើ ក

ហើយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រមើលទៅដូចនេះ៖

បន្ទាប់មក c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

ប្រសិនបើ ក

បន្ទាប់មក c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ

ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រគឺជាប្រវែងរបស់វា ដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

រូបមន្ត​សម្រាប់​កំណត់​ប្រវែង​វ៉ិចទ័រ ប្រសិនបើ​កូអរដោនេ​នៃ​ការ​ចាប់​ផ្តើម​និង​ចុង​របស់​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹង​ថា ៖

ពិចារណាលើកិច្ចការ៖

ជ្រុងទាំងពីរនៃចតុកោណកែង ABCD គឺ 6 និង 8 ។ អង្កត់ទ្រូងប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O. ស្វែងរកប្រវែងនៃភាពខុសគ្នារវាងវ៉ិចទ័រ AO និង BO ។

ចូរយើងស្វែងរកវ៉ិចទ័រដែលនឹងជាលទ្ធផលនៃ AO - VO៖

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

នោះគឺភាពខុសគ្នារវាងវ៉ិចទ័រ AO និង VO នឹងក្លាយជាវ៉ិចទ័រ AB ហើយប្រវែងរបស់វាគឺប្រាំបី។

អង្កត់ទ្រូង Rhombus ABCDគឺ 12 និង 16. រកប្រវែងវ៉ិចទ័រ AB + AD ។

ចូររកវ៉ិចទ័រដែលនឹងជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ AD ហើយ AB BC គឺស្មើនឹងវ៉ិចទ័រ AD ។ ដូច្នេះ AB+AD=AB+BC=AC

AC គឺជាប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងនៃ rhombus AC, វាស្មើនឹង 16 ។

អង្កត់ទ្រូងនៃ rhombus ABCD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ អូនិងស្មើនឹង 12 និង 16។ រកប្រវែងវ៉ិចទ័រ AO + BO ។

ចូររកវ៉ិចទ័រដែលនឹងជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ AO និង BO BO ស្មើនឹងវ៉ិចទ័រ OD,

AD គឺជាប្រវែងនៃផ្នែកម្ខាងនៃ rhombus ។ បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការស្វែងរកអ៊ីប៉ូតេនុសក្នុងត្រីកោណកែង AOD ។ តោះគណនាជើង៖

យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ៖

អង្កត់ទ្រូងនៃ rhombus ABCD ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O និងស្មើ 12 និង 16។ រកប្រវែងវ៉ិចទ័រ AO –BO ។

ចូរយើងស្វែងរកវ៉ិចទ័រដែលនឹងជាលទ្ធផលនៃ AO - VO៖

AB គឺជាប្រវែងនៃផ្នែកម្ខាងនៃ rhombus ។ បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការស្វែងរកអ៊ីប៉ូតេនុស AB នៅក្នុងត្រីកោណកែង AOB ។ គណនាជើង៖

យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ៖

ជ្រុងនៃត្រីកោណធម្មតា ABC គឺ 3 ។

រកប្រវែងវ៉ិចទ័រ AB -AC ។

ចូរយើងស្វែងរកលទ្ធផលនៃភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ៖

CB ស្មើ​នឹង​បី​ព្រោះ​លក្ខខណ្ឌ​ចែង​ថា​ត្រីកោណ​ស្មើ​និង​ជ្រុង​វា​ស្មើ​នឹង​៣។

27663. រកប្រវែងវ៉ិចទ័រ a (6; 8) ។

27664. រកការ៉េនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ AB ។

បរិមាណគណិតវិទ្យា ឬរូបវិទ្យាអាចត្រូវបានតំណាងជាបរិមាណមាត្រដ្ឋាន (តម្លៃលេខ) ឬបរិមាណវ៉ិចទ័រ (ទំហំ និងទិសដៅក្នុងលំហ)។

វ៉ិចទ័រ​គឺជា​ផ្នែក​បន្ទាត់​ដែល​តម្រង់​ទិស ដែល​វា​ត្រូវ​បាន​ចង្អុល​បង្ហាញ​ថា​ចំណុច​ព្រំដែន​មួយ​ណា​ជា​ចំណុច​ចាប់ផ្តើម និង​មួយ​ណា​ជា​ចុង។ ដូច្នេះមានសមាសធាតុពីរនៅក្នុងវ៉ិចទ័រ - នេះគឺជាប្រវែងនិងទិសដៅរបស់វា។

រូបភាពនៃវ៉ិចទ័រនៅលើគំនូរ។

នៅពេលធ្វើការជាមួយវ៉ិចទ័រ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ជាក់លាក់មួយត្រូវបានណែនាំជាញឹកញាប់ ដែលកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ដោយការបំបែកវាទៅជាវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន៖

សម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលស្ថិតនៅក្នុងលំហកូអរដោនេ (x,y,z) ហើយទុកប្រភពដើម

ចម្ងាយរវាងការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាប្រវែងរបស់វា ហើយនិមិត្តសញ្ញាម៉ូឌុលត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ (តម្លៃដាច់ខាតរបស់វា)។

វ៉ិចទ័រដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា ឬនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានគេហៅថា collinear ។ វ៉ិចទ័រ​ទទេ​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ជាប់​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ណាមួយ។ ក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័ររួម វ៉ិចទ័រដែលដឹកនាំស្មើៗគ្នា (សហដឹកនាំ) និងវ៉ិចទ័រដែលដឹកនាំផ្ទុយត្រូវបានសម្គាល់។ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា coplanar ប្រសិនបើពួកវាស្ថិតនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា ឬនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងយន្តហោះដូចគ្នា។

1. ប្រវែងវ៉ិចទ័រ (ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ)

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រកំណត់តម្លៃមាត្រដ្ឋានរបស់វា ហើយអាស្រ័យលើកូអរដោនេរបស់វា ប៉ុន្តែមិនអាស្រ័យលើទិសដៅរបស់វាទេ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ (ឬម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ) ត្រូវបានគណនាដោយប្រើឫសការ៉េនព្វន្ធនៃផលបូកនៃការ៉េនៃកូអរដោណេ (សមាសធាតុ) នៃវ៉ិចទ័រ (ក្បួនសម្រាប់គណនាអ៊ីប៉ូតេនុសក្នុងត្រីកោណកែងមួយត្រូវបានប្រើ ដែល វ៉ិចទ័រខ្លួនវាក្លាយជាអ៊ីប៉ូតេនុស) ។

តាមរយៈកូអរដោណេ ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

សម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះកូអរដោណេ (x,y) ហើយចេញពីប្រភពដើម

សម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលមានទីតាំងនៅក្នុងលំហសំរបសំរួល (x, y, z) ហើយចេញមកពីប្រភពដើម រូបមន្តនឹងស្រដៀងនឹងរូបមន្តសម្រាប់អង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណប៉ារ៉ាឡែលភីប ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រក្នុងលំហមានទីតាំងដូចគ្នាទាក់ទងទៅនឹងកូអរដោណេ។ អ័ក្ស។

2. មុំរវាងវ៉ិចទ័រ

មុំរវាងវ៉ិចទ័រពីរដែលគ្រោងពីចំណុចមួយគឺជាមុំខ្លីបំផុតដែលវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបង្វិលជុំវិញដើមរបស់វាទៅទីតាំងនៃវ៉ិចទ័រទីពីរ។ មុំរវាងវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើកន្សោមដើម្បីកំណត់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ

ដូច្នេះកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានទៅនឹងផលិតផលនៃប្រវែងឬម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ។ រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានប្រើប្រសិនបើប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ និងផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេត្រូវបានគេស្គាល់ ឬវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណនៅលើយន្តហោះ ឬក្នុងលំហក្នុងទម្រង់៖ និង។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ A និង B ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ ហើយកូអរដោនេនៃពួកវានីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់៖ ហើយ មុំរវាងវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោមខាងក្រោម៖

គួរកត់សំគាល់ថាមុំរវាងវ៉ិចទ័រ និងក៏អាចត្រូវបានកំណត់ដោយការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសសម្រាប់ត្រីកោណមួយ៖ ការេនៃជ្រុងណាមួយនៃត្រីកោណគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃភាគីទាំងពីរទៀត ដកពីរដងនៃផលគុណនៃ ជ្រុងទាំងនេះដោយកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

ដែល AB, OA, OB គឺជាផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃត្រីកោណ។

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសសម្រាប់ត្រីកោណ

ទាក់ទងនឹងការគណនាវ៉ិចទ័រ រូបមន្តនេះនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

ដូច្នេះមុំរវាងវ៉ិចទ័រ និងត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោមខាងក្រោម៖

កន្លែងណា និងជាម៉ូឌុល (ប្រវែង) នៃវ៉ិចទ័រ ហើយជាម៉ូឌុល (ប្រវែង) នៃវ៉ិចទ័រ ដែលត្រូវបានកំណត់ពីភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរ។ ការមិនស្គាល់ដែលចូលទៅក្នុងសមីការត្រូវបានកំណត់ដោយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ និង .

3. ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ និង (ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រពីរ) គឺជាប្រតិបត្តិការនៃការគណនាវ៉ិចទ័រ ដែលធាតុទាំងអស់ស្មើនឹងផលបូកគូនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រ និង . ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ

ក្រាហ្វិកជាមួយ ទីតាំងនៃវ៉ិចទ័រឥតគិតថ្លៃពីរអាច​អនុវត្ត​បាន​ទាំង​ពីរ​តាម​ច្បាប់​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ និង​តាម​ក្បួន​ប្រលេឡូក្រាម។

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័ររអិលពីរត្រូវបានកំណត់តែក្នុងករណីដែលបន្ទាត់ដែលពួកគេស្ថិតនៅប្រសព្វគ្នា។ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រថេរពីរត្រូវបានកំណត់លុះត្រាតែពួកគេមានប្រភពដើមរួម។

ច្បាប់ត្រីកោណ.

ដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ ហើយយោងទៅតាមច្បាប់ត្រីកោណ វ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះត្រូវបានផ្ទេរស្របទៅនឹងខ្លួនគេ ដូច្នេះការចាប់ផ្តើមនៃពួកវាមួយស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រផលបូកត្រូវបានផ្តល់ដោយផ្នែកទីបីនៃត្រីកោណដែលបានបង្កើតឡើង ហើយការចាប់ផ្តើមរបស់វាស្របគ្នានឹងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រទីមួយ ហើយចុងបញ្ចប់ជាមួយនឹងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីពីរ។

តើមុំរវាងវ៉ិចទ័រនៅឯណា នៅពេលដែលការចាប់ផ្តើមនៃមួយស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃផ្សេងទៀត។

ក្បួនតម្រៀប.

ដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ ហើយយោងទៅតាមច្បាប់ប៉ារ៉ាឡែល វ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះត្រូវបានផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលទៅខ្លួនគេ ដើម្បីឱ្យការចាប់ផ្តើមរបស់វាស្របគ្នា។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រផលបូកត្រូវបានផ្តល់ដោយអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានសាងសង់នៅលើពួកវាដែលមកពីប្រភពដើមទូទៅរបស់ពួកគេ។

ម៉ូឌុល (ប្រវែង) នៃវ៉ិចទ័រផលបូកត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស៖

តើមុំរវាងវ៉ិចទ័រចេញពីចំណុចដូចគ្នានៅឯណា។

ចំណាំ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ អាស្រ័យលើមុំមួយណាដែលត្រូវជ្រើសរើស សញ្ញានៅពីមុខកូស៊ីនុសនៃមុំផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់កំណត់ម៉ូឌុល (ប្រវែង) នៃវ៉ិចទ័រផលបូក។

4. ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ

ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ និង (ការដកវ៉ិចទ័រ) គឺជាប្រតិបត្តិការនៃការគណនាវ៉ិចទ័រ ដែលធាតុទាំងអស់ស្មើនឹងភាពខុសគ្នាជាគូនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រ និង . ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រហើយអាចរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖

ក្នុងទម្រង់ក្រាហ្វិក ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ និងជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រទល់មុខនឹងវ៉ិចទ័រ ពោលគឺឧ។

ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រឥតគិតថ្លៃពីរ

ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រឥតគិតថ្លៃពីរក្នុងទម្រង់ក្រាហ្វិកអាចត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់ត្រីកោណ និងដោយក្បួនប្រលេឡូក្រាម។ ម៉ូឌុល (ប្រវែង) នៃវ៉ិចទ័រខុសគ្នាត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស។ អាស្រ័យលើមុំដែលបានប្រើក្នុងរូបមន្ត សញ្ញានៅពីមុខកូស៊ីនុសផ្លាស់ប្តូរ (ពិភាក្សាមុន)។

5. ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរគឺជាចំនួនពិតស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រគុណ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ និងត្រូវបានតំណាងដោយសញ្ញាណមួយក្នុងចំណោមសញ្ញាណខាងក្រោម ឬ និងត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

តើប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ និងរៀងៗខ្លួន និងជាកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រ។

ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រពីរ

ផលិតផលមាត្រដ្ឋានក៏អាចត្រូវបានគណនាតាមរយៈកូអរដោណេវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណក្នុងយន្តហោះ ឬក្នុងលំហ។

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរនៅលើយន្តហោះមួយ ឬក្នុងលំហបីវិមាត្រក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ គឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រ និង .

ដូច្នេះសម្រាប់វ៉ិចទ័រ និងនៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណ រូបមន្តសម្រាប់គណនាផលិតផលមាត្រដ្ឋានមានដូចខាងក្រោម៖

សម្រាប់​លំហ​បី​វិមាត្រ រូបមន្ត​សម្រាប់​គណនា​ផលិតផល​មាត្រដ្ឋាន​នៃ​វ៉ិចទ័រ ហើយ​មាន​ទម្រង់​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។

1. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន

2. ទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន

3. Associative property of the scalar product (សមាគម)

ឯណាជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។

គួរកត់សំគាល់ថាក្នុងករណី៖

ប្រសិនបើផលិតផលចំនុចវិជ្ជមាន នោះមុំរវាងវ៉ិចទ័រគឺស្រួច (តិចជាង 90 ដឺក្រេ);

ប្រសិនបើផលិតផលចំនុចអវិជ្ជមាន នោះមុំរវាងវ៉ិចទ័រគឺ obtuse (ធំជាង 90 ដឺក្រេ);

ប្រសិនបើផលិតផលចំនុចគឺ 0 នោះវ៉ិចទ័រគឺរាងពងក្រពើ (ដែលកាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក);

ប្រសិនបើផលិតផលមាត្រដ្ឋានស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ នោះវ៉ិចទ័រទាំងនេះជាប់គ្នា (ប៉ារ៉ាឡែល)។

6. ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺជាវ៉ិចទ័រដែលលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖

1. វ៉ិចទ័រ​គឺ​កាត់​កែង (កាត់​កែង) ទៅ​នឹង​ប្លង់​នៃ​វ៉ិចទ័រ និង ;

បរិមាណរូបវន្តជាច្រើនត្រូវបានកំណត់ដោយការចាត់តាំងនៃចំនួនមួយចំនួន។ ទាំងនេះជាឧទាហរណ៍ បរិមាណ ម៉ាស ដង់ស៊ីតេ សីតុណ្ហភាពរាងកាយ។ល។ បរិមាណបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា មាត្រដ្ឋាន។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ លេខជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា មាត្រដ្ឋាន។ ប៉ុន្តែក៏មានបរិមាណបែបនេះដែលត្រូវបានកំណត់ដោយការកំណត់មិនត្រឹមតែលេខប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏មានទិសដៅជាក់លាក់ផងដែរ។ ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលដែលរាងកាយធ្វើចលនា មនុស្សម្នាក់គួរតែបង្ហាញមិនត្រឹមតែល្បឿនដែលរាងកាយផ្លាស់ទីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងទិសដៅនៃចលនាផងដែរ។ ដូចគ្នាដែរ នៅពេលសិក្សាពីសកម្មភាពនៃកម្លាំងណាមួយ ចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញមិនត្រឹមតែតម្លៃនៃកម្លាំងនេះប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏ជាទិសដៅនៃសកម្មភាពរបស់វាផងដែរ។ បរិមាណបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រ។ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីពួកវា គំនិតនៃវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានណែនាំ ដែលវាមានប្រយោជន៍សម្រាប់គណិតវិទ្យា។

និយមន័យវ៉ិចទ័រ

រាល់គូដែលបានបញ្ជាទិញពីចំណុច A ទៅ B ក្នុងលំហកំណត់ ផ្នែកដឹកនាំ, i.e. ផ្នែករួមជាមួយនឹងទិសដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើវា។ ប្រសិនបើចំនុច A ជាទីមួយ នោះគេហៅថាការចាប់ផ្តើមនៃផ្នែកដែលដឹកនាំ ហើយចំនុច B ត្រូវបានគេហៅថាចុងបញ្ចប់របស់វា។ ទិសដៅនៃផ្នែកគឺជាទិសដៅពីដើមដល់ចប់។

និយមន័យ
ផ្នែកដឹកនាំត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ។

យើងនឹងសម្គាល់វ៉ិចទ័រដោយនិមិត្តសញ្ញា \(\overrightarrow(AB) \) ដែលអក្សរទីមួយមានន័យថាការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ ហើយទីពីរ - ចុងបញ្ចប់របស់វា។

វ៉ិចទ័រ​ដែល​ដើម​និង​ចុង​គឺ​ដូច​គ្នា​ត្រូវ​បាន​ហៅ សូន្យហើយត្រូវបានតាងដោយ \(\vec(0) \) ឬគ្រាន់តែ 0។

ចម្ងាយរវាងការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ប្រវែងនិងតំណាងដោយ \(|\overrightarrow(AB)|\) ឬ \(|\vec(a)| \) ។

វ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \) និង \(\vec(b) \) ត្រូវបានហៅ collinearប្រសិនបើពួកគេស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា ឬនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ វ៉ិចទ័រ Collinear អាចត្រូវបានដឹកនាំដូចគ្នា ឬផ្ទុយ។

ឥឡូវនេះយើងអាចបង្កើតគោលគំនិតសំខាន់នៃសមភាពនៃវ៉ិចទ័រពីរ។

និយមន័យ
វ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \) និង \(\vec(b) \) ត្រូវបានគេហៅថាស្មើគ្នា (\(\vec(a) = \vec(b) \))) ប្រសិនបើពួកវាជា collinear មានទិសដៅដូចគ្នា ហើយប្រវែងរបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា។

នៅលើរូបភព។ 1, វ៉ិចទ័រមិនស្មើគ្នាត្រូវបានបង្ហាញនៅខាងឆ្វេង ហើយវ៉ិចទ័រស្មើគ្នា \(\vec(a) \) និង \(\vec(b) \) ត្រូវបានបង្ហាញនៅខាងស្តាំ។ វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃសមភាពនៃវ៉ិចទ័រដែលថាប្រសិនបើវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានផ្លាស់ទីស្របទៅនឹងខ្លួនវានោះវ៉ិចទ័រស្មើនឹងវ៉ិចទ័រដែលផ្តល់ឱ្យនឹងត្រូវបានទទួល។ ក្នុងន័យនេះវ៉ិចទ័រនៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគត្រូវបានគេហៅថា ឥតគិតថ្លៃ។

ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រលើអ័ក្ស

អនុញ្ញាតឱ្យអ័ក្ស \(u\) និងវ៉ិចទ័រមួយចំនួន \(\overrightarrow(AB)\) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ។ ចូរគូរតាមចំនុច A និង B ក្នុងប្លង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស \(u \)។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់ដោយ A "និង B" ចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងនេះជាមួយនឹងអ័ក្ស (សូមមើលរូបភាពទី 2) ។

ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow (AB) \) ទៅលើអ័ក្ស \(u\) គឺជាតម្លៃ A"B" នៃផ្នែកដែលដឹកនាំ A"B" នៅលើអ័ក្ស \(u\) ។ ចងចាំរឿងនោះ។
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) ប្រសិនបើទិសដៅ \(\overrightarrow(A"B") \) គឺដូចគ្នាទៅនឹងទិសដៅនៃអ័ក្ស \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) ប្រសិនបើទិសនៃ \(\overrightarrow(A"B") \) ទល់មុខនឹងទិសនៃអ័ក្ស \(u \)
ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow(AB) \) ទៅលើអ័ក្ស \(u \) ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖ \(Pr_u \overrightarrow(AB) \) ។

ទ្រឹស្តីបទ
ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow(AB) \) ទៅលើអ័ក្ស \(u \) គឺស្មើនឹងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow(AB) \) ដងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រ \( \overrightarrow(AB) \) និងអ័ក្ស \( u \) , i.e.

\(P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) ដែល \(\varphi \) ជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow(AB) \) និងអ័ក្ស \(u \)

មតិយោបល់
អនុញ្ញាតឱ្យ \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) និងអ័ក្សមួយចំនួន \(u \) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ការអនុវត្តរូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទទៅនឹងវ៉ិចទ័រនីមួយៗ យើងទទួលបាន

\(Ex_u \overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) \) i.e. វ៉ិចទ័រស្មើគ្នាមានការព្យាករស្មើគ្នានៅលើអ័ក្សដូចគ្នា។

ការព្យាករណ៍វ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ Oxyz និងវ៉ិចទ័របំពាន \(\overrightarrow(AB) \) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ។ សូមបន្ត \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \\) ។ ការព្យាករ X, Y, Z នៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow(AB) \\) នៅលើអ័ក្សកូអរដោនេហៅវាថា កូអរដោនេ។នៅពេលជាមួយគ្នាពួកគេសរសេរ
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

ទ្រឹស្តីបទ
មិនថាពីរចំនុច A(x 1 ; y 1 ; z 1) និង B(x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) គឺជា កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow (AB) \) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម។ :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1

មតិយោបល់
ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ \\(\overrightarrow(AB) \\) ចាកចេញពីប្រភពដើម ឧ. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z បន្ទាប់មកកូអរដោនេ X, Y, Z នៃវ៉ិចទ័រ \(\overrightarrow(AB) \\) គឺស្មើនឹងកូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់របស់វា៖
X = x, Y = y, Z = z ។

កូស៊ីនុសទិសវ៉ិចទ័រ

អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័របំពាន \\(\vec(a) = (X; Y; Z) \\); យើងសន្មត់ថា \(\vec(a) \) ចាកចេញពីប្រភពដើម ហើយមិនស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះកូអរដោណេណាមួយឡើយ។ ចូរយើងគូរតាមចំនុច A ប្លង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស។ រួមជាមួយនឹងយន្តហោះកូអរដោណេ ពួកវាបង្កើតជារាងចតុកោណកែងប៉ារ៉ាឡែលភីប អង្កត់ទ្រូងដែលជាផ្នែក OA (សូមមើលរូប)។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីធរណីមាត្របឋមថាការេនៃប្រវែងនៃអង្កត់ទ្រូងនៃ parallelepiped ចតុកោណគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃប្រវែងនៃវិមាត្រទាំងបីរបស់វា។ អាស្រ័យហេតុនេះ
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \\)
ប៉ុន្តែ \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x|= |X|, \;\; |OA_y|= |Y|, \;\;|OA_z|= |Z| \\); ដូច្នេះយើងទទួលបាន
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \\)
ឬ
\(|\vec(a)|= \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \\)
រូបមន្តនេះបង្ហាញពីប្រវែងនៃវ៉ិចទ័របំពានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេរបស់វា។

សម្គាល់ដោយ \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) មុំរវាងវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \) និងអ័ក្សកូអរដោនេ។ ពីរូបមន្តសម្រាប់ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទៅលើអ័ក្ស និងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ យើងទទួលបាន
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \\)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \\)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \\)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) ត្រូវបានគេហៅថា កូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ \\(\vec(a) \\).

ការបំបែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពមុននីមួយៗ ហើយបូកសរុបលទ្ធផល យើងមាន
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
ទាំងនោះ។ ផលបូកនៃកូស៊ីនុសទិសការ៉េនៃវ៉ិចទ័រណាមួយគឺស្មើនឹងមួយ។

ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើវ៉ិចទ័រ និងលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងរបស់វា។

ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើវ៉ិចទ័រ គឺជាប្រតិបត្តិការនៃការបូក និងដកវ៉ិចទ័រ និងគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ។

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ

សូមអោយវ៉ិចទ័រពីរ \(\vec(a) \) និង \(\vec(b) \) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ផលបូក \(\vec(a) + \vec(b) \) គឺជាវ៉ិចទ័រដែលទៅពីដើមវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \) ទៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ \(\vec(b) \) បានផ្តល់ថាវ៉ិចទ័រ \(\vec(b) \) ត្រូវបានភ្ជាប់ទៅខាងចុងនៃវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \) (សូមមើលរូប)។

មតិយោបល់
សកម្មភាពនៃការដកវ៉ិចទ័រគឺផ្ទុយពីសកម្មភាពនៃការបូក i.e. ភាពខុសគ្នា \(\vec(b) - \vec(a) \) នៃវ៉ិចទ័រ \(\vec(b) \) និង \(\vec(a) \) គឺជាវ៉ិចទ័រដែលរួមជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រ \( \vec(a) ) \) ផ្តល់វ៉ិចទ័រ \(\vec(b) \) (សូមមើលរូប)។

មតិយោបល់
ដោយបានកំណត់ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រពីរ មួយអាចរកឃើញផលបូកនៃចំនួនវ៉ិចទ័រណាមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមផ្តល់វ៉ិចទ័របី \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \)។ ការបន្ថែម \(\vec(a) \) និង \(\vec(b) \) យើងទទួលបានវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) + \vec(b) \) ។ ឥឡូវបន្ថែមវ៉ិចទ័រ \(\vec(c) \) ទៅវា យើងទទួលបានវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

ផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រដោយលេខ

សូមឲ្យវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \neq \vec(0) \) និងលេខ \(\lambda \neq 0 \) ។ ផលិតផល \(\lambda \vec(a) \) គឺជាវ៉ិចទ័រដែលជាប់នឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \) មានប្រវែងស្មើនឹង \(|\lambda||\vec(a)| \) និងទិសដៅដូចគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \) ប្រសិនបើ \(\lambda > 0 \) និងផ្ទុយគ្នាប្រសិនបើ \(\lambda (0) \) ដោយលេខ \(\lambda \neq 0 \) អាចត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ \(|\lambda| >1 \) បន្ទាប់មកនៅពេលគុណវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \) ដោយលេខ \( \lambda \) វ៉ិចទ័រ \( \vec(a) \) ត្រូវបាន "លាតសន្ធឹង" ដោយ \(\lambda \) ដង ហើយប្រសិនបើ \(|\lambda| 1 \) ។

ប្រសិនបើ \(\lambda = 0 \) ឬ \(\vec(a) = \vec(0) \) នោះផលិតផល \(\lambda \vec(a) \) ត្រូវបានសន្មត់ថាស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ។

មតិយោបល់
ដោយប្រើនិយមន័យនៃគុណនៃវ៉ិចទ័រដោយលេខ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \) និង \(\vec(b) \) គឺជាប់គ្នា និង \(\vec(a) \neq \vec(0) \\) បន្ទាប់មកមាន (ហើយមានតែមួយ) លេខ \(\lambda \) នោះ \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរ

1. ទ្រព្យសម្បត្តិរួមនៃការបន្ថែម
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. ទ្រព្យសម្បត្តិរួមនៃការបន្ថែម
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. ទ្រព្យសម្បត្តិរួមនៃគុណ
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \\)

4. ទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយទាក់ទងនឹងផលបូកនៃលេខ
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. ទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយទាក់ទងនឹងផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

មតិយោបល់
លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនៃប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរមានសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋាន ព្រោះវាធ្វើឱ្យវាអាចអនុវត្តប្រតិបត្តិការពិជគណិតធម្មតាលើវ៉ិចទ័រ។ ឧទាហរណ៍ ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិ 4 និង 5 វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តការគុណនៃពហុនាមមាត្រដ្ឋានដោយពហុធាវ៉ិចទ័រ "តាមពាក្យ" ។

ទ្រឹស្ដីការព្យាករណ៍វ៉ិចទ័រ

ទ្រឹស្តីបទ
ការព្យាករនៃផលបូកនៃវ៉ិចទ័រពីរនៅលើអ័ក្សមួយគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការព្យាកររបស់ពួកគេទៅលើអ័ក្សនេះ i.e.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

ទ្រឹស្តីបទ​អាច​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ជា​ទូទៅ​ទៅ​នឹង​ករណី​នៃ​ចំនួន​ពាក្យ​ណា​មួយ​។

ទ្រឹស្តីបទ
នៅពេលគុណវ៉ិចទ័រ \(\vec(a) \) ដោយលេខ \(\lambda \) ការព្យាកររបស់វាទៅលើអ័ក្សក៏ត្រូវគុណនឹងលេខនេះផងដែរ i.e. \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \\)

ផលវិបាក
ប្រសិនបើ \(\vec(a) = (x_1; y_1; z_1) \) និង \(\vec(b) = (x_2; y_2; z_2) \) បន្ទាប់មក
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \\; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \\)

ផលវិបាក
ប្រសិនបើ \(\vec(a) = (x; y; z) \), បន្ទាប់មក \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) សម្រាប់ លេខណាមួយ \(\lambda \)

ពីទីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការគណនា លក្ខខណ្ឌនៃភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរនៅក្នុងកូអរដោណេ។
ពិតប្រាកដណាស់ សមភាព \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) គឺស្មើនឹងសមភាព \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) ឬ
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \\) i.e. វ៉ិចទ័រ \\(\vec(a) \\) និង \(\vec(b) \\) គឺជាប់គ្នាប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកូអរដោនេរបស់ពួកគេសមាមាត្រ។

ការរលួយនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន

សូមឲ្យវ៉ិចទ័រ \\(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \\) ជាវ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្សកូអរដោនេ ឧ. \(|\vec(i)|=|\vec(j)|=|\vec(k)|=1 \) ហើយពួកវានីមួយៗត្រូវបានដឹកនាំស្មើៗគ្នាជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នា (សូមមើលរូប)។ វ៉ិចទ័របីដង \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាន។
ទ្រឹស្ដីខាងក្រោមមាន។

ទ្រឹស្តីបទ
វ៉ិចទ័រណាមួយ \(\vec(a) \) អាចត្រូវបានពង្រីកដោយឯកឯងក្នុងមូលដ្ឋាន \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), i.e. បង្ហាញក្នុងទម្រង់
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
ដែល \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) ជាលេខមួយចំនួន។