លេខពិត។ ការប៉ាន់ស្មានចំនួនពិតដោយប្រភាគទសភាគកំណត់។
ចំនួនពិត ឬពិត គឺជាអរូបីគណិតវិទ្យាដែលកើតចេញពីតម្រូវការក្នុងការវាស់វែងធរណីមាត្រ និងបរិមាណរូបវន្តនៃពិភពលោកជុំវិញយើង ក៏ដូចជាដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការដូចជាការស្រង់ឫស គណនាលោការីត និងការដោះស្រាយសមីការពិជគណិត។ ប្រសិនបើលេខធម្មជាតិបានកើតឡើងនៅក្នុងដំណើរការនៃការរាប់ចំនួនសមហេតុផល - ពីតម្រូវការដើម្បីធ្វើប្រតិបត្តិការជាមួយផ្នែកទាំងមូល នោះចំនួនពិតត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ការវាស់បរិមាណបន្ត។ ដូច្នេះ ការពង្រីកភាគហ៊ុននៃលេខដែលកំពុងពិចារណាបាននាំឱ្យមានសំណុំនៃចំនួនពិត ដែលបន្ថែមពីលើលេខសនិទាន ក៏រួមបញ្ចូលធាតុផ្សេងទៀតដែលហៅថា លេខមិនសមហេតុផល .
កំហុសដាច់ខាត និងដែនកំណត់របស់វា។
អនុញ្ញាតឱ្យមានតម្លៃលេខមួយចំនួន ហើយតម្លៃលេខដែលបានកំណត់ទៅវាត្រូវបានចាត់ទុកថាពិតប្រាកដ បន្ទាប់មកនៅក្រោម កំហុសនៃតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃតម្លៃលេខ (កំហុស) ស្វែងយល់ពីភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃពិតប្រាកដ និងប្រហាក់ប្រហែលនៃតម្លៃលេខ៖ . កំហុសអាចយកទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ តម្លៃត្រូវបានគេហៅថា ការប៉ាន់ស្មានដែលគេស្គាល់ទៅតម្លៃពិតប្រាកដនៃតម្លៃលេខ - លេខណាមួយដែលត្រូវបានប្រើជំនួសឱ្យតម្លៃពិតប្រាកដ។ រង្វាស់បរិមាណសាមញ្ញបំផុតនៃកំហុសគឺ កំហុសដាច់ខាត។ កំហុសដាច់ខាតតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃដែលវាត្រូវបានគេដឹងថា: កំហុសទាក់ទងនិងដែនកំណត់របស់វា។
គុណភាពនៃការប៉ាន់ប្រមាណគឺអាស្រ័យទៅលើឯកតារង្វាស់ និងមាត្រដ្ឋាននៃបរិមាណដែលទទួលយក ដូច្នេះគួរកែតម្រូវកំហុសនៃបរិមាណ និងតម្លៃរបស់វា ដែលគំនិតនៃកំហុសទាក់ទងគ្នាត្រូវបានណែនាំ។ កំហុសដែលទាក់ទងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃដែលវាត្រូវបានគេដឹងថា៖ 
. កំហុសដែលទាក់ទងជាញឹកញាប់ត្រូវបានបង្ហាញជាភាគរយ។ ការប្រើកំហុសដែលទាក់ទងគឺមានភាពងាយស្រួលជាពិសេសព្រោះវាមិនអាស្រ័យលើមាត្រដ្ឋានបរិមាណនិងឯកតារង្វាស់។
សមីការមិនសមហេតុផល
សមីការដែលអថេរត្រូវបានផ្ទុកនៅក្រោមសញ្ញានៃឫសត្រូវបានគេហៅថាមិនសមហេតុផល។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផល ដំណោះស្រាយដែលទទួលបានទាមទារការផ្ទៀងផ្ទាត់ ព្រោះឧទាហរណ៍ សមភាពមិនត្រឹមត្រូវនៅពេលការេអាចផ្តល់សមភាពត្រឹមត្រូវ។ ពិតណាស់ សមភាពដែលមិនត្រឹមត្រូវនៅពេលការការ៉េផ្តល់សមភាពត្រឹមត្រូវ 1 2 = (-1) 2 , 1=1 ។ ពេលខ្លះវាងាយស្រួលជាងក្នុងការដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផលដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរសមមូល។
ចូរធ្វើការ៉េទាំងសងខាងនៃសមីការនេះ; បន្ទាប់ពីការបំប្លែង យើងមកដល់សមីការរាងបួនជ្រុង។ ហើយតោះដាក់វានៅលើ។
លេខស្មុគស្មាញ។ សកម្មភាពលើចំនួនកុំផ្លិច។
ចំនួនកុំផ្លិច - ផ្នែកបន្ថែមនៃសំណុំចំនួនពិត ដែលជាធម្មតាត្រូវបានតំណាង។ ចំនួនកុំផ្លិចណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកផ្លូវការ x + អាយកន្លែងណា xនិង y- ចំនួនពិត, ខ្ញុំ- ឯកតាស្រមើលស្រមៃ លេខកុំផ្លិចបង្កើតជាវាលបិទពិជគណិត - នេះមានន័យថាពហុធានដឺក្រេ នជាមួយនឹងមេគុណស្មុគស្មាញមានយ៉ាងពិតប្រាកដ នឫសស្មុគ្រស្មាញ ពោលគឺទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិតគឺជាការពិត។ នេះគឺជាហេតុផលចម្បងមួយសម្រាប់ការប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៃចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា។ លើសពីនេះ ការប្រើប្រាស់ចំនួនកុំផ្លិចធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតបានយ៉ាងងាយស្រួល និងបង្រួមនូវគំរូគណិតវិទ្យាជាច្រើនដែលប្រើក្នុងរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ - វិស្វកម្មអគ្គិសនី ធារាសាស្ត្រ រូបចម្លាក់ មេកានិចកង់ទិច ទ្រឹស្តីលំយោល និងផ្សេងៗទៀត។
ការប្រៀបធៀប ក + ប៊ី = គ + ឌីមានន័យថា ក = គនិង ខ = ឃ(ចំនួនកុំផ្លិចពីរគឺស្មើគ្នាប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេស្មើគ្នា)។
ការបន្ថែម ( ក + ប៊ី) + (គ + ឌី) = (ក + គ) + (ខ + ឃ) ខ្ញុំ .
ដក ( ក + ប៊ី) − (គ + ឌី) = (ក − គ) + (ខ − ឃ) ខ្ញុំ .
គុណ
មុខងារលេខ។ វិធីដើម្បីកំណត់មុខងារ
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍លេខគឺជាអនុគមន៍ដែលដែន និងតម្លៃគឺជាសំណុំរងនៃសំណុំលេខ—ជាទូទៅជាសំណុំនៃចំនួនពិត ឬសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច។
ពាក្យសំដី៖ ដោយប្រើភាសាធម្មជាតិ Y ស្មើនឹងផ្នែកចំនួនគត់នៃ X ។ វិភាគ៖ ប្រើរូបមន្តវិភាគ f (x) = x !
ក្រាហ្វិកតាមរយៈក្រាហ្វ បំណែកនៃក្រាហ្វមុខងារ។
តារាង៖ ការប្រើប្រាស់តារាងតម្លៃ
លក្ខណៈសំខាន់នៃមុខងារ
1) វិសាលភាពមុខងារ និងជួរមុខងារ . វិសាលភាពមុខងារ x(អថេរ x) សម្រាប់មុខងារ y=f(x)បានកំណត់។
ជួរមុខងារ yដែលមុខងារទទួលយក។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាបឋម អនុគមន៍ត្រូវបានសិក្សាតែលើសំណុំនៃចំនួនពិតប៉ុណ្ណោះ។2 ) មុខងារសូន្យ) Monotonicity នៃមុខងារ . ការបង្កើនមុខងារ មុខងារថយចុះ . មុខងារសូម្បីតែ X f(-x) = f(x) ។ មុខងារសេស- មុខងារដែលដែននិយមន័យគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម និងសម្រាប់ណាមួយ។ X f(-x) = -f(x. មុខងារត្រូវបានគេហៅថា មានកំណត់ គ្មានដែនកំណត់ .7) រយៈពេលនៃមុខងារ. មុខងារ f(x) - តាមកាលកំណត់ រយៈពេលមុខងារ
ក្រាហ្វិកមុខងារ។ ការបំប្លែងក្រាហ្វិកដ៏សាមញ្ញបំផុតដោយមុខងារមួយ។
ក្រាហ្វមុខងារ- សំណុំនៃចំណុចដែល abscissas គឺជាតម្លៃអាគុយម៉ង់ត្រឹមត្រូវ។ x, និង ordinates គឺជាតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃមុខងារ y .
បន្ទាត់ត្រង់- ក្រាហ្វនៃមុខងារលីនេអ៊ែរ y=ax+b. អនុគមន៍ y កើនឡើងជាឯកតាសម្រាប់ a > 0 និងបន្ថយសម្រាប់ a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)
ប៉ារ៉ាបូឡា- ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រីកោណការ៉េ y \u003d អ័ក្ស 2 + bx + គ. វាមានអ័ក្សបញ្ឈរនៃស៊ីមេទ្រី។ ប្រសិនបើ a > 0 មានអប្បបរមាប្រសិនបើ a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \u003d 0
អ៊ីពែបូឡា- ក្រាហ្វមុខងារ។ នៅពេលដែល a > O ស្ថិតនៅក្នុងត្រីមាស I និង III នៅពេលដែល a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ឬ y − x (a< 0).
អនុគមន៍លោការីត y = log a x(a> 0)
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។នៅពេលបង្កើតអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ យើងប្រើ រ៉ាដ្យង់រង្វាស់នៃមុំ។ បន្ទាប់មកមុខងារ y= បាប xតំណាងដោយក្រាហ្វ (រូបភាព 19) ។ ខ្សែកោងនេះត្រូវបានគេហៅថា sinusoid .
ក្រាហ្វមុខងារ y= cos xបង្ហាញក្នុងរូបភព។ ម្ភៃ; វាក៏ជារលកស៊ីនុស ដែលកើតចេញពីការផ្លាស់ទីក្រាហ្វ y= បាប xតាមអ័ក្ស Xចាកចេញដោយ /2 ។
លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃមុខងារ។ ភាពឯកោ ភាពស្មើគ្នា ភាពចម្លែក ភាពទៀងទាត់នៃមុខងារ។
វិសាលភាពមុខងារ និងជួរមុខងារ . វិសាលភាពមុខងារគឺជាសំណុំនៃតម្លៃត្រឹមត្រូវទាំងអស់នៃអាគុយម៉ង់ x(អថេរ x) សម្រាប់មុខងារ y=f(x)បានកំណត់។
ជួរមុខងារគឺជាសំណុំនៃតម្លៃពិតទាំងអស់។ yដែលមុខងារទទួលយក។
នៅក្នុងគណិតវិទ្យាបឋម អនុគមន៍ត្រូវបានសិក្សាតែលើសំណុំនៃចំនួនពិតប៉ុណ្ណោះ។2 ) មុខងារសូន្យ- ជាតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងសូន្យ។3 ) ចន្លោះពេលថេរនៃអនុគមន៍- សំណុំនៃតម្លៃអាគុយម៉ង់ទាំងនោះដែលតម្លៃអនុគមន៍មានត្រឹមតែវិជ្ជមានឬអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។4 ) Monotonicity នៃមុខងារ .
ការបង្កើនមុខងារ(ក្នុងចន្លោះពេលខ្លះ) - មុខងារដែលតម្លៃធំជាងនៃអាគុយម៉ង់ពីចន្លោះពេលនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃធំជាងនៃអនុគមន៍។
មុខងារថយចុះ(ក្នុងចន្លោះពេលខ្លះ) - អនុគមន៍ដែលតម្លៃធំជាងនៃអាគុយម៉ង់ពីចន្លោះពេលនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃតូចជាងនៃអនុគមន៍។5 ) មុខងារសូម្បីតែ (សេស) . មុខងារសូម្បីតែ- មុខងារដែលដែននិយមន័យគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម និងសម្រាប់ណាមួយ។ Xពីដែននៃនិយមន័យសមភាព f(-x) = f(x) ។ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។ មុខងារសេស- មុខងារដែលដែននិយមន័យគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម និងសម្រាប់ណាមួយ។ Xពីដែននៃនិយមន័យសមភាព f(-x) = -f(x) ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សេសគឺស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើម។6 ) មុខងារមានកំណត់ និងគ្មានដែនកំណត់. មុខងារត្រូវបានគេហៅថា មានកំណត់ប្រសិនបើមានលេខវិជ្ជមាន M នោះ |f (x) | ≤ M សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។ ប្រសិនបើមិនមានលេខបែបនេះទេនោះមុខងារគឺ គ្មានដែនកំណត់ .7) រយៈពេលនៃមុខងារ. មុខងារ f(x) - តាមកាលកំណត់ប្រសិនបើមានលេខមិនសូន្យ T ដែលសម្រាប់ x ណាមួយពីដែននៃអនុគមន៍ នោះមានដូចខាងក្រោម៖ f (x+T) = f (x) ។ លេខតូចបំផុតនេះត្រូវបានហៅ រយៈពេលមុខងារ. អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់គឺតាមកាលកំណត់។ (រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ) ។
មុខងារតាមកាលកំណត់។ ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរករយៈពេលសំខាន់នៃមុខងារ។
មុខងារតាមកាលកំណត់គឺជាអនុគមន៍ដែលធ្វើឡើងវិញតម្លៃរបស់វាបន្ទាប់ពីរយៈពេលមិនសូន្យមួយចំនួន ពោលគឺមិនផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរបស់វានៅពេលដែលលេខមិនសូន្យថេរ (រយៈពេល) ត្រូវបានបន្ថែមទៅអាគុយម៉ង់។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់គឺតាមកាលកំណត់។ ខុសសេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីផលបូកនៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់៖ ផលបូកនៃអនុគមន៍ 2 ជាមួយនឹងរយៈពេលសមកាល (សូម្បីតែមូលដ្ឋាន) ធ 1 និង ធ 2 គឺជាអនុគមន៍ដែលមានរយៈពេល LCM ( ធ 1 ,ធ២). ផលបូកនៃអនុគមន៍បន្តចំនួន 2 ជាមួយនឹងកំឡុងពេលដែលមិនអាចគណនាបាន (សូម្បីតែមូលដ្ឋាន) គឺជាអនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់។ មិនមានអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដែលមិនស្មើនឹងថេរដែលរយៈពេលជាលេខដែលមិនអាចគណនាបាន។
មុខងារថាមពលនៃផែនការ។
មុខងារថាមពល។ នេះជាមុខងារ៖ y = ax nកន្លែងណា a,n- អចិន្ត្រៃយ៍។ នៅ ន= 1 យើងទទួលបាន សមាមាត្រដោយផ្ទាល់ : y =ពូថៅ; នៅ ន = 2 - ប៉ារ៉ាបូឡាការ៉េ; នៅ ន = 1 - សមាមាត្របញ្ច្រាសឬ អ៊ីពែបូល. ដូច្នេះមុខងារទាំងនេះគឺជាករណីពិសេសនៃមុខងារថាមពល។ យើងដឹងថាអំណាចសូន្យនៃលេខណាមួយក្រៅពីសូន្យគឺស្មើនឹង 1 ដូច្នេះនៅពេល ន= 0 មុខងារថាមពលក្លាយជាថេរ៖ y =ក, i.e. ក្រាហ្វរបស់វាគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Xដោយមិនរាប់បញ្ចូលប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ (សូមពន្យល់ពីមូលហេតុ?) ករណីទាំងអស់នេះ (ជាមួយ ក= 1) ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបទី 13 ( ន 0) និង Fig.14 ( ន < 0). Отрицательные значения xមិនត្រូវបានចាត់ទុកនៅទីនេះទេព្រោះបន្ទាប់មកមុខងារមួយចំនួន:
មុខងារបញ្ច្រាស
មុខងារបញ្ច្រាស- មុខងារដែលបញ្ច្រាសការពឹងផ្អែកដែលបង្ហាញដោយមុខងារនេះ។ អនុគមន៍គឺច្រាសទៅជាអនុគមន៍ប្រសិនបើអត្តសញ្ញាណខាងក្រោមមាន៖ សម្រាប់ទាំងអស់ 
សម្រាប់ទាំងអស់
ដែនកំណត់នៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដែនកំណត់។
ឫសគល់នៃសញ្ញាបត្រទី 0 និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។
ឫស n នៃលេខ a គឺជាលេខដែលអំណាច n ស្មើនឹង a ។
និយមន័យ៖ ឫសនព្វន្ធនៃដឺក្រេទី n នៃលេខ a គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន អំណាចទី n ស្មើនឹង a ។
លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃឫស៖
សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តពិតប្រាកដតាមអំពើចិត្ត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។
អនុញ្ញាតឱ្យលេខវិជ្ជមាន និងចំនួនពិតដែលបំពានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ លេខហៅថាដឺក្រេ លេខជាគោលនៃដឺក្រេ លេខជានិទស្សន្ត។
តាមនិយមន័យវាត្រូវបានសន្មត់ថា:
ប្រសិនបើ និងជាលេខវិជ្ជមាន ហើយជាចំនួនពិត នោះលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមគឺពិត៖
.
.
មុខងារថាមពល លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វរបស់វា។
មុខងារថាមពលអថេរស្មុគស្មាញ f (z) = z nជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើការបន្តវិភាគនៃមុខងារស្រដៀងគ្នានៃអាគុយម៉ង់ពិតប្រាកដ។ ចំពោះបញ្ហានេះ ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការសរសេរលេខស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានប្រើ។ អនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់គឺវិភាគនៅក្នុងប្លង់ស្មុគស្មាញទាំងមូល ដែលជាផលិតផលនៃចំនួនករណីកំណត់នៃការគូសផែនទីអត្តសញ្ញាណ f (z) = z. យោងតាមទ្រឹស្តីបទនៃភាពឯកកោ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទាំងពីរនេះគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពឯកោនៃការបន្តការវិភាគលទ្ធផល។ ដោយប្រើនិយមន័យនេះ យើងអាចសន្និដ្ឋានភ្លាមៗថាមុខងារថាមពលនៃអថេរស្មុគស្មាញមានភាពខុសគ្នាយ៉ាងសំខាន់ពីសមភាគីពិតប្រាកដរបស់វា។
នេះគឺជាមុខងារនៃទម្រង់ . ករណីខាងក្រោមត្រូវបានពិចារណា៖
ប៉ុន្តែ) ប្រសិនបើនោះ . បន្ទាប់មក , ; ប្រសិនបើចំនួនស្មើ នោះមុខងារគឺសូម្បីតែ (ឧ។ 
សម្រាប់ទាំងអស់ ); ប្រសិនបើលេខសេស នោះមុខងារគឺសេស (នោះគឺ 
សម្រាប់ទាំងអស់)។
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វរបស់វា។
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល- មុខងារគណិតវិទ្យា។
ក្នុងករណីពិត មូលដ្ឋាននៃដឺក្រេគឺជាចំនួនពិតដែលមិនអវិជ្ជមាន ហើយអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍គឺជានិទស្សន្តពិតប្រាកដ។
នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ករណីទូទៅមួយត្រូវបានពិចារណា នៅពេលដែលចំនួនកុំផ្លិចបំពានអាចក្លាយជាអាគុយម៉ង់ និងនិទស្សន្ត។
នៅក្នុងវិធីទូទៅបំផុត - អ្នក vណែនាំដោយ Leibniz ក្នុងឆ្នាំ ១៦៩៥។
ករណីនៅពេលដែលលេខ e ដើរតួជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រត្រូវបានបន្លិចជាពិសេស។ មុខងារបែបនេះត្រូវបានគេហៅថានិទស្សន្ត (ពិតឬស្មុគស្មាញ) ។
ទ្រព្យសម្បត្តិ; 
; .
សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបន្តដោយផ្ទាល់ទៅសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ចាំបាច់ត្រូវប្រើទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើដឺក្រេស្មើគ្នា ហើយមូលដ្ឋានស្មើគ្នា វិជ្ជមាន និងខុសគ្នាពីមួយ នោះនិទស្សន្តរបស់ពួកគេក៏ស្មើគ្នាដែរ។ ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះ៖ ចូរ a> 1 និង a x = a y ។
ចូរយើងបង្ហាញថាក្នុងករណីនេះ x = y ។ សន្មតថាផ្ទុយពីអ្វីដែលតម្រូវឱ្យបញ្ជាក់, i.e. ឧបមាថា x>y ឬ x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х មួយ y ។ លទ្ធផលទាំងពីរនេះផ្ទុយនឹងសម្មតិកម្មនៃទ្រឹស្តីបទ។ ដូច្នេះ x = y ដែលជាអ្វីដែលតម្រូវឱ្យបញ្ជាក់។
ទ្រឹស្តីបទក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរសម្រាប់ករណីនៅពេលដែល 0
វិសមភាពអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
វិសមភាពនៃទម្រង់ (ឬតិចជាង) សម្រាប់ a(x) > 0ហើយត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ សម្រាប់ 0 < а (х) < 1 នៅពេលប្រៀបធៀប f(x)និង g(x)សញ្ញានៃវិសមភាពផ្លាស់ប្តូរ ហើយនៅពេលណា a(x) > ១- ត្រូវបានរក្សាទុក។ ករណីពិបាកបំផុតសម្រាប់ a(x)< 0 . នៅទីនេះយើងអាចផ្តល់ការចង្អុលបង្ហាញទូទៅតែប៉ុណ្ណោះ៖ ដើម្បីកំណត់តម្លៃអ្វី Xសូចនាករ f(x)និង g(x)ធ្វើជាចំនួនគត់ ហើយជ្រើសរើសពីពួកវាដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ។ ជាចុងក្រោយ ប្រសិនបើវិសមភាពដើមរក្សា a(x) = 0ឬ a(x) = ១(ឧទាហរណ៍ នៅពេលដែលវិសមភាពមិនមានភាពតឹងរ៉ឹង) នោះករណីទាំងនេះក៏ត្រូវយកមកពិចារណាផងដែរ។
លោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។
លោការីតនៃចំនួនមួយ។ ខដោយហេតុផល ក (ពីភាសាក្រិច λόγος - "ពាក្យ", "ទំនាក់ទំនង" និងἀριθμός - "លេខ") ត្រូវបានកំណត់ជាសូចនាករនៃកម្រិតដែលមូលដ្ឋានត្រូវតែលើកឡើង។ កដើម្បីទទួលបានលេខ ខ. ការកំណត់: ។ វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលធាតុនិងសមមូល។ ឧទាហរណ៍៖ ដោយសារ។ ទ្រព្យសម្បត្តិ
អត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋាន៖
មុខងារលោការីត លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វរបស់វា។
អនុគមន៍លោការីត គឺជាមុខងារនៃទម្រង់ f (x) = កំណត់ហេតុ ក xកំណត់នៅ
ដែន៖
ជួរតម្លៃ៖
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍លោការីតណាមួយឆ្លងកាត់ចំណុច (1; 0)
ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីតគឺ៖
សមីការលោការីត
សមីការដែលមានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតត្រូវបានគេហៅថាសមីការលោការីត។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃសមីការលោការីតគឺសមីការ កត់ត្រា x \u003d b (ដែល a > 0 និង 1). ការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់។ x = a ខ .
ការដោះស្រាយសមីការដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃលោការីត ឧទាហរណ៍ សមីការ កត់ត្រា x \u003d b (a\u003e 0 ប៉ុន្តែ 1)មានដំណោះស្រាយ x = a ខ .
វិធីសាស្រ្តសក្តានុពល។ ដោយសក្តានុពលគឺមានន័យថាការផ្លាស់ប្តូរពីសមភាពដែលមានលោការីតទៅជាសមភាពដែលមិនមានពួកវា៖
ប្រសិនបើ កំណត់ហេតុ a f (x) = កំណត់ហេតុ a g (x),បន្ទាប់មក f(x) = g(x), f(x) > 0 ,g(x) > 0 ,a > 0 , ក ១ .
វិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយសមីការលោការីត ទៅជាចតុកោណកែង។
វិធីសាស្រ្តនៃការយកលោការីតនៃផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ។
វិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយលោការីតទៅមូលដ្ឋានដូចគ្នា។
វិសមភាពលោការីត។
វិសមភាពដែលមានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត ត្រូវបានគេហៅថាលោការីតមួយ៖ កត់ត្រា a f (x) > log a g (x) ។
នៅពេលដោះស្រាយវិសមភាពលោការីត គួរតែគិតគូរពីលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅនៃវិសមភាព ទ្រព្យសម្បត្តិនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍លោការីត និងដែននិយមន័យរបស់វា។ វិសមភាព កត់ត្រា a f (x) > កត់ត្រា g (x)គឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធមួយ។ f (x) > g (x) > 0 សម្រាប់ a > 1និងប្រព័ន្ធ 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .
ការវាស់វែងរ៉ាដ្យង់នៃមុំនិងធ្នូ។ ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់។
រង្វាស់ដឺក្រេ។ នេះគឺជាឯកតានៃការវាស់វែង សញ្ញាបត្រ (ការកំណត់ ) - គឺជាការបង្វិលនៃធ្នឹមដោយ 1/360 នៃបដិវត្តន៍ពេញលេញមួយ។ ដូច្នេះការបង្វិលពេញលេញនៃធ្នឹមគឺ 360 ។ មួយដឺក្រេគឺ 60 នាទី (ការកំណត់របស់ពួកគេ '); មួយនាទី - រៀងគ្នាក្នុងចំណោម 60 វិនាទី (សម្គាល់ដោយ ") ។
រង្វាស់រ៉ាដ្យង់។ ដូចដែលយើងដឹងពី Planimetry (សូមមើលកថាខណ្ឌ "ប្រវែងធ្នូ" នៅក្នុងផ្នែក "ទីតាំងនៃចំណុច។ រង្វង់ និងរង្វង់") ប្រវែងនៃធ្នូ លីត្រកាំ rហើយមុំកណ្តាលដែលត្រូវគ្នាគឺទាក់ទងដោយ៖ = លីត្រ / r ។
រូបមន្តនេះបញ្ជាក់ពីនិយមន័យនៃរង្វាស់រ៉ាដ្យង់នៃមុំ។ អញ្ចឹងបើ លីត្រ = r,បន្ទាប់មក = 1 ហើយយើងនិយាយថាមុំ ស្មើនឹង 1 រ៉ាដ្យង់ ដែលតំណាងឱ្យ: = 1 រីករាយ. ដូច្នេះ យើងមាននិយមន័យខាងក្រោមនៃរង្វាស់រ៉ាដ្យង់៖
រ៉ាដ្យង់គឺជាមុំកណ្តាល ប្រវែងធ្នូ និងកាំរបស់វាស្មើគ្នា(ក ម B = AO, រូបភាពទី 1) ។ ដូច្នេះ រង្វាស់រ៉ាដ្យង់នៃមុំគឺជាសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃធ្នូដែលគូរដោយកាំបំពាន ហើយរុំព័ទ្ធរវាងជ្រុងនៃមុំនេះទៅនឹងកាំនៃធ្នូ។
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំស្រួចអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណខាងស្តាំ។
ប្រហោងឆ្អឹង៖
កូស៊ីនុស៖
តង់សង់៖
កូតង់សង់៖
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់លេខ
និយមន័យ .
ស៊ីនុសនៃ x គឺជាចំនួនស្មើនឹងស៊ីនុសនៃមុំគិតជា x រ៉ាដ្យង់។ កូស៊ីនុសនៃចំនួន x គឺជាចំនួនស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំគិតជា x រ៉ាដ្យង់ .
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀតនៃអាគុយម៉ង់លេខត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា X .
រូបមន្តខ្មោច។
រូបមន្តបន្ថែម។ រូបមន្តអាគុយម៉ង់ទ្វេ និងពាក់កណ្តាល។
ទ្វេដង។
(
; 
.
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងក្រាហ្វរបស់វា។ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ- ប្រភេទនៃមុខងារបឋម។ ពួកគេត្រូវបានសំដៅជាធម្មតា ប្រហោងឆ្អឹង (sin x), កូស៊ីនុស (cos x), តង់សង់ (tg x), កូតង់សង់ (ctg x) អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាធម្មតាត្រូវបានកំណត់តាមធរណីមាត្រ ប៉ុន្តែពួកគេអាចកំណត់ដោយការវិភាគក្នុងន័យនៃផលបូកនៃស៊េរី ឬជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាក់លាក់ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងពង្រីកដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ទាំងនេះទៅជាចំនួនកុំផ្លិច។
មុខងារ y sinx លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វរបស់វា។
លក្ខណៈសម្បត្តិ៖
2. អ៊ី (y) \u003d [-1; មួយ]។
3. អនុគមន៍ y \u003d sinx គឺសេស ព្រោះតាមនិយមន័យ ស៊ីនុសនៃមុំត្រីកោណមាត្រ អំពើបាប (- x)= - y/R = - sinxដែល R ជាកាំនៃរង្វង់ y គឺជាការកំណត់នៃចំនុច (រូបភាព)។
4. T \u003d 2n - រយៈពេលវិជ្ជមានតូចបំផុត។ ពិតជា
sin(x+p) = sinx.
ជាមួយអ័ក្សអុក៖ sinx= 0; x = pn, nОZ;
ជាមួយអ័ក្ស y៖ ប្រសិនបើ x = 0 បន្ទាប់មក y = 0.6 ។ ចន្លោះពេលថេរ៖
sinx > 0, ប្រសិនបើ xО (2pn; p + 2pn), nОZ;
sinx< 0 , ប្រសិនបើ xО (p + 2pn; 2p + pn), nОZ ។
សញ្ញាស៊ីនុសនៅក្នុងត្រីមាស
y > 0 សម្រាប់មុំ a នៃត្រីមាសទីមួយ និងទីពីរ។
នៅ< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.
7. ចន្លោះពេលនៃ monotonicity:
y= sinxការកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],
nнz និងថយចុះនៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ , nz.
8. ចំណុចខ្លាំង និងចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ៖
xmax= p/2 + 2pn, nнz; y អតិបរមា = 1;
ymax= - p/2 + 2pn, nнz; យិន = - 1.
មុខងារមុខងារ y= cosxនិងកាលវិភាគរបស់នាង៖
លក្ខណៈសម្បត្តិ៖
2. អ៊ី (y) \u003d [-1; មួយ]។
3. មុខងារ y= cosx- សូម្បីតែ, ដោយសារតែតាមនិយមន័យនៃកូស៊ីនុសនៃមុំត្រីកោណមាត្រ cos (-a) = x/R = cosa នៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ (អង្ករ)
4. T \u003d 2p - រយៈពេលវិជ្ជមានតូចបំផុត។ ពិតជា
cos(x+2pn) = cosx.
5. ចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖
ជាមួយអ័ក្សអុក៖ cosx = 0;
x = p/2 + pn, nОZ;
ជាមួយអ័ក្ស y៖ ប្រសិនបើ x = 0 បន្ទាប់មក y = 1 ។
6. ចន្លោះពេលនៃសញ្ញាថេរ៖
cos > 0, ប្រសិនបើ xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;
cosx< 0 , ប្រសិនបើ xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ ។
នេះត្រូវបានបង្ហាញនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ (រូបភាព) ។ សញ្ញាកូស៊ីនុសក្នុងត្រីមាស៖
x > 0 សម្រាប់មុំ a នៃការ៉េទីមួយ និងទីបួន។
x< 0 для углов a второй и третей четвертей.
7. ចន្លោះពេលនៃ monotonicity:
y= cosxការកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ [-p + 2pn; 2pn],
nнz និងថយចុះនៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ , nz.
មុខងារមុខងារ y= tgxនិងគ្រោងរបស់វា៖ លក្ខណៈសម្បត្តិ -
1. D (y) = (xОR, x ¹ p/2 + pn, nОZ) ។
3. អនុគមន៍ y = tgx - សេស
tgx > 0
tgx< 0 សម្រាប់ xн (-p/2 + pn; pn), nнZ ។
សូមមើលតួលេខសម្រាប់សញ្ញានៃតង់សង់ជាត្រីមាស។
6. ចន្លោះពេលនៃ monotonicity:
y= tgxកើនឡើងនៅចន្លោះពេលនីមួយៗ
(-ព/២ + ពន; ទំ/២ + ន)
7. ចំណុចខ្លាំង និងចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ៖
8. x = p/2 + pn, nнz - សញ្ញាបញ្ឈរ
មុខងារមុខងារ y= ctgxនិងកាលវិភាគរបស់នាង៖
លក្ខណៈសម្បត្តិ៖
1. D (y) = (xОR, x ¹ pn, nОZ) ។ 2. E(y)=R ។
3. មុខងារ y= ctgx- សេស។
4. T \u003d ទំ - រយៈពេលវិជ្ជមានតូចបំផុត។
5. ចន្លោះពេលនៃសញ្ញាថេរ៖
ctgx > 0សម្រាប់ xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;
ctgx< 0 សម្រាប់ xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ ។
សញ្ញាកូតង់សង់សម្រាប់ត្រីមាស សូមមើលរូប។
6. មុខងារ នៅ= ctgxការកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ (pn; p + pn), nОZ ។
7. ចំណុចខ្លាំង និងចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារមួយ។ y= ctgxទេ
8. ក្រាហ្វមុខងារ y= ctgxគឺជា តង់ហ្សង់ទទួលបានដោយការផ្លាស់ប្តូរគ្រោង y=tgxតាមអ័ក្សអុកទៅខាងឆ្វេងដោយ p/2 និងគុណនឹង (-1) (រូប)
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វ
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស (មុខងាររាងជារង្វង់ , arcfunctions) គឺជាអនុគមន៍គណិតវិទ្យាដែលបញ្ច្រាស់ទៅជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសជាធម្មតារួមបញ្ចូលមុខងារប្រាំមួយ៖ អាកស៊ីន , អាកកូស៊ីនុស , អ័ក្សតង់សង់ ,Arccotanges ។ឈ្មោះនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសត្រូវបានបង្កើតឡើងពីឈ្មោះនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលត្រូវគ្នាដោយបន្ថែមបុព្វបទ "ark-" (ពី lat ។ ធ្នូ- ធ្នូ) ។ នេះគឺដោយសារតែធរណីមាត្រតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងប្រវែងនៃធ្នូនៃរង្វង់ឯកតា (ឬមុំដែលដាក់ធ្នូនេះ) ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងផ្នែកមួយឬផ្សេងទៀត។ ជួនកាលនៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍បរទេស គេប្រើនិយមន័យដូចជា sin −1 សម្រាប់ arcsine ជាដើម។ នេះត្រូវបានគេចាត់ទុកថាមិនត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង ព្រោះការយល់ច្រឡំជាមួយនឹងការបង្កើនមុខងារទៅកាន់អំណាចនៃ −1 គឺអាចទៅរួច។ សមាមាត្រមូលដ្ឋាន
អនុគមន៍ y=arcsinX លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វរបស់វា។
អាកស៊ីនលេខ មមុំនេះត្រូវបានគេហៅថា xសម្រាប់មុខងារណាមួយ។ y= បាប x y= អាកស៊ីន xកំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ (មុខងារគឺសេស) ។
អនុគមន៍ y=arccosX លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វរបស់វា។
អាកកូស៊ីនុសលេខ មមុំនេះត្រូវបានគេហៅថា xសម្រាប់ការដែល
មុខងារ y= cos xបន្ត និងកំណត់តាមបន្ទាត់លេខទាំងមូលរបស់វា។ មុខងារ y= អាកកូស xកំពុងថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ cos (arccos x) = xនៅ 
arccos (cos y) = yនៅ ឃ(អាកកូស x) = [−១; 1], (ដែន), អ៊ី(អាកកូស x) = ។ (ជួរនៃតម្លៃ) ។ លក្ខណសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ arccos (មុខងារគឺស៊ីមេទ្រីកណ្តាលទាក់ទងនឹងចំណុច
អនុគមន៍ y=arctgX លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វរបស់វា។
អាកតង់ហ្សង់លេខ មមុំ α ត្រូវបានគេហៅថាបែបនោះ ដែលមុខងារបន្ត និងកំណត់នៅលើបន្ទាត់ពិតទាំងមូលរបស់វា។ មុខងារកំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។
នៅ 
មុខងារ arctg
,
.
អនុគមន៍ y=arcctg លក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វរបស់វា។
អ័ក្សតង់សង់លេខ មមុំនេះត្រូវបានគេហៅថា xសម្រាប់ការដែល
មុខងារគឺបន្ត និងកំណត់នៅលើបន្ទាត់ពិតទាំងមូលរបស់វា។
មុខងារត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ នៅម៉ោង 0< y
< π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки 
សម្រាប់ណាមួយ។ x
.
.
សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។
និយមន័យ។សមីការ wada sin x = ក ; cos x = ក ; tan x = ក ; ctg x = កកន្លែងណា x
ករណីពិសេសនៃសមីការត្រីកោណមាត្រ
និយមន័យ។សមីការ wada sin x = ក ; cos x = ក ; tan x = ក ; ctg x = កកន្លែងណា x- អថេរ aR ត្រូវបានគេហៅថា សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ។
សមីការត្រីកោណមាត្រ
Axioms នៃ Stereometry និងផលវិបាកពីពួកគេ។
តួលេខជាមូលដ្ឋានក្នុងលំហ៖ ចំណុច បន្ទាត់ និងប្លង់។ លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃចំនុច បន្ទាត់ និងប្លង់ ដែលទាក់ទងនឹងការរៀបចំទៅវិញទៅមក ត្រូវបានបង្ហាញជា axioms ។
ក១.តាមរយៈចំណុចបីណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា នោះមានយន្តហោះឆ្លងកាត់ ហើយលើសពីនេះទៅទៀតមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ក២.ប្រសិនបើចំនុចពីរនៃបន្ទាត់ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ នោះចំនុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនោះ។
មតិយោបល់។ប្រសិនបើបន្ទាត់ និងយន្តហោះមានចំណុចរួមតែមួយ នោះគេនិយាយថាប្រសព្វគ្នា។
ក៣.ប្រសិនបើយន្តហោះពីរមានចំណុចរួម នោះពួកវាមានបន្ទាត់រួមដែលចំណុចរួមទាំងអស់នៃយន្តហោះទាំងនេះស្ថិតនៅ។
|
|
A និងប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ a. |
លទ្ធផល ១.តាមរយៈបន្ទាត់មួយ និងចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើវាឆ្លងកាត់យន្តហោះ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ លទ្ធផល ២.យន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វគ្នាពីរ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។
ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ពីរនៅក្នុងលំហ
បន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលផ្តល់ដោយសមីការ
ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។
ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។
និយមន័យ 2.3បន្ទាត់ និងយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថាស្របគ្នា ប្រសិនបើពួកគេមិនមានចំណុចរួម ប្រសិនបើបន្ទាត់ a ស្របទៅនឹងប្លង់ α បន្ទាប់មកសរសេរ a || ក. ទ្រឹស្តីបទ ២.៤ សញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ។ប្រសិនបើបន្ទាត់នៅខាងក្រៅយន្តហោះគឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់នៅក្នុងយន្តហោះ នោះបន្ទាត់នោះក៏ស្របទៅនឹងយន្តហោះខ្លួនឯងដែរ។ ភ័ស្តុតាង Let b α, a || b និង a α (គំនូរ 2.2.1) ។ យើងនឹងបញ្ជាក់ដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ កុំឲ្យ a មិនស្របនឹង α ទេ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ a ប្រសព្វគ្នានឹងយន្តហោះ α នៅចំណុចខ្លះ A. លើសពីនេះទៅទៀត A b ចាប់តាំងពី a || ខ. យោងតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃបន្ទាត់ skew បន្ទាត់ a និង b គឺ skew ។ យើងបានឈានដល់ភាពផ្ទុយគ្នា។ ទ្រឹស្តីបទ 2.5ប្រសិនបើយន្តហោះ β ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ស្របនឹងយន្តហោះ α ហើយកាត់ប្លង់នេះតាមបន្ទាត់ b នោះ b || ក. ភស្ដុតាង ពិតណាស់ បន្ទាត់ a និង b មិនមានភាពច្របូកច្របល់ទេ ព្រោះពួកវាស្ថិតនៅលើយន្តហោះ β។ លើសពីនេះទៀត បន្ទាត់ទាំងនេះមិនមានចំណុចរួមទេ ចាប់តាំងពី || ក. និយមន័យ 2.4បន្ទាត់ b ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា ដាននៃយន្តហោះ β នៅលើយន្តហោះ α ។
ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់។ សញ្ញានៃបន្ទាត់ប្រសព្វ
បន្ទាត់ត្រូវបានគេហៅថាប្រសព្វ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖ ប្រសិនបើយើងស្រមៃថាបន្ទាត់ណាមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះបំពាន នោះបន្ទាត់ផ្សេងទៀតនឹងកាត់ប្លង់នេះនៅចំណុចដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ទីមួយ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត បន្ទាត់ពីរនៅក្នុងលំហអឺគ្លីឌាបីវិមាត្រប្រសព្វគ្នា ប្រសិនបើគ្មានយន្តហោះផ្ទុកពួកវា។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ បន្ទាត់ពីរនៅក្នុងលំហដែលមិនមានចំណុចរួម ប៉ុន្តែមិនស្របគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទ (១)៖ ប្រសិនបើខ្សែមួយក្នុងចំនោមបន្ទាត់ទាំងពីរស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ជាក់លាក់មួយ ហើយខ្សែផ្សេងទៀតកាត់ប្លង់នេះនៅចំណុចមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ទីមួយ នោះបន្ទាត់ទាំងនេះនឹងមានការភ័ន្តច្រឡំ។
ទ្រឹស្តីបទ (២)៖ តាមរយៈបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាទាំងពីរ នោះវាឆ្លងកាត់យន្តហោះស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ផ្សេងទៀត ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។
ទ្រឹស្តីបទ (៣)៖ ប្រសិនបើជ្រុងនៃមុំពីរត្រូវបានដឹកនាំរួមគ្នា នោះមុំបែបនេះគឺស្មើគ្នា។
ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល។
ប៉ារ៉ាឡែល (ជួនកាល - isosceles) បន្ទាត់ត្រង់ហៅថា បន្ទាត់ត្រង់ ដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយស្របគ្នា ឬមិនប្រសព្វ។ នៅក្នុងនិយមន័យសាលាមួយចំនួន បន្ទាត់ស្របគ្នាមិនត្រូវបានចាត់ទុកថាស្របគ្នាទេ និយមន័យបែបនេះមិនត្រូវបានពិចារណានៅទីនេះទេ។ Properties Parallelism គឺជាទំនាក់ទំនងសមមូលគោលពីរ ដូច្នេះវាបែងចែកសំណុំនៃបន្ទាត់ទាំងមូលទៅជាថ្នាក់នៃបន្ទាត់ដែលស្របគ្នាទៅវិញទៅមក។ តាមរយៈចំណុចណាមួយ វាអាចមានបន្ទាត់មួយស្របនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នេះគឺជាលក្ខណៈប្លែកនៃធរណីមាត្រ Euclidean នៅក្នុងធរណីមាត្រផ្សេងទៀត លេខ 1 ត្រូវបានជំនួសដោយអ្នកដទៃ (នៅក្នុងធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky មានយ៉ាងហោចណាស់ពីរបន្ទាត់) 2 បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងលំហស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ b នៅចំនុចប្រសព្វនៃ 2 បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលដោយទីបីហៅថា វិនាទី៖ អក្សរកាត់ត្រូវតែកាត់បន្ទាត់ទាំងពីរ។ នៅពេលឆ្លងកាត់ 8 ជ្រុងត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលជាគូលក្ខណៈមួយចំនួនដែលមានឈ្មោះនិងលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេស: និយាយកុហកឆ្លងមុំគឺស្មើគ្នា។ រៀងៗខ្លួនមុំគឺស្មើគ្នា។ ឯកតោភាគីមុំបន្ថែមរហូតដល់ 180 °។
ភាពកាត់កែងនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។
បន្ទាត់ដែលប្រសព្វនឹងយន្តហោះត្រូវបានគេហៅ កាត់កែងយន្តហោះនេះប្រសិនបើវាកាត់កែងទៅគ្រប់បន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយឆ្លងកាត់ចំនុចប្រសព្វ។
សញ្ញានៃការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។
ប្រសិនបើបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះមួយគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ពីរនៅក្នុងយន្តហោះនោះឆ្លងកាត់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងយន្តហោះនោះវាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ។
ទ្រព្យសម្បត្តិទី 1 នៃខ្សែបន្ទាត់ និងប្លង់ជាប់គ្នា។ .
ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់កែងទៅមួយក្នុងចំណោមបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ នោះវាក៏កាត់កែងទៅម្ខាងទៀតដែរ។
ទ្រព្យសម្បត្តិទី 2 នៃខ្សែបន្ទាត់និងប្លង់ជាប់គ្នា។ .
បន្ទាត់ពីរដែលកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដូចគ្នាគឺស្របគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទកាត់កែងបី
អនុញ្ញាតឱ្យមាន AB- កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ α, AC- oblique និង គ- បន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុងយន្តហោះ α ឆ្លងកាត់ចំណុច គនិងការព្យាករកាត់កែង BC. តោះគូរបន្ទាត់ត្រង់ CKស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ AB. ត្រង់ CKកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ α (ព្រោះវាស្របទៅនឹង ABដូច្នេះហើយ ខ្សែណាមួយនៃយន្តហោះនេះ CKកាត់កែងទៅបន្ទាត់ គ ABនិង CK plane β (បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលកំណត់ប្លង់មួយ ហើយមានតែមួយ)។ ត្រង់ គគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់β BCតាមលក្ខខណ្ឌ និង CKតាមការសាងសង់ វាមានន័យថាវាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះនេះ ដែលមានន័យថាវាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ផងដែរ AC .
Converse នៃទ្រឹស្តីបទកាត់កែងទាំងបី
ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ដែលគូសក្នុងយន្តហោះកាត់តាមមូលដ្ឋាននៃបន្ទាត់ទំនោរកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ទំនោរ នោះវាក៏កាត់កែងទៅនឹងការព្យាកររបស់វាដែរ។
អនុញ្ញាតឱ្យមាន AB- កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ក , AC- oblique និង ពី- បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះ កឆ្លងកាត់មូលដ្ឋាននៃជម្រាល ពី. តោះគូរបន្ទាត់ត្រង់ SC, ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ AB. ត្រង់ SCកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ក(តាមទ្រឹស្តីបទនេះ ព្រោះវាស្របគ្នា។ ABដូច្នេះហើយ ខ្សែណាមួយនៃយន្តហោះនេះ SCកាត់កែងទៅបន្ទាត់ ពី. គូរតាមបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល ABនិង SCយន្តហោះ ខ(បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលកំណត់យន្តហោះ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ)។ ត្រង់ ពីកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលដេកនៅក្នុងយន្តហោះ ខនេះ ACតាមលក្ខខណ្ឌ និង SCតាមការសាងសង់ វាមានន័យថាវាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះនេះ ដែលមានន័យថាវាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់មួយផងដែរ ព្រះអាទិត្យ. និយាយម្យ៉ាងទៀតការព្យាករណ៍ ព្រះអាទិត្យកាត់កែងទៅបន្ទាត់ ពីដេកនៅក្នុងយន្តហោះ ក .
កាត់កែងនិង oblique ។
កាត់កែងដែលបន្ទាបពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកតភ្ជាប់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះ ហើយដេកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ។ ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកនេះដែលដេកនៅក្នុងយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននៃកាត់កែង .
obliqueដែលត្រូវបានដកចេញពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាផ្នែកណាមួយដែលភ្ជាប់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលមិនកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ។ ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននៃ inclined នេះ។. ផ្នែកដែលតភ្ជាប់មូលដ្ឋាននៃកាត់កែងនៃបន្ទាត់ទំនោរ ដែលដកចេញពីចំណុចដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ការព្យាករ oblique .
និយមន័យ ១. កាត់កែងទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាផ្នែកបន្ទាត់កាត់កែងទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលមានចុងម្ខាងរបស់វានៅចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែង។
និយមន័យ ២. បន្ទាត់ oblique ដកចេញពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាផ្នែកដែលតភ្ជាប់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់ដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងបានធ្លាក់ចុះពីចំណុចដូចគ្នាទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ 
AB - កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ α ។
AC - oblique, CB - ការព្យាករណ៍។
គ - មូលដ្ឋាននៃទំនោរ, ខ - មូលដ្ឋាននៃកាត់កែង។
មុំរវាងបន្ទាត់និងយន្តហោះ។
មុំរវាងបន្ទាត់និងយន្តហោះមុំណាមួយរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះនេះត្រូវបានគេហៅថា។
មុំ Dihedral ។
មុំ Dihedral- តួលេខធរណីមាត្រលំហដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរដែលចេញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ ក៏ដូចជាផ្នែកមួយនៃលំហដែលជាប់នឹងយន្តហោះពាក់កណ្តាលទាំងនេះ។ យន្តហោះពាក់កណ្តាលត្រូវបានគេហៅថា មុខមុំ dihedral និងបន្ទាត់ត្រង់ធម្មតារបស់ពួកគេ - គែម. មុំ Dihedral ត្រូវបានវាស់ដោយមុំលីនេអ៊ែរ ពោលគឺមុំដែលបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វនៃមុំ dihedral ជាមួយនឹងយន្តហោះកាត់កែងទៅគែមរបស់វា។ គ្រប់ពហុកោណ ធម្មតា ឬមិនទៀងទាត់ ប៉ោង ឬប៉ោង មានមុំឌីអេឌ្រីននៅគ្រប់គែម។
ភាពកាត់កែងនៃយន្តហោះពីរ។
សញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃយន្តហោះ។
ប្រសិនបើយន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះផ្សេងទៀត នោះយន្តហោះទាំងនេះគឺកាត់កែង។
កាលបរិច្ឆេទបោះពុម្ពផ្សាយ៖ 2016-03-23
ការពិពណ៌នាសង្ខេប៖ ...
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើបច្ចេកទេសដើមមួយចំនួន។
1
. ដំណោះស្រាយនៃសមីការមិនសមហេតុផល។
វិធីសាស្រ្តជំនួស។
1.1.1 ដោះស្រាយសមីការ .
ចំណាំថាសញ្ញា x នៅក្រោមរ៉ាឌីកាល់គឺខុសគ្នា។ យើងណែនាំការសម្គាល់
, .
បន្ទាប់មក
ចូរយើងអនុវត្តការបន្ថែមតាមកាលកំណត់នៃផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ។
ហើយយើងមានប្រព័ន្ធសមីការ
ដោយសារតែ a + b = 4 បន្ទាប់មក
Z អាន៖ 9 - x \u003d 8 x \u003d 1. ចំលើយ៖ x \u003d ១.
១.១.២. ដោះស្រាយសមីការ .
យើងណែនាំការសម្គាល់៖ ; , .
មធ្យោបាយ៖
ការបន្ថែមពាក្យតាមពាក្យ ខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ យើងមាន .
ហើយយើងមានប្រព័ន្ធសមីការ
a + b = 2, , , ,
ចូរយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធសមីការវិញ៖
, .
ដោយបានដោះស្រាយសមីការសម្រាប់ (ab) យើងមាន ab = 9, ab = -1 (-1 extraneous root ពីព្រោះ , .).
ប្រព័ន្ធនេះមិនមានដំណោះស្រាយ ដែលមានន័យថាសមីការដើមក៏មិនមានដំណោះស្រាយដែរ។
ចម្លើយ៖ គ្មានដំណោះស្រាយទេ។
ដោះស្រាយសមីការ៖ .
យើងណែនាំសញ្ញាណ កន្លែងណា។ បន្ទាប់មក .
, ,
ពិចារណាករណីបី៖
1) . 2) . 3) .
A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1 [ 0; 1) ។ [មួយ; ២). a = 2 ។
ដំណោះស្រាយ៖ [ 1 ; ២]។
ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក , , ។
ចម្លើយ៖ .
១.២. វិធីសាស្រ្តវាយតម្លៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ (វិធីសាស្ត្រសំខាន់)។
វិធីសាស្ត្រសំខាន់ គឺជាវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ស្វែងរកព្រំដែននៃអនុគមន៍។
Majorization - ការស្វែងរកចំណុចនៃការរឹតបន្តឹងនៃមុខងារ។ M គឺជាមេ។
ប្រសិនបើយើងមាន f(x) = g(x) ហើយ ODZ ត្រូវបានគេស្គាល់ ហើយប្រសិនបើ
, បន្ទាប់មក
ដោះស្រាយសមីការ៖ .
ODZ៖ .
ពិចារណាផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។
តោះណែនាំមុខងារមួយ។ ក្រាហ្វគឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានចំនុចកំពូល A(3 ; 2)។
តម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ y(3) = 2, ឧ.
ពិចារណាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។
តោះណែនាំមុខងារមួយ។ ដោយប្រើដេរីវេវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកអតិបរមានៃអនុគមន៍ដែលអាចខុសគ្នានៅលើ x (2 ; 4) ។
នៅ ,
X=3.
ជី` + -
2 3 4
g(3) = 2 ។
យើងមាន .
ជាលទ្ធផល, បន្ទាប់មក
ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌខាងលើ៖
ការដោះស្រាយសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ យើងមាន x = 3 ។ ដោយការជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងធ្វើឱ្យប្រាកដថា x = 3 គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។
ចម្លើយ៖ x = ៣.
១.៣. ការអនុវត្តមុខងារ monotonicity ។
១.៣.១. ដោះស្រាយសមីការ៖
អំពី DZ៖ , ដោយសារតែ .
វាត្រូវបានគេដឹងថាផលបូកនៃមុខងារកើនឡើងគឺជាមុខងារកើនឡើង។
ផ្នែកខាងឆ្វេងគឺជាមុខងារកើនឡើង។ ផ្នែកខាងស្តាំគឺជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ (k=0) ។ ការបកស្រាយក្រាហ្វិកបង្ហាញថាឫសគល់គឺមានតែមួយគត់។ យើងរកវាតាមការជ្រើសរើស យើងមាន x = 1 ។
ភស្តុតាង៖
ឧបមាថាមានឫស x 1 ធំជាង 1 បន្ទាប់មក
ដោយសារតែ x 1 > 1,
យើងសន្និដ្ឋានថាគ្មានឫសណាមួយធំជាងមួយទេ។
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ គេអាចបញ្ជាក់បានថាមិនមានឫសតិចជាងមួយទេ។
ដូច្នេះ x=1 គឺជាឫសគល់តែមួយគត់។
ចម្លើយ៖ x = ១.
១.៣.២. ដោះស្រាយសមីការ៖
អំពី DZ: [ 0.5 ; +) ពីព្រោះ ទាំងនោះ។ .
ចូរយើងបំប្លែងសមីការ,
ផ្នែកខាងឆ្វេងគឺជាអនុគមន៍កើនឡើង (ផលិតផលនៃមុខងារបង្កើន) ផ្នែកខាងស្តាំគឺជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ (k = 0) ។ ការបកស្រាយធរណីមាត្របង្ហាញថាសមីការដើមត្រូវតែមានឫសតែមួយដែលអាចរកឃើញដោយសម, x = 7 ។
ការប្រឡង៖
វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ថាមិនមានឫសផ្សេងទៀតទេ (សូមមើលឧទាហរណ៍ខាងលើ) ។
ចម្លើយ៖ x = ៧ ។
2. សមីការលោការីត។
វិធីសាស្រ្តប៉ាន់ស្មានផ្នែកខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំ។
២.១.១. ដោះស្រាយសមីការ៖ កំណត់ហេតុ 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5 ។
ចូរយើងប៉ាន់ស្មានផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។
2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16 16 ។
រួចហើយកត់លេខ 2 (2x − x 2 + 15) ៤.
ចូរយើងប៉ាន់ស្មានផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។
x 2 − 2x + 5 \u003d (x 2 − 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x − 1) 2 + 4 ៤.
សមីការដើមអាចមានដំណោះស្រាយបានលុះត្រាតែភាគីទាំងពីរស្មើនឹងបួន។
មធ្យោបាយ
ចម្លើយ៖ x = ១.
សម្រាប់ការងារឯករាជ្យ។
2.1.2. កំណត់ហេតុ 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 ចម្លើយ៖ x \u003d ៣.
2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 ចម្លើយ៖ x \u003d ៦.
2.1.4. កំណត់ហេតុ 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 ចម្លើយ៖ x \u003d ១.
2.1.5. កំណត់ហេតុ 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 ចម្លើយ៖ x \u003d ៣.
២.២. ដោយប្រើ monotonicity នៃមុខងារ, ការជ្រើសរើសឫស។
២.២.១. ដោះស្រាយសមីការ៖ កំណត់ហេតុ 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5 ។
ចូរធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ 2x − x 2 + 15 = t, t> 0 ។ បន្ទាប់មក x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t បន្ទាប់មក
កំណត់ហេតុ 2 t = 20 - t ។
អនុគមន៍ y = log 2 t កំពុងកើនឡើង ហើយអនុគមន៍ y = 20 - t កំពុងថយចុះ។ ការបកស្រាយធរណីមាត្រធ្វើឱ្យយើងយល់ថាសមីការដើមមានឫសតែមួយដែលមិនពិបាករកដោយជ្រើសរើស t = 16 ។
ការដោះស្រាយសមីការ 2x − x 2 + 15 = 16 យើងរកឃើញថា x = 1 ។
កំពុងពិនិត្យមើលដើម្បីធ្វើឱ្យប្រាកដថាតម្លៃដែលបានជ្រើសរើសត្រឹមត្រូវ។
ចម្លើយ៖ x = ១.
២.៣. សមីការលោការីត "គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍" មួយចំនួន។
២.៣.១. ដោះស្រាយសមីការ .
ODZ៖ (x − 15) cosx > 0 ។
ចូរយើងបន្តទៅសមីការ
, , ,
ចូរយើងបន្តទៅសមីការសមមូល
(x − 15) (cos 2 x − 1) = 0,
x − 15 = 0 ឬ cos 2 x = 1 ,
x = 15. cos x = 1 ឬ cos x = −1,
x=2 k, k Z ។ x = + 2 l, l Z ។
ចូរយើងពិនិត្យមើលតម្លៃដែលបានរកឃើញដោយជំនួសវាទៅក្នុង ODZ ។
1) ប្រសិនបើ x = 15 បន្ទាប់មក (15 - 15) cos 15 > 0,
0 > 0 គឺខុស។
x = 15 - មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការទេ។
2) ប្រសិនបើ x = 2 k, k Z, បន្ទាប់មក (2 k - 15) l > 0,
2 k > 15 ចំណាំថា 15 5 ។ យើងមាន
k > 2.5, k Z
k = 3, 4, 5, … ។
3) ប្រសិនបើ x = + 2 l, l Z, បន្ទាប់មក ( + 2 l − 15) (- 1) > 0,
+ ២ ល< 15,
2 ល< 15 - , заметим, что 15 5 .
យើងមាន៖ អិល< 2,
l = 1, 0, -1, -2,… ។
ចម្លើយ៖ x = ២ k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d +2 1 (1 \u003d 1.0, -1, - 2, ... ) ។
3. សមីការត្រីកោណមាត្រ។
៣.១. វិធីសាស្រ្តប៉ាន់ស្មានផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ។
៤.១.១. ដោះស្រាយសមីការ cos3x cos2x = −1 ។
វិធីទីមួយ..
0.5 (cos x+ cos ៥ x) = -1, cos x+ cos ៥ x = -2.
ដោយសារតែ cos x − 1 , cos 5 x - ១ យើងសន្និដ្ឋានថា cos x+ cos ៥ x> -2 ដូច្នេះ
អនុវត្តតាមប្រព័ន្ធសមីការ
c os x = -1,
cos 5 x = - 1.
ការដោះស្រាយសមីការ cos x= -1 យើងទទួលបាន X= + 2 k ដែល k Z ។
តម្លៃទាំងនេះ Xក៏ជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ cos 5 ផងដែរ។ x= -1, ដោយសារតែ
cos 5 x= cos 5 ( + 2 k) = cos ( + 4 + 10 k) = −1 ។
ដោយវិធីនេះ X= + 2 k ដែល k Z គឺជាដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ដូច្នេះហើយបានជាសមីការដើម។
ចម្លើយ៖ X= (2k + 1), k Z ។
វិធីទីពីរ។
វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាសំណុំនៃប្រព័ន្ធធ្វើតាមពីសមីការដើម
cos 2 x = - 1,
cos ៣ x = 1.
cos 2 x = 1,
cos ៣ x = - 1.
ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការនីមួយៗ យើងរកឃើញការរួបរួមនៃឫសគល់។
ចម្លើយ៖ x = (២ ដល់ + 1), k Z ។
សម្រាប់ការងារឯករាជ្យ។
ដោះស្រាយសមីការ៖
៣.១.២. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. ចំលើយ៖ គ្មានដំណោះស្រាយ។
៣.១.៣. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = −8 ។ ចម្លើយ៖ គ្មានដំណោះស្រាយទេ។
៣.១.៤. 3 cos 3x + cos x = 4. ចំលើយ៖ x = 2 ទៅ, k Z.
៣.១.៥. sin x sin 3 x = −1 ។ ចម្លើយ៖ x = /2 + ទៅ, k Z.
៣.១.៦. cos 8 x + sin 7 x = 1. ចំលើយ៖ x = m, m Z; x = /2 + 2 n, ន Z.
1.1 សមីការមិនសមហេតុផល
សមីការមិនសមហេតុផលត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់នៅក្នុងការប្រឡងចូលផ្នែកគណិតវិទ្យា ចាប់តាំងពីជំនួយរបស់ពួកគេចំណេះដឹងអំពីគោលគំនិតដូចជាការបំប្លែងសមមូល ដែននៃនិយមន័យ និងផ្សេងទៀតត្រូវបានធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យយ៉ាងងាយស្រួល។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផល ជាក្បួនគឺផ្អែកលើលទ្ធភាពនៃការជំនួស (ដោយជំនួយនៃការបំប្លែងមួយចំនួន) សមីការមិនសមហេតុផលជាមួយនឹងសមីការសមហេតុផល ដែលស្មើនឹងសមីការមិនសមហេតុផលដើម ឬជាលទ្ធផលរបស់វា។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ភាគីទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលដូចគ្នា។ សមមូលមិនត្រូវបានបំពានទេ នៅពេលដែលផ្នែកទាំងពីរត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលសេស។ បើមិនដូច្នោះទេ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ ឬប៉ាន់ប្រមាណសញ្ញានៃផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ។ ប៉ុន្តែមានល្បិចផ្សេងទៀតដែលអាចមានប្រសិទ្ធភាពជាងក្នុងការដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផល។ ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្ត្រជំនួសត្រីកោណមាត្រ។
ឧទាហរណ៍ទី 1: ដោះស្រាយសមីការ
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ ដូច្នេះមនុស្សម្នាក់អាចដាក់ 
. សមីការនឹងយកទម្រង់
តោះដាក់កន្លែងណា
.
.
ចម្លើយ៖ 
.
ដំណោះស្រាយពិជគណិត
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក 
. មានន័យថា 
ដូច្នេះអ្នកអាចពង្រីកម៉ូឌុល
.
ចម្លើយ៖ .
ការដោះស្រាយសមីការក្នុងវិធីពិជគណិតតម្រូវឱ្យមានជំនាញល្អក្នុងការអនុវត្តការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទ និងការគ្រប់គ្រងប្រកបដោយសមត្ថភាពនៃការផ្លាស់ប្តូរសមមូល។ ប៉ុន្តែជាទូទៅវិធីសាស្រ្តទាំងពីរគឺសមមូល។
ឧទាហរណ៍ទី 2: ដោះស្រាយសមីការ
.
ដំណោះស្រាយដោយប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រ
ដែននៃសមីការត្រូវបានផ្តល់ដោយវិសមភាព ដែលស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌ បន្ទាប់មក . ដូច្នេះយើងអាចដាក់។ សមីការនឹងយកទម្រង់
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ តោះបើកម៉ូឌុលខាងក្នុង
តោះដាក់ 
បន្ទាប់មក
.
លក្ខខណ្ឌត្រូវបានពេញចិត្តដោយតម្លៃពីរនិង .
.
.
ចម្លើយ៖ 
.
ដំណោះស្រាយពិជគណិត
.
ចូរយើងការ៉េសមីការនៃប្រព័ន្ធសំណុំដំបូងយើងទទួលបាន
អញ្ចឹង។ សមីការនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់
តាមរយៈការពិនិត្យមើល យើងបង្កើតនោះជាឫស បន្ទាប់មកដោយបែងចែកពហុធាដោយទ្វេគុណ យើងទទួលបាន decomposition នៃផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទៅជាកត្តា
ចូរផ្លាស់ទីពីអថេរទៅអថេរ យើងទទួលបាន
.
លក្ខខណ្ឌ 
បំពេញតម្លៃពីរ
.
ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងសមីការដើម យើងទទួលបាននោះគឺជាឫសគល់។
ការដោះស្រាយសមីការនៃប្រព័ន្ធទីពីរនៃចំនួនប្រជាជនដើមតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា យើងឃើញថាវាក៏ជាឫសគល់ផងដែរ។
ចម្លើយ៖ .
ប្រសិនបើក្នុងឧទាហរណ៍មុន ដំណោះស្រាយពិជគណិត និងដំណោះស្រាយដោយប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រគឺសមមូល នោះក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយជំនួសគឺចំណេញច្រើនជាង។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការដោយវិធីពិជគណិត មួយត្រូវដោះស្រាយសមីការពីរ ពោលគឺទៅការ៉េពីរដង។ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរមិនសមមូលនេះ សមីការពីរនៃសញ្ញាបត្រទីបួនជាមួយនឹងមេគុណមិនសមហេតុផលត្រូវបានទទួល ដែលការជំនួសជួយកម្ចាត់។ ការលំបាកមួយទៀតគឺការផ្ទៀងផ្ទាត់ដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញដោយការជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម។
ឧទាហរណ៍ 3. ដោះស្រាយសមីការ
.
ដំណោះស្រាយដោយប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រ
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ ចំណាំថាតម្លៃអវិជ្ជមាននៃមិនស្គាល់មិនអាចជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានោះទេ។ ជាការពិត យើងបំប្លែងសមីការដើមទៅជាទម្រង់
.
កត្តានៅក្នុងតង្កៀបនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការគឺវិជ្ជមាន ចំណែកផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការក៏វិជ្ជមានផងដែរ ដូច្នេះកត្តានៅខាងឆ្វេងនៃសមីការមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលដូច្នេះហើយជាមូលហេតុដែលអ្នកអាចដាក់ 
សមីការដើមនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ សមីការនឹងយកទម្រង់
អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ ចូរផ្លាស់ទីពីសមីការទៅប្រព័ន្ធសមមូល
.
លេខ និងជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ
.
ដំណោះស្រាយពិជគណិត ចូរយើងធ្វើការ៉េទាំងសងខាងនៃសមីការ
យើងណែនាំការជំនួស 
បន្ទាប់មកសមីការនឹងត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់
ឫសទីពីរគឺលែងត្រូវការតទៅទៀត ដូច្នេះសូមពិចារណាសមីការ
.
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។
ក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយពិជគណិតមានលក្ខណៈបច្ចេកទេសសាមញ្ញជាង ប៉ុន្តែចាំបាច់ត្រូវពិចារណាដំណោះស្រាយខាងលើដោយប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រ។ នេះគឺមកពីដំបូងទៅលក្ខណៈមិនស្តង់ដារនៃការជំនួសខ្លួនវា ដែលបំផ្លាញទម្រង់ដែលការប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រគឺអាចធ្វើទៅបានតែនៅពេល . វាប្រែថាប្រសិនបើការជំនួសត្រីកោណមាត្រក៏រកឃើញកម្មវិធីផងដែរ។ ទីពីរ មានការលំបាកជាក់លាក់មួយក្នុងការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ 
ដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយការណែនាំការផ្លាស់ប្តូរទៅជាប្រព័ន្ធនៃសមីការ។ ក្នុងន័យជាក់លាក់មួយ ការជំនួសនេះក៏អាចចាត់ទុកថាមិនមានលក្ខណៈស្តង់ដារ ហើយការស្គាល់វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើនឃ្លាំងនៃល្បិច និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។
ឧទាហរណ៍ 4. ដោះស្រាយសមីការ
.
ដំណោះស្រាយដោយប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រ
ដោយសារអថេរអាចទទួលយកតម្លៃពិតណាមួយ យើងដាក់ 
. បន្ទាប់មក
,
ដោយសារតែ។
សមីការដើមដោយគិតគូរពីការបំប្លែងដែលបានអនុវត្តនឹងយកទម្រង់
ចាប់តាំងពី យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ យើងទទួលបាន
អនុញ្ញាតឱ្យមាន 
បន្ទាប់មក 
. សមីការនឹងយកទម្រង់
.
បានផ្តល់ការជំនួស យើងទទួលបានសំណុំនៃសមីការពីរ
.
ចូរដោះស្រាយសមីការសំណុំនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា។
.
មិនអាចជាតម្លៃស៊ីនុសទេ ដូចជាតម្លៃណាមួយនៃអាគុយម៉ង់។
.
ដោយសារតែ 
ហើយផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដើមគឺវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក . ពីដែលវាធ្វើតាមនោះ។ 
.
សមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ ចាប់តាំងពី .
ដូច្នេះសមីការដើមមានឫសតែមួយ
.
ដំណោះស្រាយពិជគណិត
សមីការនេះអាចត្រូវបាន "ប្រែក្លាយ" យ៉ាងងាយស្រួលទៅជាសមីការសមហេតុផលនៃដឺក្រេទីប្រាំបីដោយ squaring ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើម។ ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការសមហេតុសមផលគឺពិបាក ហើយកម្រិតខ្ពស់នៃភាពប៉ិនប្រសប់គឺត្រូវបានទាមទារដើម្បីទប់ទល់នឹងកិច្ចការ។ ដូច្នេះគួរដឹងវិធីដោះស្រាយខុសពីបុរាណតិច។ ឧទាហរណ៍ការជំនួសដែលស្នើឡើងដោយ I. F. Sharygin ។
តោះដាក់ 
បន្ទាប់មក
ចូរបំប្លែងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ :
យកទៅក្នុងគណនីបំប្លែង, សមីការ នឹងយកទម្រង់
.
យើងណែនាំការជំនួស
.
ឫសទីពីរគឺលែងត្រូវការតទៅទៀត ដូច្នេះហើយ 
.
ប្រសិនបើគំនិតនៃការដោះស្រាយសមីការមិនត្រូវបានដឹងជាមុន បន្ទាប់មកការដោះស្រាយតាមវិធីស្តង់ដារដោយការបំបែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការគឺមានបញ្ហា ដោយសារលទ្ធផលគឺជាសមីការនៃដឺក្រេទីប្រាំបី ដែលឫសរបស់វាពិបាករកណាស់។ ដំណោះស្រាយដោយប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រមើលទៅពិបាក។ វាអាចពិបាកក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ ប្រសិនបើអ្នកមិនកត់សំគាល់ថាវាកើតឡើងម្តងទៀត។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះកើតឡើងដោយប្រើបរិធាននៃពិជគណិត ដូច្នេះយើងអាចនិយាយបានថាដំណោះស្រាយដែលបានស្នើឡើងត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។ នៅក្នុងនោះ ព័ត៌មានពីពិជគណិត និងត្រីកោណមាត្រ ធ្វើការរួមគ្នាសម្រាប់គោលដៅតែមួយ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយ។ ផងដែរ ដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះតម្រូវឱ្យមានការពិចារណាយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្នលើករណីពីរ។ ដំណោះស្រាយជំនួសគឺមានលក្ខណៈបច្ចេកទេសសាមញ្ញ និងស្រស់ស្អាតជាងការប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រ។ វាជាការចង់បានដែលសិស្សដឹងពីវិធីសាស្រ្តជំនួសនេះ ហើយអនុវត្តវាដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។
យើងសង្កត់ធ្ងន់ថាការប្រើប្រាស់ការជំនួសត្រីកោណមាត្រសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាគួរតែដឹងខ្លួន និងត្រឹមត្រូវ។ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើការជំនួសក្នុងករណីដែលដំណោះស្រាយក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀតពិបាកជាង ឬសូម្បីតែមិនអាចទៅរួចក៏ដោយ។ ចូរយើងលើកឧទាហរណ៍មួយបន្ថែមទៀត ដែលខុសពីវិធីមុន គឺងាយស្រួល និងលឿនជាងក្នុងការដោះស្រាយតាមវិធីស្តង់ដារ។
