សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ ហៅថាសមីការដែលទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ មុខងារមិនស្គាល់នៃអថេរនេះ និងនិស្សន្ទវត្ថុ (ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល) នៃលំដាប់ផ្សេងៗ។

លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាលំដាប់នៃដេរីវេខ្ពស់បំផុតដែលមាននៅក្នុងវា។

បន្ថែមពីលើធម្មតា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកក៏ត្រូវបានសិក្សាផងដែរ។ ទាំងនេះគឺជាសមីការដែលទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ ដែលជាមុខងារមិនស្គាល់នៃអថេរទាំងនេះ និងដេរីវេដោយផ្នែករបស់វាទាក់ទងនឹងអថេរដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែយើងនឹងពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​នឹង​លុប​ចោល​ពាក្យ "ធម្មតា" សម្រាប់​ភាព​ខ្លី។

ឧទាហរណ៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

(1) ;

(3) ;

(4) ;

សមីការ (១) ជាលំដាប់ទី៤ សមីការ (២) ជាលំដាប់ទី៣ សមីការ (៣) និង (៤) ជាលំដាប់ទីពីរ សមីការ (៥) ជាលំដាប់ទីមួយ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល នការបញ្ជាទិញមិនចាំបាច់មានមុខងារច្បាស់លាស់ទេ ដេរីវេរបស់វាទាំងអស់ពីដំបូងទៅ នលំដាប់ទី និងអថេរឯករាជ្យ។ វាអាចមិនមានយ៉ាងច្បាស់នូវដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញមួយចំនួន មុខងារមួយ អថេរឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសមីការ (1) ច្បាស់ណាស់មិនមានដេរីវេនៃលំដាប់ទីបី និងទីពីរ ក៏ដូចជាមុខងារ។ នៅក្នុងសមីការ (2) - ដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរ និងមុខងារ; នៅក្នុងសមីការ (4) - អថេរឯករាជ្យ; នៅក្នុងសមីការ (5) - មុខងារ។ មានតែសមីការ (3) ជាក់លាក់ដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់ មុខងារ និងអថេរឯករាជ្យ។

ដោយការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល មុខងារណាមួយត្រូវបានគេហៅថា y = f(x)ជំនួសដែលទៅក្នុងសមីការ វាប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

ដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ការរួមបញ្ចូល.

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរសមីការនេះក្នុងទម្រង់។ ដំណោះស្រាយគឺស្វែងរកមុខងារដោយដេរីវេរបស់វា។ មុខងារដើម ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីការគណនាអាំងតេក្រាល គឺជា antiderivative សម្រាប់ i.e.

នោះហើយជាអ្វីដែលវាគឺជា ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យ . ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងវា។ គយើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នា។ យើងបានរកឃើញថាមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល នលំដាប់ទី គឺជាដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ទាក់ទងនឹងមុខងារមិនស្គាល់ និងមានផ្ទុក នថេរបំពានឯករាជ្យ, i.e.

ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 គឺទូទៅ។

ដំណោះស្រាយផ្នែកនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានហៅ ដែលក្នុងនោះតម្លៃលេខជាក់លាក់ត្រូវបានកំណត់ទៅអថេរតាមអំពើចិត្ត។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយសម្រាប់ .

ដំណោះស្រាយ។ យើងរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដូចជាចំនួនដងដែលលំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលស្មើគ្នា។

,

.

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅ -

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឥឡូវនេះសូមស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ យើង​ជំនួស​តម្លៃ​របស់​វា​ជា​ជាង​មេគុណ​តាម​អំពើ​ចិត្ត និង​ទទួល​បាន

.

ប្រសិនបើបន្ថែមលើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល លក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ នោះបញ្ហាបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា បញ្ហារសើប . តម្លៃ និងត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ ហើយតម្លៃនៃថេរដែលបំពានត្រូវបានរកឃើញ គហើយបន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការសម្រាប់តម្លៃដែលបានរកឃើញ គ. នេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy ។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីឧទាហរណ៍ទី 1 ក្រោមលក្ខខណ្ឌ។

ដំណោះស្រាយ។ យើងជំនួសនៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅតម្លៃពីលក្ខខណ្ឌដំបូង y = 3, x= 1. យើងទទួលបាន

យើងសរសេរដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃលំដាប់ទីមួយ៖

ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល សូម្បីតែរឿងសាមញ្ញបំផុត ទាមទារជំនាញល្អក្នុងការរួមបញ្ចូល និងទទួលយកនិស្សន្ទវត្ថុ រួមទាំងមុខងារស្មុគស្មាញ។ នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយ។ សមីការ​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ក្នុង​ទម្រង់​បែប​នេះ​ដែល​ភាគី​ទាំង​សងខាង​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​ភ្លាមៗ។

.

យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ (ជំនួស) ។ អញ្ចឹង។

ទាមទារដើម្បីយក dxហើយឥឡូវនេះ - ការយកចិត្តទុកដាក់ - យើងធ្វើវាយោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញចាប់តាំងពី xហើយមានមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ("ផ្លែប៉ោម" - ទាញយកឫសការ៉េឬដែលដូចគ្នា - បង្កើនថាមពល "មួយវិនាទី" និង "សាច់ minced" - ការបញ្ចេញមតិដោយខ្លួនឯងនៅក្រោមឫស):

យើងរកឃើញអាំងតេក្រាល៖

ត្រឡប់ទៅអថេរ x, យើង​ទទួល​បាន:

.

នេះគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃដឺក្រេទីមួយ។

មិនត្រឹមតែជំនាញពីផ្នែកមុននៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ប៉ុណ្ណោះទេ នឹងត្រូវបានទាមទារក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ប៉ុន្តែក៏មានជំនាញពីបឋមសិក្សាផងដែរ ពោលគឺគណិតវិទ្យាសាលា។ ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ នៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ណាមួយ ប្រហែលជាមិនមានអថេរឯករាជ្យទេ នោះគឺជាអថេរ x. ចំនេះដឹងអំពីសមាមាត្រដែលមិនត្រូវបានគេបំភ្លេចចោល (ទោះជាយ៉ាងណានរណាម្នាក់មានវាចូលចិត្ត) ពីកៅអីសាលានឹងជួយដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ នេះជាឧទាហរណ៍បន្ទាប់។

រំលឹកពីបញ្ហាដែលយើងជួបប្រទះនៅពេលស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់៖

ឬ dy = f(x)dx ។ ដំណោះស្រាយរបស់នាង៖

ហើយវាកាត់បន្ថយទៅនឹងការគណនានៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ នៅក្នុងការអនុវត្ត កិច្ចការពិបាកជាងគឺជារឿងធម្មតាជាង៖ ដើម្បីស្វែងរកមុខងារ yប្រសិនបើវាត្រូវបានគេស្គាល់ថាវាបំពេញទំនាក់ទំនងនៃទម្រង់

ទំនាក់ទំនងនេះទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ xមុខងារមិនស្គាល់ yនិងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វាទៅតាមលំដាប់ នរួមបញ្ចូល, ត្រូវបានគេហៅថា .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរួមបញ្ចូលមុខងារមួយនៅក្រោមសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ (ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល) នៃលំដាប់មួយ ឬមួយផ្សេងទៀត។ លំដាប់ខ្ពស់បំផុតត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់ (9.1) .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

- លំដាប់ដំបូង

លំដាប់ទីពីរ,

- លំដាប់​ទី ៥ ។ល។

មុខងារដែលបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយរបស់វា។ , ឬអាំងតេក្រាល។ . ដើម្បីដោះស្រាយវាមានន័យថា ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់របស់វា។ ប្រសិនបើសម្រាប់មុខងារដែលចង់បាន yបានជោគជ័យក្នុងការទទួលបានរូបមន្តដែលផ្តល់ដំណោះស្រាយទាំងអស់ បន្ទាប់មកយើងនិយាយថាយើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វា។ , ឬអាំងតេក្រាលទូទៅ .

ការសម្រេចចិត្តទូទៅ មាន នអថេរបំពាន ហើយមើលទៅ

ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងត្រូវបានទទួល នោះទាក់ទង x, yនិង នថេរតាមអំពើចិត្ត ជាទម្រង់ដែលមិនត្រូវបានអនុញ្ញាតទាក់ទងនឹង y -

បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ (9.1) ។

បញ្ហារសើប

ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នីមួយៗ ពោលគឺ មុខងារជាក់លាក់នីមួយៗដែលបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយមិនអាស្រ័យលើចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត ត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។ , ឬអាំងតេក្រាលឯកជន។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់ (អាំងតេក្រាល) ពីទូទៅ វាចាំបាច់ក្នុងការភ្ជាប់តម្លៃលេខជាក់លាក់ទៅនឹងចំនួនថេរ។

ក្រាហ្វនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ ដំណោះស្រាយទូទៅដែលមានដំណោះស្រាយពិសេសទាំងអស់គឺជាក្រុមគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីមួយ គ្រួសារនេះអាស្រ័យលើចំនួនថេរតាមអំពើចិត្តមួយ សម្រាប់សមីការ នលំដាប់ទី - ពី នអថេរបំពាន។

បញ្ហា Cauchy គឺត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ នលំដាប់ទី, ពេញចិត្ត នលក្ខខណ្ឌដំបូង៖

ដែលកំណត់ n ថេរ с 1 , с 2 , ... , c n ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 1

សម្រាប់​ការ​មិន​បាន​ដោះស្រាយ​ទាក់ទង​នឹង​ដេរីវេវ័រ សមីការ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល​នៃ​លំដាប់​ទី 1 មាន​ទម្រង់

ឬសម្រាប់ការអនុញ្ញាតដែលទាក់ទង

ឧទាហរណ៍ 3.46. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន

ដែល C គឺជាថេរដែលបំពាន។ ប្រសិនបើយើងផ្តល់តម្លៃលេខជាក់លាក់ C នោះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់ ឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍ 3.47. ពិចារណាលើការកើនឡើងនៃចំនួនប្រាក់ដែលដាក់ក្នុងធនាគារ ដែលត្រូវនឹងប្រាក់បញ្ញើ 100 r ការប្រាក់រួមក្នុងមួយឆ្នាំ។ សូមអោយ Yo ជាចំនួនលុយដំបូង ហើយ Yx បន្ទាប់ពីផុតកំណត់ xឆ្នាំ នៅពេលដែលការប្រាក់ត្រូវបានគណនាម្តងក្នុងមួយឆ្នាំយើងទទួលបាន

ដែល x = 0, 1, 2, 3, .... នៅពេលការប្រាក់ត្រូវបានគណនាពីរដងក្នុងមួយឆ្នាំ យើងទទួលបាន

ដែល x = 0, 1/2, 1, 3/2, .... នៅពេលគណនាការប្រាក់ នម្តងក្នុងមួយឆ្នាំនិង ប្រសិនបើ xយកតម្លៃ 0, 1/n, 2/n, 3/n, ... បន្ទាប់មក

សម្គាល់ 1/n = h បន្ទាប់មកសមភាពមុននឹងមើលទៅដូច៖

ជាមួយនឹងការពង្រីកគ្មានដែនកំណត់ ន(នៅ ) ក្នុងដែនកំណត់ យើងមកដល់ដំណើរការបង្កើនចំនួនប្រាក់ជាមួយនឹងការបង្គរការប្រាក់ជាបន្តបន្ទាប់៖

ដូច្នេះវាអាចមើលឃើញថាជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់ xច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរការផ្គត់ផ្គង់ប្រាក់ត្រូវបានបង្ហាញដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទី 1 ។ កន្លែងដែល Y x ជាមុខងារមិនស្គាល់ x- អថេរឯករាជ្យ r- ថេរ។ យើងដោះស្រាយសមីការនេះ សម្រាប់ការនេះ យើងសរសេរវាឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

កន្លែងណា , ឬ ដែលជាកន្លែងដែល P តំណាងឱ្យ e C ។

ពីលក្ខខណ្ឌដំបូង Y(0) = Yo យើងរកឃើញ P: Yo = Pe o, មកពីណា, Yo = P. ដូច្នេះដំណោះស្រាយមើលទៅដូចជា៖

ពិចារណាបញ្ហាសេដ្ឋកិច្ចទីពីរ។ គំរូម៉ាក្រូសេដ្ឋកិច្ចក៏ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1 ដោយពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ប្តូរប្រាក់ចំណូល ឬទិន្នផល Y ជាមុខងារនៃពេលវេលា។

ឧទាហរណ៍ 3.48. អនុញ្ញាតឱ្យប្រាក់ចំណូលជាតិ Y កើនឡើងតាមអត្រាសមាមាត្រទៅនឹងតម្លៃរបស់វា៖

ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ ឱនភាពនៃការចំណាយរបស់រដ្ឋាភិបាលគឺសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងប្រាក់ចំណូល Y ជាមួយនឹងមេគុណសមាមាត្រ q. ឱនភាពនៃការចំណាយនាំឱ្យមានការកើនឡើងនៃបំណុលជាតិ D:

លក្ខខណ្ឌដំបូង Y = Yo និង D = ធ្វើនៅ t = 0 ។ ពីសមីការទីមួយ Y = Yoe kt ។ ការជំនួស Y យើងទទួលបាន dD/dt = qYoe kt ។ ដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់
D = (q/k) Yoe kt +С ដែល С = const ដែលត្រូវបានកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ការជំនួសលក្ខខណ្ឌដំបូង យើងទទួលបាន Do = (q/k)Yo + C. ដូច្នេះ ទីបំផុត

D = ធ្វើ +(q/k)Yo (e kt -1),

នេះបង្ហាញថាបំណុលជាតិកំពុងកើនឡើងក្នុងអត្រាដូចគ្នា។ kដែលជាចំណូលជាតិ។

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុត។ នលំដាប់, ទាំងនេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់

ដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាអាចត្រូវបានទទួលបានដោយប្រើ នពេលវេលានៃការរួមបញ្ចូល។

ឧទាហរណ៍ 3.49 ។ពិចារណាឧទាហរណ៍ y "" = cos x ។

ដំណោះស្រាយ។ការរួមបញ្ចូលយើងរកឃើញ

ដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ

នៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ចពួកគេមានការប្រើប្រាស់ដ៏អស្ចារ្យពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះ។ ប្រសិនបើ (9.1) មានទម្រង់៖

បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ ដែល po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) ត្រូវបានផ្តល់អនុគមន៍។ ប្រសិនបើ f(x) = 0 នោះ (9.2) ត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នា បើមិនដូច្នេះទេ វាត្រូវបានគេហៅថា non-homogeneous ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ (9.2) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់ណាមួយរបស់វា។ y(x)និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នានឹងវា៖

ប្រសិនបើមេគុណ p o (x), p 1 (x), ..., p n (x) គឺថេរ នោះ (9.2)

(9.4) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរនៃលំដាប់ ន .

សម្រាប់ (9.4) វាមានទម្រង់៖

យើងអាចកំណត់ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ p o = 1 ហើយសរសេរ (9.5) ក្នុងទម្រង់

យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយ (9.6) ក្នុងទម្រង់ y = e kx ដែល k ជាថេរ។ យើង​មាន: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ... , y (n) = kne kx ។ ជំនួសកន្សោមដែលទទួលបានទៅជា (9.6) យើងនឹងមាន៖

(9.7) គឺជាសមីការពិជគណិត មិនស្គាល់របស់វាគឺ kវាត្រូវបានគេហៅថាលក្ខណៈ។ សមីការលក្ខណៈមានកម្រិត ននិង នឫស, ក្នុងចំណោមនោះអាចមានទាំងពហុនិងស្មុគស្មាញ។ អនុញ្ញាតឱ្យ k 1 , k 2 , ... , k n ពិតប្រាកដ និងច្បាស់លាស់ បន្ទាប់មក គឺជាដំណោះស្រាយពិសេស (9.7) ខណៈពេលដែលទូទៅ

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ៖

សមីការលក្ខណៈរបស់វាមានទម្រង់

(9.9)

ការរើសអើងរបស់វា D = p 2 - 4q អាស្រ័យលើសញ្ញា D ករណីបីអាចធ្វើទៅបាន។

1. ប្រសិនបើ D>0 នោះឫស k 1 និង k 2 (9.9) គឺពិត និងខុសគ្នា ហើយដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់៖

ដំណោះស្រាយ។សមីការលក្ខណៈ៖ k 2 + 9 = 0, whence k = ± 3i, a = 0, b = 3, ដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីពីរត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាគំរូសេដ្ឋកិច្ចដូចគេហទំព័រជាមួយស្តុកទំនិញ ដែលអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃ P អាស្រ័យលើទំហំនៃភាគហ៊ុន (សូមមើលកថាខណ្ឌទី 10)។ ប្រសិនបើការផ្គត់ផ្គង់ និងតម្រូវការគឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃតម្លៃ នោះគឺ

a - គឺជាថេរដែលកំណត់អត្រាប្រតិកម្ម បន្ទាប់មកដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

សម្រាប់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ អ្នកអាចយកថេរ

ដែលមានអត្ថន័យនៃតម្លៃលំនឹង។ គម្លាត បំពេញសមីការដូចគ្នា។

(9.10)

សមីការលក្ខណៈនឹងមានដូចខាងក្រោម៖

ក្នុងករណីពាក្យគឺវិជ្ជមាន។ បញ្ជាក់ . ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ k 1,2 = ±i w ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅ (9.10) មានទម្រង់៖

ដែល C និងអថេរបំពាន ពួកវាត្រូវបានកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌដំបូង។ យើងទទួលបានច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃតាមពេលវេលា៖

បញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់អ្នក apostrophe """ ត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ចូលដេរីវេ សូមចុចបញ្ជូន និងទទួលបានដំណោះស្រាយ

ទាំង​បាន​ដោះស្រាយ​រួច​ហើយ​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​និស្សន្ទវត្ថុ ឬ​គេ​អាច​ដោះស្រាយ​ដោយ​គោរព​តាម​និស្សន្ទវត្ថុ .

ការសម្រេចចិត្តទូទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលវាយលើចន្លោះពេល Xដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អាចត្រូវបានរកឃើញដោយយកអាំងតេក្រាលនៃភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ។

ទទួលបាន .

ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ យើងរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅដែលចង់បាន៖

y = F(x) + C,

កន្លែងណា F(x)- មួយនៃ antiderivatives នៃមុខងារ f(x)នៅក្នុង​ចន្លោះ X, ក ពីគឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។

សូមចំណាំថានៅក្នុងកិច្ចការភាគច្រើនមានចន្លោះពេល Xមិនចង្អុលបង្ហាញ។ នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយត្រូវតែស្វែងរកសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ xសម្រាប់ការដែលនិងមុខងារដែលចង់បាន yហើយសមីការដើមមានអត្ថន័យ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវគណនាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y(x0) = y0បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីគណនាអាំងតេក្រាលទូទៅ y = F(x) + Cវានៅតែចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃថេរ C=C0ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នោះគឺថេរ C=C0កំណត់ពីសមីការ F(x 0) + C = y 0ហើយដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលចង់បាននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងមានទម្រង់៖

y = F(x) + C0.

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផល។ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការនេះដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។

ដំណោះស្រាយ៖

បន្ទាប់ពីយើងរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងទទួលបាន:

.

យើង​យក​អាំងតេក្រាល​នេះ​តាម​វិធី​ផ្សំ​ដោយ​ផ្នែក៖

នោះ., គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

តោះ​ពិនិត្យ​មើល​ដើម្បី​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​លទ្ធផល​គឺ​ត្រឹមត្រូវ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសដំណោះស្រាយដែលយើងបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

.

នោះគឺនៅ សមីការដើមប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ៖

ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ដំណោះស្រាយដែលយើងបានរកឃើញគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់នីមួយៗ ត្រឹមត្រូវ។តម្លៃអាគុយម៉ង់ x.

វានៅសល់ដើម្បីគណនាដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃ ODE ដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាតម្លៃនៃថេរ ពីដែលសមភាពនឹងជាការពិត៖

.

.

បន្ទាប់មកជំនួស គ = ២នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃ ODE យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង៖

.

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ អាចត្រូវបានដោះស្រាយទាក់ទងនឹងដេរីវេដោយបែងចែក 2 ផ្នែកនៃសមីការដោយ f(x). ការផ្លាស់ប្តូរនេះនឹងស្មើនឹងប្រសិនបើ f(x)មិនទៅសូន្យសម្រាប់អ្វីទាំងអស់។ xពីចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូលនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល X.

ស្ថានភាពទំនងជានៅពេលដែលសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអាគុយម៉ង់ x ∈ Xមុខងារ f(x)និង g(x)បង្វែរទៅសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ សម្រាប់តម្លៃស្រដៀងគ្នា xដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាមុខងារណាមួយ។ yដែលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងពួកគេដោយសារតែ .

ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអាគុយម៉ង់ x ∈ Xលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត ដែលមានន័យថាក្នុងករណីនេះ ODE មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

សម្រាប់អ្នកផ្សេងទៀតទាំងអស់។ xពីចន្លោះពេល Xដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ពីសមីការបំប្លែង។

តោះមើលឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍ ១

ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃ ODE៖ .

ដំណោះស្រាយ។

ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋមសិក្សា វាច្បាស់ណាស់ថាអនុគមន៍លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃមិនអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ ដូច្នេះដែននៃកន្សោម កំណត់ហេតុ(x+3)មានចន្លោះពេល x > -3 . ដូច្នេះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យមានអត្ថន័យ x > -3 . ជាមួយនឹងតម្លៃទាំងនេះនៃអាគុយម៉ង់កន្សោម x + ៣មិនរលាយបាត់ទេ ដូច្នេះគេអាចដោះស្រាយ ODE ទាក់ទងនឹងដេរីវេដោយបែងចែក 2 ផ្នែកដោយ x + ៣.

យើង​ទទួល​បាន .

បន្ទាប់ យើង​បញ្ចូល​សមីការ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល​លទ្ធផល​ដែល​បាន​ដោះស្រាយ​ដោយ​ទាក់ទង​នឹង​ដេរីវេ៖ . ដើម្បី​យក​អាំងតេក្រាល​នេះ យើង​ប្រើ​វិធីសាស្ត្រ​នៃ​ការ​បញ្ចូល​ក្រោម​សញ្ញា​នៃ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

៦.១. គោលគំនិត និងនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា ជីវវិទ្យា និងឱសថ ជារឿយៗវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតការពឹងផ្អែកមុខងារភ្លាមៗក្នុងទម្រង់ជារូបមន្តដែលភ្ជាប់អថេរដែលពិពណ៌នាអំពីដំណើរការដែលកំពុងសិក្សា។ ជាធម្មតា គេត្រូវប្រើសមីការដែលមាន បន្ថែមពីលើអថេរឯករាជ្យ និងមុខងារមិនស្គាល់ ដេរីវេរបស់វាផងដែរ។

និយមន័យ។សមីការដែលទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ មុខងារមិនស្គាល់ និងដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញផ្សេងៗត្រូវបានគេហៅថា ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

មុខងារមិនស្គាល់ជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញ y(x)ឬសាមញ្ញ yនិងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វាគឺ y", y"ល។

ការសម្គាល់ផ្សេងទៀតក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ ឧទាហរណ៍៖ ប្រសិនបើ y= x(t) បន្ទាប់មក x"(t), x""(t)គឺជានិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា និង tគឺជាអថេរឯករាជ្យ។

និយមន័យ។ប្រសិនបើអនុគមន៍អាស្រ័យលើអថេរមួយ នោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាធម្មតា។ ទម្រង់ទូទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា៖

ឬ

មុខងារ ចនិង fប្រហែលជាមិនមានអាគុយម៉ង់មួយចំនួន ប៉ុន្តែដើម្បីឱ្យសមីការមានឌីផេរ៉ង់ស្យែល វត្តមានរបស់ដេរីវេគឺចាំបាច់។

និយមន័យ។លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាលំដាប់នៃដេរីវេខ្ពស់បំផុតដែលមាននៅក្នុងវា។

ឧទាហរណ៍, x 2 y"- y= 0, y" + sin x= 0 គឺជាសមីការលំដាប់ទីមួយ និង y"+ 2 y"+ 5 y= xគឺជាសមីការលំដាប់ទីពីរ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ប្រតិបត្តិការសមាហរណកម្មត្រូវបានប្រើ ដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងរូបរាងនៃថេរបំពាន។ ប្រសិនបើសកម្មភាពរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្ត នដង, បន្ទាប់មក, ជាក់ស្តែង, ដំណោះស្រាយនឹងមាន នអថេរបំពាន។

៦.២. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលការបញ្ជាទិញដំបូង

ទម្រង់ទូទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម

សមីការ​អាច​នឹង​មិន​មាន​យ៉ាង​ច្បាស់ xនិង yប៉ុន្តែចាំបាច់មាន y"។

ប្រសិនបើសមីការអាចត្រូវបានសរសេរជា

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពតាមដេរីវេ។

និយមន័យ។ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ (6.3) (ឬ (6.4)) គឺជាសំណុំនៃដំណោះស្រាយ កន្លែងណា ពីគឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។

ក្រាហ្វសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។

ការផ្តល់អថេរតាមអំពើចិត្ត ពីតម្លៃខុសគ្នា វាអាចទៅរួចដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់។ លើផ្ទៃ xOyដំណោះស្រាយទូទៅគឺជាក្រុមគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយជាក់លាក់នីមួយៗ។

ប្រសិនបើអ្នកកំណត់ចំណុចមួយ។ A(x0, y0),តាមរយៈដែលខ្សែកោងអាំងតេក្រាលត្រូវតែឆ្លងកាត់ បន្ទាប់មកជាក្បួនពីសំណុំមុខងារ មួយអាចត្រូវបានជ្រើសរើសចេញ - ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

និយមន័យ។ការសម្រេចចិត្តឯកជននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាដំណោះស្រាយរបស់វា ដែលមិនមានអថេរតាមអំពើចិត្ត។

ប្រសិនបើ ក គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅ បន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌ

អ្នកអាចរកឃើញអចិន្ត្រៃយ៍ ពី។លក្ខខណ្ឌត្រូវបានគេហៅថា លក្ខខណ្ឌដំបូង។

បញ្ហានៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (6.3) ឬ (6.4) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង នៅ បានហៅ បញ្ហា Cauchy ។តើបញ្ហានេះតែងតែមានដំណោះស្រាយទេ? ចម្លើយមាននៅក្នុងទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cauchy(ទ្រឹស្តីបទនៃអត្ថិភាព និងភាពប្លែកនៃដំណោះស្រាយ)។ អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល y"= f(x, y)មុខងារ f(x, y)និងនាង

ដេរីវេដោយផ្នែក កំណត់និងបន្តនៅក្នុងមួយចំនួន

តំបន់ ឃមានចំណុច បន្ទាប់មកនៅក្នុងតំបន់ ឃមាន

ដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង នៅ

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cauchy ចែងថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយមានខ្សែកោងអាំងតេក្រាលតែមួយគត់ y= f(x),ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ចំណុចដែលលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទមិនពេញចិត្ត

ឆ្មាត្រូវបានគេហៅថា ពិសេស។សម្រាកនៅចំណុចទាំងនេះ f(x, y) ឬ។

ខ្សែកោងអាំងតេក្រាលជាច្រើនឆ្លងកាត់ចំណុចឯកវចនៈ ឬគ្មាន។

និយមន័យ។ប្រសិនបើដំណោះស្រាយ (6.3), (6.4) ត្រូវបានរកឃើញក្នុងទម្រង់ f(x, y, គ)= 0 មិនត្រូវបានអនុញ្ញាតទាក់ទងនឹង y បន្ទាប់មកវាត្រូវបានហៅ អាំងតេក្រាលធម្មតា។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ទ្រឹស្តីបទ Cauchy ធានាបានតែដំណោះស្រាយមួយប៉ុណ្ណោះ។ ដោយសារមិនមានវិធីសាស្រ្តតែមួយសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទេ យើងនឹងពិចារណាតែប្រភេទមួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចបញ្ចូលក្នុង ការ៉េ។

និយមន័យ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា រួមបញ្ចូលគ្នានៅក្នុង quadratures,ប្រសិនបើការស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការរួមបញ្ចូលមុខងារ។

៦.២.១. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

និយមន័យ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថាសមីការជាមួយ អថេរដែលអាចបំបែកបាន,

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (6.5) គឺជាផលគុណនៃអនុគមន៍ពីរ ដែលនីមួយៗអាស្រ័យទៅលើអថេរតែមួយ។

ឧទាហរណ៍ សមីការ គឺជាសមីការជាមួយនឹងការបំបែក

អថេរឆ្លងកាត់
និងសមីការ

មិនអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ (6.5) ។

បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ យើងសរសេរឡើងវិញ (6.5) ជា

ពីសមីការនេះ យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងអថេរដាច់ដោយឡែក ដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានមុខងារដែលអាស្រ័យតែលើអថេរដែលត្រូវគ្នាប៉ុណ្ណោះ៖

ការរួមបញ្ចូលពាក្យតាមពាក្យ យើងមាន

ដែលជាកន្លែងដែល C = C 2 - C 1 គឺជាថេរដែលបំពាន។ កន្សោម (6.6) គឺជាអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ (6.5) ។

បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (6.5) ដោយ យើងអាចបាត់បង់ដំណោះស្រាយទាំងនោះដែល ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើ នៅ

បន្ទាប់មក ច្បាស់ជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ (៦.៥)។

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលពេញចិត្ត

លក្ខខណ្ឌ៖ y= 6 នៅ x= 2 (យ(2) = 6).

ដំណោះស្រាយ។ចូរជំនួស នៅ"សម្រាប់ពេលនោះ . គុណទាំងសងខាងដោយ

dx,ចាប់តាំងពីការរួមបញ្ចូលបន្ថែមទៀត វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការចាកចេញ dxនៅក្នុងភាគបែង៖

ហើយបន្ទាប់មកបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ យើងទទួលបានសមីការ

ដែលអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូល។ យើងរួមបញ្ចូលៈ

បន្ទាប់មក ; សក្តានុពល យើងទទួលបាន y = C ។ (x + 1) - ob-

ដំណោះស្រាយ។

ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យដំបូង យើងកំណត់ថេរដោយបំពានដោយជំនួសពួកវាទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ

ទីបំផុតយើងទទួលបាន y= 2(x + 1) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀតនៃការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ

ដំណោះស្រាយ។បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ , យើង​ទទួល​បាន .

ការរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមីការយើងមាន

កន្លែងណា

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ដំណោះស្រាយ។យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយកត្តាទាំងនោះដែលអាស្រ័យលើអថេរដែលមិនស្របគ្នានឹងអថេរនៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ពោលគឺដោយ និងរួមបញ្ចូល។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

ជា​ចុងក្រោយ

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ដឹងពីអ្វីដែលយើងនឹងទទួលបាន។ ផ្នែក-

អថេរ lim ។ បន្ទាប់មក

ការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន

មតិយោបល់។ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 និងទី 2 មុខងារដែលចង់បាន yបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ (ដំណោះស្រាយទូទៅ) ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 3 និងទី 4 - ដោយប្រយោល (អាំងតេក្រាលទូទៅ) ។ នៅពេលអនាគតទម្រង់នៃការសម្រេចចិត្តនឹងមិនត្រូវបានបញ្ជាក់ទេ។

ឧទាហរណ៍ ៥ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ៦ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ពេញចិត្ត

លក្ខខណ្ឌ y(e)= 1.

ដំណោះស្រាយ។យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់

គុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយ dxហើយនៅលើយើងទទួលបាន

ការរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (អាំងតេក្រាលនៅខាងស្តាំត្រូវបានយកដោយផ្នែក) យើងទទួលបាន

ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ y= 1 នៅ x= អ៊ី. បន្ទាប់មក

ជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ ពីចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ៖

កន្សោមលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

៦.២.២. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ

និយមន័យ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នាប្រសិនបើវាអាចត្រូវបានតំណាងជា

យើងបង្ហាញក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា។

1. ជំនួសវិញ។ yណែនាំមុខងារថ្មី បន្ទាប់មក ហេតុ​ដូចនេះ​ហើយ

2. នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារ យូសមីការ (6.7) យកទម្រង់

i.e. ការជំនួសកាត់បន្ថយសមីការដូចគ្នាទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

3. ការដោះស្រាយសមីការ (6.8) ដំបូងយើងរកឃើញ u ហើយបន្ទាប់មក y= យូ

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយសមីការ ដំណោះស្រាយ។យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់

យើងធ្វើការជំនួស៖
បន្ទាប់មក

ចូរជំនួស

គុណនឹង dx៖ ចែកដោយ xនិងនៅលើ បន្ទាប់មក

ការរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយគោរពទៅនឹងអថេរដែលត្រូវគ្នា យើងមាន

ឬត្រឡប់ទៅអថេរចាស់ ទីបំផុតយើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ ២ដោះស្រាយសមីការ ដំណោះស្រាយ។អនុញ្ញាតឱ្យ បន្ទាប់មក

ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ x2៖ តោះបើកតង្កៀប ហើយរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ៖

បន្តទៅអថេរចាស់ យើងមកដល់លទ្ធផលចុងក្រោយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ តាមលក្ខខណ្ឌ

ដំណោះស្រាយ។អនុវត្តការជំនួសស្តង់ដារ យើង​ទទួល​បាន

ឬ

ឬ

ដូច្នេះដំណោះស្រាយពិសេសមានទម្រង់ ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ

ដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ៥ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ដំណោះស្រាយ។

ការងារឯករាជ្យ

ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ (1-9).

ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។ (9-18).

៦.២.៣. កម្មវិធីមួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

បញ្ហានៃការបំផ្លាញវិទ្យុសកម្ម

អត្រានៃការពុកផុយរបស់រ៉ា (រ៉ាដ្យូម) នៅរាល់ពេលនៃពេលវេលាគឺសមាមាត្រទៅនឹងម៉ាស់ដែលមាន។ ស្វែងរកច្បាប់នៃការបំបែកវិទ្យុសកម្មរបស់ Ra ប្រសិនបើគេដឹងថានៅពេលដំបូងមាន Ra ហើយពាក់កណ្តាលជីវិតរបស់ Ra គឺ 1590 ឆ្នាំ។

ដំណោះស្រាយ។សូមអោយនៅគ្រានោះ ម៉ាស់ Ra x= x(t) g, និង បន្ទាប់មកអត្រាពុករលួយរបស់រ៉ាគឺ

តាមភារកិច្ច

កន្លែងណា k

ការបំបែកអថេរនៅក្នុងសមីការចុងក្រោយ និងការរួមបញ្ចូល យើងទទួលបាន

កន្លែងណា

សម្រាប់ការកំណត់ គយើងប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង៖ .

បន្ទាប់មក ហើយ​ដូច្នេះ,

កត្តាសមាមាត្រ kកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌបន្ថែម៖

យើង​មាន

ពី​ទីនេះ និងរូបមន្តដែលចង់បាន

បញ្ហានៃអត្រានៃការបន្តពូជរបស់បាក់តេរី

អត្រានៃការបន្តពូជរបស់បាក់តេរីគឺសមាមាត្រទៅនឹងចំនួនរបស់វា។ នៅពេលដំបូងមានបាក់តេរី 100 ។ ក្នុងរយៈពេល 3 ម៉ោងចំនួនរបស់ពួកគេបានកើនឡើងទ្វេដង។ ស្វែងរកការពឹងផ្អែកនៃចំនួនបាក់តេរីទាន់ពេលវេលា។ តើចំនួនបាក់តេរីនឹងកើនឡើងប៉ុន្មានដងក្នុងរយៈពេល 9 ម៉ោង?

ដំណោះស្រាយ។អនុញ្ញាតឱ្យ x- ចំនួនបាក់តេរីនៅពេលនេះ t.បន្ទាប់​មក​តាម​លក្ខខណ្ឌ​។

កន្លែងណា k- មេគុណសមាមាត្រ។

ពី​ទីនេះ វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌថា . មានន័យថា

ពីលក្ខខណ្ឌបន្ថែម . បន្ទាប់មក

មុខងារដែលត្រូវការ៖

ដូច្នេះ នៅ t= 9 x= 800 ពោលគឺក្នុងរយៈពេល 9 ម៉ោង ចំនួនបាក់តេរីកើនឡើង 8 ដង។

ភារកិច្ចបង្កើនបរិមាណអង់ស៊ីម

នៅក្នុងវប្បធម៌នៃដំបែរបស់ស្រាបៀរ អត្រាកំណើននៃអង់ស៊ីមសកម្មគឺសមាមាត្រទៅនឹងចំនួនដំបូងរបស់វា។ x.បរិមាណអង់ស៊ីមដំបូង កកើនឡើងទ្វេដងក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោង។ ស្វែងរកភាពអាស្រ័យ

x(t)

ដំណោះស្រាយ។តាមលក្ខខណ្ឌ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃដំណើរការមានទម្រង់

ពី​ទីនេះ

ប៉ុន្តែ . មានន័យថា គ= កហើយ​បន្ទាប់​មក

វាត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរ។

អាស្រ័យហេតុនេះ

៦.៣. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ

៦.៣.១. គំនិតជាមូលដ្ឋាន

និយមន័យ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរត្រូវបានគេហៅថាទំនាក់ទំនងដែលភ្ជាប់អថេរឯករាជ្យ មុខងារដែលចង់បាន និងដេរីវេទីវ័រទីមួយ និងទីពីររបស់វា។

ក្នុងករណីពិសេស x អាចអវត្តមានក្នុងសមីការ។ នៅឬ y"។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការលំដាប់ទីពីរត្រូវតែមាន y"។ ក្នុងករណីទូទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរត្រូវបានសរសេរជា៖

ឬប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន ក្នុងទម្រង់អនុញ្ញាតសម្រាប់ដេរីវេទី 2៖

ដូចនៅក្នុងករណីនៃសមីការលំដាប់ទីមួយ ដំណោះស្រាយទូទៅ និងជាក់លាក់មួយអាចមានសម្រាប់សមីការលំដាប់ទីពីរ។ ដំណោះស្រាយទូទៅមើលទៅដូចនេះ៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយឯកជន

នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដំបូង - ផ្តល់ឱ្យ

លេខ) ត្រូវបានហៅ បញ្ហា Cauchy ។តាមធរណីមាត្រ នេះមានន័យថាវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ នៅ= y(x),ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយមានតង់សង់នៅចំណុចនេះ ដែលនិយាយអំពី

សមដែលមានទិសដៅអ័ក្សវិជ្ជមាន គោមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អ៊ី (រូបភាព 6.1) ។ បញ្ហា Cauchy មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (6.10) មិន​មាន​មុន

គឺមិនបន្ត និងមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តទាក់ទងនឹង អ្នក, អ្នក"នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចចាប់ផ្តើម

ដើម្បីស្វែងរកថេរ រួមបញ្ចូលនៅក្នុងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ វាចាំបាច់ក្នុងការអនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ

អង្ករ។ ៦.១.ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។