តើ bisector បែងចែកភាគីផ្ទុយយ៉ាងដូចម្តេច។ តើអ្វីទៅជាផ្នែកនៃត្រីកោណ៖ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលទាក់ទងនឹងសមាមាត្រ

សូរ៉ូគីណាវីកា

ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃ bisector នៃត្រីកោណមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយការអនុវត្តទ្រឹស្តីដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានពិចារណា។

ទាញយក៖

មើលជាមុន៖

គណៈកម្មាធិការស្តីពីការអប់រំនៃរដ្ឋបាលនៃ Saratov ស្ថាប័នអប់រំស្វយ័តក្រុង Oktyabrsky ស្រុក Lyceum លេខ 3 ដាក់ឈ្មោះតាម។ A.S. Pushkin ។

សាលាក្រុង វិទ្យាសាស្ត្រ និងជាក់ស្តែង

សន្និសីទ

"ជំហានដំបូង"

ប្រធានបទ៖ Bisector និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

ការងារនេះត្រូវបានបញ្ចប់ដោយ៖ សិស្សថ្នាក់ទី ៨

Sorokina Victoriaអ្នកគ្រប់គ្រង៖ គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៃប្រភេទខ្ពស់បំផុតPopova Nina Fedorovna

Saratov ឆ្នាំ ២០១១

  1. ទំព័រចំណងជើង…………………………………………………… ១
  2. ខ្លឹមសារ………………………………………………………………… ២
  3. សេចក្តីផ្តើម និងគោលបំណង………………………………………………………... ៣
  4. ការពិចារណាលើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ bisector
  • ទីតាំងទីបីនៃចំណុច………………………………….៣
  • ទ្រឹស្តីបទ ១………………………………………………………………… ៤
  • ទ្រឹស្តីបទ ២………………………………………………………………… ៤
  • ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃ bisector នៃត្រីកោណមួយ:
  1. ទ្រឹស្តីបទ ៣………………………………………………………………… ៤
  2. កិច្ចការទី ១……………………………………………………………….៧
  3. កិច្ចការ ២………………………………………………………………… ៨
  4. កិច្ចការទី ៣……………………………………………………………………………… ៩
  5. កិច្ចការ ៤…………………………………………………………….៩-១០
  • ទ្រឹស្តីបទ ៤…………………………………………………… ១០-១១
  • រូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរក bisector:
  1. ទ្រឹស្តីបទ ៥…………………………………………………………….១១
  2. ទ្រឹស្តីបទ ៦………………………………………………………………….១១
  3. ទ្រឹស្តីបទ ៧…………………………………………………………….១២
  4. កិច្ចការទី ៥………………………………………………………………… ១២-១៣
  • ទ្រឹស្តីបទ ៨………………………………………………………………….១៣
  • កិច្ចការទី ៦………………………………………………………..…….១៤
  • កិច្ចការ ៧………………………………………………………………… ១៤-១៥
  • ការ​កំណត់​ដោយ​ប្រើ​ផ្នែក​នៃ​ចំណុច​ខា……………… ១៥
  1. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន និងសេចក្តីសន្និដ្ឋាន……………………………………………………..១៥
  2. បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ប្រើប្រាស់…………………………………………….១៦

Bisector

នៅក្នុងមេរៀនធរណីមាត្រ ដោយសិក្សាលើប្រធានបទនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នា ខ្ញុំបានជួបបញ្ហាមួយនៅលើទ្រឹស្តីបទអំពីសមាមាត្រនៃ bisector ទៅភាគីផ្ទុយ។ វាហាក់ដូចជាថាអាចមានអ្វីមួយដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៅក្នុងប្រធានបទនៃ bisector ប៉ុន្តែប្រធានបទនេះចាប់អារម្មណ៍ខ្ញុំហើយខ្ញុំចង់សិក្សាវាឱ្យកាន់តែស៊ីជម្រៅ។ យ៉ាងណាមិញ bisector គឺសម្បូរទៅដោយលក្ខណៈសម្បត្តិដ៏អស្ចារ្យរបស់វាដែលជួយដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។

នៅពេលពិចារណាលើប្រធានបទនេះ អ្នកអាចមើលឃើញថាសៀវភៅសិក្សាធរណីមាត្រនិយាយតិចតួចណាស់អំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ bisector ហើយនៅក្នុងការប្រឡងដោយដឹងពីវា អ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាកាន់តែងាយស្រួល និងលឿនជាងមុន។ លើសពីនេះទៀត ដើម្បីឆ្លងកាត់ការប្រឡង GIA និងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម សិស្សសម័យទំនើបត្រូវសិក្សាសម្ភារៈបន្ថែមសម្រាប់កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាដោយខ្លួនឯង។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំសម្រេចចិត្តសិក្សាប្រធានបទនៃ bisector ឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀត។

Bisector (មកពីឡាតាំង bi- "ទ្វេ" និង sectio "កាត់") នៃមុំមួយ - កាំរស្មីដែលមានការចាប់ផ្តើមនៅកំពូលនៃមុំដែលបែងចែកមុំជាពីរផ្នែកស្មើគ្នា។ ផ្នែកនៃមុំមួយ (រួមជាមួយផ្នែកបន្ថែមរបស់វា) គឺជាទីតាំងនៃចំនុចដែលស្មើគ្នាពីជ្រុងនៃមុំ (ឬផ្នែកបន្ថែមរបស់វា)

ទីតាំងទីបីនៃចំណុច

រូបភាព F គឺជាទីតាំងនៃចំណុច (សំណុំនៃចំណុច) ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិមួយចំនួនប៉ុន្តែ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖

  1. ពីការពិតដែលថាចំណុចជាកម្មសិទ្ធិរបស់តួលេខ F វាធ្វើតាមថាវាមានទ្រព្យសម្បត្តិប៉ុន្តែ;
  2. ពីការពិតដែលថាចំណុចបំពេញទ្រព្យសម្បត្តិប៉ុន្តែ វាធ្វើតាមថាវាជារបស់រូបច.

ទីតាំងដំបូងនៃចំណុចដែលត្រូវបានពិចារណាក្នុងធរណីមាត្រគឺជារង្វង់មួយ ពោលគឺឧ។ ទីតាំងនៃពិន្ទុស្មើគ្នាពីចំណុចថេរមួយ។ ទីពីរគឺ bisector កាត់កែងនៃចម្រៀក, i.e. ទីតាំងនៃពិន្ទុស្មើគ្នាពីចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកមួយ។ ហើយចុងក្រោយទីបី - bisector - ទីតាំងនៃចំនុចដែលស្មើគ្នាពីជ្រុងនៃមុំ

ទ្រឹស្តីបទ ១៖

ចំនុចនៃ bisector គឺនៅឆ្ងាយពីភាគីស្មើគ្នាគាត់គឺជាជ្រុងមួយ។

ភស្តុតាង៖

អនុញ្ញាតឱ្យ P - ចំណុច bisectorប៉ុន្តែ ទម្លាក់ពីចំណុចR កាត់កែង RV និង កុំព្យូទ័រនៅជ្រុងម្ខាង. បន្ទាប់មក VAR = SAR អ៊ីប៉ូតេនុស និងមុំស្រួច. ដូច្នេះ RV = PC

ទ្រឹស្តីបទ ២៖

ប្រសិនបើចំនុច P គឺស្មើគ្នាពីជ្រុងនៃមុំ A នោះវាស្ថិតនៅលើ bisector.

ភស្តុតាង៖ РВ = PC => ВАР = СAP => BAP= CAP => АР គឺជា bisector ។

ក្នុងចំនោមការពិតធរណីមាត្រមូលដ្ឋានគួរតែត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈទ្រឹស្តីបទដែល bisector បែងចែកភាគីផ្ទុយដោយទាក់ទងទៅនឹងភាគីផ្ទុយ។ ការពិតនេះបានស្ថិតនៅក្នុងស្រមោលយូរមកហើយ ប៉ុន្តែនៅគ្រប់ទីកន្លែងមានបញ្ហាដែលងាយស្រួលដោះស្រាយ ប្រសិនបើអ្នកដឹងរឿងនេះ និងការពិតផ្សេងទៀតអំពី bisector ។ ខ្ញុំ​ចាប់​អារម្មណ៍ ហើយ​ខ្ញុំ​បាន​សម្រេច​ចិត្ត​ស្វែង​រក​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​របស់​វិស័យ​នេះ​ឱ្យ​បាន​ស៊ី​ជម្រៅ​ជាង​នេះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃមុំ bisector នៃត្រីកោណមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣. bisector បែងចែកជ្រុងម្ខាងនៃត្រីកោណដែលទាក់ទងទៅនឹងភាគីដែលនៅជាប់គ្នា។.

ភស្តុតាង 1:

ផ្តល់អោយ៖ AL- ទ្វេភាគីនៃត្រីកោណ ABC

បញ្ជាក់៖

ភស្តុតាង៖ អនុញ្ញាតឱ្យ F - ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់អាល់ និងបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។អេ ស្របទៅនឹងចំហៀង AC ។

បន្ទាប់មក BFA = FAC = BAF ។ ដូច្នេះ BAF isosceles និង AB = BF ។ ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ ALC និង FLB យើងមាន

សមាមាត្រ

កន្លែងណា

ភស្តុតាង ២

ឲ្យ F ជាចំណុចប្រសព្វគ្នាដោយបន្ទាត់ AL និងបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច C ស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាន AB ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចនិយាយឡើងវិញនូវហេតុផល។

ភស្តុតាង ៣

អនុញ្ញាតឱ្យ K និង M ជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលទម្លាក់លើបន្ទាត់ AL ពីចំណុច B និង C រៀងៗខ្លួន។ ត្រីកោណ ABL និង ACL គឺស្រដៀងគ្នាក្នុងមុំពីរ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល
. ហើយពីភាពស្រដៀងគ្នានៃ BKL និង CML យើងមាន

ពី​ទីនេះ

ភស្តុតាង ៤

តោះប្រើវិធីសាស្រ្តតំបន់។ គណនាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABL និង ACL វិធីពីរ។

ពី​ទីនេះ។

ភស្តុតាង ៥

អនុញ្ញាតឱ្យ α= BAC, φ= BLA ដោយទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណ ABL

ហើយនៅក្នុងត្រីកោណ ACL.

ដោយសារតែ ,

បន្ទាប់មក បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពដោយផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃផ្នែកផ្សេងទៀត យើងទទួលបាន.

កិច្ចការទី 1


បានផ្តល់ឱ្យ៖ នៅក្នុងត្រីកោណ ABC, VC គឺជា bisector, BC=2, KS=1,

ដំណោះស្រាយ៖

កិច្ចការទី 2

បានផ្តល់ឱ្យ៖

រកផ្នែកនៃមុំស្រួចនៃត្រីកោណកែងដែលមានជើង 24 និង 18

ដំណោះស្រាយ៖

អនុញ្ញាតឱ្យជើង AC = 18, ជើង BC = 24,

ព្រឹក គឺ​ជា​ផ្នែក​នៃ​ត្រីកោណ។

តាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ យើងរកឃើញ

AB = 30 ។

ដោយសារតែបន្ទាប់មក

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញ bisector ទីពីរ។

ចម្លើយ៖

កិច្ចការទី 3

នៅក្នុងត្រីកោណកែង ABC ជាមួយមុំខាងស្តាំ B មុំ bisectorក ឆ្លងកាត់ចំហៀង BC

នៅចំណុច D. វាត្រូវបានគេដឹងថា BD = 4, DC = 6 ។

ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណមួយ។ ADC

ដំណោះស្រាយ៖

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃ bisector នៃត្រីកោណមួយ។

សម្គាល់ AB = 2 x , AC = 3 x ។ តាមទ្រឹស្តីបទ

Pythagorean BC 2 + AB 2 = AC 2 ឬ 100 + 4 x 2 = 9 x 2

ពីទីនេះយើងរកឃើញ x = បន្ទាប់មក AB = , S ABC =

អាស្រ័យហេតុនេះ

កិច្ចការទី 4

បានផ្តល់ឱ្យ៖

នៅក្នុងត្រីកោណ isosceles ABC ចំហៀង AB ស្មើ 10, មូលដ្ឋាន AC គឺ 12 ។

មុំ bisectorsក និង គ ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ឃ. ស្វែងរក BD ។

ដំណោះស្រាយ៖

ចាប់តាំងពី bisectors នៃត្រីកោណមួយប្រសព្វគ្នានៅ

ចំណុចមួយ បន្ទាប់មក BD គឺជាផ្នែកនៃ B ។ តោះបន្ត BD ទៅប្រសព្វជាមួយ AC នៅចំណុច M. បន្ទាប់មក M គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃ AC, BM AC ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

ដោយសារតែស៊ីឌី - ត្រីកោណមាត្រ BMC ពេលនោះ

ជាលទ្ធផល, ។

ចម្លើយ៖

ទ្រឹស្តីបទ ៤. ជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។

ជាការពិត សូមពិចារណាជាដំបូងចំណុច Р នៃចំនុចប្រសព្វនៃ bisectors ពីរ ឧទាហរណ៍ AK 1 និង VC 2 . ចំនុចនេះគឺនៅឆ្ងាយពីជ្រុង AB និង AC ស្មើៗគ្នា ព្រោះវាស្ថិតនៅលើ bisectorA និងដកចេញស្មើគ្នាពីជ្រុង AB និង BC ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ bisectorB. ដូច្នេះហើយ វាត្រូវបានដកចេញស្មើគ្នាពីជ្រុង AC និង BC ហើយដូច្នេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ bisector ទីបីនៃ SC 3 នោះគឺនៅចំណុច P ទាំងបីប្រសព្វគ្នា។


រូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរក bisector
ទ្រឹស្តីបទ ៥៖ (រូបមន្តដំបូងសម្រាប់ bisector): ប្រសិនបើនៅក្នុងត្រីកោណ ABC ចម្រៀក AL គឺជា bisector A បន្ទាប់មក AL² = AB AC - LB LC ។

ភស្តុតាង៖ អនុញ្ញាតឱ្យ M ជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ AL ជាមួយរង្វង់នៃត្រីកោណ ABC (រូបភាព 41) ។ មុំ BAM គឺស្មើនឹងមុំ MAC តាមអនុសញ្ញា។ មុំ BMA និង BCA គឺស្មើគ្នាជាមុំចារឹកដោយផ្អែកលើអង្កត់ធ្នូដូចគ្នា។ ដូច្នេះ ត្រីកោណ BAM និង LAC គឺស្រដៀងគ្នាក្នុងមុំពីរ។ ដូច្នេះ AL: AC = AB: AM ។ ដូច្នេះ AL AM = AB AC AL (AL + LM) = AB AC AL² = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC ។ Q.E.D.

ទ្រឹស្តីបទ ៦៖ (រូបមន្តទីពីរសម្រាប់ bisector): នៅក្នុងត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង AB=a, AC=b និងA ស្មើនឹង 2α និង bisector នៃ l សមភាពកើតឡើង៖
l = (2ab / (a+b)) cosα។

ភស្តុតាង ៖ សូមអោយ ABC ជាត្រីកោណដែលផ្តល់អោយ AL របស់វា bisector, a=AB, b=AC, l=AL។ បន្ទាប់មក S ABC = S ALB + S ALC . ដូច្នេះ ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a ​​+ b)) cosα ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ ៧៖ ប្រសិនបើ a, b គឺជាជ្រុងនៃត្រីកោណ, Y គឺជាមុំរវាងពួកវា,គឺជាផ្នែកនៃមុំនេះ។ បន្ទាប់មក.

ទ្រឹស្តីបទ។ bisector នៃមុំខាងក្នុងនៃត្រីកោណមួយបែងចែកភាគីផ្ទុយទៅជាផ្នែកសមាមាត្រទៅនឹងភាគីដែលនៅជាប់គ្នា។

ភស្តុតាង។ ពិចារណាត្រីកោណ ABC (រូបភាព 259) និង bisector នៃមុំរបស់វា B. អនុញ្ញាតឱ្យយើងគូរបន្ទាត់ CM តាមរយៈ vertex C ស្របទៅនឹង bisector VC រហូតដល់វាប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M ជាមួយការបន្តនៃចំហៀង AB ។ ដោយសារ VC គឺជាផ្នែកនៃមុំ ABC ដូច្នេះ . លើសពីនេះ ដូចជាមុំដែលត្រូវគ្នានៅបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល និងជាមុំកុហកបញ្ច្រាសនៅបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ ពីទីនេះហើយដូច្នេះ - isosceles, ពីណា។ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលដែលប្រសព្វជ្រុងម្ខាងនៃមុំ យើងមាន ហើយនៅក្នុងទិដ្ឋភាពនេះយើងទទួលបាន ដែលត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់។

bisector នៃមុំខាងក្រៅ B នៃត្រីកោណ ABC (Fig ។ 260) មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នា៖ ចម្រៀក AL និង CL ពីចំនុចកំពូល A និង C ដល់ចំនុច L នៃចំនុចប្រសព្វនៃ bisector ជាមួយនឹងការបន្តនៃចំហៀង AC គឺ សមាមាត្រទៅនឹងជ្រុងនៃត្រីកោណ៖

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញតាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងវត្ថុមុន៖ នៅក្នុងរូបភព។ 260 បន្ទាត់ត្រង់ជំនួយ SM ត្រូវបានគូរ ស្របទៅនឹង bisector BL ។ អ្នកអានខ្លួនឯងនឹងជឿជាក់លើសមភាពនៃមុំ BMC និង BCM ហេតុដូច្នេះហើយជ្រុង BM និង BC នៃត្រីកោណ BMC បន្ទាប់មកសមាមាត្រដែលត្រូវការនឹងត្រូវបានទទួលភ្លាមៗ។

យើង​អាច​និយាយ​បាន​ថា bisector នៃ​មុំ​ខាង​ក្រៅ​ក៏​បែង​ចែក​ផ្នែក​ផ្ទុយ​ទៅ​ជា​ផ្នែក​មួយ​សមាមាត្រ​ទៅ​នឹង​ភាគី​នៅ​ជាប់​គ្នា; វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីយល់ព្រមអនុញ្ញាតឱ្យ "ការបែងចែកខាងក្រៅ" នៃផ្នែក។

ចំនុច L ដែលស្ថិតនៅខាងក្រៅផ្នែក AC (នៅលើការបន្តរបស់វា) បែងចែកវាខាងក្រៅដោយគោរពប្រសិនបើ ដូច្នេះ ជ្រុងនៃមុំត្រីកោណ (ខាងក្នុង និងខាងក្រៅ) បែងចែកផ្នែកផ្ទុយ (ខាងក្នុង និងខាងក្រៅ) ទៅជាផ្នែកសមាមាត្រទៅនឹង ភាគីដែលនៅជាប់គ្នា។

បញ្ហា 1. ជ្រុងនៃ trapezoid គឺ 12 និង 15, មូលដ្ឋានគឺ 24 និង 16. រកជ្រុងនៃត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយមូលដ្ឋានធំនៃ trapezoid និងភាគីដែលលាតសន្ធឹងរបស់វា។

ដំណោះស្រាយ។ នៅក្នុងសញ្ញាណនៃរូបភព។ 261 យើង​មាន​សម្រាប់​ផ្នែក​ដែល​បម្រើ​ជា​ការ​បន្ត​នៃ​ផ្នែក​ខាង​ក្រោយ​នៃ​សមាមាត្រ​ដែល​យើង​អាច​រក​បាន​យ៉ាង​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​វិធី​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ​ដែរ​យើង​កំណត់​ផ្នែក​ខាង​ក្រោយ​ទីពីរ​នៃ​ត្រីកោណ​ភាគី​ទីបី​ស្រប​គ្នា​ជាមួយ​នឹង​មូលដ្ឋាន​ធំ : .

បញ្ហាទី 2. មូលដ្ឋាននៃ trapezoid គឺ 6 និង 15 ។ តើប្រវែងនៃចម្រៀកស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាននិងបែងចែកជ្រុងក្នុងសមាមាត្រនៃ 1: 2 ដោយរាប់ពីចំនុចកំពូលនៃមូលដ្ឋានតូច?

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងងាកទៅ Fig ។ 262 ពិពណ៌នាអំពី trapezoid ។ តាមរយៈចំនុចកំពូល C នៃមូលដ្ឋានតូច យើងគូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងចំហៀងចំហៀង AB ដោយកាត់ផ្តាច់ប៉ារ៉ាឡែលពី trapezoid ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមកយើងរកឃើញ។ ដូច្នេះ ផ្នែកដែលមិនស្គាល់ទាំងមូល KL គឺស្មើនឹងចំណាំថា ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងមិនចាំបាច់ដឹងពីជ្រុងនៃ trapezoid នោះទេ។

បញ្ហា 3. bisector នៃមុំខាងក្នុង B នៃត្រីកោណ ABC កាត់ចំហៀង AC ទៅជាចម្រៀកនៅចម្ងាយប៉ុន្មានពីចំនុចកំពូល A និង C នឹង bisector នៃមុំខាងក្រៅ B កាត់ផ្នែកបន្ថែម AC?

ដំណោះស្រាយ។ ផ្នែកនីមួយៗនៃមុំ B បែងចែក AC ក្នុងសមាមាត្រដូចគ្នា ប៉ុន្តែមួយខាងក្នុង និងមួយទៀតខាងក្រៅ។ យើងកំណត់ដោយ L ចំនុចប្រសព្វនៃការបន្តនៃ AC និង bisector នៃមុំខាងក្រៅ B. ចាប់តាំងពី AK យើងសម្គាល់ចម្ងាយមិនស្គាល់ AL នៅពេលនោះហើយយើងនឹងមានសមាមាត្រនៃដំណោះស្រាយដែលផ្តល់ឱ្យយើងនូវចម្ងាយដែលត្រូវការ។

ធ្វើគំនូរដោយខ្លួនឯង។

លំហាត់

1. រាងចតុកោណដែលមានមូលដ្ឋាន 8 និង 18 ត្រូវបានបែងចែកដោយបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងមូលដ្ឋានទៅជាប្រាំមួយបន្ទះដែលមានទទឹងស្មើគ្នា។ ស្វែងរកប្រវែងនៃផ្នែកបន្ទាត់ដែលបែងចែក trapezoid ទៅជាច្រូត។

2. បរិវេណនៃត្រីកោណគឺ 32. bisector នៃមុំ A បែងចែកចំហៀង BC ជាផ្នែកស្មើ 5 និង 3. រកប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណ។

3. មូលដ្ឋាននៃត្រីកោណ isosceles គឺ a, ចំហៀងគឺ b ។ ស្វែងរកប្រវែងនៃផ្នែកដែលតភ្ជាប់ចំណុចប្រសព្វនៃ bisectors នៃជ្រុងនៃមូលដ្ឋានជាមួយនឹងភាគី។

ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ BISSECTOR

ទ្រព្យសម្បត្តិ Bisector៖ នៅក្នុងត្រីកោណមួយ bisector បែងចែកផ្នែកទល់មុខទៅជាចម្រៀកសមាមាត្រទៅនឹងភាគីដែលនៅជាប់គ្នា។

Bisector នៃមុំខាងក្រៅ ទ្វេនៃមុំខាងក្រៅនៃត្រីកោណមួយកាត់ផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងរបស់វានៅចំណុចមួយ ចម្ងាយពីដែលទៅចុងបញ្ចប់នៃជ្រុងនេះគឺសមាមាត្ររៀងគ្នាទៅជ្រុងជាប់គ្នានៃត្រីកោណ។ C B A D

រូបមន្តប្រវែង Bisector៖

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងនៃផ្នែកដែល bisector បែងចែកជ្រុងផ្ទុយនៃត្រីកោណ

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃផ្នែកដែល bisector ត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុចប្រសព្វនៃ bisectors

បញ្ហា 1. មួយនៃ bisectors នៃត្រីកោណមួយត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុចប្រសព្វនៃ bisectors ក្នុងសមាមាត្រនៃ 3: 2 ដោយរាប់ពីកំពូល។ ស្វែងរក​បរិវេណ​នៃ​ត្រីកោណ ប្រសិនបើ​ប្រវែង​ចំហៀង​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​រង្វង់​នេះ​ត្រូវ​បាន​គូរ​គឺ 12 សង់ទីម៉ែត្រ។

ដំណោះស្រាយ យើងប្រើរូបមន្តដើម្បីស្វែងរកសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃចម្រៀកដែល bisector ត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុចប្រសព្វនៃ bisectors ក្នុងត្រីកោណ: 30. ចម្លើយ: P = 30cm ។

កិច្ចការទី 2 ។ Bisectors BD និង CE ∆ ABC ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុច O. AB=14, BC=6, AC=10។ ស្វែងរក O D ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងនៃ bisectors : យើងមាន: BD = BD = = យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់សមាមាត្រនៃផ្នែកដែល bisector ត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុចប្រសព្វនៃ bisectors: l = ។ 2 + 1 = 3 ផ្នែកនៃអ្វីគ្រប់យ៉ាង។

នេះគឺជាផ្នែកទី 1  OD = ចម្លើយ: OD =

បញ្ហានៅក្នុង ∆ ABC, bisectors AL និង BK ត្រូវបានគូរ។ ស្វែងរកប្រវែងនៃផ្នែក KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5. ក្នុង ∆ ABC ផ្នែក AD ត្រូវបានគូរ ហើយតាមរយៈចំនុច D គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹង AC និងប្រសព្វ AB នៅចំណុច E ។ រកសមាមាត្រនៃផ្ទៃ ∆ ABC និង ∆ BDE ប្រសិនបើ AB = 5, AC = 7. រកផ្នែកនៃមុំស្រួចនៃត្រីកោណកែងដែលមានជើង 24 សង់ទីម៉ែត្រ និង 18 សង់ទីម៉ែត្រ។ នៅ​ក្នុង​ត្រីកោណ​កែង​ bisector នៃ​មុំ​ស្រួច​មួយ​បែងចែក​ជើង​ទល់​មុខ​ជា​ចម្រៀក​ដែល​មាន​ប្រវែង 4 និង 5 សង់ទីម៉ែត្រ​។​ កំណត់​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​។

5. ក្នុងត្រីកោណ isosceles មូលដ្ឋាន និងចំហៀងគឺ 5 និង 20 សង់ទីម៉ែត្ររៀងគ្នា។ ស្វែងរក bisector នៃមុំនៅមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណនេះ។ 6. រក bisector នៃមុំខាងស្តាំនៃត្រីកោណមួយដែលមានជើងស្មើគ្នា a និង b ។ 7. គណនាប្រវែងនៃ bisector នៃមុំ A នៃត្រីកោណ ABC ដែលមានប្រវែងចំហៀង a = 18 សង់ទីម៉ែត្រ, b = 15 សង់ទីម៉ែត្រ, c = 12 សង់ទីម៉ែត្រ។ ស្វែងរកសមាមាត្រដែលផ្នែកនៃមុំខាងក្នុងបែងចែកនៅចំណុចនៃចំនុចប្រសព្វរបស់វា។

ចំលើយ៖ ចំលើយ៖ ចំលើយ៖ ចម្លើយ៖ ចំលើយ៖ ចំលើយ៖ ចំលើយ៖ ចំលើយ៖ AP = 6 AP = 10 សូមមើល KL = CP =

ថ្ងៃនេះនឹងជាមេរៀនដ៏ងាយស្រួលមួយ។ យើងនឹងពិចារណាតែវត្ថុមួយប៉ុណ្ណោះ - មុំ bisector - ហើយបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិដ៏សំខាន់បំផុតរបស់វា ដែលនឹងមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់សម្រាប់យើងនាពេលអនាគត។

កុំបន្ធូរអារម្មណ៍៖ ពេលខ្លះសិស្សដែលចង់ទទួលបានពិន្ទុខ្ពស់នៅលើ OGE ឬ USE ដូចគ្នាក្នុងមេរៀនទីមួយ មិនអាចសូម្បីតែបង្កើតនិយមន័យពិតប្រាកដនៃ bisector នោះទេ។

ហើយជំនួសឱ្យការធ្វើការងារដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ យើងចំណាយពេលលើរឿងសាមញ្ញៗបែបនេះ។ ដូច្នេះអាន មើល និងទទួលយក។ :)

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងសំណួរចម្លែកបន្តិច: តើមុំគឺជាអ្វី? នោះជាការត្រឹមត្រូវ៖ មុំមួយគ្រាន់តែជាកាំរស្មីពីរដែលចេញពីចំណុចដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍:


ឧទាហរណ៍នៃមុំ៖ ស្រួច, obtuse និងស្តាំ

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញពីរូបភាព ជ្រុងអាចមុត ស្រួច ត្រង់ - វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទេឥឡូវនេះ។ ជាញឹកញាប់ ដើម្បីភាពងាយស្រួល ចំណុចបន្ថែមមួយត្រូវបានសម្គាល់នៅលើកាំរស្មីនីមួយៗ ហើយពួកគេនិយាយថា យើងមានមុំ $AOB$ (សរសេរជា $\angle AOB$)។

ប្រធានក្រុមហាក់ដូចជាណែនាំថា បន្ថែមពីលើកាំរស្មី $OA$ និង $OB$ មនុស្សម្នាក់តែងតែអាចគូរកាំរស្មីពីចំណុច $O$ បាន។ ប៉ុន្តែក្នុងចំនោមពួកគេនឹងមានពិសេសមួយ - វាត្រូវបានគេហៅថា bisector ។

និយមន័យ។ bisector នៃមុំគឺជាកាំរស្មីដែលចេញពី vertex នៃមុំនោះ ហើយ bisect មុំ។

សម្រាប់មុំខាងលើ bisectors នឹងមើលទៅដូចនេះ:


ឧទាហរណ៍នៃ bisectors សម្រាប់ acute, obtuse និងមុំខាងស្តាំ

ដោយសារនៅក្នុងគំនូរពិត វានៅឆ្ងាយពីការជាក់ស្តែងដែលកាំរស្មីជាក់លាក់មួយ (ក្នុងករណីរបស់យើង នេះគឺជាកាំរស្មី $OM$) បំបែកមុំដំបូងទៅជាពីរស្មើគ្នា វាជាទម្លាប់ក្នុងធរណីមាត្រដើម្បីសម្គាល់មុំស្មើគ្នាជាមួយនឹងចំនួនដូចគ្នានៃ arcs (នៅក្នុងគំនូររបស់យើងនេះគឺ 1 ធ្នូសម្រាប់មុំស្រួច, ពីរសម្រាប់ blunt, បីសម្រាប់ត្រង់) ។

ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានស្វែងរកនិយមន័យ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវយល់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិដែល bisector មាន។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃមុំ bisector

តាមពិត bisector មានលក្ខណៈសម្បត្តិជាច្រើន។ ហើយយើងពិតជានឹងពិចារណាពួកគេនៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។ ប៉ុន្តែមានល្បិចមួយដែលអ្នកត្រូវយល់នៅពេលនេះ៖

ទ្រឹស្តីបទ។ bisector នៃមុំគឺជាទីតាំងនៃចំនុចដែលស្មើគ្នាពីជ្រុងនៃមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

បកប្រែពីគណិតវិទ្យាទៅជាភាសារុស្សី នេះមានន័យថាការពិតពីរក្នុងពេលតែមួយ៖

  1. រាល់ចំនុចដែលស្ថិតនៅលើ bisector នៃមុំមួយគឺនៅចំងាយដូចគ្នាពីជ្រុងនៃមុំនោះ។
  2. ហើយច្រាសមកវិញ៖ ប្រសិនបើចំនុចមួយស្ថិតនៅចំងាយដូចគ្នាពីជ្រុងនៃមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ វាត្រូវបានធានាថានឹងស្ថិតនៅលើ bisector នៃមុំនេះ។

មុននឹងបង្ហាញសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះ យើងសូមបញ្ជាក់ចំណុចមួយ៖ តាមពិតទៅ តើអ្វីទៅហៅថាចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅជ្រុងម្ខាងនៃមុំមួយ? និយមន័យចាស់ដ៏ល្អនៃចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយនឹងជួយយើងនៅទីនេះ៖

និយមន័យ។ ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែងដែលដកចេញពីចំណុចនោះទៅបន្ទាត់នោះ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាបន្ទាត់ $l$ និងចំណុច $A$ ដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះ។ គូរកាត់កែង $AH$ ដែល $H\in l$ ។ បន្ទាប់មកប្រវែងកាត់កែងនេះនឹងជាចម្ងាយពីចំណុច $A$ ទៅបន្ទាត់ $l$។

តំណាងក្រាហ្វិកនៃចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។

ដោយសារមុំមួយគ្រាន់តែជាកាំរស្មីពីរ ហើយកាំរស្មីនីមួយៗគឺជាបំណែកនៃបន្ទាត់ វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅជ្រុងម្ខាងនៃមុំ។ វាគ្រាន់តែជាការកាត់កែងពីរប៉ុណ្ណោះ៖


កំណត់ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅជ្រុងនៃមុំមួយ។

អស់ហើយ! ឥឡូវ​យើង​ដឹង​ថា​អ្វី​ជា​ចម្ងាយ​និង​អ្វី​ដែល​ជា bisector ។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​អាច​បញ្ជាក់​ពី​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​ចម្បង។

ដូចដែលបានសន្យា យើងបំបែកភស្តុតាងជាពីរផ្នែក៖

1. ចម្ងាយពីចំណុចមួយនៅលើ bisector ទៅជ្រុងនៃមុំគឺដូចគ្នា។

ពិចារណាមុំបំពានជាមួយ vertex $O$ និង bisector $OM$៖

ចូរយើងបញ្ជាក់ថាចំណុចដូចគ្នានេះ $M$ គឺនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីជ្រុងនៃមុំ។

ភស្តុតាង។ ចូរគូរកាត់កែងពីចំនុច $M$ ទៅជ្រុងម្ខាងនៃមុំ។ ចូរហៅពួកគេថា $M((H)_(1))$ និង $M((H)_(2))$:

គូរកាត់កែងទៅជ្រុងម្ខាងនៃជ្រុង

យើងទទួលបានត្រីកោណកែងពីរ៖ $\vartriangle OM((H)_(1))$ និង $\vartriangle OM((H)_(2))$ ។ ពួកវាមានអ៊ីប៉ូតេនុសទូទៅ $OM$ និងមុំស្មើគ្នា៖

  1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ តាមការសន្មត់ (ចាប់តាំងពី $OM$ ជា bisector);
  2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $តាមសំណង់;
  3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ ព្រោះផលបូក មុំស្រួចនៃត្រីកោណកែងគឺតែងតែស្មើនឹង 90 ដឺក្រេ។

ដូច្នេះ ត្រីកោណគឺស្មើគ្នានៅចំហៀង និងមុំពីរនៅជាប់គ្នា (សូមមើលសញ្ញានៃភាពស្មើគ្នានៃត្រីកោណ)។ ដូច្នេះជាពិសេស $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, i.e. ចម្ងាយពីចំណុច $O$ ទៅជ្រុងម្ខាងនៃមុំគឺពិតជាស្មើគ្នា។ Q.E.D. :)

2. ប្រសិនបើចម្ងាយស្មើគ្នា នោះចំនុចស្ថិតនៅលើ bisector

ឥឡូវ​នេះ​ស្ថានការណ៍​បាន​ប្រែ​ប្រួល​ហើយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមុំ $O$ និងចំណុច $M$ ស្មើគ្នាពីជ្រុងម្ខាងនៃមុំនេះ៖

ចូរយើងបង្ហាញថាកាំរស្មី $OM$ គឺជា bisector ពោលគឺឧ។ $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ ។

ភស្តុតាង។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងគូររូប $OM$ នេះ បើមិនដូច្នេះទេ គ្មានអ្វីត្រូវបញ្ជាក់ទេ៖

បានចំណាយធ្នឹម $OM$ នៅខាងក្នុងជ្រុង

យើងទទួលបានត្រីកោណកែងពីរម្តងទៀត៖ $\vartriangle OM((H)_(1))$ និង $\vartriangle OM((H)_(2))$ ។ ជាក់ស្តែងពួកគេស្មើគ្នាដោយសារតែ៖

  1. អ៊ីប៉ូតេនុស $OM$ គឺជារឿងធម្មតា។
  2. ជើង $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ តាមលក្ខខណ្ឌ (ព្រោះចំនុច $M$ គឺស្មើគ្នាពីជ្រុងម្ខាងនៃជ្រុង);
  3. ជើងដែលនៅសល់ក៏ស្មើគ្នាដែរព្រោះ ដោយទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$ ។

ដូច្នេះ ត្រីកោណ $\vartriangle OM((H)_(1))$ និង $\vartriangle OM((H)_(2))$ នៅលើបីជ្រុង។ ជាពិសេស មុំរបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា៖ $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$។ ហើយនេះគ្រាន់តែមានន័យថា $OM$ គឺជាផ្នែកមួយប៉ុណ្ណោះ។

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃភ័ស្តុតាង យើងសម្គាល់មុំស្មើគ្នាដែលបានបង្កើតឡើងជាមួយនឹងធ្នូក្រហម៖

bisector បំបែកមុំ $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ ទៅជាពីរស្មើ

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញគ្មានអ្វីស្មុគស្មាញទេ។ យើង​បាន​បង្ហាញ​ថា bisector នៃ​មុំ​មួយ​គឺ​ជា​ទីតាំង​នៃ​ចំណុច​ដែល​ស្មើ​ទៅ​នឹង​ជ្រុង​នៃ​មុំ​នេះ​។ :)

ឥឡូវនេះ យើងបានសម្រេចចិត្តច្រើន ឬតិចលើវាក្យស័ព្ទ វាដល់ពេលដែលត្រូវផ្លាស់ទីទៅកម្រិតថ្មីមួយហើយ។ នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងវិភាគលក្ខណៈសម្បត្តិស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតនៃ bisector និងរៀនពីរបៀបអនុវត្តពួកវាដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង