ព័ត៍មានពីប្រវតិ្តនៃរូបរាងនៃដេរីវេ៖ ពាក្យស្លោករបស់គណិតវិទូជាច្រើននៃសតវត្សទី 17 ។ គឺ៖ «ដើរទៅមុខ ហើយជឿជាក់លើភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលចំពោះអ្នក។
និង​មក។"
ពាក្យ "ដេរីវេ" - (ពាក្យបារាំង - ពីក្រោយ, ខាងក្រោយ) ត្រូវបានណែនាំនៅឆ្នាំ 1797 ដោយ J. Lagrange ។ គាត់ក៏បានណែនាំផងដែរ។
ការរចនាសម័យទំនើប y ", f' ។
ការរចនា lim គឺជាអក្សរកាត់នៃពាក្យឡាតាំង limes (ព្រំដែន, ព្រំដែន) ។ ពាក្យ "ដែនកំណត់" ត្រូវបានណែនាំដោយ I. Newton ។
I. ញូតុនបានហៅនិស្សន្ទវត្ថុថា លំហូរ ហើយមុខងារខ្លួនវា - ស្ទាត់ជំនាញ។
G. Leibniz បាននិយាយអំពីទំនាក់ទំនងឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយបានបង្ហាញពីនិស្សន្ទវត្ថុដូចខាងក្រោម៖
Lagrange Joseph Louis (១៧៣៦-១៨១៣)
គណិតវិទូបារាំង និងមេកានិក

ញូតុន៖

“ពិភពលោកនេះត្រូវបានគ្របដណ្ដប់ដោយភាពងងឹតដ៏ជ្រៅ។ ចូរ​ឱ្យ​មាន​ពន្លឺ! ហើយ​ដូច្នេះ
ញូតុនបានបង្ហាញខ្លួន។ A. Pogue ។
Isaac Newton (1643-1727) ជាស្ថាបនិកម្នាក់
ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។
ការងារសំខាន់របស់គាត់គឺ "គោលការណ៍គណិតវិទ្យា
ទស្សនវិជ្ជាធម្មជាតិ "- មានអត្ថន័យដ៏អស្ចារ្យ
ឥទ្ធិពលលើការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ
ចំណុចរបត់នៃប្រវត្តិសាស្ត្រវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ។
ញូតុន​បាន​ណែនាំ​ពី​គោល​គំនិត​នៃ​និស្សន្ទវត្ថុ​ខណៈ​កំពុង​សិក្សា​ច្បាប់
មេកានិក ដោយហេតុនេះបង្ហាញពីមេកានិចរបស់វា។
អត្ថន័យ។

តើអ្វីទៅជាដេរីវេនៃមុខងារ?

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់
សមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃមុខងារនៅចំណុចនេះទៅ
ការបង្កើនអាគុយម៉ង់នៅពេលបង្កើនអាគុយម៉ង់
ទំនោរទៅសូន្យ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ។

ល្បឿន​គឺ​ជា​ប្រភព​នៃ​ចម្ងាយ​ទាក់ទង​នឹង​ពេល​វេលា៖
v(t) = S′(t)
ការបង្កើនល្បឿនគឺជាដេរីវេ
ល្បឿនតាមពេលវេលា៖
a(t) = v′(t) = S′(t)

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ៖

ជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វ
អនុគមន៍គឺស្មើនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ
គណនានៅចំណុចទំនាក់ទំនង។
f′(x) = k = tga

ដេរីវេក្នុងវិស្វកម្មអគ្គិសនី៖

នៅក្នុងផ្ទះរបស់យើងក្នុងការដឹកជញ្ជូននៅក្នុងរោងចក្រ: វាដំណើរការគ្រប់ទីកន្លែង
អគ្គិសនី។ ដោយចរន្តអគ្គិសនីមានន័យថា
ដឹកនាំចលនានៃការគិតថ្លៃអគ្គិសនីដោយឥតគិតថ្លៃ
ភាគល្អិត។
លក្ខណៈបរិមាណនៃចរន្តអគ្គិសនីគឺកម្លាំង
នា​ពេល​បច្ចុប្បន្ន។
អេ
សៀគ្វីចរន្តអគ្គិសនី បន្ទុកអគ្គិសនីផ្លាស់ប្តូរពី
លើសម៉ោងតាមច្បាប់ q = q (t) ។ កម្លាំងបច្ចុប្បន្ន I គឺជាដេរីវេ
គិតថ្លៃ q តាមពេលវេលា។
នៅក្នុងវិស្វកម្មអគ្គិសនី ប្រតិបត្តិការ AC ត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាចម្បង។
ចរន្តអគ្គិសនីដែលផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលាត្រូវបានគេហៅថា
អថេរ។ សៀគ្វី AC អាចមានច្រើនប្រភេទ
ធាតុ: ឧបករណ៍កំដៅ, ឧបករណ៏, capacitor ។
ការទទួលបានចរន្តអគ្គិសនីជំនួសគឺផ្អែកលើច្បាប់
អាំងឌុចស្យុងអេឡិចត្រូម៉ាញេទិក, ការបង្កើតដែលមាន
ដេរីវេនៃលំហូរម៉ាញេទិក។

ដេរីវេក្នុងគីមីវិទ្យា៖

◦ ហើយនៅក្នុងគីមីវិទ្យា ឌីផេរ៉ង់ស្យែល
ការគណនាសម្រាប់បង្កើតគំរូគណិតវិទ្យានៃគីមី
ប្រតិកម្ម និងការពិពណ៌នាជាបន្តបន្ទាប់នៃលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។
◦ គីមីវិទ្យា គឺជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃសារធាតុ នៃការផ្លាស់ប្តូរគីមី
សារធាតុ។
◦ គីមីវិទ្យាសិក្សាពីគំរូនៃប្រតិកម្មផ្សេងៗ។
◦ អត្រានៃប្រតិកម្មគីមីគឺជាការផ្លាស់ប្តូរ
កំហាប់នៃប្រតិកម្មក្នុងមួយឯកតាពេលវេលា។
◦ ចាប់តាំងពីអត្រាប្រតិកម្ម v ផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់ក្នុងអំឡុងពេល
ដំណើរការ វាជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញថាជាដេរីវេនៃកំហាប់
ប្រតិកម្មតាមពេលវេលា។

ដេរីវេនៅក្នុងភូមិសាស្ត្រ៖

គំនិតនៃគំរូសង្គមវិទ្យារបស់ Thomas Malthus គឺកំណើនប្រជាជន
សមាមាត្រទៅនឹងចំនួនប្រជាជននៅពេលជាក់លាក់មួយ t ដល់ N (t), . គំរូ
Malthus បានធ្វើការយ៉ាងល្អក្នុងការពិពណ៌នាអំពីចំនួនប្រជាជនអាមេរិកពីឆ្នាំ 1790 ដល់ឆ្នាំ 1860 ។
ឆ្នាំ ម៉ូដែលនេះមិនមានសុពលភាពទៀតទេនៅក្នុងប្រទេសភាគច្រើន។

អាំងតេក្រាល និងកម្មវិធីរបស់វា៖

ប្រវត្តិសាស្ត្របន្តិច៖

ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគំនិតនៃអាំងតេក្រាលត្រឡប់ទៅ
ដល់គណិតវិទូនៃប្រទេសក្រិចបុរាណ និងបុរាណ
ទីក្រុងរ៉ូម។
ស្នាដៃរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៃប្រទេសក្រិកបុរាណ Eudoxus of Knidos (c. 408-c. 355 BC) ត្រូវបានគេស្គាល់នៅលើ
ការស្វែងរកបរិមាណសាកសព និងការគណនា
តំបន់នៃតួលេខយន្តហោះ។

ការគណនាអាំងតេក្រាលបានរីករាលដាលនៅក្នុងសតវត្សទី 17 ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ៖
G. Leibniz (1646-1716) និង I. Newton (1643-1727) បានរកឃើញដោយឯករាជ្យ
មិត្តនិងស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នារូបមន្តដែលក្រោយមកហៅថារូបមន្ត
Newton - Leibniz ដែលយើងប្រើ។ ថារូបមន្តគណិតវិទ្យា
ទស្សនវិទូ និង​រូបវិទ្យា​ដែល​នាំ​មក​មិន​ឱ្យ​នរណា​ភ្ញាក់​ផ្អើល​ទេ ព្រោះ​គណិតវិទ្យា​ជា​ភាសា​ដែល​មាន
ធម្មជាតិខ្លួនឯងនិយាយ។

និមិត្តសញ្ញាចូល
Leibniz (1675) ។ សញ្ញានេះគឺ
ការផ្លាស់ប្តូរអក្សរឡាតាំង S
(អក្សរទីមួយនៃពាក្យបូក) ។ អាំងតេក្រាលនៃពាក្យ
បានបង្កើត
J. Bernoulli (១៦៩០)។ វាប្រហែលជាមកពី
ឡាតាំង integero ដែលបកប្រែជា
ត្រឡប់ទៅសភាពដើមវិញ។
ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញរួចហើយដោយ L. Euler
(១៧០៧-១៧៨៣)។ នៅឆ្នាំ ១៦៩៧ ឈ្មោះនេះបានលេចចេញមក
សាខាថ្មីនៃគណិតវិទ្យា - អាំងតេក្រាល។
ការគណនា។ វាត្រូវបានណែនាំដោយ Bernoulli ។

នៅក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថា
ការពង្រីកគំនិតនៃផលបូក។ ដំណើរការនៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាល។
ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលគ្នា។ ដំណើរការនេះជាធម្មតាត្រូវបានប្រើសម្រាប់
ការស្វែងរកបរិមាណដូចជាតំបន់ បរិមាណ ម៉ាស ការផ្លាស់ទីលំនៅ។ល។
នៅពេលដែលអត្រាឬការចែកចាយនៃការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងបរិមាណនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
ទាក់ទងនឹងបរិមាណផ្សេងទៀត (ទីតាំង ពេលវេលា ។ល។)។

តើអាំងតេក្រាលគឺជាអ្វី?

អាំងតេក្រាល គឺជាគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ដែល
កើតឡើងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកតំបន់នៅក្រោមខ្សែកោងចម្ងាយដែលបានធ្វើដំណើរនៅពេល
ចលនាមិនស្មើគ្នា ម៉ាសនៃរាងកាយមិនស្មើគ្នា។ល។ ក៏ដូចជាបញ្ហានៃ
ការស្តារមុខងារពីដេរីវេរបស់វា។

អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រព្យាយាមអ្វីៗគ្រប់យ៉ាង
បាតុភូតដើម្បីបង្ហាញក្នុងទម្រង់
រូបមន្តគណិតវិទ្យា។ ម៉េច
មានតែយើងទេដែលមានរូបមន្ត
អាចធ្វើទៅបានជាមួយវា។
រាប់អ្វីទាំងអស់។ និងអាំងតេក្រាល។
គឺជាផ្នែកមួយនៃចម្បង
ឧបករណ៍សម្រាប់ធ្វើការជាមួយ
មុខងារ។

វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលគ្នា៖

1. តារាង។
2. ការកាត់បន្ថយការបំប្លែងតារាងនៃអាំងតេក្រាល
កន្សោមទៅជាផលបូកឬភាពខុសគ្នា។
3.ការរួមបញ្ចូលដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ (ជំនួស) ។
4. ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។

ការអនុវត្តអាំងតេក្រាល៖

◦ គណិតវិទ្យា
◦ គណនារាង S ។
◦ ប្រវែងអ័ក្សកោង។
◦ តួ V នៅលើប៉ារ៉ាឡែល S
ផ្នែក។
◦ V សាកសពនៃបដិវត្ត។ល។
រូបវិទ្យា
ការងារ កម្លាំងអថេរ។
S - (ផ្លូវ) នៃចលនា។
ការគណនាម៉ាស។
ការគណនានៃពេលវេលានៃនិចលភាពនៃបន្ទាត់,
រង្វង់, ស៊ីឡាំង។
◦ កូអរដោនេនៃមជ្ឈមណ្ឌលគណនា
ទំនាញ។
◦បរិមាណកំដៅ។ល។
◦
◦
◦
◦

មិនទាន់មានកំណែ HTML នៃការងារនៅឡើយទេ។

ឯកសារស្រដៀងគ្នា

ស្គាល់ប្រវត្តិនៃគំនិតនៃអាំងតេក្រាល។ ការចែកចាយនៃការគណនាអាំងតេក្រាល ការរកឃើញរូបមន្ត Newton-Leibniz ។ និមិត្តសញ្ញាបរិមាណ; ការពង្រីកគំនិតនៃផលបូក។ ការពិពណ៌នាអំពីតម្រូវការដើម្បីបង្ហាញពីបាតុភូតរូបវិទ្យាទាំងអស់ក្នុងទម្រង់ជារូបមន្តគណិតវិទ្យា។

បទបង្ហាញ, បានបន្ថែម 01/26/2015


គំនិតនៃការគណនាអាំងតេក្រាលនៅក្នុងស្នាដៃរបស់គណិតវិទូបុរាណ។ លក្ខណៈពិសេសនៃវិធីសាស្ត្រហត់នឿយ។ ប្រវត្តិនៃការស្វែងរករូបមន្តបរិមាណ Kepler torus ។ ការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីនៃគោលការណ៍នៃការគណនាអាំងតេក្រាល (គោលការណ៍របស់ Cavalieri) ។ គំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

បទបង្ហាញ, បានបន្ថែម 07/05/2016


ប្រវត្តិនៃការគណនាអាំងតេក្រាល និយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលទ្វេ។ ការបកស្រាយធរណីមាត្ររបស់វា ការគណនាក្នុងកូអរដោណេ Cartesian និងប៉ូល ការកាត់បន្ថយរបស់វាទៅដដែលៗ។ កម្មវិធីក្នុងសេដ្ឋកិច្ច និងធរណីមាត្រ ដើម្បីគណនាបរិមាណ និងតំបន់។

ក្រដាសពាក្យបន្ថែម 10/16/2013


និយមន័យនៃអាំងតេក្រាល curvilinear លើកូអរដោណេ លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បង និងការគណនារបស់វា។ លក្ខខណ្ឌឯករាជ្យនៃអាំងតេក្រាល curvilinear ពីផ្លូវនៃការរួមបញ្ចូល។ ការគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាលទ្វេ។ ដោយប្រើរូបមន្តបៃតង។

សាកល្បងបន្ថែម ០២/២៣/២០១១


លក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ការអនុវត្តការគណនាអាំងតេក្រាល។ ការគណនាអាំងតេក្រាលក្នុងធរណីមាត្រ។ ការអនុវត្តមេកានិចនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ការគណនាអាំងតេក្រាលក្នុងជីវវិទ្យា។ ការគណនាអាំងតេក្រាលក្នុងសេដ្ឋកិច្ច។

ក្រដាសពាក្យបន្ថែមថ្ងៃទី 01/21/2008


ប្រវត្តិនៃការគណនាអាំងតេក្រាល និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ការអនុវត្តនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាមួយចំនួននៃមេកានិច និងរូបវិទ្យា។ គ្រា និង​ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​ទំហំ​នៃ​ខ្សែ​កោង​យន្តហោះ ទ្រឹស្តីបទ​របស់ Gulden ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុង MatLab ។

អរូបីបន្ថែម ០៩/០៧/២០០៩


គំនិតនៃអាំងតេក្រាល Stieltjes ។ លក្ខខណ្ឌទូទៅសម្រាប់អត្ថិភាពនៃអាំងតេក្រាល Stieltjes ថ្នាក់នៃករណីនៃអត្ថិភាពរបស់វា និងការឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ក្រោមសញ្ញារបស់វា។ កាត់បន្ថយអាំងតេក្រាល Stieltjes ទៅអាំងតេក្រាល Riemann ។ កម្មវិធីនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងមេកានិចកង់ទិច។

និក្ខេបបទបន្ថែម ០៧/២០/២០០៩


និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ការប្រឆាំងនៃអនុគមន៍បន្តមួយ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ការជំនួសអថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ និងការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ និយមន័យនៃអនុគមន៍សមហេតុផលប្រភាគ។

សន្លឹកបន្លំបានបន្ថែម 08/21/2009


ស្គាល់គោលគំនិត និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ តំណាងនៃរូបមន្តសម្រាប់គណនាផលបូកអាំងតេក្រាលសម្រាប់អនុគមន៍ y=f(x) នៅលើផ្នែក [a,b]។ សមភាពទៅនឹងសូន្យនៃអាំងតេក្រាលក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលដែនកំណត់ខាងក្រោម និងខាងលើនៃការរួមបញ្ចូលគឺស្មើគ្នា។

បទបង្ហាញ, បានបន្ថែម 09/18/2013


កម្មវិធីមួយចំនួននៃដេរីវេ។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាននៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើម្បីបញ្ជាក់វិសមភាព។ Antiderivative និងអាំងតេក្រាលក្នុងបញ្ហានៃគណិតវិទ្យាបឋម។ Monotonicity នៃអាំងតេក្រាល វិសមភាពបុរាណមួយចំនួន។

ប្រធានបទស្រាវជ្រាវ

ការអនុវត្តការគណនាអាំងតេក្រាលក្នុងការធ្វើផែនការចំណាយគ្រួសារ

ភាពពាក់ព័ន្ធនៃបញ្ហា

កាន់តែខ្លាំងឡើងនៅក្នុងវិស័យសង្គម និងសេដ្ឋកិច្ច នៅពេលគណនាកម្រិតវិសមភាពក្នុងការបែងចែកប្រាក់ចំណូល គណិតវិទ្យាត្រូវបានប្រើប្រាស់គឺ ការគណនាអាំងតេក្រាល ។ ដោយសិក្សាពីការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃអាំងតេក្រាល យើងរៀន៖

• តើអាំងតេក្រាល និងការគណនាផ្ទៃដោយប្រើអាំងតេក្រាលជួយក្នុងការបែងចែកថ្លៃសម្ភារៈយ៉ាងដូចម្តេច?

• របៀបដែលអាំងតេក្រាលនឹងជួយសន្សំប្រាក់សម្រាប់វិស្សមកាល។

គោលដៅ

រៀបចំផែនការចំណាយគ្រួសារដោយប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល។

ភារកិច្ច

• រៀនអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាល។
• ពិចារណាអំពីវិធីសាស្រ្តនៃការធ្វើសមាហរណកម្មក្នុងវិស័យសង្គម និងសេដ្ឋកិច្ចនៃជីវិត។
• ធ្វើការព្យាករណ៍អំពីតម្លៃសម្ភារៈរបស់គ្រួសារនៅពេលជួសជុលអាផាតមិនដោយប្រើអាំងតេក្រាល។
• គណនាបរិមាណនៃការប្រើប្រាស់ថាមពលរបស់គ្រួសារសម្រាប់រយៈពេលមួយឆ្នាំដោយគិតគូរពីការគណនាអាំងតេក្រាល។
• គណនាចំនួនប្រាក់បញ្ញើសន្សំនៅក្នុង Sberbank សម្រាប់វិស្សមកាល។

សម្មតិកម្ម

ការគណនាអាំងតេក្រាលជួយក្នុងការគណនាសេដ្ឋកិច្ចនៅពេលរៀបចំផែនការចំណូល និងចំណាយរបស់គ្រួសារ។

ដំណាក់កាលស្រាវជ្រាវ

• យើងបានសិក្សាពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាល និងវិធីសាស្រ្តនៃការធ្វើសមាហរណកម្មក្នុងវិស័យសង្គម និងសេដ្ឋកិច្ចនៃជីវិត។
• យើងបានគណនាតម្លៃសម្ភារៈដែលត្រូវការសម្រាប់ការជួសជុលអាផាតមិនដោយប្រើអាំងតេក្រាល។
• យើងបានគណនាបរិមាណនៃការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីនៅក្នុងអាផាតមិន និងតម្លៃអគ្គិសនីសម្រាប់គ្រួសារក្នុងមួយឆ្នាំ។
• យើងបានពិចារណាជម្រើសមួយក្នុងចំណោមជម្រើសសម្រាប់ការប្រមូលប្រាក់ចំណូលគ្រួសារតាមរយៈការដាក់ប្រាក់នៅក្នុងធនាគារ Sberbank ដោយប្រើអាំងតេក្រាល។

វត្ថុនៃការសិក្សា

ការគណនាអាំងតេក្រាលក្នុងវិស័យសង្គម និងសេដ្ឋកិច្ចនៃជីវិត។

វិធីសាស្រ្ត

• ការវិភាគអក្សរសិល្ប៍លើប្រធានបទ "ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃការគណនាអាំងតេក្រាល"
• ការសិក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តសមាហរណកម្មក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលើការគណនាតំបន់ និងបរិមាណនៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាល។
• ការវិភាគលើការចំណាយគ្រួសារ និងប្រាក់ចំណូលដោយប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល។

វឌ្ឍនភាព

• ការពិនិត្យឡើងវិញអក្សរសិល្ប៍លើប្រធានបទ "ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃការគណនាអាំងតេក្រាល"
• ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធសម្រាប់ការគណនាតំបន់ និងបរិមាណនៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាល។
• ការគណនានៃការចំណាយគ្រួសារនិងប្រាក់ចំណូលដោយប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល: ការជួសជុលបន្ទប់បរិមាណអគ្គិសនីការដាក់ប្រាក់នៅក្នុងធនាគារ Sberbank សម្រាប់វិស្សមកាល។

លទ្ធផលរបស់យើង។

តើអាំងតេក្រាលនិងការគណនាបរិមាណដោយមានជំនួយពីអាំងតេក្រាលជួយក្នុងការទស្សន៍ទាយបរិមាណនៃការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីយ៉ាងដូចម្តេច?

ការសន្និដ្ឋាន

• ការគណនាសេដ្ឋកិច្ចនៃមូលនិធិចាំបាច់សម្រាប់ការជួសជុលអាផាតមិនអាចត្រូវបានអនុវត្តលឿននិងត្រឹមត្រូវជាងមុនដោយប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល។

• វាកាន់តែងាយស្រួល និងលឿនក្នុងការគណនាការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីរបស់គ្រួសារដោយប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល និង Microsoft Office Excel ដែលមានន័យថាការព្យាករណ៍តម្លៃអគ្គិសនីរបស់គ្រួសារសម្រាប់រយៈពេលមួយឆ្នាំ។

• ប្រាក់ចំណេញពីប្រាក់បញ្ញើនៅក្នុងធនាគារសន្សំអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល ដែលមានន័យថារៀបចំផែនការវិស្សមកាលគ្រួសារ។

បញ្ជីធនធាន

ការបោះពុម្ពផ្សាយ៖

• សៀវភៅសិក្សា។ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគថ្នាក់ទី១០-១១។ A.G. Mordkovich ។ មីនីម៉ូស៊ីន។ M: ឆ្នាំ 2007
• សៀវភៅសិក្សា។ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគថ្នាក់ទី១០-១១។ A. Kolmogorov ការត្រាស់ដឹង។ M: ឆ្នាំ 2007
• គណិតវិទ្យាសម្រាប់សង្គមវិទូ និងសេដ្ឋវិទូ។ Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 ទំ។
• ការគណនាអាំងតេក្រាល សៀវភៅដៃនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ដោយ M. Ya. Vygodsky, Enlightenment, 2000

បាវចនានៃមេរៀន៖ "គណិតវិទ្យាគឺជាភាសាដែលវិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដនិយាយ" N.I. Lobachevsky

គោលបំណងនៃមេរៀន៖ ដើម្បីបង្កើនចំណេះដឹងរបស់សិស្សលើប្រធានបទ "អាំងតេក្រាល", "កម្មវិធីនៃអាំងតេក្រាល"; ដើម្បីពង្រីកការយល់ដឹងរបស់ពួកគេ ចំណេះដឹងអំពីការអនុវត្តដែលអាចធ្វើបាននៃអាំងតេក្រាលទៅនឹងការគណនាបរិមាណផ្សេងៗ។ ពង្រឹងជំនាញក្នុងការប្រើប្រាស់អាំងតេក្រាលដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត។ បណ្ដុះចំណាប់អារម្មណ៍លើផ្នែកគណិតវិទ្យា អភិវឌ្ឍវប្បធម៌ទំនាក់ទំនង និងវប្បធម៌នៃការនិយាយគណិតវិទ្យា។ អាចរៀននិយាយជាមួយសិស្ស និងគ្រូ។

ប្រភេទនៃមេរៀន៖ ការបង្កើតឡើងវិញ។

ប្រភេទនៃមេរៀន៖ មេរៀន - ការការពារគម្រោង "កម្មវិធីនៃអាំងតេក្រាល" ។

គ្រឿងបរិក្ខារ៖ បន្ទះម៉ាញេទិក ផ្ទាំងរូបភាព "កម្មវិធីនៃអាំងតេក្រាល" កាតដែលមានរូបមន្ត និងភារកិច្ចសម្រាប់ការងារឯករាជ្យ។

ផែនការ​មេរៀន:

1. ការការពារគម្រោង៖

1. ពីប្រវត្តិនៃការគណនាអាំងតេក្រាល;
2. លក្ខណៈសម្បត្តិអាំងតេក្រាល;
3. ការអនុវត្តនៃអាំងតេក្រាលក្នុងគណិតវិទ្យា;
4. ការអនុវត្តនៃអាំងតេក្រាលក្នុងរូបវិទ្យា;

2. ដំណោះស្រាយនៃលំហាត់។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

គ្រូ៖ ឧបករណ៍ស្រាវជ្រាវដ៏មានអានុភាពក្នុងគណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា មេកានិក និងមុខវិជ្ជាផ្សេងទៀត គឺជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដែលជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលគឺជាតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ។ អត្ថន័យរូបវន្តនៃអាំងតេក្រាលគឺ 1) ម៉ាស់នៃដំបងដែលមិនដូចគ្នាជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេ 2) ការផ្លាស់ទីលំនៅនៃចំណុចដែលផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយជាមួយនឹងល្បឿនក្នុងរយៈពេលមួយ។

គ្រូ៖ បុរសនៅក្នុងថ្នាក់របស់យើងធ្វើបានល្អណាស់ ពួកគេបានរើសកិច្ចការដែលអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយត្រូវបានអនុវត្ត។ ពួកគេមានពាក្យមួយ។

2 សិស្ស: លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាល។

សិស្ស 3: ការអនុវត្តនៃអាំងតេក្រាល (តារាងនៅលើបន្ទះម៉ាញេទិក) ។

សិស្ស 4 នាក់៖ យើងពិចារណាលើការប្រើប្រាស់អាំងតេក្រាលក្នុងគណិតវិទ្យាដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃតួលេខ។

ផ្ទៃនៃតួយន្តហោះណាមួយ ដែលត្រូវបានពិចារណាក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ អាចត្រូវបានផ្សំឡើងដោយតំបន់នៃ curvilinear trapezoids នៅជាប់នឹងអ័ក្ស អូនិងអ័ក្ស អូ.តំបន់​នៃ​រាង​ជា​រាង​ចតុកោណ​ដែល​ជាប់​នឹង​ខ្សែ​កោង y = f(x),អ័ក្ស អូនិងពីរត្រង់ x=aនិង x=b,កន្លែងណា ក x ខ, f(x) ០គណនាដោយរូបមន្ត សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ អង្ករ។ប្រសិនបើ curvilinear trapezoid នៅជាប់នឹងអ័ក្ស អូបន្ទាប់មកផ្ទៃដីរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត , សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ អង្ករ។នៅពេលគណនាផ្នែកនៃតួលេខ ករណីខាងក្រោមអាចកើតឡើង៖ ក) តួលេខមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្សអុក ហើយត្រូវបានកំណត់ដោយអ័ក្សអុក ខ្សែកោង y \u003d f (x) និងបន្ទាត់ត្រង់ពីរ x \u003d a និង x \u003d ខ។ (សូមមើល។ អង្ករ។) ផ្ទៃនៃតួលេខនេះត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត 1 ឬ 2។ ខ) តួលេខនេះមានទីតាំងនៅក្រោមអ័ក្សអុក ហើយត្រូវបានកំណត់ដោយអ័ក្សអុក ខ្សែកោង y \u003d f (x) និងបន្ទាត់ត្រង់ពីរ x \u003d a និង x \u003d b (សូមមើល។ អង្ករ។) តំបន់ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត . គ) តួលេខមានទីតាំងនៅខាងលើ និងខាងក្រោមអ័ក្សអុក ហើយត្រូវបានកំណត់ដោយអ័ក្សអុក ខ្សែកោង y \u003d f (x) និងបន្ទាត់ត្រង់ពីរ x \u003d a និង x \u003d b ( អង្ករ។) ឃ) តំបន់នេះត្រូវបានចងដោយខ្សែកោងប្រសព្វពីរ y \u003d f (x) និង y \u003d (x) ( អង្ករ។)

៥ សិស្ស៖ ដោះស្រាយបញ្ហា

x-2y+4=0 និង x+y-5+0 និង y=0

7 សិស្ស: អាំងតេក្រាលដែលប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងរូបវិទ្យា។ ពាក្យមួយទៅកាន់អ្នករូបវិទ្យា។

1. ការគណនានៃផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយចំណុចមួយ។

ផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយចំណុចមួយក្នុងអំឡុងពេលចលនាមិនស្មើគ្នានៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលមានល្បឿនអថេរសម្រាប់ចន្លោះពេលពីទៅមួយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត។

ឧទាហរណ៍:

1. ល្បឿនចលនាចំណុច m/s ។ ស្វែងរកផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយចំណុចក្នុងរយៈពេល 4 វិនាទី។

ដំណោះស្រាយ៖ យោងតាមលក្ខខណ្ឌ។ អាស្រ័យហេតុនេះ

2. សាកសពពីរបានចាប់ផ្តើមផ្លាស់ទីក្នុងពេលដំណាលគ្នាពីចំណុចដូចគ្នាក្នុងទិសដៅដូចគ្នាក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ រាងកាយទីមួយផ្លាស់ទីដោយល្បឿន m / s, ទីពីរ - ជាមួយល្បឿន v = (4t+5) m/s ។ តើពួកគេនឹងនៅឆ្ងាយពីគ្នាប៉ុន្មានបន្ទាប់ពី 5 វិនាទី?

ដំណោះស្រាយ៖ វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃដែលចង់បានគឺជាភាពខុសគ្នារវាងចម្ងាយដែលធ្វើដំណើរដោយតួទីមួយ និងទីពីរក្នុង 5 វិនាទី៖

3. រាងកាយមួយត្រូវបានបោះបញ្ឈរឡើងលើពីផ្ទៃផែនដីជាមួយនឹងល្បឿន u = (39.2-9.8^) m/s ។ ស្វែងរកកម្ពស់អតិបរមានៃរាងកាយ។

ដំណោះស្រាយ៖ រាងកាយនឹងឈានដល់កម្ពស់លើកខ្ពស់បំផុតនៅពេលមួយ t នៅពេលដែល v = 0, i.e. 39.2- 9.8t = 0, មកពីណាខ្ញុំ= 4 ស. តាមរូបមន្ត (1) យើងរកឃើញ

2. ការគណនាកម្លាំងការងារ

ការងារដែលធ្វើដោយកម្លាំងអថេរ f(x) នៅពេលផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស អូចំណុចសម្ភារៈពី x = កមុន x=b,ត្រូវបានរកឃើញតាមរូបមន្ត នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ការគណនាការងាររបស់កម្លាំង ច្បាប់ G y k a ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់៖ F=kx, (3)ដែលជាកន្លែងដែល F - កម្លាំង N; X- ការពន្លូតដាច់ខាតនៃនិទាឃរដូវ, m, បណ្តាលមកពីកម្លាំង ច, ក k- មេគុណសមាមាត្រ, N/m ។

ឧទាហរណ៍៖

1. និទាឃរដូវនៅសម្រាកមានប្រវែង 0.2 ម៉ែត្រ កម្លាំង 50 N លាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវ 0.01 ម៉ែត្រ តើការងារអ្វីខ្លះត្រូវធ្វើដើម្បីលាតសន្ធឹងពី 0.22 ទៅ 0.32 ម៉ែត្រ?

ដំណោះស្រាយ៖ ដោយប្រើសមភាព (3) យើងមាន 50=0.01k ពោលគឺ kK = 5000 N/m ។ យើងរកឃើញដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល: a = 0.22 - 0.2 = 0.02 (m), b = 0.32- 0.2 = 0.12 (m) ។ ឥឡូវនេះយោងទៅតាមរូបមន្ត (2) យើងទទួលបាន

3. ការគណនានៃការងារដែលបានអនុវត្តនៅពេលលើកបន្ទុក

កិច្ចការមួយ។ ធុងស៊ីឡាំងដែលមានកាំមូលដ្ឋាន 0.5 ម៉ែត្រ និងកម្ពស់ 2 ម៉ែត្រត្រូវបានបំពេញដោយទឹក។ គណនាការងារដែលត្រូវធ្វើដើម្បីបូមទឹកចេញពីធុង។

ដំណោះស្រាយ៖ ជ្រើសរើសស្រទាប់ផ្តេកនៅជម្រៅ x ជាមួយកម្ពស់ dx ( អង្ករ។) ការងារ A ដែលត្រូវធ្វើដើម្បីលើកស្រទាប់ទឹកនៃទម្ងន់ P ដល់កម្ពស់ x គឺស្មើនឹង Px ។

ការផ្លាស់ប្តូរជម្រៅ x ដោយចំនួនតូចមួយ dx នឹងបណ្តាលឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណ V ដោយ dV = pr 2 dx និងការផ្លាស់ប្តូរទំងន់Рដោយ * dР = 9807 r 2 dх; ក្នុងករណីនេះការងារដែលបានអនុវត្ត A នឹងផ្លាស់ប្តូរដោយតម្លៃ dА=9807пr 2 xdх។ ការរួមបញ្ចូលសមភាពនេះនៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរពី 0 ទៅ H យើងទទួលបាន

4. ការគណនាកម្លាំងសម្ពាធរាវ

អត្ថន័យនៃកម្លាំង រសម្ពាធរាវនៅលើវេទិកាផ្ដេកអាស្រ័យលើជម្រៅនៃការពន្លិច Xគេហទំព័រនេះ ពោលគឺ ពីចម្ងាយនៃទីតាំងទៅផ្ទៃវត្ថុរាវ។

កម្លាំងសម្ពាធ (N) នៅលើវេទិកាផ្ដេកត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត P = 9807Sx,

កន្លែងណា ដង់ស៊ីតេរាវ, គីឡូក្រាម / ម 3; S - តំបន់បណ្តាញ, m 2; X -ជម្រៅនៃការពន្លិចវេទិកា, ម

ប្រសិនបើផ្ទៃក្រោមសម្ពាធរាវមិនផ្ដេកទេ នោះសម្ពាធលើវាខុសគ្នានៅជម្រៅខុសៗគ្នា ដូច្នេះកម្លាំងសម្ពាធលើផ្ទៃគឺជាមុខងារនៃជម្រៅនៃការជ្រមុជរបស់វា។ P(x)

5. ប្រវែង ARC

សូមឱ្យខ្សែកោងរាបស្មើ AB(អង្ករ។ )ផ្តល់ដោយសមីការ y \u003d f (x) (កxខ)និង f(x)និង f ?(x)គឺជាមុខងារបន្តក្នុងចន្លោះ [а, b] ។ បន្ទាប់មកឌីផេរ៉ង់ស្យែល dlប្រវែងធ្នូ ABត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត ឬ និងប្រវែងធ្នូ ABគណនាតាមរូបមន្ត (4)

ដែល a និង b គឺជាតម្លៃនៃអថេរឯករាជ្យ Xនៅចំណុច A និង B. ប្រសិនបើខ្សែកោងត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ x =(y) (ជាមួយ yឃ)បន្ទាប់មកប្រវែងនៃធ្នូ AB ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត (5) កន្លែងណា ជាមួយនិង ឃតម្លៃអថេរឯករាជ្យ នៅនៅចំណុច ប៉ុន្តែនិង V.

6. មជ្ឈមណ្ឌល MASS

នៅពេលរកឃើញចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ ច្បាប់ខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖

1) x កូអរដោនេ ? ចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ А 1 , А 2 , ... , А n ជាមួយនឹងម៉ាស់ m 1 , m 2 , ... , m n ដែលមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ត្រង់នៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ x 1 , x 2 , ..., x n ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

(*); 2) នៅពេលគណនាកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ ផ្នែកណាមួយនៃតួលេខអាចត្រូវបានជំនួសដោយចំណុចសម្ភារៈ ដោយដាក់វានៅកណ្តាលម៉ាស់នៃផ្នែកនេះ ហើយកំណត់ឱ្យវានូវម៉ាស់ស្មើនឹងម៉ាស់នៃផ្នែកដែលបានពិចារណា។ នៃរូប។ ឧទាហរណ៍។ អនុញ្ញាតឱ្យតាមបណ្តោយកំណាត់ - ផ្នែក [a; b] នៃអ័ក្ស Ox - ម៉ាស់ត្រូវបានចែកចាយដោយដង់ស៊ីតេ (x) ដែល (x) គឺជាមុខងារបន្ត។ ចូរយើងបង្ហាញវា។ ក) ម៉ាស់សរុប M នៃដំបងគឺស្មើនឹង; ខ) កូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ x " គឺស្មើនឹង .

ចូរបំបែកផ្នែក [a; b] ចូលទៅក្នុងផ្នែកស្មើៗគ្នាជាមួយចំនុច a = x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (អង្ករ។) នៅលើផ្នែកនីមួយៗនៃ n ទាំងនេះ ដង់ស៊ីតេអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាថេរសម្រាប់ n ធំ និងប្រហែលស្មើនឹង (x k - 1) នៅលើផ្នែក k-th (ដោយសារការបន្តនៃ (x)) បន្ទាប់មកម៉ាស់នៃផ្នែក k-th គឺប្រហែលស្មើនឹង ហើយម៉ាស់នៃដំបងទាំងមូលគឺ

គំនិតនៃអាំងតេក្រាលគឺអាចអនុវត្តបានយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងជីវិត។ អាំងតេក្រាលត្រូវបានប្រើក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា។ ភារកិច្ចចម្បងដែលត្រូវបានគណនាដោយប្រើអាំងតេក្រាលគឺជាភារកិច្ចសម្រាប់៖

1. ការស្វែងរកបរិមាណនៃរាងកាយ

2. ការស្វែងរកចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាសនៃរាងកាយ។

ចូរយើងពិចារណាពួកវានីមួយៗឱ្យកាន់តែលម្អិត។ នៅទីនេះ និងខាងក្រោម ដើម្បីសម្គាល់អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃមុខងារមួយចំនួន f(x) ជាមួយនឹងដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលពី a ទៅ b យើងនឹងប្រើសញ្ញាណខាងក្រោម ∫ a b f(x).

ការស្វែងរកបរិមាណនៃរាងកាយ

ពិចារណារូបភាពខាងក្រោម។ ឧបមាថាមានរូបកាយមួយចំនួនដែលបរិមាណស្មើនឹង V. វាក៏មានបន្ទាត់ត្រង់មួយផងដែរ ដែលថាប្រសិនបើយើងយកប្លង់ជាក់លាក់មួយកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់នេះ តំបន់កាត់ S នៃរាងកាយនេះដោយយន្តហោះនេះនឹងត្រូវបានគេដឹង។

ប្លង់នីមួយៗនឹងកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x ដូច្នេះហើយនឹងប្រសព្វវានៅចំណុច x ។ នោះគឺចំនុច x នីមួយៗពីផ្នែកនឹងត្រូវបានផ្តល់លេខ S (x) - តំបន់កាត់នៃតួយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ។

វាប្រែថាមុខងារមួយចំនួន S(x) នឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើផ្នែក។ ប្រសិនបើមុខងារនេះបន្តនៅលើផ្នែកនេះ នោះរូបមន្តខាងក្រោមនឹងមានសុពលភាព៖

V = ∫ a b S(x)dx ។

ភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺហួសពីវិសាលភាពនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។

ការគណនាកណ្តាលនៃម៉ាសនៃរាងកាយ

ចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតក្នុងរូបវិទ្យា។ ជាឧទាហរណ៍ មានរាងកាយខ្លះដែលផ្លាស់ទីក្នុងល្បឿនណាមួយ។ ប៉ុន្តែវាមានការរអាក់រអួលក្នុងការពិចារណារាងកាយធំមួយ ដូច្នេះហើយនៅក្នុងរូបវិទ្យា រាងកាយនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចលនានៃចំណុចមួយ ដោយសន្មតថាចំណុចនេះមានម៉ាស់ដូចគ្នាទៅនឹងរាងកាយទាំងមូល។

ហើយភារកិច្ចនៃការគណនាកណ្តាលនៃម៉ាសនៃរាងកាយគឺជាកិច្ចការសំខាន់នៅក្នុងបញ្ហានេះ។ ដោយសារតែរាងកាយមានទំហំធំ ហើយចំណុចណាដែលគួរយកជាចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស? ប្រហែលជាមួយនៅកណ្តាលរាងកាយ? ឬប្រហែលជាចំណុចជិតបំផុតទៅនឹងគែមនាំមុខ? នេះគឺជាកន្លែងដែលសមាហរណកម្មចូលមក។

ច្បាប់​ពីរ​ខាង​ក្រោម​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ដើម្បី​រក​ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​ម៉ាស៖

1. សំរបសំរួល x' នៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធមួយចំនួននៃចំណុចសម្ភារៈ A1, A2, A3, … ដែលមានម៉ាស់ m1, m2, m3, … mn រៀងគ្នាដែលមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ត្រង់ចំនុចដែលមានកូអរដោនេ x1, x2, x3, … xn ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖

x' = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. នៅពេលគណនាកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ ផ្នែកណាមួយនៃតួលេខដែលកំពុងពិចារណាអាចត្រូវបានជំនួសដោយចំណុចសម្ភារៈ ខណៈពេលដែលដាក់វានៅចំកណ្តាលម៉ាស់នៃផ្នែកដាច់ដោយឡែកនៃរូប ហើយម៉ាស់អាចត្រូវបានគេយកស្មើៗគ្នា។ ដល់ម៉ាស់នៃផ្នែកនៃតួលេខនេះ។

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើម៉ាស់នៃដង់ស៊ីតេ p(x) ត្រូវបានចែកចាយតាមបណ្តោយដំបង - ផ្នែកនៃអ័ក្សអុកដែល p (x) គឺជាមុខងារបន្តបន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ x' នឹងស្មើនឹង។