21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582< 0.

ចម្លើយ៖ ១; ២.

§៦. ការដោះស្រាយសមីការជាមួយម៉ូឌុលនិងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

ចូរយើងពិចារណាសមីការជាច្រើនដែលអថេរ x លេចឡើងនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរំលឹកអ្នកថា

x ប្រសិនបើ x ≥ 0,

x = − x ប្រសិនបើ x< 0.

ឧទាហរណ៍ទី ១៖ ដោះស្រាយសមីការ៖

ក) x − 2 = 3; ខ) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X =1; ឃ) x 2 −

៦; ង) ៦x២ −

x+1

x − 1

ក) ប្រសិនបើម៉ូឌុលនៃលេខគឺ 3 នោះលេខនេះគឺស្មើនឹង 3 ឬ (− 3) ។

ឧ. x − 2 = 3, x = 5 ឬ x − 2 = − 3, x = − 1 ។

ខ) ពីនិយមន័យនៃម៉ូឌុល វាធ្វើតាមនោះ។

x+1

X + 1, សម្រាប់ x + 1 ≥ 0,

i.e. សម្រាប់ x ≥ − 1 និង

x+1

= − x − 1 នៅ x< − 1. Выражение

2x − 3

2 x − 3 ប្រសិនបើ x ≥ 3

និងស្មើ − 2 x + 3 ប្រសិនបើ x< 3 .

x< −1

សមីការ

សមមូល

សមីការ

− x −1 −

(− 2 x + 3) = 1 ដែលវាធ្វើតាមនោះ។

x = 5. ប៉ុន្តែលេខ 5 គឺមិនមែនទេ។

បំពេញលក្ខខណ្ឌ x< − 1, следовательно,

នៅ x< − 1 данное

សមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

−1 ≤ x<

សមីការ

សមមូល

សមីការ

x + 1− (2x + 3) = 1 ដែលមានន័យថា x = 1;

ពេញចិត្តលេខ1

បំពេញតាមលក្ខខណ្ឌ − 1 ≤ x<

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 5, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ សមីការ​ការ៉េ

x ≥

សមីការ

សមមូល

សមីការ

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1 ដែលមានដំណោះស្រាយ x = 3 ហើយចាប់តាំងពីលេខគឺ 3

បំពេញលក្ខខណ្ឌ x ≥

បន្ទាប់មកវាគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។

x+2

គ) ប្រសិនបើភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ

មានដូចគ្នា។

x − 1

សញ្ញា បន្ទាប់មកប្រភាគគឺវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើខុសគ្នា នោះវាជាអវិជ្ជមាន ពោលគឺឧ។

x+2

x+2

ប្រសិនបើ x ≤ − 2 ប្រសិនបើ x > 1,

x − 1

x − 1

x+2

ប្រសិនបើ − ២< x < 1.

−1

សម្រាប់ x ≤ − 2

និងសម្រាប់ x> 1

សមីការដើមគឺស្មើនឹងសមីការ

x+2

X = 1, x +2

X (x −1) = x −1, x 2 − x +3 = 0 ។

x − 1

សមីការចុងក្រោយមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

នៅ – ២< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0 ។

x − 1

ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការនេះ៖

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13 ។

វិសមភាព

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Sledova-

ដូច្នេះលេខនេះគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ។

x ≥ 0 បានផ្តល់ឱ្យ

សមីការ

សមមូល

សមីការ

x 2 − x −6 = 0,

ឫសរបស់ពួកគេគឺលេខ 3 និង 2 ។ លេខ 3

បំពេញលក្ខខណ្ឌ x> 0,

ហើយលេខ - 2 មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ -

ដូច្នេះមានតែលេខ 3 ប៉ុណ្ណោះដែលជាដំណោះស្រាយចំពោះដើម

x< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 5, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ សមីការ​ការ៉េ
		x ≥ − 1 បានផ្តល់	សមីការ	សមមូល				សមីការ
6 x 2 − x − 1 = 0 រកឫសរបស់វា៖ x = 1 ±				25, x = 1, x				= −1 .
ឫសទាំងពីរបំពេញលក្ខខណ្ឌ x ≥ − 1,					ដូច្នេះ ពួកគេគឺជា
គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ។ នៅ				x< − 1 данное уравнение
គឺស្មើនឹងសមីការ 6 x 2 + x + 1 = 0 ដែលមិនមានដំណោះស្រាយ។
សូមឱ្យកន្សោម f (x, a) និង g (x, a) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ,					អាស្រ័យលើការផ្លាស់ប្តូរ
x	និង ក.	បន្ទាប់មកសមីការ	f (x, a) = g(x, a)		ទាក់ទងនឹងការផ្លាស់ប្តូរ

ណូអេ x ត្រូវបានគេហៅថា សមីការជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រក. ការដោះស្រាយសមីការជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រមានន័យថា សម្រាប់តម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់ចំពោះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការសម្រាប់តម្លៃត្រឹមត្រូវទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a:

ក) អ័ក្ស 2 − 3 = 4 a 2 − 2 x 2 ; ខ) (a − 3) x 2 = a 2 − 9;

គ) (a − 1) x2 + 2 (a + 1) x + (a − 2) = 0 ។

x 2 =	4a 2 + 3	កន្សោម 4 a 2		3> 0 សម្រាប់ a ណាមួយ; សម្រាប់ a > − 2 មាន
	a+2
យើងមានដំណោះស្រាយពីរ៖ x =			4a 2 + 3	និង x = −	៤ ក ២		ប្រសិនបើ	a+2< 0, то
			a+2		a+2

កន្សោម 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	ចម្លើយ៖ x = ±	4a 2 + 3	សម្រាប់ a > − 2;	សម្រាប់ a ≤ − 2 មិនមានដំណោះស្រាយទេ។
		a+2
				បន្ទាប់មក x 2 = a + 3. ប្រសិនបើ a + 3 = 0,
	ខ) ប្រសិនបើ a = 3 នោះ x ។ ប្រសិនបើ ≠ 3,
	ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើ a = − 3,	បន្ទាប់មកសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ x = 0. ec-

ថាតើ ក< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 និង a ≠ 3 បន្ទាប់មកសមីការមានដំណោះស្រាយពីរ៖ x 1 = a + 3 និង x 2 = − a + 3 ។

© 2011, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 5, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ សមីការ​ការ៉េ

a = 1 សមីការនេះយកទម្រង់

4x − 1 = 0,

x = ១

គឺជាការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់។ នៅ

a ≠ 1 សមីការនេះគឺ

ការ៉េ ការរើសអើង D 1 របស់វាស្មើនឹង

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1 ។

ប្រសិនបើ 5 a − 1< 0, т.е. a < 1 ,

បន្ទាប់មកសមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ប្រសិនបើ a =

បន្ទាប់មកសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់

a+1

x = −

ក-១

−1

ប្រសិនបើមួយ >

និង ≠ 1,

បន្ទាប់មកសមីការនេះមានដំណោះស្រាយពីរ៖

x = − (a + 1) ± 5 a − 1 ។

ក-១

−(a +1) ±

1 នៅ

a = 1; x = ៣

នៅ ក

; x =

៥ ក-១

ក-១

សម្រាប់ a > 1

និង a ≠ 1; នៅ ក< 1

សមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

§៧. ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការ។ ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលកាត់បន្ថយទៅជាសមីការបួនជ្រុង

នៅក្នុងផ្នែកនេះយើងនឹងពិចារណាប្រព័ន្ធដែលមានសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

2x + 3y = 8,

xy = ២.

នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ សមីការ 2 x + 3 y = 8 គឺជាសមីការដឺក្រេទីមួយ ហើយសមីការ xy = 2 គឺជាសមីការដឺក្រេទីពីរ។ ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ

© 2011, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 5, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ សមីការ​ការ៉េ

ការជំនួស។ ពីសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ យើងបង្ហាញ x តាមរយៈ y ហើយជំនួសកន្សោមនេះសម្រាប់ x ទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖

	៨-៣ ឆ្នាំ។	4 −
				y, ៤			y y = 2 ។

សមីការចុងក្រោយកាត់បន្ថយទៅជាសមីការបួនជ្រុង

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0 ។

យើងរកឃើញឫសរបស់វា៖

៤ ± ៤

៤ ± ២

Y=2,y

ពីលក្ខខណ្ឌ x = 4 −

យើងទទួលបាន x = 1, x

ចម្លើយ៖ (១; ២) និង

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

x 2 + y 2 = 41,

xy = ២០.

គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីពីរដោយ 2 ហើយបន្ថែមពួកវាទៅទីមួយ

សមីការប្រព័ន្ធ៖	x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, មកពីណា
វាធ្វើតាម x + y = 9 ឬ x + y = − 9 ។
ប្រសិនបើ x + y = 9 បន្ទាប់មក	x = 9 − y ។ ចូរជំនួសកន្សោមនេះសម្រាប់ x ទៅ
សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖
(9 − y) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1 , y = 5 , y				4, x = 4, x = 5 ។
ពីលក្ខខណ្ឌ x + y = − 9 យើងទទួលបានដំណោះស្រាយ (− 4; − 5) និង (− 5; − 4) ។
ចម្លើយ៖ (± 4; ± 5) , (± 5; ± 4) ។
ឧទាហរណ៍ 3. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
		y = 1,
	x−
	x-y

ចូរយើងសរសេរសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់

( x − y )( x + y ) = 5 ។

© 2011, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 5, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ សមីការ​ការ៉េ

ដោយប្រើសមីការ x − y = 1 យើងទទួលបាន៖ x + y = 5 ។ ដូច្នេះហើយយើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការដែលស្មើនឹងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

	x−	y = 1,
		y = ៥.

ចូរបន្ថែមសមីការទាំងនេះ យើងទទួលបាន៖ 2 x = 6,		x = 3, x = 9 ។
ការជំនួស x = 9 ទៅក្នុងសមីការទីមួយ			ប្រព័ន្ធទទួល
យើងមាន 3 − y = 1 ដែលមានន័យថា y = 4 ។
ចម្លើយ៖ (៩; ៤) ។	(x + y) (x		Y −4) = −4,
ឧទាហរណ៍ 4. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖ (x 2 + y 2 ) xy = − 160 ។
				xy = v;
សូមណែនាំអថេរថ្មី។	x + y = យូ
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u −4) = −4,
ប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ (u 2 − 2 v ) v = − 160 ។
យើងដោះស្រាយសមីការ៖
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2 ។
យើងជំនួសតម្លៃនេះសម្រាប់អ្នកទៅក្នុងសមីការ៖
(u 2 − 2v ) v = − 160, (4 − 2v) v = − 160, 2v 2 − 4v − 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v						= −8.
យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការពីរ៖
	x + y = 2,
x + y = 2,
	និង
xy = 10	xy = − 8.
យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងពីរដោយប្រើវិធីជំនួស។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធទីមួយ យើងមាន៖
x= 2 − y, ( 2 − y) y= 10, y2 − 2 y+ 10 = 0.

សមីការ quadratic លទ្ធផលមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធទីពីរយើងមាន៖ x= 2 − y, (2 − y) y= − 8, y2 − 2 y− 8 = 0.

y= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y1 = 4, y2 = − 2. បន្ទាប់មកx1 = − 2 និងx2 = 4. ចម្លើយ៖ (− 2;4 ) និង(4; − 2 ) .

© 2011, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

គុណនឹង ៣ យើងទទួលបាន៖

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 5, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ សមីការ​ការ៉េ

ឧទាហរណ៍ 5 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

x 2 + 4 xy = 3,

y 2 + 3 xy = 2.

ពីសមីការទីមួយគុណនឹង 2 ដកសមីការទីពីរ។

2 x 2 − xy − 3 y 2 = 0.

ប្រសិនបើ y= 0, បន្ទាប់មក និង x= 0, ប៉ុន្តែពីរបីលេខ (0;0 ) មិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដើមទេ។ ចូរយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដែលទទួលបាន

សួយសារអាករនៅលើ y2 ,

1 ± 5 , x = 2 y និង x = − y .

−3

= 0,

y

ចូរជំនួស

អត្ថន័យ

x =

3y

សមីការទីមួយ

9 y2 + 6 y2 = 3, 11y2 = 4, y=

, x=

, x= −

ជំនួសតម្លៃ x= − yទៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ៖ y2 − 4 y2 = 3, − 3 y2 = 3.

មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ឧទាហរណ៍ ៩.ស្វែងរកតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងអស់។ ក, ដែលប្រព័ន្ធសមីការ

x 2 + ( y − 2 ) 2 = 1,

y = ពូថៅ 2 .

មានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។

ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ពួកគេអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការវិភាគ, i.e. ដោយប្រើរូបមន្ត ឬអ្នកអាចប្រើវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។

ចំណាំថាសមីការទីមួយកំណត់រង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលរបស់វានៅចំណុច (0;2 ) ជាមួយកាំ 1. សមីការទីពីរនៅ ក≠ 0 កំណត់ប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយនឹងចំនុចកំពូលរបស់វានៅដើម។

ប្រសិនបើ ក 2

ក្នុងករណី ក) ប៉ារ៉ាបូឡាគឺតង់សង់ទៅរង្វង់។ ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោម:

បាទ x2 = y/ ក,

ជំនួសតម្លៃទាំងនេះសម្រាប់

x 2

ទៅក្នុងសមីការទីមួយ៖

1

+(y−2 )

= 1,

+ y

− 4 y+ 4 = 1, y

4 − កy+ 3

= 0.

ក្នុងករណី tangency ដោយសារតែស៊ីមេទ្រី វាមានតម្លៃតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ y, ដូច្នេះ ការរើសអើងនៃសមីការលទ្ធផលត្រូវតែជា

គឺស្មើនឹង 0. ចាប់តាំងពីការចាត់តាំង yចំណុចទំនាក់ទំនងវិជ្ជមាន។ល។

y = 2

− ក

យើង​ទទួល​បាន,

> 0; ឃ

1 2

4 − ក

4 − ក

− 12 = 0,

4 − ក

> 0

យើង​ទទួល​បាន: 4

= 2

= 4 −2

ក =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

ប្រសិនបើ ក> 2 + 2 3 , បន្ទាប់មកប៉ារ៉ាបូឡានឹងកាត់រង្វង់នៅ 4 ពិន្ទុ -

© 2011, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 5, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ សមីការ​ការ៉េ

ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយប្រសិនបើ

ក≥ 2 + 2 3 .

ឧទាហរណ៍ 10 ។ផលបូកនៃការ៉េនៃខ្ទង់នៃលេខធម្មជាតិពីរខ្ទង់គឺ 9 ធំជាងពីរដងនៃផលគុណនៃខ្ទង់ទាំងនេះ។ បន្ទាប់ពីចែកលេខពីរខ្ទង់នេះដោយផលបូកនៃខ្ទង់របស់វា កូតាគឺ 4 ហើយនៅសល់គឺ 3។ រកលេខពីរខ្ទង់នេះ។

សូមឱ្យលេខពីរខ្ទង់ 10 ក+ ខ, កន្លែងណា កនិង ខ- លេខនៃលេខនេះ។ បន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃបញ្ហាយើងទទួលបាន: ក2 + ខ2 = 9 + 2 ab, ហើយពីលក្ខខណ្ឌទីពីរយើងទទួលបាន: 10 ក+ ខ= 4 (ក+ ខ) + 3.

ក 2 + ខ 2 = 9 + 2 ab ,

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖ 6 ក− 3 ខ= 3.

ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធយើងទទួលបាន

6ក− 3ខ= 3, 2ក− ខ= 1, ខ= 2ក− 1.

ជំនួសតម្លៃនេះសម្រាប់ ខទៅសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ៖

ក2 + ( 2ក− 1) 2 = 9 + 2ក( 2ក− 1) , 5ក2 − 4ក+ 1 = 9 + 4ក2 − 2ក,

ក2 − 2ក− 8 = 0, ឃ1 = 1 + 8 = 9, ក= 1 ± 3, ក1 = 4, ក2 = − 2 < 0, ខ1 = 7.

ចម្លើយ៖ 47.

ឧទាហរណ៍ 11 ។បន្ទាប់ពីលាយដំណោះស្រាយពីរ មួយមាន 48 ក្រាម និងមួយទៀត 20 ក្រាម ប៉ូតាស្យូមអ៊ីយ៉ូតគ្មានជាតិទឹក 200 ក្រាមនៃដំណោះស្រាយថ្មីមួយត្រូវបានទទួល។ ស្វែងរកកំហាប់នៃដំណោះស្រាយដើមនីមួយៗ ប្រសិនបើកំហាប់នៃដំណោះស្រាយទីមួយគឺ 15% ធំជាងកំហាប់នៃទីពីរ។

ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ x% គឺជាកំហាប់នៃដំណោះស្រាយទីពីរ និងបន្ទាប់ (x+ 15 ) % - កំហាប់នៃដំណោះស្រាយដំបូង។

(x+ 15 )%			x %
ខ្ញុំដំណោះស្រាយ			II ដំណោះស្រាយ

នៅក្នុងដំណោះស្រាយដំបូង 48 ក្រាមគឺ (x+ 15 ) % ដោយទម្ងន់នៃដំណោះស្រាយសរុប

ដូច្នេះទម្ងន់នៃដំណោះស្រាយគឺ x48 + 15 100. នៅក្នុងដំណោះស្រាយទីពីរ 20 ក្រាមនៃសហ។

© 2011, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

គោលដៅ:

• ប្រព័ន្ធដោះស្រាយឡើងវិញនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងអថេរពីរ
• កំណត់ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
• នឹងបង្រៀនអ្នកពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

1. ពេលវេលារៀបចំ
2. ពាក្យដដែលៗ
3. ការពន្យល់អំពីប្រធានបទថ្មី។
4. ការ​ច្របាច់​បញ្ចូល​គ្នា
5. សង្ខេបមេរៀន
6. កិច្ចការ​ផ្ទះ

2. ពាក្យដដែលៗ៖

I. សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយអថេរមួយ៖

1. កំណត់សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយអថេរមួយ។

[សមីការ​នៃ​ទម្រង់ ax=b ដែល x ជា​អថេរ a និង b ជា​លេខ​មួយ​ចំនួន​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​សមីការ​លីនេអ៊ែរ​ដែល​មាន​អថេរ​មួយ​]

2. តើសមីការលីនេអ៊ែរអាចមានឫសប៉ុន្មាន?

[- ប្រសិនបើ a=0, b0 នោះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ x

ប្រសិនបើ a=0, b=0, បន្ទាប់មក x R

ប្រសិនបើ a0 នោះសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ x =

3. ស្វែងយល់ថាតើសមីការមានឫសប៉ុន្មាន (តាមជម្រើស)

II. សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរ 2 និងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរ 2 ។

1. កំណត់សមីការលីនេអ៊ែរក្នុងអថេរពីរ។ ផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយ។

[សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរគឺជាសមីការនៃទម្រង់ ax + by = c ដែល x និង y ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ x-y=5]

2. ដូចម្តេចដែលហៅថាការដោះស្រាយសមីការដែលមានអថេរពីរ?

[ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលមានអថេរពីរគឺជាតម្លៃគូនៃអថេរដែលប្រែសមីការទៅជាសមភាពពិត។]

3. តើគូនៃតម្លៃនៃអថេរ x = 7, y = 3 ជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ 2x + y = 17?

4. តើក្រាហ្វនៃសមីការក្នុងអថេរពីរហៅថាអ្វី?

[ក្រាហ្វនៃសមីការដែលមានអថេរពីរគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៅលើយន្តហោះកូអរដោនេដែលកូអរដោនេគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។]

5. ស្វែងយល់ថាតើក្រាហ្វនៃសមីការគឺ៖

[សូមបង្ហាញអថេរ y ដល់ x: y=-1.5x+3

រូបមន្ត y=-1.5x+3 ជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ ក្រាហ្វដែលជាបន្ទាត់ត្រង់។ ដោយសារសមីការ 3x+2y=6 និង y=-1.5x+3 គឺសមមូល បន្ទាត់នេះក៏ជាក្រាហ្វនៃសមីការ 3x+2y=6]

6. តើក្រាហ្វនៃសមីការ ax+bу=c ជាមួយអថេរ x និង y កន្លែងណា a0 ឬ b0?

[ក្រាហ្វនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរដែលយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយនៃអថេរមិនមែនជាសូន្យគឺជាបន្ទាត់ត្រង់។]

7. ដូចម្តេចដែលហៅថាការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដែលមានអថេរពីរ?

[ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការដែលមានអថេរពីរគឺជាតម្លៃគូនៃអថេរដែលប្រែសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធទៅជាសមភាពពិត]

8. តើវាមានន័យយ៉ាងណាក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ?

[ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ មានន័យថាស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់របស់វា ឬបង្ហាញថាគ្មានដំណោះស្រាយ។]

9. ស្វែងយល់ថាតើប្រព័ន្ធបែបនេះតែងតែមានដំណោះស្រាយ ហើយប្រសិនបើមាន តើមានប៉ុន្មាន (ក្រាហ្វិក)។

10. តើប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយប៉ុន្មានដែលមានអថេរពីរ?

[ដំណោះស្រាយតែមួយគត់គឺប្រសិនបើបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា; មិនមានដំណោះស្រាយទេប្រសិនបើបន្ទាត់ស្របគ្នា។ ច្រើនគ្មានកំណត់ ប្រសិនបើបន្ទាត់ស្របគ្នា]

11. តើសមីការអ្វីជាធម្មតាកំណត់បន្ទាត់ត្រង់?

12. បង្កើតការតភ្ជាប់រវាងមេគុណមុំ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ៖

ជម្រើសខ្ញុំ៖ y=-x+2 y=-x-3, k 1 = k 2 , b 1 b 2, គ្មានដំណោះស្រាយ;

ជម្រើសទី II៖ y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2 ដំណោះស្រាយមួយ;

ជម្រើស III៖ y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, ដំណោះស្រាយជាច្រើន។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖

1. ប្រសិនបើមេគុណមុំនៃបន្ទាត់ដែលជាក្រាហ្វនៃមុខងារទាំងនេះខុសគ្នា នោះបន្ទាត់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នា ហើយប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
2. ប្រសិនបើមេគុណមុំនៃបន្ទាត់គឺដូចគ្នា ហើយចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស y គឺខុសគ្នា នោះបន្ទាត់គឺស្របគ្នា ហើយប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
3. ប្រសិនបើមេគុណមុំ និងចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស y គឺដូចគ្នា នោះបន្ទាត់ស្របគ្នា ហើយប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់។

មាន​តុ​មួយ​នៅ​លើ​ក្ដារខៀន​ដែល​គ្រូ និង​សិស្ស​បំពេញ​បណ្តើរៗ។

III. ការពន្យល់អំពីប្រធានបទថ្មី។

និយមន័យ៖ មើលប្រព័ន្ធ

• A 1 x + B 1 y = C
• A 2 x + B 2 y = C 2

ដែល A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 គឺជាកន្សោមអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ហើយ x និង y មិនស្គាល់ ត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ពីរនៅក្នុងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ករណីខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

1) ប្រសិនបើ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់

2) ប្រសិនបើ នោះប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

3) ប្រសិនបើ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

IV. ការ​ច្របាច់​បញ្ចូល​គ្នា

ឧទាហរណ៍ ១.

នៅតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ធ្វើប្រព័ន្ធ

• 2x − 3y = 7
• ah - 6y = 14

ក) មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ខ) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់

ចម្លើយ៖

ក) ប្រសិនបើ a=4 នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ខ) ប្រសិនបើ ក4 បន្ទាប់មកមានដំណោះស្រាយតែមួយ។

ឧទាហរណ៍ ២.

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

ដំណោះស្រាយ៖ ក) ឧ. សម្រាប់ m1 ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

b) ឧ។ សម្រាប់ m=1 (2=m+1) និង n1 ប្រព័ន្ធដើមមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

គ) សម្រាប់ m=1 និង n=1 ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ចម្លើយ៖ ក) ប្រសិនបើ m=1 និង n1 នោះគ្មានដំណោះស្រាយទេ។

ខ) m=1 និង n=1 បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយគឺជាសំណុំគ្មានកំណត់

• y - ណាមួយ។
• x=n-2y

គ) ប្រសិនបើ m1 និង n គឺណាមួយ នោះ

ឧទាហរណ៍ ៣.

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

ដំណោះស្រាយ៖ ពីសមីការ II យើងរកឃើញ x = 1-аy ហើយជំនួសសមីការ I ទៅក្នុងសមីការ

а(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

ករណីដែលអាចកើតមាន៖

1) a=0។ បន្ទាប់មកសមីការមើលទៅដូចជា 0 * y = 3 [y]

ដូច្នេះសម្រាប់ a=0 ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

2) a=-3. បន្ទាប់មក 0 * y = 0 ។

ដូច្នេះ y. ក្នុងករណីនេះ x=1-ау=1+3у

3) a0 និង a-3 ។ បន្ទាប់មក y=-, x=1-a(-=1+1=2

ចម្លើយ៖

1) ប្រសិនបើ a = 0 បន្ទាប់មក (x; y)

2) ប្រសិនបើ a=-3 បន្ទាប់មក x=1+3y, y

3) ប្រសិនបើ ក0 និង a?-3 បន្ទាប់មក x=2, y=-

ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តទីពីរនៃប្រព័ន្ធដោះស្រាយ (1) ។

ចូរដោះស្រាយប្រព័ន្ធ (1) ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែមពិជគណិតៈ ទីមួយគុណសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធដោយ B 2 ទីពីរដោយ B 1 ហើយបន្ថែមសមីការទាំងនេះតាមពាក្យ ដូច្នេះការលុបបំបាត់អថេរ y៖

ដោយសារតែ A 1 B 2 -A 2 B 1 0 បន្ទាប់មក x =

ឥឡូវ​យើង​លុប​ចោល​អថេរ x ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ (1) ដោយ A 2 និងទីពីរដោយ A 1 ហើយបន្ថែមសមីការទាំងពីរដោយពាក្យ៖

• A 1 A 2 x + A 2 B 1 y = A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 -A 1 C 2

ដោយសារតែ A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃប្រព័ន្ធដោះស្រាយ (១) យើងណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោម៖

- កត្តាកំណត់សំខាន់

ឥឡូវនេះដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ (1) អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើកត្តាកំណត់:

រូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តរបស់ Cramer ។

ប្រសិនបើ នោះប្រព័ន្ធ (1) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់៖ x=; y=

ប្រសិនបើ ឬ នោះប្រព័ន្ធ (1) មិនមានដំណោះស្រាយ

ប្រសិនបើ , , , , បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធ (1) មានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ក្នុងករណីនេះ ប្រព័ន្ធត្រូវការស៊ើបអង្កេតបន្ថែម។ ក្នុងករណីនេះជាក្បួនវាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការលីនេអ៊ែរមួយ។ ក្នុងករណីនេះ ជាញឹកញាប់ងាយស្រួលក្នុងការសិក្សាប្រព័ន្ធតាមវិធីខាងក្រោម៖ ដោយការដោះស្រាយសមីការ យើងរកឃើញតម្លៃជាក់លាក់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ឬបង្ហាញពីប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយក្នុងចំណោមប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងទៀត ហើយជំនួសតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះទៅក្នុង ប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលមានមេគុណលេខជាក់លាក់ ឬជាមួយចំនួនប៉ារ៉ាម៉ែត្រតូចជាង ដែលត្រូវតែសិក្សា។

ប្រសិនបើមេគុណ A 1 , A 2 , B 1 , B 2 នៃប្រព័ន្ធអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រជាច្រើននោះវាងាយស្រួលក្នុងការសិក្សាប្រព័ន្ធដោយប្រើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។

សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការ

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) -(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

មេរៀន "ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមានម៉ូឌុល។"

គោលបំណង៖ ដើម្បីអភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលមានម៉ូឌុល។ អភិវឌ្ឍការគិតឡូជីខល និងជំនាញការងារឯករាជ្យ។

ឧបករណ៍៖ បទបង្ហាញ។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់។

1. ដើម្បីធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងរបស់សិស្ស វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឡើងវិញនូវគោលគំនិតនៃម៉ូឌុល និងដោះស្រាយសមីការជាច្រើនជាមួយនឹងម៉ូឌុលមួយ៖ |x|=3; |x|= − ៥; |x|=0 ។

បន្ទាប់មក សូម​ឲ្យ​សិស្ស​ឆ្លើយ​សំណួរ ៖ តើ​សមីការ​ដែលមាន​ម៉ូឌុល​អាច​មាន​ឫស​ប៉ុន្មាន ហើយ​វា​អាស្រ័យ​លើ​អ្វី ?

ការសន្និដ្ឋានមាននៅលើស្លាយ 2 ។ វាត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា។

ការវិភាគដំណោះស្រាយនៃសមីការ |x − 2 |= 3

ការងារផ្នែកខាងមុខជាមួយថ្នាក់៖ សមីការដោះស្រាយ 1. |x + 4 |= 0 ។

ដោះស្រាយសមីការដោយខ្លួនឯង៖

2. |x − 3 |= 5; 3. |4 − x |= 7; 4. |5 - x |= - 9. ពិនិត្យ។

ការវិភាគនៃដំណោះស្រាយ លំហាត់ប្រាណ ១ :

កំណត់ចំនួនឫសនៃសមីការ

||x| +5 - a |= 2. (ស្លាយទី 3)

យោបល់របស់គ្រូ៖ នេះគឺជាសមីការដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ i.e. ជាមួយអថេរ a. អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអថេរនេះ ទម្រង់នៃសមីការនឹងផ្លាស់ប្តូរ។ នេះមានន័យថាចំនួនឫសនៃសមីការអាស្រ័យលើ a.

សូម​អញ្ជើញ​សិស្ស​ឲ្យ​ឆ្លើយ​សំណួរ​កិច្ចការ « រក​តម្លៃ​ទាំងអស់​នៃ a សម្រាប់​សមីការ​នីមួយៗ ||x| +5 - និង |= 2 មានឫស 3 យ៉ាងពិតប្រាកដ។ (ប្រសិនបើ​មាន​តម្លៃ​ច្រើន​ជាង​មួយ​នៃ a បន្ទាប់មក​សរសេរ​ការបូក​របស់ពួកគេ​នៅលើ​ទម្រង់​ចម្លើយ)។ ចម្លើយ៖ ៧. (ស្លាយទី ៤)

ដោះស្រាយនៅលើក្តារ កិច្ចការទី 2៖ ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃ a សម្រាប់នីមួយៗដែលសមីការ ||x| - 3 + a |= 4 មានឫស 3 យ៉ាងពិតប្រាកដ។ ចម្លើយ៖ - ១.

ការងារឯករាជ្យ។លំហាត់ប្រាណ 3 .សូមរកតម្លៃទាំងអស់នៃ a ដែលសមីការនីមួយៗ ||x| -4+ និង |= 3 មានឫស 1 យ៉ាងពិតប្រាកដ។ ចម្លើយ៖ ៧.

កិច្ចការទី 4 . សម្រាប់តម្លៃនៃ a ធ្វើសមីការ

|a - 5 - |x||= 3 មាន​ចំនួន​ឫស​សេស (ប្រសិនបើ​មាន​តម្លៃ​ច្រើន​ជាង​មួយ​នៃ a នោះ​ត្រូវ​សរសេរ​ផលបូក​របស់ពួកគេ​នៅលើ​សន្លឹក​ចម្លើយ)។ ចម្លើយ៖ ១០.

អញ្ជើញសិស្សឱ្យស្វែងយល់ពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើលក្ខណៈស្មើគ្នានៃអនុគមន៍ និងវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។

7. សង្ខេបមេរៀន។ តើអ្នកបានធ្វើការអ្វីខ្លះនៅក្នុងថ្នាក់ថ្ងៃនេះ? តើមានអ្វីថ្មី និងអប់រំសម្រាប់អ្នក? តើអ្នកចង់ធ្វើការលើអ្វីនៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់របស់អ្នក?

10x − 5y − 3z = − 9,

6 x + 4 y − 5 z = − 1.3 x − 4 y − 6 z = − 23 ។

ចូរយកមេគុណស្មើគ្នាសម្រាប់ x ក្នុងសមីការទីមួយ និងទីពីរ ដើម្បីធ្វើវា គុណទាំងពីរនៃសមីការទីមួយដោយ 6 ហើយនៃសមីការទីពីរដោយ 10 យើងទទួលបាន៖

60x − 30 y − 18z = − 54.60x + 40 y − 50z = − 10 ។

យើងដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផល។

ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖ 70 y − 32 z = 44, 35 y − 16 z = 22 ។

ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធដើម យើងដកសមីការទីបីគុណនឹង 2 យើងទទួលបាន: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12 y + 7z = 45 ។

ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធថ្មីនៃសមីការ៖

35y − 16z = 22.12y + 7z = 45 ។

ចំពោះសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធថ្មី គុណនឹង 7 យើងបន្ថែមសមីការទីពីរ គុណនឹង 16 យើងទទួលបាន៖

35 7 y + 12 16y = 22 7 + 45 16,

ឥឡូវនេះយើងជំនួស y = 2, z = 3 ទៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធដើម

ប្រធានបទ យើងទទួលបាន៖ 10x − 5 2 − 3 3 = − 9, 10x − 10 − 9 = − 9, 10x = 10, x = 1 ។

ចម្លើយ៖ (១; ២; ៣) ។ ▲

§ 3. ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រនិងជាមួយម៉ូឌុល

ax + 4 y = 2 a,

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការ

x + ay = ក។

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 3, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការ។

តាមពិតមានអថេរបីនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះគឺ៖ a, x, y ។ x និង y ត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនស្គាល់ a ត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយ (x, y) នៃប្រព័ន្ធនេះសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ។

ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលប្រព័ន្ធបែបនេះដោះស្រាយ។ ចូរយើងបង្ហាញអថេរ x ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖ x = a − ay ។ យើងជំនួសតម្លៃនេះសម្រាប់ x ទៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន៖

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a) ។

ប្រសិនបើ a = 2 នោះយើងទទួលបានសមីការ 0 y = 0 ។ សមីការនេះត្រូវបានពេញចិត្តដោយលេខណាមួយ y ហើយបន្ទាប់មក x = 2 − 2 y, i.e. សម្រាប់ a = 2 គូនៃលេខ (2 − 2 y; y) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។ ចាប់តាំងពីអ្នកអាចជា

លេខណាមួយ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធដែលមាន a = 2 មានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ប្រសិនបើ a = − 2 នោះយើងទទួលបានសមីការ 0 y = 8 ។ សមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ប្រសិនបើឥឡូវនេះ ≠ ± 2,				បន្ទាប់មក y =		a (2 − ក)
						(2 − ក) (2 + ក)		2+ ក
x = a − ay = a −
				2+ ក

ចំលើយ៖ សម្រាប់ a = 2 ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់នៃទម្រង់ (2 − 2 y; y) ដែល y ជាលេខណាមួយ;

សម្រាប់ a = − 2 ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
សម្រាប់ ≠ ± 2 ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់						. ▲
		2+ ក		2+ ក

យើងបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះហើយបានបង្កើតឡើងសម្រាប់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមួយនៅពេលដែលវាមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់ ហើយសម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a វាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ឧទាហរណ៍ទី 1: ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

© 2010, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 3, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការ។

−3

y − ១

3x − 2 y = 5 ។

ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធដែលយើងបង្ហាញ x ដល់ y យើងទទួលបាន

2 y + 5

យើងជំនួសតម្លៃនេះសម្រាប់ x ទៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ

ប្រធានបទ យើងទទួលបាន៖

2y + 5

−3

y − ១

−3

−1

5 = 0

កន្សោម

y = −

y > −

; ប្រសិនបើ

−5

=−y

កន្សោម y − 1 = 0,

ប្រសិនបើ y = 1. ប្រសិនបើ

y > 1 បន្ទាប់មក

y − ១

Y-1 និង es-

ថាតើ y< 1, то

y − ១

១-យ.

ប្រសិនបើ y ≥ 1 បន្ទាប់មក

y − ១

Y-1 និង

យើងទទួលបានសមីការ៖

−៣(យ

− 1) = 3,

−៣ ឆ្នាំ

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. លេខ 2 > 1 ដូច្នេះគូ (3;2) គឺឡើងវិញ

ការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធ។

អនុញ្ញាតឱ្យវាឥឡូវនេះ

5 ≤ y<1,

y − ១

− y ;

ការស្វែងរក

យើង​ទទួល​បាន

សមីការ

3y−3

4 y + 10

3 y = 6,

13 y = 8

© 2010, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 3, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការ។

(2 y + 5) =

ប៉ុន្តែតិចជាង

ដូច្នេះលេខពីរបី

គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។

y< −

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការ៖

3y−3

៤ ឆ្នាំ −

3y = 6,

5 y =

28, y = 28 ។

អត្ថន័យ

ដូច្នេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ដូចនេះ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយពីរ (3;2) និង 13 27 ; ១៣ ៨. ▲

§ 4. ការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើប្រព័ន្ធសមីការ

ឧទាហរណ៍ 1. រថយន្តធ្វើដំណើរពីទីក្រុងមួយទៅភូមិមួយក្នុងរយៈពេល 2.5 ម៉ោង។ ប្រសិនបើគាត់បង្កើនល្បឿន 20 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោងបន្ទាប់មកក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោងគាត់នឹងគ្របដណ្តប់ចម្ងាយ 15 គីឡូម៉ែត្រធំជាងចម្ងាយពីទីក្រុងទៅភូមិ។ ស្វែងរកចម្ងាយនេះ។

ចូរយើងសម្គាល់ដោយ S ចម្ងាយរវាងទីក្រុង និងភូមិ និងដោយ V ល្បឿនរថយន្ត។ បន្ទាប់មកដើម្បីស្វែងរក S យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ

2.5V = S,

(V + 20) 2 = S + 15 ។

© 2010, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 3, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការ។

ទៅក្នុងសមីការទីពីរ៖		ស + ២០ ២	ស +១៥,		ស = ២៥,	ស = ១២៥.

ចម្លើយ៖ ១២៥ គ.ម. ▲

ឧទាហរណ៍ 2. ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខពីរខ្ទង់គឺ 15 ។ ប្រសិនបើលេខទាំងនេះត្រូវបានប្តូរ អ្នកនឹងទទួលបានលេខដែលមានចំនួន 27 ច្រើនជាងលេខដើម។ ស្វែងរកលេខទាំងនេះ។

សូមឱ្យលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ab, i.e. ចំនួនដប់គឺ a ហើយចំនួនមួយគឺ b ។ ពីលក្ខខណ្ឌទីមួយនៃបញ្ហា យើងមានៈ a + b = 15 ។ ប្រសិនបើយើងដកលេខ ab ចេញពីលេខ ba យើងទទួលបាន 27 ដូច្នេះយើងទទួលបានសមីការទីពីរ៖ 10 b + a − (10 a + b) = 27. x

ឆ្នាំសិក្សា ២០១០-២០១១ ឆ្នាំ, លេខ 3, ថ្នាក់ទី 8 ។ គណិតវិទ្យា។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការ។

ចូរគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 20 យើងទទួលបាន: x + 8 y = 840 ។ ដើម្បីរក x និង y យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ

ចម្លើយ៖ 40 t, 100 t

ឧទាហរណ៍ 4. ប្រតិបត្តិករកុំព្យូទ័រ ធ្វើការជាមួយសិស្ស ដំណើរការកិច្ចការក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង 24 នាទី។ ប្រសិនបើប្រតិបត្តិករធ្វើការ 2 ម៉ោងហើយសិស្ស 1 ម៉ោងបន្ទាប់មក

កុមារបានបញ្ចប់ 23 នៃការងារទាំងមូល។ តើត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានដើម្បីដំណើរការ

ru និងសិស្សដាច់ដោយឡែកដើម្បីដំណើរការភារកិច្ច?

ចូរសម្គាល់ការងារទាំងអស់ដោយ 1 ផលិតភាពប្រតិបត្តិករដោយ x និងផលិតភាពសិស្សដោយ y ។ យើងយកទៅក្នុងគណនីនោះ។

2 ម៉ោង 24 នាទី = 2 5 2 ម៉ោង = 12 5 ម៉ោង។

ពីលក្ខខណ្ឌទីមួយនៃបញ្ហា វាធ្វើតាមថា (x+y) 12 5 = 1. ពីលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃបញ្ហា វាធ្វើតាមថា 2 x + y = 2 3 ។ យើងបានទទួលប្រព័ន្ធសមីការ

(x+y)

2 x + y =

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីជំនួស៖

− 2 x ;

−2x

−x

− 1;

; x =

; y =

© 2010, FZFTSH នៅ MIPT ។ ចងក្រងដោយ Yakovleva Tamara Kharitonovna

1. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រមូលដ្ឋានដូចគ្នានឹងប្រព័ន្ធសមីការធម្មតាដែរ៖ វិធីសាស្ត្រជំនួស វិធីសាស្ត្របន្ថែមសមីការ និងវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។ ចំណេះដឹងនៃការបកស្រាយក្រាហ្វិកនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការឆ្លើយសំណួរអំពីចំនួនឫសនិងអត្ថិភាពរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ១.

ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់សម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ដែលប្រព័ន្ធសមីការមិនមានដំណោះស្រាយ។

(x + (a 2 − 3) y = a,
(x + y = 2 ។

ដំណោះស្រាយ។

សូមក្រឡេកមើលវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ។

1 វិធី។យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ៖ ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ ប្រសិនបើសមាមាត្រនៃមេគុណនៅពីមុខ x គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណនៅពីមុខ y ប៉ុន្តែមិនស្មើនឹងសមាមាត្រនៃលក្ខខណ្ឌទំនេរ (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1) ។ បន្ទាប់មកយើងមាន៖

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ឬប្រព័ន្ធ

(និង 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2 ។

ពីសមីការទីមួយ a 2 = 4 ដូច្នេះដោយគិតគូរពីលក្ខខណ្ឌដែល a ≠ 2 យើងទទួលបានចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ a = −2 ។

វិធីសាស្រ្ត 2 ។យើងដោះស្រាយដោយវិធីជំនួស។

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y ។

បន្ទាប់ពីយកកត្តាទូទៅ y ចេញពីតង្កៀបក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបាន៖

((a 2 – 4) y = a – 2,
(x = 2 – y ។

ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ ប្រសិនបើសមីការទីមួយមិនមានដំណោះស្រាយ នោះគឺជា

(និង 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0 ។

ជាក់ស្តែង a = ±2 ប៉ុន្តែដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌទីពីរ ចម្លើយមកតែជាមួយចម្លើយដកប៉ុណ្ណោះ។

ចម្លើយ៖ a = -2 ។

ឧទាហរណ៍ ២.

ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់សម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

(8x + ay = 2,
(អ័ក្ស + 2y = 1 ។

ដំណោះស្រាយ។

យោងតាមលក្ខណសម្បត្តិ ប្រសិនបើសមាមាត្រនៃមេគុណនៃ x និង y គឺដូចគ្នា ហើយស្មើនឹងសមាមាត្រនៃសមាជិកសេរីនៃប្រព័ន្ធ នោះវាមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ (ឧទាហរណ៍ a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1) ។ ដូច្នេះ 8/a = a/2 = 2/1 ។ ការដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលនីមួយៗ យើងឃើញថា a = 4 គឺជាចម្លើយក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។

ចម្លើយ៖ a = ៤.

2. ប្រព័ន្ធនៃសមីការសនិទានភាពដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ។

ឧទាហរណ៍ ៣.

(3|x|+y=2,
(|x| + 2y = ក។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរគុណសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធដោយ 2៖

(6|x|+2y=4,
(|x| + 2y = ក។

ដកសមីការទីពីរចេញពីទីមួយ យើងទទួលបាន 5|x| = 4 – ក។ សមីការនេះនឹងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់សម្រាប់ a = 4 ។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត សមីការនេះនឹងមានដំណោះស្រាយពីរ (សម្រាប់ a< 4) или ни одного (при а > 4).

ចម្លើយ៖ ក = ៤។

ឧទាហរណ៍ 4 ។

ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ដែលប្រព័ន្ធសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

(x + y = ក,
(y − x 2 = 1 ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងនឹងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។ ដូច្នេះ ក្រាហ្វនៃសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលបានលើកឡើងតាមអ័ក្ស Oy ឡើងលើដោយផ្នែកមួយឯកតា។ សមីការទីមួយបញ្ជាក់សំណុំនៃបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ y = -x (រូបភាពទី 1). វាត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ពីតួលេខថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ y = -x + a តង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡានៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (-0.5, 1.25) ។ ការជំនួសកូអរដោនេទាំងនេះទៅក្នុងសមីការបន្ទាត់ត្រង់ជំនួសឱ្យ x និង y យើងរកឃើញតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a:

1.25 = 0.5 + a;

ចម្លើយ៖ a = 0.75 ។

ឧទាហរណ៍ 5 ។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តជំនួស ស្វែងយល់ពីតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

(អ័ក្ស – y = a + 1,
(អ័ក្ស + (a + 2) y = 2 ។

ដំណោះស្រាយ។

ពីសមីការទីមួយ យើងបង្ហាញ y ហើយជំនួសវាទៅជាទីពីរ៖

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2 ។

ចូរយើងកាត់បន្ថយសមីការទីពីរទៅជាទម្រង់ kx = b ដែលនឹងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់សម្រាប់ k ≠ 0។ យើងមាន៖

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2 ។

យើងតំណាងឱ្យត្រីកោណការ៉េ a 2 + 3a + 2 ជាផលិតផលនៃតង្កៀប

(a + 2) (a + 1) ហើយនៅខាងឆ្វេងយើងយក x ចេញពីតង្កៀប៖

(a 2 + 3a) x = 2 + (a + 2)(a + 1) ។

ជាក់ស្តែង 2 + 3a មិនគួរស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះ

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0 ដែលមានន័យថា a ≠ 0 និង ≠ -3 ។

ចម្លើយ៖ a ≠ 0; ≠ -៣.

ឧទាហរណ៍ ៦.

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក កំណត់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = ក.

ដំណោះស្រាយ។

ដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌ យើងបង្កើតរង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅដើម និងកាំនៃ 3 ផ្នែកឯកតា នេះគឺជាអ្វីដែលបញ្ជាក់ដោយសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ

x 2 + y 2 = 9. សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (y = |x| + a) គឺជាបន្ទាត់ខូច។ ដោយប្រើ រូបភាពទី 2យើងពិចារណាករណីដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃទីតាំងរបស់វាទាក់ទងទៅនឹងរង្វង់។ វាងាយមើលថា a = 3 ។

ចម្លើយ៖ a = ៣.

នៅតែមានសំណួរ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

blog.site នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពដើមគឺត្រូវបានទាមទារ។