សម្រាប់សមីការនេះយើងមាន៖

; (5.22)

. (5.23)

កត្តាកំណត់ចុងក្រោយផ្តល់ឱ្យលក្ខខណ្ឌ 3 > 0 ។ លក្ខខណ្ឌ Δ 2 > 0 សម្រាប់ 0 > 0 មួយ 1 > 0 និង 3 > 0 អាចពេញចិត្តសម្រាប់តែ 2 > 0 ប៉ុណ្ណោះ។

ដូច្នេះហើយ សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីបី ភាពវិជ្ជមាននៃមេគុណទាំងអស់នៃសមីការលក្ខណៈគឺមិនគ្រប់គ្រាន់ទៀតទេ។ វាត្រូវបានទាមទារផងដែរដើម្បីបំពេញទំនាក់ទំនងជាក់លាក់រវាងមេគុណ a 1 a 2 > a 0 a 3 ។

4. សមីការលំដាប់ទីបួន

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានធ្វើខាងលើ យើងអាចទទួលបានថាសម្រាប់សមីការលំដាប់ទីបួន បន្ថែមពីលើភាពវិជ្ជមាននៃមេគុណទាំងអស់ លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវតែបំពេញ៖

គុណវិបត្តិយ៉ាងសំខាន់នៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យពិជគណិត រួមទាំងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Hurwitz គឺថាសម្រាប់សមីការលំដាប់ខ្ពស់ ល្អបំផុត គេអាចទទួលបានចម្លើយថាតើប្រព័ន្ធគ្រប់គ្រងដោយស្វ័យប្រវត្តិមានស្ថេរភាព ឬមិនស្ថិតស្ថេរ។ លើសពីនេះទៅទៀត ក្នុងករណីប្រព័ន្ធមិនស្ថិតស្ថេរ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យមិនឆ្លើយតបថាតើប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃប្រព័ន្ធគួរតែត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដើម្បីធ្វើឱ្យវាមានស្ថេរភាពនោះទេ។ កាលៈទេសៈនេះនាំឱ្យមានការស្វែងរកលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យផ្សេងទៀតដែលកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តផ្នែកវិស្វកម្ម។

៥.៣. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យស្ថេរភាពរបស់ Mikhailov

ចូរយើងពិចារណាដោយឡែកពីគ្នាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការលក្ខណៈ (5.7) ដែលជាពហុនាមលក្ខណៈ

ចូរយើងជំនួសវាទៅក្នុងពហុនាមនេះនូវតម្លៃស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ p = j ដែល  តំណាងឱ្យប្រេកង់មុំនៃលំយោលដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងឫសស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធនៃដំណោះស្រាយលក្ខណៈ។ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបានលក្ខណៈស្មុគស្មាញ

ដែលជាកន្លែងដែលផ្នែកពិតនឹងមានសូម្បីតែអំណាចនៃប្រេកង់

និងការស្រមើលស្រមៃ - អំណាចសេសនៃប្រេកង់

អ៊ី

អង្ករ។ ៥.៤. រូបគំនូររបស់ Mikhailov

ប្រសិនបើមេគុណទាំងអស់ និងតម្លៃប្រេកង់ជាក់លាក់មួយត្រូវបានផ្តល់ នោះតម្លៃ D(j) នឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅលើប្លង់ស្មុគស្មាញជាចំណុចដែលមានកូអរដោនេ U និង V ឬជាវ៉ិចទ័រដែលភ្ជាប់ចំណុចនេះជាមួយប្រភពដើម។ ប្រសិនបើតម្លៃប្រេកង់ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់ពីសូន្យទៅគ្មានកំណត់ នោះវ៉ិចទ័រនឹងផ្លាស់ប្តូរក្នុងទំហំ និងទិសដៅ ដោយពណ៌នាចុងបញ្ចប់របស់វានូវខ្សែកោងជាក់លាក់ (hodograph) ដែលត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែកោង Mikhailov (រូបភាព 5.4) ។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ខ្សែកោង Mikhailov ត្រូវបានសាងសង់ដោយចំនុច ហើយតម្លៃផ្សេងគ្នានៃប្រេកង់  ត្រូវបានបញ្ជាក់ ហើយ U() និង V() ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត (5.28), (5.29) ។ លទ្ធផលគណនាត្រូវបានសង្ខេបក្នុងតារាង។ ៥.១.

តារាង 5.1

ការសាងសង់ខ្សែកោង Mikhailov

ដោយប្រើតារាងនេះខ្សែកោងខ្លួនវាត្រូវបានសាងសង់ (រូបភាព 5.4) ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់នូវអ្វីដែលមុំបង្វិល  នៃវ៉ិចទ័រ D (j) គួរតែស្មើនឹងនៅពេលដែលប្រេកង់  ផ្លាស់ប្តូរពីសូន្យទៅគ្មានដែនកំណត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរពហុនាមលក្ខណៈជាផលិតផលនៃកត្តា

ដែល  1 –  n គឺជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ។

បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រលក្ខណៈអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ

តង្កៀបនីមួយៗតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិច។ ដូច្នេះ D(j) គឺជាផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច n ។ នៅពេលគុណ អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានបន្ថែម។ ដូច្នេះមុំលទ្ធផលនៃការបង្វិលវ៉ិចទ័រ D (j) នឹងស្មើនឹងផលបូកនៃមុំបង្វិលនៃកត្តាបុគ្គល (5.31) ដោយសារប្រេកង់ផ្លាស់ប្តូរពីសូន្យទៅគ្មានដែនកំណត់។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ពាក្យនីមួយៗនៅក្នុង (5.31) ដោយឡែកពីគ្នា។ ដើម្បី​សម្រួល​បញ្ហា សូម​ពិចារណា​អំពី​ប្រភេទ​ឫសគល់​ផ្សេងៗ។

1. ទុកជា root ខ្លះ ឧទហរណ៍  1, be ពិត និងអវិជ្ជមាន នោះគឺ 1 = – 1 ។ កត្តានៅក្នុងកន្សោម (5.31) ដែលកំណត់ដោយឫសនេះនឹងមានទម្រង់ ( 1 + j) ។ ចូរយើងបង្កើត hodograph នៃវ៉ិចទ័រនេះនៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ នៅពេលដែលប្រេកង់ផ្លាស់ប្តូរពីសូន្យទៅគ្មានកំណត់ (រូបភាព 5.5, ក) នៅពេល  = 0 ផ្នែកពិតគឺ U =  1 ហើយផ្នែកស្រមើលស្រមៃគឺ V = 0 ។ វាត្រូវគ្នានឹងចំនុច A ដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សពិត។ នៅ0 វ៉ិចទ័រនឹងផ្លាស់ប្តូរតាមរបៀបដែលផ្នែកពិតរបស់វានឹងនៅតែស្មើនឹង ហើយផ្នែកស្រមើលស្រមៃ V = (ចំណុច B នៅលើក្រាហ្វ)។ នៅពេលដែលប្រេកង់កើនឡើងដល់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ វ៉ិចទ័រទៅគ្មានដែនកំណត់ ហើយចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រតែងតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់បញ្ឈរឆ្លងកាត់ចំណុច A ហើយវ៉ិចទ័របង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។

អង្ករ។ ៥.៥. ឫសពិត

មុំលទ្ធផលនៃការបង្វិលវ៉ិចទ័រ  1 = +( / 2) ។

2. ឥលូវនេះ ឫស  1 ត្រូវបាន ពិតនិងវិជ្ជមាន , នោះគឺជា 1 = + 1.បន្ទាប់មកកត្តាក្នុង (5.31) ដែលកំណត់ដោយឫសនេះនឹងមានទម្រង់ (– 1 + j) ។ សំណង់ស្រដៀងគ្នា (រូបភាព 5.5, ខ) បង្ហាញថាមុំបង្វិលលទ្ធផលនឹង 1 = –( / 2) ។ សញ្ញាដកបង្ហាញថាវ៉ិចទ័របង្វិលតាមទ្រនិចនាឡិកា។

3. សូមអោយឫសផ្សំពីរឧទាហរណ៍  2 និង  3 ជា ស្មុគស្មាញជាមួយផ្នែកពិតអវិជ្ជមាន នោះគឺ 2;3 = –±j។ ដូចគ្នានេះដែរ កត្តាក្នុងការបញ្ចេញមតិ (5.31) ដែលកំណត់ដោយឫសទាំងនេះ នឹងមានទម្រង់ (–j + j)( + j + j) ។

នៅ  = 0 ទីតាំងដំបូងនៃវ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានកំណត់ដោយចំណុច A 1 និង A 2 (រូបភាព 5.6, ក) វ៉ិចទ័រទីមួយត្រូវបានបង្វិលតាមទ្រនិចនាឡិកាទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សពិតដោយមុំស្មើនឹង arctg( / ) ហើយវ៉ិចទ័រទីពីរត្រូវបានបង្វិលដោយមុំដូចគ្នាច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ ជាមួយនឹងការកើនឡើងបន្តិចម្តង ៗ នៃ  ពីសូន្យទៅគ្មានដែនកំណត់ ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរឡើងដល់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយវ៉ិចទ័រទាំងពីរនៅទីបំផុតបញ្ចូលគ្នាជាមួយអ័ក្សស្រមើស្រមៃ។

មុំលទ្ធផលនៃការបង្វិលវ៉ិចទ័រទីមួយគឺ  2 = ( / 2) +  ។ មុំលទ្ធផលនៃការបង្វិលវ៉ិចទ័រទីពីរ 3 = ( / 2) – ។ វ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នានឹងផលិតផល (–j + j)( + j + j) នឹងបង្វិលតាមមុំ 2 +  3 = 2 / 2 = ។

អង្ករ។ ៥.៦. ឫសស្មុគស្មាញ

4. អនុញ្ញាតឱ្យពួកគេដូចគ្នា។ ឫសស្មុគស្មាញមានផ្នែកពិតវិជ្ជមាន នោះគឺ 2;3 = +±j។

អនុវត្តការសាងសង់ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីដែលបានពិចារណាពីមុន (រូបភាព 5.6, ខ) យើងទទួលបានមុំលទ្ធផលនៃការបង្វិល 2 +  3 = –2 / 2 = – ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើសមីការលក្ខណៈមានឫស f ជាមួយនឹងផ្នែកពិតវិជ្ជមាន នោះឫសទាំងនេះជាអ្វី (ពិត ឬស្មុគស្មាញ) ពួកវានឹងឆ្លើយតបទៅនឹងផលបូកនៃមុំបង្វិលស្មើនឹង –f ( / 2)។ ឫសផ្សេងទៀតទាំងអស់ (n – f) នៃសមីការលក្ខណៈដែលមានផ្នែកពិតអវិជ្ជមាននឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងផលបូកនៃមុំបង្វិលស្មើនឹង +(n – f)( / 2)។ ជាលទ្ធផល មុំសរុបនៃការបង្វិលនៃវ៉ិចទ័រ D(j) នៅពេលដែលប្រេកង់ផ្លាស់ប្តូរពីសូន្យទៅគ្មានដែនកំណត់យោងតាមរូបមន្ត (5.32) នឹងមានទម្រង់

 = (n – f)(/2) –f(/2) = n (/2) –f ។

(5.33)

កន្សោមនេះកំណត់ទំនាក់ទំនងដែលចង់បានរវាងរូបរាងនៃខ្សែកោង Mikhailov និងសញ្ញានៃផ្នែកពិតនៃឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈ។ នៅឆ្នាំ 1936 A.V. Mikhailov បានបង្កើតលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យស្ថេរភាពដូចខាងក្រោមសម្រាប់ប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ណាមួយ។  សម្រាប់ស្ថេរភាពនៃប្រព័ន្ធលំដាប់លេខមួយ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវ៉ិចទ័រ D(j  ) ពិពណ៌នាអំពីខ្សែកោង Mikhailov នៅពេលផ្លាស់ប្តូរ  = មានមុំបង្វិលពីសូន្យទៅគ្មានកំណត់ (  / 2).

ន រូបមន្តនេះធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពី (5.33) ។ ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធមានស្ថេរភាពវាចាំបាច់ដែលឫសទាំងអស់ស្ថិតនៅពាក់កណ្តាលយន្តហោះខាងឆ្វេង។

ពីទីនេះ មុំបង្វិលវ៉ិចទ័រលទ្ធផលដែលត្រូវការត្រូវបានកំណត់។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យស្ថេរភាព Mikhailov ត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចខាងក្រោម:

សម្រាប់ស្ថេរភាពនៃ ACS លីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល Mikhailov hodograph នៅពេលដែលប្រេកង់ផ្លាស់ប្តូរពីសូន្យទៅគ្មានកំណត់ ចាប់ផ្តើមនៅលើយន្តហោះពាក់កណ្តាលវិជ្ជមាន និងដោយមិនឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ ប្រសព្វគ្នាជាបួនជ្រុងនៃស្មុគស្មាញ។ plane ជាលំដាប់នៃពហុនាមនៃសមីការលក្ខណៈនៃប្រព័ន្ធ។

អំពី

វាហាក់បីដូចជាខ្សែកោង Mikhailov សម្រាប់ប្រព័ន្ធស្ថេរភាពតែងតែមានរាងជាវង់រលោង ហើយចុងបញ្ចប់របស់វាទៅគ្មានទីបញ្ចប់នៅក្នុង quadrant នៃយន្តហោះស្មុគ្រស្មាញនោះ ចំនួនដែលស្មើនឹងកម្រិតនៃសមីការលក្ខណៈ (រូបភាព 5.7)។ ខ្សែកោង Mikhailov មិនអាចឆ្លងកាត់ច្រើនជាង n ចំនួនបួនជ្រុងទេ។ ដូច្នេះអស្ថិរភាពនៃប្រព័ន្ធតែងតែត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការពិតដែលថានៅក្នុងខ្សែកោង Mikhailov លំដាប់នៃការឆ្លងកាត់ quadrants ត្រូវបានរំលោភ ជាលទ្ធផលដែលមុំនៃការបង្វិលវ៉ិចទ័រ D (j) ប្រែទៅជាតិចជាង។ n ( / 2) (រូបភាព 5.8) ។

សម្រាប់ប្រព័ន្ធស្ថេរភាព ខ្សែកោង Mikhailov ឆ្លងកាត់ជាបន្តបន្ទាប់ n quadrants នៃយន្តហោះស្មុគស្មាញ។

វត្តមាននៃព្រំដែនស្ថេរភាពនៃប្រភេទទាំងបីអាចត្រូវបានកំណត់ពីខ្សែកោង Mikhailov ដូចខាងក្រោម។

នៅក្នុងវត្តមាននៃព្រំដែនស្ថិរភាព ប្រភេទទីមួយ (សូន្យឬស) មិនមានពាក្យសេរីនៃពហុវចនៈលក្ខណៈ n=0 ហើយខ្សែកោង Mikhailov បន្សល់ទុកប្រភពដើម (រូបភាព 5.9 ខ្សែកោង 1)

អង្ករ។ ៥.៨. ATS មិនស្ថិតស្ថេរ

អង្ករ។ ៥.៩. ដែនកំណត់ស្ថេរភាព

នៅដែនកំណត់ស្ថេរភាព ប្រភេទទីពីរ (ព្រំដែនលំនឹងលំយោល) ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការលក្ខណៈ ពោលគឺពហុនាមលក្ខណៈ បាត់នៅពេលជំនួស p = j 0

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

នេះបង្កប់ន័យសមភាពពីរ៖ X( 0) = 0; Y( 0) = 0. នេះមានន័យថាចំនុច  =  0 នៅលើខ្សែកោង Mikhailov ធ្លាក់នៅប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ (រូបភាព 5.9 ខ្សែកោង 2) ។ ក្នុងករណីនេះតម្លៃ  0 គឺជាប្រេកង់នៃលំយោលដែលមិនដំណើរការនៃប្រព័ន្ធ។

សម្រាប់ព្រំដែនស្ថេរភាព ប្រភេទទីបី (ឫសគ្មានកំណត់) ចុងបញ្ចប់នៃខ្សែកោង Mikhailov ត្រូវបានបោះចោល (រូបភាព 5.9, ខ្សែកោង 3) ពី quadrant មួយទៅ quadrant មួយទៀតតាមរយៈ infinity ។ ក្នុងករណីនេះ មេគុណ 0 នៃពហុនាមលក្ខណៈ (5.7) នឹងឆ្លងកាត់តម្លៃសូន្យ ដោយប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក។

ប្រភេទសំខាន់ៗនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាលំដាប់ខ្ពស់ (DEs) ដែលអាចដោះស្រាយបានត្រូវបានរាយបញ្ជី។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកគេត្រូវបានរៀបរាប់ដោយសង្ខេប។ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ទំព័រដែលមានការពិពណ៌នាលម្អិតនៃវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយ និងឧទាហរណ៍ត្រូវបានផ្តល់ជូន។

មាតិកា

សូម​មើល​ផង​ដែរ: សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាងដែលអនុញ្ញាតឱ្យកាត់បន្ថយលំដាប់

សមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយការរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងក្រោម៖
.
យើងរួមបញ្ចូល n ដង។
;
;
ល​ល។ អ្នកក៏អាចប្រើរូបមន្ត៖
.
សូមមើលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្ទាល់ សមាហរណកម្ម >>

សមីការ​ដែល​មិន​មាន​អថេរ​អាស្រ័យ y

ការជំនួសបន្ថយលំដាប់នៃសមីការដោយមួយ។ នេះគឺជាមុខងារពី។
សូមមើលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងដែលមិនមានមុខងារច្បាស់លាស់ > > >

សមីការដែលមិនរួមបញ្ចូលអថេរឯករាជ្យ x

.
យើងចាត់ទុកថាវាជាមុខងាររបស់ .
.
បន្ទាប់មក
ដូចគ្នាដែរចំពោះនិស្សន្ទវត្ថុផ្សេងទៀត។ ជាលទ្ធផលលំដាប់នៃសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយមួយ។

សូមមើលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងដែលមិនមានអថេរច្បាស់លាស់ >> >

សមីការដូចគ្នាដោយគោរពទៅ y, y', y', ...
,
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ យើងធ្វើការជំនួស
.
តើមុខងាររបស់ .
បន្ទាប់មក

យើង​ក៏​បំប្លែង​និស្សន្ទវត្ថុ​ដូចគ្នា​។ល។ ជាលទ្ធផលលំដាប់នៃសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយមួយ។

សូមមើលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ខ្ពស់ ដែលមានលក្ខណៈដូចគ្នាទាក់ទងនឹងមុខងារ និងដេរីវេរបស់វា >> សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង:
(1) ,
ចូរយើងពិចារណា
(2) ,
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី
កន្លែងណាជាមុខងាររបស់អថេរឯករាជ្យ។អនុញ្ញាតឱ្យមានដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំពោះសមីការនេះ។ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ (១) មានទម្រង់៖

សូមមើលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ខ្ពស់ ដែលមានលក្ខណៈដូចគ្នាទាក់ទងនឹងមុខងារ និងដេរីវេរបស់វា >> កន្លែងដែលអថេរបំពាន។ មុខងារខ្លួនឯងបង្កើតជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។:
.
ប្រព័ន្ធដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន
,
នៃសមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី n គឺជាដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំពោះសមីការនេះ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី

សូមឱ្យមានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ (ណាមួយ) ចំពោះសមីការនេះ។ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់៖

តើដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា (1) នៅឯណា។
(3) .
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរនិងកាត់បន្ថយចំពោះពួកគេ។
(2) .

សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានមេគុណថេរ ទាំងនេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់៖:
(4) .

នេះគឺជាចំនួនពិត។ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការនេះ យើងត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដែលបង្កើតជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (២)៖ យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់។យើង​ទទួល​បាន
.

សមីការលក្ខណៈ ប្រសិនបើសមីការនេះមាន
,
ឫសផ្សេងៗ

បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយមានទម្រង់៖ប្រសិនបើមាន

ឫសស្មុគស្មាញបន្ទាប់មកក៏មានឫសផ្សំស្មុគស្មាញផងដែរ។
.

សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងផ្នែក inhomogeneous ពិសេស

ពិចារណាសមីការនៃទម្រង់
,
តើពហុនាមនៃដឺក្រេ s នៅឯណា 1 និង ស 2 ;

- អចិន្ត្រៃយ៍។ ដំបូងយើងរកមើលដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការដូចគ្នា (3) ។ ប្រសិនបើសមីការលក្ខណៈ (4)មិនមានជា root
,
បន្ទាប់មកយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយក្នុងទម្រង់៖
;
;
កន្លែងណា 1 និង ស 2 .

s - ធំបំផុតនៃ s ប្រសិនបើសមីការលក្ខណៈ (4)មានឫស
.

ពហុគុណ បន្ទាប់មកយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយក្នុងទម្រង់៖
.

បន្ទាប់ពីនេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅ:

សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ ជាមួយមេគុណថេរ

1) មានដំណោះស្រាយបីយ៉ាងនៅទីនេះ។.
វិធីសាស្រ្ត Bernoulli
.
ដំបូង យើងរកឃើញដំណោះស្រាយមិនសូន្យចំពោះសមីការដូចគ្នា។
,
បន្ទាប់មកយើងធ្វើការជំនួស - 1 តើមុខងារនៃអថេរ x ។

2) យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់ u ដែលមានតែដេរីវេនៃ u ទាក់ទងនឹង x ។.
អនុវត្តការជំនួសយើងទទួលបានសមីការ n
,
- លំដាប់។

3) វិធីសាស្រ្តជំនួសលីនេអ៊ែរ.
ចូរធ្វើការជំនួស
(2) .
កន្លែងណាជាឫសគល់មួយនៃសមីការលក្ខណៈ (៤)។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ ជាមួយនឹងមេគុណថេរនៃលំដាប់។
,
ការអនុវត្តការជំនួសនេះជាប់លាប់ យើងកាត់បន្ថយសមីការដើមទៅជាសមីការលំដាប់ទីមួយ។

វិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃថេរ Lagrange

ក្នុង​វិធី​នេះ​ដំបូង​យើង​ដោះស្រាយ​សមីការ​ដូចគ្នា (៣)។ ដំណោះស្រាយរបស់គាត់មើលទៅ៖
.
យើងសន្មត់ថាថេរគឺជាមុខងារនៃអថេរ x ។
.
បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើមមានទម្រង់៖

កន្លែងដែលមិនស្គាល់មុខងារ។ ការជំនួសសមីការដើម និងការដាក់កម្រិតមួយចំនួន យើងទទួលបានសមីការដែលយើងអាចស្វែងរកប្រភេទនៃមុខងារ។
សមីការអយល័រ
វាកាត់បន្ថយទៅជាសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយមេគុណថេរដោយការជំនួស៖

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការអយល័រ មិនចាំបាច់ធ្វើការជំនួសបែបនេះទេ។ អ្នកអាចរកមើលដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដូចគ្នាក្នុងទម្រង់ភ្លាមៗ

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានច្បាប់ដូចគ្នានឹងសមីការដែលមានមេគុណថេរ ដែលជំនួសឱ្យអថេរ អ្នកត្រូវជំនួស។ ឯកសារយោង៖

V.V. Stepanov, វគ្គសិក្សានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល, "LKI", ឆ្នាំ 2015 ។ N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, ការប្រមូលផ្ដុំនៃបញ្ហានៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់, “Lan”, ឆ្នាំ 2003 ។

បន្ថែមពីលើធម្មតា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកក៏ត្រូវបានសិក្សាផងដែរ។ ទាំងនេះគឺជាសមីការដែលទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ ដែលជាមុខងារមិនស្គាល់នៃអថេរទាំងនេះ និងដេរីវេដោយផ្នែករបស់វាទាក់ទងនឹងអថេរដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែយើងនឹងពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ ដូច្នេះហើយ សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃភាពខ្លី យើងនឹងលុបចោលពាក្យ "ធម្មតា"។

ឧទាហរណ៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

(1) ;

(3) ;

(4) ;

សមីការ (១) ជាលំដាប់ទី៤ សមីការ (២) ជាលំដាប់ទី៣ សមីការ (៣) និង (៤) ជាលំដាប់ទីពីរ សមីការ (៥) ជាលំដាប់ទីមួយ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល មានមុំបង្វិលពីសូន្យទៅគ្មានកំណត់លំដាប់ទី មិនចាំបាច់មានមុខងារច្បាស់លាស់ទេ ដេរីវេរបស់វាទាំងអស់តាំងពីដំបូងរហូតដល់ មានមុំបង្វិលពីសូន្យទៅគ្មានកំណត់លំដាប់ទី និងអថេរឯករាជ្យ។ វាអាចមិនមានដេរីវេច្បាស់លាស់នៃការបញ្ជាទិញជាក់លាក់ មុខងារ ឬអថេរឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសមីការ (1) ច្បាស់ណាស់មិនមាននិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីបី និងទីពីរ ក៏ដូចជាមុខងារមួយ។ នៅក្នុងសមីការ (2) - ដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរនិងមុខងារ; នៅក្នុងសមីការ (4) - អថេរឯករាជ្យ; នៅក្នុងសមីការ (5) - មុខងារ។ មានតែសមីការ (3) ប៉ុណ្ណោះដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់ មុខងារ និងអថេរឯករាជ្យ។

ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល មុខងារនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថា y = f(x)នៅពេលដែលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការ វាប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។

ដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ការរួមបញ្ចូល.

ឧទាហរណ៍ ១.ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសរសេរសមីការនេះក្នុងទម្រង់។ ដំណោះស្រាយគឺស្វែងរកមុខងារពីដេរីវេរបស់វា។ មុខងារដើម ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីការគណនាអាំងតេក្រាល គឺជាអង់ទីករសម្រាប់ ពោលគឺឧ។

នោះហើយជាអ្វីដែលវាគឺជា ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ។ . ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងវា។ គយើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នា។ យើងបានរកឃើញថាមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល មានមុំបង្វិលពីសូន្យទៅគ្មានកំណត់លំដាប់ទី គឺជាដំណោះស្រាយរបស់វា ដែលបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ទាក់ទងនឹងមុខងារដែលមិនស្គាល់ និងមានផ្ទុក មានមុំបង្វិលពីសូន្យទៅគ្មានកំណត់ថេរបំពានឯករាជ្យ, i.e.

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 គឺទូទៅ។

ដំណោះស្រាយផ្នែកនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដំណោះស្រាយដែលអថេរបំពានត្រូវបានផ្តល់តម្លៃលេខជាក់លាក់ត្រូវបានគេហៅថា។

ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយសម្រាប់ .

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងធ្វើសមាហរណកម្មភាគីទាំងពីរនៃសមីការចំនួនដងស្មើនឹងលំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

,

.

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅមួយ -

នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឥឡូវនេះចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ជំនួសតម្លៃរបស់ពួកគេ ជំនួសឱ្យមេគុណបំពាន និងទទួលបាន

.

ប្រសិនបើបន្ថែមលើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល លក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ នោះបញ្ហាបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា បញ្ហារសើប . ជំនួសតម្លៃ និងចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ និងស្វែងរកតម្លៃនៃថេរដែលបំពាន គហើយបន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការសម្រាប់តម្លៃដែលបានរកឃើញ គ. នេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy ។

ឧទាហរណ៍ ៣.ដោះស្រាយបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីឧទាហរណ៍ 1 ប្រធានបទទៅ .

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួសតម្លៃពីលក្ខខណ្ឌដំបូងទៅជាដំណោះស្រាយទូទៅ y = 3, x= 1. យើងទទួលបាន

យើងសរសេរដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយនេះ៖

ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល សូម្បីតែរឿងសាមញ្ញបំផុត ទាមទារការរួមបញ្ចូលដ៏ល្អ និងជំនាញដេរីវេ រួមទាំងមុខងារស្មុគស្មាញ។ នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 4 ។ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយ។ សមីការ​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ក្នុង​ទម្រង់​មួយ​ដែល​អ្នក​អាច​បញ្ចូល​ភាគី​ទាំង​សងខាង​ភ្លាមៗ។

.

យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ (ជំនួស) ។ សូមឱ្យវាក្លាយជា។

ទាមទារដើម្បីយក dxហើយឥឡូវនេះ - ការយកចិត្តទុកដាក់ - យើងធ្វើនេះបើយោងតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញចាប់តាំងពី xហើយមានមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ("ផ្លែប៉ោម" គឺជាការទាញយកឫសការ៉េ ឬដែលជារឿងដូចគ្នា បង្កើនអំណាច "មួយពាក់កណ្តាល" ហើយ "សាច់ minced" គឺជាការបញ្ចេញមតិនៅក្រោមឫស)៖

យើងរកឃើញអាំងតេក្រាល៖

ត្រឡប់ទៅអថេរ x, យើង​ទទួល​បាន:

.

នេះគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដឺក្រេទីមួយនេះ។

មិនត្រឹមតែជំនាញពីផ្នែកមុននៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ប៉ុណ្ណោះទេ នឹងត្រូវបានទាមទារក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ប៉ុន្តែក៏មានជំនាញពីបឋមសិក្សាផងដែរ ពោលគឺគណិតវិទ្យាសាលា។ ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ នៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ណាមួយ ប្រហែលជាមិនមានអថេរឯករាជ្យទេ នោះគឺជាអថេរ x. ចំណេះដឹងអំពីសមាមាត្រពីសាលាដែលមិនត្រូវបានគេបំភ្លេចចោល (ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយអាស្រ័យលើអ្នកណា) ពីសាលានឹងជួយដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ នេះជាឧទាហរណ៍បន្ទាប់។

សម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីអ្វីដែលកំពុងកើតឡើងនៅក្នុងអត្ថបទនេះ អ្នកអាចអានបាន។

ពិចារណាប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីបី

នៅទីនេះ x(t), y(t), z(t) គឺជាមុខងារដែលត្រូវការនៅលើចន្លោះពេល (a, b) ហើយ ij (i, j = 1, 2, 3) គឺជាចំនួនពិត។

ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធដើមជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស
,
កន្លែងណា

យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដើមក្នុងទម្រង់
,
កន្លែងណា , C 1 , C 2 , C 3 គឺជាអថេរតាមអំពើចិត្ត។

ដើម្បីស្វែងរកប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ អ្នកត្រូវដោះស្រាយអ្វីដែលគេហៅថា សមីការលក្ខណៈ

សមីការនេះគឺជាសមីការពិជគណិតលំដាប់ទីបី ដូច្នេះវាមានឫស 3 ។ ករណីខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

1. ឫសគល់ (eigenvalues) គឺពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា។

2. ក្នុងចំនោមឫស (eigenvalues) មាន conjugate ដ៏ស្មុគស្មាញ អនុញ្ញាតឱ្យ
- ឫសពិត
=

3. ឫស (eigenvalues) គឺពិតប្រាកដ។ ឫសមួយក្នុងចំណោមឫសគឺពហុគុណ។

ដើម្បីស្វែងយល់ពីរបៀបធ្វើសកម្មភាពនៅក្នុងករណីនីមួយៗ យើងនឹងត្រូវការ៖
ទ្រឹស្តីបទ ១.
ទុកជាតម្លៃ eigenvectors នៃម៉ាទ្រីស A ហើយទុកជា eigenvectors ដែលត្រូវគ្នា។ បន្ទាប់មក

បង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដើម។

មតិយោបល់ .
ចូរឱ្យតម្លៃ eigenvalue ពិតប្រាកដនៃម៉ាទ្រីស A (ឫសពិតនៃសមីការលក្ខណៈ) ហើយទុកជា eigenvector ដែលត្រូវគ្នា។
= - eigenvalues ​​ស្មុគ្រស្មាញនៃម៉ាទ្រីស A, - ដែលត្រូវគ្នា - eigenvector ។ បន្ទាប់មក

(Re គឺជាផ្នែកពិត អ៊ឹមគឺជាផ្នែកស្រមៃ)
បង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដើម។ (ឧ. និង = ពិចារណារួមគ្នា)

ទ្រឹស្តីបទ ៣.
ទុកជាឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈនៃពហុគុណ 2. បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធដើមមាន 2 ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់
,
ដែល ជា វ៉ិចទ័រ ថេរ ។ ប្រសិនបើពហុគុណគឺ 3 នោះមានដំណោះស្រាយឯករាជ្យចំនួន 3 នៃទម្រង់
.
វ៉ិចទ័រត្រូវបានរកឃើញដោយការជំនួសដំណោះស្រាយ (*) និង (**) ទៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម។
ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីវិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃទម្រង់ (*) និង (**) សូមមើលឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលករណីនីមួយៗខាងលើដោយលម្អិតបន្ថែមទៀត។

1. ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីបីនៅក្នុងករណីនៃឫសពិតផ្សេងគ្នានៃសមីការលក្ខណៈ។
ដែលបានផ្តល់ឱ្យប្រព័ន្ធ

1) យើងបង្កើតសមីការលក្ខណៈ

- eigenvalues ​​ពិតប្រាកដ និងខុសគ្នានៃ 9roots នៃសមីការនេះ)។
2) យើងសាងសង់កន្លែងណា

3) យើងសាងសង់កន្លែងណា
- eigenvector នៃម៉ាទ្រីស A ដែលត្រូវគ្នានឹង , i.e. - ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធណាមួយ។

4) យើងសាងសង់កន្លែងណា
- eigenvector នៃម៉ាទ្រីស A ដែលត្រូវគ្នានឹង , i.e. - ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធណាមួយ។

5)

បង្កើតជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ បន្ទាប់យើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដើមក្នុងទម្រង់
,
នៅទីនេះ C 1, C 2, C 3 គឺជាអថេរតាមអំពើចិត្ត។
,
ឬក្នុងទម្រង់សម្របសម្រួល

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖
ឧទាហរណ៍ ១.




2) ស្វែងរក


3) ស្វែងរក


4) មុខងារវ៉ិចទ័រ



ឬនៅក្នុងសំណេរសំរបសំរួល

ឧទាហរណ៍ ២.

១) យើងចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ៖

2) ស្វែងរក


3) ស្វែងរក


4) ស្វែងរក


5) មុខងារវ៉ិចទ័រ

បង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាន។ ដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់

ឬនៅក្នុងសំណេរសំរបសំរួល

2. ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីបីនៅក្នុងករណីនៃឫស conjugate ស្មុគស្មាញនៃសមីការលក្ខណៈ។


- ឫសពិត,

2) យើងសាងសង់កន្លែងណា

3) យើងសាងសង់

- eigenvector នៃម៉ាទ្រីស A ដែលត្រូវគ្នានឹង , i.e. បំពេញប្រព័ន្ធ

នៅទីនេះ Re គឺជាផ្នែកពិត
អ៊ឹម - ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ
៤) បង្កើតជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ បន្ទាប់យើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដើម៖
, កន្លែងណា
C 1, C 2, C 3 គឺជាអថេរតាមអំពើចិត្ត។

ឧទាហរណ៍ ១.

1) តែងនិងដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ

2) យើងកំពុងសាងសង់

3) យើងសាងសង់
, កន្លែងណា

ចូរកាត់បន្ថយសមីការទីមួយដោយ 2។ បន្ទាប់មកបន្ថែមសមីការទីមួយគុណនឹង 2i ទៅសមីការទីពីរ ហើយដកសមីការទីមួយគុណនឹង 2 ចេញពីសមីការទីបី។

បន្ថែមទៀត

អាស្រ័យហេតុនេះ

4) - ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដើម៖

ឧទាហរណ៍ ២.

1) យើងតែង និងដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ


2) យើងកំពុងសាងសង់

(ឧ. និងពិចារណារួមគ្នា) កន្លែងណា

គុណសមីការទីពីរដោយ (1-i) ហើយកាត់បន្ថយដោយ 2 ។


អាស្រ័យហេតុនេះ

3)
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដើម

ឬ

2. ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីបីនៅក្នុងករណីនៃឫសច្រើននៃសមីការលក្ខណៈ។
យើងតែង និងដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ

មានករណីពីរដែលអាចកើតមាន៖

ពិចារណាករណី ក) ១) កន្លែងណា

- eigenvector នៃម៉ាទ្រីស A ដែលត្រូវគ្នានឹង , i.e. បំពេញប្រព័ន្ធ

2) ចូរយើងយោងទៅទ្រឹស្តីបទ 3 ដែលវាដូចខាងក្រោមថាមានដំណោះស្រាយឯករាជ្យពីរនៃទម្រង់
,
កន្លែងណាគឺជាវ៉ិចទ័រថេរ។ តោះយកពួកវាទៅ។
3) - ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ បន្ទាប់យើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដើម៖

ពិចារណាករណីខ៖
1) ចូរយើងយោងទៅទ្រឹស្តីបទ 3 ដែលវាដូចខាងក្រោមថាមានដំណោះស្រាយឯករាជ្យចំនួនបីនៃទម្រង់
,
ដែល , , គឺជាវ៉ិចទ័រថេរ។ តោះយកពួកវាទៅ។
2) - ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ បន្ទាប់យើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដើម។

ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃទម្រង់ (*) សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ១.

យើងចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ៖

យើងមានករណី ក)
1) យើងសាងសង់
, កន្លែងណា

ពីសមីការទីពីរ យើងដកទីមួយ៖

? ខ្សែទីបីគឺស្រដៀងនឹងទីពីរយើងកាត់វាចេញ។ ដកទីពីរចេញពីសមីការទីមួយ៖

2) = 1 (ច្រើននៃ 2)
យោងតាម ​​T.3 ឫសនេះត្រូវតែឆ្លើយតបទៅនឹងដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពីរនៃទម្រង់។
ចូរយើងព្យាយាមស្វែងរកដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរទាំងអស់ដែល i.e. ដំណោះស្រាយនៃទម្រង់
.
វ៉ិចទ័របែបនេះនឹងជាដំណោះស្រាយប្រសិនបើ eigenvector ដែលត្រូវគ្នានឹង =1, i.e.
, ឬ
ខ្សែទីពីរ និងទីបីគឺស្រដៀងនឹងទីមួយ បោះវាចោល។

ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការមួយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ មានការមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃចំនួនពីរ ជាឧទាហរណ៍ និង . ចូរយើងផ្តល់ឱ្យពួកគេនូវតម្លៃ 1, 0; បន្ទាប់មកតម្លៃ 0, 1. យើងទទួលបានដំណោះស្រាយដូចខាងក្រោមៈ
.
អាស្រ័យហេតុនេះ .
3) - ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ វានៅសល់ដើម្បីសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដើម៖
.
ឬ