វាក៏នឹងមានភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យផងដែរ ដែលអ្នកអាចមើលឃើញចម្លើយ។

គំនិតវ៉ិចទ័រ

មុនពេលអ្នករៀនទាំងអស់អំពីវ៉ិចទ័រ និងប្រតិបត្តិការលើពួកវា សូមស្តាប់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញមួយ។ មានវ៉ិចទ័រនៃសហគ្រាសរបស់អ្នក និងវ៉ិចទ័រនៃសមត្ថភាពច្នៃប្រឌិតរបស់អ្នក។ វ៉ិចទ័រនៃភាពជាសហគ្រិននាំអ្នកទៅកាន់គោលដៅទី 1 និងវ៉ិចទ័រនៃសមត្ថភាពច្នៃប្រឌិត - ទៅកាន់គោលដៅទី 2 ។ ច្បាប់នៃហ្គេមគឺដូចជាអ្នកមិនអាចផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះក្នុងពេលតែមួយ ហើយសម្រេចបានគោលដៅពីរក្នុងពេលតែមួយ។ វ៉ិចទ័រធ្វើអន្តរកម្ម ឬនិយាយតាមគណិតវិទ្យា ប្រតិបត្តិការមួយចំនួនត្រូវបានអនុវត្តលើវ៉ិចទ័រ។ លទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការនេះគឺវ៉ិចទ័រ "លទ្ធផល" ដែលនាំអ្នកទៅកាន់គោលដៅទី 3 ។

ឥឡូវនេះប្រាប់ខ្ញុំ: លទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការមួយណានៅលើវ៉ិចទ័រ "សហគ្រាស" និង "សមត្ថភាពច្នៃប្រឌិត" គឺជាវ៉ិចទ័រ "លទ្ធផល"? បើ​មិន​អាច​និយាយ​បាន​ភ្លាម កុំ​បាក់​ទឹកចិត្ត។ នៅពេលអ្នកសិក្សាមេរៀននេះ អ្នកនឹងអាចឆ្លើយសំណួរនេះបាន។

ដូចដែលយើងបានឃើញខាងលើ វ៉ិចទ័រត្រូវតែមកពីចំណុចមួយចំនួន កនៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ទៅចំណុចណាមួយ។ ខ. អាស្រ័យហេតុនេះ វ៉ិចទ័រនីមួយៗមិនត្រឹមតែមានតម្លៃជាលេខ - ប្រវែងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទិសដៅរូបវន្ត និងធរណីមាត្រផងដែរ។ ពីនេះដំបូង និយមន័យសាមញ្ញបំផុតនៃវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានយកមក។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ គឺជាផ្នែកដែលដឹកនាំចេញពីចំណុចមួយ។ កដល់ចំណុច ខ. វាត្រូវបានសម្គាល់ដូចនេះ៖

ហើយចាប់ផ្តើមខុសគ្នា ប្រតិបត្តិការវ៉ិចទ័រ យើងត្រូវស្គាល់និយមន័យមួយបន្ថែមទៀតនៃវ៉ិចទ័រ។

វ៉ិចទ័រគឺជាប្រភេទនៃតំណាងនៃចំណុចដែលត្រូវទៅដល់ពីចំណុចចាប់ផ្តើមមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័របីវិមាត្រជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរជា (x, y, z) . និយាយឱ្យសាមញ្ញ លេខទាំងនេះតំណាងឱ្យចម្ងាយដែលអ្នកត្រូវធ្វើក្នុងទិសដៅបីផ្សេងគ្នាដើម្បីទៅដល់ចំណុច។

សូមឱ្យវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ឯណា x = 3 (ដៃស្តាំចង្អុលទៅស្តាំ) y = 1 (ដៃឆ្វេងចង្អុលទៅមុខ) z = 5 (នៅក្រោមចំណុចមានជណ្ដើរឡើង)។ ពីទិន្នន័យនេះ អ្នកនឹងរកឃើញចំណុចដោយដើរ 3 ម៉ែត្រក្នុងទិសដៅដែលបង្ហាញដោយដៃស្តាំបន្ទាប់មក 1 ម៉ែត្រក្នុងទិសដៅដែលបង្ហាញដោយដៃឆ្វេងហើយបន្ទាប់មកកាំជណ្ដើរមួយកំពុងរង់ចាំអ្នកហើយឡើង 5 ម៉ែត្រអ្នកនឹងរកឃើញ។ ខ្លួនអ្នកនៅចុងបញ្ចប់។

ពាក្យផ្សេងទៀតទាំងអស់គឺជាការកែលម្អនៃការពន្យល់ដែលបានបង្ហាញខាងលើ ចាំបាច់សម្រាប់ប្រតិបត្តិការផ្សេងៗលើវ៉ិចទ័រ ពោលគឺសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។ ចូរយើងឆ្លងកាត់និយមន័យដ៏តឹងរ៉ឹងទាំងនេះ ដោយផ្តោតលើបញ្ហាវ៉ិចទ័រធម្មតា។

ឧទាហរណ៍រូបវិទ្យាបរិមាណវ៉ិចទ័រអាចជាការផ្លាស់ទីលំនៅនៃចំណុចសម្ភារៈដែលផ្លាស់ទីក្នុងលំហ ល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿននៃចំណុចនេះ ក៏ដូចជាកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើវា។

វ៉ិចទ័រធរណីមាត្រតំណាងក្នុងលំហពីរវិមាត្រ និងបីវិមាត្រក្នុងទម្រង់ ផ្នែកដឹកនាំ. នេះគឺជាផ្នែកដែលមានការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់។

ប្រសិនបើ ក កគឺជាការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ និង ខជាចុងបញ្ចប់របស់វា បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ឬអក្សរតូចតែមួយ។ នៅក្នុងរូបភាព ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយព្រួញមួយ (រូបភាពទី 1)

ប្រវែង(ឬ ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រធរណីមាត្រគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកដែលបង្កើតវា។

វ៉ិចទ័រទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា ស្មើ ប្រសិនបើពួកគេអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា (នៅពេលដែលទិសដៅស្របគ្នា) ដោយការបកប្រែស្របគ្នា i.e. ប្រសិនបើពួកវាស្របគ្នា ចង្អុលទៅទិសដូចគ្នា និងមានប្រវែងស្មើគ្នា។

នៅក្នុងរូបវិទ្យាវាត្រូវបានពិចារណាជាញឹកញាប់ វ៉ិចទ័រដែលបានខ្ទាស់ផ្តល់ដោយចំណុចកម្មវិធី ប្រវែង និងទិសដៅ។ ប្រសិនបើចំណុចនៃការអនុវត្តវ៉ិចទ័រមិនមានបញ្ហាទេនោះវាអាចត្រូវបានផ្ទេរដោយរក្សាប្រវែងនិងទិសដៅទៅចំណុចណាមួយក្នុងលំហ។ ក្នុងករណីនេះវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ឥតគិតថ្លៃ. យើងយល់ព្រមពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ វ៉ិចទ័រឥតគិតថ្លៃ.

ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើវ៉ិចទ័រធរណីមាត្រ

គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ

ផលិតផលវ៉ិចទ័រ ក្នុងមួយលេខវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដែលទទួលបានពីវ៉ិចទ័រដោយការលាតសន្ធឹង (នៅ) ឬបង្រួម (នៅ) ដងហើយទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានរក្សាទុកប្រសិនបើ , និងបញ្ច្រាសប្រសិនបើ . (រូបទី 2)

វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលវ៉ិចទ័រ និង = តែងតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយ ឬប៉ារ៉ាឡែល។ វ៉ិចទ័របែបនេះត្រូវបានគេហៅថា collinear. (អ្នកក៏អាចនិយាយបានថាវ៉ិចទ័រទាំងនេះស្របគ្នា ប៉ុន្តែនៅក្នុងពិជគណិតវ៉ិចទ័រវាជាទម្លាប់ក្នុងការនិយាយថា "collinear") ការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ និងជាគូ នោះពួកវាទាក់ទងគ្នាដោយទំនាក់ទំនង។

ដូច្នេះ សមភាព (1) បង្ហាញពីលក្ខខណ្ឌនៃភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរ។

ការបូកនិងដកវ៉ិចទ័រ

នៅពេលបន្ថែមវ៉ិចទ័រ អ្នកត្រូវដឹងរឿងនោះ។ ផលបូកវ៉ិចទ័រ ហើយត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដែលការចាប់ផ្តើមស្របគ្នានឹងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ ហើយចុងបញ្ចប់ត្រូវគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ផ្តល់ថាការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានភ្ជាប់ទៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ។ (រូបទី 3)

និយមន័យនេះអាចត្រូវបានចែកចាយលើចំនួនវ៉ិចទ័រកំណត់ណាមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងចន្លោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ នវ៉ិចទ័រឥតគិតថ្លៃ។ នៅពេលបន្ថែមវ៉ិចទ័រជាច្រើន ផលបូករបស់វាត្រូវបានយកជាវ៉ិចទ័របិទ ដែលការចាប់ផ្តើមស្របគ្នានឹងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រទីមួយ និងចុងបញ្ចប់ជាមួយនឹងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រចុងក្រោយ។ នោះគឺប្រសិនបើការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានភ្ជាប់ទៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រហើយការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រទៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ។ល។ ហើយទីបំផុតទៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ - ការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ បន្ទាប់មកផលបូកនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺជាវ៉ិចទ័របិទ ដែលការចាប់ផ្តើមរបស់វាស្របគ្នានឹងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រទីមួយ ហើយចុងបញ្ចប់របស់វាស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រចុងក្រោយ។ (រូបទី 4)

ពាក្យ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​សមាសធាតុ​នៃ​វ៉ិចទ័រ ហើយ​ក្បួន​ដែល​បាន​បង្កើត​គឺ​ ច្បាប់ពហុកោណ. ពហុកោណនេះប្រហែលជាមិនមានរាងសំប៉ែតទេ។

នៅពេលដែលវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានគុណនឹងលេខ -1 នោះវ៉ិចទ័រផ្ទុយត្រូវបានទទួល។ វ៉ិចទ័រ និងមានប្រវែងដូចគ្នា និងទិសដៅផ្ទុយ។ ផលបូករបស់ពួកគេផ្តល់ឱ្យ វ៉ិចទ័រ nullដែលប្រវែងគឺសូន្យ។ ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រទទេមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

នៅក្នុងពិជគណិតវ៉ិចទ័រ មិនចាំបាច់ពិចារណាប្រតិបត្តិការដកដោយឡែកពីគ្នាទេ៖ ដើម្បីដកវ៉ិចទ័រពីវ៉ិចទ័រមានន័យថាបន្ថែមវ៉ិចទ័រផ្ទុយទៅនឹងវ៉ិចទ័រពោលគឺឧ។

ឧទាហរណ៍ ១សម្រួលការបញ្ចេញមតិ៖

.

,

នោះគឺវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានបន្ថែម និងគុណដោយលេខក្នុងវិធីដូចគ្នានឹងពហុនាម (ជាពិសេសបញ្ហាផងដែរសម្រាប់ការធ្វើឱ្យកន្សោមសាមញ្ញ)។ ជាធម្មតា តម្រូវការក្នុងការសម្រួលកន្សោមស្រដៀងគ្នាលីនេអ៊ែរជាមួយវ៉ិចទ័រកើតឡើងមុនពេលគណនាផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រ។

ឧទាហរណ៍ ២វ៉ិចទ័រនិងបម្រើជាអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម ABCD (រូបភាព 4a) ។ បង្ហាញក្នុងន័យនៃ និងវ៉ិចទ័រ , និង , ដែលជាជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាមនេះ។

ដំណោះស្រាយ។ ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមកាត់តាមអង្កត់ទ្រូងនីមួយៗ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលត្រូវការក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាត្រូវបានរកឃើញថាជាពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃវ៉ិចទ័រដែលបង្កើតជាត្រីកោណជាមួយនឹងអ្វីដែលចង់បាន ឬជាពាក់កណ្តាលនៃភាពខុសគ្នា (អាស្រ័យលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រដែលបម្រើជាអង្កត់ទ្រូង) ឬដូចក្នុងករណីចុងក្រោយ ផលបូកពាក់កណ្តាលដែលយកដោយសញ្ញាដក។ លទ្ធផលគឺវ៉ិចទ័រដែលត្រូវការក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖

មានហេតុផលគ្រប់យ៉ាងដើម្បីជឿថាឥឡូវនេះអ្នកបានឆ្លើយយ៉ាងត្រឹមត្រូវនូវសំណួរអំពីវ៉ិចទ័រ "សហគ្រាស" និង "សមត្ថភាពច្នៃប្រឌិត" នៅដើមមេរៀននេះ។ ចម្លើយត្រឹមត្រូវ៖ វ៉ិចទ័រទាំងនេះត្រូវបានទទួលរងនូវប្រតិបត្តិការបន្ថែម។

ដោះស្រាយបញ្ហាលើវ៉ិចទ័រដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកមើលដំណោះស្រាយ

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកប្រវែងនៃផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ?

បញ្ហានេះកាន់កាប់កន្លែងពិសេសមួយក្នុងប្រតិបត្តិការជាមួយវ៉ិចទ័រព្រោះវាពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិត្រីកោណមាត្រ។ ឧបមាថាអ្នកមានភារកិច្ចដូចខាងក្រោមៈ

ផ្តល់ប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងប្រវែងនៃផលបូកនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។ ស្វែងរកប្រវែងនៃភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានេះ និងបញ្ហាស្រដៀងគ្នាផ្សេងទៀត និងការពន្យល់អំពីរបៀបដោះស្រាយពួកគេ - នៅក្នុងមេរៀន " ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ៖ ប្រវែងនៃផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ និងទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស ".

ហើយអ្នកអាចពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបែបនេះនៅលើ ការគណនាតាមអ៊ីនធឺណិត "មិនស្គាល់ផ្នែកនៃត្រីកោណ (ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស)" .

តើផលិតផលវ៉ិចទ័រនៅឯណា?

ផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រដោយវ៉ិចទ័រមិនមែនជាប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរទេហើយត្រូវបានចាត់ទុកថាដាច់ដោយឡែក។ ហើយយើងមានមេរៀន "Dot Product of Vectors" និង "Vector and Mixed Product of Vectors"។

ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រលើអ័ក្ស

ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រលើអ័ក្សគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលបានព្យាករ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រ និងអ័ក្ស៖

ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់, ការព្យាករនៃចំណុចមួយ។ កនៅលើបន្ទាត់ (យន្តហោះ) គឺជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីចំណុចនេះទៅបន្ទាត់ (យន្តហោះ) ។

អនុញ្ញាតឱ្យ - វ៉ិចទ័របំពាន (រូបភាពទី 5) និង - ការព្យាករណ៍នៃការចាប់ផ្តើមរបស់វា (ចំណុច ក) និងបញ្ចប់ (ចំនុច ខ) ក្នុងមួយអ័ក្ស លីត្រ. (ដើម្បីបង្កើតការព្យាករនៃចំណុចមួយ។ ក) គូសត្រង់ចំនុច កប្លង់កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះនឹងកំណត់ការព្យាករដែលត្រូវការ។

សមាសធាតុនៃវ៉ិចទ័រ នៅលើអ័ក្ស lបានហៅវ៉ិចទ័របែបនេះដែលដេកលើអ័ក្សនេះ ការចាប់ផ្តើមដែលស្របគ្នានឹងការព្យាករនៃការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់ - ជាមួយនឹងការព្យាករនៃចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ។

ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្ស លីត្របានហៅលេខមួយ។

,

ស្មើនឹងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រសមាសភាគនៅលើអ័ក្សនេះ យកដោយសញ្ញាបូក ប្រសិនបើទិសដៅនៃសមាសភាគស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃអ័ក្ស លីត្រហើយជាមួយនឹងសញ្ញាដក ប្រសិនបើទិសដៅទាំងនេះផ្ទុយគ្នា។

លក្ខណៈសំខាន់នៃការព្យាករវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្ស៖

1. ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រស្មើគ្នានៅលើអ័ក្សដូចគ្នាគឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។

2. នៅពេលដែលវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណនឹងចំនួនមួយ ការព្យាកររបស់វាត្រូវបានគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា។

3. ការព្យាករនៃផលបូកនៃវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្សណាមួយគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការព្យាករនៅលើអ័ក្សដូចគ្នានៃលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រ។

4. ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្សគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលបានព្យាករ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រ និងអ័ក្ស៖

.

ដំណោះស្រាយ។ ចូរ​យើង​គូរ​វ៉ិចទ័រ​ទៅ​លើ​អ័ក្ស លីត្រដូចដែលបានកំណត់នៅក្នុងសេចក្តីយោងទ្រឹស្តីខាងលើ។ ពី Fig.5a វាច្បាស់ណាស់ថាការព្យាករនៃផលបូកនៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ។ យើងគណនាការព្យាករណ៍ទាំងនេះ៖

យើងរកឃើញការព្យាករចុងក្រោយនៃផលបូកវ៉ិចទ័រ៖

ទំនាក់ទំនងនៃវ៉ិចទ័រជាមួយប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណក្នុងលំហ

ស្គាល់គ្នាជាមួយ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ចតុកោណក្នុងលំហបានធ្វើឡើងនៅក្នុងមេរៀនដែលត្រូវគ្នា។និយមបើកវានៅក្នុងបង្អួចថ្មី។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធលំដាប់នៃអ័ក្សកូអរដោនេ 0xyzអ័ក្ស គោហៅ អ័ក្ស x, អ័ក្ស 0 ឆ្នាំ – អ័ក្ស y, និងអ័ក្ស 0z – អនុវត្តអ័ក្ស.

ជាមួយនឹងចំណុចបំពាន មវ៉ិចទ័រស្មើអវកាស

ហៅ វ៉ិចទ័រកាំពិន្ទុ មហើយ​គូរ​វា​លើ​អ័ក្ស​កូអរដោណេ​នីមួយៗ។ ចូរយើងបង្ហាញពីតម្លៃនៃការព្យាករដែលត្រូវគ្នា៖

លេខ x, y, zហៅ កូអរដោនេនៃចំណុច Mរៀងៗខ្លួន abscissa, ចាត់តាំងនិង appliqueហើយត្រូវបានសរសេរជាចំនុចលំដាប់លេខ៖ M(x; y; z)(រូបភាពទី 6) ។

វ៉ិចទ័រនៃប្រវែងឯកតាដែលទិសដៅស្របគ្នានឹងទិសអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា ឯកតាវ៉ិចទ័រ(ឬ ortom) អ័ក្ស។ បញ្ជាក់ដោយ

ដូច្នោះហើយវ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្សកូអរដោនេ គោ, អូ, អុក

ទ្រឹស្តីបទ។វ៉ិចទ័រណាមួយអាចត្រូវបានបំបែកទៅជាវ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្សកូអរដោនេ៖

(2)

សមភាព (2) ត្រូវបានគេហៅថាការពង្រីកវ៉ិចទ័រតាមអ័ក្សកូអរដោនេ។ មេគុណនៃការពង្រីកនេះគឺជាការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។ ដូច្នេះមេគុណពង្រីក (2) នៃវ៉ិចទ័រតាមអ័ក្សកូអរដោនេគឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ។

បន្ទាប់ពីជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោនេជាក់លាក់មួយក្នុងលំហ វ៉ិចទ័រ និងកូអរដោណេបីដងរបស់វាកំណត់គ្នាទៅវិញទៅមក ដូច្នេះវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់

តំណាងវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់ (2) និង (3) គឺដូចគ្នាបេះបិទ។

លក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រ collinear ក្នុងកូអរដោណេ

ដូចដែលយើងបានកត់សម្គាល់រួចហើយ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា collinear ប្រសិនបើពួកវាទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង

អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រ . វ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺ collinear ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង

,

នោះគឺកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រគឺសមាមាត្រ។

ឧទាហរណ៍ ៦វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ . តើវ៉ិចទ័រទាំងនេះជាប់គ្នាទេ?

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីសមាមាត្រនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ៖

.

កូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រគឺសមាមាត្រ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា ឬអ្វីដូចគ្នា ប៉ារ៉ាឡែល។

ប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងទិសដៅកូស៊ីនុស

ដោយសារការកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមកនៃអ័ក្សកូអរដោនេ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ

គឺស្មើនឹងប្រវែងអង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណ parallelepiped ដែលសាងសង់នៅលើវ៉ិចទ័រ

និងត្រូវបានបង្ហាញដោយសមភាព

(4)

វ៉ិចទ័រ​មួយ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ទាំង​ស្រុង​ដោយ​ការ​បញ្ជាក់​ចំណុច​ពីរ (ដើម​និង​ចុង) ដូច្នេះ​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​អាច​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច​ទាំង​នេះ។

សូមឱ្យការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺនៅចំណុច

ហើយចុងបញ្ចប់គឺនៅចំណុច

ពីសមភាព

ធ្វើតាមនោះ។

ឬក្នុងទម្រង់សម្របសម្រួល

អាស្រ័យហេតុនេះ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃកូអរដោនេនៃឈ្មោះដូចគ្នានៃចុងបញ្ចប់និងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ . រូបមន្ត (4) ក្នុងករណីនេះយកទម្រង់

ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ កូស៊ីនុសទិសដៅ . ទាំងនេះគឺជាកូស៊ីនុសនៃមុំដែលវ៉ិចទ័របង្កើតជាមួយអ័ក្ស គោ, អូនិង អុក. ចូរកំណត់មុំទាំងនេះរៀងៗខ្លួន α , β និង γ . បន្ទាប់មកកូស៊ីនុសនៃមុំទាំងនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

កូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រក៏ជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័ររបស់វ៉ិចទ័រ ហើយដូច្នេះវ៉ិចទ័ររបស់វ៉ិចទ័រ

.

ដោយពិចារណាថាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងមួយឯកតា នោះគឺ

,

យើងទទួលបានសមភាពដូចខាងក្រោមសម្រាប់កូស៊ីនុសទិសដៅ៖

ឧទាហរណ៍ ៧រកប្រវែងវ៉ិចទ័រ x = (3; 0; 4).

ដំណោះស្រាយ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រគឺ

ឧទាហរណ៍ ៨ពិន្ទុដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

រកមើលថាតើត្រីកោណដែលបង្កើតនៅលើចំណុចទាំងនេះគឺជា isosceles ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយប្រើរូបមន្តប្រវែងវ៉ិចទ័រ (៦) យើងរកឃើញប្រវែងនៃជ្រុង ហើយរកមើលថាតើមានពីរក្នុងចំណោមពួកវាស្មើគ្នា៖

ជ្រុងស្មើគ្នាពីរត្រូវបានរកឃើញ ដូច្នេះមិនចាំបាច់រកមើលប្រវែងនៃភាគីទីបីទេ ហើយត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជា isosceles ។

ឧទាហរណ៍ ៩រកប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងទិសដៅរបស់វា កូស៊ីនុស ប្រសិនបើ .

ដំណោះស្រាយ។ កូអរដោនេវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

.

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងឫសការ៉េនៃផលបូកនៃការ៉េនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ៖

.

ស្វែងរកទិសដៅកូស៊ីនុស៖

ដោះស្រាយបញ្ហាលើវ៉ិចទ័រដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកមើលដំណោះស្រាយ

ប្រតិបត្តិការលើវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ

អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រពីរនិងផ្តល់ឱ្យដោយការព្យាករណ៍របស់ពួកគេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:

ចូរយើងបង្ហាញពីសកម្មភាពលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

ទំព័រ 1 នៃ 2

សំណួរ​ទី 1។តើវ៉ិចទ័រជាអ្វី? តើវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?
ចម្លើយ។យើងនឹងហៅផ្នែកដែលដឹកនាំថាជាវ៉ិចទ័រ (រូបភាព 211) ។ ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ដោយបញ្ជាក់ការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់របស់វា។ នៅក្នុងគំនូរទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានសម្គាល់ដោយព្រួញមួយ។ ដើម្បីកំណត់វ៉ិចទ័រ យើងនឹងប្រើអក្សរតូចឡាតាំង a, b, c, ... ។ អ្នកក៏អាចកំណត់វ៉ិចទ័រដោយបញ្ជាក់ការចាប់ផ្តើម និងបញ្ចប់របស់វា។ ក្នុងករណីនេះការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានដាក់នៅកន្លែងដំបូង។ ជំនួសឱ្យពាក្យ "វ៉ិចទ័រ" ជួនកាលព្រួញ ឬសញ្ញាដាច់ៗត្រូវបានដាក់នៅពីលើការកំណត់អក្សរនៃវ៉ិចទ័រ។ វ៉ិចទ័រនៅក្នុងរូបភាព 211 អាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) ឬ \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\)។

សំណួរទី 2 ។តើ​វ៉ិចទ័រ​អ្វី​ខ្លះ​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​មាន​ទិសដៅ​ស្មើ​គ្នា (ទល់​មុខ​គ្នា)?
ចម្លើយ។វ៉ិចទ័រ \(\overline(AB)\) និង \(\overline(CD)\) ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​ត្រូវ​បាន​ដឹកនាំ​ស្មើៗ​គ្នា ប្រសិន​បើ​បន្ទាត់​ពាក់កណ្តាល AB និង CD ត្រូវ​បាន​ដឹកនាំ​ស្មើ​គ្នា។
វ៉ិចទ័រ \(\overline(AB)\) និង \(\overline(CD)\) ត្រូវ​បាន​ហៅ​ផ្ទុយ​គ្នា ប្រសិនបើ​បន្ទាត់​ពាក់កណ្តាល AB និង CD ត្រូវ​បាន​ដឹកនាំ​ផ្ទុយ។
ក្នុងរូបភាព 212 វ៉ិចទ័រ \(\overline(a)\) និង \(\overline(b)\) មានទិសដៅដូចគ្នា ចំណែកវ៉ិចទ័រ \(\overline(a)\) និង \(\overline(c) \\) មានទិសដៅផ្ទុយ។

សំណួរទី 3 ។តើអ្វីជាតម្លៃដាច់ខាតនៃវ៉ិចទ័រ?
ចម្លើយ។តម្លៃដាច់ខាត (ឬម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកដែលតំណាងឱ្យវ៉ិចទ័រ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃវ៉ិចទ័រ \(\overline(a)\) ត្រូវបានតាងដោយ |\(\overline(a)\)| ។

សំណួរទី 4 ។តើវ៉ិចទ័រ null ជាអ្វី?
ចម្លើយ។ការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រអាចស្របគ្នាជាមួយនឹងចុងបញ្ចប់របស់វា។ វ៉ិចទ័របែបនេះនឹងត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រសូន្យ។ វ៉ិចទ័រ​សូន្យ​ត្រូវ​បាន​តាង​ដោយ​សូន្យ​ដោយ​សញ្ញា (\(\overline(0)\)) ។ គ្មាននរណាម្នាក់និយាយអំពីទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រសូន្យទេ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃវ៉ិចទ័រសូន្យត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងសូន្យ។

សំណួរទី 5 ។តើវ៉ិចទ័រអ្វីហៅថាស្មើ?
ចម្លើយ។វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានគេនិយាយថាស្មើគ្នាប្រសិនបើពួកគេត្រូវបានផ្សំដោយការបកប្រែស្របគ្នា។ នេះមានន័យថាមានការបកប្រែស្របគ្នាដែលបកប្រែការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រមួយទៅការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រមួយផ្សេងទៀតរៀងគ្នា។

សំណួរទី 6 ។បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រស្មើគ្នាមានទិសដៅដូចគ្នា និងស្មើគ្នាក្នុងតម្លៃដាច់ខាត។ និងច្រាសមកវិញ៖ វ៉ិចទ័រដែលដឹកនាំស្មើៗគ្នាដែលស្មើគ្នាក្នុងតម្លៃដាច់ខាតគឺស្មើគ្នា។
ចម្លើយ។ជាមួយនឹងការបកប្រែស្របគ្នា វ៉ិចទ័ររក្សាទិសដៅរបស់វា ក៏ដូចជាតម្លៃដាច់ខាតរបស់វា។ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រស្មើគ្នាមានទិសដៅដូចគ្នា និងមានតម្លៃស្មើគ្នា។
អនុញ្ញាតឱ្យ \(\overline(AB)\) និង \(\overline(CD)\) ជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំស្មើៗគ្នា ស្មើនឹងតម្លៃដាច់ខាត (រូបភាព 213)។ ការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលដែលយកចំណុច C ទៅចំណុច A រួមបញ្ចូលគ្នានូវពាក់កណ្តាលជួរស៊ីឌីជាមួយពាក់កណ្តាលបន្ទាត់ AB ចាប់តាំងពីពួកគេត្រូវបានដឹកនាំស្មើៗគ្នា។ ហើយចាប់តាំងពីផ្នែក AB និង CD ស្មើគ្នា នោះចំនុច D ស្របគ្នានឹងចំនុច B ពោលគឺឧ។ ការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល បកប្រែវ៉ិចទ័រ \(\overline(CD)\) ទៅជាវ៉ិចទ័រ \(\overline(AB)\) ។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ \(\overline(AB)\) និង \(\overline(CD)\) គឺស្មើគ្នា តាមតម្រូវការ។

សំណួរទី 7 ។បញ្ជាក់​ថា​ពី​ចំណុច​ណា​មួយ​អាច​គូរ​វ៉ិចទ័រ​ស្មើ​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឲ្យ​ ហើយ​មាន​តែ​មួយ​ប៉ុណ្ណោះ។
ចម្លើយ។អនុញ្ញាតឱ្យស៊ីឌីជាបន្ទាត់ ហើយវ៉ិចទ័រ \(\overline(CD)\) ជាផ្នែកនៃស៊ីឌីបន្ទាត់។ អនុញ្ញាតឱ្យ AB ជាបន្ទាត់ដែល CD ចូលកំឡុងពេលបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល \(\overline(AB)\) ជាវ៉ិចទ័រដែលវ៉ិចទ័រ \(\overline(CD)\) ចូលទៅក្នុងកំឡុងពេលបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល ដូច្នេះហើយវ៉ិចទ័រ \(\ overline(AB)\) និង \(\overline(CD)\) គឺស្មើគ្នា ហើយបន្ទាត់ AB និង CD គឺស្របគ្នា (សូមមើលរូប 213)។ ដូចដែលយើងដឹងហើយថាតាមរយៈចំនុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ វាអាចគូរលើយន្តហោះបានច្រើនបំផុតមួយបន្ទាត់ស្របទៅនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (អ័ក្សនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល)។ អាស្រ័យហេតុនេះ តាមរយៈចំនុច A មួយអាចគូរបន្ទាត់មួយស្របទៅនឹងបន្ទាត់ CD ។ ដោយសារវ៉ិចទ័រ \(\overline(AB)\) គឺជាផ្នែកមួយនៃបន្ទាត់ AB វាអាចគូរវ៉ិចទ័រមួយ \(\overline(AB)\) តាមរយៈចំនុច A ដែលស្មើនឹងវ៉ិចទ័រ \(\overline (ស៊ីឌី)\) ។

សំណួរទី 8 ។តើកូអរដោនេវ៉ិចទ័រជាអ្វី? តើតម្លៃដាច់ខាតនៃវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោណេ a 1 , a 2 គឺជាអ្វី?
ចម្លើយ។សូមឲ្យវ៉ិចទ័រ \\(\overline(a)\) ចាប់ផ្តើមនៅចំណុច A 1 (x 1 ; y 1) ហើយបញ្ចប់នៅចំនុច A 2 (x 2 ; y 2)។ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ \(\overline(a)\) នឹងជាលេខ a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 ។ យើងនឹងដាក់កូអរដោណេវ៉ិចទ័រនៅជាប់នឹងការរចនាអក្សរនៃវ៉ិចទ័រ ក្នុងករណីនេះ \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) ឬគ្រាន់តែ \((\overline(a 1; a 2))\ ) កូអរដោនេវ៉ិចទ័រសូន្យគឺស្មើនឹងសូន្យ។
ពីរូបមន្តបង្ហាញចម្ងាយរវាងចំណុចពីរក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោណេរបស់វា វាធ្វើតាមថាតម្លៃដាច់ខាតនៃវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោណេ a 1, a 2 គឺ \(\ sqrt(a^2 1 + a^2 2)\) ។

សំណួរទី 9 ។បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រស្មើគ្នាមានកូអរដោនេស្មើគ្នា ហើយវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេស្មើគ្នារៀងៗខ្លួនគឺស្មើគ្នា។
ចម្លើយ។អនុញ្ញាតឱ្យ A 1 (x 1 ; y 1) និង A 2 (x 2 ; y 2) ជាការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ \(\overline(a)\) ។ ដោយសារវ៉ិចទ័រ \(\overline(a")\) ស្មើនឹងវាត្រូវបានទទួលពីវ៉ិចទ័រ \(\overline(a)\) ដោយការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល នោះការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់របស់វានឹងរៀងគ្នា A" 1 (x 1 + c ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​​​+ d) នេះបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រទាំងពីរ \\(\overline(a)\) និង \(\overline(a")\) មាន កូអរដោនេ​រយៈទទឹង​ដូចគ្នា៖ x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​បង្ហាញ​ការ​អះអាង​នៃ​ការ​សន្ទនា។ សូមឲ្យកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រ \(\overline(A 1 A 2)\) និង \(\overline(A" 1 A" 2)\) ស្មើគ្នា។ យើងបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រស្មើគ្នា។
អនុញ្ញាតឱ្យ x "1 និង y" 1 ជាកូអរដោនេនៃចំនុច A" 1 និង x "2, y" 2 ជាកូអរដោនេនៃចំនុច A" 2 ។ តាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1 ។ ដូេចនះ x "2 = x 2 + x" 1 − x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 − y 1 ។ ការបកប្រែស្របគ្នាដែលផ្តល់ដោយរូបមន្ត

x" = x + x" 1 − x 1, y" = y + y" 1 - y 1,

ផ្ទេរចំណុច A 1 ទៅចំណុច A" 1 និងចំណុច A 2 ទៅចំណុច A" 2 ពោលគឺឧ។ វ៉ិចទ័រ \(\overline(A 1 A 2)\) និង \(\overline(A" 1 A" 2)\) គឺស្មើគ្នា តាមតម្រូវការ។

សំណួរទី 10 ។កំណត់ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ។
ចម្លើយ។ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ \(\overline(a)\) និង \(\overline(b)\) ដែលមានកូអរដោណេ a 1, a 2 និង b 1, b 2 គឺជាវ៉ិចទ័រ \(\overline(c)\) ជាមួយ សំរបសំរួល a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , i.e.

\(\overline(a)(a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\) ។

កាលបរិច្ឆេទបង្កើត៖ 2009-04-11 15:25:51
កែប្រែចុងក្រោយ៖ 2012-02-08 09:19:45

អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយខ្ញុំមិនចង់សរសេរអត្ថបទនេះទេ - ខ្ញុំបានគិតអំពីរបៀបបង្ហាញសម្ភារៈ។ អ្នកក៏ត្រូវគូររូបភាពផងដែរ។ ប៉ុន្តែជាក់ស្តែង តារាបានបង្កើតឡើងយ៉ាងជោគជ័យនៅថ្ងៃនេះ ហើយនឹងមានអត្ថបទអំពីវ៉ិចទ័រ។ ទោះបីជា, នេះគ្រាន់តែជាសេចក្តីព្រាង។ នៅពេលអនាគតខ្ញុំនឹងបំបែកអត្ថបទនេះទៅជាអត្ថបទដាច់ដោយឡែកជាច្រើន - មានសម្ភារៈគ្រប់គ្រាន់។ ដូចគ្នានេះផងដែរ, អត្ថបទនឹងប្រសើរឡើងបន្តិចម្តង: ខ្ញុំនឹងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទៅវា - ដោយសារតែ។ ក្នុងមួយអង្គុយ វានឹងមិនអាចបង្ហាញគ្រប់ទិដ្ឋភាពទាំងអស់បានទេ។

វ៉ិចទ័រត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងគណិតវិទ្យាក្នុងសតវត្សទីដប់ប្រាំបួន ដើម្បីពណ៌នាអំពីបរិមាណដែលពិបាកពិពណ៌នាដោយប្រើតម្លៃមាត្រដ្ឋាន។

វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​យ៉ាង​ខ្លាំង​ក្នុង​ការ​បង្កើត​ហ្គេម​កុំព្យូទ័រ។ ពួកវាត្រូវបានគេប្រើមិនត្រឹមតែជាប្រពៃណី - ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីបរិមាណដូចជាកម្លាំងឬល្បឿនប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងនៅក្នុងតំបន់ដែលហាក់ដូចជាមិនមានអ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយវ៉ិចទ័រ: ការផ្ទុកពណ៌ ការបង្កើតស្រមោល។

មាត្រដ្ឋាន និងវ៉ិចទ័រ

ជាដំបូង ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកពីអ្វីដែលជាមាត្រដ្ឋាន និងរបៀបដែលវាខុសគ្នាពីវ៉ិចទ័រ។

តម្លៃ Scalar រក្សាទុកតម្លៃមួយចំនួន: ម៉ាស់, បរិមាណ។ នោះគឺវាជាអង្គភាពដែលត្រូវបានកំណត់ដោយលេខតែមួយ (ឧទាហរណ៍បរិមាណនៃអ្វីមួយ) ។

វ៉ិចទ័រ មិនដូចមាត្រដ្ឋានទេ ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រើតម្លៃពីរ៖ រ៉ិចទ័រ និងទិសដៅ។

ភាពខុសគ្នាសំខាន់រវាងវ៉ិចទ័រ និងកូអរដោណេ៖ វ៉ិចទ័រមិនជាប់នឹងទីតាំងជាក់លាក់ទេ! ជាថ្មីម្តងទៀត រឿងសំខាន់នៅក្នុងវ៉ិចទ័រគឺប្រវែង និងទិសដៅ។

វ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរដិតនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង។ ឧទាហរណ៍: ក, ខ, v.

នៅក្នុងរូបទីមួយ អ្នកអាចមើលឃើញពីរបៀបដែលវ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាងនៅលើយន្តហោះ។

វ៉ិចទ័រនៅក្នុងលំហ

នៅក្នុងលំហ វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើកូអរដោនេ។ ប៉ុន្តែ​ដំបូង​យើង​ត្រូវ​បង្ហាញ​គំនិត​មួយ​៖

វ៉ិចទ័រកាំចំនុច

តោះយកចំណុច M(2,1) ក្នុងលំហ។ វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចគឺជាវ៉ិចទ័រដែលចាប់ផ្តើមពីប្រភពដើម និងបញ្ចប់នៅចំណុច។

អ្វីដែលយើងមាននៅទីនេះគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីវ៉ិចទ័រទេ។ អូម. កូអរដោណេចាប់ផ្តើមវ៉ិចទ័រ (0,0), កូអរដោនេបញ្ចប់ (2,1) ។ ចូរសម្គាល់វ៉ិចទ័រនេះជា ក.

ក្នុងករណីនេះវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម ក = <2, 1>. នេះគឺជាទម្រង់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ក.

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាសមាសធាតុរបស់វាទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស។ ឧទាហរណ៍ 2 គឺជាសមាសធាតុវ៉ិចទ័រ កអំពីអ័ក្ស x ។

ជាថ្មីម្តងទៀត ចូរយើងរស់នៅលើអ្វីដែលកូអរដោនេនៃចំណុចមួយ។ កូអរដោណេនៃចំណុចមួយ (ឧទាហរណ៍ x) គឺជាការព្យាករនៃចំណុចទៅលើអ័ក្ស ពោលគឺឧ។ មូលដ្ឋាននៃកាត់កែងបានធ្លាក់ចុះពីចំណុចមួយទៅអ័ក្សមួយ។ ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ២.

ប៉ុន្តែត្រលប់ទៅរូបភាពដំបូង។ នៅទីនេះយើងមានចំនុច A និង B ពីរ។ សូមអោយកូអរដោនេនៃចំនុចគឺ (1,1) និង (3,3)។ វ៉ិចទ័រ vក្នុងករណីនេះវាអាចត្រូវបានកំណត់ថាជា v = <3-1, 3-1>. វ៉ិចទ័រ​ដេក​នៅ​ចំណុច​ពីរ​ក្នុង​លំហ​បី​វិមាត្រ​នឹង​មើល​ទៅ​ដូច​នេះ៖

v =

ខ្ញុំគិតថាមិនមានបញ្ហាអ្វីនៅទីនេះទេ។

គុណវ៉ិចទ័រដោយមាត្រដ្ឋាន

វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានគុណដោយតម្លៃមាត្រដ្ឋាន៖

k v = =

ក្នុងករណីនេះតម្លៃមាត្រដ្ឋានត្រូវបានគុណជាមួយសមាសធាតុនីមួយៗនៃវ៉ិចទ័រ។

ប្រសិនបើ k > 1 នោះវ៉ិចទ័រនឹងកើនឡើង ប្រសិនបើ k តិចជាងមួយ ប៉ុន្តែធំជាងសូន្យ នោះវ៉ិចទ័រនឹងថយចុះ។ ប្រសិនបើ k តិចជាងសូន្យ នោះវ៉ិចទ័រនឹងផ្លាស់ប្តូរទិសដៅ។

ឯកតាវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រឯកតាគឺជាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងស្មើនឹងមួយ។ ចំណាំថាវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេ<1,1,1>នឹងមិនស្មើនឹងមួយ! ការស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រត្រូវបានពិពណ៌នាខាងក្រោម។

មាន​អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា orts - ទាំង​នេះ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ឯកតា​ដែល​ស្រប​គ្នា​នឹង​អ័ក្ស​កូអរដោណេ។ ខ្ញុំ- វ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្ស x, j- វ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្ស y, k- ឯកតាវ៉ិចទ័រនៃអ័ក្ស z ។

ឯណា ខ្ញុំ = <1,0,0>, j = <0,1,0>, k = <0,0,1>.

ឥឡូវ​យើង​ដឹង​ថា​អ្វី​ទៅ​ជា​គុណ​វ៉ិចទ័រ​ដោយ​មាត្រដ្ឋាន និង​អ្វី​ជា​វ៉ិចទ័រ​ឯកតា។ ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរបាន។ vក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ។

v= v x ខ្ញុំ+វី j+vz kដែល v x , v y , v z គឺជាសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រ

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ

ដើម្បីយល់ច្បាស់ពីរូបមន្តមុន អ្នកត្រូវយល់ពីរបៀបដែលការបន្ថែមវ៉ិចទ័រដំណើរការ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ។ យកវ៉ិចទ័រពីរ v1 = និង v2 =

v1 + v2 =

យើងគ្រាន់តែបន្ថែមសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរ។

ភាពខុសគ្នាត្រូវបានគណនាតាមរបៀបដូចគ្នា។

វានិយាយអំពីទម្រង់គណិតវិទ្យា។ សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃភាពពេញលេញ វាមានតម្លៃពិចារណាថាតើវ៉ិចទ័របូកនិងដកនឹងមើលទៅដូចក្រាហ្វិក។

ដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ ក+ខ. យើងត្រូវផ្គូផ្គងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ ខនិងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ក. បន្ទាប់មករវាងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ កនិងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ខគូរវ៉ិចទ័រថ្មី។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ សូមមើលរូបទីពីរ (អក្សរ "a")។

ដើម្បីដកវ៉ិចទ័រ អ្នកត្រូវបញ្ចូលគ្នានូវការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រពីរ ហើយគូរវ៉ិចទ័រថ្មីពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីពីរទៅចុងបញ្ចប់នៃទីមួយ។ រូបភាពទីពីរ (អក្សរ "ខ") បង្ហាញពីអ្វីដែលវាមើលទៅ។

ប្រវែងវ៉ិចទ័រនិងទិសដៅ

សូមក្រឡេកមើលប្រវែងជាមុនសិន។

ប្រវែងគឺជាតម្លៃលេខនៃវ៉ិចទ័រ ដោយមិនគិតពីទិសដៅ។

ប្រវែងត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (សម្រាប់វ៉ិចទ័របីវិមាត្រ)៖

ឫសការ៉េនៃផលបូកនៃការ៉េនៃសមាសធាតុវ៉ិចទ័រ។

រូបមន្តដែលធ្លាប់ស្គាល់ មែនទេ? ជាទូទៅ នេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់ប្រវែងនៃផ្នែកមួយ។

ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ដោយកូស៊ីនុសទិសនៃមុំដែលបង្កើតឡើងរវាងវ៉ិចទ័រនិងអ័ក្សកូអរដោនេ។ ដើម្បីស្វែងរកកូស៊ីនុសទិសដៅ សមាសធាតុ និងប្រវែងសមស្របត្រូវបានប្រើ (រូបភាពនឹងបង្ហាញនៅពេលក្រោយ)។

តំណាងវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកម្មវិធី

វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងកម្មវិធីតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ ទាំងពីរដោយមានជំនួយពីអថេរធម្មតាដែលមិនមានប្រសិទ្ធភាព និងដោយមានជំនួយពីអារេ ថ្នាក់ និងរចនាសម្ព័ន្ធ។

អណ្តែតវ៉ិចទ័រ3 = (1,2,3); // អារេសម្រាប់រក្សាទុកវ៉ិចទ័រ struct vector3 // រចនាសម្ព័ន្ធសម្រាប់ផ្ទុកវ៉ិចទ័រ ( float x, y, z; );

លទ្ធភាពដ៏អស្ចារ្យបំផុតសម្រាប់ការរក្សាទុកវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ដោយថ្នាក់។ នៅក្នុងថ្នាក់ យើងអាចពណ៌នាមិនត្រឹមតែវ៉ិចទ័រខ្លួនវាប៉ុណ្ណោះទេ (អថេរ) ប៉ុន្តែក៏មានប្រតិបត្តិការវ៉ិចទ័រ (មុខងារ) ផងដែរ។

ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ

គុណវ៉ិចទ័រមានពីរប្រភេទគឺ វ៉ិចទ័រ និង មាត្រដ្ឋាន។

លក្ខណៈពិសេសប្លែកនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានគឺថា លទ្ធផលនឹងតែងតែជាតម្លៃមាត្រដ្ឋាន ពោលគឺឧ។ ចំនួន។

នៅទីនេះវាគួរអោយយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះពេលនេះ។ ប្រសិនបើលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការនេះគឺសូន្យ នោះវ៉ិចទ័រទាំងពីរគឺកាត់កែង - មុំរវាងពួកវាគឺ 90 ដឺក្រេ។ ប្រសិនបើលទ្ធផលធំជាងសូន្យ នោះមុំគឺតិចជាង 90 ដឺក្រេ។ ប្រសិនបើលទ្ធផលគឺតិចជាងសូន្យ នោះមុំគឺធំជាង 90 ដឺក្រេ។

ប្រតិបត្តិការនេះត្រូវបានតំណាងដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖

ក · ខ= a x * b x + a y * b y + a z * b z

ផលិតផលមាត្រដ្ឋានគឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរ។ ទាំងនោះ។ យើងយក x "s នៃវ៉ិចទ័រពីរ គុណវា បន្ទាប់មកបន្ថែមពួកវាទៅផលិតផលនៃ y" s ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ

លទ្ធផលនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រពីរនឹងជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

ក x ខ =

យើង​នឹង​មិន​ពិភាក្សា​លម្អិត​អំពី​រូបមន្ត​នេះ​នៅ​ឡើយ​ទេ។ លើសពីនេះ វាពិបាកចងចាំណាស់។ យើងនឹងត្រលប់ទៅចំណុចនេះវិញ បន្ទាប់ពីបានស្គាល់អ្នកកំណត់។

ជាការប្រសើរណាស់ សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍ទូទៅ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងថាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផលគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ កនិង ខ.

ការធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈធម្មតានៃវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រធម្មតាគឺជាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងមួយ។

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកវ៉ិចទ័រធម្មតាមានដូចខាងក្រោម - សមាសធាតុទាំងអស់នៃវ៉ិចទ័រត្រូវតែបែងចែកដោយប្រវែងរបស់វា៖

v n= v/|v| =

ពាក្យក្រោយ

ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាបានឃើញ វ៉ិចទ័រមិនពិបាកយល់ទេ។ យើងបានពិចារណាប្រតិបត្តិការមួយចំនួនលើវ៉ិចទ័រ។

នៅក្នុងអត្ថបទខាងក្រោមនៃផ្នែក "គណិតវិទ្យា" យើងនឹងពិភាក្សាអំពីម៉ាទ្រីស កត្តាកំណត់ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វាជាទ្រឹស្តីទាំងអស់។

បន្ទាប់ពីនោះ យើងនឹងពិនិត្យមើលការបំប្លែងម៉ាទ្រីស។ ពេលនោះហើយដែលអ្នកនឹងយល់ថាតើគណិតវិទ្យាមានសារៈសំខាន់យ៉ាងណាក្នុងការបង្កើតហ្គេមកុំព្យូទ័រ។ ប្រធានបទនេះនឹងគ្រាន់តែជាការអនុវត្តសម្រាប់ប្រធានបទមុនៗទាំងអស់។

វ៉ិចទ័រ. សកម្មភាពខាងលើវ៉ិចទ័រ។ ស្កាឡា

វ៉ិចទ័រ, ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ។

1. វ៉ិចទ័រ សកម្មភាពលើវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យមូលដ្ឋាន។

និយមន័យ ១.បរិមាណដែលត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពេញលេញដោយតម្លៃលេខរបស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលបានជ្រើសរើសនៃឯកតាត្រូវបានគេហៅថា មាត្រដ្ឋានឬ មាត្រដ្ឋាន .

(ទំងន់រាងកាយ បរិមាណ ពេលវេលា។ល។)

និយមន័យ ២.បរិមាណកំណត់ដោយតម្លៃជាលេខ និងទិសដៅត្រូវបានហៅ វ៉ិចទ័រ ឬ វ៉ិចទ័រ .

(ការផ្លាស់ទីលំនៅ កម្លាំង ល្បឿន។ល។)

ការរចនា៖ , ឬ , .

វ៉ិចទ័រធរណីមាត្រគឺជាផ្នែកដឹកនាំ។

សម្រាប់វ៉ិចទ័រ - ចំណុច ប៉ុន្តែ- ចំណុចចាប់ផ្តើម អេគឺជាចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ ៣.ម៉ូឌុល វ៉ិចទ័រគឺជាប្រវែងនៃផ្នែក AB ។

និយមន័យ ៤.វ៉ិចទ័រដែលម៉ូឌុលគឺសូន្យត្រូវបានគេហៅថា សូន្យ , ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ។

និយមន័យ ៥.វ៉ិចទ័រដែលមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលឬនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា collinear . ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ collinear ពីរមានទិសដៅដូចគ្នា នោះគេហៅថា ទិសដៅរួម .

និយមន័យ ៦.វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានពិចារណា ស្មើ , បើ​ពួកគេ សហការដឹកនាំ និងស្មើគ្នានៅក្នុងម៉ូឌុល។

សកម្មភាពលើវ៉ិចទ័រ។

1) ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ។

Def. ៦.ផលបូក វ៉ិចទ័រ​ពីរ និង​ជា​អង្កត់ទ្រូង​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ​ទាំង​នេះ​ចេញ​ពី​ចំណុច​រួម​នៃ​កម្មវិធី​របស់​វា (ច្បាប់​ប៉ារ៉ាឡែល​).

រូប ១.

Def. ៧.ផលបូកនៃវ៉ិចទ័របី , , គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ (ច្បាប់ parallelepiped) ។

Def. ប្រាំបី។ប្រសិនបើ ក ប៉ុន្តែ, អេ, ពី គឺជាចំណុចបំពាន បន្ទាប់មក + = (ច្បាប់ត្រីកោណ).

រូបភព ២

លក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែម។

1 អំពី . + = + (ច្បាប់ផ្លាស់ទីលំនៅ) ។

2 អំពី . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (ច្បាប់សមាគម) ។

3 អំពី . + (– ) + .

2) ការដកវ៉ិចទ័រ។

Def. ៩.នៅក្រោម ភាពខុសគ្នា វ៉ិចទ័រ និងយល់ពីវ៉ិចទ័រ = - បែបនោះ + = .

នៅក្នុងប្រលេឡូក្រាម នេះគឺមួយទៀត អង្កត់ទ្រូង SD (សូមមើលរូបទី 1) ។

3) គុណនៃវ៉ិចទ័រដោយចំនួនមួយ។

Def. ដប់។ ការងារ វ៉ិចទ័រទៅជាមាត្រដ្ឋាន k ហៅថាវ៉ិចទ័រ

= k = k ,

វែង កា , និងទិសដៅដែល៖

1. ស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រប្រសិនបើ k > 0;

2. ទល់មុខនឹងទិសនៃវ៉ិចទ័រប្រសិនបើ k < 0;

3. តាមអំពើចិត្តប្រសិនបើ k = 0.

លក្ខណសម្បត្តិនៃការគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ។

1 អំពី . (k + លីត្រ ) = k + លីត្រ .

k ( + ) = k + k .

2 o . k (លីត្រ ) = (kl ) .

3 o . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

លក្ខណៈសម្បត្តិវ៉ិចទ័រ។

Def. ដប់មួយវ៉ិចទ័រពីរហើយត្រូវបានគេហៅថា collinear ប្រសិនបើពួកគេមានទីតាំងនៅ បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលឬនៅ បន្ទាត់ត្រង់មួយ។

វ៉ិចទ័រសូន្យគឺជាប់នឹងវ៉ិចទ័រណាមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ១.វ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ និង collinear,  នៅពេលដែលពួកគេមានសមាមាត្រ i.e.

= k , k - មាត្រដ្ឋាន។

Def. ១២.វ៉ិចទ័របី, ត្រូវបានគេហៅថា coplanar ប្រសិនបើពួកវាស្របទៅនឹងយន្តហោះខ្លះ ឬដេកនៅក្នុងនោះ។

ទ្រឹស្តីបទ ២.វ៉ិចទ័រមិនសូន្យបី , , coplanar,  នៅពេលដែលមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃពីរផ្សេងទៀត i.e.

= k + លីត្រ , k , លីត្រ - មាត្រដ្ឋាន។

ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រលើអ័ក្ស។

ទ្រឹស្តីបទ ៣.ការ​ព្យាករ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ទៅ​លើ​អ័ក្ស​មួយ (បន្ទាត់​ដឹកនាំ​) លីត្រគឺស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងទិសវ៉ិចទ័រ និងទិសអ័ក្ស i.e. = ក  គ os  ,  = ( , លីត្រ).

2. សំរបសំរួលវ៉ិចទ័រ

Def. ១៣.ការព្យាករណ៍វ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ អូ, អូ, អុកហៅ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ។ ការចាត់តាំង៖  ក x , ក y , ក z .

ប្រវែងវ៉ិចទ័រ៖

ឧទាហរណ៍៖គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ។

ដំណោះស្រាយ៖

ចម្ងាយរវាងចំណុច និង គណនាដោយរូបមន្ត៖ .

ឧទាហរណ៍៖រកចំងាយរវាងចំនុច M (2,3,-1) និង K (4,5,2)។

សកម្មភាពលើវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ។

វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ = ក x , ក y , ក z និង =  ខ x , ខ y , ខ z .

1. (  )= ក x  ខ x , ក y  ខ y , ក z  ខ z .

2.  =   ក x ,  ក y ,  ក z កន្លែងណា  - មាត្រដ្ឋាន។

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ៖នៅក្រោមផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរនិង

ត្រូវបានគេយល់ថាជាលេខដែលស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា i.e. = , - មុំរវាងវ៉ិចទ័រ និង .

Dot លក្ខណៈសម្បត្តិផលិតផល:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. កន្លែងណាដែលមានមាត្រដ្ឋាន។

6. វ៉ិចទ័រពីរគឺកាត់កែង (orthogonal) ប្រសិនបើ .

7. ប្រសិនបើនិងតែប៉ុណ្ណោះប្រសិនបើ .

ផលិតផលមាត្រដ្ឋានក្នុងទម្រង់កូអរដោណេមានទម្រង់៖ , កន្លែងណានិង .

ឧទាហរណ៍៖ស្វែងរកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ និង

ដំណោះស្រាយ៖

វ៉ិចទ័រកាន់វ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ៖ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ ហើយត្រូវបានយល់ថាជាវ៉ិចទ័រដែល៖

ម៉ូឌុលគឺស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានសាងសង់នៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ i.e. តើមុំរវាងវ៉ិចទ័រ និង

វ៉ិចទ័រនេះគឺកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រគុណ, i.e.

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា នោះពួកវាបង្កើតជាវ៉ិចទ័របីដងខាងស្តាំ។

ឆ្លងកាត់លក្ខណៈសម្បត្តិផលិតផល:

1. នៅពេលផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃកត្តាផលិតផលវ៉ិចទ័រផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វាទៅផ្ទុយ រក្សាម៉ូឌុល i.e.

2 .វ៉ិចទ័រការ៉េស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ, i.e.

3 .កត្តាមាត្រដ្ឋានអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ, i.e.

4 .សម្រាប់វ៉ិចទ័រទាំងបី ភាពស្មើគ្នា

5 .លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរ និង៖

ផលិតផលវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់សំរបសំរួល។

ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនិង , បន្ទាប់មកផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

.

បន្ទាប់មកពីនិយមន័យនៃផលិតផលឈើឆ្កាងវាដូចខាងក្រោមថាផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត:

ឧទាហរណ៍៖គណនាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានចំនុចកំពូល (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1) ។

ដំណោះស្រាយ៖ .

បន្ទាប់មកផ្ទៃដីនៃត្រីកោណ ABC នឹងត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម:

,

ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ៖ផលិតផលចម្រុះ (វ៉ិចទ័រ-មាត្រដ្ឋាន) នៃវ៉ិចទ័រគឺជាលេខដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ .

លក្ខណៈផលិតផលចម្រុះ៖

1. ផលិតផលចម្រុះមិនផ្លាស់ប្តូរជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរវដ្តនៃកត្តារបស់វាពោលគឺឧ។ .

2. នៅពេលដែលកត្តាជិតខាងពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរគ្នា ផលិតផលចម្រុះផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វាទៅផ្ទុយ ពោលគឺឧ។ .

3 .លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់វ៉ិចទ័របីដើម្បីក្លាយជា coplanar : =0.

4 .ផលិតផលលាយគ្នានៃវ៉ិចទ័របីគឺស្មើនឹងបរិមាណនៃប៉ារ៉ាឡែលភីពដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ ដោយយកដោយសញ្ញាបូក ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រទាំងនេះបង្កើតជាបីខាងស្តាំ ហើយជាមួយនឹងសញ្ញាដក ប្រសិនបើពួកវាបង្កើតជាបីខាងឆ្វេង ពោលគឺឧ។ .

បើស្គាល់ កូអរដោនេវ៉ិចទ័រ , បន្ទាប់មកផលិតផលចម្រុះត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍៖គណនាផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ។

ដំណោះស្រាយ៖

3. មូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ។ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេយល់ថាជាវ៉ិចទ័រជាច្រើនដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់លំហតែមួយ រ.

មតិយោបល់។ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានចំនួនវ៉ិចទ័រកំណត់ នោះពួកវាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរដូចគ្នាជាមួយនឹងសន្ទស្សន៍ផ្សេងគ្នា។

ឧទាហរណ៍។

និយមន័យ។ វ៉ិចទ័រណាមួយនៃទម្រង់ = ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ។ លេខគឺជាមេគុណនៃបន្សំលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍។ .

និយមន័យ. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ , បន្ទាប់មកយើងនិយាយថាវ៉ិចទ័រត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ .

និយមន័យ។ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើគ្មានវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធណាមួយអាចជាការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់។ បើមិនដូច្នោះទេប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍. ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រ .

និយមន័យមូលដ្ឋាន។ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋានប្រសិនបើ៖

1) វាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ

2) វ៉ិចទ័រនៃលំហណាមួយតាមរយៈវាត្រូវបានបញ្ចេញជាលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ ១មូលដ្ឋានអវកាស៖

2. នៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រគឺជាមូលដ្ឋាន: , ដោយសារតែ បង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ។

មតិយោបល់។ដើម្បីស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវ៖

1) សរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងម៉ាទ្រីស,

2) ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ

3) ជួរមិនសូន្យនៃម៉ាទ្រីសនឹងជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធ,

4) ចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។

និយមន័យ

វ៉ិចទ័រ(ពីឡាតាំង។ វ៉ិចទ័រ"-" bearing") - ផ្នែកដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហ ឬនៅលើយន្តហោះ។

ក្រាហ្វិក វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ថា​ជា​ផ្នែក​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​បាន​ដឹកនាំ​នៃ​ប្រវែង​ជាក់លាក់​មួយ។ វ៉ិចទ័រ​ដែល​ការចាប់ផ្តើម​គឺ​នៅ​ចំណុច និង​ចុង​នៅ​ចំណុច​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ថា​ជា (រូបទី 1) ។ ផងដែរ វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរតូចមួយឧទាហរណ៍ .

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោនេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ នោះវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយឡែកពីគ្នាដោយសំណុំនៃកូអរដោនេរបស់វា។ នោះគឺវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេយល់ថាជាវត្ថុដែលមានតម្លៃ (ប្រវែង) ទិសដៅនិងចំណុចអនុវត្ត (ការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ) ។

ការចាប់ផ្តើមនៃការគណនាវ៉ិចទ័របានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងស្នាដៃក្នុងឆ្នាំ 1831 នៅក្នុងស្នាដៃរបស់គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ មេកានិច រូបវិទ្យា តារាវិទូ និងអ្នកស្ទង់មតិ Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ។ ការងារលើប្រតិបត្តិការជាមួយវ៉ិចទ័រត្រូវបានបោះពុម្ពផ្សាយដោយគណិតវិទូ អៀរឡង់ មេកានិច និងរូបវិទ្យាទ្រឹស្តី លោក Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) ដែលជាផ្នែកមួយនៃការគណនា quaternion របស់គាត់។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានស្នើពាក្យ "វ៉ិចទ័រ" ហើយបានពិពណ៌នាអំពីប្រតិបត្តិការមួយចំនួនលើវ៉ិចទ័រ។ ការគណនាវ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្កើតឡើងបន្ថែមទៀតដោយសារការងារលើអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិចរបស់អ្នករូបវិទ្យា គណិតវិទូ និងមេកានិកជនជាតិអង់គ្លេស James Clerk Maxwell (1831-1879) ។ ក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1880 សៀវភៅ "ធាតុនៃការវិភាគវ៉ិចទ័រ" ដោយរូបវិទូជនជាតិអាមេរិក រូបវិទ្យា គណិតវិទូ និងមេកានិច Josiah Willard Gibbs (1839-1903) ត្រូវបានបោះពុម្ព។ ការវិភាគវ៉ិចទ័រទំនើបត្រូវបានពិពណ៌នានៅឆ្នាំ 1903 ដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអង់គ្លេស វិស្វករ គណិតវិទូ និងរូបវិទ្យា Oliver Heaviside (1850-1925) ដែលបង្រៀនខ្លួនឯង។

និយមន័យ

ប្រវែងឬ ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកដឹកនាំដែលកំណត់វ៉ិចទ័រ។ ត្រូវបានកំណត់ថាជា។

ប្រភេទជាមូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ

សូន្យវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដែលចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់គឺដូចគ្នា។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទទេគឺសូន្យ។

វ៉ិចទ័រដែលស្របនឹងបន្ទាត់ដូចគ្នា ឬស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា collinear(រូបទី 2) ។

ទិសដៅរួមប្រសិនបើទិសដៅរបស់ពួកគេដូចគ្នា។

នៅក្នុងរូបភាពទី 2 ទាំងនេះគឺជាវ៉ិចទ័រ និង . ទិសដៅរួមនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម: .

វ៉ិចទ័រជាប់គ្នាពីរត្រូវបានគេហៅថា ទិសដៅផ្ទុយប្រសិនបើទិសដៅរបស់ពួកគេផ្ទុយ។

នៅក្នុងរូបភាពទី 3 ទាំងនេះគឺជាវ៉ិចទ័រនិង . ការកំណត់: ។