ដូច្នេះ សេវាកម្មសម្រាប់ដោះស្រាយម៉ាទ្រីសតាមអ៊ីនធឺណិត៖

សេវាកម្មម៉ាទ្រីសអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកអនុវត្តការបំប្លែងបឋមនៃម៉ាទ្រីស។
ប្រសិនបើអ្នកមានភារកិច្ចដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដ៏ស្មុគស្មាញ នោះសេវាកម្មនេះគួរតែត្រូវបានប្រើជាអ្នកសាងសង់។

ឧទាហរណ៍. ទិន្នន័យម៉ាទ្រីស កនិង ខ, ត្រូវការស្វែងរក គ = ក -1 * ខ + ខ T ,

1. ដំបូងអ្នកគួរតែស្វែងរក ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសក១ = ក-1, ប្រើប្រាស់សេវាកម្មសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស;
2. លើសពីនេះទៀតបន្ទាប់ពីរកឃើញម៉ាទ្រីស ក១ធ្វើ​វា គុណម៉ាទ្រីសក២ = ក១ * ខដោយប្រើសេវាកម្មសម្រាប់គុណម៉ាទ្រីស;
3. តោះ​ធ្វើ​វា ការផ្ទេរម៉ាទ្រីសក៣ = ខ T (សេវាសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីស transposed);
4. ហើយចុងក្រោយ - ស្វែងរកផលបូកនៃម៉ាទ្រីស ពី = ក២ + ក៣(សេវាសម្រាប់គណនាផលបូកនៃម៉ាទ្រីស) - ហើយយើងទទួលបានចម្លើយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតបំផុត!;

ផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស

នេះគឺជាសេវាកម្មអនឡាញ ពីរជំហាន:

• បញ្ចូលម៉ាទ្រីសកត្តាទីមួយ ក
• បញ្ចូលម៉ាទ្រីសកត្តាទីពីរ ឬវ៉ិចទ័រជួរឈរ ខ

គុណនៃម៉ាទ្រីសដោយវ៉ិចទ័រ

ការគុណនៃម៉ាទ្រីសដោយវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើសេវាកម្ម គុណម៉ាទ្រីស
(កត្តាទីមួយនឹងជាម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ កត្តាទីពីរនឹងជាជួរឈរដែលមានធាតុនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ)

នេះគឺជាសេវាកម្មអនឡាញ ពីរជំហាន:

• បញ្ចូលម៉ាទ្រីស កដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
• ទទួលបានចម្លើយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស

នេះគឺជាសេវាកម្មអនឡាញ មួយ​ជំហាន:

• បញ្ចូលម៉ាទ្រីស កដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស

ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីស

នៅទីនេះអ្នកអាចអនុវត្តតាមក្បួនដោះស្រាយការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីស និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយខ្លួនឯង។
នេះគឺជាសេវាកម្មអនឡាញ មួយ​ជំហាន:

• បញ្ចូលម៉ាទ្រីស កដែលត្រូវការផ្ទេរ

ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស

នេះគឺជាសេវាកម្មអនឡាញ មួយ​ជំហាន:

• បញ្ចូលម៉ាទ្រីស កដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់

Matrix eigenvalues ​​និង matrix eigenvectors

នេះគឺជាសេវាកម្មអនឡាញ មួយ​ជំហាន:

• បញ្ចូលម៉ាទ្រីស កដែលអ្នកត្រូវស្វែងរក eigenvectors និង eigenvalues ​​(eigenvalues)

និទស្សន្តម៉ាទ្រីស

នេះគឺជាសេវាកម្មអនឡាញ ពីរជំហាន:

• បញ្ចូលម៉ាទ្រីស កដែលនឹងត្រូវបានលើកទៅអំណាច
• បញ្ចូលចំនួនគត់ q- សញ្ញាបត្រ

ការផ្តល់សេវា. ម៉ាទ្រីសគណនាត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរតាមវិធីម៉ាទ្រីស (សូមមើលឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នា)។

ការណែនាំ។ សម្រាប់ដំណោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិត អ្នកត្រូវតែជ្រើសរើសប្រភេទសមីការ ហើយកំណត់វិមាត្រនៃម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នា។

ប្រភេទនៃសមីការ៖ A X = B X A = B A X B = C
វិមាត្រនៃម៉ាទ្រីស A
វិមាត្រនៃម៉ាទ្រីស B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

វិមាត្រនៃម៉ាទ្រីស C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ដែល A, B, C ត្រូវបានផ្តល់ម៉ាទ្រីស X គឺជាម៉ាទ្រីសដែលចង់បាន។ សមីការម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ (1), (2) និង (3) ត្រូវបានដោះស្រាយតាមរយៈម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ។ ប្រសិនបើកន្សោម A X - B = C ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះដំបូងចាំបាច់ត្រូវបន្ថែមម៉ាទ្រីស C + B ហើយស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់កន្សោម A X = D ដែល D = C + B () ។ ប្រសិនបើកន្សោម A*X = B 2 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនោះ ម៉ាទ្រីស B ត្រូវតែជាការ៉េ។ វាត្រូវបានផ្ដល់អនុសាសន៍ផងដែរឱ្យស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងប្រតិបត្តិការជាមូលដ្ឋាននៅលើ matrices ។

ឧទាហរណ៍ #1 ។ លំហាត់ប្រាណ. ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការម៉ាទ្រីស
ដំណោះស្រាយ. បញ្ជាក់៖
បន្ទាប់មកសមីការម៉ាទ្រីសនឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់៖ A·X·B = C ។
កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A គឺ detA=-1
ដោយសារ A គឺជាម៉ាទ្រីសមិនឯកវចនៈ វាមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនៅខាងឆ្វេងដោយ A -1: គុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការនេះនៅខាងឆ្វេងដោយ A -1 និងខាងស្តាំដោយ B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 ។ ចាប់តាំងពី A A -1 = B B -1 = E និង E X = X E = X បន្ទាប់មក X = A -1 C B -1

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1៖
រកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស B -1 ។
ផ្ទេរម៉ាទ្រីស B T៖
ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស B -1៖
យើងកំពុងស្វែងរកម៉ាទ្រីស X ដោយរូបមន្ត៖ X = A -1 C B -1

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ #2 ។ លំហាត់ប្រាណ។ដោះស្រាយសមីការម៉ាទ្រីស
ដំណោះស្រាយ. បញ្ជាក់៖
បន្ទាប់មកសមីការម៉ាទ្រីសនឹងត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់៖ A X = B ។
កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A គឺ detA=0
ដោយសារ A គឺជាម៉ាទ្រីស degenerate (កត្តាកំណត់គឺ 0) ដូច្នេះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ឧទាហរណ៍ #3 ។ លំហាត់ប្រាណ។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការម៉ាទ្រីស
ដំណោះស្រាយ. បញ្ជាក់៖
បន្ទាប់មកសមីការម៉ាទ្រីសនឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់៖ X·A = B ។
កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A គឺ detA=-60
ដោយសារ A គឺជាម៉ាទ្រីសមិនឯកវចនៈ វាមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ។ គុណផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដោយ A -1: X A A -1 = B A -1 ដែលយើងរកឃើញថា X = B A -1
រកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ។
ម៉ាទ្រីសបំប្លែង A T៖
ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1៖
យើងកំពុងស្វែងរកម៉ាទ្រីស X ដោយរូបមន្ត៖ X = B A -1


ចម្លើយ៖ >

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស- ដូច ម៉ាទ្រីស ក −1 , នៅពេលដែលគុណនឹងដែល, ម៉ាទ្រីសដើម កផ្តល់ជាលទ្ធផល ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ អ៊ី:

ម៉ាទ្រីសការ៉េគឺ​មិន​បញ្ច្រាស់​ប្រសិន​បើ​វា​មិន​ខូច នោះ​គឺ​វា​ កត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យ។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីសមិនការ៉េ និង degenerate matricesម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមិនមានទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាអាចនិយាយទូទៅអំពីគំនិតនេះ និងណែនាំ ម៉ាទ្រីស pseudoinverseស្រដៀងទៅនឹងការបញ្ច្រាសនៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិជាច្រើន។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការម៉ាទ្រីស

សមីការម៉ាទ្រីសអាចមើលទៅដូចនេះ៖

AX = B, XA = B, AXB = C,

ដែល A, B, C ត្រូវបានផ្តល់ម៉ាទ្រីស X គឺជាម៉ាទ្រីសដែលចង់បាន។

សមីការម៉ាទ្រីសត្រូវបានដោះស្រាយដោយការគុណសមីការដោយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ឧទាហរណ៍ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសពីសមីការ អ្នកត្រូវគុណសមីការនេះដោយនៅខាងឆ្វេង។

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ អ្នកត្រូវស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ហើយគុណវាដោយម៉ាទ្រីសនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការ។

សមីការផ្សេងទៀតត្រូវបានដោះស្រាយស្រដៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ AX = B ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖ ចាប់​តាំង​ពី​ការ​បញ្ច្រាស​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ស្មើ (មើល​ឧទាហរណ៍ 1)

ចន្លោះលីនេអ៊ែរ

និយមន័យលំហលីនេអ៊ែរ

អនុញ្ញាតឱ្យ វ- សំណុំមិនទទេ (យើងនឹងហៅធាតុរបស់វាថាវ៉ិចទ័រនិងបង្ហាញ ... ) ដែលច្បាប់ត្រូវបានបង្កើតឡើង៖

1) ធាតុពីរណាមួយត្រូវគ្នានឹងធាតុទីបីហៅថាផលបូកនៃធាតុ (ប្រតិបត្តិការខាងក្នុង);

2) នីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងធាតុជាក់លាក់មួយ (ប្រតិបត្តិការខាងក្រៅ) ។

មាន​ច្រើន វត្រូវបានគេហៅថាលំហលីនេអ៊ែរពិតប្រាកដ (វ៉ិចទ័រ) ប្រសិនបើ axioms ខាងក្រោមរក្សា៖

I.

III. (ធាតុសូន្យ ដូចនេះ ).

IV. (ធាតុផ្ទុយនឹងធាតុ) បែបនោះ។

v.

VIII. ចន្លោះលីនេអ៊ែរស្មុគស្មាញត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា (ជំនួសឱ្យ រពិចារណា គ).

ចន្លោះរងនៃលំហលីនេអ៊ែរ

សំណុំត្រូវបានគេហៅថា subspace នៃលំហលីនេអ៊ែរ វប្រសិនបើ៖

1)

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រអវកាសលីនេអ៊ែរ អិល ទម្រង់ មូលដ្ឋាន ក្នុង អិល ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានតម្រៀប ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងវ៉ិចទ័រណាមួយពី អិល ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធ។

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ប្រព័ន្ធបញ្ជាដោយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ អ៊ី 1 , ..., អ៊ី ន បង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃ អិល ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រណាមួយ។ xពី អិល អាចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់

x= គ ១ អ៊ី១+C ២ អ៊ី២ + ... + គ ន · អ៊ី ន .

មូលដ្ឋានអាចត្រូវបានកំណត់ខុសគ្នា។

ប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរដែលបានបញ្ជាទិញណាមួយ។ អ៊ី 1 , ..., អ៊ី នវ៉ិចទ័រ n-វិមាត្រលីនេអ៊ែរលំហ អិល ន បង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហនេះ។

ដោយសារតែ ន, ទំហំលំហ អិល ន គឺជាចំនួនអតិបរមានៃវ៉ិចទ័រលំហឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ x,អ៊ី 1 , ..., អ៊ី នអាស្រ័យ​ដោយ​លីនេអ៊ែរ ហើយ​ដូច្នេះ​វ៉ិចទ័រ xបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ អ៊ី 1 , ..., អ៊ី ន :

x = xមួយ · អ៊ី 1 + x 2 អ៊ី 2 + ...+ x ន · អ៊ី ន .

ការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃវ៉ិចទ័របែបនេះនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន តែប៉ុណ្ណោះ.

ទ្រឹស្តីបទ 1. (នៅលើចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងបង្កើតវ៉ិចទ័រ។ វ៉ិចទ័រលំហ។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរតាមអំពើចិត្តនៃវ៉ិចទ័រជាប្រព័ន្ធបង្កើតតាមអំពើចិត្ត។ ចូរសន្មតថា។

ដោយសារតែ ប្រព័ន្ធបង្កើត បន្ទាប់មកវាតំណាងឱ្យវ៉ិចទ័រណាមួយនៃលំហ រួមទាំងវ៉ិចទ័រ។ ចូរយើងបន្ថែមវាទៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងបង្កើតវ៉ិចទ័រ៖ . បន្ទាប់មកមានវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធនេះដែលត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រមុននៃប្រព័ន្ធនេះ ហើយដោយគុណធម៌នៃលេម៉ា វាអាចត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធ ហើយប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់នឹងនៅតែបង្កើត។

យើងប្តូរប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់៖ . ដោយសារតែ ប្រព័ន្ធនេះកំពុងបង្កើត បន្ទាប់មកវាតំណាងឱ្យវ៉ិចទ័រមួយ ហើយដោយការភ្ជាប់វាទៅប្រព័ន្ធនេះ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលពឹងផ្អែក និងបង្កើតជាលីនេអ៊ែរម្តងទៀត៖ .

បន្ទាប់មកអ្វីៗកើតឡើងម្តងទៀត។ មានវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ ដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលីនេអ៊ែរក្នុងលក្ខខណ្ឌពីមុន ហើយនេះមិនអាចជាវ៉ិចទ័របានទេ ចាប់តាំងពី ប្រព័ន្ធដើមគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយវ៉ិចទ័រមិនត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រទេ។ ដូច្នេះវាអាចគ្រាន់តែជាវ៉ិចទ័រមួយប៉ុណ្ណោះ។ ការដកវាចេញពីប្រព័ន្ធ យើងទទួលបានបន្ទាប់ពីប្តូរលេខ ប្រព័ន្ធដែលនឹងជាប្រព័ន្ធបង្កើត។ ការបន្តដំណើរការនេះ បន្ទាប់ពីជំហានយើងទទួលបានប្រព័ន្ធបង្កើតវ៉ិចទ័រ៖ , កន្លែងណា , ដោយសារតែ តាមការស្មានរបស់យើង។ នេះមានន័យថាប្រព័ន្ធនេះ ក្នុងនាមជាម៉ាស៊ីនភ្លើង តំណាងឱ្យវ៉ិចទ័រផងដែរ ដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធ។

ទ្រឹស្តីបទ 1 ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ 2. (នៅលើចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយ។) នៅក្នុងមូលដ្ឋានណាមួយនៃវ៉ិចទ័រមួយ។ លំហមានចំនួនវ៉ិចទ័រដូចគ្នា។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យ និងជាមូលដ្ឋានវ៉ិចទ័របំពានពីរ។ មូលដ្ឋានណាមួយគឺជាប្រព័ន្ធឯករាជ្យ និងបង្កើតវ៉ិចទ័រ។

ដោយសារតែ ប្រព័ន្ធទីមួយគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយទីពីរគឺបង្កើត បន្ទាប់មកតាមទ្រឹស្តីបទ 1

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ប្រព័ន្ធទីពីរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយទីមួយគឺបង្កើត បន្ទាប់មក . វាធ្វើតាមពីទីនេះថា p.t.d.

ទ្រឹស្តីបទ 2 ត្រូវបានបញ្ជាក់។

នេះ។ ទ្រឹស្តីបទអនុញ្ញាតឱ្យយើងណែនាំនិយមន័យខាងក្រោម។

និយមន័យ។ វិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ V លើវាល K គឺជាចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋានរបស់វា។

ការកំណត់៖ ឬ។

កូអរដោណេវ៉ិចទ័រគឺជាមេគុណនៃលទ្ធភាពតែមួយគត់ ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ មូលដ្ឋាន វ៉ិចទ័រក្នុង​ការ​ជ្រើស​រើស ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលស្មើនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ម៉ាទ្រីស គឺជាវត្ថុគណិតវិទ្យាដែលសរសេរជាតារាងចតុកោណនៃលេខ និងអនុញ្ញាតឱ្យប្រតិបត្តិការពិជគណិត (បូក ដក គុណ ។ល។) រវាងវា និងវត្ថុស្រដៀងគ្នាផ្សេងទៀត។ ច្បាប់សម្រាប់អនុវត្តប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីស ត្រូវបានធ្វើឡើងដូចខាងក្រោម,

ដើម្បីធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការសរសេរប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ជាធម្មតា ម៉ាទ្រីសត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង ហើយត្រូវបានសម្គាល់ដោយតង្កៀបមូល "(...)" (វាក៏ត្រូវបានរកឃើញផងដែរ

ការបន្លិចដោយតង្កៀបការ៉េ “[…]” បន្ទាត់ត្រង់ទ្វេ “||…||”) ហើយលេខដែលបង្កើតជាម៉ាទ្រីស (ធាតុម៉ាទ្រីស) ត្រូវបានតាងដោយអក្សរដូចគ្នានឹងម៉ាទ្រីសខ្លួនឯងដែរ ប៉ុន្តែតូច។ ធាតុម៉ាទ្រីសនីមួយៗមាន 2 subscripts (a ij) - ទីមួយ "i" តំណាងឱ្យ

លេខជួរដេកដែលធាតុស្ថិតនៅ ហើយ "j" ទីពីរគឺជាលេខជួរ។

ប្រតិបត្តិការម៉ាទ្រីស

គុណនៃម៉ាទ្រីស A ដោយលេខ

B ដែលធាតុរបស់វាត្រូវបានទទួលដោយការគុណធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស A ដោយចំនួននេះ នោះគឺធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស B គឺ

b ij = λ a ij

ការបន្ថែមម៉ាទ្រីស A

ធាតុនៃម៉ាទ្រីស C គឺ

c ij=a ij+b ij

ដកម៉ាទ្រីស A

c ij = a ij- b ij

A+Θ=A

គុណម៉ាទ្រីស(ចំណាំ៖ AB កម្រមានសញ្ញាគុណ) - មានប្រតិបត្តិការមួយដើម្បីគណនាម៉ាទ្រីស C ដែលធាតុរបស់វាស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៅក្នុងជួរដែលត្រូវគ្នានៃកត្តាទីមួយ និងជួរឈរទីពីរ។

c ij= ∑ a ikb kj

មេគុណទីមួយត្រូវតែមានជួរឈរច្រើនដូចដែលមានជួរទីពីរ. ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A មានវិមាត្រ B - បន្ទាប់មកវិមាត្រនៃផលិតផលរបស់ពួកគេ AB = C

មាន ។ ការគុណម៉ាទ្រីសមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ នេះអាចមើលឃើញយ៉ាងហោចណាស់ពីការពិតដែលថាប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមិនមែនជាការ៉េទេនោះអ្នកអាចគុណនឹងមួយទៅមួយទៀតប៉ុន្តែមិនផ្ទុយមកវិញទេ។ សម្រាប់

ម៉ាទ្រីសការ៉េ លទ្ធផលនៃគុណអាស្រ័យលើលំដាប់នៃកត្តា។

មានតែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះដែលអាចកើនឡើងជាថាមពល។

ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ

សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េមាន ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណអ៊ី ដូច​ជា​គុណ​ណា​មួយ។

ម៉ាទ្រីសនៅលើវាមិនប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផលទេពោលគឺ

EA=AE=A

ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណមានឯកតានៅក្នុង

អង្កត់ទ្រូងធាតុផ្សេងទៀតស្មើនឹងសូន្យ

សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េមួយចំនួន គេអាចរកឃើញអ្វីដែលគេហៅថាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស.

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A - 1 គឺថាប្រសិនបើអ្នកគុណម៉ាទ្រីសដោយវា អ្នកទទួលបានម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ

AA − 1 = អ៊ី

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមិនតែងតែមានទេ។ ម៉ាទ្រីស​ដែល​មាន​បញ្ច្រាស​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​

មិន degenerate ហើយដែលវាមិនមែន - degenerate ។ ម៉ាទ្រីស​គឺ​មិន​ខូច​ទ្រង់ទ្រាយ​ទេ ប្រសិន​បើ​ជួរ​ដេក​ទាំង​អស់​របស់​វា (ជួរ​ឈរ) មាន​លក្ខណៈ​ឯករាជ្យ​ជា​វ៉ិចទ័រ។ ចំនួនអតិបរមានៃជួរដេកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ

(ជួរ) ត្រូវបានគេហៅថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។ កត្តាកំណត់ (កំណត់) នៃម៉ាទ្រីស គឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរ skew-symmetric ធម្មតាដែលដំណើរការនៅលើជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសមួយ។ ម៉ាទ្រីស

គឺ degenerate ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកត្តាកំណត់របស់វាគឺសូន្យ។

លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ាទ្រីស

1. A + (B + C) = (A + B) + C

2.A+B=B+A

3. A (BC) = (AB )C

4.A(B+C)=AB+AC

5. (B+ C) A= BA+ CA

9. ម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី A កំណត់ជាវិជ្ជមាន (A> 0) ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនីតិជនមុំសំខាន់ទាំងអស់ A k > 0

10. ម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី A គឺជានិយមន័យអវិជ្ជមាន (A< 0), если матрица (−A )

គឺវិជ្ជមាន-កំណត់ ពោលគឺប្រសិនបើសម្រាប់ k អនីតិជនចម្បងនៃលំដាប់ kth A k មានសញ្ញា (− 1)k

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រព័ន្ធនៃសមីការ m ជាមួយ n មិនស្គាល់

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

ព្រឹក x1 + ព្រឹក x2 +… + ព្រឹក xn = bm

អាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស

ហើយបន្ទាប់មកប្រព័ន្ធទាំងមូលអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ: AX =B

ប្រតិបត្តិការម៉ាទ្រីស

សូមឱ្យ ij ជាធាតុនៃម៉ាទ្រីស A ហើយ b ij ជាម៉ាទ្រីស B ។

គុណនៃម៉ាទ្រីស A ដោយលេខλ (កំណត់សម្គាល់៖ λA) គឺបង្កើតម៉ាទ្រីស

B ដែលធាតុរបស់វាត្រូវបានទទួលដោយការគុណធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស A ដោយលេខនេះ នោះគឺធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស B គឺ b ij = λa ij

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីស A

គុណធាតុទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A ដោយ 2

ការបន្ថែមម៉ាទ្រីស A+ B គឺជាប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីស C ដែលធាតុទាំងអស់គឺស្មើគ្នាជាគូនៃធាតុដែលត្រូវគ្នាទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស A និង B ពោលគឺនីមួយៗ

ធាតុនៃម៉ាទ្រីស C គឺ

c ij=a ij+b ij

А+В ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីស А និង В

អនុវត្តការបន្ថែមធាតុដំបូងនៃម៉ាទ្រីស

លាតតម្លៃ ជាដំបូងផ្ដេក ហើយបន្ទាប់មកបញ្ឈរ (អ្នកអាចច្រាសមកវិញបាន)

ដកម៉ាទ្រីស A− B ត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការបន្ថែម វាគឺជាប្រតិបត្តិការស្វែងរកម៉ាទ្រីស C ដែលធាតុរបស់វា។

c ij = a ij- b ij

ការបូក និងដកត្រូវបានអនុញ្ញាតសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសដែលមានទំហំដូចគ្នា។

មានម៉ាទ្រីសសូន្យ Θ ដែលការបន្ថែមរបស់វាទៅម៉ាទ្រីស A ផ្សេងទៀតមិនផ្លាស់ប្តូរ A ពោលគឺឧ។

A+Θ=A

ធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសសូន្យគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ប្រធានបទនេះគឺជាប្រធានបទមួយដែលគេស្អប់បំផុតក្នុងចំណោមសិស្ស។ អាក្រក់ជាងនេះ ប្រហែលជាមានតែកត្តាកំណត់ប៉ុណ្ណោះ។

ល្បិចគឺថាគំនិតនៃធាតុបញ្ច្រាស (ហើយខ្ញុំមិនមែនគ្រាន់តែនិយាយអំពីម៉ាទ្រីសទេឥឡូវនេះ) សំដៅលើប្រតិបត្តិការនៃគុណ។ សូម្បីតែនៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាក៏ដោយ ការគុណត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រតិបត្តិការដ៏ស្មុគស្មាញមួយ ហើយការគុណម៉ាទ្រីសជាទូទៅគឺជាប្រធានបទដាច់ដោយឡែក ដែលខ្ញុំមានកថាខណ្ឌទាំងមូល និងមេរៀនវីដេអូដែលផ្តោតលើវា។

ថ្ងៃនេះយើងនឹងមិនចូលទៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិតនៃការគណនាម៉ាទ្រីសទេ។ គ្រាន់តែចាំថា: តើលេខម៉ាទ្រីសត្រូវបានតំណាងដោយរបៀបណាដែលពួកគេត្រូវបានគុណនិងអ្វីដែលតាមពីនេះ។

ពិនិត្យឡើងវិញ៖ គុណម៉ាទ្រីស

ជាដំបូង យើងយល់ស្របលើការសម្គាល់។ ម៉ាទ្រីស $A$ នៃទំហំ $\left[ m\times n \right]$ គឺគ្រាន់តែជាតារាងលេខដែលមានជួរដេក $m$ និងជួរឈរ $n$ យ៉ាងពិតប្រាកដ៖

\=\underbrace(\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\\ end(ម៉ាទ្រីស) \\right])_(n)\]

ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំជួរដេកនិងជួរឈរដោយចៃដន្យ (ជឿខ្ញុំក្នុងការប្រឡងអ្នកអាចច្រឡំឯកតាជាមួយ deuce - តើយើងអាចនិយាយអ្វីអំពីបន្ទាត់ខ្លះនៅទីនោះ) គ្រាន់តែមើលរូបភាព:

ការកំណត់សន្ទស្សន៍សម្រាប់កោសិកាម៉ាទ្រីស

តើ​មាន​រឿង​អ្វី​កើតឡើង? ប្រសិនបើយើងដាក់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេស្តង់ដារ $OXY$ នៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើ ហើយតម្រង់អ័ក្សដើម្បីឱ្យពួកវាគ្របដណ្ដប់លើម៉ាទ្រីសទាំងមូល នោះក្រឡានីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសនេះអាចត្រូវបានភ្ជាប់ដោយឡែកជាមួយកូអរដោនេ $\left(x;y \right) $ - នេះនឹងជាលេខជួរដេក និងលេខជួរ។

ហេតុអ្វីបានជាប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រូវបានដាក់នៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើ? បាទ ព្រោះវាមកពីទីនោះដែលយើងចាប់ផ្តើមអានអត្ថបទណាមួយ។ វាងាយស្រួលចងចាំណាស់។

ហេតុអ្វីបានជាអ័ក្ស $x$ ចង្អុលចុះក្រោម ហើយមិនទៅខាងស្តាំ? ជាថ្មីម្តងទៀត អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ៖ យកប្រព័ន្ធសំរបសំរួលស្តង់ដារ (អ័ក្ស $x$ ទៅខាងស្តាំ អ័ក្ស $y$ ឡើងលើ) ហើយបង្វិលវាដើម្បីឱ្យវារុំព័ទ្ធម៉ាទ្រីស។ នេះគឺជាការបង្វិល 90 ដឺក្រេតាមទ្រនិចនាឡិកា - យើងឃើញលទ្ធផលរបស់វានៅក្នុងរូបភាព។

ជាទូទៅ យើងបានស្វែងយល់ពីរបៀបកំណត់សន្ទស្សន៍នៃធាតុម៉ាទ្រីស។ ឥឡូវនេះសូមដោះស្រាយជាមួយគុណ។

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស $A=\left[ m\times n \right]$ និង $B=\left[ n\times k \right]$ នៅពេលដែលចំនួនជួរឈរក្នុងទីមួយត្រូវគ្នានឹងចំនួនជួរដេកក្នុងទីពីរគឺ ហៅថាស្រប។

វាស្ថិតនៅក្នុងលំដាប់នោះ។ គេអាចមានភាពស្រពិចស្រពិល ហើយនិយាយថាម៉ាទ្រីស $A$ និង $B$ បង្កើតជាគូដែលបានបញ្ជាទិញ $\left(A;B\right)$: ប្រសិនបើពួកវាស្របគ្នានៅក្នុងលំដាប់នេះ នោះវាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះដែល $B $ និង $A$ ទាំងនោះ។ គូ $\left(B;A\right)$ ក៏ស្របគ្នាដែរ។

មានតែម៉ាទ្រីសជាប់លាប់ប៉ុណ្ណោះដែលអាចគុណបាន។

និយមន័យ។ ផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសជាប់លាប់ $A=\left[ m\times n \right]$ និង $B=\left[ n\times k \right]$ គឺជាម៉ាទ្រីសថ្មី $C=\left[ m\times k \right ]$ ដែលធាតុរបស់ $((c)_(ij))$ ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត៖ ដើម្បីទទួលបានធាតុ $((c)_(ij))$ នៃម៉ាទ្រីស $C=A\cdot B$ អ្នកត្រូវយក $i$-row នៃ matrix ដំបូង $j$ -th ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ទីពីរ ហើយ​បន្ទាប់​មក​គុណ​ធាតុ​ពី​ជួរ​ដេក​និង​ជួរ​ឈរ​នេះ។ បន្ថែមលទ្ធផល។

បាទ នោះជានិយមន័យដ៏អាក្រក់។ ការពិតជាច្រើនកើតឡើងភ្លាមៗពីវា៖

1. ការគុណម៉ាទ្រីស ជាទូទៅគឺមិនមែន commutative៖ $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ គុណគឺជាប់ទាក់ទងគ្នា៖ $\left(A\cdot B\right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C\right)$;
3. និងសូម្បីតែការចែកចាយ៖ $\left(A+B\right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. ហើយចែកចាយម្តងទៀត៖ $A\cdot \left(B+C\right)=A\cdot B+A\cdot C$ ។

ការចែកចាយនៃគុណត្រូវតែត្រូវបានពិពណ៌នាដោយឡែកពីគ្នាសម្រាប់ផលបូកឆ្វេង និងស្តាំ ដោយសារការមិនផ្លាស់ប្តូរនៃប្រតិបត្តិការគុណ។

បើទោះជាយ៉ាងនេះក្តី វាប្រែថា $A\cdot B=B\cdot A$ ម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។

ក្នុង​ចំណោម​ម៉ាទ្រីស​ទាំងអស់​ដែល​ត្រូវ​គុណ​នឹង​អ្វី​មួយ​នៅ​ទីនោះ មាន​លេខ​ពិសេស​ដែល​ពេល​គុណ​នឹង​ម៉ាទ្រីស $A$ ម្ដង​ទៀត​នឹង​ផ្ដល់​ឱ្យ $A$៖

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស $E$ ត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណ ប្រសិនបើ $A\cdot E=A$ ឬ $E\cdot A=A$។ ក្នុងករណីម៉ាទ្រីសការ៉េ $A$ យើងអាចសរសេរ៖

ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណគឺជាភ្ញៀវញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការម៉ាទ្រីស។ ហើយជាទូទៅ ភ្ញៀវញឹកញាប់នៅក្នុងពិភពម៉ាទ្រីស។ :)

ហើយដោយសារតែ $E$ នេះ មាននរណាម្នាក់បានមកជាមួយហ្គេមទាំងអស់ដែលនឹងត្រូវបានសរសេរបន្ទាប់។

តើអ្វីទៅជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ដោយសារការគុណម៉ាទ្រីសគឺជាប្រតិបត្តិការដែលចំណាយពេលច្រើន (អ្នកត្រូវគុណជួរ និងជួរ) គំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសក៏មិនមែនជារឿងតូចតាចបំផុតដែរ។ ហើយវាត្រូវការការពន្យល់ខ្លះ។

និយមន័យគន្លឹះ

ដល់ពេលដឹងការពិតហើយ។

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស $B$ ត្រូវបានគេហៅថា បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស $A$ ប្រសិនបើ

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានតាងដោយ $((A)^(-1))$ (មិនត្រូវច្រឡំជាមួយដឺក្រេទេ!) ដូច្នេះនិយមន័យអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ៖

វាហាក់ដូចជាថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញបំផុតនិងច្បាស់លាស់។ ប៉ុន្តែនៅពេលវិភាគនិយមន័យបែបនេះ សំណួរជាច្រើនកើតឡើងភ្លាមៗ៖

1. តើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតែងតែមានទេ? ហើយ​បើ​មិន​មែន​ជា​និច្ច​ទេ តើ​ត្រូវ​ធ្វើ​ដូចម្តេច​ដើម្បី​កំណត់​ថា​តើ​វា​មាន​នៅ​ពេល​ណា និង​នៅ​ពេល​ណា​ដែល​វា​មិន​មាន?
2. ហើយអ្នកណាថាម៉ាទ្រីសបែបនេះគឺពិតប្រាកដមួយ? ចុះ​បើ​សម្រាប់​ម៉ាទ្រីស​ដើម $A$ មាន​ហ្វូង​ច្រាស​ទាំង​មូល?
3. តើ "បញ្ច្រាស" ទាំងអស់នេះមើលទៅដូចអ្វី? ហើយតើអ្នកពិតជារាប់ពួកគេដោយរបៀបណា?

ចំពោះក្បួនដោះស្រាយការគណនា - យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះបន្តិចក្រោយមក។ ប៉ុន្តែយើងនឹងឆ្លើយសំណួរដែលនៅសល់ឥឡូវនេះ។ ចូរ​យើង​រៀបចំ​វា​ជា​ទម្រង់​នៃ​ការ​អះអាង​ដោយ​ឡែក​ពី​គ្នា -lemmas ។

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងរបៀបដែលម៉ាទ្រីស $A$ គួរតែមានរូបរាងដើម្បីឱ្យវាមាន $((A)^(-1))$ ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថាម៉ាទ្រីសទាំងពីរនេះត្រូវតែជាការ៉េ ហើយមានទំហំដូចគ្នា៖ $\left[n\times n\right]$ ។

លេម៉ា ១. បានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ និងវាបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសទាំងពីរនេះគឺការ៉េ ហើយមានលំដាប់ដូចគ្នា $n$។

ភស្តុតាង។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[a\times b\right]$ ។ ដោយសារផលិតផល $A\cdot ((A)^(-1))=E$ មានតាមនិយមន័យ ម៉ាទ្រីស $A$ និង $((A)^(-1))$ គឺស្របគ្នាក្នុងលំដាប់នោះ៖

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( តម្រឹម)\]

នេះជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃក្បួនដោះស្រាយការគុណម៉ាទ្រីស៖ មេគុណ $n$ និង $a$ គឺ "ឆ្លងកាត់" ហើយត្រូវតែស្មើគ្នា។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គុណលេខបញ្ច្រាសក៏ត្រូវបានកំណត់ផងដែរ៖ $((A)^(-1))\cdot A=E$ ដូច្នេះម៉ាទ្រីស $((A)^(-1))$ និង $A$ គឺ ក៏ស្របគ្នានៅក្នុងលំដាប់នេះ៖

\[\begin(align) & \left[a\times b\right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( តម្រឹម)\]

ដូច្នេះដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ យើងអាចសន្មត់ថា $A=\left[m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យោងទៅតាមនិយមន័យនៃ $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ ដូច្នេះវិមាត្រនៃម៉ាទ្រីសគឺដូចគ្នាបេះបិទ៖

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

ដូច្នេះវាប្រែថាម៉ាទ្រីសទាំងបី - $A$, $((A)^(-1))$ និង $E$ - មានទំហំការ៉េ $\left[n\times n\right]$ ។ លេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។

ជាការប្រសើរណាស់ហើយ។ យើងឃើញថាមានតែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះដែលមិនអាចបញ្ច្រាស់បាន។ ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​ម៉ាទ្រីស​បញ្ច្រាស​គឺ​តែងតែ​ដូច​គ្នា។

លេម៉ា ២. បានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ និងវាបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនេះគឺមានតែមួយគត់។

ភស្តុតាង។ ចូរចាប់ផ្តើមពីចំណុចផ្ទុយគ្នា៖ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ យ៉ាងហោចណាស់មានឧទាហរណ៍ពីរនៃការបញ្ច្រាស — $B$ និង $C$ ។ បន្ទាប់មក តាមនិយមន័យ សមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A \\ cdot C = C \\ cdot A = E ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ពី Lemma 1 យើងសន្និដ្ឋានថាម៉ាទ្រីសទាំងបួន $A$, $B$, $C$ និង $E$ គឺការ៉េនៃលំដាប់ដូចគ្នា៖ $\left[n\times n\right]$ ។ ដូច្នេះផលិតផលត្រូវបានកំណត់៖

ដោយសារការគុណម៉ាទ្រីសគឺជាប់ទាក់ទងគ្នា (ប៉ុន្តែមិនមានការផ្លាស់ប្តូរទេ!) យើងអាចសរសេរ៖

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A\right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C\right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

យើងទទួលបានជម្រើសតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន: ច្បាប់ចម្លងពីរនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺស្មើគ្នា។ លេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។

ការវែកញែកខាងលើស្ទើរតែនិយាយឡើងវិញនូវភស្តុតាងនៃភាពប្លែកនៃធាតុបញ្ច្រាសសម្រាប់ចំនួនពិតទាំងអស់ $b\ne 0$ ។ ការបន្ថែមដ៏សំខាន់តែមួយគត់គឺយកទៅក្នុងគណនីវិមាត្រនៃម៉ាទ្រីស។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយយើងនៅតែមិនដឹងអ្វីទាំងអស់អំពីថាតើម៉ាទ្រីសការ៉េណាមួយមិនបញ្ច្រាស់។ នៅទីនេះកត្តាកំណត់មកដល់ជំនួយរបស់យើង - នេះគឺជាលក្ខណៈសំខាន់សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េទាំងអស់។

លេម៉ា ៣. បានផ្តល់ម៉ាទ្រីស $A$ ។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស $((A)^(-1))$ ច្រាសទៅវាមាន នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើមគឺមិនសូន្យ៖

\[\ ឆ្វេង| A \right|\ne 0\]

ភស្តុតាង។ យើងដឹងរួចហើយថា $A$ និង $((A)^(-1))$ គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំ $\left[ n\times n \right]$ ។ ដូច្នេះសម្រាប់ពួកវានីមួយៗ គេអាចគណនាកត្តាកំណត់៖ $\left| មួយ \ស្ដាំ|$ និង $\left| ((A)^(-1)) \right|$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កត្តាកំណត់នៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាកំណត់៖

\[\ ឆ្វេង| A\cdot B \right|=\left| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | ខ \\ ស្ដាំ|\\ ព្រួញស្ដាំ \\ ឆ្វេង| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | ((A)^(-1)) \right|\]

ប៉ុន្តែយោងទៅតាមនិយមន័យនៃ $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ហើយកត្តាកំណត់នៃ $E$ គឺតែងតែស្មើនឹង 1 ដូច្នេះ

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \ ឆ្វេង| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| អ៊ី\ត្រូវ|; \\ & \ ឆ្វេង| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(តម្រឹម)\]

ផលគុណនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងមួយ លុះត្រាតែលេខនីមួយៗទាំងនេះខុសពីលេខសូន្យ៖

\[\ ឆ្វេង| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

ដូច្នេះវាប្រែថា $\left| A \right|\ne 0$។ លេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។

តាមពិតតម្រូវការនេះគឺសមហេតុផលណាស់។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស - ហើយវានឹងកាន់តែច្បាស់ថាហេតុអ្វីបានជា ជាគោលការណ៍ គ្មានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសអាចមានជាមួយកត្តាកំណត់សូន្យទេ។

ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងបង្កើតនិយមន័យ "ជំនួយ"៖

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស degenerate គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំ $\left[n\times n\right]$ ដែលកត្តាកំណត់គឺសូន្យ។

ដូចនេះ យើងអាចអះអាងបានថា ម៉ាទ្រីសដែលដាក់បញ្ច្រាសណាមួយគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយ។

របៀបស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយជាសកលសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ជាទូទៅមានក្បួនដោះស្រាយពីរដែលទទួលយកជាទូទៅ ហើយយើងក៏នឹងពិចារណាវិធីទីពីរនៅថ្ងៃនេះផងដែរ។

មួយដែលនឹងត្រូវបានពិចារណាឥឡូវនេះគឺមានប្រសិទ្ធភាពណាស់សម្រាប់ម៉ាទ្រីសនៃទំហំ $\left[2\times 2\right]$ និង - នៅក្នុងផ្នែក - នៃទំហំ $\left[ 3\times 3 \right]$ ។ ប៉ុន្តែចាប់ផ្តើមពីទំហំ $\left[4\times 4\right]$ វាប្រសើរជាងកុំប្រើវា។ ហេតុអ្វី - ឥឡូវនេះអ្នកនឹងយល់គ្រប់យ៉ាង។

ការបន្ថែមពិជគណិត

ត្រៀមខ្លួន។ ឥឡូវនេះនឹងមានការឈឺចាប់។ ទេ កុំបារម្ភ៖ គិលានុបដ្ឋាយិកាដ៏ស្រស់ស្អាតក្នុងសំពត់ ខោជើងវែងមិនមករកអ្នក ហើយនឹងមិនចាក់ថ្នាំនៅគូទនោះទេ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺកាន់តែអស្ចារ្យ៖ ការបន្ថែមពិជគណិត និងព្រះនាង "Union Matrix" កំពុងមករកអ្នក។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយចំណុចសំខាន់។ អនុញ្ញាតឱ្យមានម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំ $A=\left[n\times n\right]$ ដែលធាតុរបស់វាមានឈ្មោះ $((a)_(ij))$ ។ បន្ទាប់មក សម្រាប់ធាតុនីមួយៗ មនុស្សម្នាក់អាចកំណត់ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត:

និយមន័យ។ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត $((A)_(ij))$ ទៅធាតុ $((a)_(ij))$ ក្នុងជួរ $i$-th និង $j$-th នៃម៉ាទ្រីស $A=\left [ n \times n \right]$ គឺជាការសាងសង់ទម្រង់

\[((A)_(ij))=((\left(-1\right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

ដែល $M_(ij)^(*)$ គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពី $A$ ដើមដោយលុបជួរ $i$-th និងជួរឈរ $j$-th ដូចគ្នា។

ម្តងទៀត។ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតទៅនឹងធាតុម៉ាទ្រីសដែលមានកូអរដោណេ $\left(i;j \right)$ ត្រូវបានតំណាងថាជា $((A)_(ij))$ ហើយត្រូវបានគណនាតាមគ្រោងការណ៍៖

1. ដំបូង យើងលុបជួរ $i$-row និង $j$-th ចេញពីម៉ាទ្រីសដើម។ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសការ៉េថ្មី ហើយយើងកំណត់កត្តាកំណត់របស់វាថា $M_(ij)^(*)$ ។
2. បន្ទាប់មកយើងគុណកត្តាកំណត់នេះដោយ $((\left(-1\right))^(i+j))$ - ដំបូងកន្សោមនេះអាចមើលទៅគួរអោយចាប់អារម្មណ៍ ប៉ុន្តែតាមពិតយើងគ្រាន់តែរកឃើញសញ្ញានៅពីមុខ $ M_(ij)^(*) $ ។
3. យើងរាប់ - យើងទទួលបានលេខជាក់លាក់។ ទាំងនោះ។ ការបន្ថែមពិជគណិតគឺគ្រាន់តែជាលេខប៉ុណ្ណោះ មិនមែនម៉ាទ្រីសថ្មីមួយចំនួនទេ ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ម៉ាទ្រីស $M_(ij)^(*)$ ខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជនដែលបំពេញបន្ថែមទៅធាតុ $((a)_(ij))$ ។ ហើយក្នុងន័យនេះ និយមន័យខាងលើនៃការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតគឺជាករណីពិសេសនៃនិយមន័យដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ - មួយដែលយើងបានពិចារណាក្នុងមេរៀនអំពីកត្តាកំណត់។

ចំណាំសំខាន់។ តាមពិតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា "មនុស្សពេញវ័យ" ការបន្ថែមពិជគណិតត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម:

1. យើងយកជួរ $k$ និងជួរឈរ $k$ ក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េ។ នៅចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃទំហំ $\left[k\times k\right]$ — កត្តាកំណត់របស់វាត្រូវបានគេហៅថាជាលំដាប់អនីតិជន $k$ ហើយត្រូវបានតាងដោយ $((M)_(k))$ ។
2. បន្ទាប់មកយើងកាត់ជួរ $k$ ដែល "បានជ្រើសរើស" និងជួរ $k$ ទាំងនេះ។ ជាថ្មីម្តងទៀតយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសការ៉េ - កត្តាកំណត់របស់វាត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជនបំពេញបន្ថែមហើយត្រូវបានតាងដោយ $M_(k)^(*)$ ។
3. គុណ $M_(k)^(*)$ ដោយ $((\left(-1\right))^(t))$ ដែល $t$ គឺ (យកចិត្តទុកដាក់ឥឡូវនេះ!) ផលបូកនៃចំនួននៃជួរដែលបានជ្រើសរើសទាំងអស់ និងជួរឈរ។ នេះនឹងជាការបន្ថែមពិជគណិត។

សូមក្រឡេកមើលជំហ៊ានទី ៣៖ ពិតជាមានផលបូកនៃ $2k$ លក្ខខណ្ឌ! រឿងមួយទៀតគឺថាសម្រាប់ $k=1$ យើងទទួលបានតែ 2 លក្ខខណ្ឌ - ទាំងនេះនឹងដូចគ្នា $i+j$ - "coordinates" នៃធាតុ $((a)_(ij))$ ដែលយើងជា កំពុងរកមើលការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត។

ដូច្នេះថ្ងៃនេះយើងប្រើនិយមន័យសាមញ្ញបន្តិច។ ប៉ុន្តែដូចដែលយើងនឹងឃើញនៅពេលក្រោយវានឹងលើសពីគ្រប់គ្រាន់។ សំខាន់ជាងនេះទៅទៀតគឺ៖

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីសសហជីព $S$ ទៅម៉ាទ្រីសការ៉េ $A=\left[n\times n\right]$ គឺជាម៉ាទ្រីសថ្មីនៃទំហំ $\left[n\times n\right]$ ដែលទទួលបានពី $A$ ដោយជំនួស $((a)_(ij))$ ដោយការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n))) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\\end(ម៉ាទ្រីស) \\right]\]

គំនិតដំបូងដែលកើតឡើងនៅពេលដឹងនិយមន័យនេះគឺ "នេះជាចំនួនដែលអ្នកត្រូវរាប់ជាសរុប!" សម្រាក៖ អ្នកត្រូវរាប់ប៉ុន្តែមិនច្រើនទេ។ :)

ជាការប្រសើរណាស់, ទាំងអស់នេះល្អណាស់, ប៉ុន្តែហេតុអ្វីបានជាវាចាំបាច់? តែ​ហេតុអ្វី។

ទ្រឹស្តីបទចម្បង

តោះត្រឡប់ទៅវិញបន្តិច។ សូមចាំថា Lemma 3 បាននិយាយថាម៉ាទ្រីសមិនបញ្ច្រាស់ $A$ តែងតែមិនមែនជាឯកវចនៈទេ (នោះគឺ កត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនមែនសូន្យ៖ $\left| A \right|\ne 0$)។

ដូច្នេះ ការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស $A$ មិន degenerate នោះវាតែងតែបញ្ច្រាស់។ ហើយមានសូម្បីតែគ្រោងការណ៍ស្វែងរក $((A)^(-1))$ ។ សូមពិនិត្យមើលវា៖

ទ្រឹស្តីបទម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីសការ៉េ $A=\left[n\times n\right]$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយកត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនសូន្យ៖ $\left| A \right|\ne 0$។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ មាន ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left|A\right|)\cdot ((S)^(T))\]

ហើយឥឡូវនេះ - ទាំងអស់ដូចគ្នាប៉ុន្តែនៅក្នុងការសរសេរដោយដៃដែលអាចយល់បាន។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស អ្នកត្រូវការ៖

1. គណនាកត្តាកំណត់ $\left| A \right|$ ហើយត្រូវប្រាកដថាវាមិនសូន្យ។
2. ចងក្រងម៉ាទ្រីសសហជីព $S$, i.e. រាប់ 100500 ការបន្ថែមពិជគណិត $((A)_(ij))$ ហើយដាក់វាជំនួស $((a)_(ij))$ ។
3. ផ្ទេរម៉ាទ្រីសនេះ $S$ ហើយបន្ទាប់មកគុណវាដោយចំនួនមួយចំនួន $q=(1)/(\left|A\right|)\;$ ។

ហើយនោះហើយជាវា! ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ ត្រូវបានរកឃើញ។ តោះមើលឧទាហរណ៍៖

\\[\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\\ end(ម៉ាទ្រីស) \\ right]\]

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលភាពបញ្ច្រាស។ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់៖

\[\ ឆ្វេង| មួយ \\ ស្ដាំ|= ឆ្វេង| \begin(ម៉ាទ្រីស) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

កត្តាកំណត់គឺខុសពីសូន្យ។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសគឺបញ្ច្រាស។ តោះបង្កើតម៉ាទ្រីសសហជីព៖

តោះគណនាការបន្ថែមពិជគណិត៖

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1\right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(១២))=((\left(-1\right))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(២១))=((\left(-1\right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1\right))^(2+2))\cdot \left| 3\ ត្រូវ|=3. \\ \end(តម្រឹម)\]

យកចិត្តទុកដាក់៖ កត្តាកំណត់ |2|, |5|, |1| និង |3| គឺជាកត្តាកំណត់នៃទំហំ $\left[1\times 1\right]$ មិនមែនម៉ូឌុលទេ។ ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើមានលេខអវិជ្ជមាននៅក្នុងកត្តាកំណត់ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការដក "ដក" ចេញទេ។

សរុបមក ម៉ាទ្រីសសហជីពរបស់យើងមើលទៅដូចនេះ៖

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left|A\right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[\begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ end(array) \right])^(T))=\left[\begin (អារេ)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ]\]

យល់ព្រម វាចប់ហើយឥឡូវនេះ។ បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ចម្លើយ។ $\left[\begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\\ end(array) \\right]$

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

\[\left[\begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\\ end(array) \\ right] \]

ដំណោះស្រាយ។ ជាថ្មីម្តងទៀត យើងពិចារណាកត្តាកំណត់៖

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\\ end(array) \\right|=\begin(ម៉ាទ្រីស ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0\right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1\right)\cdot 0\right) \\\end(ម៉ាទ្រីស)=\ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

កត្តាកំណត់គឺខុសពីសូន្យ - ម៉ាទ្រីសគឺបញ្ច្រាស់។ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ វានឹងក្លាយជា tinny បំផុត: អ្នកត្រូវរាប់ចំនួន 9 (ប្រាំបួន, damn វា!) ការបន្ថែមពិជគណិត។ ហើយពួកវានីមួយៗនឹងមាន $\left[ 2\times 2 \right]$ qualifier ។ ហោះហើរ៖

\[\begin(ម៉ាទ្រីស) ((A)_(11))=((\left(-1\right))^(1+1))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=2; \\ ((A)_(១២))=((\left(-1\right))^(1+2))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=-1; \\ ((A)_(១៣))=((\left(-1\right))^(1+3))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1\right))^(3+3))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=2; \\ \ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\]

សរុបមក ម៉ាទ្រីសសហជីពនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនឹងមានៈ

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ស្ដាំ] = \\ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ \\ 2 & 1 & -2 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\]

នោះហើយជាទាំងអស់។ នេះគឺជាចម្លើយ។

ចម្លើយ។ $\left[\begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\\ end(array) \\ right ]$

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅចុងបញ្ចប់នៃឧទាហរណ៍នីមួយៗយើងបានធ្វើការពិនិត្យ។ ក្នុងន័យនេះ កំណត់ចំណាំសំខាន់មួយ៖

កុំខ្ជិលពិនិត្យ។ គុណម៉ាទ្រីសដើមដោយច្រាសដែលបានរកឃើញ - អ្នកគួរតែទទួលបាន $E$ ។

វាមានភាពងាយស្រួល និងលឿនជាងមុនក្នុងការអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យនេះ ជាជាងរកមើលកំហុសក្នុងការគណនាបន្ថែមទៀត នៅពេលដែលឧទាហរណ៍ អ្នកដោះស្រាយសមីការម៉ាទ្រីស។

វិធីជំនួស

ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយ ទ្រឹស្តីបទម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដំណើរការល្អសម្រាប់ទំហំ $\left[2\times 2\right]$ និង $\left[3\times 3\right]$ (ក្នុងករណីចុងក្រោយវាមិនសូវល្អទេ" ទៀតទេ) ”) ប៉ុន្តែសម្រាប់ម៉ាទ្រីសធំ ភាពសោកសៅចាប់ផ្តើម។

ប៉ុន្តែកុំបារម្ភ៖ មានក្បួនដោះស្រាយជំនួសដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកការបញ្ច្រាសដោយស្ងប់ស្ងាត់សូម្បីតែសម្រាប់ម៉ាទ្រីស $\left[ 10\times 10 \right]$ matrix។ ប៉ុន្តែ​ដូច​ជា​ញឹកញាប់​ដែរ ដើម្បី​ពិចារណា​អំពី​ក្បួន​ដោះស្រាយ​នេះ យើង​ត្រូវ​ការ​ប្រវត្តិ​ទ្រឹស្ដី​បន្តិច។

ការផ្លាស់ប្តូរបឋម

ក្នុងចំណោមការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងៗនៃម៉ាទ្រីសមានចំណុចពិសេសមួយចំនួន - ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាបឋម។ មានការកែប្រែចំនួនបីយ៉ាងពិតប្រាកដ៖

1. គុណ។ អ្នកអាចយកជួរ $i$-th (column) ហើយគុណវាដោយលេខណាមួយ $k\ne 0$;
2. ការបន្ថែម។ បន្ថែមទៅជួរ $i$-th (column) ផ្សេងទៀត $j$-th row (column) គុណនឹងលេខណាមួយ $k\ne 0$ (ជាការពិត $k=0$ ក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ ប៉ុន្តែអ្វីដែលជាចំណុច ពីនោះ ?? គ្មានអ្វីនឹងផ្លាស់ប្តូរទេ) ។
3. ការផ្លាស់ប្តូរ។ យកជួរ $i$-th និង $j$-th (ជួរឈរ) ហើយប្តូរពួកវា។

ហេតុអ្វីបានជាការបំប្លែងទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាបឋម (សម្រាប់ម៉ាទ្រីសធំពួកគេមិនមើលទៅដូចជាបឋមទេ) ហើយហេតុអ្វីបានជាមានតែបីក្នុងចំណោមពួកគេ - សំណួរទាំងនេះហួសពីវិសាលភាពនៃមេរៀនថ្ងៃនេះ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​មិន​ចូល​ទៅ​ក្នុង​សេចក្តី​លម្អិត​ឡើយ។

រឿងមួយទៀតគឺសំខាន់: យើងត្រូវអនុវត្តការបំប្លែងទាំងអស់នេះនៅលើម៉ាទ្រីសដែលពាក់ព័ន្ធ។ បាទ បាទ អ្នកបានឮត្រូវហើយ។ ឥឡូវនេះនឹងមាននិយមន័យមួយទៀត គឺពាក្យចុងក្រោយនៅក្នុងមេរៀនថ្ងៃនេះ។

ភ្ជាប់ម៉ាទ្រីស

ប្រាកដណាស់នៅក្នុងសាលា អ្នកបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែម។ នៅទីនោះ ដកមួយទៀតពីបន្ទាត់មួយ គុណបន្ទាត់ខ្លះដោយលេខ - នោះហើយជាទាំងអស់។

ដូច្នេះ៖ ឥឡូវនេះអ្វីៗនឹងដូចគ្នា ប៉ុន្តែរួចទៅហើយ "តាមរបៀបមនុស្សពេញវ័យ"។ ត្រៀមខ្លួនហើយឬនៅ?

និយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A=\left[ n\times n \right]$ និងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ $E$ ដែលមានទំហំដូចគ្នា $n$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសដែលពាក់ព័ន្ធ $\left[A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]$ គឺជា $\left[ n\times 2n \right]$ matrix ដែលមើលទៅដូចនេះ៖

\[\left[A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]=\left[\begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n))) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ បញ្ចប់(អារេ) \right]\]

សរុបមក យើងយកម៉ាទ្រីស $A$ នៅខាងស្តាំយើងកំណត់ទៅវានូវម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ $E$ នៃទំហំដែលត្រូវការ យើងបំបែកពួកវាដោយរបារបញ្ឈរសម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត - នៅទីនេះអ្នកមានភ្ជាប់មកជាមួយ។ :)

តើចាប់បានអ្វី? ហើយនេះជាអ្វី៖

ទ្រឹស្តីបទ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ បញ្ច្រាស់។ ពិចារណាម៉ាទ្រីសជាប់ $\left[ A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]$។ ប្រសិនបើប្រើ ការផ្លាស់ប្តូរខ្សែអក្សរបឋមនាំវាទៅទម្រង់ $\left[E\left| ខ\ត្រូវ។ \right]$, i.e. ដោយការគុណ ដក និងតម្រៀបជួរដេកឡើងវិញ ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីស $E$ នៅខាងស្តាំពី $A$ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស $B$ ដែលទទួលបាននៅខាងឆ្វេងគឺជាតម្លៃបញ្ច្រាសនៃ $A$៖

\[\left[A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]\to \left[E\left| ខ\ត្រូវ។ \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

វាសាមញ្ញណាស់! សរុបមក ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមើលទៅដូចនេះ៖

1. សរសេរម៉ាទ្រីសដែលពាក់ព័ន្ធ $\left[ A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]$;
2. អនុវត្តការបំប្លែងខ្សែអក្សរបឋមរហូតដល់ខាងស្តាំជំនួសឱ្យ $A$ លេចឡើង $E$;
3. ជាការពិតណាស់ អ្វីមួយក៏នឹងលេចឡើងនៅខាងឆ្វេងផងដែរ - ម៉ាទ្រីសជាក់លាក់ $B$ ។ នេះនឹងជាការបញ្ច្រាស;
4. ចំណេញ! :)

ជា​ការ​ពិត​ណាស់​និយាយ​ងាយ​ស្រួល​ជាង​ការ​ធ្វើ​។ ដូច្នេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖ សម្រាប់ទំហំ $\left[3\times 3\right]$ និង $\left[4\times 4\right]$។

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

\[\left[\begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\\ end(array) \\ right]\ ]

ដំណោះស្រាយ។ យើងចងក្រងម៉ាទ្រីសដែលភ្ជាប់មកជាមួយ៖

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\]

ដោយសារជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសដើមត្រូវបានបំពេញដោយមួយ ដកជួរទីមួយចេញពីសល់៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) \\ ចុះក្រោម \\ -១ \\ -១ \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \ ឆ្វេង [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ បញ្ចប់(អារេ) \\ ស្តាំ] \\ \end(តម្រឹម)\]

មិនមានឯកតាទៀតទេលើកលែងតែជួរទីមួយ។ ប៉ុន្តែយើងមិនប៉ះវាទេបើមិនដូច្នេះទេឯកតាដែលបានដកចេញថ្មីនឹងចាប់ផ្តើម "គុណ" នៅក្នុងជួរទីបី។

ប៉ុន្តែយើងអាចដកជួរទីពីរពីរដងពីជួរចុងក្រោយ - យើងទទួលបានឯកតានៅជ្រុងខាងក្រោមខាងឆ្វេង៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) \\ \\ ចុះព្រួញ \\ -២ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \\ ឆ្វេង [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ បញ្ចប់(អារេ) \\ ស្តាំ] \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវនេះយើងអាចដកជួរចុងក្រោយពីជួរទីមួយ និងពីរដងពីជួរទីពីរ - តាមរបៀបនេះយើងនឹង "សូន្យ" ជួរទីមួយ៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) -១ \\ -២ \\ \uparrow \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស)\ ទៅ \\ & \\ ទៅ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \end(តម្រឹម)\]

គុណជួរទីពីរដោយ −1 ហើយបន្ទាប់មកដកវា 6 ដងពីទីមួយ ហើយបន្ថែម 1 ដងទៅចុងក្រោយ៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ ស្តាំ]\begin(ម៉ាទ្រីស) \\ \\ ឆ្វេង| \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ end(array) \\right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \end(តម្រឹម)\]

វានៅសល់តែដើម្បីប្តូរបន្ទាត់ទី 1 និងទី 3៖

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\]

រួចរាល់ហើយ! នៅខាងស្តាំគឺជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដែលត្រូវការ។

ចម្លើយ។ $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\\ end(array) \\ right ]$

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

\[\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ស្ដាំ] \\]

ដំណោះស្រាយ។ ជាថ្មីម្តងទៀតយើងចងក្រងឯកសារភ្ជាប់៖

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ បញ្ចប់ (អារេ) \right]\]

ខ្ចី​បន្តិច​ទៅ បារម្ភ​ថា​យើង​ត្រូវ​រាប់​ប៉ុន្មាន​ឥឡូវ​នេះ… ហើយ​ចាប់​ផ្ដើម​រាប់។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមយើង "សូន្យ" ជួរទីមួយដោយដកជួរទី 1 ពីជួរទី 2 និងទី 3៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ]\begin(ម៉ាទ្រីស) \\ ចុះក្រោម \\ -1 \\ -1 \\ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \\ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

យើងសង្កេតឃើញ "ដក" ច្រើនពេកនៅក្នុងជួរទី 2-4 ។ គុណជួរទាំងបីដោយ −1 ហើយបន្ទាប់មកដុតជួរទី 3 ដោយដកជួរទី 3 ពីសល់៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) \\ \\ ឆ្វេង| \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\ \ ឆ្វេង | \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\ \ ឆ្វេង | \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\\end(ម៉ាទ្រីស)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) -២ \\ -១ \\ \ ចុះក្រោម \\ -២ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \\ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)( rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវនេះវាដល់ពេលដែលត្រូវ "ចៀន" ជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសដើម: ដកជួរទី 4 ពីសល់:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ ) \right]\begin(ម៉ាទ្រីស) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\\ end(ម៉ាទ្រីស)\ ទៅ \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \end(តម្រឹម)\]

រមៀលចុងក្រោយ៖ "ដុតចេញ" ជួរទីពីរដោយដកជួរទី 2 ពីជួរទី 1 និងទី 3៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់( អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) ៦ \\ \ ឡើងចុះក្រោម \\ -៥ \\ \\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)(rrrr|rrrr) ១ & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ហើយម្តងទៀត ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៅខាងឆ្វេង ដូច្នេះបញ្ច្រាសនៅខាងស្តាំ។ :)

ចម្លើយ។ $\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ស្ដាំ]$